概率论与数理统计统计课后习题答案-总主编-邹庭荣-主编-程述汉-舒兴明-第一章

第一章习题解答

1．解：（1） Ω=｛0，1，…，10｝； （2） Ω=｛

=i n

i

|0，1，…，100n ｝

，其中n 为小班人数； （3） Ω=｛√,×√, ××√, ×××√,…｝,其中√表示击中，×表示未击中； （4） Ω=｛（y x ,）|2

2

y x +<1｝。

2．解：（1）事件C AB 表示该生是三年级男生，但不是运动员； （2）当全学院运动员都是三年级学生时，关系式C ?B 是正确的； （3）全学院运动员都是三年级的男生，ABC=C 成立；

（4）当全学院女生都在三年级并且三年级学生都是女生时，A =B 成立。 3．解：（1）ABC ；（2）AB C ；（3）C B A ；（4）C B A )(?；（5）C B A ??； （6）C B C A B A ??;(7)C B A ??;(8)BC A C B A C AB ?? 4．解：因ABC ?AB ，则P （ABC ）≤P （AB ）可知P （ABC ）=0

所以A 、B 、C 至少有一个发生的概率为

P （A ∪B ∪C ）=P （A ）+P （B ）+P （C ）-P （AB ）-P （AC ）-P （BC ）+P （ABC ）

=3×1/4-1/8+0 =5/8

5．解：（1）P （A ∪B ）= P （A ）+P （B ）-P （AB ）=0.3+0.8-0.2=0.9

)(B A P =P （A ）-P （AB ）=0.3-0.2=0.1

（2）因为P （A ∪B ）= P （A ）+P （B ）-P （AB ）≤P （A ）+P （B ）=α+β, 所以最大值maxP （A ∪B ）=min(α+β,1)；

又P （A ）≤P （A ∪B ），P （B ）≤P （A ∪B ）,故最小值min P （A ∪B ）=max(α,β) 6．解：设A 表示事件“最小号码为5”，B 表示事件“最大号码为5”。

由题设可知样本点总数310C n =，2

425,C k C k A ==。

所以()==31025C C A P 121； ()==3102

4C C B P 20

1

7．解：设A 表示事件“甲、乙两人相邻”，

若n 个人随机排成一列，则样本点总数为!n ，()!2!.1-=n k A ，

()()n

n n A P 2!

!2!.1=-=

若n 个人随机排成一圈.可将甲任意固定在某个位置，再考虑乙的位置。i ω表示按逆时

针方向乙在甲的第i 个位置，1,...,2,1-=n i 。则样本空间

Ω={

}121,...,,-n ωωω ，事件A={}11,-n ωω 所以 ()1

2

-=

n A P 8．解：设A 表示事件“偶遇一辆小汽车，其牌照号码中有数8”，则其对立事件A 表示“偶遇一辆小汽车，其牌照号码中没有数8”，即号码中每一位都可从除8以外的其他9个数中取，因此A 包含的基本事件数为4

4

9119=-+，样本点总数为4

10。故

()()

44

10

911-=-=A P A P

9．解：设A 、B 、C 分别表示事件“恰有2件次品”、“全部为正品”、“至少有1件次品”。

由题设知样本点总数410C n =，4

72723,C k C C k B A ==,

()()6

1

,103====

n k B P n k A P B A , 而C B =，所以 ()()6

5

1=

-=B P C P 10．解：设A 、B 、C 、D 分别表示事件“5张牌为同一花色”、“3张同点数且另2张牌也同

点数”、“5张牌中有2个不同的对（没有3张同点）”、“4张牌同点数”。

样本点总数552C n =，各事件包含的基本事件数为2

41123411351314,C C C C k C C k B A == 1

48441131442424213,C C C k C C C C k D C == 故所求各事件的概率为：

()()151312

41313

412455

5252,,A B C C C C C C k k P A P B n C n C ==== ()2221134444552,C k C C C C P C n C ==()14113

4485

52

D C C C k P D n C == 11．解：()()()()()

2.05.07.0,4.01=-=-==-=B A P A P AB P B P B P （1）

()()()9

7

2.04.07.07.0|=-+==

B A P AB A P B A A P Y Y Y

（2） ()()()9

2

9.02.0|===

B A P AB P B A AB P Y Y

（3） (

)()()8

52.015.0|=-==

B A P B A P

B A A P Y Y 12．解：令A=｛两件产品中有一件是废品｝，B=｛两件产品均为废品｝，C=｛两件产品中有

一件为合格品｝，D=｛两件产品中一件是合格品，另一件是废品｝。则

()()()()2

1

12112222112,,,M

m

m M M m m M m M M m M m M m m C C C CD P C C C C C P C C AB P C C C C A P ----=+==+= 所求概率为：

（1） ()()()121

|---==

m M m A P AB P A B P （2） ()()()1

2|-+==

m M m

C P C

D P C D P 13．解：设A 、B 、C 分别表示事件甲、乙、丙得病，由已知有：P （A ）=0.05

P （B|A ）=0.4 P （C|AB ）=0.8 则甲、乙、丙均得病的概率为： P （ABC ）=P （A ）P （B|A ）P （C|AB ）=0.016

14．解：令{

}2,1,0,==i i ，A i 名中国旅游者有从甲团中任选两人 B=｛从乙团中随机选一人是中国人｝，则：

()()2|,2

2+++==+-b a i

a A B P C C C A P i m

n i

m i n i 由全概率公式有：()()()∑∑==+-+++==2

02

02

22

|i i m n i

m i n i i b a i

a C C C A B P A P B P 15．解：令A=｛天下雨｝，B=｛外出购物｝ 则：P （A ）=0.3 ， P （B|A ）=0.2 ，

P （B|A ）=0.9

（1） P （B ）=P （A ）P （B|A ）+P （A ）P （B|A ）=0.69 （2） P （A|B ）=

()()()23

2

|=B P A B P A P

16．解：令A=｛学生知道答案｝，B=｛学生不知道答案｝，C=｛学生答对｝

P （A ）=0.5 P ｛B ｝=0.5 P （C|A ）=1 P （C|B ）=0.25 由全概率公式：P （C ）=P （A ）P （C|A ）+P （B ）P （C|B ） =0.5+0.5×0.25=0.625

所求概率为：P （A|C ）=

8.0625

.05

.0=

17．解：令事件{}

2,1,==i i A i 次取到的零件是一等品第

{}2,1,==i i B i 箱取到第 则()()5.021==B P B P

（1）()()()()()4.030

185.050105.0||2121111=?+?=+=B A P B P B A P B P A P （2）()()()()()()()4

.0|||2212121112112B A A P B P B A A P B P A P A A P A A P +==

4856.04

.0293017

185.049509105.0=???

+???=

18．证明：因()()

B A P B A P ||= 则

()()()

()

()()()B P AB P A P B

P B A P B P AB P --==1 经整理得：()()()B P A P AB P = 即事件A 与B 相互独立。

19．解：由已知有 ()()

4

1

=

=B A P B A P ，又A 、B 相互独立，所以A 与B 相互独立；A 与B 相互独立。则可从上式解得：P （A ）=P （B ）=1/2 20．解：设A “密码被译出”，

i A ＝“第i 个人能译出密码”，i =1,2,3

则4

1)(,31)(,51)(321===

A P A P A P )()(321A A A P A P ??= 又321,,A A A 相互独立，

因此)(1)(321A A A P A P -= ＝)()()(1321A P A P A P -

＝6.0)4

11)(311)(511(1=----

21．解：设=i A “第i 次试验中A 出现”，4,3,2,1=i 则此4个事件相互独立。由题设有：

()(

)()()59

.01114

43214321=--=-=A P A A A A P A A A A P Y Y Y

解得P （A ）=0.2

22．解：设A 、B 、C 分别表示事件：甲、乙、丙三门大炮命中敌机，D 表示敌机被击落。

于是有 D=BC A C B A C AB ABC Y Y Y 故敌机被击落的概率为：

()()(

)()()

()()()()()()()()()()()()9

.08.03.09.02.07.01.08.07.09.08.07.0??+??+??+??=+++=+++=C P B P A P C P B P A P C P B P A P C P B P A P BC

A P C

B A P

C AB P ABC P

D P

=0.902

23．解：设A 、B 、C 分别表示事件：甲、乙、丙三人钓到鱼，则

P （A ）=0.4，P （B ）=0.6，P （C ）=0.9 （1） 三人中恰有一人钓到鱼的概率为：

(

)

()()(

)

C

B A P

C B A P C B A P C

B A

C B A C B A P ++=Y Y

=0.4×0.4×0.1+0.6×0.6×0.1+0.6×0.4×0.9 =0.268

（2） 三人中至少有一人钓到鱼的概率为：

()()()()()

C P B P A P C B A P C B A P -=-=11Y Y

=1-0.6×0.4×0.1 =0.976

24．解：设D=“甲最终获胜”，A=“第一、二回合甲取胜”；B=“第一、二回合乙取胜”； C=“第一、二回合甲、乙各取胜一次”。则：()()()αββα2,,2

2

===C P B P A P

()()()().|,0|,1|D P C D P B D P A D P === 由全概率公式得：

()()()()()()()C D P C P B D P B P A D P A P D P |||++=

()2202P D αβαβ=+?+

所以 P （D ）=αβ

α212

-

25．解：由题设500个错字出现在每一页上的机会均为1/50，对给定的一页，500个错字是否出现在上面，相当于做500次独立重复试验。因此出现在给定的一页上的错字个数服从二项概率公式，所以所求概率为： P =

()

()

()

()

500

2

50050049

111

500

50050

50

5050

3

110.9974k

k

k

k

k k k k C

C --==-

=-=∑∑

26．解：设A=“厂长作出正确决策”。

每个顾问向厂长贡献意见是相互独立的，因此5个顾问向厂长贡献正确意见相当于做5 次重复试验，则所求概率为：

P （A ）==∑=-5

3

55

4.06.0k k k k C

0.3174