山东大学《高等数学》期末复习参考题 (8)

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山东大学《高等数学》期末复习参考题(20)

山东大学《数学剖析III 》期末复习参照题题号一二三四五六七总分得分一 .选择题（共 10 小题， 40 分）1.函数 f (x, y)x 2y 2 , xy1,xy在（ 0， 0）点处（）。

A ）不存在偏导数；B ）存在函数极限；C ）存在两个偏导数但不连续；D ）存在两个偏导数且连续。

2.以下命题对于 f ( x, y) 在 P 0 ( x 0 , y 0 ) 的全微分描绘错误的选项是（）。

A ） dz 是 x 与 y 的线性函数；B ） dz 与z 之差比为高阶无量小；C ） f ( x, y) 在 P 0 ( x 0 , y 0 ) 可微，则 f ( x, y)在 P 0 ( x 0 , y 0 ) 连续；D ） f ( x, y) 在 P 0 ( x 0 , y 0 ) 存在两个偏导数，则在 f ( x, y) 在 P 0 ( x 0 , y 0 ) 必定可微。

3.函数 zx y (x 0) ，而 x sin t , y cost, 则dz（）。

dtA ） yx y 1 cost x y sin t ln x ；B ） yx y 1 cost x y sin t ln x ；C ） yx y 1 sin tx y cost ln x ；D ） yx y 1 sin tx y sin t ln x 。

4.假如函数 f ( x, y) 在 P 0 ( x 0 , y 0 ) 的邻域 G( ),则 f xy ''(x 0 , y 0 ) f yx '' ( x 0 , y 0 ) .'x y ' x y 存在且在 P 0 ( x 0 , y 0 ) 连续；A ）fxyfyx( , ), ( ,)B ） f xy ' ( x, y), f yx ' ( x, y) 存在且可导 ;C ） f xy '' ( x, y), f yx '' ( x, y) 存在且在 P 0 ( x 0 , y 0 ) 连续；D ） f xy '' ( x, y), f yx '' ( x, y)存在。

高等数学期末复习题及答案

高等数学期末复习题及答案一、高等数学选择题
1．点是函数的间断点.
A、正确
B、不正确
【答案】A
2．设函数，则．
A、正确
B、不正确
【答案】B
3．微分方程的通解是（）．
A、
B、
C、
D、
【答案】B
4．函数是微分方程的解．
A、正确
B、不正确
【答案】B
5．设函数，，则函数．
A、正确
B、不正确
【答案】A
6．．
A、正确
B、不正确
【答案】A
7．函数的图形如图示，则函数的单调减少区间为
( )．
A、
B、
C、
D、
【答案】D
8．函数的单调增加区间是（）．
A、
B、
C、
D、
【答案】B
9．定积分．
A、正确
B、不正确
【答案】B
10．是偶函数．
A、正确
B、不正确
【答案】B
11．设，则微分．
A、正确
B、不正确
【答案】B
二、二选择题
12．设函数，则（）．A、
B、
C、
D、
【答案】B
13．极限．
A、正确
B、不正确
【答案】A
14．不定积分( )．
A、
B、
C、
D、
【答案】B
15．设，则=（）．A、
B、
C、
D、
【答案】D。

山东大学《高等数学》期末复习参考题 (2)

（3 分）
2
=
2 4− x − y
2 2
d xd y =
2
2 d xd y z
且 D = ( x, y ) | x + y ≤ 4
2
∴
∫∫ (x
S
2
z + y 2 z d S = ∫∫ x 2 + y 2 ⋅ 2 d x d y
D
)
(
)
（4 分）
= 2∫ d θ∫ r 2 ⋅ r d r
0 0
2π
其中S是半球面x2+y2+z2=4,z≥0.
3、求曲面积分
4、计算 rot(r×c),其中 r 为矢径，c={2,1,－3}. 5、设 u = x + y + z ，而 z = x cos y ，求
2 2 2 2
∂u ∂u , 。 ∂x ∂y
四、证明题（10 分）
设函数 u = F ( x , y , z ) 在条件 Φ( x , y , z ) = 0 下有极值为 u0 = F ( x 0 , y 0 , z 0 ) ，其中函数
3 2
（6 分）（3 分）（6 分）
u y = 2 y + 2 z ( − x 2 sin y ) = 2 y − 2 x 4 sin y cos y
四、证明题（10 分）
证明：显见曲面 u = F ( x , y , z ) 与 Φ( x , y , z ) = 0 在点 ( x 0 , y 0 , z 0 ) 相交。令 L = F ( x, y, z ) + λF ( x, y, z ) 则在点 x 0 , y 0 , z 0 ) 处有（2 分）
2 2 2
(0,0) 是函数 z 的（

山东大学《高等数学》期末复习参考题 (7)

D
7、设 D：0≤x≤1,0≤y≤2(1－x),由二重积分的几何意义知
2 2

y
8、函数 z = x + y 在闭域 ( x , y ) x ≥ 0, y ≥ 0, x + 2 y ≤ 2 上的最大值是______ 。 9 、设函数 F ( u, v , w) 具有一阶连续偏导数，且 Fu (3,−3,−6) =
二、选择题（共 5 小题，20 分）
1、设 C 为包围住原点的任意光滑简单闭曲线，则 (A)因为 = ，所以 I=0；
(B)I=2π； (C)因为 (D)因 , ≠ 在 C 内不连续，所以 I 不存在；，所以沿不同的 C，I 值不同。
2t 2
2、曲线 x = e , y = ln t , z = t 在对应于 t = 2 点处的切线方程是（
（4 分）
lim 2
x= y y→0
1 x4 y4 y 12 = = lim 4 3 4 3 2 y →0 (2 y ) 8 (x + y )
x4 y4 不存在。 x→0 ( x 2 + y 4 ) 3
y→0
（8 分）
所以 lim
（10 分）
(4 分)
∂u ∂x
(1, 2 , 0 )
= ( y − z)
(1, 2 , 0 )
=2
(1, 2 , 0 )
(1, 2 , 0 )
∂u ∂z
(1, 2 , 0 )
= (3 y − x )
(1, 2 , 0 )
=5
(8 分)
所以
∂u 2 3 1 = ± 2 × +1× − +5× 14 ∂a 14 14
=±

高等数学期末试卷(含答案)

一、填空题 1.lim x→+∞x −2x x=.2. 设arctan y =，则0x dy == .3. 曲线211ln (1)42y x x x e =−≤≤的弧长等于 . 4. 设112y x=+，则(6)()f x = .5. 设()f x ''在[0,1]连续,(0)1(1)3,(1)0f f f '===,,则10()xf x dx ''=⎰ .二、选择题1．下列函数中，在0=x 处连续的是（）.（A ）xx y 2sin =（B ）12−=x y （C ）x y cos 11−= （D ）1=y2．若)(x f 是偶函数，且(0)f '存在，则(0)f '的值为（）.（A ）–1 （B ）1 （C ）0 （D ）以上都不是3．下列函数中，不是sin 2x 原函数的函数是（）.（A ）2sin x （B ）2cos x − （C ）cos 2x − （D ）225sin 4cos x x + 4．设()f x 在[,]a b 上连续，则[()]b a dx f x dx dx=⎰（）.（A ）()b af x dx ⎰（B ）()()bf b af a −（C ）[()()]()b ax f b f a f x dx −+⎰ （D ）()()b axf x f x dx +⎰5．设12(),()x x ϕϕ是一阶线性非齐次微分方程()()y p x y q x '+=的两个线性无关的特解，则该方程的通解为（）.（A ）12[()()]C x x ϕϕ+ （B ）12[()()]C x x ϕϕ− （C ）122[()()]()C x x x ϕϕϕ−+ （D ）122[()()]()x x C x ϕϕϕ−+三、计算下列各题1．求sin cos30lim x x x x e e x →−． 2．求不定积分． 3．求31(1)xdx x +∞+⎰． 4．求曲线x y xe −=在拐点处的切线方程．5．设y =求y ¢． 6．求微分方程322xy y y xe'''−+=的通解．四、设)()()()(1)b x b f x x a x −−=−−有无穷间断点10x =，有可去间断点21x =，求常数,a b 的值．五、设220()1xxt f x dtt =+⎰．⑴证明当0x >时，()f x 单调增加；⑵证明方程1()10f x =在(0,1)内有且仅有一个实根．六、设2y x =定义在闭区间[0,1]上，t 是[0,1]上的任意一点，当t 为何值时，图中的阴影部分面积和为最小.七、设0ab >，()f x 在[],a b 上连续，在(,)a b 内可导，则存在,(,)a b ξη∈,使得2()()f f abηηξ''=.x2019－2020《高等数学》参考答案一填空题：12e-24dx 3214e +4()()676!212x -+5.-2二选择题：1．D2．C 3．C4．A5．C三1.sin cos 30limx x xx e e x →-解原式sin cos sin sin 0332000(1)cos sin cos (sin )cos 1lim lim lim 33x x x x x x x e e x x x x x x x e x x x -→→→--+---+==⋅==2.求不定积分⎰令cos x t =原式⎰⎰-=-=tdtdt tt tsec sin cos sin cxx x c t t +-+-=++=211ln tan sec ln -3．计算()311xdxx +∞+⎰解()()()()332311111111111xx dx dx dx x x x x +∞+∞+∞⎛⎫+-==-⎪ ⎪++++⎝⎭⎰⎰⎰()()221111113lim 11128821211b b b →+∞⎛⎫--=+--=-= ⎪ ⎪++++⎝⎭或83)1(21)1(11111x 1211131123113=+=++-=+=+∞+--+∞-+∞-+∞⎰⎰⎰x x d x dx x x dx x ）（）（）（4．求曲线xy xe -=在拐点处的切线方程解：()()11xx x y exe x e ---'=+-=-，()()(1)12x x xy e x e x e ---''=-+--=-令0,2y x ''=⇒=，由于2x >时0y ''>，2x <时0y ''<，2(2,2)e -为拐点故要求的切线为：()222222,4y ee x y e e x-----=--=-5．设y =，求)(x y '解：等式两边取对数111ln ln ln sin 248y x x x =++求导得到211cos 248sin y x y x x x¢=-++所以）（xxx x x x e x y xsin 8cos 4121-sin )(21++='6．求微分方程322xy y y xe '''-+=的通解特征方程为2320r r -+=，解得1212r ,r ==．设方程的特解2()()*x x yx ax b e ax bx e =+=+，代入方程有2(2)=2ax a b x-+-由此可得12a ,b =-=-．故2(2)*x y x x e =--．所以原方程的通解为2212+(2)x x xy Ce C e x x e =-+．四设)()()()()1b x b f x x a x --=--有无穷间断点10x =，有可去间断点21x =，求,a b 的值.解由()()()1(1)lim01x a f x b b →--==--，得0,0,1a b b =≠≠因()1lim x f x →存在，故()()())()()11lim 1lim120x x x b b x f x b b x→→--==--=从而2b =五．设220()1xxt f x dtt =+⎰．⑴证明当0x >时，()f x 单调增加；⑵证明方程1()10f x =在(0,1)内有且仅有一个实根．证明：⑴()2201xt f x x dt t =+⎰连续且可导23220()011xt x f x dt t x'=+>++⎰，且连续可导从而()f x 在()∞+，0上单调增(2)令1()()10g x f x =-则()g x 在[]0,1上单调增,因此()g x 在[]0,1上若有零点则必为惟一的一个零点又()()1100,11arctan110.110.80.10.1010104g g π=-<=--=->--=>由闭区间上连续函数的零点定理，()g x 在()0,1上确有零点，因此()g x 在()0,1上确有惟一零点，也即方程2201110xxt dt t =+⎰在()0,1内有且仅有一个实根.六.设2y x =定义在闭区间[0,1]上，t 是[0,1]上的任意一点，当t 为何值时，图中的阴影部分面积和为最小.阴影部分面积最小时，故当，，得：令阴影部分面积和为解： 2132)1( 41)21( 31)0( 210 0)( 24)( 3134 )31()31( )()()( 223123032122 0 22====⇒==='-='⇒+-=-+-=-+-=⎰⎰t S S S t t t S t t t S t t x t x x x t dxt x dx x t t S t t tt01t2x y =xy七．设0ab >，()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，则存在(),,a b ξη∈，使得()2()f f abηηξ''=.解：()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，则由拉格朗日定理，存在(),a b ξ∈，使得()()'()(1)f b f a f b aξ-=-由()f x 和()1g x x=在[],a b 上连续，在(),a b 内可导且()0g x '≠则由柯西定理，存在(),a b η∈使得2'()()()=-(2)111f f b f a b aηη--(1)式除以(2)式整理之后，就得到我们要证明的等式.。

山东大学《高等数学》期末复习参考题 (9)

山东大学《数学分析III 》期末复习参考题1、设f (x )在[0,4]上连续，且D ：x 2+y 2≤4则()dxdy y x f D⎰⎰+22在极坐标系下先对r 积分的二次积分为_____________.2、函数z xy =arcsin 在点（1，13）沿x 轴正向的方向导数是_____________.3、函数z xe yy=2在点（2，1）沿{}a =12,方向的方向导数是_____________.4、设f (x ,y )是连续函数，则二次积分()dx y x f dy y y⎰⎰,,1交换积分次序后为______________.5、设平面薄片占有平面区域D ，其上点(x ,y )处的面密度为μ(x ,y )，如果μ(x ,y )在D 上连续，则薄片的质量m =__________________.二、选择题（共 10 小题，40 分）1、设z xye xy =-，则z x x x '(,)-=（）(A) -+2122x x e x () (B) 2122x x e x ()- (C) --x x e x ()122(D) -+x x e x ()1222、设曲线C 是由极坐标方程r =r (θ)(θ1≤θ≤θ2)给出，则( )3、设u x bxy cy =-+222，∂∂∂∂u xu y(,)(,),212160==，则22yu ∂∂=( )(A) 4(B) －4(C) 2 (D) －24、设Ω1,Ω2是空间有界闭区域，Ω3=Ω1∪Ω2,Ω4=Ω1∩Ω2，f (x ,y ,z )在Ω3上可积，则的充要条件是( )(A) f (x ,y ,z )在Ω4上是奇函数 (B) f (x ,y ,z )≡0, (x ,y ,z )∈Ω4 (C) Ω4=∅空集 (D) ()0,,4=⎰⎰⎰Ωdvz y x f5、设f (x ,y )是连续函数，则二次积分( )6、设z x y x=则∂∂z x=( )(A)y x x yx -1(B)y x y x x ln ln +⎡⎣⎢⎤⎦⎥1 (C) y x x y x x y xln ln +⎡⎣⎢⎤⎦⎥1(D) y x x x x y xln +⎡⎣⎢⎤⎦⎥17、设u =f (t )是(－∞,+∞)上严格单调减少的奇函数，Ω是立方体：|x |≤1;|y |≤1;|z |≤1. I =a ,b ,c 为常数，则( )(A) I >0 (B) I <0(C) I =0 (D) I 的符号由a ,b ,c 确定8、函数z f x y =(,)在点(,)x y 00处具有偏导数是它在该点存在全微分的( ) (A)必要而非充分条件； (B)充分而非必要条件；(C)充分必要条件； (D)既非充分又非必要条件。

《高等数学》期末复习题

期末题型：10个单选（每题3分），7个大题（每题10分）一、单项选择题1. 下列各式中不是常微分方程的为 C . A. y y x '+= B.2y y y '''+= C.20ax bx c ++= D.d d 0x y y x +=2. 微分方程 y ′′−2y ′−3y =0 的通解为 A .A. y =C 1e 3x +C 2e −xB.y =C 1e −3x +C 2e −xC.y =C 1e 3x +C 2e xD.y =C 1e −3x +C 2e x3. 微分方程 y ′′−2y ′+y =0 的通解为 C .A. y =C 1e x +C 2e xB.y =Ce xC.y =(C 1+C 2x)e xD.y =(C 1+C 2x)e −x4. 微分方程 y ′′−2y ′+5y =0 的通解为 B .A. y =e 2x (C 1cos x +C 2sin x)B.y =e x (C 1cos 2x +C 2sin 2x)C. y =C 1cos x +C 2sin 2xD. y =C 1cos 2x +C 2sin x5．已知 a ⃗⃗⃗⃗ =(0,1,0), b ⃗⃗⃗⃗ =(0,1,−2)，则 a ⃗⃗⃗⃗ ∙ b ⃗⃗⃗⃗ = C . A ．0 B. −1 C. 1 D. 26．已知 a ⃗⃗⃗⃗ =(0,3,4), b ⃗⃗⃗⃗ =(2,1,−2)，则 Prj a ⃗⃗⃗⃗ b ⃗⃗⃗⃗ = C . A ．3 B. −53 C. −1 D. 17.已知a b ，两向量夹角为π4，且(2,1,2)b =−，则Pr a j b = C ．A ．32 Ｂ．13− Ｃ．2Ｄ．18．方程 z =√x 2+y 2 表示三维空间中的 B . .A ．球面B ．圆锥面C ．圆柱面D ．旋转抛物面 9．直线x−22=y+21=z−4−3=0 与平面 x +y +z =4 的关系是 A .A ．直线在平面上B ．平行C ．垂直D ．三者都不是10．函数(,)f x y 在点00(,)x y 偏导数存在是(,)f x y 在该点连续的 D . A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充分必要条件 D ．既非充分也非必要条件11．若在点00(,)x y 处0f x ∂=∂，0fy∂=∂，则(,)f x y 在点00(,)x y 是 D . A ．连续且可微 B ．连续但不一定可微 C ．可微但不一定连续 D ．不一定可微也不一定连续12．考虑二元函数的下面4条性质：①(,)f x y 在点00(,)x y 处连续； ②(,)f x y 在点00(,)x y 处的两个偏导数连续； ③(,)f x y 在点00(,)x y 处可微； ④(,)f x y 在点00(,)x y 处的两个偏导数存在. 若用“P Q ⇒”表示可由性质P 推出性质Q ，则有 A . A ．②⇒③⇒① B ．③⇒②⇒① C ．③⇒④⇒① D ．③⇒①⇒④13．lim n→∞u n =0 是级数1nn u∞=∑收敛的 B .A. 充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D. 既非充分也非必要条件14．下列级数条件收敛的是 C .A. 1(1)1nn n n ∞=−+∑B.1(1)n ∞=−∑C.1(1)n n ∞=−∑D. 211(1)n n n ∞=−∑15．设幂级数nn n a x∞=∑在2x =处收敛，则该级数在1x =−处必定 C .A.发散B.条件收敛C.绝对收敛D.敛散性不能确定二、计算题1.求微分方程d 0xy x y =满足初始条件1e x y ==的特解.解：方程变形为d xy x y =1d x y y=，两端积分得211d 2y y =⎰1ln ln y C =+，由此得11)y C C C C =±==±记，满足初始条件1e x y ==，代入得e C =，所以特解为1y =.2．求过点 (2,1,0) 且与平面 2x 3y −5z −5= 0 平行的平面方程.解：设所求平面方程为2350x y z D +−+=，将点(2,1,0)代入平面方程得，7D =− 从而平面方程为23570x y z +−−=.3．求过点(3,2,5)−且与两平面430x z −−=和2510x y z −−−=平行的直线方程解：所求直线的方向向量可取10443215i j ks i j k =−=−−−−−，即(4,3,1)s =−−−(4,3,1)，故直线方程为325431x y z +−−==．4．求过两点()1,1,1M −−和()2,2,4N 且与平面:0x y z ∏+−=垂直的平面方程．解： ()11,3,5,(1,1,1)MN n ==− 平面的法向量为：1(4,3,1)n MN n =⨯=− 所求平面方程为：4(1)3(1)(1)0x y z −−+++= 即4360x y z −+−=L5. 计算极限 02tan()limx y xy x→→. 解：000222tan()tan()tan()limlim lim lim 12 2.x x xy y y y xy xy xy y y x xy xy →→→→→→=⋅=⋅=⋅=6. 计算极限00x y →→.解：000001.4x x x y y y →→→→→→−===7．设(32,42)z f x y x y =+−，其中(,)f u v 可微，求,,d z zz x y∂∂∂∂. 解：121234,22z zf f f f x y∂∂''''=+=−∂∂，()()1212d d d 34d 22d z z z x y f f x f f y x y ∂∂''''=+=++−∂∂.8．设333z xyz a −=，求,z zx y∂∂∂∂. 解：令33(,,)3F x y z z xyz a =−−，则3x F yz =−，3y F xz =−，233z F z xy =−；2x z F z yz x F z xy ∂∴=−=∂−，2y z F z xz yF z xy ∂=−=∂−.9．用二重积分的几何意义计算下列二重积分：（1）∬√4−x 2−y 2 dσD ，（22:4,0)D x y y +≤≥）；（2）∬√x 2+y 2 dσD ，（22:1D x y +≤）.提示：224,0x y y +≤≥⎰⎰σ表示半径为2的1/4球体的体积；221x y +≤⎰⎰σ表示半径和高都为1的圆柱体与圆锥体的体积之差.10．计算22d d Dx x y y⎰⎰，其中D 是由直线2,x y x ==与曲线1xy =所围成的闭区域. 解：如图9-4所示，区域1:12,D x y x x≤≤≤≤，则原式22121d d xxx x y y =⎰⎰22111d xx x x y ⎡⎤=−⎢⎥⎣⎦⎰22423119()d .244x x x x x ⎡⎤=−+=−+=⎢⎥⎣⎦⎰11．计算22d Dx y σ+⎰⎰，其中D 是圆环形闭区域{}22(,)14x y x y +≤≤．解：22π22223011114πd d d d d 2π33DDx y σρρρθθρρρ⎡⎤+=⋅==⋅=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰.12．判断级数12!nn n n n ∞=∑的敛散性.解：因为11(1)11e 2(1)!lim lim 11222!n nn n n n n n n n n n ++→∞→∞++⎛⎫=+=> ⎪⎝⎭.由比值审敛法可知12!n n n n n ∞=∑发散.13．判断级数11πtan2n n n ∞+=∑的敛散性. 解：因为11ππtan()22~n n n n n ++→∞，即11πtan2lim1π2n n n n n +→∞+=. 又211π1112limlim 122π2n n n n n n n n ρ+→∞→∞+++===<，由比值审敛法可知11π2n n n ∞+=∑收敛，再由比较审敛法的极限形式可知11πtan2n n n ∞+=∑收敛. 图 9-4。

高等数学期末复习题

期末复习题二．填空题（24分）1. 设 f (x )=lim t→x (sin t sin x )x sin t−sin x ,则 f(x) 的间断点为_________，其类型是_________.2. 若 lim x→0sin6x+xf(x)x 3=0，则极限 lim x→06+f(x)x 2=___________.x =−b±√b 2−4ac 2a3. 正弦交流电 i (t )=I m sin ωt 在它半个周期内 (t=0到t=πω) 内的平均值是________.∀x 34. 设y =f(x) 是由方程 ∫e t 2y 0dt +∫te t x 20dt =0 所确定的隐函数，则f ′(x )=_________.5. 不定积分 ∫xe x (1+x)2dx =__________.6. 摆线 {x =a(t −sint)y =a(1−cost)的一拱(0≤t ≤2π)与x 轴所围成的平面图形的面积是_________.7. 设 y 1=e x ,y 2=x 是三阶常系数线性齐次微分方程 y ′′′+ay ′′+by ′+cy =0 的两个特解，则a =_____________,b =_____________,c =_____________.8. 方程 y ′−x 2y 2=y 的通解为 y (x )=____________.三. (8分) 设函数 f 在 x =1 的邻域内可导，且 f (0)=1,lim x→1f ′(x )=1, 计算极限 lim x→0∫(t ∫f(u)du 1t )x 1dt (1−x)3.四. (10分) 讨论下列反常积分的敛散性，对于收敛的情况还要判别是条件收敛还是绝对收敛：∫sin x x p dx +∞0,p >0.五 (8分) 设一半径为 1 的球有恰好完全浸入水中，球的体密度为 1 ，求将此球从水中取出需做多少功。

六. (10分）使用在求解二阶常系数线性微分方程时，对特征根为重根时所用过的待定系数法，证明：若x1(t)为二阶线性齐次微分方程ẍ+a1(t)ẋ+a2(t)x=0的一个非零解，则其通解为x=x1(t)[C1∫e−∫a1(t)dt(x1(t))2dt+C2].由此验证 x=sin tt 是方程ẍ+2tẋ+x=0的解并求此方程的通解。

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山东大学《数学分析III》期末复习参考题
题号一二三四总分
得分
一、填空题（共 10 小题，40 分）

1、设uyxarctan，则uy= ___________.

2、函数uxyxyzln的间断点为___________.
3、设向量场A=P(y,z)i+Q(z,x)j+R(x,y)k,则divA=___________.
4、曲线xteyeztettt232222,,在对应于t1点处的法平面方程是
___________.

5、函数zxyarcsin在点（1，13）沿x轴正向的方向导数是___________.

6、设uxyyx2，则22zx=___________.
7、设有平面向量场A=2xyi+(x2+3x)j,则它沿正方形|x|+|y|=1正向的环流量为_________.
8、曲面xyz22450垂直于直线xyz1212的切平面方程是
_________________.
9、根据二重积分的几何意义dxdyyxD224＝_____________.其中D：x2+y2≤4,x

≥0,y≥0.
10、极限limsin()xyxyx0= 。

二、选择题（共 5 小题，20 分）
1、函数zfxy(,)在点(,)xy处的二阶偏导数fxyxy(,)及fxyyx(,)都存在，则

fxyxy(,)及fxyyx(,)在点(,)xy处连续是ffxyyx
的（）

(A)充分而非必要条件； (B)必要而非充分条件；
(C)充分必要条件； (D)既非充分又非必要条件。

2、曲线20222zyxzyx在点(,,)011处的法平面方程为（）
（A）xyz0 （B）xy0
（C）20xyz （D）yz0

3、设uxbxycy222，uxuy(,)(,),212160，则22yu=（）
(A) 4 (B) －4 (C) 2 (D) －2
4、单叶双曲面xyz2224231上点M处的法向量与三坐标轴正向的夹角相等，则
点M为（）
（A）4361666,,和4361666,,

（B）4361666,,和4361666,,
（C）4361666,,和4361666,,
（D）4361666,,和4361666,,
5、设L是圆周x2+y2=a2 (a>0)负向，则( )

三、计算题（共 5 小题，30 分）
1、求函数zxyln()22在点Mxy000(,)沿过该点的等值线的外法线方向的方向导
数。
2、求函数zxxyyx24232的驻点。
3、dSzyx)(，为平面5zy被柱面2522yx所截得的部分。
四、证明题（10 分）
设ufrr()，其中zyxr,,，ft()可微，证明：沿与r垂直的任一方向上该函
数的方向导数为零。
《数学分析III》期末试卷08答案与评分标准
一、填空题（共 10 小题，40 分）
1、xxy22
2、平面yx上的所有点。
3、0

4、01132eyx

5、122

6、23yx
7、6
8、2210xyz

9、34
10、
二、选择题（共 5 小题，20 分）
ACBBA
三、计算题（共 3 小题，30 分）

1、等值线方程为xyxy220202，外法线向量nxy{,}00，所以

cos,cos
xxyyxy
002020

020
2
(5分)

znxxyyxyxy222
002020

020
2

coscos
(10分)

2、由02402462yxzyxzyx （6分）
解得驻点：132312,,, （10分）
3、dxdydxdydxdyzzdSyx2)1(011222(5分)



20502125)5cos(2)5(2)(rdrrddxdyxdSzyx

D
(10分)
四、证明题（10 分）

证明：uxfarauyfaraxy''()()

u
z
faraz'()


(4分)

设l0cos,cos,cos与a垂直，则
u
l
faraaaxyz'()(coscoscos)


faral'()()00
(10分)