弹性中心法
中点法计算需求价格弹性的公式
中点法计算需求价格弹性的公式
价格变动为：（10-6)/8=50%,因为中点价格为8，所以平均变动为50，平均单位：（40-20）/30=67%，所以需求弹性为：根据中点法的公式：50%/67%=0.75.所以需求弹性为0.75.
1.点弹性衡量了在需求曲线上某一点上相对应于价格的无穷小的变动率，需求量变动率的反应程度，其计算公式为：这一弹性系数只与需求曲线上的点（P ，Q ）的斜率dQ/dP 有关，故被称为点弹性，它可以精确地反应出需求曲线上每一点的弹性值。
2.（三）其他的需求弹性需求收入弹性的定义和表示需求的收入弹性简称收入弹性，它表示在一定时期内相对于消费者收入的相对变动；
商品需求量的相对变动的反应程度：需求的收入弹性系数= 需求变动百分比/ 收入变动百分比用Em表示需求的收入弹性系数，M 表示收入，DM表示收入增减量。
3.则对正常商品而言Em>0，如果Em1表明需求量增加了幅度超过收入增加幅度，该商品为奢侈品。
00，则二种商品X 、Y 为替代品。
如果Ec<0，则二种商品X 、Y 为互补品。
无铰拱的计算
一、弹性中心法
当 X 1 1 、X 2 1 、X 3 1分别作用时所引起的内力为：
M 1 1， F N1 1， F S1 0
M2
y，
F N2
cos，
F S2
sin
M 3 1， F N3 sin， F S3 cos
代入后得：12 21
X1
1P
11
yM P
ds I
y 2 ds cos2 ds
I
A
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第一节 两铰拱的计算
求得了推力X1后，其它内力的计算方法和计算公式与三 铰拱完全相同。在竖向荷载作用下，两铰拱任意截面的内力
计算公式为：
M FS
M0 FS 0
X1
cos
y
X1
22
因此
1
1P EI
l 2
y(3qlx
1
qx2
)dx
1
08
2
EI
l ql
qf l3
l 2
y
8
(l
x)dx
30EI
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第一节 两铰拱的计算
由力法方程求得 X1
1P 11
ql 2 16 f
即
FN
X1
ql 2 16 f
这个结果与三铰拱在半
跨均布荷载作用下的结果是 一样的。
于是，多余未知力可按下式求解:
（19-5）
X1=-Δ1P/δ11 ，X2= -Δ2P/δ22，X 3=-Δ3P/δ33 (19-6)
7.7 用弹性中心法计算对称无铰拱
令δ 12= δ 21=0，便可得到刚臂长度 S为 ，便可得到刚臂长度y
1 EI
O ds 弹性中心 y ys
yS =
∫ ∫
y ds EI 1 ds EI
x
y
为了形象地理解式的几何意义，设想沿拱轴线作宽度等于 为了形象地理解式的几何意义，设想沿拱轴线作宽度等于1/EI 的图形， 代表此图中的微面积， 的图形，则ds/EI代表此图中的微面积，而上式就是计算这个 代表此图中的微面积 图形面积的形心计算公式。 图形面积的形心计算公式。 由于此图形的面积与结构的弹性性质EI有关， 由于此图形的面积与结构的弹性性质 有关，故称它为弹性 有关 面积图，它的形心则称为弹性中心 弹性中心。 面积图，它的形心则称为弹性中心。
第一步， 第一步，把原来的无铰拱换成带刚 臂的无铰拱,这个带刚臂的无铰拱与 臂的无铰拱 这个带刚臂的无铰拱与 原来的无铰拱是等效的， 原来的无铰拱是等效的，可以相互 代替。 代替。
FP
C O EI=∞
A
B
FP
C X2 O X2 X1 X1 X3 X3 y ys K B y
x
第二步，选取基本体系。 第二步，选取基本体系。将带刚臂的 无铰拱在刚臂下端O处切开 处切开。 无铰拱在刚臂下端 处切开。
M A = X 1 + X 2 ( y − yS ) + M P qR 2 q (2 R) 2 = 0.87qR + 1.14qR(2 R − 0.81R) + [− − ] 2 2
2
M C = X 1 − X 2 yS = 0.87 qR 2 − 1.14qR × 0.81R = −0.05qR 2 （外侧受拉）
A
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弹性力学简介及其求解方法
弹性力学简介及其求解方法2010-08-27弹性力学简介及其求解方法弹性力学又称弹性理论，是固体力学的一个分支，是研究弹性体由于外力作用或温度改变等原因而发生的应力、应变和位移。
确定弹性体的各质点应力、应变和位移的目的就是确定构件设计中的强度和刚度指标，以此用来解决实际工程结构中的强度、刚度和稳定性问题。
材料力学、结构力学三门学科所研究的内容和目的相同，但是研究对象和研究方法不同。
材料力学研究对象是杆状构件，结构力学是在材料力学基础上研究由多杆构成的杆系结构的强度和刚度问题。
而对于一般弹性实体结构，如板与壳结构、挡土墙与堤坝、地基以及其他三维实体结构来说，相应的强度和刚度问题要用弹性理论的方法来解决。
在研究方法上，弹性力学和材料力学都从静力学、几何关系、物理方程三方面着手来进行分析，但不同点是材料力学常借助于直观和实验现象做一些假设。
在具体问题计算时材料力学与结构力学都利用解决单一变量的常微分方程，在数学上求解容易。
弹性力学需解决的是满足边界条件的高阶多变量偏微分方程，在数学上求解困难，一般弹性体问题很难得到解析解。
所以，与材料力学相比，弹性力学的研究对象更加广泛，研究方法更加严密，能解决更加复杂的实际问题，因此需要用较多的数学工具。
弹性力学问题可以归结为边值问题：在弹性体内必须满足基本方程，即平衡微分方程、几何方程和物理方程；在应力边界上应满足应力边界条件；在位移边界上应满足位移边界条件；在混合边界上应满足相应的应力边界和位移边界条件。
满足基本方程的解答叫做弹性力学解；既满足基本方程，又满足边界条件的解答叫做弹性力学问题的解。
在求解弹性力学问题时，通常已知的是物体的形状、尺寸、约束情况和外载荷以及材料的物理常数。
需要求解的是应力、应变和位移，它们都是物体内点的坐标的函数。
对于空间问题，一共有15个未知函数：3个位移分量、6个应变分量和6个应力分量。
可利用的独立方程也有15个，即3个平衡微分方程、6个几何方程和6个物理方程。
《桥梁工程》讲义第二章第三节拱桥计算(1)
2、拱上构造尺寸计算 ①腹拱圈 根据矢跨比f′/ L′，查《拱桥》 （上）表 （III）-2得：Sinφ0、cosφ0； 计算水平投影：X′= d′ Sinφ0 计算竖向投影：Y′＝d′ cosφ0 若为梁式腹孔不进行此项计算。
②腹拱墩（若为梁式腹孔，则为腹孔墩） 计算各腹拱墩高度h（或腹孔墩高）
1） 五点弯矩为零的条件：
（1）拱顶弯矩为零条件：
M d 0,Qd 0 ，只有轴力H g
（2）拱脚弯矩为零：
Hg
M
f
j
（3）1/4点弯矩为零：H g
M1/ 4
y1/ 4
（4）M j M1/ 4
f
y1/ 4
主拱圈恒载的 M1/4,M j 可由《拱桥（上）》
第988页附录III表(III)-19查得。
4） 拱轴线的水平倾角
tg dy1 dy1 2 fk shk dx l1d l(m 1)
k ln(m m2 1)
拱轴线各点水平倾角只与f/l和m有关，该值可从 《拱桥》 （上）第577页表（III）-2查得。
5）拱轴系数的计算 （1）拟定上部结构尺寸
1、计算主拱圈几何尺寸 ①截面几何特性计算 截面高度：d 主拱圈横桥向取1米单位宽度计算： 横截面面积：A 截面惯性矩：I 截面抵抗矩：W 截面回转半径：rw
（1）不考虑弹性压缩的恒载内力--实腹式拱
认为实腹式拱轴线与压力线完全重合，拱圈
中只有轴力而无弯矩，按纯压拱计算：
恒载水平推力：Hg
m 1 4k 2
gdl f
2
kg
gd l 2 f
(0.128~ 0.18)
gdl2 f
拱脚竖向反力为半拱恒载重力：
l1
m2 1
实腹式悬链线拱的拱轴线和拱轴系数如何确定(专业研究)
1) 实腹式悬链线拱的拱轴线和拱轴系数如何确定（含拱轴系数公式推导）？答：定拱轴线一般采用无矩法，即认为主拱圈截面仅承受轴向压力而无弯矩。
拱轴系数的确定：拱轴系数：d jg g m =， 拱顶恒载分布集度d g 为 ： d h g d d 21γγ+=（4-20）拱脚恒载分布集度x g 为： h d h g j d j 321cos γϕγγ++=（4-21） 式中： 321,,γγγ─—分别为拱顶填料、拱圈材料及拱腹填料的容重； d h ─—为拱顶填料厚度，一般为300～500mm ； d ─—为主拱圈厚度； j ϕ─—为拱脚处拱轴线的水平倾角；由几何关系有j d d f h ϕcos 22-+=（4-22） 由以上各式可以看出，尽管只有 j ϕ 为未知数，其余均为已知，但仍不能直接算出m 。
所以，在具体计算m 值时可采用试算法确定。
具体做法如下：①先根据拱的跨径和矢高假设m ，再由《拱桥》附录表（Ⅲ）-20查得拱脚处的j ϕcos 值； ②将j ϕcos 值代入式（4-21）计算出j g 后，再与d g 一同代入式（4-11），即可求得m 值。
③再与假设的m 值比较，如两者相符，即假定的m 为真实值；如两者相差较大（差值大于半级，即相邻m 值的差值的一半），则以计算出的m 值作为假设值，重新计算，直到两者接近为止。
2) “五点重合法”如何确定空腹式悬链线拱的拱轴线和拱轴系数？答：五点重合法：使悬链线拱轴线接近其恒载压力线，即要求拱轴线在全拱有5点（拱顶、拱脚和1/4点）与其三铰拱恒载压力线重合。
3) 为什么可以用悬链线作为空腹式拱的拱轴线形？其拱轴线与三铰拱的恒载压力线有何偏离情况（结合图说明）？答：由于悬链线的受力情况较好，又有完整的计算表格可供利用，故多采用悬链线作为拱轴线。
用五点重合法计算确定的空腹式无铰拱桥的拱轴线，仅保证了全拱有五点与三铰拱的恒载压力线（图4-44b ）。
计算表明，从拱顶到4l 点，一般压力线在拱轴线之上；而从4l 点到拱脚，压力线却大多在拱轴线之下。
基于弹性中心法的热力管道受力计算与分析
除 了要考 虑管道 热 膨胀 的作 用 ， 必 须计 算 管 道 由 还 于地 震和 大风条 件造 成 的基 础位 移产 生 的推 力和应 力 ， 时这 些 图表就不 能满 足需要 。另外 ， 这 即使 只考 虑热 膨胀 的作用 ， 些 图表 也 主要用 于 Ｌ形 、 以 这 ｚ形 及 简单 的空 间管道 ， 一旦管 道 的形状 略微复 杂 ， 图表 就不 能解 决 问题 。这 些 图表都是 通过 弹性 中心法计
ｃ ｅｅ ｅ ａ ｌ ｒ ｔ ｘ ｍｐ ｅ．Ｔｈ ｆｅ ｔｏ ｈ ｒ ｌｅ ｐ ｎ ｉｎ ａ ｄ ｔ ｅ ｉｆｕ ｎ ｅ ｏ ａ ｑ ａ ｎ ｔｏ ｇ ｗｉ ｄ ｎ ｔ ｅ ｅ ｅｆｃ ｆｔ ｅ ｍａ ｘ ａ ｓｏ ｎ ｈ ｎ ｅ ｃ ｆｅ ￣ｈ ｕ ｋｅ ａ ｄ ｓｒ ｎ ｎ ｓ ｏ ｈ ｌ ｈ ｒｚ ｎ ａ ｉｐ ａ ｅ ｎ ｆｆｘ ｄ ｓ ｐ ｏ ｂ ｓ ｓ ａ ｅ ｃ ｎ ｉ ｅ ｅ ｎ ｔ ｅ ｃ ｌｕ ａｉｎｓ Ｔｈ ｎ ｕ ｎ ｅ ｏ ｌ ｏ ｉｏ ｔｌｄ ｓ ｌｃ ｍｅ ｔｏ ｅ ｕ ｐ ￣ ａ ｅ ｒ ｏ ｓｄ ｒ ｄ ｉ ｈ ａｃ ｌｔｏ ． ｉ ｅ ｉ ｆ ｅ ｃ ｆ ｅ— ｌ ｂ ｗｓ，ｈｏ ｔｒｔｍｐ ｒ ｔ ｒ ｎ ｐ ｌ ｉｍｅ ｅ ｎ ｔ ｅ ｔ ｅ ｍａ ｘ ａ ｓｏ ｔｅ ｓｉ ｉｃ ｓ ｅ ｏ ｔｗａｅ ｅ ｅ ａｕ ｅ ａ ｄ ｐｉｅ ｉ ｄ ａ ｔｒｏ ｈ ｈ ｒ ｌｅ ｐ ｎ ｉｎ ｓｒ ｓ ｓ ｄ ｓ ｕ ｓ ｄ． ｎｅ Ｋｅ ｒ ｓ： ｅ ａ ｔｃ ｅ ｎ ｅ ｔ ｏ ｙ ｗｏ ｄ ｌｓｉ ｅ ｔｒｍｅｈ ｄ； ｈ ａ ｉ ｇ ｐ ｐ ｌｎ ｅ ｔｎ ｉ ｅｉ ｅ； ｔ ｅ ｍａ ｘ ａ ｉ ｎ； ｓｒ ｓ ｈ ｒ ｌｅ ｐ ｎｓｏ ｔｅ ｓ
ＹＵ ｏ ｑ ｎ ＬＶ ｏ ｇ ｈ Ｇｕ — ｉ ｇ． Ｚ ｎ —ｕ
《合理拱轴线的确定》课件
04
实际工程中的应用
赵州桥的拱轴线设计
赵州桥是中国古代著名的石拱桥，其拱轴线设计采用了圆弧形，这种设计能够有 效地分散车辆和行人载荷，提高桥梁的承载能力。
赵州桥的拱轴线设计还考虑了河流的流向和地质条件，以确保桥梁的稳定性和安 全性。
法国的Millau Viaduct的拱轴线设计
Millau Viaduct是一座位于法国的现代拱桥，其拱轴线设计 采用了抛物线形，这种设计能够最大化主拱的承载能力，同 时减小拱脚的水平推力。
抛物线
总结词
抛物线拱轴线具有向上开口的曲线形状，适合承受轴向推力，常用于大跨度拱 桥。
详细描述
抛物线拱轴线在承受轴向推力时表现出良好的稳定性，能够有效地将竖向荷载 转化为水平推力。此外，抛物线的曲率变化均匀，有利于减小拱顶和拱脚处的 应力集中。
悬链线
总结词
悬链线拱轴线形状类似于悬挂在两端的链条，适合承受拉力 和压力。
03
合理拱轴线的确定方法
弹性中心法
总结词
弹性中心法是一种基于弹性理论的确定拱轴线的方法，通过计算拱的弹性中心位置，结合拱的几何特性和荷载条 件，推导出合理的拱轴线形状。
详细描述
弹性中心法的基本思路是，将拱视为弹性体，通过分析其在不同荷载下的应力分布，确定拱的弹性中心位置。然 后，根据拱的几何特性和荷载条件，推导出与弹性中心位置相适应的拱轴线形状。该方法考虑了拱的变形和受力 特性，能够得到较为精确的拱轴线形状。
法能够考虑结构的非线性特性，得到更为精确的结果。
拱轴系数法
总结词
拱轴系数法是一种基于经验的方法，通过引入拱轴系数来简化拱的受力分析，从而确定合理的拱轴线 形状。
详细描述
拱轴系数法的基本思路是，根据经验数据和工程实践，引入一个与拱跨度、高度和荷载等相关的系数 ，用于简化拱的受力分析。通过调整该系数的大小，可以方便地确定合理的拱轴线形状。该方法简单 易行，但精度相对较低，适用于工程实践中的快速设计和初步分析。
弹性中心法求解超静定拱
弹性中心法求解超静定拱范坤杰（哈尔滨工业大学（威海）土木工程系，山东 威海 264200）摘 要：对弹性中心法进行了简述与介绍，并详细分析了其简化的原理以及一般运用计算的过程。
关键词：弹性中心法，超静定拱，力法，内力求算，简化过程拱结构在工程中的应用极为泛，桥梁工程方面，有闻名遐迩的赵州石拱桥；建筑工程方面，诸如比萨大教堂，圣彼得大教堂等著名建筑也都在不同程度上采用了拱结构。
时至今日，双曲拱桥，落地式拱顶结构，带拉杆式的拱式屋架等现代拱式结构已被大量运用于土木工程之中。
超静定拱绝大部分是无铰拱或是两铰拱。
两铰拱是一次超静定结构，求解时通常只需解除一水平约束，用力法一般步骤进行计算即可，只是由于拱是曲杆，在计算位移11δ，1P ∆时不能使用图乘法，必须进行积分，从而增大了计算量。
而无铰拱却是三次超静定结构，若采用普通的力法解题方案，解除三个约束，列出三元一次方程组进行求解，则计算量过于繁杂，正确性很难保证。
为此，力学专家们对无铰拱的计算进行了两部分简化，一是利用结构对称性的简化，二是利用刚臂的简化，最终形成了一种相对更简便清晰的方法——弹性中心法。
弹性中心法是力法的一种简化计算方法，它适用于对称无铰拱，对称封闭刚架和封闭环形结构的计算。
其基本思路：对以上适用的三种结构，首先选用对称的基本结构，同时将荷载分解成对称和反对称两组，并建立相应的求解多余未知力的力法联立方程；通过增加刚臂并调整刚臂的长度，使力法方程中的副系数等于0，从而将求解联立方程的问题转化为求解若干个独立方程的问题。
1 简化过程1．1利用结构对称性无铰拱为对称结构，在拱顶将其截开，如图1所示，以拱顶处弯矩1X 、轴力2X 和剪力3X 为多余未知力。
由于1X 与2X 为对称未知力，3X 为反对称未知力，则31δ=13δ=0，23δ=32δ=0。
由此消掉4个位移量，实现了方程组（a ）到方程组（b ）的转换。
（a ）111122133121122223323113223333+++=0+++=0+++=0P P P X X X X X X X X X δδδδδδδδδ∆∆∆（b ）111122121122223333++=0++=0+=0P P P X X X X X δδδδδ∆∆∆图1：1．2利用刚臂为使方程组进一步简化，考虑消掉12δ，21δ这两个位移量。
弹性支点法计算原理
弹性支点法计算原理
弹性支点法是一种计算结构系统内力的方法。
其原理是基于结构系统在静力平衡状态下，内力和外力之间满足一定的相互关系。
在使用弹性支点法进行计算时，结构系统被看作是一个由多个支点连接的刚性体系。
每个支点可以分为弹性支点和刚性支点两种类型。
弹性支点是指在结构中加入一个虚拟的刚性杆件，该杆件的两侧增加弹性支座，可以通过调节弹性支座的刚度来模拟实际的结构体系中的支座的刚度。
弹性支点的作用是将结构中的力传递到该支点，并通过弹性变形传递到其他支点或边界。
弹性支点在实际中可以使用弹簧或橡胶垫等形式来模拟。
刚性支点是指结构系统中的实际支座，其刚度无限大，可以看作是完全刚性的，不发生任何变形。
刚性支点在计算中起到约束和固定结构的作用，使得结构的运动受到限制。
在具体的计算过程中，通过将结构系统分解为简单的小结构单元，并在每个支点上设置合适的弹性支点或刚性支点，可以通过平衡条件和变形条件来求解每个支点处的内力和外力。
通过逐个计算每个支点，最终可以得到整个结构系统的内力分布。
弹性支点法的优点是可以简化结构计算的复杂性，使得计算过程更加易懂和易于实施。
但需要注意选择合适的弹性支点和刚
性支点的位置和刚度，以及合理的结构系统的分割方式，以保证计算结果的准确性和可靠性。