优化设计方法学复习资料(修正)
现代设计方法---优化设计
E=2×105MPa。现要求在满足使用要求的条件下，试设计一个用
料最省的方案。
优化目标
用料最省
V 1 d 2L
4
d
F M
L
强度条件
max
FL 0.1d 3
w
M
0.2d 3
条件 刚度条件
f
FL3 3EJ
64FL3
3Ed 4
f
边界条件 L Lmin 8c14m
例3 设某车间生产A和B两种产品，每种产品各有两道工序，分 别由两台机器完成这两道工序，其工时列于表中。若每台机器每 周至多工作40小时。产品A的单价为200元，产品B的单价为500 元。问每周A、B产品应各生产多少件，可使总产值为最高。 （这是生产规划的最优化问题）
F —弹簧在负荷P作用下所产生的变形量
n —弹簧的有效圈数
d —弹簧材料的直径
G —弹簧材料的切变模量
3
• 根据上式，如己知或先预定 D2、n、d、G 各参数，通过多次试算、
修改，就有可能得到压簧刚度等于或接近于 的设P计参数。
• 刚度公式也可以写成一般的多元函数表达式，即
• 式中 代表性y能指f 标(xi ) ， 是i 设 1计,2参,量,，N分别代 表 、y 、 、 ，所以P xi 。
0 x L
x b
图1－2
这一优化设计问题是具有两个设计变 量(即x和α)的非线性规划问题。
13
例2：有一圆形等截面的销轴，一端固定，一端作用着集中载荷
F=1000N和扭矩M=100N·m。由于结构需要，轴的长度L不得小于
8cm，已知销轴材料的许用弯曲应力[σW]=120MPa，许用扭转切 应力[τ]=80MPa，允许挠度[f]=0.01cm，密度ρ=7.8t/m3，弹性模量
大学期末考试机械优化设计复习题复习课程
一、填空题1.组成优化设计数学模型的三要素是 设计变量 、 目标函数 、 约束条件 。
2.函数()22121212,45f x x x x x x =+-+在024X ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦点处的梯度为120-⎡⎤⎢⎥⎣⎦，海赛矩阵为2442-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦3.目标函数是一项设计所追求的指标的数学反映，因此对它最基本的要求是能用来评价设计的优劣，，同时必须是设计变量的可计算函数 。
4.建立优化设计数学模型的基本原则是确切反映 工程实际问题，的基础上力求简洁 。
5.约束条件的尺度变换常称 规格化，这是为改善数学模型性态常用的一种方法。
6.随机方向法所用的步长一般按 加速步长 法来确定，此法是指依次迭代的步长按一定的比例 递增的方法。
7.最速下降法以 负梯度 方向作为搜索方向，因此最速下降法又称为 梯度法，其收敛速度较 慢 。
8.二元函数在某点处取得极值的必要条件是()00f X ∇= , 充分条件是该点处的海赛矩阵正定9.拉格朗日乘子法的基本思想是通过增加变量将等式约束 优化问题变成 无约束优化问题，这种方法又被称为 升维 法。
10改变复合形形状的搜索方法主要有反射，扩张，收缩，压缩11坐标轮换法的基本思想是把多变量 的优化问题转化为 单变量 的优化问题12．在选择约束条件时应特别注意避免出现 相互矛盾的约束， ，另外应当尽量减少不必要的约束 。
13．目标函数是n 维变量的函数，它的函数图像只能在n+1, 空间中描述出来，为了在n 维空间中反映目标函数的变化情况，常采用 目标函数等值面 的方法。
14.数学规划法的迭代公式是 1k k k k XX d α+=+ ，其核心是 建立搜索方向， 和 计算最佳步长 。
15协调曲线法是用来解决 设计目标互相矛盾 的多目标优化设计问题的。
16.机械优化设计的一般过程中， 建立优化设计数学模型 是首要和关键的一步，它是取得正确结果的前提。
1. 优化设计问题的基本解法有 解析法 法和 数值法2. 无约束优化问题取得极值的充分必要条件是 一阶导数等于零 和 二阶导数大于零。
优化设计复习题(原)
word 教育资料优化设计复习题一、单项选择题(在每小题列出的选项中只有一个选项是符合题目要求的)1.多元函数F(X)在点X *附近偏导数连续， F ’(X *)=0且H(X *)正定，则该点为F(X)的（ ） ①极小值点 ②极大值点 ③鞍点 ④不连续点 2.F(X)为定义在n 维欧氏空间中凸集D 上的具有连续二阶偏导数的函数，若H(X)正定，则称F(X)为定义在凸集D 上的（ ） ①凸函数 ②凹函数 3.黄金分割法中，每次缩短后的新区间长度与原区间长度的比值始终是一个常数，此常数是（ ） ①0.382 ②0.186 ③0.618 ④0.816 4.在单峰搜索区间[x 1,x 3](x 1<x 3)内，取一点x 2，用二次插值法计算得x 4(在[x 1,x 3]内)，若x 2>x 4,并且其函数值F （x 4）<F(x 2)，则取新区间为（ ） ①[x 1,x 4] ②[x 2,x 3] ③[x 1,x 2] ④[x 4,x 3] 5.用变尺度法求一n 元正定二次函数的极小点，理论上需进行一维搜索的次数最多为（ ） ①n 次 ②2n 次 ③n+1次 ④2次6.下列特性中，梯度法不具有的是（ ） ①二次收剑性 ②要计算一阶偏导数 ③对初始点的要求不高 ④只利用目标函数的一阶偏导数值构成搜索方向 8.对于极小化F(X)，而受限于约束g μ(X)≤0(μ=1,2,…,m)的优化问题，其内点罚函数表达式为（ ） ① Ф(X,r (k))=F(X)-r(k)11/()gX u u m=∑② Ф(X,r (k))=F(X)+r(k)11/()gX u u m =∑③ Ф(X,r (k))=F(X)-r(k)max[,()]01gX u u m=∑④ Ф(X,r (k))=F(X)-r (k)min[,()]01g X u u m=∑9.外点罚函数法的罚因子为（ ） ①递增负序列 ②递减正序列 ③递增正序列 ④递减负序列 10．函数F （X ）为在区间［10，20］内有极小值的单峰函数，进行一维搜索时，取两点13和16，若F （13）<F （16），则缩小后的区间为（ ） ①［10,16］ ②［10,13］ ③［13,16］ ④［16，20］ 11．多元函数F （X ）在X ＊处存在极大值的充分必要条件是：在X *处的Hesse 矩阵（ ） ①等于零 ②大于零 ③负定 ④正定 12．对于函数F （x ）=x 21+2x 22，从初始点x (0)={1,1}T 出发，沿方向s (0)={-1,-2}T进行一维搜索，最优步长因子为（ ）①10／16 ②5／9 ③9／34 ④1／213．目标函数F （x ）=x 21+x 22－x 1x 2，具有等式约束，其等式约束条件为h(x)=x 1+x 2-1=0,则目标函数的极小值为（ ） ①1 ②0.5 ③0.25 ④0.1 14. 优化设计的自由度是指( )① 设计空间的维数 ② 可选优化方法数 ③ 所提目标函数数 ④ 所提约束条件数 15. 在无约束优化方法中，只利用目标函数值构成的搜索方法是( ) ①梯度法 ② Powell 法 ③共轭梯度法 ④变尺度法 17. 利用0.618法在搜索区间［a,b ］内确定两点a 1=0.382,b 1=0.618，由此可知区间［a,b ］的值是( ) ①［0,0.382］ ② ［0.382,1］ ③ ［0.618,1］④ ［0,1］18. 已知函数F(X)=x 12+x 22-3x 1x 2+x 1-2x 2+1，则其Hesse 矩阵是( ) ① ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--2332 ② ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2332③ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2112 ④ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--3223 19. 对于求minF(X)受约束于g i (x)≤0(i=1,2,…,m)的约束优化设计问题，当取λi ≥0时，则约束极值点的库恩—塔克条件为( )①()i i 1F X g (X)mi λ=∇=∇∑,其中λi 为拉格朗日乘子② ()i i 1F X =g (X)mi λ=-∇∇∑,其中λi 为拉格朗日乘子③ ()i i 1F X g (X)qi λ=∇=∇∑,其中λi 为拉格朗日乘子，q 为该设计点X 处的约束面数④()i i 1F X g (X)qi λ=-∇=∇∑,其中λi 为拉格朗日乘子，q 为该设计点X 处的约束面数20. 在共轭梯度法中，新构造的共轭方向S (k+1)为( ) ① S (k+1)= ∇F(X (k+1))+β(k)S (K)，其中β(k)为共轭系数② S (k+1)=∇F(X (k+1))－β(k)S (K)，其中β(k)为共轭系数 ③ S (k+1)=-∇F(X (k+1))+β(k)S (K)，其中β(k)为共轭系数④ S (k+1)=-∇F(X (k+1))－β(k)S (K)，其中β(k)为共轭系数 21. 用内点罚函数法求目标函数F(X)=ax+b 受约束于g(X)=c-x ≤0的约束优化设计问题，其惩罚函数表达式为( ) ① (k)1ax b r c-x+-，r (k)为递增正数序列② (k)1ax b r c-x +-，r (k)为递减正数序列 ③ (k)1ax b r c-x ++，r (k)为递增正数序列word 教育资料④ (k)1ax b r c-x++，r (k)为递减正数序列22. f(x)在区间［x 1,x 3］上为单峰函数，x 2为区间中的一点，x 4为利用二次插值法求得的近似极值点，若x 4-x 2＜0,且f(x 4)≥f(x 2)，则新的搜索区间为( )① ［x 1,x 4］ ② ［x 2,x 3］ ③ ［x 1,x 2］ ④［x 4,x 3］23. 已知F(X)=x 1x 2+2x 22+4,则F(X)在点X (0)=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-11的最大变化率为( )① 10 ② 4 ③ 2 ④ 1024.试判别矩阵1111⎡⎣⎢⎤⎦⎥，它是（ ）矩阵 ①单位 ②正定矩 ③负定 ④不定 ⑤半正定 ⑥半负定 25.约束极值点的库恩——塔克条件为：-∇=∇=∑F X g Xii qi()()**λ1，当约束函数是g i (X)≤0和λi>0时，则q 应为（ ）①等式约束数目 ②不等式约束数目 ③起作用的等式约束数目 ④起作用的不等式约束数目26.在图示极小化的约束优化问题中，最优点为（ ） ①A ②B ③C ④D27.内点罚函数(X,r (k))=F(X)-r (k)101g X g X u u u m(),(())≤=∑，在其无约束极值点X ·(r (k))逼近原目标函数的约束最优点时，惩罚项中（ ） ①r (k)趋向零，11g X u u m()=∑不趋向零 ②r (k)趋向零，11g X u u m()=∑趋向零 ③r (k)不趋向零，11g X u u m()=∑趋向零 ④r (k)不趋向零，11g X u u m()=∑不趋向零 29.0.618法在迭代运算的过程中，区间的缩短率是（ ）①不变的 ②任意变化的 ③逐渐变大 ④逐渐变小 30.对于目标函数F(X)受约束于g u (X) ≤0(u=1,2,…，m)的最优化设计问题，外点法惩罚函数的表达式是（ ）①()()(k)(k)2()1X,M F X M {max[(),0]},mk u u g X M =Φ=+∑为递增正数序列②()()(k)(k)2()1X,M F X M {max[(),0]},mk u u g X M =Φ=+∑为递减正数序列③()()(k)(k)2()1X,M F X M {min[(),0]},mk u u g x M =Φ=+∑为递增正数序列 ④()()(k)(k)2()1X,MF X M {min[(),0]},mk uu g x M=Φ=+∑为递减正数序列31.对于二次函数F(X)=12X T AX+b T X+c,若X *为其驻点，则▽F(X *)为（ ）①零 ②无穷大 ③正值 ④负值 32.在约束优化方法中，容易处理含等式约束条件的优化设计方法是（ ）①可行方向法 ②复合形法 ③内点罚函数法 ④外点罚函数法33．已知F(X)=(x 1-2)2+x 22,则在点X (0)=00⎧⎨⎩⎫⎬⎭处的梯度为（ ）①∇=⎧⎨⎩⎫⎬⎭F X ()()000 ②∇=-⎧⎨⎩⎫⎬⎭F X ()()020 ③∇=⎧⎨⎩⎫⎬⎭F X ()()040 ④∇=-⎧⎨⎩⎫⎬⎭F X ()()04034．Powell 修正算法是一种（ ）①一维搜索方法②处理约束问题的优化方法③利用梯度的无约束优化方法④不利用梯度的无约束优化方法 二、多项选择题(在每小题列出的多个选项中有两个以上选项是符合题目要求的，多选、少选、错选均无分) 35.下列矢量组中，关于矩阵A=105051--⎡⎣⎢⎤⎦⎥..共轭的矢量组是（ ）①s 1={0 1} ,s 2={1 0}T②s 1={-1 1}T ,s 2={1 1}T③s 1={1 0}T ,s 2={1 2}T④s 1={1 1}T ,s 2={1 2}T⑤.s 1={1 2}T ,s 2={2 1}T36. 对于只含不等式约束的优化设计问题，可选用的优化方法有( )① Powell 法 ② 变尺度法 ③ 内点罚函数法 ④ 外点罚函数法E. 混合罚函数法37. 根据无约束多元函数极值点的充分条件，已知驻点X*，下列判别正确的是( )①若Hesse矩阵H(X*)正定，则X*是极大值点②若Hesse矩阵H(X*)正定，则X*是极小值点③若Hesse矩阵H(X*)负定，则X*是极大值点④若Hesse矩阵H(X*)负定，则X*是极小值点⑤若Hesse矩阵H(X*)不定，则X*是鞍点38.下述Hesse矩阵中，正定矩阵为（）①3335⎡⎣⎢⎤⎦⎥②313153337⎡⎤⎢⎥-⎢⎥-⎢⎥⎣⎦③3445⎡⎣⎢⎤⎦⎥④245434542⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⑤523222327⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦39.F(X)在区间［a,b］上为单峰函数，区间内函数情况如图所示：F1=F2。
机械优化设计复习总结
1.优化设计问题的求解方法:解析解法和数值近似解法。
解析解法是指优化对象用数学方程（数学模型）描述,用数学解析方法的求解方法.解析法的局限性：数学描述复杂，不便于或不可能用解析方法求解。
数值解法：优化对象无法用数学方程描述，只能通过大量的试验数据或拟合方法构造近似函数式，求其优化解；以数学原理为指导，通过试验逐步改进得到优化解。
数值解法可用于复杂函数的优化解，也可用于没有数学解析表达式的优化问题.但不能把所有设计参数都完全考虑并表达，只是一个近似的数学描述。
数值解法的基本思路:先确定极小点所在的搜索区间,然后根据区间消去原理不断缩小此区间，从而获得极小点的数值近似解。
2.优化的数学模型包含的三个基本要素：设计变量、约束条件（等式约束和不等式约束）、目标函数（一般使得目标函数达到极小值）。
3.机械优化设计中，两类设计方法：优化准则法和数学规划法。
优化准则法：(为一对角矩阵）数学规划法:（分别为适当步长\某一搜索方向——数学规划法的核心）4.机械优化设计问题一般是非线性规划问题,实质上是多元非线性函数的极小化问题。
重点知识点：等式约束优化问题的极值问题和不等式约束优化问题的极值条件.5.对于二元以上的函数，方向导数为某一方向的偏导数。
函数沿某一方向的方向导数等于函数在该点处的梯度与这一方向单位向量的内积。
梯度方向是函数值变化最快的方向（最速上升方向），建议用单位向量表示，而梯度的模是函数变化率的最大值。
6.多元函数的泰勒展开。
海赛矩阵：=（对称方阵）7.极值条件是指目标函数取得极小值时极值点应满足的条件.某点取得极值，在此点函数的一阶导数为零，极值点的必要条件：极值点必在驻点处取得.用函数的二阶倒数来检验驻点是否为极值点。
二阶倒数大于零,取得极小值。
二阶导数等于零时，判断开始不为零的导数阶数如果是偶次,则为极值点，奇次则为拐点。
二元函数在某点取得极值的充分条件是在该点出的海赛矩阵正定。
极值点反映函数在某点附近的局部性质。
现代设计理论与方法(优化设计第二章)
1
致 1 结论：Q为正定矩阵的二次型 Y QY 的等值面是以 Y 0知 2 的同心椭球面族。原二次函数就是以 X Q b 为中 力 行 心的同心椭球面族，椭圆中心为极小值点。
0
f x2
f xn x
T
0
明 德x0
f i 1 xi
n
cos i f ( x0 )T d f ( x0 ) cos(f , d )
x0
多元函数的梯度的模：
f 1/ 2 f ( x0 ) [ ( ) ] i 1 xi x0
x2 1
该方向上的单位向量为
4 2 2 5 0 5 f ( x ) e 0 2 2 1 f ( x ) 4 (2) 5 5
2 2 1 0 5 5 5 5 新点 x x1 x 0 e 1 1 1 5 1 5 5 5
明 德 任 责
Q为对称矩阵，f ( X ) X T QX
二次型
f ( X ) 致 2QX
知 力 行
第二节 多元函数的泰勒展开
1、一元函数
f x 在
x x0
点处的泰勒展开为：
1 x0 x f x0 x 2 f x f x0 f 2
f x1 x x2 x 2 0
2 f x1x2 x1 2 x f 2 致 2 知 x2 x
0
明 德 任 责
力 行
2 f x12 令 G ( x0 ) 2 f x x 2 1
优化设计复习题
优化设计复习题一、 单项选择题1． 优化设计的自由度是指 。
A. 设计空间的维数B. 可选优化方法数C. 分目标函数数D. 所提供约束条件数2． 对于极小化优化设计问题，从)(k X 点出发，为保证新点)1(+k X 的目标函数值下降，所选搜索方向)(k S 应满足 。
A . 0)]([)()(<∇k T k S X f B. 0)]([)()(=∇k T k S X fC. 0)]([)()(>∇k T k S X fD. 0)]([)()(≤∇k T k S X f3． 在极小化无约束优化设计中，任意n 维函数的极小点必为)(X f的 。
A. 最小点B. 最优点C. 驻点D. 梯度不等于零的点 4． 若矩阵是⎥⎦⎤⎢⎣⎡1321，则它为 。
A. 对称矩阵 B.不定矩阵 C. 负定矩阵 D.正定矩阵5. 只利用目标函数值（不用求导）的无约束优化方法是 。
A. DFP 方法 B. 共轭梯度法 C . Newton 法 D. Powell 法6． 已知优化设计问题为：m1,2,u 0)( .)( min=≤X g t s X f u 当取0>uλ时，则约束极值点库恩——塔克条件表达式为 。
A. 0)()(1**=∇+∇∑=k u u u X g X fλ , 其中k 为起作用约束的个数;B.∑==∇-∇ku u u X g X f 10)()(λ, 其中k 为起作用约束的个数;C.∑=∇=∇-m u u u X g Xf 1**)()(λ; D. ∑=∇=∇mu u u X g X f 1**)()(λ;7. 多元函数)(X f 在*X 点附近偏导数连续，则该点为极小点的条件是： 。
A.0)(*=∆X f 且)(*X H 正定 B. 0)(*=∆X f 且)(*X H 负定 C.0)(*=∇X f 且)(*X H 正定 D.0)(*=∇X f 且)(*X H 负定8.在单峰搜索区间内][31,x x （31x x <）内，取一点2x ，二次插值法计算得4x （在[31,x x ]内），若42x x <，并且其函数值)()(42X f X f <则取新区间为 。
优化设计复习题(原)
优化设计复习题一、单项选择题(在每小题列出的选项中只有一个选项是符合题目要求的)1.多元函数F(X)在点X *附近偏导数连续， F ’(X *)=0且H(X *)正定，则该点为F(X)的（ ）①极小值点 ②极大值点 ③鞍点 ④不连续点2.F(X)为定义在n 维欧氏空间中凸集D 上的具有连续二阶偏导数的函数，若H(X)正定，则称F(X)为定义在凸集D 上的（ ）①凸函数 ②凹函数3.黄金分割法中，每次缩短后的新区间长度与原区间长度的比值始终是一个常数，此常数是（ ） ①0.382 ②0.186 ③0.618 ④0.8164.在单峰搜索区间[x 1,x 3](x 1<x 3)内，取一点x 2，用二次插值法计算得x 4(在[x 1,x 3]内)，若x 2>x 4,并且其函数值F （x 4）<F(x 2)，则取新区间为（ ）①[x 1,x 4] ②[x 2,x 3] ③[x 1,x 2] ④[x 4,x 3]5.用变尺度法求一n 元正定二次函数的极小点，理论上需进行一维搜索的次数最多为（ ）①n 次 ②2n 次 ③n+1次 ④2次 6.下列特性中，梯度法不具有的是（ ）①二次收剑性 ②要计算一阶偏导数 ③对初始点的要求不高 ④只利用目标函数的一阶偏导数值构成搜索方向 8.对于极小化F(X)，而受限于约束g μ(X)≤0(μ=1,2,…,m)的优化问题，其内点罚函数表达式为（ ） ① Ф(X,r (k))=F(X)-r(k)11/()gX u u m=∑② Ф(X,r (k))=F(X)+r(k)11/()g X u u m=∑③ Ф(X,r (k))=F(X)-r(k)max[,()]01gX u u m =∑④ Ф(X,r (k))=F(X)-r (k)min[,()]01g X u u m=∑9.外点罚函数法的罚因子为（ ） ①递增负序列 ②递减正序列 ③递增正序列 ④递减负序列 10．函数F （X ）为在区间［10，20］内有极小值的单峰函数，进行一维搜索时，取两点13和16，若F （13）<F （16），则缩小后的区间为（ ） ①［10,16］ ②［10,13］ ③［13,16］ ④［16，20］11．多元函数F （X ）在X ＊处存在极大值的充分必要条件是：在X *处的Hesse 矩阵（ ）①等于零 ②大于零 ③负定 ④正定 12．对于函数F （x ）=x 21+2x 22，从初始点x (0)={1,1}T 出发，沿方向s (0)={-1,-2}T进行一维搜索，最优步长因子为（ ）①10／16 ②5／9 ③9／34 ④1／213．目标函数F （x ）=x 21+x 22－x 1x 2，具有等式约束，其等式约束条件为h(x)=x 1+x 2-1=0,则目标函数的极小值为（ ）①1 ②0.5 ③0.25 ④0.1 14. 优化设计的自由度是指( )① 设计空间的维数 ② 可选优化方法数 ③ 所提目标函数数 ④ 所提约束条件数15. 在无约束优化方法中，只利用目标函数值构成的搜索方法是( )①梯度法 ② Powell 法 ③共轭梯度法 ④变尺度法 17. 利用0.618法在搜索区间［a,b ］内确定两点a 1=0.382,b 1=0.618，由此可知区间［a,b ］的值是( ) ①［0,0.382］ ② ［0.382,1］ ③ ［0.618,1］④ ［0,1］18. 已知函数F(X)=x 12+x 22-3x 1x 2+x 1-2x 2+1，则其Hesse 矩阵是( ) ① ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--2332 ② ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2332③ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2112 ④ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--322319. 对于求minF(X)受约束于g i (x)≤0(i=1,2,…,m)的约束优化设计问题，当取λi ≥0时，则约束极值点的库恩—塔克条件为( )① ()i i 1F X g (X)mi λ=∇=∇∑,其中λi 为拉格朗日乘子② ()i i 1F X =g (X)mi λ=-∇∇∑,其中λi 为拉格朗日乘子③ ()i i 1F X g (X)qi λ=∇=∇∑,其中λi 为拉格朗日乘子，q 为该设计点X 处的约束面数④()i i 1F X g (X)qi λ=-∇=∇∑,其中λi 为拉格朗日乘子，q 为该设计点X 处的约束面数20. 在共轭梯度法中，新构造的共轭方向S (k+1)为( ) ① S (k+1)= ∇F(X (k+1))+β(k)S (K)，其中β(k)为共轭系数② S (k+1)=∇F(X (k+1))－β(k)S (K)，其中β(k)为共轭系数 ③ S (k+1)=-∇F(X (k+1))+β(k)S (K)，其中β(k)为共轭系数④ S (k+1)=-∇F(X (k+1))－β(k)S (K)，其中β(k)为共轭系数 21. 用内点罚函数法求目标函数F(X)=ax+b 受约束于g(X)=c-x ≤0的约束优化设计问题，其惩罚函数表达式为( )① (k)1ax b r c-x +-，r (k)为递增正数序列 ② (k)1ax b r c-x +-，r (k)为递减正数序列 ③ (k)1ax b r c-x ++，r (k)为递增正数序列 ④ (k)1ax b r c-x ++，r (k)为递减正数序列22. f(x)在区间［x 1,x 3］上为单峰函数，x 2为区间中的一点，x 4为利用二次插值法求得的近似极值点，若x 4-x 2＜0,且f(x 4)≥f(x 2)，则新的搜索区间为( )① ［x 1,x 4］ ② ［x 2,x 3］ ③ ［x 1,x 2］ ④［x 4,x 3］23. 已知F(X)=x 1x 2+2x 22+4,则F(X)在点X (0)=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-11的最大变化率为( )① 10 ② 4 ③ 2 ④ 1024.试判别矩阵1111⎡⎣⎢⎤⎦⎥，它是（ ）矩阵 ①单位 ②正定矩 ③负定 ④不定 ⑤半正定 ⑥半负定 25.约束极值点的库恩——塔克条件为：-∇=∇=∑F X g Xii qi()()**λ1，当约束函数是g i (X)≤0和λi >0时，则q 应为（ ）①等式约束数目 ②不等式约束数目 ③起作用的等式约束数目 ④起作用的不等式约束数目26.在图示极小化的约束优化问题中，最优点为（ ） ①A ②B ③C ④D27.内点罚函数(X,r (k))=F(X)-r(k)101gX g X u u u m(),(())≤=∑，在其无约束极值点X ·(r (k))逼近原目标函数的约束最优点时，惩罚项中（ ） ①r (k)趋向零，11g X u u m()=∑不趋向零 ②r (k)趋向零，11g X u u m()=∑趋向零 ③r (k)不趋向零，11g X u u m()=∑趋向零④r (k)不趋向零，11g X uu m()=∑不趋向零 29.0.618法在迭代运算的过程中，区间的缩短率是（ ） ①不变的 ②任意变化的 ③逐渐变大 ④逐渐变小 30.对于目标函数F(X)受约束于g u (X) ≤0(u=1,2,…，m)的最优化设计问题，外点法惩罚函数的表达式是（ ） ①()()(k)(k)2()1X,M F X M {max[(),0]},mk u u g X M =Φ=+∑为递增正数序列②()()(k)(k)2()1X,M F X M {max[(),0]},mk u u g X M =Φ=+∑为递减正数序列③()()(k)(k)2()1X,M F X M {min[(),0]},mk u u g x M =Φ=+∑为递增正数序列④()()(k)(k)2()1X,M F X M {min[(),0]},mk u u g x M =Φ=+∑为递减正数序列31.对于二次函数F(X)=12X T AX+b T X+c,若X *为其驻点，则▽F(X *)为（ ）①零 ②无穷大 ③正值 ④负值 32.在约束优化方法中，容易处理含等式约束条件的优化设计方法是（ ）①可行方向法 ②复合形法 ③内点罚函数法 ④外点罚函数法33．已知F(X)=(x 1-2)2+x 22,则在点X (0)=00⎧⎨⎩⎫⎬⎭处的梯度为（ ） ①∇=⎧⎨⎩⎫⎬⎭F X()()000 ②∇=-⎧⎨⎩⎫⎬⎭F X ()()020③∇=⎧⎨⎩⎫⎬⎭F X()()040 ④∇=-⎧⎨⎩⎫⎬⎭F X ()()040 34．Powell 修正算法是一种（ ）①一维搜索方法②处理约束问题的优化方法③利用梯度的无约束优化方法④不利用梯度的无约束优化方法 二、多项选择题(在每小题列出的多个选项中有两个以上选项是符合题目要求的，多选、少选、错选均无分) 35.下列矢量组中，关于矩阵A=105051--⎡⎣⎢⎤⎦⎥..共轭的矢量组是（ ）①s 1={0 1} ,s 2={1 0}T②s 1={-1 1}T ,s 2={1 1}T③s 1={1 0}T ,s 2={1 2}T④s 1={1 1}T ,s 2={1 2}T⑤.s 1={1 2}T ,s 2={2 1}T36. 对于只含不等式约束的优化设计问题，可选用的优化方法有( )① Powell 法 ② 变尺度法 ③ 内点罚函数法 ④ 外点罚函数法 E. 混合罚函数法37. 根据无约束多元函数极值点的充分条件，已知驻点X *，下列判别正确的是( )①若Hesse矩阵H(X*)正定，则X*是极大值点②若Hesse矩阵H(X*)正定，则X*是极小值点③若Hesse矩阵H(X*)负定，则X*是极大值点④若Hesse矩阵H(X*)负定，则X*是极小值点⑤若Hesse矩阵H(X*)不定，则X*是鞍点38.下述Hesse矩阵中，正定矩阵为（）①3335⎡⎣⎢⎤⎦⎥②313153337⎡⎤⎢⎥-⎢⎥-⎢⎥⎣⎦③3445⎡⎣⎢⎤⎦⎥④245434542⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⑤523222327⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦39.F(X)在区间［a,b］上为单峰函数，区间内函数情况如图所示：F1=F2。
优化设计复习题
一、 填空题二、 用最速下降法求()()2211f x =100)1x x -+-（x 最优解时，设()[]00.5,0.5T x =-,第一步迭代的搜索方向为 T 100]- [103。
三、 机械优化设计采用数学的规划法，其核心一是最佳步长，二是搜索方向。
四、 当优化问题是凸规划的情况下，在任何局部最优解就是全域最优解。
五、 应用外推法来确定搜索区间时，最后得到的三点，即为搜索区间的始点，中间点和终点，他们的函数值形成趋势高--低--高。
六、 包含n 个设计变量的优化问题，称为 n 维优化问题。
七、 函数12TT x Hx B x c ++的梯度为_________。
八、 设G 为n n ⨯对称正定矩阵，若n 维空间中有两个非零向量0d ,1d ,满足()010d Gd=，则0d ，1d 之间存在共轭关系。
九、 与负梯度成锐角的方向为函数值下降 方向，与梯度成直角的方向为函数值的不变方向。
十、 设计变量、目标函数、约束条件是优化设计问题的数学模型的基本要素。
十一、 对于无约束二元函数()12,f x x ，若在()01234,x x x =点处取得极小值，其必要条件是在0x 点的梯度为0,充分条件是在0x 点的海赛矩阵正定。
十二、 K-T 条件可以叙述为在极值点处目标函数的负梯度为起作用的各约束函数梯度的非负线性组合。
十三、 用黄金分割法求一元函数()21036f x x x =-+的极值点，初始搜索区间[][],10,10a b =-，经第一次区间消去后得到新区间【-2.36,10】。
十四、 优化设计问题的数学模型的基本要素有设计变量，目标函数，约束条件。
十五、 牛顿法搜索方向k d =()()21()k k f x f x --∇∇，其计算是 大，且要求初始在级极小点附近位置。
十六、 将函数()2112121210460f x x x x x x x =+---+表示成12TT x Hx B x c ++的形式为 。
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优化设计方法学复习资料一、数学规划法部分：1.一维搜索：当方向k d 给定时，求最佳步长k α就是求一元函数)()()(1k k k k k d x f x f αϕα=+=+的极值问题，称为一维搜索。
一维搜索问题的求解方法有两种：解析解法和数值解法。
解析解法思路：利用一元函数的极值条件0)('*=αϕ求*α。
需要指出的是，在用函数)(αϕ的导数求*α，所用的函数是步长因子α为变量的一元函数，而不是以设计点x 为变量的多元函数)(x f 。
如果直接利用)(x f ，此时需要计算kx x =点处的梯度)(x f ∇和海赛矩阵G 。
数值解法：利用计算机通过反复迭代计算，求得最佳步长因子的近似值。
先确定*α所在的搜索区间，然后根据区间消去法原理不断缩小此区间，从而获得*α的数值近似解。
一维搜索方法的分类：可以分为两大类。
一类是试探法，这类方法是按照某种给定规律来确定区间内插入点的位置的，此点位置的确定仅考虑加快区间缩短速度，而不顾及函数值的分布关系。
代表算法：黄金分割法，Fibonacci 法等。
另一类是插值法，用插值函数的极小点作为区间的插入点。
代表算法：牛顿法（切线法），二次插值法，三次插值法等。
2.无约束优化方法关键：确定搜索方向k d 的构成问题是无约束优化方法的关键。
分类：（1）利用目标函数的一阶或二阶导数的无约束优化方法【解析解法】，如最速下降法、共轭梯度法、牛顿法以及变尺度法等。
（2）只利用目标函数值的无约束优化方法【数值解法】，如坐标轮换法、单形替代法及Powell 法等。
3.约束优化方法（修正）【分类】直接法：随机方向法、复合形法；间接法：惩罚函数法，增广乘子法,可行方向法、广义简约梯度法。
二、智能算法部分：1.遗传算法①提出：遗传算法起源于对生物系统所进行的计算机模拟研究。
本世纪40年代，就有学者开始研究如何利用计算机进行生物模拟的技术，他们从生物学的角度进行了生物的进化过程模拟、遗传过程模拟等研究工作。
进入60年代后，美国密执安大学的Holland 教授及其学生们受到这种生物模拟技术的启发，创造出了一种基于生物遗传和进化机制的适合于复杂系统优化计算的自适应概率优化技术——遗传算法。
②基本遗传算法：步骤一：初始化。
设置进化代数计算器t ←0；设置最大进化代数T ，随机生成M 个个体作为初始群体P （0）。
步骤二：个体评价。
计算群体P （t ）中各个个体的适应度。
步骤三：选择运算。
将选择算子作用于群体。
步骤四：交叉运算。
将交叉算子作用于群体。
步骤五：变异运算。
将变异算子作用于群体。
群体P（t）经过选择、交叉、变异运算之后得到下一代群体P（t+1）。
步骤六：终止条件判断。
若t≤T,则：t←t+1，转到步骤二；若t＞T，则以进化过程中所得到的具有最大适应度的个体作为最优解输出，终止计算。
③基本遗传算法的三种遗传算子选择运算：使用比例选择算子；交叉运算：使用单点交叉算子；变异运算：使用基本位变异算子。
（1）选择算子适应度较高的个体被遗传到下一代群体中的概率较大，适应度较低的个体被遗传到下一代群体中的概率较小。
选择方法：比例选择法（轮盘赌）、锦标赛选择法（2）交叉算子选择是对优秀个体的复制，不能产生新个体，交叉对相互配对的染色体按某种方式相互交换其部分基因，从而形成两个新的个体。
交叉操作是产生新个体的主要方法。
二进制编码染色体的交叉：单点交叉、多点交叉、均匀交叉（模式定理）（3）变异算子将个体染色体编码串中的某些基因位编码字符集的其它字符替换。
比如，二进制编码染色体的变异编码字符集为{0,1},变异操作就是将变异点上的基因取反，变异点是按概率Pm在染色体基因位上指定的。
④遗传算法的控制参数（1）编码长度：使用二进制编码时，编码长度通常由对问题的求解精度决定；使用实数编码时，编码长度与决策变量的个数相等。
（2）种群规模：表示每一代种群中所含个体的数目。
种群规模取值较小时，可提高遗传算法的运算速度，但却使遗传算法的搜索空间较小，种群缺乏足够的多样性，容易引起遗传算法的早熟现象；而当种群规模取值较大时，种群中个体的多样性较高，获得全局最优解的概率就越大，但相应的适应度评价次数和计算量就越大，使得遗传算法的运行效率降低。
一般建议的取值范围是20～100。
（3）交叉概率：反映了交叉运算被使用的频率。
在遗传算法中，交叉运算被认为是主要的搜索算子，所以交叉概率一般应取较大值。
一般来说，较大的交叉概率容易破坏种群中已经形成的优良模式，使搜索具有太大的随机性，对进化运算反而产生不利影响；而较小的交叉概率使得发现新个体的速度太慢。
一般建议的取值范围是0.4～0.99。
另外，也可使用自适应的思想来确定交叉概率。
（4）变异概率：变异在遗传算法中的作用是保持种群的多样性和提高算法的局部搜索能力。
若变异概率取值较大的话，虽然能够产生出较多的新个体，有助于提高种群多样性，但也有可能破坏掉很多较好的模式，使得遗传算法的性能近似于随机搜索算法的性能；若变异概率取值太小的话，虽然可以防止进化种群中重要信息的遗失，但变异运算产生新个体的能力和抑制早熟现象的能力就会较差，不利于遗传进化的局部搜索。
通常情况下变异概略擦的取值取值范围是0.0001～0.1。
也可使用自适应的思想来确定变异概率。
（5）终止代数：是表示遗传算法运行结束条件的一个参数，它表示遗传算法运行到指定的进化代数之后就停止运行，并将当前种群中的最优个体作为所求问题的最优解输出。
常用的办法是预先给定算法的终止进化代数。
一般来说，预先给定算法的终止进化代数只能找到问题在给定时限内所能寻求的相对满意解，但不一定是问题的最优解或较高精度的近似解。
为了获得较高精度的近似解，通常可依据种群适应度的稳定来适时调整终止进化代数的设置，或者在连续进化数代以后，如果解的适应度没有明显的改进，则终止进化过程。
终止进化代数一般的取值范围是100～1000。
2.蚁群算法①基于图的蚁群系统（GBAS ）STEP 0 对n 个城市的TSP 问题，},|),{(},...,2,1{N j i j i A n N ∈==，城市间的距离矩阵为n n ij d ⨯)(，给TSP 图中的每一条弧),(j i 赋信息素初值A ij /1)0(=τ，假设m 只蚂蚁在工作，所有蚂蚁都从同一城市0i 出发。
当前最好解是),...,2,1(n w =。
STEP 1（外循环）如果满足算法的停止规则，则停止计算并输出计算得到的最好解。
否则使蚂蚁s 从起点0i 出发，用)(s L 表示蚂蚁s 行走的城市集合，初始)(s L 为空集，m s ≤≤1。
STEP2(内循环)按蚂蚁m s ≤≤1的顺序分别计算。
当蚂蚁在城市i ，若N s L =)(或φ=∉∈)}(,),(|{s L l A l i l ，完成第s 只蚂蚁的计算。
否则N s L ≠)(且φ≠-∉∈=}{)}(,),(|{0i s L l A l i l T ，若以概率T j p T j k k p ij Ti ij ij ij ∉=∈--=∑∈,0,,)1()1(ττ 到达j ，j i j s L s L =⋃=},{)()(；若N s L ≠)(且φ≠-∉∈=}{)}(,),(|{0i s L l A l i l T ，则到达0i ，00},{)()(i i i s L s L =⋃=重复STEP 2。
STEP 3 对m s ≤≤1 ，若N s L =)(，按)(s L 中城市的顺序计算路径程度；若 N s L ≠)(，路径长度置为一个无穷大值（即不可达）。
比较m 只蚂蚁中的路径长度，记走最短路径的蚂蚁为t 。
若 ))(())((W L f t L f <，则)(t L W =。
用如下公式对W 路径上的信息素痕迹加强，对其他路径上的信息素进行挥发。
得到新的1),(+=k k k ij τ，重复步骤STEP 1。
在STEP 3 中，挥发因子k ρ对于一个固定的1≥K ，满足K k k k k ≥+-≤,)1ln(ln 1ρ，并且∞=∑∞=1k k ρ，经过k 次挥发，非最优路径的信息素逐渐减少至消失。
②信息素的更新1 信息素挥发（evaporation ） 信息素痕迹的挥发过程是每个连接上的信息素痕迹的浓度自动逐渐减弱的过程，由)()1(k ij k τρ-表示，这个挥发过程主要用于避免算法过快地向局部最优区域集中，有助于搜索区域的扩展。
2 信息素增强（reinforcement ）增强过程是蚁群优化算法中可选的部分，称为离线更新方式（还有在线更新方式）。
这种方式可以实现由单个蚂蚁无法实现的集中行动。
也就是说，增强过程体现在观察蚁群（m 只蚂蚁）中每只蚂蚁所找到的路径，并选择其中最优路径上的弧进行信息素的增强，挥发过程是所有弧都进行的，不与蚂蚁数量相关。
这种增强过程中进行的信息素更新称为离线的信息素更新。
一般蚁群算法的框架和GBAS 基本相同，有三个组成部分：蚁群的活动；信息素的挥发；信息素的增强；主要体现在前面的算法中步骤2和步骤3中的转移概率公式和信息素更新公式。
3.粒子群算法①基本思路（1）算法介绍：每个寻优的问题解都被想象成一只鸟，我们也称为“Particle ”粒子。
所有的Particle 都有一个fitness function 以判断目前的位置之好坏。
每一个Particle 必须赋予记忆性，能记得所搜寻到最佳位置。
每一个Particle 还有一个速度以决定飞行的距离与方向。
（2）算法流程：1.Initial ：将群族做初始化，以随机的方式求出每一Particle 之初始位置与速度。
2.Evaluation ：依据fitness function 计算出其fitness value 以作为判断每一Particle 之好坏。
3.Fine the Pbest ：找出每一Particle 到目前为止的搜寻过程中最佳解，这个最佳解我们将之称为Pbest 。
4.Fine the Gbest ：找出所有Particle 到目前为止所搜寻到的整体最佳解，此最佳解我们称之为Gbest 。
5.Update the Velocity ：依据式(1) 与式(2) 更新每一Particle 之速度与位置。
6.回到步骤2. 继续执行，直到获得一个令人满意的结果或符合终止条件为止。
②速度更新函数其中，Vid ：每一Particle 在第d 维之速度i ：Particle 之编号d ：维度w ：Inertia Weightc1、c2：学习常数Rand()：一介于0至1的随机数Pid ：每一Particle 到目前为止，所出现的最佳位置Pgd ：所有Particle 到目前为止，所出现的最佳位置xid ：每一Particle 目前之所在位置更新：粒子群内的每一个粒子点更新如下公式：id id id V x x +=，更新之后的点也必须限定在规定范围内。