2020_2021学年高考数学一轮复习专题4.7正弦定理和余弦定理及其应用知识点讲解理科版含解析

专题4.7 正弦定理和余弦定理及其应用

【考情分析】

１．能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．

【重点知识梳理】

1．仰角和俯角

与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图①)．

图①图②

2．方向角

相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等．

3．方位角

指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．

4．坡度(又称坡比)

坡面的垂直高度与水平长度之比．

【典型题分析】

高频考点一解三角形中的实际问题

例１．（2020·河南省鹤壁市一中模拟）如图，高山上原有一条笔直的山路BC，现在又新架设了一条索道AC，小李在山脚B处看索道AC，发现张角∠ABC＝120°；从B处攀登400米到达D处，回头看索道AC，发现张角∠ADC＝150°；从D处再攀登800米可到达C处，则索道AC的长为________米．

【答案】40013

【解析】在△ABD中，BD＝400米，∠ABD＝120°.因为∠ADC＝150°，所以∠ADB＝30°.所以∠DAB＝

180°－120°－30°＝30°.由正弦定理，可得

sin∠DAB

＝

sin∠ABD

，所以

400

sin 30°

＝

sin 120°

，得AD＝

4003(米)．在△ADC中，DC＝800米，∠ADC＝150°，由余弦定理得AC2＝AD2＋CD2－2·AD·CD·cos∠ADC

＝(4003)2＋8002－2×4003×800×cos 150°＝4002

×13，解得AC ＝40013(米)．故索道AC 的长为40013米．

【方法技巧】利用正、余弦定理解决实际问题的一般步骤 (1)分析——理解题意，分清已知与未知，画出示意图．

(2)建模——根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在相关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型．

(3)求解——利用正弦定理或余弦定理有序地解三角形，求得数学模型的解． (4)检验——检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解．

【变式探究】（2020·山东省淄博市八中模拟）如图所示，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB 前往B 处救援，则cos θ的值为________．

【答案】

【解析】在△ABC 中，AB ＝40，AC ＝20，∠BAC ＝120°，

由余弦定理得BC 2

＝AB 2

＋AC 2

－2AB ·AC ·cos 120°＝2 800，得BC ＝207.

由正弦定理，得AB sin ∠ACB ＝BC sin ∠BAC ，即sin ∠ACB ＝AB BC ·sin∠BAC ＝21

由∠BAC ＝120°，知∠ACB 为锐角，则cos ∠ACB ＝27

由θ＝∠ACB ＋30°，得cos θ＝cos(∠ACB ＋30°)＝cos ∠ACB cos 30°－sin ∠ACB sin 30°＝21

. 高频考点二平面几何中的解三角形问题

例２．【2020·全国Ⅰ卷】如图，在三棱锥P –ABC 的平面展开图中，AC =1，AB AD ==

AB ⊥AC ，

AB ⊥AD ，∠CAE =30°，则cos ∠FCB =______________.

【答案】14

【解析】

AB AC ⊥，AB =1AC =，

由勾股定理得2BC =

=，

同理得BD =BF BD ∴==

在ACE △中，1AC =，AE AD ==

，30CAE ∠=，

由余弦定理得2222cos30132112

CE AC AE AC AE =+-?=+-?=， 1CF CE ∴==，

在△BCF 中，2BC =，BF =

1CF =，

由余弦定理得2221461

cos 22124

CF BC BF FCB CF BC +-+-∠===-???.

【变式探究】（2020·江西省贵溪市一中模拟）如图，在平面四边形ABCD 中，∠ABC ＝3π

，AB ⊥AD ，

AB ＝1.

(1)若AC ＝5，求△ABC 的面积； (2)若∠ADC ＝π

，CD ＝4，求sin ∠CA D.

【解析】(1)在△ABC 中，由余弦定理得，AC 2＝AB 2＋BC 2

－2AB ·BC ·cos∠ABC ，即5＝1＋BC 2

＋2BC ，解得BC ＝2，

所以△ABC 的面积S △ABC ＝12AB ·BC ·sin∠ABC ＝12×1×2×22＝1

(2)设∠CAD ＝θ，在△ACD 中，由正弦定理得AC sin ∠ADC ＝CD

sin ∠CAD ，即

sin

π6

＝4

sin θ，① 在△ABC 中，∠BAC ＝π2－θ，∠BCA ＝π－3π4－(π2－θ)＝θ－π

4，

由正弦定理得AC sin ∠ABC ＝AB

sin ∠BCA ，

即

sin 3π4＝1

sin （θ－π4

）

，② ①②两式相除，得sin 3π4sin

π6＝4sin （θ－π4

）

sin θ，

即4(

22sin θ－2

cos θ)＝2sin θ，整理得sin θ＝2cos θ. 又因为sin 2

θ＋cos 2

θ＝1，

所以sin θ＝255，即sin ∠CAD ＝255

【方法技巧】与平面图形有关的解三角形问题的关键及思路

求解平面图形中的计算问题，关键是梳理条件和所求问题的类型，然后将数据化归到三角形中，利用正弦定理或余弦定理建立已知和所求的关系．

具体解题思路如下：

(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解； (2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果．

【变式探究】(2020·湖南衡阳第三次联考)如图，在平面四边形ABCD 中，0＜∠DAB ＜π

2，AD ＝2，AB

＝3，△ABD 的面积为33

，AB ⊥B C.

(1)求sin ∠ABD 的值； (2)若∠BCD ＝2π

，求BC 的长．

【解析】(1)因为△ABD 的面积S ＝12AD ×AB sin ∠DAB ＝12×2×3sin∠DAB ＝

2，

所以sin ∠DAB ＝

. 又0＜∠DAB ＜π2，所以∠DAB ＝π3，所以cos ∠DAB ＝cos π3＝1

由余弦定理得

BD ＝AD 2＋AB 2－2AD ·AB cos ∠DAB ＝7，

由正弦定理得sin ∠ABD ＝

AD sin ∠DAB BD ＝21

. (2)因为AB ⊥BC ，所以∠ABC ＝π

，

sin ∠DBC ＝sin(π2－∠ABD )＝cos ∠ABD ＝1－sin 2

∠ABD ＝277

在△BCD 中，由正弦定理CD sin ∠DBC ＝BD sin ∠DCB 可得CD ＝BD sin ∠DBC sin ∠DCB ＝43

由余弦定理DC 2

＋BC 2

－2DC ·BC cos ∠DCB ＝BD 2

，可得3BC 2

＋43BC －5＝0，解得BC ＝33或BC ＝－533

(舍去)．故BC 的长为

. 高频考点三与三角形有关的最值(范围)问题

例３．【2020·全国II 卷】ABC △中，sin 2A －sin 2B －sin 2C = sin B sin C ．（1）求A ；

（2）若BC =3，求ABC △周长的最大值．

【解析】（1）由正弦定理和已知条件得222BC AC AB AC AB --=?，① 由余弦定理得2222cos BC AC AB AC AB A =+-?，② 由①，②得1

cos 2

A =-

因为0πA <<，所以2π3A =

（2）由正弦定理及（1）得

sin sin sin AC AB BC

B C A

===，

从而AC B =，π)3cos AB A B B B =--=.

故π33cos 3)3

BC AC AB B B B ++=++=++.

又π03B <<

，所以当π

B =时，AB

C △周长取得最大值3+【举一反三】【2020·全国Ⅰ卷】某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O 为圆孔及轮廓圆弧AB 所在圆的圆心，A 是圆弧AB 与直线AG 的切点，B 是圆弧AB 与直线BC 的切点，四边形DEFG 为矩形，BC ⊥DG ，垂足为C ，tan ∠ODC =3

，BH DG ∥，EF =12 cm ，DE=2 cm ，A 到直线DE 和EF 的距离均为7 cm ，圆孔半径为1 cm ，则图中阴影部分的面积为________cm 2

．

【答案】542

π+

【解析】设==OB OA r ，由题意7AM AN ==，12EF =，所以5NF =，因为5AP =,所以45AGP ?∠=，因为//BH DG ，所以45AHO ?∠=，

因为AG 与圆弧AB 相切于A 点，所以OA AG ⊥，即OAH △为等腰直角三角形；

在直角OQD △中，5OQ =-

，7DQ =，

因为3

tan 5OQ ODC DQ ∠=

=，所以212522

r r -=-，