机械能 角动量守恒

探路者无人飞船俯视火星
探路者飞船在火星着陆点地貌
海盗号和凤凰号
碰撞 两物体互相接触时间极短而互作用力较大 的相互作用 .
ex in F F pi C
i
完全弹性碰撞 两物体碰撞之后， 它们的动能之 和不变 .
Ek Ek1 Ek 2 C
非弹性碰撞 由于非保守力的作用 ，两物体碰撞
例 2 设有两个质量分别为 m1 和 m2 , 速度分别 为 v10 和 v20 的弹性小球作对心碰撞 , 两球的速度方 向相同. 若碰撞是完全弹性的, 求碰撞后的速度 v1 和 v2 . 解 取速度方向为正向，由动 量守恒定律得 碰前
m1v10 m2 v20 m1v1 m2 v2 m1 (v10 v1 ) m2 (v2 v20 )
土星五号火箭
美国的土星 5 号是人类历
史上使用过的最高、最重、
推力最强的运载火箭，高 达110.6米，起飞重量 3038吨，总推力达3400吨 左右，可将 127 吨的有效
载重送上近地轨道。
中国神州飞船
空间实验室（Space Laboratory）是一种可重复 使用和多用途的载人航天科学实验空间站。前苏 联、美国和欧洲航天局已于20世纪七八十年代率 先研制成功出空间实验室。中国首个空间实验室 的主体“天宫一号”已于2011年9月29日21时16 分在酒泉发射升空。
v1
1 1 1 2 2 2 m mv1 m mv2 K l l0 2 2 2
一、质点系角动量定理
质点系统所受外力矩之和等于系统总 角动量的变化率。
t M 外dt dL 或： t M 外dt L L0
0
注：内力矩不改变系统总角动量，但使得角 动量系统内部重新分配。
重８３．６公斤，外表呈圆球形，直径５８ 厘米
载人航天的开创者：科罗廖夫
谢尔盖· 科罗廖夫（1907-1966），生于乌克兰的一个教师家庭，早年从事飞 机设计工作，20年代结识了齐奥尔科夫斯基，立志于火箭研究。科罗廖夫为 苏联赢得了一系列世界第一“第一艘载人飞船、第一个月球探测器、第一个 金星探测器和第一个火星探测器、第一次太空行走等。“载人航天之父”
如果对于某一固定点，质点所受的合外力矩为零， 则此质点对该固定点的角动量矢量保持不变。 ——角动量守恒定律
注意：1、这也是自然界普遍适用的一条基本规律。 2、M＝0，可以是r=0,也可以是F=0,还可能是r与F 同向或反向，例如有心力情况。
例1、开普勒第二定律
任一行星和太阳之间的连线，在相等的时间 内扫过的面积相等，即掠面速度不变。
解得
m1 (v10 v1 ) m2 (v2 v20 )
碰前
A
B
(m1 m2 )v10 2m2 v20 (m2 m1 )v20 2m1v10 v1 , v2 m1 m2 m1 m2
(m1 m2 ) v10 2m2 v20 v1 m1 m2
碰前
L
S
r
r
m
v
L r mv sin r m lim sin r t 0 t
S 2m lim t 0 t dS 2m dt
行星受力方向与矢径在一条 直线（有心力），故角动量守恒。
例1：光滑的水平面上用一弹性绳（k）系一小球(m)。 开始时，弹性绳自然伸长(L0)。今给小球与弹性绳垂直 的初速度V0, 试求当弹性绳转过90°且伸长了L 时，小 球的速度大小与方向。 解： 由机械能守恒立即有：
阿波罗计划
• 阿波罗计划（Apollo Project）， 又称阿波罗工程，是美国从 1961年到1972年从事的一系列 载人登月飞行任务。 • 工程开始于1961年5月，至 1972年12月第6次登月成功结 束，历时约11年，耗资255亿 美元。在工程高峰时期，参加 工程的有2万家企业、200多所 大学和80多个科研机构，总人 数超过30万人。
质点的角动量 角动量守恒
一、力对参考点的力矩
二、角动量定理
三、角动量守恒定律
§2.4 质点的角动量定理及角动量守恒定律 2.4.1 力对参考点的力矩 合力对参考点的力矩等于各分 力对同一参考点力矩的矢量和．
M r F r1 ( F1 F2 Fn ) r1 F1 r2 F2 rn Fn M1 M 2 M n 定义: 力F 对参考点O 的力矩M
t0
质点角动量的增量等于作用于质点上的角冲量。 三.质点的角动量守恒定律 dL 如果M＝0则 0 即L＝常矢量 dt 质点角动量守恒定律：如果对于某一固定点，质点所 受的合外力矩为零，则此点对该固定点的角动量矢量 保持不变。
dL dL M＝ 如 果M＝0则 0 dt dt
即L ＝常矢量
的大小等于此力和力臂(从参考 点到力的作用线的垂直距离)的 乘积.
2.4.2 质点的角动量 定义
z O r x
r
M Fr Fr sin
M r F
Lrp r mv
L
y
单位: 牛[顿]· 米(N· m)
m

p
力矩和角动量
质点对一固定参考点的 角动量：
dt
dt
dt
dt
得到
dL M dt
dP F dt
dL 将M 两边同时乘以 dt ， dt
Mdt dL
得： t L 积分： Mdt dL L L0 t0 L0 t Mdt 合力矩在 t0 到 t 时间内的冲量矩。
明朝学者万户，为了探索人类 航天的奥秘，在一把椅子后面 绑上了47支当时最大的火箭， 他想坐在椅子上，双手拿着风 筝，利用火箭的推动力把人送 上天空，再利用空气对风筝的 浮力返回地面。 世界科学家们为了纪念万户献 身于宇航事业的伟大创举，就 将月球背面的一个火山口命名 为“万户火山口”。
航天理论的奠基者：齐奥尔科夫斯基
解：选质点系: 两个钢球+泥球 碰撞过程， 系统角动量守恒.
m
a/2
o
质点系对o点的合外力矩为零，
a/2
m
m
V0
设碰后杆转动的角速度为 ， 则碰后三质点的速率为
m
V
V=a/2

a/2
o a/2
由角动量守恒定律，得：
V
(a/2) mv0 =(a/2)2mv+（a/2）mv
=2v0/3a
例、彗星绕太阳作椭圆 彗星 v远 轨道运动，太阳位于椭 F 引 r远 r近 圆轨道的一个焦点上， 太阳 问系统的角动量是否守 恒？近日点与远日点的 v近 速度谁大？ 解：彗星只受万有引力作用：M引 r F 0 系统角动量守恒，有：
二.质点角动量定理 力对一固定参考点的力矩 M r F 大小：M＝F r sin
M
o d
r 是P点相对于固定点O的位矢。
r
p
F
θ
方向：右手螺旋定则判定 M r F
将角动量对时间求导，有： dmv dr dL d mv r r F (r mv )
后，使机械能转换为热能、声能，化学能等其他形式
的能量 .
完全非弹性碰撞 两物体碰撞后,以同一速度运动 .
完全弹性碰撞
（五个小球质量全同）
例1 冲击摆是一种测定子弹速率的装置. 木块的质 量为 m2 , 被悬挂在细绳的下端. 有一质量为 m1 的子弹
以速率 v1 沿水平方向射入木块中后 , 子弹与木块将一
L0 L0+L

v
v0
m
如何求角度？ 由于质点在有心力 作用下运动，故角 动量守恒。有：
mv0 L0 mv sin( ) ( L0 L) sin v0 L0 / v( L0 L)
例 2、
o
l
l0

v2
满足三个守恒
子弹射入： 摆动：m mv1l0 m mv2l sin
二、若系统不受外力矩，或所受外力矩之和 为零，系统角动量守恒。
n L Li C
i 1
角动量守恒定律
例4. 质量均为m的两个小钢球固定在一个长为a 的轻 质硬杆的两端，杆的中点有一轴使杆可在水平面内自 由转动。杆原来静止。另一泥球质量也是m，以水平 速度V0垂直于杆的方向与其中的一个钢球发生碰撞， 碰后两者粘在一起。求碰撞后杆转动的角速度。
3. 势能曲线
保守力 势能零点 势能(Ep)
势能曲线
Ep 重力 z=0 质点 mgz
O
Ep
O
z
x
弹力
x=0
1 2 kx 2
G mM r
Ep
O
引力
r
r
跳 高 采 用 那 种 方 式 最 好, 为 什 么？
* 四 宇宙速度
牛顿的《自然哲学的数学原理》插图，抛体 的运动轨迹取决于抛体的初速度
万户飞天
L r P r mv
L p r m θ o
P
大小：L＝ r m v sin
方向：右手螺旋定则判定 L r p
注意：
L o r
P
a) 必须指明是对谁的角动量；
b)作圆周运动的质点的角动量 L＝ r m v c)角动量是描述转动状态的物理量； d)质点的角动量又称为动量矩。
由机械能守恒定律得
m m1 v 2 v 10 20 A B
碰后
1 1 1 1 2 2 2 2 m1v10 m2 v20 m1v1 m2 v2 2 2 2 2
v1