定积分的几个简单应用
定积分的几何应用举例
=x2
解 所围成的图形的面积.
y
x y2
(1,1)
得两曲线交点 (0,0) , (1,1) ,
x y
面积元素 dA ( y y2 )dy , o
x
A
1
(
0
y y2 )dx
2 3 y3 1
3 y2
3
0
1. 3
解题步骤：
1. 根据题意画出平面图形 .
2. 求出边界曲线的交点.
3. 确 定 一 个 积 分 变 量 及 其 变 化 区 间 [a , 4.b写]出.微元(面积元素) dA .
在[ , ]上任取小区间[ , d ]．o x
面积元素 dA 1[( )]2d
2
曲边扇形的面积 A 1[( )]2d . 2
例 6 求双纽线 2 a2 cos 2 所围平面图形的
面积.
解 由对称性知总面积=4倍第 一象限部分面积
A 4A1
A 4
4
1 a2 cos 2 d
第八节 定积分的几何应用举例
一、平面图形的面积 二、体积 三、平面曲线的弧长
一、平面图形的面积
1、 直角坐标系情形
y y f (x)
设曲线 y=f (x)(x 0) 与直
线 x = a , x = b (a <b)
及 x 轴所 围曲边梯形的面
oa
积为 A , 则
b
dA f (x)dx,
A f ( x)dx .
立体体积
R
V h
R2 x2dx
1 R2h.
R
2
五、平面曲线的弧长
1、平面曲线弧长的概念
设 A、B 是曲线弧上的两 y
个端点，在弧上插入分点
上课用定积分的应用--简单几何体的体积
两直线y=c与y=d及y轴所围成的曲边梯形绕y轴旋 转一周所成的旋转体的体积为
V d [( y)]2 dy c
【例1】 给定直角边为1的等腰直角三角形，绕一条直 角边旋转一周，得到一个圆锥体.求它的体积.
分析 在直角坐标系中，直角边为1的等腰直角三 角形可以看成是由直线y=x，x=1以及x轴所围成的 平面图形. 在区间[0,1]内插入n-1个分点，使
a
ln a a
(5) b sin xdx cos x b (6) b cos xdx sin x b
a
a
a
a
2.定积分的性质：
b
（1）
1dx b a
a
（2） abkf (x)dx k ab f (x)dx
b
b
b
（3） a [ f1(x) f2 (x)]dx a f1(x)dx a f2 (x)dx
0 x0 x1 x2 L xi1 xi L xn 1
把这个三角形分割成n个垂直于x轴的小梯形，设第I 个小梯形的宽是△xi=xi-xi-1，i=1,2，…n，这个小梯形 绕x轴旋转一周就得到一个厚度是△xi的小圆台当△xi 很小时，第i个小圆台近似于底面半径为xi的小圆柱， 因此，第i个小圆台的体积近似为
（1）画出所要旋转的平面图形；
（2）确定积分变量的范围，即确定积分的上、下限；
（3）确定旋转体体积的表达式(用定积分表示)；
（4）求出定积分，即旋转体的体积。
【例2】 如图，求由抛物线y2＝8x(y＞0)与直线x＋y－6＝0 及y＝0所围成的图形绕x轴旋转一周所得几何体的体积．
[思路探索] 解答本题可先由解析式求出交点坐标． 把组合体分开来求体积．
V
b
定积分在几何和物理中的应用
定积分在几何和物理中的应用定积分是高等数学中非常重要的一个概念，它可以用于计算曲线、曲面的面积或体积，还可以应用到物理学、工程学中。
在本文中，我们将着重探讨定积分在几何和物理中的应用。
一、计算面积我们首先来看一个简单的例子，如果我们想要计算一个曲线所围成的面积，我们需要怎么做呢？假设曲线为y=f(x)，我们可以将这条曲线分成若干个无限小的小矩形，每个小矩形的宽度为Δx，高度为函数值f(x)，则该小矩形的面积为f(x)Δx。
我们将所有小矩形的面积相加，得到所求的曲线面积S：S=∫a^b f(x) dx其中a和b分别是曲线的起点和终点。
这里的∫符号代表积分符号，具体的计算方法不在本文中详细说明。
二、计算体积在物理学中，我们经常需要计算物体的体积，定积分也可以帮助我们实现这一目的。
比如我们需要计算一个旋转曲线所围成的立体体积，我们可以依然使用之前的方法将其分解成无限小的小圆柱体积，每个小圆柱的体积可以表示为：V=π[f(x)]^2dx我们将所有小圆柱的体积相加，得到所求的立体体积V：V=∫a^b π[f(x)]^2dx三、计算重心和质心在物理学中，重心和质心是非常重要的概念。
对于一个平面图形或者一个立体体形，它的重心和质心分别表示为：重心：(∫xdS)/(∫dS)质心：(∫xdm)/(∫dm)这里的dS和dm分别表示面元和质量元，x则表示距离中心的距离。
我们可以通过对图形进行分割并使用定积分来计算重心和质心。
四、积分在物理学中的应用定积分在物理学中的应用非常广泛，比如我们可以使用它来计算弹性势能、动能、功、功率等物理量。
举一个简单的例子，假设质量为m的物体从高度为h处自由落下，当它下落到高度为y 时，它的速度为v，我们可以使用动能和势能的转化关系求出v，设重力加速度为g，则它下落过程中失去的重力势能为mgh-mgy，同时增加的动能为(1/2)mv^2，因此：mgh-mgy=(1/2)mv^2v=sqrt(2g(h-y))我们可以使用定积分来求解物体在过程中的运动状态，以及计算其他物理量的值。
定积分的几何应用
的面积为
1
A
1
(2
1
x2
y
x2 )dx
2
2x
2 3
x3
0
8. 3
y = 2 - x2
(-1, 1) y = x2
(1, 1)
-1
O x x+dx 1 x
例2 求由抛物线 y 2 = 2 x 及直线 y = x – 4 所围图
形的面积.
解
解方程组
y2
2x,
体的体积差,
y y = f (x)
a x x+dx b x
即 (x +dx)2f (x) - (dx)2 f (x) = 2x f (x)dx - f (x)(dx)2. 上式中后一项是前一项关于 dx 的高阶无穷小, 因此体 积元素为 dV = 2 s f ( x ) dx . 旋转体的体积为
所围成的曲边梯形的面积为
b
y
A a f (x)dx.
y = f (x)
其中被积表达式 f ( x ) dx 是
直角坐标系下的面积元素, 它 表示高为 f ( x ), 底为 dx 的
dA f (x)
小矩形面积, 见图5-7.
O
a x x + dx b x
一般地, 平面图形以连续曲线 y = f ( x )与 y = g ( x ) 为上下曲边的曲边形的面积元素为dA = [ f (x) – g (x)]dx. 这样, 由 x = a , x = b , y = f ( x ) 和 y = g ( x ) 所围图形 ( 如图5 – 8 ) 的面积为
以 x 为积分变量, x [ a , b ] 取 [ x, x+dx ] [ a , b ], 在[ x , x + dx]上立体的体积可以近似看成以 y (x) 为底面 半径, 高为 dx 的小圆柱体的体积, 见图5-17, 则体积 元素为 dV = [ f ( x ) ] 2 dx. 旋转体的体积为
定积分的应用体积
定积分的应用体积
定积分是数学中的一种基本概念，用于计算曲线下的面积或曲线围成的体积。
其中，定积分的应用体积主要有以下几种情况：
1. 计算曲线围成的体积：假设有一个曲线，其方程为y=f(x)，要求曲线围成的体积，可以使用定积分来计算。
具体来说，曲线围成的体积可以表示为：
V =∫[a,b] f(x)dx
其中，a和b是曲线的两个端点，f(x)是曲线的方程。
通过对曲线围成的体积进行积分，可以得到曲线围成的体积。
2. 计算旋转体的体积：旋转体是指通过将一个平面曲线围绕一个轴旋转而得到的立体。
如果已知旋转体的旋转轴和曲线方程，可以使用定积分来计算旋转体的体积。
具体来说，旋转体的体积可以表示为：
V = ∫[a,b] r2 d A
其中，a和b是旋转轴上的两个点，r是曲线在该点处的半径，d A是曲线在该点处的微小面积。
通过对旋转体的体积进行积分，可以得到旋转体的体积。
3. 计算曲线下的面积：假设有一个曲线，其方程为y=f(x)，要求曲线下的面积，可以使用定积分来计算。
具体来说，曲线下的面积可以表示为：
A = ∫[a,b] f(x)dx
通过对曲线下的面积进行积分，可以得到曲线下的面积。
定积分在物理学、工程学、经济学等领域中有着广泛的应用。
它可以用于计算曲线下的面积、曲线围成的体积以及曲线在一定区间内的累积量等问题。
第五章 定积分的几何应用
) ( r r
d
例 5
求双纽线 a cos 2 所围平面图形
2 2
的面积.
解 由对称性知总面 积=4倍第一象限 部分面积
A 4A1
y x
2 a 2 cos 2
A 40
4
1 2 a cos 2d a 2 . 2
例 6 求心形线r a(1 cos )所围平面图形的 面积 (a 0).
小结
求在直角坐标系下、参数方程形式 下、极坐标系下平面图形的面积. 求旋转体的体积
（注意恰当的选择积分变量有助于简化 积分运算）
思考题
1. 设 曲 线 y f ( x ) 过 原 点 及 点( 2,3) ， 且 f ( x ) 为单调函数，并具有连续导数，今在曲线 上任取一点作两坐标轴的平行线，其中一条平 行线与 x 轴和曲线 y f ( x ) 围成的面积是另一 条平行线与 y 轴和曲线 y f ( x ) 围成的面积的 两倍，求曲线方程.
练习题答案 32 一、1、1； 2、 ； 3、2； 3 1 1 4、y ； 5、 e 2 ； 6、 . e 2 3 7 2 二、1、 ln 2 ； 2、 ； 3、 a ； 2 6 5 3 2 2 4、3a ； 5、 ； 6、 a . 2 4 9 e 8 2 三、 . 四、 . 五、 a . 4 2 3
其上相应的窄条左、右曲边分别为 1 2 x y ,x y4 2 4 1 2 A ( y 4 y )dy 18 2 2
由此可见在面积计算中应根据平面区域的具体 特征恰当地选择积分变量找出相应的面积微元可使 计算简化
上述问题的一般情况是
d
y
x ( y)
定积分在几何中的应用
782020年第 5 期中定积分在几何中的应用杨姜维一、平面图形的面积（一）以为积分变量的情形1.在直角坐标中，设曲线（）与直线及轴所围成的平面图形面积为，则面积元素，面积。
例1：求曲线与直线及轴所围成的平面图形的面积。
解：如图1，面积元素，图形面积=2.设曲线与直线及轴所围成的图形面积为，则面积元素，面积。
3.设由，所围成的平面图形的面积：函数由大减小（上减下），积分从左到右；那么，第一种情况里面的面积公式，也可以看作是，轴即直线。
例2：求直线与抛物线所围成的平面图形的面积。
解：由图2分析可知，交点面积元素，图形面积4.任意由所围成的平面图形（图3）的面积。
例3：求抛物线，与轴及直线在第一象限所围成的平面图形的面积。
解：如图4，由交点面积+（二）以为积分变量的情形1.由曲线、直线及轴围成的平面图形面积：。
2.由曲线、直线及轴围成的平面图形面积：。
3.由曲线直线及轴围成的平面图形面积：若，。
可看作是函数由大减小（右减左），积分从下到上。
例4：计算抛物线与直线所围成的图形的面积。
定积分在几何中的应用，主要体现在求解平面图形的面积和旋转体的体积等，文中主要介绍了求解平面图形面积的几种情形，即分别以为积分变量来讨论；求旋转体体积的两种情况，即曲线分别围绕轴和轴旋转一周所得的立体体积。
JIAO HAI TAN HANG／教海探航解：如图5，由交点为方便计算，选取为积分变量，则有4.任意由曲线直线及轴围成的平面图形面积：。
二、旋转体的体积一个平面图形围绕其所在平面上的一条直线旋转一周而成的立体即为旋转体，常见的旋转体有圆柱体、圆锥、圆台、球体等,这些都有对应的体积公式，面对日常生活中所用到的水杯、花瓶等立体物件，求解体积时可考虑以下情况：（一）曲线绕轴旋转的情形由连续曲线与直线及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周而成的立体，选为积分变量，该旋转体的体积元素，体积为。
（二）曲线绕轴旋转的情形由曲线、直线及轴围成的平面图形绕轴旋转一周所得的立体，选为积分变量，该旋转体的体积元素，体积为。
定积分在几何,物理学中的简单应用
定积分在几何,物理学中的简单应用
定积分是一种常见的数学工具，用来解决许多几何和物理问题。
它可以在几何学、物理学中解决积分、面积和容积计算题中应用。
首先，定积分在几何学中的简单应用。
比如，如果我们要计算一个几何图形的面积，则可以通过定积分来计算。
它可以计算任意形状的几何图形的面积，比如三角形、椭圆、圆形等。
它的应用范围非常广泛，比如可以用它来计算面积、周长、体积等。
其次，定积分也可以用在物理学中。
比如，如果我们要计算一个物体在多次不同力作用之下移动的路程，可以用定积分来计算。
它可以帮助我们精确地计算物体受力作用前后的距离，也可以帮助我们精确计算弹性作用力等。
最后，定积分也可以应用于物理学的温度问题中。
比如，我们可以通过定积分求出一个物体在单位温差下的热量传递，也可以求出一个物体的总热量。
还可以用它求解温度场、热传导率、热导率等问题。
以上是定积分在几何、物理学中的简单应用。
定积分是一种通用而有效的数学工具，在几何、物理学中都有着广泛的应用，不仅可以用来解决相关的面积、容积计算题，而且还可以用来解决物理热力学、温度等问题。
只要我们掌握它的基本使用方法以及它的一些特性和用途，就可以在几何、物理学中更好地应用它来解决其它问题。
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定积分的几个简单应用
一、定积分在经济生活中的应用
在经济管理中，由边际函数求总函数，一般采用不定积分来解决，或者求一个变上限的定积分；如果求总函数在某个范围的改变量，则采用定积分来解决．
例1 某商场某品牌衬衫的需求函数是q p 15.065-=，如果价格定在每件50元，试计算消费者剩余．
解 由p 50=，q p 15.065-=，得10000=q ，于是
dq q )5015.065(10000
0--⎰
10000023
)
1.015(q q -=
50000=，
所求消费者剩余为50000元．
例2 已知某产品总产量的变化率为t t Q 1240)(+='（件／天），求从第5天到第10天产品的总产量．
解 所求的总产量为
⎰⎰+='=10
5105)1240()(dt t dt t Q Q 10
52)640(t t +=650=（件）
． 二、用定积分求极限
例1 求极限 ∑=∞→n k n n k 123
lim ．
解 n
n n n n n n n k n k 12111123
+++=∑= )21(1n
n n n n +++= ． 上式是函数[]1,0)(在x x f =的特殊积分和．它是把[]1,0分成n 等分，i ξ取
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-n i n i ,1的右端点构成的积分和．因为函数[]1,0)(在x x f =可积，由定积分定义，有
∑=∞→n k n n k 12
3lim ⎥⎦⎤⎢⎣
⎡+++=∞→)21(1lim n n n n n n 3210==⎰dx x ． 例2 求极限 2213lim k n n k n k n -∑
=∞→． 解 212213)(11n k n
k n k n n k n k n k -⋅=-∑∑==． 上式是函数[]1,01)(2在x x x f -=的特殊积分和．它是把区间[]1,0分成n 等
分，i ξ取⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-n i n i ,1的右端点构成的积分和．因为函数21)(x x x f -=在[]1,0可积，由定积分定义，有
2213lim k n n k n k n -∑=∞→3
1)1(311102321
02=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-=⎰x dx x x ． 三、用定积分证明不等式 定积分在不等式的证明中有着重要的应用．在不等式的证明中，可根据函数的特点，利用定积分的性质来证明．
例1 设)(x f 是闭区间[]b a ,上的连续函数，且单调增加，求证：
⎰⎰
+≥b a
b a dx x f b a dx x xf )(2)(． 证明 作辅助函数 dt t f x a dt t tf x x
a x a ⎰⎰+-=)(2)()(ϕ， 显然0)(=a ϕ，且
)(2
)(21)()(x f x a dt t f x xf x x a ⎰+--='ϕ )(2
))((21)(2x f a a x f x f x ---=ξ [])()(2
ξf x f a x --=， 其中[]x a ,∈ξ．因为)(x f 在[]b a ,上单调增加，所以0)(≥'x ϕ，从而)(x ϕ在闭区间[]b a ,上单调增加，所以
0)()(=≥a x ϕϕ，
取b x =得
⎰⎰+≥b a b
a dx x f
b a dx x xf )(2
)(． 定积分在许多领域中有着重要应用，它是解决一些几何学问题、物理学问题和经济学问题的重要工具．这一章主要介绍了定积分在不同学科中的应用问题．。