15三角函数的应用
15度角三角函数值
15度角三角函数值
摘要：
1.15度角的基本概念
2.15度角的三角函数值
3.15度角在实际应用中的例子
4.总结
正文：
在我们学习数学的时候，尤其是三角函数，15度角是一个常见的角度。
在这个角度下，三角函数值有着特定的规律和特点。
本文将详细介绍15度角的三角函数值，以及在实际应用中的例子。
首先，我们来了解一下15度角的基本概念。
15度角是指角度为15度的角，它是一个小于90度的锐角。
在数学中，15度角常常用于计算三角函数值，如正弦、余弦、正切等。
接下来，我们来看15度角的三角函数值。
根据数学公式，15度角的正弦值约为0.2594，余弦值约为0.9659，正切值约为0.0416。
这些数值在三角函数计算中具有重要的意义，特别是在解决与角度相关的几何和物理问题时。
15度角在实际应用中的例子有很多。
例如，在建筑领域，建筑师需要了解建筑物的某个角度的正弦、余弦值，以便计算出相应的边长和高度。
在航海领域，航海员需要利用15度角的正切值来计算航向角，确保船只沿着正确的航向行驶。
这些实际应用都体现了15度角在解决问题中的重要性。
最后，总结一下本文的内容。
15度角是一个常见的数学角度，其三角函数
值在实际应用中具有重要作用。
了解15度角的三角函数值和相关概念，可以帮助我们更好地解决与角度相关的数学和实际问题。
在今后的学习和工作中，我们要善于运用15度角的三角函数值，发挥其在各种领域的作用。
三角函数的应用ppt课件
A.
H
55
sin
π 15
t
π 2
,
x 0, 30
C.
H
55
sin
π 15
t
π 2
55 ,
x 0, 30
B.H
55
sin
π 15
t
π 2
,
x 0, 30
D.H
55
sin
π 15
t
π 2
65,
x 0, 30
解析：因为游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30min ，所 以游客进仓后第一次到达最高点时摩天轮旋转半周，大约需要15min ， 又因为摩天轮最高点距离地面高度为120m ，所以t 15 时， H 120 ，
i
Asin
t
来刻画，其中
2π
表示频率，A
表示振幅，
表示初相.
解：
（1）由图可知，电流最大值 5A，因此 A=5；电流变化的周期为 1 s,频率为 50Hz， 50
即 50 ，解 得 100π ；再 由初始状 态（ t=0）的 电流约为 4.33A，可 得
2π
sin
0.866
，因此
约为
π 3
.所以电流 i
解析：设角速度
k
sin (k
0)
，故旋转一周所用的时间t
k
2
sin
.当
90
2
时，
t
24
，故
k
12
，所以
t
24
sin
.故当“傅科摆”处于北纬
40
时，
15°的三角函数
15°的三角函数三角函数是数学中非常重要的一类函数，主要研究角度与边长之间的关系。
在三角函数中，15°是非常特别的一个角度，因为它无法通过常见的整数角度通过简单的几何构造得到。
下面将对15°的三角函数进行详细介绍和拓展。
1. 15°的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割15°的正弦为sin(15°)=0.2588，余弦为cos(15°)=0.9659，正切为tan(15°)=0.2679，余切为cot(15°)=3.7321，正割为sec(15°)=3.8637，余割为csc(15°)=1.4460。
2. 15°与30°的关系15°和30°是两个无法通过常见的整数角度通过简单的几何构造得到的角度。
它们之间有很特殊的关系，可以通过三角函数来表达。
事实上，sin(15°)=cos(75°)，cos(15°)=sin(75°)，tan(15°)=cot(75°)，cot(15°)=tan(75°)，sec(15°)=csc(75°)，csc(15°)=sec(75°)。
这个关系常用于数学中的角度变换和三角函数的简化。
3. 15°与勾股定理勾股定理是三角函数中非常重要的一条定理，可以用来计算三角形的边长。
对于一个直角三角形，勾股定理可以表示为a+b=c，其中a、b为两条直角边，c为斜边。
如果角度给定，勾股定理可以表示为sinθ+cosθ=1，其中θ为角度。
对于15°的角度，勾股定理可以表示为sin15°+cos15°=1，也就是0.2588+0.9659≈1，验证了勾股定理的正确性。
4. 15°的应用15°的三角函数在实际应用中也有着非常重要的作用。
三角函数的应用
三角函数的应用三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。
它们的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。
通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域。
另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。
现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。
由于三角函数的周期性，它并不具有单值函数意义上的反函数。
三角函数在复数中有较为重要的应用。
在物理学中，三角函数也是常用的工具。
基本初等内容它有六种基本函数(初等基本表示)：函数名正弦余弦正切余切正割余割在平面直角坐标系xOy中，从点O引出一条射线OP，设旋转角为θ，设OP=r，P点的坐标为（x，y）有正弦函数sinθ=y/r余弦函数cosθ=x/r正切函数tanθ=y/x余切函数cotθ=x/y正割函数secθ=r/x余割函数cscθ=r/y（斜边为r，对边为y，邻边为x。
）以及两个不常用，已趋于被淘汰的函数：正矢函数versinθ =1-cosθ余矢函数coversθ =1-sinθ正弦（sin）:角α的对边比上斜边余弦（cos）:角α的邻边比上斜边正切（tan）:角α的对边比上邻边余切（cot）:角α的邻边比上对边正割（sec）:角α的斜边比上邻边余割（csc）:角α的斜边比上对边[编辑本段]同角三角函数间的基本关系式：·平方关系：sin²(α)+cos²(α)=1 cos²(a)=(1+cos2a)/2tan²(α)+1=sec²(α) sin²(a)=(1-cos2a)/2cot²(α)+1=csc²(α)·积的关系：sinα=tanα*cosαcosα=cotα*sinαtanα=sinα*secαcotα=cosα*cscαsecα=tanα*cscαcscα=secα*cotα·倒数关系：tanα·cotα=1sinα·cscα=1cosα·secα=1直角三角形ABC中,角A的正弦值就等于角A的对边比斜边,余弦等于角A的邻边比斜边正切等于对边比邻边,·三角函数恒等变形公式·两角和与差的三角函数：cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβcos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβsin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβtan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)·三角和的三角函数：sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγcos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγtan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)·辅助角公式：Asinα+Bcosα=(A²+B²)^(1/2)sin(α+t)，其中sint=B/(A²+B²)^(1/2)cost=A/(A²+B²)^(1/2)tant=B/AAsinα+Bcosα=(A²+B²)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B·倍角公式：sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)cos(2α)=cos²(α)-sin²(α)=2cos²(α)-1=1-2sin²(α)tan(2α)=2tanα/[1-tan²(α)]·三倍角公式：sin(3α)=3sinα-4sin³(α)cos(3α)=4cos³(α)-3cosα·半角公式：sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα·降幂公式sin²(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2cos²(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2tan²(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))·万能公式：sinα=2tan(α/2)/[1+tan²(α/2)]cosα=[1-tan²(α/2)]/[1+tan²(α/2)]tanα=2tan(α/2)/[1-tan²(α/2)]·积化和差公式：sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]·和差化积公式：sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]·推导公式tanα+cotα=2/sin2αtanα-cotα=-2cot2α1+cos2α=2cos²α1-cos2α=2sin²α1+sinα=(sinα/2+cosα/2)²·其他：sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0 cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0以及sin²(α)+sin²(α-2π/3)+sin²(α+2π/3)=3/2tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0cosx+cos2x+...+cosnx= [sin(n+1)x+sinnx-sinx]/2sinx证明：左边=2sinx(cosx+cos2x+...+cosnx)/2sinx=[sin2x-0+sin3x-sinx+sin4x-sin2x+...+sinnx-sin(n-2)x+sin(n+1)x-sin(n-1)x]/2sinx （积化和差）=[sin(n+1)x+sinnx-sinx]/2sinx=右边等式得证sinx+sin2x+...+sinnx= - [cos(n+1)x+cosnx-cosx-1]/2sinx证明:左边=-2sinx[sinx+sin2x+...+sinnx]/(-2sinx)=[cos2x-cos0+cos3x-cosx+...+cosnx-cos(n-2)x+cos(n+1)x-cos(n-1)x]/(-2sinx) =- [cos(n+1)x+cosnx-cosx-1]/2sinx=右边等式得证[编辑本段]三角函数的诱导公式公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2kπ＋α）＝sinαcos（2kπ＋α）＝cosαtan（2kπ＋α）＝tanαcot（2kπ＋α）＝cotα公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π＋α）＝－sinαcos（π＋α）＝－cosαtan（π＋α）＝tanαcot（π＋α）＝cotα公式三：任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin（－α）＝－sinαcos（－α）＝cosαtan（－α）＝－tanαcot（－α）＝－cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π－α）＝sinαcos（π－α）＝－cosαtan（π－α）＝－tanαcot（π－α）＝－cotα公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π－α）＝－sinαcos（2π－α）＝cosαtan（2π－α）＝－tanαcot（2π－α）＝－cotα公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin（π/2＋α）＝cosαcos（π/2＋α）＝－sinαtan（π/2＋α）＝－cotαcot（π/2＋α）＝－tanαsin（π/2－α）＝cosαcos（π/2－α）＝sinαtan（π/2－α）＝cotαcot（π/2－α）＝tanαsin（3π/2＋α）＝－cosαcos（3π/2＋α）＝sinαtan（3π/2＋α）＝－cotαcot（3π/2＋α）＝－tanαsin（3π/2－α）＝－cosαcos（3π/2－α）＝－sinαtan（3π/2－α）＝cotαcot（3π/2－α）＝tanα(以上k↔Z)[编辑本段]正余弦定理正弦定理是指在一个三角形中，各边和它所对的角的正弦的比相等，即a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R ．余弦定理是指三角形中任何一边的平方等于其它两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的2倍，即a^2=b^2+c^2-2bc cosA角A的对边于斜边的比叫做角A的正弦，记作sinA，即sinA=角A的对边/斜边斜边与邻边夹角asin=y/r无论y>x或y≤x无论a多大多小可以任意大小正弦的最大值为1 最小值为-[编辑本段]部分高等内容·高等代数中三角函数的指数表示(由泰勒级数易得)：sinx=[e^(ix)-e^(-ix)]/(2i)cosx=[e^(ix)+e^(-ix)]/2tanx=[e^(ix)-e^(-ix)]/[ie^(ix)+ie^(-ix)]泰勒展开有无穷级数，e^z=exp(z)＝1＋z/1！＋z^2/2！＋z^3/3！＋z^4/4！＋…＋z^n/n！＋…此时三角函数定义域已推广至整个复数集。
15度角三角函数值
15度角三角函数值（实用版）目录1.15 度角三角函数的定义与重要性2.正弦、余弦、正切函数在 15 度角下的值3.应用实例与注意事项正文【15 度角三角函数的定义与重要性】在数学中，三角函数是一类重要的函数，它们与三角形和角度有着密切的关系。
在实际生活和科学研究中，三角函数有着广泛的应用。
本篇文章将介绍 15 度角三角函数值，包括正弦、余弦和正切函数在 15 度角下的值。
【正弦、余弦、正切函数在 15 度角下的值】1.正弦函数（sine，sin）：正弦函数是指在直角三角形中，对于一个角 A，其对边长度与斜边长度之比。
在 15 度角下，正弦函数的值为：sin 15°≈ 0.25882.余弦函数（cosine，cos）：余弦函数是指在直角三角形中，对于一个角 A，其邻边长度与斜边长度之比。
在 15 度角下，余弦函数的值为：cos 15°≈ 0.96593.正切函数（tangent，tan）：正切函数是指在直角三角形中，对于一个角 A，其对边长度与邻边长度之比。
在 15 度角下，正切函数的值为：tan 15°≈ 0.2680【应用实例与注意事项】了解 15 度角三角函数值有助于我们在解决实际问题时更加方便快捷地计算相关数值。
在实际应用中，我们可以通过计算三角函数值来解决一些与角度相关的问题，例如计算建筑物的高度、测量地理位置等。
需要注意的是，在计算三角函数值时，要确保角度的单位为度。
此外，根据实际问题的需求，选择合适的三角函数进行计算，以获得准确的结果。
综上所述，15 度角三角函数值在实际生活和科学研究中具有一定的应用价值。
了解这些数值有助于提高我们在解决实际问题时的计算效率。
1.5 三角函数的应用(教案)-北师大版数九年级下册
第5节三角函数的应用1.经历探索船是否有触礁危险的过程,进一步体会三角函数在解决实际问题过程中的应用.2.能够把实际问题转化为数学问题,能够借助计算器进行有关三角函数的计算,并能对结果的意义进行说明.3.发展学生的数学应用意识和解决问题的能力.1.从实际问题中提炼出用三角函数解决问题的数学思想.2.进一步感受数形结合思想(方程方法与画图法),力图引导学生从三个例题解答中归纳并建构数学模型思想,即抽象成平面图形(直角三角形)后,再利用三角函数解决问题.1.发展学生的数学应用意识和解决实际问题的能力.2.能将实际问题抽象成数学问题(数学符号或图形).3.让学生在探索活动中相互合作与交流,进一步发展学生的合作交流能力和数学表达能力.【重点】1.经历探索船是否有触礁危险的过程,进一步体会三角函数在解决实际问题过程中的作用.2.发展学生的数学应用意识和解决问题的能力.【难点】灵活将实际问题转化为数学问题,建立数学模型,并选择适当三角函数来解决.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】复习解直角三角形的相关知识.导入一:课件出示:《盘点1833年以来重大海难》2015年6月1日约21时28分,一艘从南京驶往重庆的客船“东方之星”号在长江中游沉没.出事船舶载客458人,其中内宾406人、旅行社随行工作人员5人、船员47人.仅14人生还.历史上的海难事件非常多,最著名的海难事件应属1912年的泰坦尼克号沉没,但实际上,遇难人数远超泰坦尼克号的遇难船只并不罕见.在这一统计所含的75起海难中,遇难人数超过1000人的共有18起.随着时间的推移,因袭击所致的海难逐渐减少.但21世纪以来,海难仍时有发生,如:2014年韩国“岁月号”客轮,2008年菲律宾“群星公主号”客轮,2006年埃及客轮“萨拉姆98号”,2002年的塞内加尔“乔拉号”等船只遇难都造成了巨大的人员伤亡.【引入】今天我们就探究与轮船航行有关的知识.[设计意图]通过对历史上海难事件的了解,使学生对本节课所要探究的知识有一个初步了解,在揭示本课主题的同时,也对学生进行了安全教育,一举两得.导入二:课件出示:多媒体播放:《泰坦尼克号》3D版预告片视频.音频介绍:泰坦尼克号(RMS Titanic)是一艘奥林匹克级游轮,由位于北爱尔兰贝尔法斯特的哈兰·沃尔夫船厂兴建,是当时最大、最豪华的客运轮船.在泰坦尼克号的处女航中,因为船长的大意、舵手没有能够分清方向、没有准确计算距离等人为错误,于1912年4月14日船上时间夜里11点40分撞上冰山,2小时40分钟后,船分裂成两半后沉入大西洋.泰坦尼克号海难为和平时期死伤人数(船上2208名船员和旅客中,只有705人生还)最惨重的海难之一,同时也是最广为人知的海上事故之一.【引入】如果你是船长,怎样才能利用我们所学的知识躲开冰山,进而避免像泰坦尼克号这样的灾难发生呢?[设计意图]通过一段视频,进行音乐与3D影片的欣赏,让学生有一些听觉与视觉的冲击,感受现代科技手段为影片带来的美感,感受生活是美的,我们的身边处处都是美,树立对美的追求.课件出示:如图所示,海中有一个小岛A,该岛四周10n mile内有暗礁.今有货轮由西向东航行,开始在A 岛南偏西55°的B处,往东行驶20n mile后到达该岛的南偏西25°的C处.之后,货轮继续往东航行.你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗你是怎样想的?与同伴进行交流.师引导学生思考:问题1货轮要向正东方向继续行驶,有没有触礁的危险是由什么决定的?【学生活动】学生分组讨论,统一答案:根据题意知小岛四周10n mile内有暗礁,那么货轮继续向东航行,如果到A的最短距离大于10n mile,则无触礁的危险,如果小于10n mile,则有触礁的危险.过A作AD⊥BC,D为垂足,A到BC所在直线的距离为即为AD的长度.我们需根据题意计算出AD 的长度,然后与10n mile比较.问题2如何利用已知条件求出AD的长度呢?【学生活动】先独立思考,然后小组交流,统一想法,代表发言:在Rt△ADB和Rt△ADC中,AD是它们的公共直角边,而且BC是这两个直角三角形中直角边BD与CD的差,即BC=BD-CD,BD与CD的对角是已知的,可以利用两个直角三角形的三角函数分别表示出BD 和CD,即在Rt△ADB中,tan55°=,BD=AD tan55°.在Rt△ADC中,tan25°=,CD=AD tan25°.这样可以列出关于AD的一元一次方程,即AD tan55°-AD tan25°=20.【教师点评】在我们解决数学问题时,很多地方都会用到方程,因此方程思想是我们初中数学中最重要的数学思想之一.【师生活动】学生独立解答,师巡视,对有困难的学生给予及时帮助,代表板演展示,师生共同订正,规范学生的解题过程.解:过A作BC的垂线,交BC于点D.在Rt△ABD中,易知tan55°=,∴BD=AD tan55°.在Rt△ACD中,易知tan25°=,∴CD=AD tan25°.设AD=x,则BD=tan55°x,CD=tan25°x.∵BC=BD-CD,∴tan55°x-tan25°x=20,解得x=≈20.79,即AD≈20.79n mile.∵20.79>10,∴货轮没有触礁的危险.【讨论】此题的其他解法.【学生活动】分组相互讨论、交流,各组组长展示本组的解题方法,师生共同探讨其方法的可行性,统一做法,代表板演:解:设CD=x,则BD=x+20.在Rt△ACD中,tan25°=,∴AD=.在Rt△ABD中,tan55°=,∴BD=AD tan55°=·tan55°.∴x+20=·tan55°,∴x=≈9.70,∴AD=≈20.79(n mile).∵20.79>10,∴货轮没有触礁的危险.[设计意图]在“货轮有触礁的危险吗?”的探讨过程中,学生入手感到困难,所以精心设计了一系列问题,将难点分解,逐步引导学生总结出应用数学知识解决实际问题的一般步骤,进一步培养了学生的探究、归纳能力和解决实际问题的能力.[知识拓展]应用三角函数知识解决实际问题的步骤:(1)根据题意,画出示意图,将实际问题转化为数学问题;(2)用三角函数和方程的思想解决关于直角三角形的问题;(3)解释结果的合理性.二、利用仰角和俯角解决实际问题课件展示:【想一想】如图所示,小明想测量塔CD的高度.他在A处仰望塔顶,测得仰角为30°,再往塔的方向前进50m至B处,测得仰角为60°,那么该塔有多高?(小明的身高忽略不计,结果精确到1m)教师引导学生思考并回答:1.在这个图中,仰角为30°、仰角为60°分别指哪两个角?2.此题的示意图和“船触礁”问题的示意图一样吗?它们有什么共同点?【学生活动】1.学生分析题目中的两个仰角的对应情况,并相互订正.得出结论:∠DAC=30°,∠DBC=60°.2.两题的示意图都含有两个直角三角形,所以解答方法类似.【教师活动】要求学生类比“船触礁”问题的解答方法,对本题进行解答.【师生活动】学生思考后,独立完成,然后与同伴交流,代表展示,师生共同订正.解:在Rt△ACD中,tan30°=,即AC=.在Rt△BCD中,tan60°=,即BC=.由AB=AC-BC=50,得-=50,解得CD≈43,即塔CD的高度约为43m.[知识拓展]在“测量塔高”的问题中,小明的身高忽略不计,而在实际测量时,应该考虑小明的身高,更准确一点应考虑小明在测量时,眼睛离地面的距离.如果小明测量时,眼睛离地面的距离为1.6m,其他数据不变,此时塔的高度为多少?你能画出示意图吗?【师生活动】引导学生画出示意图后,由学生自己解答.【学生活动】口述解答过程:如图所示,由前面的解答过程可知CD≈43m,则C'D≈43+1.6=44.6(m),即如果考虑小明的高度,塔的高度约为44.6m.[设计意图]直角三角形的边角关系在航海、工程测量等问题中有着广泛应用,通过“测量塔高”的问题进一步让学生巩固如何用直角三角形的边角关系解决实际问题,提高学生的建模、转化能力,通过问题的变式训练让学生了解更贴近实际生活的数学问题,也为第6节“利用三角函数测高”打下了铺垫.三、利用倾斜角解决实际问题课件展示:【做一做】某商场准备改善原有楼梯的安全性能,把倾斜角由40°减至35°,已知原楼梯长为4m,调整后的楼梯会加长多少?楼梯多占多长一段地面?(结果精确到0.01m)【教师活动】要求学生根据题意,画出示意图,将这个实际问题转化成数学问题,并进行解答.【学生活动】先独立完成,然后相互交流,讨论各自的想法.【师生活动】师生共同画出示意图:代表展示解题过程:解:如图所示,在Rt△ABC中,sin40°=,∵AC=4m,∴AB=4sin40°m,原楼梯占地长BC=4cos40°m.调整后,在Rt△ADB中,sin35°=,则AD==(m),楼梯占地长DB=m,∴调整后楼梯加长:AD-AC=-4≈0.48(m).楼梯比原来多占地面:DC=DB-BC=-4cos40°≈0.61(m).【教师点评】本节课所探究的内容是从实际问题中抽象出的数学模型——双直角三角形.[设计意图]本环节的难点在于是否能利用掌握的“双直角三角形”模型,借助方程思想解决问题.处理这个环节时,要给学生充分思考的时间和空间,发挥学生潜在的能力,通过小组合作交流,完善自己的想法,并在教师的指导下,规范地表述思考过程.[知识拓展]形如“双直角三角形”的图形的解题规律:设∠C=α,∠ADB=β,CD=a.1.非特殊角的组合(α和β组合):AB=a.2.特殊角的组合(α和β组合):(1)30°与60°组合:AB=a.(2)30°与45°组合:AB=a.(3)45°与60°组合:AB=a.1.三角函数的应用2.两个转化:(1)是把实际问题的图形转化为数学图形;(2)是把已知条件转化为数学图形中的边角关系.1.渔船在A处看到灯塔C在北偏东60°方向上,渔船向正东方向航行了12n mile到达B处,在B处看到灯塔C在正北方向上,这时渔船与灯塔C的距离是()A.6n mileB.8n mileC.2n mileD.4n mile解析:由已知得∠BAC=90°-60°=30°,在直角三角形ABC中,BC=AB·tan30°=12×=4(n mile).故选D.2.如图所示,为测量某物体AB的高度,在D点测得A点的仰角为30°,朝物体AB方向前进20m,到达点C,再次测得点A的仰角为60°,则物体AB的高度为()A.10mB.10mC.20mD.m解析:∵在直角三角形ADB中,∠D=30°,∴BD==AB.∵在直角三角形ABC中,∠ACB=60°,∴BC==AB.∵CD=20,∴CD=BD-BC=AB-AB=20,解得AB=10.故选A.3.长为4m的梯子搭在墙上与地面成45°角,作业时调整为60°角(如图所示),则梯子的顶端沿墙面升高了m.解析:由题意知调整前梯高为4·sin45°=4×=2(m),调整后梯高为4·sin60°=4×=2(m),∴梯子升高了2(-)m.故填2(-).4.如图所示,在小山的东侧A点有一个热气球,由于受西风的影响,以30m/min的速度沿与地面成75°角的方向飞行,25min后到达C处,此时热气球上的人测得小山西侧B点的俯角为30°,则小山东西两侧A,B两点间的距离为m.解析:过点A作AD⊥BC,垂足为D,在Rt△ACD中,∠ACD=75°-30°=45°,AC=30×25=750(m),∴AD=AC·sin45°=375(m).在Rt△ABD中,易知∠B=30°,∴AB=2AD=750(m).故填750.5.小亮一家在一湖泊中游玩,湖泊中有一孤岛,妈妈在孤岛P处观看小亮与爸爸在湖中划船(如下左图所示).小船从P处出发,沿北偏东60°方向划行200m到A处,接着向正南方向划行一段时间到B处.在B处小亮观测到妈妈所在的P处在北偏西37°的方向上,这时小亮与妈妈相距多远(精确到1m)?(参考数据:sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75,≈1.41,≈1.73)解:过点P作PC⊥AB于C,如上右图所示,在Rt△APC中,AP=200m,∠ACP=90°,∠PAC=60°,∴PC=200×sin60°=200×=100.∵在Rt△PBC中,sin37°=,∴PB=≈≈288(m).答:小亮与妈妈相距约288m.5三角函数的应用1.三角函数的应用2.两个转化:(1)是把实际问题的图形转化为数学图形;(2)是把已知条件转化为数学图形中的边角关系.3.一个构造:若原图形不是直角三角形,可添加辅助线构造直角三角形.一、教材作业【必做题】1.教材第20页随堂练习第1,2题.2.教材第21页习题1.6第1,2题.【选做题】教材第21页习题1.6第3,4题.二、课后作业【基础巩固】1.(2015·哈尔滨中考)如图所示,某飞机在空中A处探测到它的正下方地平面上目标C,此时飞行高度AC=1200m,从飞机上看地平面指挥台B的俯角α=30°,则飞机A与指挥台B的距离为()A.1200mB.1200mC.1200mD.2400m2.(2014·苏州中考)如图所示,港口A在观测站O的正东方向,OA=4km,某船从港口A出发,沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处,此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向,则该船航行的距离(即AB的长)为()A.4kmB.2kmC.2kmD.(+1)km3.如图所示,小明为了测量河宽AB,先在BA延长线上取一点D,再在同岸取一点C,测得∠CAD=60°,∠BCA=30°,AC=15m,那么河AB宽为m.4.如图所示,在东西方向的海岸线上有A,B两个港口,甲货船从A港沿北偏东60°的方向以4nmile/h的速度匀速航行,同时乙货船从B港沿西北方向匀速航行,2h后两货船相遇在点P处,则乙货船每小时航行n mile(用根号表示).【能力提升】5.(2015·泰安中考)如图所示,轮船从B处以每小时60n mile的速度沿南偏东20°方向匀速航行,在B处观测灯塔A位于南偏东50°方向上,轮船航行40分钟到达C处,在C处观测灯塔A位于北偏东10°方向上,则C处与灯塔A的距离是()A.20n mileB.40n mileC.n mileD.n mile6.如图所示,路边路灯的灯柱BC垂直于地面,灯杆BA的长为2m,灯杆与灯柱BC成120度角,锥形灯罩轴线AD与灯杆AB垂直,且灯罩轴线AD正过道路路面的中心线(D在中心线上),已知点C与D点之间的距离为12m,则BC的高是m.7.如图所示的是某滑板爱好者训练时的斜坡示意图,出于安全因素考虑,决定将训练的斜坡的倾角由45°降为30°,已知原斜坡坡面AB的长为5m,点D,B,C在同一水平地面上.(1)改善后斜坡坡面AD比原斜坡坡面AB加长多少米?(精确到0.01m)(2)若斜坡的正前方能有3m长的空地就能保证安全,已知原斜坡AB的前方有6m长的空地,进行这样的改造是否可行?说明理由.8.(2014·南充中考)马航MH370失联后,我国政府积极参与搜救.某日,我国两艘专业救助船A,B同时收到有关可疑漂浮物的讯息,可疑漂浮物P在救助船A的北偏东53.50°方向上,在救助船B的西北方向上,船B在船A正东方向140n mile处.(参考数据:sin36.5°≈0.6,cos36.5°≈0.8,tan 36.5°≈0.75)(1)求可疑漂浮物P到A,B两船所在直线的距离;(2)若救助船A和救助船B分别以40n mile/h,30n mile/h的速度同时出发,匀速直线前往搜救,试通过计算判断哪艘船先到达P处.【拓展探究】9.如图所示,某人在山坡坡脚C处测得一座建筑物顶点A的仰角为60°,再沿山坡向上走到P处测得该建筑物顶点A的仰角为45°.已知BC=90m,且B,C,D在同一条直线上,山坡坡度为(即tan∠PCD=).(1)求该建筑物的高度(即AB的长);(2)求此人所在位置点P的铅直高度.(测量角度的仪器的高度忽略不计,结果保留根号形式)【答案与解析】1.D(解析:易知∠ABC=∠α=30°,∴AB===2400(m),即飞机A与指挥台B的距离为2400m.故选D.)2.C(解析:过点A作AD⊥OB于D.在Rt△AOD中,易知∠ADO=90°,∠AOD=90°-60°=30°,OA=4,∴AD=OA=2.在Rt△ABD中,易知∠ADB=90°,∠B=∠CAB-∠AOB=(90°-15°)-30°=75°-30°=45°,∴BD=AD=2,∴AB=AD=2.即该船航行的距离(即AB的长)为2km.故选C.)3.15(解析:过C作CE⊥AB,在Rt△ACE中,∵∠CAD=60°,AC=15m,∴∠ACE=30°,AE=AC=×15=7.5(m),CE=AC·cos30°=15×=(m).∵∠BCA=30°,∠ACE=30°,∴∠BCE=60°,∴BE=CE·tan60°=×=22.5(m),∴AB=BE-AE=22.5-7.5=15(m).故填15.)4.2(解析:如图所示,过点P作PC⊥AB于点C,∵甲货船从A港沿北偏东60°的方向以4n mile/h的速度航行,∴∠PAC=90°-60°=30°,AP=4×2=8,∴PC=AP×sin30°=8×=4.∵乙货船从B港沿西北方向匀速航行,∴∠PBC=45°,∴PB=PC÷sin45°=4÷=4,∴乙货船每小时航行4÷2=2(n mile).故填2.)5.D(解析:如图所示,作AM⊥BC于M.由题意得∠DBC=20°,∠DBA=50°,BC=60×=40(n mile),∠NCA=10°,则∠ABC=∠ABD-∠CBD=50°-20°=30°.∵BD∥CN,∴∠BCN=∠DBC=20°,∴∠ACB=∠ACN+∠BCN=10°+20°=30°,∴∠ACB=∠ABC=30°,∴AB=AC,∵AM⊥BC,∴CM=BC=20(n mile).在直角三角形ACM中,∵∠AMC=90°,∠ACM=30°,∴AC===(n mile).故选D.)6.12-4(解析:设灯柱BC的长为h m,作AH⊥CD于点H,作BE⊥AH于点E.∴四边形BCHE为矩形.∵∠ABC=120°,∴∠ABE=30°.又∵∠BAD=∠BCD=90°,∴∠ADC=60°.在Rt△AEB中,AE=AB sin30°=1,BE=AB cos30°=,∴CH=.又∵CD=12,∴DH=12-.在Rt△AHD中,tan∠ADH===,解得h=12-4.故填12-4.)7.解:(1)在Rt△ABC中,BC=AC=AB·sin45°=(m),在Rt△ADC中,AD==5(m),CD==(m),∴AD-AB=5-5≈2.07(m).答:改善后的斜坡约加长2.07m.(2)这样改造能行.由(1)可知CD-BC=-≈2.59(m),而6-3>2.59,∴这样改造能行.8.解:(1)过点P作PE⊥AB于点E,如图所示,由题意得∠PAE=90°-53.5°=36.5°,∠PBA=45°,设PE 为x n mile,则BE=PE=x n mile.∵AB=140n mile,∴AE=(140-x)n mile.在Rt△PAE中,=tan∠PAE,即=0.75,解得x=60,∴可疑漂浮物P到A,B两船所在直线的距离为60n mile.(2)由(1)知在Rt△PBE中,PE=60n mile,∠PBE=45°,则BP=PE=60(n mile),B船需要的时间为≈2.83(h).在Rt△PAE中,=sin∠PAE,∴AP=PE÷sin∠PAE≈60÷0.6=100(n mile),∴A船需要的时间为100÷40=2.5(h).∵2.83>2.5,∴A船先到达P处.9.解:(1)由题意可知AB⊥BC,在Rt△ABC中,BC=90m,∠ACB=60°,∴AB=BC·tan60°=90(m),故建筑物的高度为90m.(2)如图所示,过点P作PE⊥BD于E,PF⊥AB于F.∵AB⊥BC于B,∴四边形BEPF是矩形,∴PE=BF,PF=BE.设PE=x m,则BF=PE=x m.∵在Rt△PCE中,tan∠PCD==,∴CE=2x.∵在Rt△PAF中,∠APF=45°,∴AF=AB-BF=90-x,PF=BE=BC+CE=90+2x.又∵AF=PF,∴90-x=90+2x,解得x=30-30.答:此人所在位置点P的铅直高度为(30-30)m.本节课选用的教学素材来源于现实生活,船是否有触礁的危险、小明测塔高、怎样改造楼梯都是学生关注和感兴趣的实例,使学生感受到了数学知识就在身边,与现实世界有着非常密切的联系.这些内容对一部分学生来说会显得轻松自如,但对另外一部分学生来说,他们基础较差,对数学的应用不是那么得心应手,关键是不会合理构造直角三角形,所以在学习时会有些困难.在教学时,注重引导学生在审清题意的基础上,自己(或在老师的引导下)画出示意图,将实际问题转化为数学问题,通过亲身经历数学活动的过程,初步掌握数学建模的方法,然后留时间给学生自主解决问题,并充分发挥小组的合作作用,以合作互助、优势互补的方式突破难点.本节课的知识比较抽象,为了满足学生的认知规律和逻辑思维习惯,在内容设计上有一定的层次性和弹性.此外,在教学过程中,把一个知识对象尽量用多样化的载体予以呈现,体现了知识发展的阶梯.1.学生间差异较大,部分学生跟不上教学节奏,学习较吃力,需要课下加强辅导.2.本节课设计的练习题的题量比较大,有部分学生没有当堂完成.学生对数学建模思想理解得不透彻,再教时应该时刻提醒学生首先要建立数学模型,把实际问题转化为数学问题.随堂练习(教材第20页)1.约7.96m.2.(1)17°8'21″.(2)10182.34m3.习题1.6(教材第21页)1.解:∵sin A===,∴∠A=30°,即斜坡的倾斜角为30°.2.解:如图所示,由题意得∠A=30°,AB=50m,∠CBD=45°.∵CD⊥AD,∴CD=BD.设CD=x m,则BD=x m.在Rt△ADC中,tan A===,∴3x=50+x,∴x=≈68.3(m).3.解:过点A作AE⊥BC于E,∵tan B=,∴BE=≈≈49(mm),由题意知四边形ABCD是等腰梯形,∴BC=AD+2BE≈180+2×49=278(mm).4.33.94n mile.[提示:(解法不唯一)方法1:过点B作AN的垂线,可得BC sin75°-BC cos75°=36×.方法2:过点C作AB的垂线,得出两个特殊直角三角形,再利用∠A=45°,∠B=30°求得BC.]1.运用直角三角形的边角关系解决实际问题的关键是掌握两个转化:实际问题数学问题,已知条件数学图形中的边角关系.2.本节课的图形比较特别,为“双直角三角形”,准确把握此图形的特征是总结其规律的前提条件,熟记“双直角三角形”的规律方法会让学生节省大量的时间,提高解题效率.某船以每小时36n mile的速度向正东方向航行,在点A测得某岛C在北偏东60°方向上,匀速航行半小时后到达点B,测得该岛在北偏东30°方向上,已知该岛周围16n mile内有暗礁.(1)试说明点B是否在暗礁区域外;(2)若继续向东航行有无触礁危险?请说明理由.〔解析〕(1)求点B是否在暗礁区域内,其实就是求CB的距离是否大于16,如果大于则不在暗礁区域内,反之,则在.可通过构造直角三角形来求CB的长,作CD⊥AB于D点,CD是直角三角形ACD和直角三角形CBD的公共直角边,可先求出CD的长,再求出CB的长.(2)本题实际上是求C到AB的距离是否大于16,如果大于则无触礁危险,反之,则有,C到AB的距离在(1)中已经求出,只要进行比较即可.解:(1)如图所示,作CD⊥AB于D点,设BC为x,在Rt△BCD中,∠CBD=90°-30°=60°,∴BD=x,CD=x.在Rt△ACD中,∠CAD=90°-60°=30°,∴tan∠CAD==,由题意可知AB=36×=18(n mile),∴=,解得x=18,∵18>16,∴点B在暗礁区域外.(2)有.理由如下:由(1)可知CD=x=×18=9≈15.6(n mile).∵15.6<16,∴若继续向东航行,船有触礁的危险.。
sin15°的三角函数值
sin15°的三角函数值1. sin15°的定义sin15°是一个角度为15度的三角函数值，它表示一个直角三角形中，角度为15度的角所对应的边长与斜边的比值。
2. sin15°的计算公式sin15°可以用三角函数的计算公式来表示，计算公式为sin15°=1/2(√6-√2)。
这个计算公式可以用来计算sin15°的实际值。
3. sin15°的图像sin15°的图像是一个正弦曲线，在15度处取得最大值。
它的图像可以用来表示sin15°在不同角度下的变化情况。
4. sin15°的性质sin15°有以下性质：（1）正弦函数在一个周期内，sin15°取最大值1。
（2）正弦函数的值域在[-1,1]之间，且sin15°在这个范围内波动。
（3）当角度为0度、180度、360度时，sin15°的值都为0。
5. sin15°的应用sin15°在数学、物理等领域中被广泛应用，例如：（1）在三角函数中，sin15°是重要的基本函数之一，可以用来计算其他角度的三角函数值。
（2）在物理学中，sin15°可以用来计算光的入射角、折射角等问题。
（3）在工程学中，sin15°可以用来计算机器人的运动轨迹、控制系统等问题。
6. 总结sin15°是一个三角函数，在数学、物理和工程学等领域中有广泛的应用。
它具有独特的性质和图像，可以用来解决各种问题。
最后，我们要感谢数学的奇妙，让我们能够理解自然界的规律。
考点15函数y=Asin的图象及三角函数模型的简单应用
考点15函数y=Asin的图象及三角函数模型的简单应用函数y = Asin(wx+￠)表示一个正弦函数，其中A为振幅，w为角速度，￠为初相位。
首先，我们来看下正弦函数的图象：正弦函数的图象是一条波浪线，它在x轴上的周期为2π/w。
振幅A 决定了波浪的高度。
接下来，我们来看一下参数A、w、￠对正弦函数图象的影响：1.参数A：振幅A决定了正弦函数的波动幅度。
如果A增大，波浪的高度也会增大；如果A减小，波浪的高度也会减小。
如果A等于0，表示没有波动，图象就是一条直线。
2.参数w：角速度w决定了正弦函数的周期。
如果w增大，波浪的周期变小；如果w减小，波浪的周期变大。
如果w等于0，表示没有周期性的波动，图象就是一条水平线。
3.参数￠：初相位￠决定了正弦函数的起始位置。
如果￠增大，图象向左移动；如果￠减小，图象向右移动。
接下来，我们来看一些简单的应用：1.表示周期性变化的函数：正弦函数可以用来表示一些周期性变化的现象，比如季节变化、日出日落时间、海洋潮汐等。
通过调整参数A、w、￠来适应不同的情况。
2.声音和音乐：音乐中的音调是由声音的频率决定的，而频率与正弦函数的周期有关。
通过改变正弦函数的周期，可以改变音调的高低。
3.电子信号：正弦函数在电子工程中有广泛的应用。
例如，交流电信号正是一个正弦函数。
通过调整正弦函数的振幅和周期，可以控制电流或电压的大小和频率。
4.振动和波动：正弦函数可以用来描述物体的振动和波动现象。
比如，弹簧的振动、水波的传播等。
通过调整正弦函数的振幅、周期和起始位置，可以描述不同类型的振动和波动。
在实际应用中，可以通过调整参数A、w、￠来适应不同的情况和需求。
正弦函数模型在物理、工程、生物学等领域有着广泛的应用。
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300
2.5 O 3 6 9 12 15 18 21 13724
6
x
吃水深度 4 0.3( x 2)
y 4 0.3( x 2) 2.25
即y 0.3 x 6.85
5 sin( x ) 5 0.3 x 6.85 2 6 二分法
已知电流I 与时间t的关系为I A sin( t )( 0)
（2）点P第一次到达最高点大约需要多少时间？ 2 3 y z 3sin( t ) 15 6 2 2 3 (x,y)P 4.5 3sin( t ) 15 6 2 2 3 sin( t ) 1 x 15 6 O 1.5 6 P 2 0 t 2k , k Z H 15 6 2
t 15k 5, k Z t5
海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐， 一般的早潮叫潮，晚潮叫汐。在通常的情况下，船在涨潮 时驶进航道，靠近船坞，卸货后落潮时返回海洋，下面给 出了某港口在某季节每天几个时刻的水深
时间 0.00 3.00 6.00 9.00 12.00 15.00 18.00 21.00 24.00 水深/m 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 （1）选用一个三角函数来近似描述这个港口的水深y(m) 与时间x(h)的函数关系，并给出整点时的水深的近似数值 散点图 拟合曲线 拟合函数 拟合函数 预测和控制
1 （2）如果t 在任意一段 秒的时间内，电流 150 I A sin( t )都能取得最大值和最小值，那么的最 1 2 1 小正整数值是多少？由题意知：T 即 I 150 150 0 300
300 的最小正整数为943
t
1O 900
1 180
（1）下图是I A sin( t )( 0,
2 的图象，根据图中数据求I A sin( t )的解析式
I
)在一个周期内
300
I 300sin(150 t
6
)
1O 900
1 180
t
300
已知电流I 与时间t的关系为I A sin( t )( 0)
y 7.5
5
2.5 O 3 6 9 12 15 18 21 24
x
A 2.5
T 12
6
5 y sin( x ) 5 2 6 将(3,7.5)代入
5 7.5 sin( 3 ) 5 2 6 cos 1 2k , k Z 5 y sin( x ) 5 2 6
O 1.5 H
3
6
P0
y sin 3 y 3sin x 4 2 t 2 t 60 6 15 6 2 3 z 3sin( t ) 15 6 2
一半径为3cm的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面1.5cm， 已知水轮每分钟逆时针转动4圈，如果当水轮上点P从水中 上浮现时(图中P0点)开始计算时间
（2）一条货船的吃水深度(船底与水面的距离) 为4米，安 全条例规定至少要有2.25米的安全间隙(船底与海底的距 离)，该船何时能进入港口？在港口能呆多久？ 1点能进入港口，在港口能呆4小时 y 7.5 y 4 2.25 6.25 5 2.5 O 1
5 6 9 5 y sin( x ) 5 2 6 5 6.25 sin( x ) 5 2 6
2 x 3cos t 3
O
一半径为3cm的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面1.5cm， 已知水轮每分钟逆时针转动4圈，如果当水轮上点P从水中 上浮现时(图中P0点)开始计算时间
（1）将点P距离水面的高度z(m)表示为时间t(s)的函数
（2）点P第一次到达最高点大约需要多少时间？ y z = y -(-1.5) (x,y)P
在下图中，点O为做简谐运动的物体的平衡位置，取向右 的方向为物体位移的正方向，若已知振幅为3cm，周期为 3s，且物体向右运动到距平衡位置最远处时开始计时 （1）求物体对平衡位置的位移x(cm)和时间t(s)之间的函 数关系 （2）求该物体在t=5s时的位置
x A sin( t ) ( A 0, 0) A 3 2 x 3sin( ห้องสมุดไป่ตู้ ) 2 3 T 3 3 t 0时，x 3 即3 3sin 2k , k Z 2 2 x 3cos t 3
O
在下图中，点O为做简谐运动的物体的平衡位置，取向右 的方向为物体位移的正方向，若已知振幅为3cm，周期为 3s，且物体向右运动到距平衡位置最远处时开始计时 （1）求物体对平衡位置的位移x(cm)和时间t(s)之间的函 数关系 （2）求该物体在t=5s时的位置
2 5 t 5时，x 3cos 5 1. 3 t 5 s时，位置是在O的左侧且距O点1.5cm处
3
12
15
18
21
24
x
x 1 12k , k Z x 1
（3）若船的吃水深度为4m，安全间隙为2.25m，该船在 2:00开始卸货，吃水深度以每小时0.3米的速度减少，那么 该船在什么时候必须停止卸货，将船驶向较深的水域？ y 5 7.5 y sin( x ) 5 6.85 2 6 5