水箱变高了
初一上数学课件(北师版)-应用一元一次方程——水箱变高了
知识点一：等积变形
等体积变形：即物体的外形或形态发生变化，但变化前后的体积 不变 ，
列方程解决形体问题． 【例 1】锻造车间要铸造底面半径为 8cm，高为 12cm 的圆柱形零件毛坯 5 个，需要用横截面半径为 16cm 的圆柱形钢材多长？(生产过程中的损耗不 计)
【思路分析】锻造过程中，虽然物体形状变了，但体积不变，就是利用这 一点为相等关系建立方程求解．
【规范解答】设需要横截面半径为 16cm 的圆柱形钢材 xcm，根据题意，得 5π×82×12＝π×162×x，解得 x＝15.答：需要横截面半径为 16cm 的圆柱形 钢材 15cm 长．
箱壁每平方米的造价是箱底每平方米造价的23，若整个水箱共花去 1860 元，
求水箱的高度．
解：设水箱的高度为 x 米，2(5x＋3x)×60×23＋5×3×60＝1860，∴x＝1.5， 答：水箱的高度为 1.5 米．
7．用一根铁丝围成一个三条边都为 24cm 的三角形，如果将它改围成一个
正方形，这个正方形的边长是( B )
A．24cm
B．18cm
C．12cm
D．9cm
8．如图，小明从一个正方形的纸片上剪下一个宽为 6cm 的长条后，再从剩 下的纸片上剪下一条宽为 8cm 的长条，如果两次剪下的长条面积正好相等， 则原正方形的边长是( B )
A．20 C．48
B．24 D．144
9．长方形的长是宽的 3 倍，如果宽增加了 4m 而长减少了 5m，那么面积增 加 15m2，设长方形原来的宽为 xm，所列方程是( B ) A．(x＋4)(3x－5)＋15＝3x2 B．(x＋4)(3x－5)－15＝3x2 C．(x－4)(3x＋5)－15＝3x2 D．(x－4)(3x＋5)＋15＝3x2
北师大版七年级数学上册(教案)：5.3水箱变高了
在今天的教学中，我发现学生们对长方体体积的概念和计算方法掌握得还不错，但在将实际问题转化为数学模型的过程中，他们遇到了一些困难。我意识到，对于七年级的学生来说，空间观念的培养和数据分析能力的提升是一个长期的过程，需要我们在教学中不断地加以引导和练习。
在导入新课的时候，通过提问的方式引起学生的兴趣，这是一个很好的开端。大多数学生能够联系到自己的生活实际，分享他们遇到的水位变化的情况，这说明他们能够将新知识与现实世界联系起来。
教学内容具体包括：
1.长方体体积的计算公式：体积=长×宽×高。
2.实例分析：水箱变高的情况，通过测量长、宽、高的变化，计算水箱中水的体积变化。
3.习题练习：解决与长方体体积相关的实际问题，如计算不同形状的容器装满水后的体积等。
二、核心素养目标
1.培养学生的空间观念和几何直观能力，通过实际操作，使学生能理解并运用长方体体积计算方法，形成对立体图形的认识。
学生小组讨论的环节，大家表现得相当积极，但我也观察到有些学生在分享成果时不够自信。这可能是因为他们对所讨论的内容还不够熟悉，或者是在公共场合表达自己时感到紧张。我打算在接下来的课程中，多给予这些学生一些鼓励和支持，帮助他们建立自信。
最后，总结回顾环节，学生们对今天的学习内容有了整体的把握，但我认为可以进一步强化他们对长方体体积应用的理解。也许通过一些实际生活中的例子，或者让学生自己设计一些问题来解决，可以让他们更加深刻地体会到数学知识在生活中的重要性。
2.教学难点
-以下是本节课的难点内容，需要教师采取有效方法帮助学生突破：
-空间观念的培养：学生对立体图形的认识不足，难以将三维空间与二维图形联系起来。
-实际问题转化为数学模型的难度：学生可能难以从复杂的实际问题中抽象出数学模型，特别是涉及到液体体积变化的情况。
5.3应用一元一次方程水箱变高了(教案)
4.培养学生的数学建模素养，通过构建水位高度与时间的关系模型，培养学生运用数学知识解决现实问题的能力。
5.培养学生的数据分析素养，让学生在解决问题的过程中，学会收集、整理、分析数据，为解决更复杂的实际问题奠定基础。
举例：在本节课中，教师应重点讲解如何将水箱注水过程中水位的变化转化为数学模型，即一元一次方程。例如，如果水箱每分钟注水V升，初始水位为h0米，经过t分钟后水位变为h米，那么可以通过方程h = h0 + Vt来描述这一过程。
2.教学难点
-抽象出实际问题中的一元一次方程模型，特别是当问题情境较为复杂时。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解并掌握一元一次方程在描述现实问题中的应用，尤其是水箱注水问题中水位高度与时间的关系。
-学会根据实际问题抽象出一元一次方程，并能正确列出方程。
-掌握一元一次方程的解法，特别是如何将实际问题转化为方程求解。
-能够运用一元一次方程解决类似水箱注水问题，如计算注水时间、确定水位高度等。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调如何从实际问题中抽象出一元一次方程，以及如何解这样的方程。对于难点部分，我会通过具体的例子和逐步解析来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与水位变化相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的模拟实验。通过加水到容器中，观察并记录水位随时间的变化。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
5.3水箱变高了
周长一定的长方形，长和宽的 差值越小，长方形的面积越大.
当长和宽相等时（即为正方形 时），长方形（正方形）的面 积最大.
应用方程解决问题的一般步骤：
审 设 列 解 答
审清题意，找出等量关系 设出未知数把有关的量用含有未知 数的代数式表示 根据等量关系列出方程。 解方程
检验作答
P142 随堂练习
（3）使得该长方形的长和宽相等，即 围成一个正方形，此时正方形的边长是 多少米？围成的面积与（2）所围成的 面积相比，又有什么变化？ 解：设正方形的边长为x米. 由题意得 4x = 10. 解，得 x=2.5. 边长为：2.5米； 面积为：2.5×2.5=6.25(平方米). 面积增加：6.25-6.09=0.16（平方米）
提示：变化前的体积=变化后的体积
例 用一根长10米的铁丝围成一个长方形 （1）使得该长方形的长比宽多1.4 米， 此时长方形的长、宽各是多少米呢？ 等量关系： （长+宽）× 2 = 周长. 解：（1）设长方形的宽为x米，则 它的长为(x+1.4) 米， 2 ( x+1.4 +x ) =10. 解,得 x=1.8. 长为：1.8+1.4=3.2（米）; 答：长方形的长为3.2米，宽为1.8米.
(1) 正方形的周长公式 . S=a2 (2)长方形的周长公式 . S=ab (3)圆的周长公式 式 S=πr2 .
C=4a
面积公式
C=2(a+b) 面积公式
面积公 .
C=2πr
1 2 (a+b)h
(4)梯形的面积公式 S=
(5)长方体的体积公式 V=abc
(6)圆柱体的体积公式
.
.
2h V= πr
习题5.6 144页 问题解决 2 3 （必做） 数学理解 1 （选做） 全品53页（选做5，8）
一元一次方程,(水箱变高了)
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学
——水箱变高了
应用一元一次方程
某居民楼顶有一个底面直径和高均为4m的圆柱形储水箱。 现该楼进行维修改造，为减少楼顶原有储水箱的占地面积， 需要将它的底面直径由4m减少为3.2m。那么在容积不变的 前提下，水箱的高度将由原先的4m增高为多少米？ 等量关系： 旧水箱的体积=新水箱的体积 解：设水箱的高变为 x 米，填写下表：
相等关系：长方体体积=水面增高体积
例方程解应用题的步骤和关键： 一、步骤： 1、审题（弄清已知量和未知量）
2、找等量关系
3、设未知数 4、列出方程
5、解方程（并考察解的合理性） 6、作答
二、关键： 找相等关系
学一学
例：用一根长为10米的铁线围成一个长方形. （1）使得该长方形的长比宽多1.4 米，此时长方 形的长、宽各是多少米呢？面积是多少？ （2）使得该长方形的长比宽多0.8米，此时长方形 的长、宽各为多少米？它所围成的长方形（1）所 围成的长方形相比，面积有什么变化？ （3）使得该长方形的长和宽相等，即围成一个 正方形，此时正方形的边长是多少米？围成的 面积与（2）所围成的面积相比，又有什么变化？
思 考
一个长方形的养鸡场的长边靠墙，墙长14米， 其他三边用竹篱笆围成，现有长为33米的竹篱笆， 小王打算用它围成一个鸡场，且尽可能使鸡场面 积最大，请你帮他设计。
长方形的周长 一定时，当且 仅当长宽相等 时面积最大。
墙壁
篱笆
作业
习题5.6
如果两个正数的和不变，什么情况 思考？ 下它们的积最大？
你自己来尝试！
墙上钉着用一根彩绳围成的梯形形状的装饰物，小颖 将梯形下底的钉子去掉，并将这条彩绳钉成一个长方形， 那么，小颖所钉长方形的长和宽各为多少厘米？ 10 10 6 10 10 6
七年级数学上册教学课件《应用一元一次方程——水箱变高了》
3.线段长度一定时，不管围成怎样的图形，周长不变.
4.长方形周长不变时，当且仅当长与宽相等时，面积最大.
巩固练习
5.3 应用一元一次方程——水箱变高了
墙上钉着用一根彩绳围成的梯形形状的装饰物，
小颖将梯形下底的钉子去掉，并将这条彩绳钉成一个
长方形，如下图所示，那么，小颖所钉长方形的长和
宽各为多少厘米？ 分析：等量关系是 变形前后周长相等,
3．有一块棱长为4厘米的正方体铜块，要将它熔化后铸成 长4厘米、宽2厘米的长方体铜块，铸成后的铜块的高是 ____8_____厘米．(不计损耗) 4．李红用40cm长的铁丝围成一个长方形，要使长比宽多 4cm，求围成的长方形的面积，若设长方形的宽为xcm，根 据题意列出方程是__x_+_(_x_+_4_)_=_2_0__，面积是___9_6_c_m_2___．
数学 七年级 上册
5.3 应用一元一次方程——水箱变高了
5.3 应用一元一次方程 ——水箱变高了
导入新知
5.3 应用一元一次方程——水箱变高了
阿基米德与皇冠的故事：阿基米德用非常巧妙地 方法测出了皇冠的体积，你知道他是如何测量的吗？
形状改变， 体积不变.
= rh
素养目标
5.3 应用一元一次方程——水箱变高了
旧水箱
新水箱
底面半径 高
容积
4 2
m
3.2 2
m
4m
xm
= π×
4 2
2
×4
π×
3.2 2
2
x
探究新知
5.3 应用一元一次方程——水箱变高了
解：设水箱的高变为 x米，
π×
4 2
2
×4=π×
水箱变高了讲学稿—徐克伟
5.3一元一次方程的应用----水箱变高了教学目标：1.借助立体及平面图形学会分析复杂问题中的数量关系和等量关系，体会直接或间接设未知数的解题思路，从而建立方程，解决实际问题.2.通过分析图形问题中的数量关系体会方程模型的作用，进一步提高学生分析问题、解决问题、敢于提出问题的能力.3.通过对实际问题的探讨，使学生在动手独立思考、方程意识的过程中，进一步体会数学应用的价值，鼓励学生大胆质疑，激发学生主动学习的积极性. 教学重点、难点：重点：分析应用问题中已知量与未知量的关系，列出方程解应用题。
难点：分析问题中的等量关系。
教学过程一、预习反馈明确目标1.圆柱的体积公式，长方形周长公式2.底面直径是8厘米，高为16厘米的圆柱的体积是厘米（结果保留π）二、创设情境自主探究“乌鸦喝水”中的数学聪明的你想一想怎样知道乌鸦放进瓶子中的石头使瓶子中的水位上升高度？探究一例1．某居民楼顶有一个底面直径和高均为4m的圆柱形储水箱。
需要将它的底面直径由4m减少为3.2m。
那么在容积不变的前提下，水箱的高度将由原先的4m增高为多少米？1.想一想：观察“矮胖”与“瘦长”的圆柱，分析现象.考虑几个问题: （1）在操作的过程中，圆柱由“胖”变“瘦”，圆柱的底面直径变了没有？圆柱的高呢？（2）在这个变化过程中，是否有不变的量？是什么没变？（3）由“胖”变“瘦”的变化中等量关系应该是什么？2.完成表格：这个问题中有如下的等量关系：旧水箱的容积＝新水箱的容积。
根据等量关系，列出方程：x。
解得答：高变成了米指导：此类题目中的π值由等式的基本性质就可以约去，无须带具体值；（1）若题目中的π值约不掉，也要看题目中对近似数有什么要求，再确定π值取到什么精确程度.练一练：将一个底面直径是6厘米、高为16厘米的“瘦长”形圆柱锻压成底面直径为8厘米的“矮胖”形圆柱，高变成了多少？（个体归纳，相互交流）三、展示交流点拨提高想一想（1）把一根铁丝围成一个长方形，有多少种围法？（2哪些量没变化？其中哪些量发生了变化？（3）等量关系是什么？例2、用一根长10米的铁丝围成一个长方形。
水箱变高了的类型题
水箱变高了的类型题
首先，在物理学中，当水箱的高度增加时，液体的静压力也会
增加。
这涉及到液体静压力的公式P = ρgh，其中P是液体的压力，ρ是液体的密度，g是重力加速度，h是液体的高度。
因此，当水
箱的高度增加时，液体的压力也会相应增加。
这可能会影响到水箱
周围的结构和设备。
其次，在工程学中，水箱的高度增加可能会对水箱的稳定性和
承载能力产生影响。
工程师需要考虑水箱结构的设计是否能够承受
增加的液体压力和重量，以及水箱周围的地基是否能够支撑增加的
重量。
他们还需要考虑水箱的排水系统是否能够应对增加的液体流量。
因此，水箱高度的变化需要工程师进行全面的结构分析和评估。
最后，在数学中，可以通过数学方法来计算水箱高度的变化对
液体体积的影响。
可以利用积分来计算水箱内液体的体积随时间的
变化，或者根据水箱的几何形状来推导出水箱高度和液体体积的函
数关系。
这涉及到微积分和几何学的知识，可以通过数学模型来描
述和分析水箱高度变化对液体体积的影响。
综上所述，水箱高度变化涉及到物理、工程和数学多个领域的
知识。
从物理学角度来看，液体的压力会随着高度的增加而增加；从工程学角度来看，需要考虑水箱结构的稳定性和承载能力；从数学角度来看，可以通过数学方法来计算水箱高度变化对液体体积的影响。
这些都是水箱高度变化的类型题可能涉及到的多个角度。
5.3水箱变高了 教学设计
课题：应用一元一次方程---水箱变高了一．备课标：（一）内容标准：能够根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型；能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理。
（二）核心概念：初步学会在具体情境中从数学的角度发现和提出问题，探索具体问题中的数量关系并能根据数量关系列出方程，发展灵活运用数学知识解决实际问题能力。
十大核心概念在本节课中突出培养的是模型思想、应用意识。
二、备重点、难点：（一）教材分析：本节课是在学生学习一元一次方程的含义、并掌握了解法后，通过分析图形问题中的数量关系，建立一元一次方程并用之解决实际问题，是学生运用数学知识解决生活中实际问题的典型素材，更是学生认识方程运用模型的重要环节。
又为以后类比一元一次方程学习二元一次方程组、一元二次方程及其应用奠定基础。
提高了学生分析问题、解决问题的能力，因此，本节课无论是在知识上还是思想方法及能力上都起着举足轻重的作用。
（二）重点、难点分析：本节学习列方程解应用题，其关键还是寻找实际问题中的等量关系.在实际生活中经常会遇到类似本节情境的问题，最关键的是抓住变化中的不变量，从而设出未知数，根据等量关系列出方程.我确定本节课的重点为：找等量关系列出方程并能准确地解方程难点为：找等量关系列出方程．三、备学情（一）学习条件和起点能力分析：1.学习条件分析：（1）必要条件：学生已经学习了基本图形的体积、面积、周长等公式，了解方程、一元一次方程及其解的概念，具备了列一元一次方程解决实际问题的基础经验。
（2）支持性条件：借助图形学会分析问题中的数量关系和等量关系的能力，体会直接或间接设未知数的解题思路。
已经掌握了通过找出题目中的等量关系列出方程，已经初步感知了方程中“元”和“次”的意义（二）学生可能达到的程度和存在的普遍性问题：本节课通过自主学习与合作交流，多数学生能够找到等量关系,采用“探究式”、“讲练结合”的教学方法，通过引导学生探究，让学生充分动手、动口、动脑，参与学习全过程，体现学生为主体；通过针对性的练习，教师指导，来落实教学目标。
北师大版数学七年级水箱变高了教学设计与反思
目标
方程解决问题。通过分析图形问题中的数量关系，建立方程解决问题。
3、 体会运用方程解决问题的基本过程，感受数学的应用价值，提高分析、解
决问题的能力。
一、 课前热身，复习旧知
1、长方形的周长=_____ __，面积=__
_____，长方体体积=___ _____；
2、正方形的周长=___ ____，面积=___
规范解题区：
3
★基础训练
1.一块矩形草坪的长 比宽多 10 米,它的周长是 132 米,求宽 x 所列的方程是（ ）
A. x+10=132
B. 2x+10=132
C . 2(2x+10)=132
D. 2(x−10)=132
2.用一线绳可围成边长为 7cm 的正方形,若能用此线绳改围成长比宽大 2cm 的长方形,则长 方形的面积是多少?
4
教学反思： 本节课是应用一元一次方程的第一个专题学习，一直以来应用题
都是学生弱点。所以本节课仅仅围绕 3 个核心素养目标和学情来开展 教学活动。首先，要求同学们课前认真完成自主预习学案，通过两个 实验活动：使学生亲身感受等周长变形、等体积变形问题，以此来激 发学生的学习兴趣，使学生对课题有了初步的认识，并通过学生对实 验的观察，发现了在物体形状变化时的不变量，从而为列方程找等量 关系作了铺垫.。本节课书上安排有两个例题，由于初中刚接触应用题， 第一题师生共同导析，归纳总结解题步骤，引导学生规范解题格式； 第二题改编书上的例题，通过创设《三只小猪的故事》将三个小题生 动趣味化，通过小组的合作,动手实践、互改作业等形式 ,真正使学生 成为了学习的主人!
底面半径/m 高/m 容积/m3
旧水箱
1
新水箱
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吉水外国语学校数学导学稿（编号： 7507 ）
七年级班姓名时间年月日课题水箱变高了课型新授主备审核
一、学习目标：
1.通过分析图形问题中的基本等量关系，建立方程解决问题。
2.进一步了解一元一次方程在解决实际问题中的应用。
二、知识回顾
填空：
长方形的周长= 面积=
长方体的体积= 正方体的体积=
圆的周长== 面积 =
圆柱的体积=
三、新知探索
1、将一个底面直径是10厘米，高为36厘米的“瘦长”形圆柱锻压成底面直径是20厘米的“矮胖”形圆柱，高变成了多少？
分析：假设在段压过程中圆柱的体积保持不变，那么在这个问题中有如下的等量关系：锻压前的体积=锻压后的体积。
设锻压后圆柱的高为x 厘米，填写下表：
锻压前锻压后
底面半径
高
体积
解：设锻压后圆柱的高为x 厘米，
根据等量关系，列出方程：
解得 x =
因此，高变成了厘米。
2、用一根长为10米的铁丝围成一个长方形。
（1）使得长方形的长比宽多1.4米，此时长方形的长、宽各为多少米？面积呢？
（2）使得该长方形的长比宽多0.8米，此时长方形的长、宽为各为多少米？
它所围成的长方形与（1）中所围长方形相比，面积有什么变化？
（3）使得该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形，此时正方形的边长是多少米？它所围成的面积与（2）中相比又有什么变化？
四、尝试练习：
一个长方形的养鸡场的长边靠墙，墙长14米，其他三边用竹篱笆围成，现有长为35米的竹篱笆，小王打算用它围成一个鸡场，其中长比宽多2米，求这个鸡场的长和宽分别是多少？鸡场的面积是多少？
五、拓展提升：
把一块长、宽、高分别为5cm、3cm、3cm的长方体木块，浸入半径为4cm 的圆柱形玻璃杯中（盛有水），水面将增高多少？（不外溢）。