吉林省吉林市2019届高三第三次调研测试数学(理)试卷(含答案)
频率
组距
b
0.030
称为“青少年人”和“中老年人”，经统计“青少年 人”与“中老年人”的人数之比为 2 : 3 .
（1）求图中 a,b 的值，若以每个小区间的
0.015
a
0.005
15 25 35 45 55 65 75 年龄（岁）
中点值代替该区间的平均值，估计这 100 人年
龄的平均值 x ；
（2）若“青少年人”中有 15 人关注此活动，
根据已知条件完成题中的 2 2 列联表，根据此统计结果，问能否有 99% 的把握认为“中老年
人”比“青少年人”更加关注此活动？
关注
不关注
合计
青少年人
15
中老年人
合计
50
50
100
P(K 2 k0 )
0.050
0.010
0.001
k0
3.841
6.635
10.828
附参考公式： K 2
n(ad bc)2
2, ) ，求
1
1
的值.
4
| PA | | PB |
23. （10 分）选修 4 — 5：不等式选讲 已知函数 f ( x) | 2x 1| | x 1| . （1）解不等式 f ( x) 3 ;
（2）记函数 f ( x) 的最小值为 m ，若 a,b,c 均为正实数，且 1 a b 3 c m ，
当 x 0 时， f ( x) 2x 1 ，若 f (1 a) f (a) 2 2a ，则实数 a 的最小值为
A. 1
B. 1 2
1 C.
2
D. 1
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在答题卡的相应位置．
13. ( x 2 )5 展开式中含 x 项的系数为
.
x
14.
已知向量 a
(m, 1),b
(1,1)
，若
|
a
b
||
a
|
|
b
|
，则实数
m
.
15. 某煤气站对外输送煤气时，用 1 至 5 号五个阀门控制，且必须遵守以下操作规则：
（ⅰ）若开启 3 号，则必须同时开启 4 号并且关闭 2 号；
（ⅱ）若开启 2 号或 4 号，则关闭 1 号；
D. y 2 x 4
7. 已知 AB 是圆 x2 y2 6x 2 y 0 内过点 E(2,1) 的最短弦，则 | AB | 等于
A. 3
B. 2 2
C. 2 3
D. 2 5
8. 执行如图所示的程序框图，则输出 S 的值为
A.
3
1 2
log
2
3
B. log2 3
C. 2
D. 3
吉林市普通中学 2018—2019 学年度高中毕业班第三次调研测试
理科数学
本试卷共 22 小题，共 150 分，共 6 页，考试时间 120 分钟，考试结束后，将答题卡和试 题卷一并交回。
一、选择题：本大题共 12 题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一 个是符合题目要求。
开始
S = 3, i = 1
否
i<=3?
是
S=S+log2
i+1 i
i=i+1
S = log 2S
输出S 结束
9. 将函数 y sin(2x ) 的图像向右平移 3
1 个周期后，所得图像对应的函数为 f ( x) ， 则函数 f ( x) 的单调递增区间为 4
A. [k , k 7 ](k Z )
2 B. 2
4 C.
4 D. 2
11. 已知抛物线 y2 4x 的焦点 F ，点 A(4, 3) ， P 为抛物线上一点，且 P 不在直线 AF 上，
则 PAF 周长取最小值时，线段 PF 的长为
A. 1
13 B.
4
C. 5
21 D.
4
12. 设函数 f ( x) 在 R 上存在导函数 f ( x) ，对任意实数 x ，都有 f ( x) f ( x) 2x ，
指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关系，它在复变函数论
i
里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”, i 表示的复数位于复平面内
e4
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
3. 已知角 的终边经过点 P(1, 3 ) ，则 sin 2 的值为
3 A. 2
|
f
( x1)
f ( x2 ) |
t
|
1 x1
1 x2
| 成立，求实数 t
的最小值.
（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第 一题计分。
22. （10 分）选修 4 — 4：坐标系与参数方程
在直角坐标系
xoy
中，曲线
C1
的参数方程为
12
12
B. [k , k ](k Z )
6
3
C. [k 5 , k ](k Z )
12
12
D. [k , k ](k Z )
3
6
10. 已知 , 是[0, ] 上的两个随机数，则满足 1 的概率为 sin
2 A.
员令，吹响了集结号。为了了解哪些人更关注此活动，某机构随机抽取了年龄在15 75 岁
之间的 100 人进行调查，并按年龄绘制的频率分布直方图如图所示，其分组区间为：
[15, 25) ,[25, 35) ,[35,45) ,[45,55) ,[55,65) ,[65,75) . 把年龄落在[15, 35) 和[35,75) 内的人分别
21.（12 分） 已知函数 f ( x) m ln x 1 x2 1(m R) . 2
（1）若 y f ( x) 在 (1, f (1)) 处的切线方程为 y x n (n R) ，求 m, n 的值； 2
（2）若 m 为区间[1, 4] 上的任意实数，且对任意 x1, x2 (0,1] ，总有
x
1
2t 2 （ t 为参数）,以坐标原点为
y
1
2 t
2
极点，以 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 sin2 4cos .
（1）求曲线 C1 的普通方程与曲线 C2 的的直角坐标方程；
（2）若 C1 与 C2 交于 A, B 两点，点 P 的极坐标为 (
1. 已知集合 A = {- 1,1}, B { x | x2 x 2 0, x Z } ，则 A B
A. {1}
B. {1,1}
C. {1, 0,1}
D. {1, 0,1, 2}
2. 欧拉公式 eix cos x i sin x （ i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将
（ⅲ）禁止同时关闭 5 号和 1 号.
现要开启 3 号，则同时开启的另两个阀门是
.
x 3,
xa
16.
已知函数
f
(
x)
x
2
6x 3, x
，若函数 g( x) a
f ( x) 2x 恰有 2 个不同的零
点，则实数 a 的取值范围为
.
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
B.Leabharlann 3 2C.1 2
D.
3 4
4. “ a, b, c, d 成等差数列”是“ a d b c ”的
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
5． 正三棱锥的三视图如右图所示，则该正三棱锥 的表面积为
A. 3 30 3 3 C. 12 3
A
B E
求四棱锥 P ABCD 的体积.
D
C
20.（12 分）
已知
A, B
为椭圆 E
:
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0) 的上、下顶点, |
AB |
2 ，且离心率为
3
.
2
（1）求椭圆 E 的方程；
（2）若点 P( x0 , y0 )( x0 0) 为直线 y 2 上任意一点， PA, PB 交椭圆于 C , D 两点，求 四边形 ACBD 面积的最大值.
, 其中 n a b c d .
(a b)(c d )(a c)(b d )
19.（12 分）
如图所示，四棱锥 P ABCD 中， PA 平面 ABCD ， AB AD , AB ∥ CD ,
P
AB
1 CD 2
,
E
为
PD
的中点.
（1）证明: AE ∥平面 PBC ; （2）设二面角 D AE C 为 60 ， AP 1, AD 3 ，
B. 3 30 9
D. 9 10 9
2
2
3 正视图
3 侧视图
俯视图
6.
已知双曲线 C
:
y2 a2
x2 b2
1(a
吉林省吉林市普通中学2019届高中毕业班第三次调研测试理科数学试题(解析版)
2019年普通高等学校招生全国统一考试模拟试卷（全国卷Ⅱ）理科数学一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据一元二次不等式的解法求出，则可求。
【详解】由题意知，所以，所以，故选C【点睛】本题考查一元二次不等式的解法及集合的并集运算，属基础题。
2.欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，表示的复数位于复平面内（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】【分析】根据新定义，化简即可得出答案．【详解】∵cos i sin i，∴i)=i，此复数在复平面中对应的点（，）位于第一象限，故选：A．【点睛】本题考查了复数的除法运算及复数的几何意义，涉及三角函数求值，属于基础题．3.已知角的终边经过点，则的值为（）A. B. C. D.【答案】B【分析】先求出点P到原点的距离，再用三角函数的定义依次算出正、余弦值，利用二倍角公式计算结果即可．【详解】角α的终边经过点p（﹣1，），其到原点的距离r 2故sinα，cosα∴sinαcosα故选：B．【点睛】本题考查了任意角三角函数的定义，考查了二倍角公式，属于基础题．4.“成等差数列”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】，，，成等差数列,而 ,但1,3,3,5不成等差数列,所以“，，，成等差数列”是“”的充分不必要条件,选A.点睛：充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．5.正三棱锥的三视图如下图所示，则该正三棱锥的表面积为（）A. B. C. D.【答案】A【分析】通过三视图还原出立体图，通过条件可求得底面正三角形边长为，则底面积为，侧棱长为，则可求侧面积为，所以表面积为。
2019年吉林省长春市高考数学三模试卷(理科)(解析版)
A．
B．﹣
C．
D．﹣
【解答】解：sin210°＝sin（180°+30°）＝﹣sin30°＝﹣ ．
故选：B．
2．（5 分）已知集合 A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|（x+1）（x﹣2）＜0}，则 A∩B＝（ ）
2019 年吉林省长春市高考数学三模试卷（理科）
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的. 1．（5 分）sin210°的值为（ ）
A．
B．﹣
C．
D．﹣
2．（5 分）已知集合 A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|（x+1）（x﹣2）＜0}，则 A∩B＝（ ）
20．（12 分）如图所示，椭圆
离心率为 ，B1、B2 是椭圆 C 的
短轴端点，且 B1 到焦点的距离为 ，点 M 在椭圆 C 上运动，且点 M 不与 B1、B2 重 合，点 N 满足 NB1⊥MB1，NB2⊥MB2． （1）求椭圆 C 的方程； （2）求四边形 MB2NB1 面积的最大值．
21．（12 分）已知 a∈R，函数
19．（12 分）如图，等腰梯形 ABCD 中，AB∥CD，AD＝AB＝BC＝1，CD＝2，E 为 CD 中 点，AE 与 BD 交于点 O，将△ADE 沿 AE 折起，使点 D 到达点 P 的位置（P∉平面 ABCE）． （1）证明：平面 POB⊥平面 ABCE； （2）若直线 PB 与平面 ABCE 所成的角为 ，求二面角 A﹣PE﹣C 的余弦值．
A．0
B．10
2019年吉林省长春市高考数学三模试卷(理科)
2019年吉林省长春市高考数学三模试卷（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}|||1A x x =<，{}|(3)0B x x x =-<，则A B =（ ） A ．(1,0)- B ．(0,1)C ．(1,3)-D ．(1,3)2.若复数11iz ai+=+为纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．1B ．0C ．12-D ．1-3.中国有个名句“运城帷幄之中，决胜千里之外．”其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹．古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式（如图所示）表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位数用横式表示，以此类推，例如3266用算筹表示就是≡||⊥T ，则8771用算筹可表示为（ ）4.如图所示的程序框图是为了求出满足2228n n ->的最小偶数n ，那么在空白框中填入及最后输出的n 值分别是（ ）A ．1n n =+和6B ．2n n =+和6C ．1n n =+和8D ．2n n =+和85.函数2tan ()1xf x x x=++的部分图象大致为（ ）6.某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），其俯视图为等边三角形，则该几何体的体积（单位：3cm ）是（ ）A ．BC ．D 7.6本不同的书在书架上摆成一排，要求甲、乙两本书必须摆放在两端，丙、丁两本书必须相邻，则不同的摆放方法有（ ）种 A ．24B ．36C ．48D ．608.ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2c o s c o s c o s b B a C c A =+，2b =，ABC ∆面积的最大值是（ ）A ．1BC ．2D ．49.已知边长为2的等边三角形ABC ，D 为BC 的中点，以AD 为折痕，将ABC ∆折成直二面角B AD C --，则过A ，B ，C ，D 四点的球的表面积为（ ） A ．3πB ．4πC ．5πD ．6π10.将函数()sin(2)3f x x π=+的图象向右平移a 个单位得到函数()cos(2)4g x x π=+的图象，则a 的值可以为（ ） A ．512πB ．712π C ．924π1 D ．4124π11.已知焦点在x 轴上的双曲线222211x y m m -=-的左右两个焦点分别为1F 和2F ，其右支上存在一点P 满足12PF PF ⊥，且12PF F ∆的面积为3，则该双曲线的离心率为（ ）A B C ．2 D ．312.若直线10kx y k --+=（k R ∈）和曲线:E 3253y ax bx =++（0ab ≠）的图象交于11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y （123x x x <<）三点时，曲线E 在点A ，点C 处的切线总是平行，则过点(,)b a 可作曲线E 的（ ）条切线 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.在ABC △中，2AB =，AC =23ABC π=∠，则BC =______________. 14.若,x y 满足约束条件10040x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则1y x +的最大值为______________.15.甲、乙、丙三位教师分别在哈尔滨、长春、沈阳的三所中学里教不同的学科A 、B 、C ，已知：①甲不在哈尔滨工作，乙不在长春工作；②在哈尔滨工作的教师不教C 学科； ③在长春工作的教师教A 学科；④乙不教B 学科. 可以判断乙教的学科是______________.16.已知函数()21ln 2f x x x x =+，0x 是函数()f x 的极值点，给出以下几个命题： ①010x e <<；②01x e>；③()000f x x +<；④()000f x x +>； 其中正确的命题是______________.(填出所有正确命题的序号)三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知正项数列{}n a 满足：2423n nn S a a =+-，其中n S 为数列{}n a 的前n 项和. (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设211n n b a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T . 18.某商场按月订购一种家用电暖气，每销售一台获利润200元，未销售的产品返回厂家，每台亏损50元，根据往年的经验，每天的需求量与当天的最低气温有关，如果最低气温位于区间[]20,10--，需求量为100台；最低气温位于区间[)25,20--，需求量为200台；最低气温位于区间[)35,25--，需求量为300台。
2019届吉林省高三三校联考理科数学试卷【含答案及解析】
D． 3
7. A．
的展开式中含
项的系数为 （
）
______________ B ． ______________ C ．
______________ D ．
8. 若如图所示的程序框图输出的
是
，则条件 ① 可为（
）
A．
___________________________________ B ．
C．
22. 设函数 （ Ⅰ ）当 （ Ⅱ ）若
（
）．
时，求函数
的单调区间；
在
内有极值点，当
，
．（
）
，求证：
23. 选修 4—— 1 几何证明选讲
如图，
是圆
外一点，
是圆
交于 ， ，
，
为
中点，
的延长线交圆
的切线，
为切点，割线
于点
，证明：
与圆
（ Ⅰ）
；
（ Ⅱ）
．
24. 选修 4—— 4 坐标系与参数方程
在直角坐标系中，曲线
（其中
为函数 在 定义域 上的积分下限和上限 ）； ⑤
④ 为
函数
图象上任意不同两点，则
描述的序号 为（
）
A ． ①②⑤ ______________ B ．
___________ D ． ②④
． 则 关于函数 ①③⑤ ______________ C ．
性质正确 ②③④
二、填空题
13. 向量
，
．
_________________________________ D ．
5. 如图 为某 几何体的三视图，则该几何体的表面积为 （
）
A． C．
吉林省2018-2019学年高三毕业第三次调研数学试卷(理)
吉林省2018-2019学年高三毕业第三次调研数学试卷(理)一选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1. 已知集合{|A y y x ==，{3,1,2,4}B =--，则A B 中元素的个数为A. 1B. 2C. 3D. 42. 已知复数z 满足 512z i=-，则z z ⋅=A. 2 3 D. 5 3. 设a b ∈R ,，则“22log log a b >”是“21a b ->”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知2=|a |=|b |，2⋅-=-（）a b a ，则|2|-=a bA. 2B.C. 4D. 85. 执行如图所示的程序框图，若输出k 的值为8，则判断框内可填入的条件是A. 34s ≤B. 56s ≤C. 1112s ≤D. 2524s ≤ 6. 祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两个同高的几何体，如在等高处截面的面积恒相等，则体积相等.已知某不规则几何体与如图所示的几何体满足“幂势同”，则该不规则几何体的体积为A. 42π-B. 483π-C. 8π-D. 82π-7. 函数()s i n()(000)2f x A x A πωϕωϕ=+>><<,,的部分图象如图所示，则2()9f π=B. 1D. 28. 已知实数x y ,满足202204100x y x y x y -+⎧⎪++⎨⎪--⎩≥≥≤， +()z kx y k =∈R 仅在(4,6)处取得最大值，则k 的取值范围是 A. 1k >B. 1k >-C. 12k <-D. 4k <-9. 如图，从高为h 的气球()A 上测量待建规划铁桥()BC 的长，如果测得桥头()B 的俯角是α，桥头()C 的俯角是β，则桥BC 的长为A. sin()sin sin h αβαβ-B. cos()sin sin h αβαβ-C. sin()cos cos h αβαβ-D. cos()cos cos h αβαβ-10. M 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>右支上一点，A 、F 分别为双曲线的左顶点和右焦点，且MAF ∆为等边三角形，则双曲线C 的离心率为A. 1B. 2C. 4D. 611. 棱长为1的正四面体ABCD 中，E 为棱AB 上一点（不含,A B 两点），点E 到平面ACD 和平面BCD 的距离分别为a b ,，则(1)()ab a b ab++的最小值为A. 2B.C.12. 已知()f x '是定义在R 上的函数()f x 的导数，满足()2()0f x f x '+>，且(1)0f -=，则()0f x <的解集为A. (,1)-∞-B. (1,1)-C. (,0)-∞D. (1,)-+∞二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.11e x dx x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭⎰ .14. 将1,2,3,4…正整数按如图所示的方式排成三角形数组，则第10行左数第10个数为 .15. 某班主任准备请2016年毕业生作报告，要从甲、乙等8人中选4人发言，要求甲、乙两人至少一人参加，若甲、乙同时参加，则他们发言中间恰好间隔一人，那么不同的发言顺序共有 （种）.（用数字作答）16.已知四棱锥P ABCD -的底面为矩形，平面PBC ⊥平面ABCD ，PE BC ⊥于点E ，1,3,2EC AB BC PE ====，则四棱锥P A B C D -的外接球半径为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.（本题满分12分）已知数列{}n a 满足()113,31.2n n a a a n N *+==-∈（1）若数列{}n b 满足12n n b a =-，求证：{}n b 是等比数列；（2）若数列{}n c 满足312log ,n n n n c a T c c c ==+++，求证：()1.2n n n T ->18.（本题满分12分） 为了打好脱贫攻坚战，某贫困县农科院针对玉米种植情况进行调研，力争有效的改良玉米品种，为农民提供技术支.现对已选出的一组玉米的茎高进行统计，获得茎叶图如右图（单位：厘米），设茎高大于或等于180厘米的玉米为高茎玉米，否则为矮茎玉米.（1）完成22⨯列联表，并判断是否可以在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为抗倒伏与玉米矮茎有关？（2）①按照分层抽样的方式，在上述样本中，从易倒伏和抗倒伏两组中抽取9株玉米，设取出的易倒伏矮茎玉米株数为X ，求X 的分布列（概率用组合数算式表示）；②若将频率视为概率，从抗倒伏的玉米试验田中再随机抽取出50株，求取出的高茎玉米株数的数学期望和方差.19.（本题满分12分）已知三棱锥A BCD -中，ABC ∆是等腰直角三角形，且,2,AC BC BC AD ⊥=⊥平面, 1.BCD AD =（1）求证：平面ABC ⊥平面ACD ；（2）若E 为AB 的中点，求二面角A CE D --的余弦值.20.（本题满分12分）已知抛物线()2:20C y px p =>与直线40x +=相切.（1）求该抛物线的方程；（2）在x 轴的正半轴上，是否存在某个确定的点M,过该点的动直线l 与抛物线C 交于A,B 两点，使得2211AMBM+为定值.如果存在，求出点M 的坐标；如果不存在，请说明理由.21.（本题满分12分）已知函数()()211ln ,.2f x x a x a x a R =+--∈（1）若()f x 存在极值点1，求a 的值；（2）若()f x 存在两个不同的零点12,x x ，求证：12 2.x x +>请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按照所做的第一题计分. 22.（本题满分10分）选修4-4：极坐标与参数方程在平面直角坐标系xoy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.曲线1C 的极坐标方程为()223sin 12ρθ+=，曲线2C 的参数方程为1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数）,0,.2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭（1）求曲线1C 的直角坐标方程，并判断该曲线是什么曲线；（2）设曲线2C 与曲线1C 的交点为A,B ，()1,0P ,当72PA PB +=时，求cos α的值.23.（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲（1）如果关于x 的不等式15x x m ++-≤的解集不是空集，求实数m 的取值范围；（2）若,a b 均为正数，求证：a b b a a b a b ≥.吉林省2018-2019学年高三毕业第三次调研数学试卷(理)参考答案及评分标准一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. B2. D3. A4. B5. C6. C7. B8. B9. A 10. C 11. D 12. A 简答与提示：1. 【试题解析】B 由题意可知{|0}A y y =≥，所以{2,4}A B =. 故选B.2. 【试题解析】D 复数i z i iz 2121215-=+=-=，,则5=⋅z z . 故选D. 3. 【试题解析】A “b a 22log log >”等价于“0>>b a ”，“12>-b a ”等价于“b a >”，故选A. 4. 【试题解析】B 由2,()2a b a b a ==⋅-=-可知2a b ⋅=，则2224423a b a a b b -=-⋅+=. 故选B.5. 【试题解析】C 由程序框图可知，要输出8=k ，需1211614121=++=s 时条件成立，当242581614121=+++=s 时条件不成立，从而1211≤s . 故选C.6. 【试题解析】C 由祖暅原理可知，该不规则几何体的体积与已知三视图几何体体积相等，图示几何体是一个正方体去掉一个半圆柱，从而其体积为8π-. 故选C.7. 【试题解析】B 由题意可知3,,26A πωϕ===，进而()2sin 36f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，从而2()19f π=. 故选B.8. 【试题解析】B 可行域如图所示，目标函数可化为y kx z =-+，若目标函数仅在9. ABD 中，sin hAB α=，在ABC ∆中，sin()sin()sin sin sin AB BC h αβαββαβ-=-=⋅. 故选A. 10. 【试题解析】C 由题意可知，设双曲线左焦点为F '，由MAF ∆为等边三角形，所以||||MF AF a c ==+，从而||3MF a c '=+，在MFF '∆中，由余弦定理得，222(3)()42()a c a c c c a c +=++-⋅+，解得4e =或1e =-(舍).故选C.11. 【试题解析】D 连结,CE DE ，由正四面体棱长为1，有OA =，由于A BCD E BCD E ACD V V V ---=+，a b =+，由a b +≥可得2146()ab a b ≥=+，所以(1)()1)33ab a b abab++=+≥. 故选D.12. 【试题解析】A 由0)(2)(>+'x f x f 可知0)()()(22>'+'x f e x f e x x ，即)()(2x f e x g x =在R 上单调递增，由0)1(=-f 得0)1(=-g ，则当0)(<x f 时，()1-∞-∈，x . 故选A.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 212+e14. 91 15. 1080 16. 2简答与提示：1. 【命题意图】本题考查定积分的求解.【试题解析】22211111()(ln )12222++=+=+-=⎰eex e e x dx x x .2. 【命题意图】本题考查考生有关数列归纳的相关能力.【试题解析】由三角形数组可推断出，第n 行共有21n -项，且最后一项为2n ，所以第10行共19项，最后一项为100，左数第10个数是91. 3. 【命题意图】本题考查排列组合综合问题.【试题解析】若甲乙同时参加，有2226222120=C A A 种，若甲乙有一人参与，有134264960=C C A 种，从而总共的发言顺序有1080种.4. 【命题意图】本题考查四棱锥的外接球问题.【试题解析】如图，由已知，设三角形PBC 外接圆圆心为1O ，由正弦定理可求出三角形PBCF 为BC 边中点，进而求出112=O F ，设四棱锥的外接球球心为O ，外接球半径的平方为221()42+=BD O F ，所以四棱锥外接球半径为2.三、解答题17. (本小题满分12分)【命题意图】本题考查等比数列及利用不等式性质证明与数列前n 项和有关的不等式.【试题解析】(1) 由题可知*1113()()22N +-=-∈n n a a n ，从而有13+=n n b b ，11112=-=b a ，所以{}n b 是以1为首项，3为公比的等比数列.（6分）(2) 由(1)知13-=n n b ，从而1132-=+n n a ，11331log (3)log 312--=+>=-n n n c n ，有12(1)01212-=+++>+++-=n n n n T c c c n ，所以(1)2->n n n T . （12分）18. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查学生对概率统计知识的理解，以及统计案例的相关知识，同时考查学生的数据处理能力.【试题解析】解：(1) 根据统计数据做出22⨯列联表如下：经计算7.287 6.635k ≈>，因此可以在犯错误概率不超过1%的前提下，认为抗倒伏与玉米矮茎有关.（4分）(2) (i) 按照分层抽样的方式抽到的易倒伏玉米共4株，则X 的可能取值为0,1,2,3,4.416420(0)C P X C ==，13416420(1)C C P X C ⋅==，22416420(2)C C P X C ⋅==， 31416420(3)C C P X C ==，44420(4)C P X C ==即X 的分布列为：(ii) 在抗倒伏的玉米样本中，高茎玉米有10株，占5，即每次取出高茎玉米的概率均为25，设取出高茎玉米的株数为ξ，则2(50,)5B ξ，即250205E np ξ==⨯=，23(1)501255D np p ξ=-=⨯⨯=. （12分）19. (本小题满分12分)【命题意图】本题以三棱锥为载体，考查平面与平面垂直，求二面角问题等.本题考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.【试题解析】（1）证明：因为AD ⊥平面,BCD ⊂BC 平面BCD ，所以⊥AD BC ，又因为,⊥=AC BC ACAD A ，所以⊥BC 平面,ACD ⊂BC 平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面ACD . （6分）（2）由已知可得=CD如图所示建立空间直角坐标系，由已知(0,0,0)C ，(0,2,0)B ，A ，D ，1)2E .有31()2=CE ，(3,0,1)=CA，(3,0,0)=CD ，设平面ACE 的法向量(,,=n x y z ，有00,1002⎧+=⎧⋅=⎪⎨⋅=++=⎪⎩z n CA n CE x y z ，令1=x ，得(1,0,=n ， 设平面CED 的法向量(,,)=m x y z ，有00,1002⎧=⎧⋅=⎪⎨⋅=++=⎪⎩m CD m CE x y z ，令1=y ，得(0,1,2)m =-，二面角--A CE D 的余弦值||23cos 5||||25n m n m θ⋅===⋅.（12分）20. (本小题满分12分)【命题意图】本小题考查直线与抛物线的位置关系及标准方程，考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力.【试题解析】(1)联立方程有，2402⎧+=⎪⎨=⎪⎩x y px，有280-+=y y p ，由于直线与抛物线相切，得28320,4∆=-==p p p ，所以28=y x .（4分）(2) 假设存在满足条件的点(,0)(0)>M m m ，直线:=+l x ty m ，有28=+⎧⎨=⎩x ty my x ，2880--=y ty m ，设112(,),(,)A x y B x y ，有12128,8+==-y y t y y m，22222111||()(1)AM x m y t y =-+=+，22222222||()(1)BM x m y t y =-+=+，222122222222222212121111114()()||||(1)(1)(1)(1)4y y t mAM BM t y t y t y y t m +++=+==++++，当4=m 时，2211||||AM BM +为定值，所以(4,0)M . （12分）21. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查函数与导数的知识，具体涉及到导数的运算，用导数来研究函数的单调性等，考查学生解决问题的综合能力.【试题解析】(1) ()1'=+--af x x a x，因为()f x 存在极值点为1，所以(1)0'=f ，即220,1-==a a ，经检验符合题意，所以1=a .（4分）(2) ()1(1)(1)(0)'=+--=+->a af x x a x x x x①当0≤a 时，()0'>f x 恒成立，所以()f x 在(0,)+∞上为增函数，不符合题意；②当0>a 时，由()0'=f x 得=x a ， 当>x a 时，()0'>f x ，所以()f x 为增函数，当0<<x a 时，()0'<f x ，所()f x 为减函数，所以当=x a 时，()f x 取得极小值()f a又因为()f x 存在两个不同零点12,x x ，所以()0<f a ，即21(1)l n 02+--<a a a a a 整理得1ln 12>-a a ， 作()=y f x 关于直线=x a 的对称曲线()(2)=-g x f a x ， 令2()()()(2)()22ln -=-=--=--a x h x g x f x f a x f x a x a x 222222()220(2)()a a h x a x x x a a '=-+=-+≥---+ 所以()h x 在(0,2)a 上单调递增，不妨设12<<x a x ，则2()()0h x h a >=，即2221()(2)()()=->=g x f a x f x f x ，又因为212(0,),(0,),-∈∈a x a x a 且()f x 在(0,)a 上为减函数，故212-<a x x ，即122+>x x a ，又1ln 12>-a a ，易知1>a 成立， 故122+>x x . （12分）22. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化、把曲线的参数方程和曲线的极坐标方程联立求交点等内容. 本小题考查考生的方程思想与数形结合思想，对运算求解能力有一定要求.【试题解析】 (1) 由22(3sin )12ρθ+=得22143+=x y ，该曲线为椭圆. （5分）（2）将1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩代入22143+=x y 得22(4cos )6cos 90t t αα-+-=，由直线参数方程的几何意义，设12||||,||||==PA t PB t ，1226cos ,4cos t t αα-+=- 12294cos t t α-=-，所以122127||||||4cos 2PA PB t t α+=-==-，从而24cos 7α=，由于(0,)2πα∈，所以cos α=. （10分） 23. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式解法及不等式证明等内容. 本小题重点考查考生的化归与转化思想.【试题解析】 (1) 令24,1|1||5|6,1524,5-+≤-⎧⎪=++-=-<<⎨⎪-≥⎩x x y x x x x x ，可知|1||5|6++-≥x x ，故要使不等式|1||5|++-≤x x m 的解集不是空集，有6≥m . （5分）（2）由,a b 均为正数，则要证≥a b b a a b a b ，只需证1--≥a b b a a b ，整理得()1-≥a b a b，由于当≥a b 时，0-≥a b ，可得()1-≥a b a b ，当<a b 时，0-<a b ，可得()1->a b a b，可知,a b 均为正数时()1-≥a b a b，当且仅当=a b 时等号成立，从而≥a b b a a b a b 成立. （10分）。
2019届 吉林省普通高中 高三第三次联合模拟数学(理)试题(解析版)
2019届吉林省普通高中高三第三次联合模拟数学（理）试题一、单选题1．已知集合{2,0,1,3}A =-，{B x x =<<，则集合A B I 子集的个数为（ ） A ．4 B ．8C ．16D ．32【答案】B【解析】首先求出A B I ，再根据含有n 个元素的集合有2n 个子集，计算可得. 【详解】解：{2,0,1,3}A =-Q ，{B x x =<，{2,0,1}A B ∴=-I ，A B ∴I 子集的个数为328=.故选：B . 【点睛】考查列举法、描述法的定义，以及交集的运算，集合子集个数的计算公式，属于基础题． 2．已知m ∈R ，复数113z i =+，22z m i =+，且12z z ⋅为实数，则m =（ ） A ．23-B ．23C ．3D ．-3【答案】B【解析】把22z m i =-和 113z i =+代入12z z ⋅再由复数代数形式的乘法运算化简，利用虚部为0求得m 值． 【详解】因为()()()()12132632z z i m i m m i ⋅=+-=++-为实数，所以320m -=，解得23m =. 【点睛】本题考查复数的概念，考查运算求解能力.3．新闻出版业不断推进供给侧结构性改革，深入推动优化升级和融合发展，持续提高优质出口产品供给，实现了行业的良性发展.下面是2012年至2016年我国新闻出版业和数字出版业营收增长情况，则下列说法错误的是（ ）A ．2012年至2016年我国新闻出版业和数字出版业营收均逐年增加B ．2016年我国数字出版业营收超过2012年我国数字出版业营收的2倍C ．2016年我国新闻出版业营收超过2012年我国新闻出版业营收的1.5倍D ．2016年我国数字出版营收占新闻出版营收的比例未超过三分之一 【答案】C【解析】通过图表所给数据，逐个选项验证. 【详解】根据图示数据可知选项A 正确；对于选项B ：1935.5238715720.9⨯=<，正确；对于选项C ：16635.31.523595.8⨯>，故C 不正确；对于选项D ：123595.878655720.93⨯≈>，正确.选C.【点睛】本题主要考查柱状图是识别和数据分析，题目较为简单.4．已知等差数列{}n a 的前13项和为52，则68(2)a a +-=（ ） A ．256 B ．-256 C ．32 D ．-32【答案】A【解析】利用等差数列的求和公式及等差数列的性质可以求得结果. 【详解】由1371352S a ==，74a =，得()()68822256a a +-=-=.选A.【点睛】本题主要考查等差数列的求和公式及等差数列的性质，等差数列的等和性应用能快速求得结果.5．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右两个焦点分别为1F ，2F ，若存在点P 满足1212::4:6:5PF PF F F =，则该双曲线的离心率为（ ）A ．2B ．52C ．53D ．5【答案】B【解析】利用双曲线的定义和条件中的比例关系可求. 【详解】122155642F F e PF PF ===--.选B. 【点睛】本题主要考查双曲线的定义及离心率，离心率求解时，一般是把已知条件，转化为a,b,c 的关系式.6．函数4ln x y x=的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】根据函数奇偶性排除B ，C ；根据函数零点选A. 【详解】因为函数4ln x y x =为奇函数，排除B ，C ；又函数4ln x y x=的零点为1-和1，故选:A. 【点睛】本题考查函数奇偶性与函数零点，考查基本分析判断能力，属基础题.7．在菱形ABCD 中，4AC =，2BD =，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，则DE DF ⋅=u u u r u u u r（ ） A ．134-B ．54C ．5D ．154【答案】B【解析】据题意以菱形对角线交点O 为坐标原点建立平面直角坐标系，用坐标表示出,DE DF u u u r u u u r，再根据坐标形式下向量的数量积运算计算出结果.【详解】设AC 与BD 交于点O ，以O 为原点，BD u u u r的方向为x 轴，CA u u u r 的方向为y 轴，建立直角坐标系，则1,12E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,12F ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，(1,0)D ，3,12DE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r ，3,12DF ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭u u u r ，所以95144DE DF ⋅=-=u u u r u u u r .故选：B. 【点睛】本题考查建立平面直角坐标系解决向量的数量积问题，难度一般.长方形、正方形、菱形中的向量数量积问题，如果直接计算较麻烦可考虑用建系的方法求解. 8．已知函数()cos(2)(0)f x A x ϕϕ=+>的图像向右平移8π个单位长度后，得到的图像关于y 轴对称，(0)1f =，当ϕ取得最小值时，函数()f x 的解析式为（ ） A ．()2)4f x x π=+B ．()cos(2)4f x x π=+ C ．()2)4f x x π=-D ．()cos(2)4f x x π=-【答案】A【解析】先求出平移后的函数解析式，结合图像的对称性和()01f =得到A 和ϕ. 【详解】因为()cos 2cos 284f x A x A x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦关于y 轴对称，所以()4k k Z πϕπ-+=∈，所以4k πϕπ=+，ϕ的最小值是4π.()0cos 14f A π==，则2A =，所以()2cos 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.【点睛】本题主要考查三角函数的图像变换及性质.平移图像时需注意x 的系数和平移量之间的关系.9．若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．240B ．264C ．274D ．282【答案】B【解析】将三视图还原成几何体，然后分别求出各个面的面积，得到答案. 【详解】由三视图可得，该几何体的直观图如图所示， 延长BE 交DF 于A 点，其中16AB AD DD ===，3AE =，4AF =， 所以表面积()3436536246302642S ⨯=⨯+⨯+⨯+⨯+=. 故选B 项.【点睛】本题考查三视图还原几何体，求组合体的表面积，属于中档题10．已知数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是公比为13的等比数列，且10a >，若数列{}n a 是递增数列，则1a 的取值范围为（ ） A ．(1,2) B ．(0,3)C ．(0,2)D ．(0,1)【答案】D【解析】先根据已知条件求解出{}n a 的通项公式，然后根据{}n a 的单调性以及10a >得到1a 满足的不等关系，由此求解出1a 的取值范围. 【详解】由已知得11111113n n a a -⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则11111113n n a a -=⎛⎫⎛⎫-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.因为10a >，数列{}n a 是单调递增数列，所以10n n a a +>>，则111111111111133n n a a ->⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 化简得111110113a a ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭，所以101a <<. 故选：D. 【点睛】本题考查数列通项公式求解以及根据数列单调性求解参数范围，难度一般.已知数列单调性，可根据1,n n a a +之间的大小关系分析问题.11．已知抛物线C ：24x y =的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，其中点A 在第一象限，若弦AB 的长为254，则AF BF =（ ） A ．2或12B ．3或13C ．4或14D ．5或15【答案】C【解析】先根据弦长求出直线的斜率，再利用抛物线定义可求出,AF BF . 【详解】设直线的倾斜角为θ，则222425cos cos 4p AB θθ===， 所以216cos 25θ=，2219tan 1cos 16θθ=-=，即3tan 4θ=±，所以直线l 的方程为314y x =±+.当直线l 的方程为314y x =+， 联立24314x yy x ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，解得11x =-和24x =，所以()40401AF BF -==--； 同理，当直线l 的方程为314y x =-+.14AF BF =，综上，4AF BF =或14.选C. 【点睛】本题主要考查直线和抛物线的位置关系，弦长问题一般是利用弦长公式来处理.出现了到焦点的距离时，一般考虑抛物线的定义.12．已知函数2()35f x x x =-+，()ln g x ax x =-，若对(0,)x e ∀∈，12,(0,)x x e ∃∈且12x x ≠，使得()()(1,2)i f x g x i ==，则实数a 的取值范围是（ ）A ．16,e e ⎛⎫⎪⎝⎭B ．741,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．74160,,e e e ⎡⎫⎛⎤⎪⎢ ⎥⎝⎦⎣⎭U D ．746,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D【解析】先求出()f x 的值域，再利用导数讨论函数()g x 在区间()0,e 上的单调性，结合函数值域，由方程有两个根求参数范围即可. 【详解】因为()g x ax lnx =-，故()1ax g x x='-， 当0a ≤时，()0g x '<，故()g x 在区间()0,e 上单调递减； 当1a e≥时，()0g x '>，故()g x 在区间()0,e 上单调递增； 当10,a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，令()0g x '=，解得1x a =，故()g x 在区间10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在区间1,e a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增. 又()11,1a g lna g e a e ⎛⎫=+=-⎪⎝⎭，且当x 趋近于零时，()g x 趋近于正无穷； 对函数()f x ，当()0,x e ∈时，()11,54f x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭； 根据题意，对(0,)x e ∀∈，12,(0,)x x e ∃∈且12x x ≠，使得()()(1,2)i f x g x i ==成立，只需()111,54g g e a ⎛⎫<≥ ⎪⎝⎭， 即可得111,154alna e+<-≥， 解得746,a e e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.故选：D. 【点睛】本题考查利用导数研究由方程根的个数求参数范围的问题，涉及利用导数研究函数单调性以及函数值域的问题，属综合困难题.二、填空题13．在区间[6,2]-内任意取一个数0x ，则0x 恰好为非负数的概率是________. 【答案】14【解析】先分析非负数对应的区间长度，然后根据几何概型中的长度模型，即可求解出“0x 恰好为非负数”的概率. 【详解】当0x 是非负数时，[]00,2x ∈，区间长度是202-=， 又因为[]6,2-对应的区间长度是()268--=， 所以“0x 恰好为非负数”的概率是2184P ==. 故答案为：14. 【点睛】本题考查几何概型中的长度模型，难度较易.解答问题的关键是能判断出目标事件对应的区间长度.14．已知实数x ，y 满足430260y x x y x y ≤⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩，则目标函数21z x y =+-的最小值为__________． 【答案】-4【解析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z 的最大值． 【详解】作出实数x ，y 满足430260y x x y x y ≤⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩，，，对应的平面区域如图阴影所示；由z ＝x +2y ﹣1，得y 12=-x 122z++， 平移直线y 12=-x 122z ++，由图象可知当直线y 12=-x 122z ++经过点A 时，直线y 12=-x 122z ++的纵截距最小，此时z 最小．由430y xx y =⎧⎨--=⎩，得A （﹣1，﹣1），此时z 的最小值为z ＝﹣1﹣2﹣1＝﹣4， 故答案为﹣4．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法，是基础题15．某高校开展安全教育活动，安排6名老师到4个班进行讲解，要求1班和2班各安排一名老师，其余两个班各安排两名老师，其中刘老师和王老师不在一起，则不同的安排方案有________种. 【答案】156【解析】先考虑每班安排的老师人数，然后计算出对应的方案数，再考虑刘老师和王老师在同一班级的方案数，两者作差即可得到不同安排的方案数. 【详解】安排6名老师到4个班则每班老师人数为1，1，2，2，共有11226542180C C C C =种，刘老师和王老师分配到一个班，共有11243224C C A =种，所以18024156-=种. 故答案为：156. 【点睛】本题考查排列组合的综合应用，难度一般.对于分组的问题，首先确定每组的数量，对于其中特殊元素，可通过 “正难则反”的思想进行分析.16．在四面体ABCD 中，ABD ∆与BDC ∆都是边长为2的等边三角形，且平面ABD ⊥平面BDC ，则该四面体外接球的体积为_______． 【答案】2015π 【解析】先确定球心的位置，结合勾股定理可求球的半径，进而可得球的面积. 【详解】取BDC ∆的外心为1O ，设O 为球心，连接1OO ，则1OO ⊥平面BDC ，取BD 的中点M ，连接AM ，1O M ，过O 做OG AM ⊥于点G ，易知四边形1OO MG 为矩形，连接OA ，OC ，设OA R =，1OO MG h ==.连接MC ，则1O ，M ，C 三点共线，易知3MA MC ==，所以13OG MO ==，123CO =.在Rt AGO ∆和1Rt OO C ∆中，222GA GO OA +=，22211O C O O OC +=，即()22233h R ⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭，22223h R ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭，所以33h =，253R =，得153R =.所以342015==327O V R ππ球.【点睛】本题主要考查几何体的外接球问题，外接球的半径的求解一般有两个思路：一是确定球心位置，利用勾股定理求解半径；二是利用熟悉的模型求解半径,比如长方体外接球半径是其对角线的一半.三、解答题17．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，且22sin ()3cos 0B C A +-=. （1）求角A 的大小； （2）若,4B a π==，求边长c .【答案】（1）3π； （2【解析】（1）把B C A π+=-代入已知条件，得到关于cos A 的方程，得到cos A 的值，从而得到A 的值.（2）由（1）中得到的A 的值和已知条件，求出sin C ，再根据正弦定理求出边长c . 【详解】（1）因为A B C π++=，()22sin3cos 0B C A +-=，所以22sin 3cos 0A A -=，()221cos 3cos 0A A --=， 所以22cos 3cos 20A A +-=，即()()2cos 1cos 20A A -+=. 因为()cos 1,1A ∈-，所以1cos 2A =， 因为()0,A π∈，所以3A π=.（2）()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+1222=+⨯=. 在ABC ∆中，由正弦定理得sin sin c aC A=，=，解得c =.【点睛】本题考查三角函数公式的运用，正弦定理解三角形，属于简单题.18．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，ABC V 是边长为2的等边三角形，1BC BB ⊥，1CC =1AC =（1）证明：平面ABC ⊥平面11BB C C ；（2）M ，N 分别是BC ，11B C 的中点，P 是线段1AC 上的动点，若二面角P MN C --的平面角的大小为30°，试确定点P 的位置.【答案】（1）证明见解析；（2）P 为线段1AC 上靠近1C 点的四等分点，且坐标为3323,,444P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【解析】（1）先通过线面垂直的判定定理证明1CC ⊥平面ABC ，再根据面面垂直的判定定理即可证明；（2）分析位置关系并建立空间直角坐标系，根据二面角P MN C --的余弦值与平面法向量夹角的余弦值之间的关系，即可计算出P 的坐标从而位置可确定. 【详解】（1）证明：因为2AC =，12CC =，16AC =，所以22211AC CC AC +=，即1AC CC ⊥.又因为1BC BB ⊥，11//BB CC ，所以1BC CC ⊥，AC BC C =I ，所以1CC ⊥平面ABC .因为1CC ⊂平面11BB C C ，所以平面ABC ⊥平面11BB C C .（2）解：连接AM ，因为2AB AC ==，M 是BC 的中点，所以AM BC ⊥. 由（1）知，平面ABC ⊥平面11BB C C ，所以AM ⊥平面11BB C C . 以M 为原点建立如图所示的空间直角坐标系M xyz -，则平面11BB C C 的一个法向量是(0,0,1)m =r，3)A ，2,0)N ，1(12,0)C -.设1(01)AP t AC t =<<u u u r u u u u r，(,,)P x y z ，(,,AP x y z =-u u u r，1(1AC =-u u u u r ，代入上式得x t =-，y =，)z t =-，所以()P t --.设平面MNP 的一个法向量为()111,,n x y z =r，MN =u u u u r，()MP t =-u u u r，由00n MN n MP ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u u v v u u u v v，得11110)0tx t z =-+-=⎪⎩.令1z t =，得,0,)n t =r.因为二面角P MN C --的平面角的大小为30︒，所以||||m n m n ⋅=u r ru r r=，解得3t 4=. 所以点P 为线段1AC 上靠近1C点的四等分点，且坐标为3,44P ⎛- ⎝⎭.【点睛】本题考查面面垂直的证明以及利用向量法求解二面角有关的问题，难度一般.（1）证明面面垂直，可通过先证明线面垂直，再证明面面垂直；（2）二面角的余弦值不一定等于平面法向量夹角的余弦值，要注意结合图形分析.19．一年之计在于春，一日之计在于晨，春天是播种的季节，是希望的开端．某种植户对一块地的*()n n N ∈个坑进行播种，每个坑播3粒种子，每粒种子发芽的概率均为12，且每粒种子是否发芽相互独立．对每一个坑而言，如果至少有两粒种子发芽，则不需要进行补播种，否则要补播种．（1）当n 取何值时，有3个坑要补播种的概率最大？最大概率为多少？ （2）当4n =时，用X 表示要补播种的坑的个数，求X 的分布列与数学期望． 【答案】（1）当5n =或6n =时，有3个坑要补播种的概率最大，最大概率为516； （2）见解析.【解析】（1）将有3个坑需要补种表示成n 的函数，考查函数随n 的变化情况，即可得到n 为何值时有3个坑要补播种的概率最大．（2）n ＝4时，X 的所有可能的取值为0，1，2，3，4．分别计算出每个变量对应的概率，列出分布列，求期望即可． 【详解】（1）对一个坑而言，要补播种的概率330133111222P C C ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 有3个坑要补播种的概率为312nnC ⎛⎫ ⎪⎝⎭.欲使312nn C ⎛⎫ ⎪⎝⎭最大，只需1331133111221122n n n n n n n n C C C C --++⎧⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪≥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩， 解得56n ≤≤，因为*n N ∈，所以5,6,n =当5n =时，53515216C ⎛⎫= ⎪⎝⎭； 当6n =时，63615216C ⎛⎫= ⎪⎝⎭； 所以当5n =或6n =时，有3个坑要补播种的概率最大，最大概率为516. （2）由已知，X 的可能取值为0，1，2，3，4.14,2X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭， 所以X 的分布列为X 的数学期望1422EX =⨯=. 【点睛】本题考查了古典概型的概率求法，离散型随机变量的概率分布，二项分布，主要考查简单的计算，属于中档题．20．已知△ABC 的两个顶点A ,B 的坐标分别为(,0),圆E 是△ABC 的内切圆,在边AC ,BC ,AB 上的切点分别为P ,Q ,R ,|CP |=2,动点C 的轨迹为曲线G . （1）求曲线G 的方程;（2）设直线l 与曲线G 交于M ,N 两点,点D 在曲线G 上,O 是坐标原点OM ON OD +=u u u u r u u u r u u u r,判断四边形OMDN 的面积是否为定值?若为定值,求出该定值;如果不是,请说明理由.【答案】（1）22142x y +=()0y ≠.（2）四边形OMDN 的面积是定值,.【解析】（1）根据三角形内切圆的性质证得4CA CB AB +=>，由此判断出C 点的轨迹为椭圆，并由此求得曲线G 的方程.（2）将直线l 的斜率分成不存在或存在两种情况，求出平行四边形OMDN 的面积，两种情况下四边形OMDN，由此证得四边形OMDN 的面积为定值. 【详解】（1）因为圆E 为△ABC 的内切圆,所以|CA |+|CB |=|CP |+|CQ |+|PA |+|QB |=2|CP |+|AR |+|BR |=2|CP |+|AB |=4>|AB |所以点C 的轨迹为以点A 和点B 为焦点的椭圆（点C 不在x 轴上）, 所以c =a =2,b =所以曲线G 的方程为22142x y +=()0y ≠,（2）因为OM ON OD +=u u u u r u u u r u u u r，故四边形OMDN 为平行四边形. 当直线l 的斜率不存在时，则四边形OMDN 为为菱形， 故直线MN 的方程为x =﹣1或x =1, 此时可求得四边形OMDN. 当直线l 的斜率存在时,设直线l 方程是y =kx +m ,代入到22142x y +=,得(1+2k 2)x 2+4kmx +2m 2﹣4=0,∴x 1+x 22412km k -=+,x 1x 2222412m k-=+,△=8(4k 2+2﹣m 2)>0, ∴y 1+y 2=k (x 1+x 2)+2m 2212m k =+,|MN|212k=+点O 到直线MN 的距离d =由OM ON OD +=u u u u r u u u r u u u r,得x D 2412kmk -=+,y D2212m k =+， ∵点D 在曲线C 上,所以将D 点坐标代入椭圆方程得1+2k 2=2m 2,由题意四边形OMDN为平行四边形, ∴OMDN的面积为S==,由1+2k2=2m2得S=故四边形OMDN的面积是定值,.【点睛】本小题主要考查用定义法求轨迹方程，考查椭圆中四边形面积的计算，考查椭圆中的定值问题，考查运算求解能力，属于中档题.21．已知函数()ln()(0)x af x e x a a-=-+>.（1）证明：函数()f x'在(0,)+∞上存在唯一的零点；（2）若函数()f x在区间(0,)+∞上的最小值为1，求a的值.【答案】（1）证明见解析；（2）12【解析】（1）求解出导函数，分析导函数的单调性，再结合零点的存在性定理说明()f x'在(0,)+∞上存在唯一的零点即可；（2）根据导函数零点x，判断出()f x的单调性，从而()minf x可确定，利用()min1f x=以及1lny xx=-的单调性，可确定出,x a之间的关系，从而a的值可求. 【详解】（1）证明：∵()ln()(0)x af x e x a a-=-+>，∴1()x af x ex a-'=-+.∵x ae-在区间(0,)+∞上单调递增，1x a+在区间(0,)+∞上单调递减，∴函数()f x'在(0,)+∞上单调递增.又1(0)aaaa ef ea ae--'=-=，令()(0)ag a a e a=->，()10ag a e'=-<，则()g a在(0,)+∞上单调递减，()(0)1g a g<=-，故(0)0f'<.令1m a=+，则1()(1)021f m f a ea''=+=->+所以函数()f x'在(0,)+∞上存在唯一的零点.（2）解：由（1）可知存在唯一的0(0,)x ∈+∞，使得()00010x af x ex a-'=-=+，即001x aex a-=+（）. 函数1()x af x ex a-'=-+在(0,)+∞上单调递增. ∴当()00,x x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减；当()0,x x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增.∴()()0min 00()ln x af x f x ex a -==-+.由（）式得()()min 0001()ln f x f x x a x a==-++. ∴()001ln 1x a x a-+=+，显然01x a +=是方程的解. 又∵1ln y x x =-是单调递减函数，方程()001ln 1x a x a -+=+有且仅有唯一的解01x a +=，把01x a =-代入（）式，得121a e -=，∴12a =，即所求实数a 的值为12. 【点睛】本题考查函数与导数的综合应用，其中涉及到判断函数在给定区间上的零点个数以及根据函数的最值求解参数，难度较难.（1）判断函数的零点个数时，可结合函数的单调性以及零点的存在性定理进行判断；（2）函数的“隐零点”问题，可通过“设而不求”的思想进行分析.22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos 2sin x t y t αα=⎧⎨=-+⎩（t 为参数，0απ≤<），点(0,2)M -.以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为4πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭. （1）求曲线2C 的直角坐标方程，并指出其形状； （2）曲线1C 与曲线2C 交于A ，B两点，若11||||4MA MB +=，求sin α的值.【答案】（1）22(2)(2)8x y -++=，以(2,2)-为圆心，（2）sin 4α=【解析】（1）根据极坐标与直角坐标的互化公式，直接得到2C 的直角坐标方程并判断形状；（2）联立直线参数方程与2C 的直角坐标方程，根据直线参数方程中t的几何意义结合11||||4MA MB +=求解出sin α的值. 【详解】解：（1）由4πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭，得4cos 4sin ρθθ=-，所以24cos 4sin ρρθρθ=-，即2244x y x y +=-，22(2)(2)8x y -++=. 所以曲线2C 是以(2,2)-为圆心，.（2）将cos 2sin x t y t αα=⎧⎨=-+⎩代入22(2)(2)8x y -++=，整理得24cos 40t t α--=.设点A ，B 所对应的参数分别为1t ，2t ， 则124cos t t α+=，124t t =-.12121211||||||||||||444t t t t MA MB MA MB MA MB t t +-++======， 解得21cos16α=，则sin α==. 【点睛】本题考查极坐标与直角坐标的互化以及根据直线参数方程中t 的几何意义求值，难度一般.（1）极坐标与直角坐标的互化公式：cos ,sin x y ραρθ==；（2）若要使用直线参数方程中t 的几何意义，要注意将直线的标准参数方程代入到对应曲线的直角坐标方程中，构成关于t 的一元二次方程并结合韦达定理形式进行分析求解. 23．已知函数()|||25|(0)f x x a x a =++->. （1）当2a =时，解不等式()5f x ≥；（2）当[,22]x a a ∈-时，不等式()|4|f x x ≤+恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）8{|2}3x x x ≤≥或； （2）13(2,]5. 【解析】（1）分类讨论去绝对值，得到每段的解集，然后取并集得到答案.（2）先得到a 的取值范围，判断x a +，4x +为正，去掉绝对值，转化为254x a -≤-在[],22x a a ∈-时恒成立,得到4a ≤，4254a x a -≤-≤-，在[],22x a a ∈-恒成立，从而得到a 的取值范围. 【详解】（1）当2a =时，()33,252257,22533,2x x f x x x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=++-=--≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩， 由()5f x ≥，得2335x x <-⎧⎨-≥⎩，即223x x <-⎧⎪⎨≤-⎪⎩，2x <-或52275x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪-≥⎩，即5222x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪≤⎩，22x -≤≤ 或52335x x ⎧>⎪⎨⎪-≥⎩，即5283x x ⎧>⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩，83x ≥ 综上：2x ≤或83x ≥， 所以不等式()5f x ≥的解集为8{|2}3x x x 或≤≥. （2）()4f x x ≤+，()254f x x a x x =++-≤+， 因为[],22x a a ∈-，22a a ->， 所以2a >，又[],22x a a ∈-，0x a +>，40x +>， 得254x a x x ++-≤+.不等式恒成立，即254x a -≤-在[],22x a a ∈-时恒成立， 不等式恒成立必须4a ≤，4254a x a -≤-≤-， 解得129a x a +≤≤-. 所以21449a a a a ≥+⎧⎨-≤-⎩，解得1315a ≤≤， 结合24a <≤， 所以1325a <≤， 即a 的取值范围为132,5⎛⎤⎥⎝⎦. 【点睛】本题考查分类讨论解绝对值不等式，含有绝对值的不等式的恒成立问题.属于中档题.。
【名校试题】吉林省吉林市2019届高三第三次调研测试数学(理)答案
结合列联表 K 2 100(35 25 15 25)2 4.17 6.635 5050 60 40
故没有 99％把握认为“中老年人”比“青少年人”更加关注此活动。------------------------------------------------ 12 分
19.解：
（2）把曲线
C1
的参数方程为
x
1
2 t
2 （ t 为参数），代入 y2 4x 得 t2 6
2t 6 0 ，
y
1
2t 2
---------------6 分
设 t1, t2 是 A, B 对应的参数，则 t1 t2 6 2 ，t1 t2 6
4
x2
8 t
x
0 ，解得
xA
0
，
x1
8t t2 4
，同理
xB
0，
x2
24t t2 36
---------6 分
S四边形ACBD
SACB
SADB
1 2
AB
x2
x1
32(t3 12t) = t4 40t2 144
32(t 12)
=
t
2
144 t2
AE ( 3 , 0, 1) ， AC ( 22
3, 2m, 0) ，设平面 AEC 的法向量 n2 (x2, y2, z2 ) ，
由
AE
n2
0
得
AC n2 0
3 2
2019届吉林省吉林市高三第三次调研测试 数学(理)(word版)后附详解
吉林市普通中学2018—2019学年度高中毕业班第三次调研测试理科数学本试卷共22小题，共150分，共6页，考试时间120分钟，考试结束后，将答题卡和试题卷一并交回。
注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码、姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2．选择题答案使用2B 铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效。
4. 作图可先用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5. 保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求。
1.已知集合{1,1},A =-2{|20,}B x x x x Z =+-<∈，则A B =A. {1}-B. {1,1}-C. {1,0,1}- D. {1,0,1,2}-2.欧拉公式cos sin ix e x i x =+（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”,4i i e π表示的复数位于复平面内A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 3. 已知角α的终边经过点(P -，则sin 2α的值为A.B. C. 12-D. 4.“,,,a b c d 成等差数列”是“a d b c +=+”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6.已知双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b -=>>的焦点F 到渐近线距离与顶点A 到渐近线距离之比为3:1，则双曲线C 的渐近线方程为侧视图A. y =±B.y =C. y x =D. y x = 7.已知AB 是圆22620x y x y +-+=内过点(2,1)E 的最短弦，则||AB 等于A.B. C.D. 8.执行如图所示的程序框图，则输出SA.213log 32+ B. 2log 3C. 2D. 3 9. 将函数sin(2)3y x π=+的图像向右平移14个周期后，所得图像对应的函数为()f x ， 则函数()f x 的单调递增区间为A. 7[,]()1212k k k Z ππππ++∈ B. [,]()63k k k Z ππππ-+∈ C.5[,]()1212k k k Z ππππ-+∈ D. [,]()36k k k Z ππππ-+∈ 10. 已知,αβ是[0,]π上的两个随机数，则满足1sin βα<的概率为A. 2πB. 22πC. 4π D. 24π11. 已知抛物线24y x =的焦点F ，点(4,3)A ，P 为抛物线上一点，且P 不在直线AF 上，则PAF ∆周长取最小值时，线段PF 的长为A. 1B. 134C.5 D. 214 12. 设函数()f x 在R 上存在导函数()f x '，对任意实数x ，都有()()2f x f x x =-+，当0x <时，()21f x x '<+，若(1)()22f a f a a -≤-+-，则实数a 的最小值为A. 1-B. 12-C.12 D. 1二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置． 13.52()x x -展开式中含x 项的系数为 . 14. 已知向量(,1),(1,1)a m b =-=，若||||||a b a b -=+，则实数m = .15.某煤气站对外输送煤气时，用1至5号五个阀门控制，且必须遵守以下操作规则：（ⅰ）若开启3号，则必须同时开启4号并且关闭2号；（ⅱ）若开启2号或4号，则关闭1号；（ⅲ）禁止同时关闭5号和1号.现要开启3号，则同时开启的另两个阀门是 .16.已知函数23,()63,x x a f x x x x a +>⎧=⎨++≤⎩，若函数()()2g x f x x =-恰有2个不同的零点，则实数a 的取值范围为 .三、解答题：共70分。
2019-2020学年吉林省吉林市高三下学期第三次调研数学试卷(理科) (解析版)
2019-2020学年吉林省吉林市高三第二学期第三次调研数学试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|y＝lg（1﹣x）}，则A∩B＝（）A．{2}B．{﹣1，0}C．{﹣1}D．{﹣1，0，1} 2．复数z满足z（1﹣i）＝1（其中i为虚数单位），则z＝（）A．B．C．D．3．已知向量，则向量在向量方向上的投影为（）A．B．C．﹣1D．14．已知m，n为两条不重合直线，α，β为两个不重合平面，下列条件中，α⊥β的充分条件是（）A．m∥n，m⊂α，n⊂βB．m∥n，m⊥α，n⊥βC．m⊥n，m∥α，n∥βD．m⊥n，m⊥α，n⊥β5．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．3C．D．6．函数的对称轴不可能为（）A．B．C．D．7．已知f（x）为定义在R上的奇函数，且满足f（x+4）＝f（x），当x∈（0，2）时，f（x）＝2x2，则f（3）＝（）A．﹣18B．18C．﹣2D．28．已知数列{a n}为各项均为正数的等比数列，若a6+a7+a8＝26，且a5•a9＝36，则＝（）A．B．或C．D．9．椭圆的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF2|＝2，则∠F1PF2的大小为（）A．150°B．135°C．120°D．90°10．已知，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．b＜c＜a11．赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，又称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的，如图（1）），类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图（2）所示的图形，它是由6个全等的三角形与中间的一个小正六边形组成的一个大正六边形，设A'F'＝2F'A，若在大正六边形中随机取一点，则此点取自小正六边形的概率为（）A．B．C．D．12．已知F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，点P是其一条渐近线上一点，且以F1F2为直径的圆经过点P，若△PF1F2的面积为，则双曲线的离心率为（）A．B．2C．D．3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13．二项式（2﹣x）5展开式中x3的系数是．14．已知两圆相交于两点A（a，3），B（﹣1，1），若两圆圆心都在直线x+y+b＝0上，则a+b的值是．15．若点P（cosα，sinα）在直线y＝2x上，则的值等于．16．已知数列{a n}的前n项和S n＝﹣+λa n且a1＝，设f（x）＝e x﹣e2﹣x+1，则f（log2a1）+f（log2a2）+…+f（log2a7）的值等于．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若．（1）求角B的大小；（2）若，D为△ABC外一点，DB＝2，CD＝1，求四边形ABDC面积的最大值．18．在全面抗击新冠肺炎疫情这一特殊时期，我市教育局提出“停课不停学”的口号，鼓励学生线上学习．某校数学教师为了调查高三学生数学成绩与线上学习时间之间的相关关系，对高三年级随机选取45名学生进行跟踪问卷，其中每周线上学习数学时间不少于5小时的有19人，余下的人中，在检测考试中数学平均成绩不足120分的占，统计成绩后得到如下2×2列联表：分数不少于120分分数不足120分合计线上学习时间不少于5小时419线上学习时间不足5小时合计45（1）请完成上面2×2列联表；并判断是否有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”；（2）（Ⅰ）按照分层抽样的方法，在上述样本中从分数不少于120分和分数不足120分的两组学生中抽取9名学生，设抽到不足120分且每周线上学习时间不足5小时的人数是X，求X的分布列（概率用组合数算式表示）；（Ⅱ）若将频率视为概率，从全校高三该次检测数学成绩不少于120分的学生中随机抽取20人，求这些人中每周线上学习时间不少于5小时的人数的期望和方差．（下面的临界值表供参考）P（K2≥k0）0.100.050.0250.0100.0050.001k0 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828（参考公式其中n＝a+b+c+d）19．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AD＝AB＝CD，∠DAB＝60°，点E，F分别为CD，AP的中点．（1）证明：PC∥面BEF；（2）若PA⊥PD，且PA＝PD，面PAD⊥面ABCD，求二面角F﹣BE﹣A的余弦值．20．已知倾斜角为的直线经过抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点F，与抛物线C相交于A、B两点，且|AB|＝8．（1）求抛物线C的方程；（2）设P为抛物线C上任意一点（异于顶点），过P做倾斜角互补的两条直线l1、l2，交抛物线C于另两点C、D，记抛物线C在点P的切线l的倾斜角为α，直线CD的倾斜角为β，求证：α与β互补．21．已知函数f（x）＝lnx﹣ax2+（a﹣b﹣1）x+b+1（a，b∈R）．（1）若a＝0，试讨论f（x）的单调性；（2）若0＜a＜2，b＝1，实数x1，x2为方程f（x）＝m﹣ax2的两不等实根，求证：．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以原点O 为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（1）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；（2）设A，B为曲线C1上位于第一，二象限的两个动点，且，射线OA，OB交曲线C2分别于D，C，求△AOB面积的最小值，并求此时四边形ABCD的面积．23．已知a，b，c均为正实数，函数的最小值为1．证明：（1）a2+b2+4c2≥9；（2）．参考答案一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求．1．已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|y＝lg（1﹣x）}，则A∩B＝（）A．{2}B．{﹣1，0}C．{﹣1}D．{﹣1，0，1}【分析】由集合A＝{﹣1，0，1，2}，求出B＝{x|x＜1}，由此能求出A∩B．解：∵集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|y＝lg（4﹣x）}＝{x|x＜1}，故选：B．2．复数z满足z（1﹣i）＝1（其中i为虚数单位），则z＝（）A．B．C．D．【分析】利用复数的运算法则即可得出．解：∵复数z满足z（1﹣i）＝1，∴z（1﹣i）（1+i）＝3+i，化为2z＝1+i，故选：B．3．已知向量，则向量在向量方向上的投影为（）A．B．C．﹣1D．1【分析】根据向量的坐标即可求出和的值，然后根据投影的计算公式即可求出投影的值．解：∵，，∴在方向上的投影为．故选：A．4．已知m，n为两条不重合直线，α，β为两个不重合平面，下列条件中，α⊥β的充分条件是（）A．m∥n，m⊂α，n⊂βB．m∥n，m⊥α，n⊥βC．m⊥n，m∥α，n∥βD．m⊥n，m⊥α，n⊥β【分析】α⊥β的充分条件，即能够推出α⊥β的条件，根据空间直线和平面的位置关系，对选项中的命题进行分析、判断正误即可．解：对于A，若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α与β相交或平行，故A错误；对于B，若m∥n，m⊥α，n⊥β，则α∥β，故B错误；对于D，若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β，故D正确．故选：D．5．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．3C．D．【分析】由三视图还原原几何体，该几何体为直三棱柱ABC﹣EFG截去一个三棱锥H ﹣EFC，直三棱柱的底面三角形ABC为等腰直角三角形，AB＝BC＝2，AB⊥BC，AE ＝2，由棱柱体积减去棱锥体积得答案．解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为直三棱柱ABC﹣EFG截去一个三棱锥H﹣EFC，AE＝2，故选：A．6．函数的对称轴不可能为（）A．B．C．D．【分析】根据余弦函数的对称性，求出函数的对称轴，结合条件进行判断即可．解：由2x+＝kπ，k∈Z，得x＝kπ﹣，即函数的对称轴为x＝kπ﹣，k∈Z，当k＝﹣1时，x＝﹣，故选：D．7．已知f（x）为定义在R上的奇函数，且满足f（x+4）＝f（x），当x∈（0，2）时，f（x）＝2x2，则f（3）＝（）A．﹣18B．18C．﹣2D．2【分析】根据题意，分析可得f（3）＝f（﹣1）＝﹣f（1），由函数的解析式计算可得答案．解：根据题意，f（x）满足f（x+4）＝f（x），令x＝﹣1可得，f（3）＝f（﹣1），f（x）为定义在R上的奇函数，则f（﹣6）＝﹣f（1），则f（3）＝﹣f（1）＝﹣2，故选：C．8．已知数列{a n}为各项均为正数的等比数列，若a6+a7+a8＝26，且a5•a9＝36，则＝（）A．B．或C．D．【分析】由题意利用比数列的性质求得a7、a6+a8、a6•a8的值，可得要求式子的值．解：数列{a n}为各项均为正数的等比数列，若a6+a7+a8＝26，且a3•a9＝＝36，∴a7＝6，a6+a8＝20，a6•a8＝＝36．故选：A．9．椭圆的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF2|＝2，则∠F1PF2的大小为（）A．150°B．135°C．120°D．90°【分析】由|PF1|+|PF2|＝6，且|PF1|＝4，易得|PF2|；通过求解△F1PF2，用余弦定理求解．解：∵|PF1|+|PF2|＝2a＝6，∴|PF2|＝6﹣|PF1|＝2．cos∠F4PF2＝＝﹣，故选：C．10．已知，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．b＜c＜a【分析】可以得出，，即得出0＜a＜1，b＞1，从而可得出a b＜a，这样即可得出a，b，c的大小关系．解：∵，，∴0＜a＜1，b＞1，∴c＜a＜b．故选：B．11．赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，又称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的，如图（1）），类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图（2）所示的图形，它是由6个全等的三角形与中间的一个小正六边形组成的一个大正六边形，设A'F'＝2F'A，若在大正六边形中随机取一点，则此点取自小正六边形的概率为（）A．B．C．D．【分析】设AF′＝a，则A′F′＝2a，小正六边形的边长为A′F′＝2a，利用余弦定理可得大正六边形的边长为，再利用面积之比可得结论．解：由题意，设AF′＝a，则A′F′＝2a，即小正六边形的边长为A′F′＝2a，在△AF′F中，即，所以，大正六边形的边长为，大正六边形的面积为，故选：D．12．已知F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，点P是其一条渐近线上一点，且以F1F2为直径的圆经过点P，若△PF1F2的面积为，则双曲线的离心率为（）A．B．2C．D．3【分析】不妨设点P在渐近线上，且P在第一象限，利用数据想的面积求解P的坐标，以F1F2为直径的圆经过点P，结合平面向量数量积的坐标运算和b2＝c2﹣a2，可以推出c2（c2﹣4a2）＝0，求解离心率即可．解：不妨设点P、Q在渐近线y＝x上，且P在第一象限，如图所示，∴，解得y P＝，∴点P（，），∴（+c，）•（﹣c，）＝6，化简整理得12a2b2﹣9c2+12b4＝0，∴12a2（c2﹣a2）﹣9c4+12（c2﹣a2）2＝4，即3c2（c2﹣4a7）＝0，∴c2＝4a2，故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13．二项式（2﹣x）5展开式中x3的系数是﹣40．【分析】根据二项式（2﹣x）5展开式的通项公式，求出x3的系数即可．解：∵二项式（2﹣x）5展开式的通项公式是T r+1＝•25﹣r•（﹣x）r，∴T7+1＝•22•（﹣x）3；故答案为：﹣40．14．已知两圆相交于两点A（a，3），B（﹣1，1），若两圆圆心都在直线x+y+b＝0上，则a+b的值是﹣1．【分析】根据题意，由圆与圆的位置关系可得线段AB的垂直平分线为x+y+b＝0，求出直线AB的斜率，分析可得a的值，求出AB的中点坐标，将其代入直线x+y+b＝0的方程，计算可得b的值，即可得答案．解：根据题意，两圆相交于两点A（a，3），B（﹣1，1），而两圆圆心都在直线x+y+b ＝0上，则线段AB的垂直平分线为x+y+b＝3，则k AB＝1，则A（1，3），B（﹣1，1），则AB的中点坐标为（0，4），则a+b＝1﹣2＝﹣1，故答案为：﹣815．若点P（cosα，sinα）在直线y＝2x上，则的值等于．【分析】根据点P在直线上，得到sinα和cosα之间的关系，利用同角三角函数基本关系式公式和诱导公式化简得出答案．解：∵点P（cosα，sinα）在直线y＝2x上，∴sinα＝2cosα，解得：cos2α＝；故答案为：﹣．16．已知数列{a n}的前n项和S n＝﹣+λa n且a1＝，设f（x）＝e x﹣e2﹣x+1，则f（log2a1）+f（log2a2）+…+f（log2a7）的值等于7．【分析】首先利用递推关系式的应用求出数列为等比数列，进一步求出数列的通项公式，再利用对数的运算和相消法的应用求出结果．解：数列{a n}的前n项和S n＝﹣+λa n且a1＝，当n＝1时，，解得λ＝2．当n≥2时，②，①﹣②得：a n＝2a n﹣7a n﹣1，整理得（常数），所以（首项符合通项），所以，故答案为：7三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若．（1）求角B的大小；（2）若，D为△ABC外一点，DB＝2，CD＝1，求四边形ABDC面积的最大值．【分析】（1）利用正弦定理将中的边化角，再结合A＝π﹣（B+C）与正弦的两角和公式可推出，从而求得tan B以及B的值．（2）在△BCD中，由余弦定理可得BC2＝5﹣4cos D，易知△ABC为等边三角形，从而求得S△ABC；由正弦面积公式知S△BDC＝BD•CD sin D，而S ABDC＝S△ABC+S△BDC，再结合辅助角公式和正弦函数的图象与性质即可得解．解：（1）由正弦定理得，＝，∵，∴，∵B∈（8，π），（2）在△BCD中，BD＝2，CD＝1，∵，，∴△ABC为等边三角形，又，故当D﹣＝，即时，四边形ABDC的面积取得最大值，为．18．在全面抗击新冠肺炎疫情这一特殊时期，我市教育局提出“停课不停学”的口号，鼓励学生线上学习．某校数学教师为了调查高三学生数学成绩与线上学习时间之间的相关关系，对高三年级随机选取45名学生进行跟踪问卷，其中每周线上学习数学时间不少于5小时的有19人，余下的人中，在检测考试中数学平均成绩不足120分的占，统计成绩后得到如下2×2列联表：分数不少于120分分数不足120分合计线上学习时间不少于5小时419线上学习时间不足5小时合计45（1）请完成上面2×2列联表；并判断是否有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”；（2）（Ⅰ）按照分层抽样的方法，在上述样本中从分数不少于120分和分数不足120分的两组学生中抽取9名学生，设抽到不足120分且每周线上学习时间不足5小时的人数是X，求X的分布列（概率用组合数算式表示）；（Ⅱ）若将频率视为概率，从全校高三该次检测数学成绩不少于120分的学生中随机抽取20人，求这些人中每周线上学习时间不少于5小时的人数的期望和方差．（下面的临界值表供参考）P（K2≥k0）0.100.050.0250.0100.0050.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828（参考公式其中n＝a+b+c+d）【分析】（1）根据已知条件补充完整2×2列联表，由K2的公式计算出观测值，并与临界值进行对比即可作出判断；（2）（I）由分层抽样的特点求出，需要从不足120分的学生中抽取4人，从而确定X 的可能取值为0，1，2，3，4，再结合超几何分布计算概率的方式逐一求出每个X的取值所对应的概率即可得分布列；（II）先利用古典概型求出从全校不少于120分的学生中随机抽取1人，此人每周上线时间不少于5小时的概率为0.6，再设从全校不少于120分的学生中随机抽取20人，这些人中每周线上学习时间不少于5小时的人数为Y，则Y～B（20，0.6），然后根据二项分布的性质即可求出数学期望和方差．解：（1）补充完整的2×2列联表如下，分数不少于120分分数不足120分合计线上学习时间不少于5小时15419线上学习时间不足5小时101626合计252045∴（2）（I）由分层抽样知，需要从不足120分的学生中抽取人，，，，，．X01234P（II）从全校不少于120分的学生中随机抽取1人，设从全校不少于120分的学生中随机抽取20人，这些人中每周线上学习时间不少于5小时的人数为Y，则Y～B（20，0.6），故E（Y）＝20×0.6＝12，D（Y）＝20×0.4×（1﹣0.6）＝4.8．19．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AD＝AB＝CD，∠DAB＝60°，点E，F分别为CD，AP的中点．（1）证明：PC∥面BEF；（2）若PA⊥PD，且PA＝PD，面PAD⊥面ABCD，求二面角F﹣BE﹣A的余弦值．【分析】（1）连接AC，交BE于H，连接FH，易证△ABH≌△CEH，故AH＝CH，即点H为AC的中点，从而得FH∥PC，再由线面平行的判定定理即可得证；（2）取AD的中点O，连PO，OB，则PO⊥AD，由面PAD⊥面ABCD，可推出PO⊥OB，由∠DAB＝60°和AD＝AB，可证得OB⊥AD，故以OA，OB，OP所在的直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，设AD＝2，依次写出A、B、D、P和F的坐标，由PO⊥面ABCD，知面ABE的一个法向量为，根据法向量的性质可求得面BEF的法向量，再由cos＜＞＝即可得解．解：（1）证明：连接AC，交BE于H，连接FH，∵点E为CD的中点，AB∥CD，∴△ABH≌△CEH，∴AH＝CH，即点H为AC的中点，∵FH⊂面BEF，PC⊄面BEF，∵PA＝PD，∴PO⊥AD，∴PO⊥面ABCD，∴PO⊥OB，以OA，OB，OP所在的直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，∴，，设面BEF的法向量为，则，即，∴cos＜＞＝＝＝，故二面角F﹣BE﹣A的余弦值为．20．已知倾斜角为的直线经过抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点F，与抛物线C相交于A、B两点，且|AB|＝8．（1）求抛物线C的方程；（2）设P为抛物线C上任意一点（异于顶点），过P做倾斜角互补的两条直线l1、l2，交抛物线C于另两点C、D，记抛物线C在点P的切线l的倾斜角为α，直线CD的倾斜角为β，求证：α与β互补．【分析】（1）设直线AB的方程为，令A（x1，y1）、B（x2，y2），联立，利用韦达定理，结合抛物线的定义|AB|＝y1+y2+p＝4p，求解p，得到抛物线方程．（2）设，，，设l1的方程为，与x2＝4y联立，利用韦达定理，转化求解直线CD的斜率，结合函数的导数，推出α与β互补．解：（1）由题意设直线AB的方程为，令A（x1，y1）、B（x2，y8），联立得，根据抛物线的定义得|AB|＝y1+y2+p＝4p，又|AB|＝6，∴4p＝8，p＝2，（2）证明：依题意，设，，，消去y得，∴x C+x D＝﹣2x0，直线CD的斜率＝＝，切线l的斜率．由K l+K CD＝0，得α与β互补．21．已知函数f（x）＝lnx﹣ax2+（a﹣b﹣1）x+b+1（a，b∈R）．（1）若a＝0，试讨论f（x）的单调性；（2）若0＜a＜2，b＝1，实数x1，x2为方程f（x）＝m﹣ax2的两不等实根，求证：．【分析】（1）根据导数符号与函数单调性的关系即可求得函数f（x）的单调性；（2）实数x1，x2为方程f（x）＝m﹣ax2的两不等实根，则，要证，即证，令，即转化为单变量不等式，移项结合函数最值即可证明．解：（1）依题意x＞0，当a＝0时，，①当b≤﹣1时，f'（x）＞7恒成立，此时f（x）在定义域上单调递增；②当b＞﹣1时，若，f'（x）＞7；若，f'（x）＜0．（5）证明：由f（x）＝m﹣ax2得lnx+（a﹣2）x+2﹣m＝3，依题意有lnx1+（a﹣2）x1＝lnx2+（a﹣2）x4，要证，即证，∵，∴g（t）＜g（1）＝7，从而有．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以原点O 为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（1）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；（2）设A，B为曲线C1上位于第一，二象限的两个动点，且，射线OA，OB交曲线C2分别于D，C，求△AOB面积的最小值，并求此时四边形ABCD的面积．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用极径的应用和三角形的面积公式的应用求出结果．解：（1）由曲线C1的参数方程为（α为参数）消去参数得即，（2）依题意得C6的极坐标方程为则，，∴，当且仅当ρ4＝ρ2（即时取“＝”）此时＝故所求四边形的面积为．23．已知a，b，c均为正实数，函数的最小值为1．证明：（1）a2+b2+4c2≥9；（2）．【分析】（1）由绝对值不等式的性质可得f（x）的最小值为++，再由乘1法和三元均值不等式，即可得证；（2）由二元均值不等式，结合累加法和不等式的性质，即可得证．【解答】证明：（1）≥|x+﹣x+|+＝++，当﹣≤x≤时，上式取得等号，则f（x）的最小值为++，所以a2+b7+4c2＝（a2+b5+4c2）（++）≥3•3＝9，当且仅当a＝b＝2c时，等号成立；+≥，三式相加可得2（++）≥2（++），可得++≤1（当且仅当a＝b＝6c取得等号）．。
精品解析：【市级联考】吉林省长春市普通高中2019届高三质量检测(三)数学(理)试题(解析版)
【解析】
【分析】
根据图形给出的信息，分析判断即可．
【详解】从研发投入占营收比（图中的红色折线）
07 ～09 年有所下降并非连续 12 年研发投入占营收比逐
年增加，故 D 错．
故选： D． 【点睛】 本题考查命题真假的判断，考查识图能力，考查分析问题解决问题的能力，属基础题．
10.函数 f（ x） =
另 1 件是一等品的概率为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】 D 【解析】 【分析】
根据题意，设“所取 2 件产品中有 1 件不是一等品”为事件 A，“一件是一等品，另一件不是一等品”为事 件 B，分别求得 P（ AB）和 P（ A）的值，再利用条件概率的计算公式运算求得结果． 【详解】 解：根据题意，设“所取 2 件产品中有 1 件不是一等品”为事件 A，“一件上一等品，另一件不是 一等品”为事件 B，
D.
【答案】 A 【解析】 【分析】 利用平面向量的数量积的运算法则求解即可．
【详解】 解： 、 是两个单位向量，且夹角为 ，
则（ 2 ）?（﹣ 2
）
＝﹣ 4+5
．
故选： A． 【点睛】 本题主要考查平面向量，向量的数量积的应用，是基本知识的考查．
7.若 8 件产品中包含 6 件一等品，在其中任取 2 件，则在已知取出的 2 件中有 1 件不是一等品的条件下，
的部分图象大致是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】 B
【解析】
【分析】
由题意结合函数的奇偶性和函数在特殊点的函数值确定函数图像即可
.
【详解】∵函数 f（ x）的定义域为（ -∞，- ）∪ （ - ， ） ∪（ ， +∞）