七年级数学竞赛 第7讲 有理数的计算
七年级数学上期《有理数加减混合运算》教案
一、教学目标：1. 让学生掌握有理数的加减混合运算规则。
2. 培养学生运用有理数加减混合运算解决实际问题的能力。
3. 提高学生的数学思维能力和运算速度。
二、教学内容：1. 有理数的加法运算：同号相加，异号相加。
2. 有理数的减法运算：减去一个数等于加上这个数的相反数。
3. 有理数的加减混合运算：先计算加法或减法，再进行混合运算。
三、教学重点与难点：1. 重点：有理数的加减混合运算规则。
2. 难点：运用有理数加减混合运算解决实际问题。
四、教学方法：1. 采用实例讲解法，让学生通过具体例子理解有理数加减混合运算。
2. 采用小组合作学习法，让学生互相讨论、交流，提高解决问题的能力。
3. 采用练习法，让学生通过大量练习，巩固所学知识。
五、教学过程：1. 导入：通过生活实例，引出有理数加减混合运算的必要性。
2. 新课讲解：讲解有理数的加法运算、减法运算及加减混合运算的规则。
3. 实例分析：分析实际问题，运用有理数加减混合运算解决问题。
4. 小组讨论：学生分组讨论，总结加减混合运算的规律。
5. 练习巩固：布置练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。
6. 总结：对本节课内容进行总结，强调加减混合运算的注意事项。
7. 布置作业：布置课后作业，让学生进一步巩固有理数加减混合运算。
六、教学评估：1. 通过课堂练习和课后作业，评估学生对有理数加减混合运算的掌握程度。
2. 结合学生的课堂表现，评估学生对有理数加减混合运算的实际应用能力。
七、教学反思：1. 反思教学过程中是否有效地引导学生理解有理数加减混合运算的规则。
2. 反思教学过程中是否注重培养学生的数学思维能力和运算速度。
3. 反思教学过程中是否充分调动学生的学习积极性，提高学生的学习兴趣。
八、教学拓展：1. 引导学生探索有理数加减混合运算在实际生活中的应用，提高学生的实际操作能力。
2. 引导学生思考如何提高有理数加减混合运算的速度和准确性。
3. 推荐学生参加数学竞赛或相关数学活动，提高学生的数学素养。
初中七年级数学培优有理数的巧算含答案
第一讲有理数的巧算有理数运算是中学数学中一切运算的基础．它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的基础上;能根据法则、公式等正确、迅速地进行运算．不仅如此;还要善于根据题目条件;将推理与计算相结合;灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题;从而提高运算能力;发展思维的敏捷性与灵活性．1．括号的使用在代数运算中;可以根据运算法则和运算律;去掉或者添上括号;以此来改变运算的次序;使复杂的问题变得较简单．例1计算：分析中学数学中;由于负数的引入;符号“+”与“-”具有了双重涵义;它既是表示加法与减法的运算符号;也是表示正数与负数的性质符号．因此进行有理数运算时;一定要正确运用有理数的运算法则;尤其是要注意去括号时符号的变化．注意在本例中的乘除运算中;常常把小数变成分数;把带分数变成假分数;这样便于计算．例2计算下式的值：211×555+445×789+555×789+211×445．分析直接计算很麻烦;根据运算规则;添加括号改变运算次序;可使计算简单．本题可将第一、第四项和第二、第三项分别结合起来计算．解原式=211×555+211×445+445×789+555×789=211×555+445+445+555×789=211×1000+1000×789=1000×211+789=1000000．说明加括号的一般思想方法是“分组求和”;它是有理数巧算中的常用技巧．例3计算：S=1-2+3-4+…+-1n+1·n．分析不难看出这个算式的规律是任何相邻两项之和或为“1”或为“-1”．如果按照将第一、第二项;第三、第四项;…;分别配对的方式计算;就能得到一系列的“-1”;于是一改“去括号”的习惯;而取“添括号”之法．解S=1-2+3-4+…+-1n+1·n．下面需对n的奇偶性进行讨论：当n为偶数时;上式是n／2个-1的和;所以有当n为奇数时;上式是n-1／2个-1的和;再加上最后一项-1n+1·n=n;所以有例4在数1;2;3;…;1998前添符号“+”和“-”;并依次运算;所得可能的最小非负数是多少分析与解因为若干个整数和的奇偶性;只与奇数的个数有关;所以在1;2;3; (1998)前任意添加符号“+”或“-”;不会改变和的奇偶性．在1;2;3;…;1998中有1998÷2个奇数;即有999个奇数;所以任意添加符号“+”或“-”之后;所得的代数和总为奇数;故最小非负数不小于1．现考虑在自然数n;n+1;n+2;n+3之间添加符号“+”或“-”;显然n-n+1-n+2+n+3=0．这启发我们将1;2;3;…;1998每连续四个数分为一组;再按上述规则添加符号;即1-2-3+4+5-6-7+8+…+1993-1994-1995+1996-1997+1998=1．所以;所求最小非负数是1．说明本例中;添括号是为了造出一系列的“零”;这种方法可使计算大大简化．有这种竞赛讲义一整套小学初中的含答案最新的需要的可以联系我46~8453~607微信13699~77~10742．用字母表示数我们先来计算100+2×100-2的值：100+2×100-2=100×100-2×100+2×100-4=1002-22．这是一个对具体数的运算;若用字母a代换100;用字母b代换2;上述运算过程变为a+ba-b=a2-ab+ab-b2=a2-b2．于是我们得到了一个重要的计算公式a+ba-b=a2-b2;①这个公式叫平方差公式;以后应用这个公式计算时;不必重复公式的证明过程;可直接利用该公式计算．例5计算3001×2999的值．解3001×2999=3000+13000-1=30002-12=8999999．例6计算103×97×10009的值．解原式=100+3100-310000+9=1002-91002+9=1004-92=99999919．例7计算：分析与解直接计算繁．仔细观察;发现分母中涉及到三个连续整数：12345;12346;12347．可设字母n=12346;那么12345=n-1;12347=n+1;于是分母变为n2-n-1n+1．应用平方差公式化简得n2-n2-12=n2-n2+1=1;即原式分母的值是1;所以原式=24690．例8计算：2+122+124+128+1216+1232+1．分析式子中2;22;24;…每一个数都是前一个数的平方;若在2+1前面有一个2-1;就可以连续递进地运用a+ba-b=a2-b2了．解原式=2-12+122+124+128+1×216+1232+1=22-122+124+128+1216+1×232+1=24-124+128+1216+1232+1=……=232-1232+1=264-1．例9计算：分析在前面的例题中;应用过公式a+ba-b=a2-b2．这个公式也可以反着使用;即a2-b2=a+ba-b．本题就是一个例子．通过以上例题可以看到;用字母表示数给我们的计算带来很大的益处．下面再看一个例题;从中可以看到用字母表示一个式子;也可使计算简化．例10计算：我们用一个字母表示它以简化计算．3．观察算式找规律例11某班20名学生的数学期末考试成绩如下;请计算他们的总分与平均分．87;91;94;88;93;91;89;87;92;86;90;92;88;90;91;86;89;92;95;88．分析与解若直接把20个数加起来;显然运算量较大;粗略地估计一下;这些数均在90上下;所以可取90为基准数;大于90的数取“正”;小于90的数取“负”;考察这20个数与90的差;这样会大大简化运算．所以总分为90×20+-3+1+4+-2+3+1+-1+-3+2+-4+0+2+-2+0+1+-4+-1+2+5+-2=1800-1=1799;平均分为90+-1÷20=89.95．例12计算1+3+5+7+…+1997+1999的值．分析观察发现：首先算式中;从第二项开始;后项减前项的差都等于2；其次算式中首末两项之和与距首末两项等距离的两项之和都等于2000;于是可有如下解法．解用字母S表示所求算式;即S=1+3+5+…+1997+1999．①再将S各项倒过来写为S=1999+1997+1995+…+3+1．②将①;②两式左右分别相加;得2S=1+1999+3+1997+…+1997+3+1999+1=2000+2000+…+2000+2000500个2000=2000×500．从而有S=500000．说明一般地;一列数;如果从第二项开始;后项减前项的差都相等本题3-1=5-3=7-5=…=1999-1997;都等于2;那么;这列数的求和问题;都可以用上例中的“倒写相加”的方法解决．例13计算1+5+52+53+…+599+5100的值．分析观察发现;上式从第二项起;每一项都是它前面一项的5倍．如果将和式各项都乘以5;所得新和式中除个别项外;其余与原和式中的项相同;于是两式相减将使差易于计算．解设S=1+5+52+…+599+5100;①所以5S=5+52+53+…+5100+5101．②②—①得4S=5101-1;说明如果一列数;从第二项起每一项与前一项之比都相等本例中是都等于5;那么这列数的求和问题;均可用上述“错位相减”法来解决．例14计算：分析一般情况下;分数计算是先通分．本题通分计算将很繁;所以我们不但不通分;反而利用如下一个关系式来把每一项拆成两项之差;然后再计算;这种方法叫做拆项法．解由于所以说明本例使用拆项法的目的是使总和中出现一些可以相消的相反数的项;这种方法在有理数巧算中很常用．练习一1．计算下列各式的值：1-1+3-5+7-9+11-…-1997+1999；211+12-13-14+15+16-17-18+…+99+100；31991×1999-1990×2000；44726342+4726352-472633×472635-472634×472636；61+4+7+ (244)2．某小组20名同学的数学测验成绩如下;试计算他们的平均分．81;72;77;83;73;85;92;84;75;63;76;97;80;90;76;91;86;78;74;85．。
初一数学竞赛1.有理数的运算(教师版)
1.有理数的运算7,9,10.12.13.15回家做作业，下节讲一，一个小夹子，一个本验算，举手提问，独立解题不探讨，尽量不轻易问老师，实在不会再问。
Ⅰ，类型运算（高中数列内容）存在一类初中杯赛或联赛题目，本身为知识点前置。
其中，有理数运算部分占比较大。
其应为高中必修5的数列内容。
这类问题中，求和是最终目的。
而原式会有省略号，这不算一个结果，目的是去掉省略号。
一般来说两个方案，一个是互相抵消，一个是互相运算。
一，倒序相加类型：等差数列方法：倒序书写，与正序相加即可两边等距相加相等时可以使用1.2)1(321+=++++n n n 2.2135(21)n n ++++-= 二，并项求和类型：类周期，这里先解释周期，再解释类周期方法：以周期长度为组距分组求和即可3.计算：S=1-2+3-4+…+(-1)n+1·n．N 偶，n 奇4.已知2222222101100994321+-++-+-= S ，求S 被103除的余数方法1:（后讲）分析：考虑利用6)12)(1(3212222++=++++n n n n 公式来快速解决问题。
解：22222222221234991001012(24100)S =+++++++-++ 2222222222(123499100101)8(1250)=+++++++-+++ 181011012035051101515166=⨯⨯⨯-⨯⨯=答案：5151S =，余数是1方法2：并项求和先找规律，用字母验证一般规律三，裂项相消分数相加，可裂项的5.计算：来把每一项拆成两项之差，然后再计算，这种方法叫做拆项法．解由于所以9991999难度大的，三项裂项1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-+++++特殊的：构造裂项求和2)1(321+=++++n n n 22(1)21n n n +-=+注意，左面是可以相加消去的，右面可以求和四，错位相减等比或等差乘以等比的，先出一个等比的6.计算：5032399353331⨯++⨯+⨯+⨯ .【解析】 n n n S 3)12(35333132⋅-++⨯+⨯+⨯= ，①∴14323)12(3533313+⋅-++⨯+⨯+⨯=n n n S ②①-②，得14323)12(32323232312+⋅--⨯++⨯+⨯+⨯+⨯=-n n n n S 14323)12()3333(231+⋅--+++++⨯=n n n 63)22(1-⋅-=+n n .∴n S 33)1(1+⋅-=+n n .注意：并不是所有的数都可求和，能求和的很有限，都在这四种方法中涵盖。
七年级数学竞赛题：有理数的计算
七年级数学竞赛题：有理数的计算在小学我们已经学会根据四则运算法则对整数和分数进行计算， 当引进负数概念后，数集扩大到了有理数范围，我们又学习了有理数的 计算，有理数的计算与算术数的计算有很大的不同：首先，有理数计算 每一步要确定符号；其次，代数与算术不同的是“字母代数”，所以有理 数的计算很多是字母运算，也就是通常说的符号演算．数学竞赛中的计算通常与推理相结合，这不但要求我们能正确地 算出结果，而且要善于观察问题的结构特点，将推理与计算相结合，灵 活选用算法和技巧，提高计算的速度．有理数的计算常用的技巧与方法 有：1．利用运算律； 2．以符代数； 3．裂项相消 4．分解相约； 5．巧用公式等．例题与求解例1 已知m 、n 互为相反数，a 、b 互为负倒数，x 的绝对值等于3， 则x 3一(1+m+n+ab)x 2+(m+n)x 2001+(一ab)2002的值等于_________． (2002年湖北省黄冈市竞赛题)解题思路利用互为相反数、互为倒数的两个有理数的特征计算． 例2把足够大的一张厚度为0．1mm 的纸连续对折，要使对折后 的整叠纸总厚度超过12mm ，至少要对折( )． (A)6次 (B)7次 (C)8次 (D)9次 (2002年江苏省竞赛题)解题思路探索对折的规律，运用估算求解．例3计算： (1) ;100......3211......32112111+++++++++++(“祖冲之杯”邀请赛试题)(2);7 (77771998)432+++++(江苏省泰州市奥校竞赛题)(3).199919981997 (19521951195019492)222222+-++-+- (北京市竞赛题)解题思路对于(1)，若先计算每个分母值，则掩盖问题的实质，不 妨先从考察一般情形入手；对于(2)，由于相邻的后一项与前一项的比 都是7，考虑用字母表示和式；(3)式使人联想到平方差公式．例4设三个互不相等的有理数，既可表示为1，a+b ，a 的形式， 又可表示为0、ab 、b 的形式，求20001999b a +的值． (“希望杯”邀请赛试题)解题思路由于三个互不相等的有理数有两种表示形式，因此，应 考虑对应分情况讨论．例5有人编了一个程序：从1开始，交替地做加法或乘法(第一 次可以是加法，也可以是乘法)，每次加法，将上次运算结果加2或加 3；每次乘法，将上次运算结果乘2或乘3，例如，30可以这样得到：30108413223−→−−→−−→−−→−⨯+⨯+(1)证明：可以得到22；(2)证明：可以得到22297100-+．’ (全国初中数学竞赛题)解题思路要证明可以得到相应的数，只要依据程序编出相应的 程序即可．1．初一“数学晚会”上，有十个同学藏在10张盾牌后面，男同学的 盾牌前面写的是一个正数，女同学的盾牌前面写的是一个负数，这10 张盾牌如下所示：则盾牌后面的同学中，有女同学_____人，男同学______人．2．有一种“二十四点”的游戏，其游戏规则是这样的：任取四个1 至13之间的自然数，将这四个数(每个数用且只用一次)进行加减乘除 四则运算，例如对1，2，3，4，可作运算：(1+2+3)×4=24(注意上述运 算与4×(1+2+3)应视作相同方法的运算)．现有四个有理数3，4， -6，10运用上述规则写出三种不同方法的运算式，使其结果等于24， 运算式如下：(2000年杭州市重点中学加试试题)3．计算：(1) ________;199919971 (9)71751531=⨯++⨯+⨯+⨯(2)([]._________)31()6()2(2)8()25.02434=-÷-÷-+--⨯- 4．将1997减去它的21，再减去余下的31，再减去余下的41，再减去余下的51，…，依此类推，直主最后减去余下的19971，最后的答数是_________．(“祖冲之杯”邀请赛试题)B 级4．据美国詹姆斯·马丁的测算，在近十年，人类知识总量已达到每三年翻一番，到2020年甚至要达到每73天翻一番的空前速度，因此，基础教育的任务已不是“教会一切人一切知识，而是让一切人会学习”．已知2000年底，人类知识总量为以a．假如从2000年底到2009年底是每3年翻一番；从2009年底到2019年底是每1年翻一番；2020 年是每73天翻一番．则：(1)2009年底人类知识总量是——；(2)2019年底人类知识总量是——；(3)2020年按365天计算，2020年底人类知识总量是——．(2002年北京市顺义区中考题)小关系是——；(3)根据上面归纳猜想得到的一般结论，试比较下列两个数的大(2002年福建省龙岩市中考题)(A)3 (B)4 (C)5 (D)6 8．三进位制数201可用十进位制数表示为；二进位制数1011可用十进位制法表示为．前者按3的幂降幂排列，后者按2的幂降幂排列，现有三进位制数a=221，二进位制数b=10111，则a 与b 的 大小关系为( )．(D)不能判定(2001年重庆市竞赛题)9．如果有理数a ．b 、c 、d 满足a+b>c+d ，则( )．(第十一届“希望杯”邀请赛试题)lO ．有1998个互不相等的有理数，每1997个的和都是分母为 3998的既约真分数，则这1998个有理数的和为( )．(《学习报》公开赛试题)11．设n 为自然数，n n ns 223222132++++=比较n s 与2的大小. 12．如图，在六边形的顶点处分别标上数1，2，3，4，5，6，能否使任意三个相邻顶点处的 三数之和(1)大于9 (2)大于10? 若能，请在 图中标出来；若不能，请说明理由． (第十五届江苏省竞赛题)。
初一数学奥赛：有理数的运算
有理数的运算一、知识要点1、有理数的运算律：2、添、去括号，凑整，分组，拆项，等差数列求和公式。
3、巧算方法倒写相加法--------高斯求和 等差数列 通项公式： 1(1)n a a n d =+-，求和公式：1()2n n a a nS +=二、典型例题分析 类型一、合理分组例1：计算 85314)526(612)833(5312155---+--+--答案：19-变式练习：计算 201220117654321-+-+-+-+-答案：1006-类型二、巧用乘方的意义例2、913712)53()8()321()125.0(-⨯-⨯-⨯-答案：2572-类型三、反序相加----探索等差数列的求和公式 例3、计算 1+3+5+7+…+2011+2013变式练习、计算：11212312341259()()()()2334445555606060++++++++++++++提示：通项()2121n n n n a n =++=类型四：列项求和例4：计算 201320121431321211⨯++⨯+⨯+⨯变式练习：计算 201320111751531311⨯++⨯+⨯+⨯例5：（第15届五羊杯） 计算 333129117151311513111⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯提示：⎪⎭⎫⎝⎛⨯-⨯=⨯⨯1513113111411513111例6：化简 n+++++++++++++++32114321132112111【课后练习】 （要求认真详细书写出解题过程，送给自己的数学老师批改） 1、计算 4(123)(5)1251274755⨯-+-⨯-⨯-⨯； 2、()1110188⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭3、2008年希望杯 计算 03125.075.049113129530322÷⎥⎦⎤⎢⎣⎡-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-4计算：9019727185617424163015201941213652211+-+-+-+-5、计算： 99971252312321121191⨯+⨯+⨯+⨯6、计算 21856154213301120912731⨯⨯⎪⎭⎫⎝⎛-+-+-7、 （第11届华罗庚杯邀请赛题）计 算⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+10098119997116411531142113111答案：原式=98.11009921100989999999798985316429314=⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯8、已知n m ,互为相反数，b a ,互为倒数，x 的绝对值等于3， 求()()()20132011231ab n m x ab n m x -++++++-的值。
【初一数学】初一奥数专题七有理数计算技巧(二)(共5页)
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北师大版七年级数学上册 (有理数)有理数及其运算教育教学课件
知2－讲
1.生活中到处都存在相反意义的量． 2.在相反意义的量中,我们把其中一个意义的量规定为正,
那么另一个量就是负． 要点精析： (1)相反意义的量是指意义相反的两个量,相反意义
的量是成对出现的． (2)判断相反意义的量的标准:①两个同类量;②意义相反． (3)具有相反意义的量的正负性是相对的,且是可以互换的．
（来自《典中点》）
知识点 3 有理数及其分类
知3－讲
1.定义：整数和分数统称有理数． 要点精析： (1)一个有理数不是整数就是分数． (2)如果一个数既不是整数也不是分数，那么它一 定不是有理数．
知3－讲
2. 整数和分数：正整数、0、负整数统称为整数． 正分数、负分数统称为分数． 要点精析：几种常用整数和分数名词的含义： (1)正整数：既是正数，又是整数的数； (2)负整数：既是负数，又是整数的数； (3)正分数：既是正数，又是分数的数； (4)负分数：既是负数，又是分数的数； (5)非负整数：正整数和0； (6)非正整数：0和负整数．
(3)判断一个数是正、负数的方法:①不为零；②含 “＋”“－”的情况 (无“＋” “－”视同含“＋”)，两 者必须同时看．
知1－讲
2. 数的特征及种类： (1)数有带符号(＋、－)的数和不带符号的数两 种呈现形式； (2)数包括正数、0、负数三种情况． 拓展：符号“＋” “－”的含义： (1)作为运算符号是加减号； (2)作为数的性质是正负号．
解题关键点 看符号
特征 数(0除外)前面带“＋”
或无符号 数(0除外)前面带
“－”的数
结论 正数 负数
（来自《点拨》）
知1－练
1 (中考·广州)四个数－3.14，0，1，2中为负数
的是( A )
七年级数学有理数的运算含答案
有理数的运算中考要求重难点1. 理解并掌握加减法法则且能熟练运用法则计算2. 理解并掌握乘除法法则且能熟练运用法则计算3. 能利用有理数的运算法则简化运算4. 能借助数轴比较有理数的大小课前故事古时候，在某个王国里有一位聪明的大臣，他发明了国际象棋，献给了国王，国王从此迷了下棋。
为了对聪明的大臣表示感谢，国王答应满足这个大臣的一个要求。
大臣说：“就在这个棋盘上放一些米粒吧。
第1格放1粒米，第2格放2粒米，第3格放4粒米，然后是8粒、16粒、32粒、......一直到第64格。
”“你真傻！就要这么一点米粒？！”国王哈哈大笑。
大臣说：”就怕您的国库里没有这么多米！“后等于：+++210222……+632=642-1 =18446744073709551615粒 约2200多吨例题精讲模块一、有理数加法运算有理数加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加.②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.③一个数同0相加，仍得这个数. 有理数加法的运算步骤：法则是运算的依据，根据有理数加法的运算法则，可以得到加法的运算步骤： ①确定和的符号；②求和的绝对值，即确定是两个加数的绝对值的和或差. 有理数加法的运算律：①两个加数相加，交换加数的位置，和不变.a b b a +=+(加法交换律) ②三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变.()()a b c a b c++=++(加法结合律)有理数加法的运算技巧：①分数与小数均有时，应先化为统一形式.②带分数可分为整数与分数两部分参与运算.③多个加数相加时，若有互为相反数的两个数，可先结合相加得零.④若有可以凑整的数，即相加得整数时，可先结合相加.⑤若有同分母的分数或易通分的分数，应先结合在一起.⑥符号相同的数可以先结合在一起.【例1】同号两数相加某人从原点0出发，如果第一次走了5米，第二次接着又走了3米，求两次行走后某人在什么地方？为区别向东还是向西走，这里规定向东走为正，向西走为负.这两数相加有以下三种情况：(1)某人向东走5米，再向东走3米，两次一共走了多少米？(2)某人向西走5米，再向西走3米，两次一共向东走了多少米？总结：__________________________________________________.异号两数相加（3）某人向东走5米，再向西走5米，两次一共向东走了多少米？(4)某人向东走5米，再向西走3米，两次一共向东走了多少米？(5)某人向东走3米，再向西走5米，两次一共向东走了多少米？总结：_______________________________________________________.【难度】1星【解析】利用实际情境来推导加法法则，强调和的符号及和与绝对值的关系，进而总结出加法法则【例2】计算下列各题：(1) (一11)+(一9)； (2) (一3.5)+(+7)；(3)(一1.08)+0； (4)(23+)+(23-)(5)[(-22)+(-27)]+(+27)； (6)(-22)+[(-27)+(+27)]．【难度】1星【解析】利用加法法则计算。
第07讲 有理数的乘方(解析版)-2021-2022学年秋季七年级数学基础学案(苏科版)
第07讲有理数的乘方学习目标1.理解有理数的乘方的意义，会进行有理数的乘方运算.2.了解底数、指数和幂的概念，能说出一个乘方运算的底数、指数和幂，会求一个数的正整数指数幂.3.会用科学记数法表示较大的数，感受用科学记数法表示数带来的方便.考点考频1.能说出一个乘方运算关法的底数、指数、幂（常考点）2.会求一个数的正整数指数幂。
（必考点）3.会用科学记数法表示较大的数。
（必考点）知识点1有理数的乘方（重点；掌握）1.求n个相同因数的积的运算，叫做乘方.乘方运算的结果叫做幂，相同因数叫做底数，相同因数的个数叫做指数.如图.2.a n读作a的n次方，a n看作是a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂.3.正数的任何次幂都是正数，负数的偶数次幂是正数，负数的奇数次幂是负数，0的任何正整数次幂都得0.特别地，一个数的二次方，也称为这个数的平方；一个数的三次方，也称为这个数的立方.[特别提醒]（1）要分清乘方表示的意义，如:（－2）5表示5个－2相乘的积、－25表示5个2相乘的积的相反数、－（－2）5表示5个－2相乘的积的相反数.（2）要注意书写分数的乘方时，底数要加括号.如:(− 23)4表示4个 − 23相乘的积、− 243表示4个2相乘的积的13的相反数.（3）一个数可以看作是它本身的一次方，指数1通常省略不写.例如，51通常写作5，a1写作a.例1把下列各式用幂的形式表示，并指出其底数和指数.（1）（－2021)×(－2021)×(－2021）；（2）（＋ 25 )×(＋25 )×(＋25 )×(＋25 ）；（3）－ 23 ×23 ×23 ×23 ×23 .【答案】（1）3；（2）4；（3）5练习1把下列各式用幂的形式表示，并说出其底数、指数.（1）2×2×2×2×2×2；（2）（－3)×(－3)×(－3)×(－3)×(－3）（3）（－ 13 )×(－13 )×(－13 ）（4）－13 ×13 ×13 .【答案】解:（1）26.底数是2，指数是6. （2）（－3）5，底数是－3，指数是5.（3）（－ 13 ），底数是－13 ，指数是3.（4）－（ 13 ）底数是13 .指数是3.知识点2有理数幂的符号法则（重点；掌握）（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数；（3）0的任何正整数次幂都等于0.[特别提醒]判断乘方符号的步骤:一看底数（正数、负数、0）；二看指数（奇数次幂、偶数次幂）.例2不做运算，判断下列各运算结果的正负.（－5）11，（－4）20，（－1.5）2021，（4）7，－（－6）29.3【答案】负；正；负；正；正知识点3科学记数法（重点；掌握）1.科学记数法的表示形式为a×10n试，其中1≤a < 10，n为整数.2.n的确定方法如下:方法一:整数位数减去1.如3900是一个四位数，用科学记数法表示为3.9×103，则n = 4－1 = 3.方法二:看小数点移动的位数，小数点向左移动了几位n就等于几.如3900用科学记数法表示为3.9×103，显然从3900到3.9小数点向左移动了3位，所以n = 3.3.用科学记数法表示数时，数的大小没有变化，只是数的书写形式发生了变化、这也是判断科学记数法表示是否正确的标准.4.若原数有“－”号，不能将“－”号丢掉.例3（2019·苏州中考）苏州是全国重点旅游城市，2018年实现旅游总收入约为26000000万元，数据26000000用科学记数法可表示为（）A.0.26×108B.2.6×108C.26×106D.2.6×107【答案】D练习3（2019·盐城中考）正在建设中的北京大兴国际机场规划建设面积约1400000平方米的航站楼，数据1400000用科学记数法应表示为（）A.0.14×108B.1.4×107C.1.4×106D.14×105【答案】C—— 题型总结 ——题型1根据乘方的法则计算例1计算.（1）（－0.2）3；（2）－54；（3）－(－2)6（4）－( 23 )3；（5）－ 223 ；（6）－|－ 12 |4.【答案】 （1）－1 125 ；（2）－625；（3）－64；（4）－ 8 27 ；（5）－ 43；（6）－ 1 16。
数学有理数的运算能力设计竞赛方案
七年级《有理数的运算能力》竞赛方案
一、活动背景
在本学期我们东洲中学举办第二届学术节，为了丰富学生的校园生活，培养学生对数学的学习兴趣，特举办此次竞赛活动。
二、活动目的
学生利用《有理数的运算》比赛，让学生提高运算能力，并激发学生对计算能力的重视，让学生为以后的数学学习增强信心。
三、活动对象
东洲中学七年级全体学生。
四、活动时间
第七周星期三晚。
五、比赛内容和形式
（一）学生利用晚测时间进行比赛。
（二）七年级数学备课组老师集中评分。
六、奖项设置
本次比赛每班各设一等奖3名、二等奖5名、三等奖8名。
东洲中学七年级数学备课组
2019年10月10日。
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；第 2009 次计算的结果是
。
(《时代学习报》数学文化节试题)
输入x
x 5 (x是奇数时) x (x是奇数时) 2
计算满1万次
输出
计算不满1万次
6．若有理数 a，b，c 两两不等，则 a − b + b − c + c − a 中负数的个数是（ b−c c−a a−b
A．1
B．2
C．3
D．0
）。 (“希望杯”邀请赛试题)
20101 2011 1 2009 2 2008
2009 1
(北京市竞赛题)
12．乘方之美 乘方之美、乘方之趣、乘方之奇，有多少耐人寻味且神奇的现象隐藏于乘方之中。
（1）观察下列等式：
31=3，32=9，33=27，34=81，35=343，36=729，37=2187，…，解答下列问题：
3+32+33+34+…+32013 的末位数字是（ ）
如 n= 1 n[(n+1)−(n−1)]= 1 n(n+1)− 1 (n−1)n；
2
2
2
n(n+1)= 1 [(n+2)−(n−1)]n(n+1)= 1 [n(n+1)(n+2)−(n−1)n(n+1)]。
3
3
刻意练习
1．（1）计算：
(1− 1 − 1 − 1 − 1)(1 + 1 + 1 + 1 + 1) − (1− 1 − 1 − 1 − 1 − 1)(1 + 1 + 1 + 1) 的结果是
序图。
数 x
奇 数
×4 ？ +13
输
出
偶
×5
y
数
例 2．如果 4 个不同的正整数 m，n，p，q 满足(7−m)(7−n)(7−p)(7−q)=4，那么 m+n+p+q 等于（ ）
A．10 B．21 C．24
D．26 E．28
(新加坡数学竞赛题)
解题思路：解题的关键是把 4 表示成 4 个不同整数积的形式。
例 7．计算： （1）1+2+3+…+n； （2）1×2+2×3+3×4+…+n(n+1)； （3）12+22+32+…+n2； （4）13+23+33+…+n3。
解题思路：问题（1）的解决为其他问题的解决提供帮助，而其解决的常用方法有：拆项相消、倒序相加、 数形结合等，拆项相消具有一般性，需要突破分数拆项的思维定势，
。
2 33 444
60 60
60
(“缙云杯”竞赛题) (广西竞赛题)
（3） (17 7 + 27 7 −1137) (1312 + 8 17 − 5 38) =
。
27 17 39 17 27 39
(江苏省竞赛题)
3．依次排列 4 个数：2，11，8，9。对相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差排在这两个数
之间得到一串新的数：2，9，11，−3，8，1，9。这称为一次操作，做第二次操作后得到一串新的数：2，7，
9，2，11，−14，−3，11，8，−7，1，8，9。这样下去，第 100 次操作后得到的一串数的和是
。
(“华罗庚金杯”少年数学邀请赛试题)
4．已知 S= 1 − 2 + 3 − 4 + 2 4 8 16
A．− 1 2
B．0
C． 1 2
D． 3 2
(“南方杯”数学请赛试题)
11．计算：
（1） (1 − 7 + 9 − 11 + 13 − 15) 23 21； 3 12 20 30 42 56
(北京市“迎春杯”竞赛题)
（2）
2006
200520052005 200620062006
+
2006 2005 − 2007 2004 20062 − 2007 2005
。
2 3 4 52 3 4 5 6
2 3 4 5 62 3 4 5
(江苏省南京市中考题)
（2）“数学王子”高斯从小就善于观察和思考，在他读小学时就能在课堂上快速地计算出 1+2+3+…
+98+9+100=5050，今天我们可以将高斯的做法归纳如下：
S=1+2+3+…+98+99+100 ①
S=100+99+98+…+3+2+1 ②
开普勒曾说：“我珍视类比胜过任何东西，它是我最可信赖的老师，它能揭示自然界的秘密。”
1 + 1 + 1 + 1 = (1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) = 1− 1 = 4 。
1 2 23 3 4 45 1 2 2 3 3 4 4 5
55
这就是解稍复杂的计算中常用到的裂项相消法，即把每项恰当拆分，使得其中部分数相互抵消，简化计
，
④
则 2S1=2+1+ 1 + 1 + 1 + 248
+
1 2n−2
，
⑤
⑤−④，得 S1=2−
1 2n−1
，
代入③，得
S=2−
1 2n−1
−
n 2n
所以 S<2，即 1 + 2 + 3 + 4 + + n <2。
2 4 8 16
2n
例 6．在 1，2，…，2002 前面任意添上正号和负号，求其非负代数和的最小值。 (俄罗斯数学竞赛题)
7．2013+2012−2011−2010+2009+2008−2007−2006+…+5+4−3−2+1 等于（ ）。
A．2013
B．2012
C．1
D．0
(北京市竞赛题)
8．已知整数 a，b，c，d 满足 abcd=25，且 a>b>c>d，那么|a+b|+|c+d|等于（ ）。
A．0
B．10
C．2
算。
用类比的方法能提出更多的问题吗?
从连续自然数到连续偶数、奇数；从 2 个到 3 个或 4 个；从分数到整数类比可提出许多计算问题。
形如 Sp(n)=1p+2p +3p +…+np (p 为正整数)的和式称为自然数幕和，也称为 p 阶自然数幂。探究低阶自然
数幂和的公式，历史上的数学家的智慧为我们提供了有益的借鉴。
①+②有 2s=(1+100)×100，S=5050。
请类比以上做法，回答下列问题：
若 n 为正整数，3+5+7+…+(2n+1)=168，则 n=
。
(湖北省黄石市中考题)
2．计算：
（1）2−22−23−24−…−218−219+220=
。
（2） 1 + (1 + 2) + (1 + 2 + 3) + + ( 1 + 2 + + 59) =
23
2007 2008 2 3
2007
23
2007 2008 2 3
2007
(“创新杯”竞赛题)
解题思路：整体考虑，化繁为简。对于（2），由于相邻的后一项与前一项的比都是 3，从用字母表示和式入
手；对于（3），注意括号内数式的联系，引入字母，将复杂的数值计算转化为简单的式子再计算。
例 4．计算：
（1）11 − 2 5 + 3 1 − 4 19 + 5 1 − 6 41 + 7 1 − 8 71 + 9 1 ； 2 6 12 20 30 62 56 72 90
思是根一尺的木棍，如果每天截取它的一半，永远也取不完。
即计算 1 + 1 + 1 + + 1 。
2 22 23
2n
13．有人编了一个程序：从 1 开始，交替地做加法或乘法(第一次可以是加法，也可以是乘法)，每次加法， 将上次运算结果加 2 或加 3；每次乘法，将上次运算结果乘 2 或乘 3，例如，30 可以这样得到：
20 ( b )2015 +14 ( a )2016 。
a
b
(深圳市启智杯数学思维及应用能力竞赛题)
15．在“口 1 口 2 口 3 口 4 口 5□6 口 7 口 8 口 9”的小方格中填上“+”“一”号，如果可以使其代数和为 n，就称数 n 是“可被表出的数”，否则，就称数 n 是不可被表出的数”(如 1 是可被表出的数，这是因为+1+2
问题解决：
例 1．（1）已知 a，b 互为倒数，c，d 互为相反数，e<0，且|e|=1，那么(−ab)2003−(c+d)2004−e2005 的值为
；
(江苏省竞赛题)
（2）如图，要输出大于 100 的数，则输入的正整数 x 最小值
是
。
输
(“希望杯”邀请赛试题)
入 正
解题思路：对于（1），从倒数、相反数的概念入手；对于（2），读懂程 整
1 ⎯+⎯3→4 ⎯⎯2→8 ⎯+⎯2→10 ⎯⎯3→30 ，
（1）证明：可以得到 22； （2）证明：可以得到 2100+297−2。
(全国初中数学联赛试题)