定积分应用(平面图形面积)例题及习题解答.docx
(完整版)定积分的应用--平面图形的面积
C3x
跨度为6米, 高为3米，此抛物
线形拱桥的横截面积为多少？
解：如图建立平面直角坐标系，
A
-3
B
可设抛物线方程为
y ax2 (a 0)
于是抛物线形拱桥的横截面积
S= S长方形 - S曲边梯形
点 (3,3)代入方程，得
a 1
所以抛物线方程
3 y
1
x2
3
= 18 -
3 1 x2dx 3 3
=12 - 3 1 x2dx
3 3
计算
问题情境
b
a f ( x)dx 的几何意义是什么？
几何意义
y
当 f (x) ≥ 0，定积分
b
a f (x)dx
0
a
表示曲线 y = f (x),直线 x = a，
x = b和 x 轴所围成的曲边梯形
的面积
y f (x)
bx
几何意义
ya
b
当函数 f (x) 0 ， 定积分 x
b
a f (x)dx
1 2
y2)d
y
所围图形
y y2 2x (8, 4)
o
yx4 x
(2, 2)
18
定积分在几何上的应用
y
y y 2 (x)
y 1(x)
oa x b
x
X —型：
a x b
d
y
cx 1( y) o
x 2 ( y)
x
Y —型：
c yd
h 2 (x) 1(x) h 2 ( y) 1( y)
y f (x)
就是位于x轴下方的曲边梯形
面积的相反数. 即
b
a f (x)dx S
定积分的简单应用__平面图形的面积
的面积。
y
y=x-2
解：阴影部分面积
2
S=S1+S2.
S1由y= x ，y= - x ， 1
x=1围成：
s1 s2
o 12
4
x
S2由y= x，y= x-2 ， -1
x=1围成：
-2 x=1
y2
x=
1
s1
[
0
x (
x )]dx,
4
s2
[
1
x (x 2)]dx,
1
4
s 0 2 xdx 1 ( x x 2)dx.
例 1 计算由两条抛物线 y2 x和 y x2所围成的
图形的面积.
解
y y
x x2
x
0及x
1
两曲线的交点 O(0,0) B(1,1)
y
y2 x
B
C y x2
D
o
Ax
S S曲梯形OABC - S曲梯形OABD
1 xdx 1 x2dx
0
0
S
1
(
0
x - x2 )dx
2 3 x3 1 3 x 2 3 0
9 2
学习小结: 求在直角坐标系下平面图形的面积步骤: 1.作图象; 2.求交点的横坐标,定出积分上、下限; 3.确定被积函数，用定积分表示所求的面积， 特别注意分清被积函数的上、下位置; 4.用牛顿－莱布尼茨公式求定积分.
课外练习
作业:课本 P67 A 组 T2
y x4
4
y 2x
2 S1
S2 y x 4
S1
8
2
S 2S1 S2 2 0
8
2xdx ( 2
2x x 4)dx
定积分及其应用练习带详细包括答案.docx
答案：4.
详解：
设A(x
0)，则ωx＋φ＝2，∴x
＝2ω－ω.
0,
0
π
0
Байду номын сангаасπ φ
2π
又y＝ωcos(ωx＋φ)的周期为ω，
ππφπ
∴|AC|＝，C－＋，0 .
ω2ωωω
依题意曲线段ABC与x轴围成的面积为
πφππφ
S＝－∫2ω－ω＋ω2ω－ωωcos(ωx＋φ)dx＝2.
ππ
∵|AC|＝ ，|yB|＝ω，∴S△ABC＝.
为()．
1
1
1
1
A．4
B．5
C．6
D．7
变式训练一
题面：
函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的导函数y＝f′(x)的部分图象如图所示，其中，P
为图象与y轴的交点，A，C为图象与x轴的两个交点，B为图象的最低点．
欢迎下载2
—
若在曲线段ABC与x轴所围成的区域内随机取一点，则该点在△ABC内的概率为________．
ω2
π
∴满足条件的概率为4.
变式训练二
题面：
（2012?福建）如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自
阴影部分的概率为（）
欢迎下载3
—
A．B．C．D．
答案：C.
详解：
根据题意，正方形OABC的面积为1×1=1，
而阴影部分由函数y=x与y=围成，其面积为∫01（﹣x）dx=（﹣）|01=，
则正方形OABC中任取一点P，点P取自阴影部分的概率为=；
故选C．
金题精讲
题一
题面：
（识图求积分，二星）已知二次函数y＝f(x)的图象如图所示，则它与x轴所围图形的面
定积分的简单应用__平面图形的面积
的面积。
y
y=x-2
解：阴影部分面积
2
S=S1+S2.
S1由y= x ，y= - x ， 1
x=1围成：
s1 s2
o 12
4
x
S2由y= x，y= x-2 ， -1
x=1围成：
-2 x=1
y2
x=
1
s1
[
0
x (
x )]dx,
4
s2
[
1
x (x 2)]dx,
1
4
s 0 2 xdx 1 ( x x 2)dx.
y x4
4
y 2x
2 S1
S2 y x 4
S1
8
2
S 2S1 S2 2 0
8
2xdx ( 2
2x x 4)dx
y2 2x
2
8
0 2 2xdx 2 ( 2x x 4)dx
42 3
3
x2
|02
(2 2 3
3
x2
1 2
x2
4x)
|82
16 3
64 3
26 3
18
例3.求曲线x= y2 和直线y=x-2所围成的图形
4
8
8
8
8
(0 2xdx 4 2xdx) 4 (x 4)dx 0 2xdx 4 (x 4)dx
2
2 3
3
x2
|80
( 1 2
x2
4x)
|84
40 3
练习1
练习2
练习 1（课本变式题）：
计算由曲线 y2 2x和直线 y x 4所围成的图形的面积.
解: 两曲线的交点
最新定积分及其应用练习-带详细答案
求由抛物线 y2 8x( y 0) 与直线 x y 6 及 y 0 所围成图形的面积.
答案： 40 . 3
详解：
作出 y2 8x( y 0) 及 x y 6 的图形如右：
解方程组
y2
8x
x y 6 0
得
x y
2 4
解方程组
x
y
y 0
6
0
得
x y
6 0
所求图形的面积 s
(2)取特殊情况，在(1)的条件下，导函数 f′(x)＝3cos3x＋6π，求得 Aπ9，0， B51π8，－3，C49π，0，故△ABC 的面积为 S△ABC＝12×39π×3＝π2，曲线段与 x 轴所 围成的区域的面积 S＝－ fx 49π9π＝－sin43π＋π6＋sin39π＋π6＝2，所以该点在△
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A．1/2 答案：D. 详解：
B．1
由题意图象与 x 轴所围成图形的面积为
1
0
(x 1)dx 0
cos xdx
2
C．2
(
1 2
x2
x)
|10
sin
x
|0 2
1 1 2
3. 2
故选 D．
D．3/2
题四 题面：
（导数与积分结合，二星）设函数 f (x) xm ax 的导函数为 f (x) 2x 1 ，则
(1)若 φ＝π6，点 P 的坐标为0，3 2 3，则 ω＝________；
(2)若在曲线段 ABC 与 x 轴所围成的区域内随机取一点，则该点在△ABC 内的概率为
________．
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[解析] (1)函数 f(x)＝sin(ωx＋φ)求导得，f′(x)＝ωcos(ωx＋φ)，把 φ＝π6和点0，32 3代 入得 ωcos0＋π6＝3 2 3解得 ω＝3．
定积分应用题附答案(可编辑修改word版)
⎩ y ⎨ ⎩ 2 《定积分的应用》复习题一．填空：1. 曲线 y = ln x , y = ln a , y = ln b (0 < a < b )及y 轴所围成的平面图形的面积为 A =ln be y dy =b-aln a2. 曲线y = x 2和y = x 所围成的平面图形的面积是 1 3二．计算题：1. 求由抛物线 y 2= 2x 与直线 2x + y – 2 = 0 所围成的图形的面积。
解：（1）确定积分变量为 y ，解方程组⎧ y 2 = 2x ⎧x 1 = 1/ 2 ⎧ x 2 = 2 ⎨y = -2x + 2 得 ⎩ y 1 = 11 , ⎨ = -2 即抛物线与直线的交点为（ ，1）和( 2 , - 2 ).故所求图形在直线 y = 1 和 y 2= - 2 之间，即积分区间为［－2，1 ］。
（2）在区间［－2，1］上，任取一小区间为［ y , y + dy ］,对应的窄条面积近 1 1似于高为［(１－ y ）- y 2 ］,底为 dy 的矩形面积，从而得到面积元素22 11dA = [(１－ y)-y 2 ]dy22(3)所求图形面积 A =1[（1- 11 y ）- y2 ]dy = [y - 1 y 2 – 1 y3 ]1 =9⎰ - 22246-242. 求抛物线 y = - x 2+ 4x - 3 及其在点（0，- 3）和（3，0）处的切线所围成的图形的面积。
解：由 y = - x 2 + 4x – 3 得y ' = -2x + 4 , y '(0) = 4, y '(3) = -2 。
抛物线在点（0，- 3）处的切线方程为 y = 4x – 3 ;在点（3，0）处的切线方程为 3 y = - 2x + 6 ; 两切线的交点坐标为 （ ，3 ）。
2故 面积 A =⎰⎰2=⎰2⎪ ⎰ ⎰ ⎰ =3 (1+ 2 c os + )d + 2 (1+ cos 2)d = 3392 [(4x - 3) - (x + 4x - 3)] dx +3 [(-2x + 6) - (x + 4x - 3)] dx = 023. 求由摆线 x = a (t – sint) , y = a( 1- cost) 的一拱（ 0 ≤ t ≤ 2）与横轴所围成的图形的面积。
(完整版)定积分应用题附答案
《定积分的应用》复习题一．填空：1．曲线ln ,ln ,ln (0)y x y a y b a b y ===<<及轴所围成的平面图形的面积为A =ln ln by ae dy ⎰=b-a______2.2y x y ==曲线和 ____13____二．计算题：1．求由抛物线 y 2 = 2x 与直线 2x + y – 2 = 0 所围成的图形的面积。
解：（1）确定积分变量为y ，解方程组2222y x y x ⎧=⎨=-+⎩ 得12121/22,12x x y y ==⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩ 即抛物线与直线的交点为（21，1）和( 2 , - 2 ).故所求图形在直线y = 1和y = - 2 之间，即积分区间为［－2，1 ］。
（2）在区间［－2，1］上，任取一小区间为［ y , y + dy ］,对应的窄条面积近似于高为［(１－21y ）-21y 2 ］,底为dy 的矩形面积，从而得到面积元素 dA = [(１－21y)- 21y 2 ]dy (3)所求图形面积 A =⎰-12[（1- 21y ）-21y 2 ]dy = [y - 41y 2 – 61y 3]12-= 942．求抛物线 y = - x 2 + 4x - 3 及其在点（0，- 3）和（3，0）处的切线所围成的图形的面积。
解：由y = - x 2 + 4x – 3 得 '24,'(0)4,'(3)2y x y y =-+==-。
抛物线在点（0，- 3）处的切线方程为 y = 4x – 3 ;在点（3，0）处的切线方程为 y = - 2x + 6 ; 两切线的交点坐标为 （ 32，3 ）。
故 面积A =332223029[(43)(43)][(26)(43)]4x x x dx x x x dx --+-+-+-+-=⎰⎰3．求由摆线 x = a (t – sint) , y = a( 1- cost) 的一拱（02t π≤≤）与横轴所围成的图形的面积。
定积分应用题附答案
《定积分的应用》复习题 一．填空：1．曲线ln ,ln ,ln (0)y x y a y b a b y ===<<及轴所围成的平面图形的面积为A =ln ln by ae dy ⎰=b-a______2.2y x y ==曲线和 ____13____二．计算题：1．求由抛物线 y 2 = 2x 与直线 2x + y – 2 = 0 所围成的图形的面积。
解：（1）确定积分变量为y ，解方程组2222y x y x ⎧=⎨=-+⎩ 得12121/22,12x x y y ==⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩ 即抛物线与直线的交点为（21，1）和( 2 , - 2 ).故所求图形在直线y = 1和y = - 2 之间，即积分区间为［－2，1 ］。
（2）在区间［－2，1］上，任取一小区间为［ y , y + dy ］,对应的窄条面积近似于高为［(１－21y ）-21y 2 ］,底为dy 的矩形面积，从而得到面积元素 dA = [(１－21y)- 21y 2 ]dy (3)所求图形面积 A =⎰-12[（1-21y ）-21y 2 ]dy = [y - 41y 2 – 61y 3]12-= 942．求抛物线 y = - x 2 + 4x - 3 及其在点（0，- 3）和（3，0）处的切线所围成的图形的面积。
解：由y = - x 2 + 4x – 3 得 '24,'(0)4,'(3)2y x y y =-+==-。
抛物线在点（0，- 3）处的切线方程为 y = 4x – 3 ;在点（3，0）处的切线方程为 y = - 2x + 6 ; 两切线的交点坐标为 （32，3 ）。
故 面积A =332223029[(43)(43)][(26)(43)]4x x x dx x x x dx --+-+-+-+-=⎰⎰3．求由摆线 x = a (t – sint) , y = a( 1- cost) 的一拱（02t π≤≤）与横轴所围成的图形的面积。
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定积分应用1、直角坐标系下平面图形面积的计算①连续】11|线y = f(x)(f(x)>O)Rx = a J x = h及兀轴所围成的平而图形而积为^f(x)dx②设平而图形山上下两条曲线)=广上⑴与)=f心)及左右两条肓线与x=b所|韦|成，则血•积元素为[f f r(x)]dx,于是平而图形的而积为：S = W-.A F(x)]dx .③连续曲线兀=久刃(0(y)» 0)及y = c, y = d及V轴所围成的平iM图形面积为A= [ 0(y)〃y④由方程X = 01 (y)与X = 02(歹)以及y = y = d所围成的平面图形面积为A=f”(y)—0(y)〕dy 翎>©)例1计算两条抛物线y = 0与兀=y2所围成的而积.解求解而积问题，一般需要先画一草图(图3),我们要求的是阴影部分的而积.需y = x2x = y2要先找出交点处标以便确定积分限，为此解方程组:得交点(0,0)和(1,1).选取兀为积分变量，则积分区间为[0,1],根据公式(1),所求的面积为3 lo 3—•般地，求解而积问题的步骤为：(1)作草图，求曲线的交点，确定积分变最和积分限.(2)写出积分公式.(3)计算定积分.例2计算抛物线r=2v与直线)=x-4所围成的图形的面积.解(1)画图.(2)确定在y轴上的投影区间：L-2,4J.(3)确定左右曲线:0左(刃=如2, 0右(y) = y+4.⑷计算积分s =匸。
+4-号y2）dy 二母y2+4）一”,3］役=］8.例3求在区间［丄，2 ］上连续|11|线y=ln x , x轴及二直线x =-，与x二2所围成平面区2 2域（如图2）的面积o解：已知在［$2］上，in淀°;在区间［1 , 2 ］上，In x $0，则此区域的面积为:Ji |ln x^/x =21二-(x \n x - x) i + T4ln2-1•29例4 求抛物线y =x与x-2y-3=0所围成的平面图形（图3）的面积A。
解：该平而图形如图所示.先求出抛物线与肓线的交点P仃，-1）与Q （9,3）.用x=l把图形分为左、右两部分，应用公式（1）分别求的它们的面积为：木题也可把抛物线方程和肓线方程改写成:X二/ 二gi（y）, x=2y+3二g2（y）2（y），y©［T ,3］.并改取积分变量为y,便得：A二［I g2（刃- g 1（刃\dy = £（2y + 3-）/）dy = ¥•2(x\nx-x)132所以“£+每飞•2! In xdx +In xdxA2 =o X例5 求由两条曲线y二x,y二一和直线y=l围成的平面区域(如图5)的面4积.解法一：此区域关于y轴对称，其而积是第一象限那部分面积的二倍。
在第9x2—象限中,直线y=l与曲线y=x与y=——的交点分别是(1,1)与(2,1).4此区域的面积为：A 二2( f X1 dx + | Jx - J —dx)-—.解法二将y轴看作是自变数。
在第一彖限的那部分区域是由曲线x = 4y，X = 2*和直线尸1所围成(y作自变数)。
此区域的面积为:4二2［(277_77呛=2』77狞=y例6求下列I1U线所I韦I成的图形的面积(1)抛物线y2 =-与直线x-2y = 4f(2)圆%2 + y2 = lax.解(1)先画图，如图所示，'2 _£并由方程{ y 一 3 ，求出交点为(2, -I), (8, 2). 兀_2歹=4解一取y为积分变量,y的变化区间为［-1, 2］,在区间［-1, 2］上任取一子区间［y, y+dy ］,则面积微元dA=(2y + 4 — 2y2)dy,则所求面积为A =『(2y + 4 — 2y2)dy = ( }J2+4y-|-y3) ： =9. 丿一1 3解二取X为积分变量，X的变化区间为［0, 8］,由图知，若在此区间上任取子区间，需分成［0, 2］, ［2, 8］两部分完成.在区间［(),2］上任取一了区间［尢，x +dx］,在区间［2, 8］上任取一了区间［x, x +dr］,则面积微元旳=［2占］dr,则面积微元心硝冷(—)2, 丁是得(或D 表达为Y-型：\ °2<y<l )* vxvyS f (y/~x — x)clx — (_x 2 —%2)32+ 2x] 2=9.例7求rtiltti 线y 2 =2x 与BL 线y = x-4所囤成的平面图形的血•积. 解作图(图4),解方程组J y 2- 2x [y = x-4得两条Illi 线的交点处标为(2,-2), (8,4).选取y 为积分变量，积分区间为 1-2,4].根据公式(2),所求的面积为「4 1 o s= £(.y + 4--y )dy_1 2 . 1 彳丫 。
=—y 2+4y ——y 3 =18 2 6练习题解答★ 1.求由曲线y =頁与直线y = x 所围图形的而积。
思路：由于所围图形无论表达为X ・型还是Y ■型，解法都较简单，所以选其一做即可 解：见图6-2-1•・•所围区域D 表达为X-型:图4(S D = f (y_)，)dy = *)2.求在区间［0,龙/2］上，曲线y 二sin 兀与岚线兀二0、y = l 所围图形的面积・・・》订(1- sin x)dx = (x + cos x)f71(S D = I arcsin ydy = ------- 1)2★★3.求由曲线）"=兀与y 2 =-x + 4所围图形的面积思路：由于所围图形表达为Y-型时解法较简单，所以用Y-型做 解:见图6-2-3解: 见图6-2-2!所围区域D 表达为X-型:0 v x v —2，sin x < y < 1 (或D达为Y-型: Ovg )0 < x < arcsin yJ =--lo| y 2= -x + 44i・・•两条曲线的交点:兀=2y = ±V2sin xx■•2X图 6-2-3・•・》訂：(4-y2_y2)d ), = (4)£),3)=导m 3 _运 3 (山于图形关于X 轴对称，所以也可以解为： S 厂2『(4 W )妇2(4)，-討)广=芈@) d o 孑 4.求由曲线y-丄与巨线y = x 4 = 2所围图形的而积X思路：由于所围图形表达为X •型,解法较简单，所以用X ■型做 解：见图625两条曲线y =丄和y = x 的交点为(1,1)、X(・1,・1), 乂这两条线和x = 2分别交于 (2冷)、(2, 2)・••所围区域Q 表达为X ■型： 1 < x < 2\ 1 ,—< y < x5.抛物线y 2 = 2x 分圆x 2 + / =8的面积为两部分，求这两部分的面积思路：所围图形关于X 轴对称，而」L 在第一象限内的图形表达为Y-型时，解法较简单解:见图6-2-6,设阴影部分的而积为Sg ，剩余而积为Sg・・•两条曲线宀2无、x 2 + y 2 =8的交于(2, ±2)(舍去 x = -4 的解),・・・所围区域卩表达为Y ■型： -2 < y <2 < y? r~~ ；又图形关于x 轴对称,—< x < A /O — y•••所围区域D 表达为匕型:-V2 < y < V2y2 <x<4-y 2S/f (十2(*24-ln22图 6-2-6S® =2f (78^-^)Jj = 2(f78Z /-y ) = 2S + 2-扣2龙 + 专fi i ~ y=2>/2sin/ £ _ _1 + COE 2f(其中 I^8-y 2dy = ^2V2cosrx2V2cos^t/r =------- r =龙+ 2)) 24 4/• S n = TT 8 — 2TT — = 6/r —6 3 3★ ★★7.求由曲线y =护、y = £*与直线兀=1所围图形的面积 思路：由于所围图形表达为X-型时，解法较简单，所以用X-型做解:见图6-2-7・・•两条曲线y = e v 和y = 的交点为(0, 1), 乂这两条线和x = 1分别交于(1, ◎和(1,厂)0<x<le~x < y < e xJ:.S D = ^(e x -e~x )dx = (e x+ 厂)|：之+ " _2★★★8.求由llll 线y - lnx 与直线y = \na 及y - lnb 所围图形的面积(b > a >0) 思路：由于所围图形表达为Y ・型时，解法綾简单，所以用Y ■型做 解：见图6-2-8图6-2-8・••所围区域D 表达为X-型:yy = In/?y = In x★ ★★9.求通过(0, 0), (1, 2)的抛物线，要求它具有以下性质:(1)它的对称轴平行 于y 轴，且向下弯；(2)它与x 轴所围图形面积最小解：由于抛物线的对称轴平行于y 轴，又过(0, 0),所以可设抛物线方程为y = ax 2-^bx,(由于下弯，所以6/<0),将(1, 2)代入y = ax 2^bx,得到a + b = 2,因此y — ax +(2-a)x该抛物线和X 轴的交点为x = 0^x =纟二^,S ；(°) = -[a'2x 3(a - 2)2 + (a - 2)3 x (-2^~3)] = -a~\a - 2)2 (a + 4)6 6 得到唯一极值点：d = -4,・•・所求抛物线为：y = -4x 2 + 6x★★★★10.求位于Illi 线y 二护下方，该Illi 线过原点的切线的左方以及x 轴上方Z 间的图形的 面积思路：先求切线方程，再作出所求区域图形，然后根据图形特点，选择积分区域表达类型 解：y = e x=> y f= e x,:.在任一点 x = x ()处的切线方程为 y-e Xi>=e x(>(x-x ())而过(0, 0)的切线方程就为：y-e = e(x-\),即y - ex 所求图形区域为D = D }^D 2911.设直线y 二ax 与抛物线y = /所圉成的面积为耳，它们与直线x=l 所围成的•••在lnx 的址义域范围内所围区域£>: In< y < In/?0 < x < e y•••所围区域D ： ia0< y <ax 2+ (2-a)x“ _ (a - 2)X ■型下的卩：图形面积为$2,并a a<l.确定a 的值，使必+$2达到最小，并求出最小值。