第二类曲线积分典型例题解析
第二类曲面积分例题
第二类曲面积分例题曲面积分是对曲面上某个量进行积分的数学工具，用于计算曲面上的各种物理量或几何特性。
下面我会给出一个例题，并从多个角度进行解答。
例题，计算曲面积分 $\iint_S (x^2+y^2+z^2)dS$，其中曲面$S$ 是球面 $x^2+y^2+z^2=a^2$，且法向量与 $z$ 轴的夹角小于$\frac{\pi}{2}$。
解答：1. 参数化法：我们可以使用球坐标系来参数化球面 $S$，令$x=a\sin\phi\cos\theta$，$y=a\sin\phi\sin\theta$，$z=a\cos\phi$，其中 $0\leq\phi\leq\frac{\pi}{2}$，$0\leq\theta\leq2\pi$。
计算曲面积分可转化为计算参数化后的积分：$$\iint_S (x^2+y^2+z^2)dS =\int_0^{\frac{\pi}{2}}\int_0^{2\pi}(a^2\sin^2\phi\cos^2\theta + a^2\sin^2\phi\sin^2\theta +a^2\cos^2\phi)a^2\sin\phi d\theta d\phi$$。
化简后可得结果。
2. 法向量法，由于曲面 $S$ 是球面，其法向量可以表示为$\mathbf{N} = \frac{\mathbf{r}}{a}$，其中 $\mathbf{r} =x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k}$ 是曲面上的任意一点。
计算曲面积分可转化为计算 $\iint_S(\mathbf{r}\cdot\mathbf{N})dS$。
代入球面方程和法向量表达式后，进行积分即可得结果。
3. 散度定理法，根据散度定理，曲面积分可以转化为对曲面所围立体的体积分。
因为球面 $S$ 是闭合曲面，所以可以使用散度定理。
计算散度 $\nabla\cdot(\mathbf{F})$，其中 $\mathbf{F} = (x^2+y^2+z^2)\mathbf{i} + (x^2+y^2+z^2)\mathbf{j} +(x^2+y^2+z^2)\mathbf{k}$。
9(2)第二类曲线积分
y B
对坐标的曲线积分
例2 计算
I = ∫ xdy + ydx
L
其中L分别为 其中 分别为: 分别为 (1) 抛物线
y = 2x
2
上从原点到B(1,2)的一段 的一段; 上从原点到 的一段
(2) 直线段OB: 直线段
y = 2x;
(3) 任意以 为起点,B为终点的光滑曲线 任意以O为起点 为终点的光滑曲线 为起点 为终点的光滑曲线. 结论:被积函数 起点终点都相同 结论 被积函数,起点终点都相同 被积函数 起点终点都相同, 虽然积分路径不同,但积分值不同 虽然积分路径不同 但积分值不同. 但积分值不同
′ (t ) dt = dx, dy, dz T =r { }
从而单位切向量为
t = cos t , x , cos t , y , cos t , z
{ ( ) ( ) ( )} = {cos α , cos β , cos γ }
∫
C
又设 F ( x, y, z ) = P ( x, y , z )i + Q ( x, y , z ) j + R ( x, y , z ) k 则
∫
L
F d s = ∫ F d s
L
y
L
L
O
x
第二类曲线积分与 3. 存在条件
曲线的方向有关. 曲线的方向有关.
当F ( x, y ) 在光滑曲线弧 上 连续时, 在光滑曲线弧L上 连续时,
第二类曲线积分存在. 第二类曲线积分存在
5
对坐标的曲线积分
4. 物理意义
变力 F = P ( x , y )i + Q ( x , y ) j 沿AB所作的功 W 所作的功
微积分 第二类曲线积分
{ P [ x , y ( x )] Q [ x , y ( x )] y ( x )} dx
a
b
以 上 定 义 及 结 论 均 可 推 广 到 空 间
例1、求
L
xydx , L : y
2
x 上从 A ( 1 , 1 ) 到 B ( 1 ,1 )的一段弧 .
求 例2、 y 2 dx , L :
L
d r e ( x , y ) ds
r
[F ( x , y ) e
L L
( x , y )]ds
两类曲线积 分互化公式
为向量值函数
[ P ( x , y ) cos Q ( x , y ) cos ]ds P ( x , y ) dx
规定：定向光滑曲线上各点处的切向量的方向
总是与曲线的走向一致。
参数方程（1）所表示的定向曲线上任一点处切向量为：
( x ( t ), y ( t ), z ( t ))
(a b : ; a b : )
2、变力沿曲线作功
求变力 F ( x , y ) P ( x , y ) i Q ( x , y ) j 作用 于质点沿曲线从点 A 移动到 B 所作的功 ?
( 2 ) 若 L 为封闭曲线 , 积分号常写成
L
.
(3)
L
L1
L2
( L L1 L 2 )
（可加性）
(4)
L
L
二、第二类曲线积分的计算法
第二类曲线积分与第二类曲面积分
∫ P(x, y)dx + Q(x, y)dy ≤ MC ，
L
其中 C 是曲线 L 的弧长， M = max{ P 2 (x, y) + Q 2 (x, y) |(x, y) ∈ L}。记圆周
2
x2 + y2 = R2 为 LR ，利用以上不等式估计
∫ ( ) IR
=
LR
ydx − xdy x2 + xy + y 2
−x
，则
x2 + xy + y2 2
P2 (x, y) + Q2 (x, y) =
x2 + y2
≤
16
，
(x 2 + xy + y 2 )4 (x 2 + y 2 )3
于是
IR
≤
4 R3
C
=
8π R2
，所以
lim
R→+∞
I
R
=
0。
3. 方向依纵轴的负方向，且大小等于作用点的横坐标的平方的力构
成一个力场。求质量为 m 的质点沿抛物线 y2 = 1 − x 从点 (1,0) 移到 (0,1)
∂( y, ∂(θ ,
z) z)
+
cosθ
∂(z, x) ∂(θ , z)
+
sinθ
∂(x, ∂(θ ,
y) ⎤ z) ⎥⎦
dθ
dz
∫ ∫ ∫ ∫ =
2π cosθ dθ
4
zdz +
2π sinθ cosθ dθ
4 dz = 0 。
0
0
0
0
解法二
由于曲面Σ的单位法向量为 ( x , y , 0) ，可知
高等数学 第二类曲线积分与路径无关问题1
∫
C
(1 + y 3 ) dx + ( 2 x + y ) dy = ∫
C + c0
(1 + y 3 ) dx + ( 2 x + y ) dy − ∫ (1 + y 3 ) dx + ( 2 x + y ) dy
C0
=
∫∫ ( 2 − 3 y
D
2
)dxdy − ∫ (1 + 0 3 ) dx =
π
=
3a 2 2
∫
2π
0
3 sin 2 t cos 2 tdt = πa 2 . 8
例 3 在过点Ｏ(0,0)和Ａ(π,0)的曲线族 y = a sin x 中，求一条曲线Ｃ，使沿 该曲 线从Ｏ到Ａ的线积分 ∫ (1 + y 3 ) dx + ( 2 x + y ) dy 的值最小。
C
解 本题可用代入法直接求解，这里采用“补线法”用格林公是求解。 令 C 0 : y = 0, x : π → 0 ，即 AO 直线段。
xdy − ydx ,其中 L 为: L x2 + y2
（1）任一简单闭曲线,该闭曲线包围的区域不含有原点; （2）以原点为圆心的任一圆周. 解 这里 P ( x, y ) =
−y x , Q ( x, y ) = 2 , 2 x +y x + y2
2
∂Q y2 − x2 ∂P = 2 = ,且 P ( x, y ) 与 Q ( x, y ) 在不含原点的任意一个区域内具有一 2 2 ∂x ( x + y ) ∂x 阶连续偏导数. （1） 这个曲线积分与路径无关,所以
I =∫ xdy − ydx = 0. x2 + y2
数学分析20.2第二型曲线积分(含习题及参考答案)
第二十章 曲线积分 2第二型曲线积分一、第二型曲线积分的定义引例：如图，一质点受力F(x,y)的作用沿平面曲线L 从点A 移动到点B ，求力F(x,y)所作的功.在曲线⌒AB 内插入n-1个分点M 1, M 2, …, M n-1， 与A=M 0, B=M n 一起把有向曲线⌒AB分成 n 个有向小弧段⌒M i-1M i (i=1,2,…,n).若记小弧段⌒M i-1M i 的弧长为△s i ，则分割T 的细度为T =i ni s ∆≤≤1max .设力F(x,y)在x 轴和y 轴方面的投影分别为P(x,y)与Q(x,y)，则 F(x,y)=(P(x,y),Q(x,y)). 又设小弧段⌒M i-1M i 在x 轴与y 轴上的投影分别为 △x i =x i -x i-1与△y i =y i -y i-1，(x i ,y i )与(x i-1,y i-1)分别为分点M i 与M i-1的坐标. 记ii M ML 1-=(△x i ,△y i )，于是力F(x,y)在小弧段⌒M i-1M i 上所作的功为W i ≈F(ξi ,ηi )·ii M ML 1-=P(ξi ,ηi )△x i +Q(ξi ,ηi )△y i ，其中(ξi ,ηi )是⌒M i-1M i 上任一点.因而力F(x,y)沿曲线⌒AB所作的功近似地等于 W=∑=n i i W 1≈∑=∆n i i i i x P 1),(ηξ+∑=∆ni i i i y Q 1),(ηξ.定义1：设函数P(x,y)与Q(x,y)定义在平面有向可求长度曲线L ：⌒AB 上.对L 的任一分割T 把L 分成n 个小弧段⌒M i-1M i (i=1,2,…,n), A=M 0, B=M n . 记各小弧段⌒M i-1M i 的弧长为△s i ，分割T 的细度为T =i ni s ∆≤≤1max .又设T 的分点M i 的坐标为(x i ,y i )，并记△x i =x i -x i-1,△y i =y i -y i-1(i=1,2,…,n). 在每个小弧段⌒M i-1M i 上任取一点(ξi ,ηi )，若存在极限∑=→∆ni iiiT xP 1),(limηξ+∑=→∆ni i i i T y Q 1),(lim ηξ且与分割T 与点(ξi ,ηi )的取法无关，则称此极限为函数P(x,y), Q(x,y)沿有向曲线L 上的第二型曲线积分， 记作：⎰L dx y x P ),(+Q(x,y)dy 或⎰AB dx y x P ),(+Q(x,y)dy ，也可简写为⎰LPdx +Qdy 或⎰ABPdx +Qdy ，若L 为封闭的有向曲线，则记为⎰LPdx +Qdy.若记F(x,y)=(P(x,y),Q(x,y))，ds=(dx,dy)，则有向量形式：⎰⋅L ds F 或⎰⋅AB ds F . 若L 为空间有向可求长度曲线，P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z)为定义在L 的函数，可类似地定义沿空间有向曲线L 上的第二型曲线积分，并记为：⎰Ldx z y x P ),,(+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz 或⎰ABdx z y x P ),,(+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz ，也可简写为⎰L Pdx +Qdy+Rdz 或⎰AB Pdx +Qdy+Rdz.当把F(x,y)=(P(x,y),Q(x,y),R(x,y))与ds=(dx,dy,dz)看作三维向量时，有 向量形式⎰⋅L ds F 或⎰⋅AB ds F .注：第二型曲线积分与曲线L 的方向有关，对同一曲线，当方向由A 到B 改变由B 到A 时，每一小曲线段的方向都改变，从而所得△x i ,△y i 也随之变号，故有⎰AB Pdx +Qdy= -⎰BA Pdx +Qdy.性质：1、若⎰L i dx P +Q i dy 存在，c i (i=1,2,…,k)为常数，则dx P c L k i i i ⎰∑⎪⎭⎫ ⎝⎛=1+dy Q c k i i i ⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=1也存在，且 dx P c L k i i i ⎰∑⎪⎭⎫⎝⎛=1+dy Q c k i i i ⎪⎭⎫⎝⎛∑=1=()dy Q dx P c iLiki i +⎰∑=1.2、若有向曲线L 是由有向曲线L 1,L 2,…,L k 首尾相接而成，且⎰iL Pdx +Qdy(i=1,2,…,k)存在，则⎰LPdx +Qdy 也存在，且⎰LPdx +Qdy =∑⎰=ki L iPdx 1+Qdy.二、第二型曲线积分的计算 设平面曲线L:⎩⎨⎧==)()(t y t x ψϕ, t ∈[α,β]，其中φ(t),ψ(t)在[α,β]上具有一阶连续导函数，且 点A 与B 的坐标分别为(φ(α),ψ(α))与(φ(β),ψ(β)). 又设P(x,y)与Q(x,y)为定义在L 上的连续函数，则 沿L 从A 到B 的第二型曲线积分⎰Ldx y x P ),(+Q(x,y)dy=⎰'+'βαψψϕϕψϕdt t t t Q t t t P )]())(),(()())(),(([.注：1、对沿封闭曲线L 的第二型曲线积分的计算，可在L 上任取一点作为起点，沿L 所指定的方向前进，最后回到这一点.2、设空间有向光滑曲线L 的参量方程为x=x(t), y=y(t), z=z(t), t ∈[α,β]， 起点为(x(α),y(α),z(α))，终点为(x(β),y(β),z(β))，则Rdz Qdy Pdx L ++⎰=⎰'+'+'βαdt t z t z t y t x R t y t z t y t x P t x t z t y t x P )]())(),(),(()())(),(),(()())(),(),(([.例1：计算⎰L xydx +(y-x)dy ，其中L 分别沿如图中路线： (1)直线AB ；(2)ACB(抛物线：y=2(x-1)2+1)； (3)ADBA(三角形周界).解：(1)方法一：L:⎩⎨⎧+=+=ty tx 211, t ∈[0,1]，∴⎰L xydx +(y-x)dy=⎰+++10]2)21)(1[(dt t t t =625. 方法二：L: y=2x-1, x ∈[1,2]，∴⎰L xydx +(y-x)dy=⎰-+-21)]1(2)12([dx x x x =625. (2)⎰L xydx +(y-x)dy=⎰+--++-2122)]352)(44()342([dx x x x x x x=⎰-+-2123)12353210(dx x x x =610.(3)⎰L xydx +(y-x)dy=⎰AD xydx +(y-x)dy+⎰DB xydx +(y-x)dy+⎰BA xydx +(y-x)dy. 又⎰AD xydx +(y-x)dy=⎰21xdx =23;⎰DBxydx +(y-x)dy=⎰-31)2(dy y =0;⎰BAxydx +(y-x)dy=-625；∴⎰L xydx +(y-x)dy=23+0-625=-38.例2：计算ydx xdy L +⎰，这里L(如图) (1)沿抛物线y=2x 2, 从O 到B 的一段； (2)沿直线段OB ：y=2x ； (3)沿封闭曲线OABO.解：(1)ydx xdy L +⎰=⎰+1022)24(dx x x =2. (2)ydx xdy L +⎰=⎰+10)22(dx x x =2. (3)ydx xdy OA +⎰=⎰100dx =0;ydx xdy AB+⎰=⎰2dy =2;ydx xdy BO+⎰=-2；∴⎰+L ydx xdy =ydx xdy OA +⎰+ydx xdy AB +⎰+ydx xdy BO +⎰=0+2-2=0.例3：计算第二型曲线积分⎰+-+L dz x dy y x xydx 2)(，L 是螺旋线：x=acost, y=asint, z=bt 从t=0到t=π上的一段. 解：⎰+-+L dzx dy y x xydx 2)(=dt t b a t t t a t t a ⎰+-+-π022223]cos )sin (cos cos cos sin [=⎰⎰⎰-++-πππ222223cos sin cos )1(cos sin tdtt a atdt b a tdt t a=⎰+π022cos )1(tdt b a =21a 2(1+b)π.例4：(如图)求在力F(y,-x,x+y+z)作用下， (1)质点由A 沿螺旋线L 1到B 所作的功. 其中L 1: x=acost, y=asint, z=bt, 0≤t ≤2π； (2)质点由A 沿直线L 2到B 所作的功. 解：(1)W=⎰+++-L dzz y x xdy ydx )(=dt bt t a t a b t a t a ⎰+++--π202222)]sin cos (cos sin [=dt t b t ab t ab a ⎰+++-π2022)sin cos (=-2πa 2+2π2b 2=2π(πb 2-a 2).(2)∵L 2: x=a,y=0,z=bt ，0≤t ≤2π；∴W=⎰+++-L dz z y x xdy ydx )(=dt bt a b ⎰+π20)(=2πb(a+πb)三、两类曲线积分的联系设L 为从A 到B 的有向光滑曲线，它以弧长s 为参数，于是L: ⎩⎨⎧==)()(s y y s x x , 0≤s ≤l ，其中l 为曲线L 的全长，且点A,B 的坐标分别为(x(0),y(0))与(x(l),y(l)). 曲线L 上每一点的切线方向指向弧长增加的一方.现以(),()分别表示切线方向t 与x 轴与y 轴的夹角，则在曲线上的每一点的切线方向余弦为dsdx=cos(),dsdy=cos().若P(x,y), Q(x,y)为曲线L 上的连续函数，则由⎰Ldx y x P ),(+Q(x,y)dy=⎰'+'lds s y s y s x Q s x s y s x P 0)]())(),(()())(),(([得⎰LPdx +Qdy=⎰ls y s x P 0))(),(([cos()+))(),((s y s x Q cos()]ds=⎰L y x P ),([cos()+),(y x Q cos()]ds.最后得到一个根据第一型曲线积分化为定积分的等式. 即两类曲线积分之间的转换公式.注：当⎰L Pdx +Qdy 的方向改变时，⎰Ly x P ),([cos()+),(y x Q cos()]ds 中的夹角与原夹角相差弧度π，从而cos()和cos()也随之变号.因此，一旦方向确定，两类曲线积分之间的转换公式总是成立.习题1、计算第二型曲线积分：(1)⎰-L ydx xdy , 其中L (如图)(i)沿抛物线y=2x 2, 从O 到B 的一段； (ii)沿直线段OB ：y=2x ； (iii)沿封闭曲线OABO.(2)⎰+-L dy dx y a )2(, 其中L 为摆线a(t-sint),y=a(1-cost) (0≤t ≤2π)，沿t 增加方向的一段； (3)⎰++-Lyx ydy xdx 22, 其中L 为圆周x 2+y 2=a 2依逆时针方向； (4)⎰+L xdy ydx sin , 其中L 为y=sinx(0≤x ≤π)与x 轴所围的闭曲线，依顺时针方向；(5)⎰++L zdz ydy xdx , 其中L 为从(1,1,1)到(2,3,4)的直线段. 解：(1)(i)ydx xdy L -⎰=⎰-1022)24(dx x x =32. (ii)⎰-L ydx xdy =⎰-10)22(dx x x =0.(iii)ydx xdy OA -⎰=⎰100dx =0;ydx xdy AB -⎰=⎰20dy =2;ydx xdy BO -⎰=-32； ∴⎰-L ydx xdy =ydx xdy OA -⎰+ydx xdy AB -⎰+ydx xdy BO -⎰=0+2-32=34.(2)⎰+-L dy dx y a )2(=⎰+---π20}sin )cos 1)](cos 1(2[{dt t a t t a a a =dt t a dt t a ⎰⎰+-ππ202022sin )cos 1(=πa 2.(3)由圆的参数方程：x=acost, y=asint, (0≤t ≤2π)得⎰++-L y x ydyxdx 22=⎰+π20222)cos sin sin cos (adt t t a t t a =0. (4)记点A(π,0)则⎰+Lxdy ydx sin =⎰⎰⋂+++OAAOxdyydx xdy ydx sin sin=⎰⎰++000)cos sin (sin ππdx dx x x x =-cosx π0=2.(5)L 的参数方程为：x=t, y=2t-1, z=3t-2, (1≤t ≤2)， ∴⎰++L zdz ydy xdx =⎰-+-+21)6924(dt t t t =⎰-21)814(dt t =13.2、设质点受力作用，力的反方向指向原点，大小与质点离原点的距离成正比. 若由质点与(a,0)沿椭圆移动到(0,b)，求力所作的功. 解：椭圆的参数方程为x=acost, y=bsint, 0≤t ≤2π.F=k ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+-+222222,y x y y x x y x =(-kx,-ky), k>0. ∴力所作的功W=⎰L Pdx +Qdy=⎰+-L ydy xdx k )(=-k ⎰+-2022)cos sin sin cos (πdt t t b t t a =2k(a 2-b 2).3、设一质点受力作用，力的方向指向原点，大小与质点到xy 平面的距离成反比. 若质点沿直线x=at, y=bt, z=ct(c ≠0)从M(a,b,c)移动到N(2a,2b,2c)，求力所作的功.解：F=zk , k ≠0. 由力的方向指向原点，故其方向余弦为：cos α=r x -, cos β=r y -, cos γ=r z-, 其中r=222z y x ++F 的三个分力为P=-r x z k , Q=-r y z k , P=-rz z k =-r k, ∴力所作的功为W=-dz r kdy rz ky dx rz kx L ++⎰=-k ⎰++++21222222)(dt tc b a ct t c b a =c c b a k 222++'ln2.4、证明曲线积分的估计公式：⎰+ABQdy Pdx ≤LM, 其中L 为AB 的弧长，M=22),(maxQ P ABy x +∈.利用上述不等式估计积分I R =⎰=+++-222222)(R yx y xy x xdyydx ，并证明+∞→R lim I R =0. 证：(1)∵⎰+AB Qdy Pdx =⎰⎪⎭⎫⎝⎛+AB ds dy Q dsdx Pds 且 ds dy Q ds dx P +≤⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+2222)(ds dy ds dx Q P ≤22Q P +，从而 ⎰+ABQdy Pdx ≤⎰+ABdsdyQ ds dx Pds ≤⎰+AB Q P 22ds ≤⎰AB M ds=LM. (2)42222)(max222y xy x y x R y x +++=+=4222)21(R R R -=34R ; 由(1)知222)(y xy x xdyydx ++-≤2πR·34R =28R π.∵|I R |≤28R π→0 (R →+∞), ∴+∞→R lim I R =0.5、计算沿空间曲线的第二型积分：(1)⎰L xyzdz , 其中L 为x 2+y 2+z 2=1与y=z 相交的圆，其方向按曲线依次经过1,2,7,8封限；(2)⎰-+-+-L dz y x dy x z dx z y )()()(222222, 其中L 为球面x 2+y 2+z 2=1在第一卦限部分的边界线，其方向按曲线依次经过xy 平面部分，yz 平面部分和zz 平面部分.解：(1)曲线L 的参数方程为：x=cost, y=z=t sin 22, 0≤t ≤2π， 当t 从0增加到2π时，点(x,y,z)依次经过1,2,7,8卦限，于是⎰Lxyzdz =⎰π20224sin cos 2tdt t =162π.(2)(如图)设I=⎰-+-+-L dz y x dy x z dx z y )()()(222222=⎰1L +⎰2L +⎰3L ,其中L 1: ⎪⎩⎪⎨⎧===0sin cos z y x θθ(0≤θ≤2π); L 2: ⎪⎩⎪⎨⎧===ϕϕsin cos 0z y x (0≤φ≤2π); L 3: ⎪⎩⎪⎨⎧===ψψcos 0sin z y x (0≤ψ≤2π); 则⎰-+-+-1)()()(222222L dz y x dy x z dx z y =⎰--2033)cos sin (πθθθd =-32-32=-34.同理⎰2L =⎰3L =-34，∴I=-34-34-34=-4.。
第二型曲线积分
y
x
( x)2x ，( x) x2 C ，
代入 (0)0 ，得C 0 ，( x) x2 。
取 y x ， x: 01 作为积分路径，则
(1,1) x
y2dx
y(
x)dy
(1,1)xy2dx yx2dy
1
2
x
3dx
1
.
(0,0)
(0,0)
0
2
东南大学数学系
HECHUANFU
或 du PdxQdy xy2dx yx2dyd 1( x2 y2 ), 2
1 dx
x dxC
]
HECHUANFU
1[ 4x3dxC] C x3.
x
x
由 f (1)2 ，得C 1 ，故 f ( x) 1 x3 。 x
（2）
4x3 ydx xf ( x)dy
C ( AB )
4x3 ydx(1 x4 )dy
C( AB )
3
(181)dy246. 0
东南大学数学系
c a.
d b ab
db
东南大学数学系
另解：∵ P Q ，∴u( x, y) ， y x
HECHUANFU
使得
du
1 [1 y
y2
f
( xy)]dx
x y2
[
y
2
f
( xy)1]dy
1
x
ydx yf ( xy)dx xf ( xy)dy y2 dy
d( x ) f ( xy)d( xy)d[ x F( xy)]
8．已知曲线积分
C
xdy ydx 2 y2 ( x)
A(
A为
常
数),
其中
第二类曲线积分
B A
AC CB ，则
F ( M ) d r F ( M ) d r F ( M ) d r
A B
A C
C B
注意：第二类曲线积分没有第一类曲线积分的对称
性质及有关不等式的性质。
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第二类曲线积分的坐标表示
（1）若 F( x, y) P( x, y),Q( x, y)， L是平面曲线弧，
故
Pdx Qdy Rdz F 0ds
L
L
L(P cos Q cos Rcos )ds
其中 0 {cos,cos ,cos }是 L在点( x, y, z)处的
单位切向量，方向与 L的走向一致。
(2) 若 a b , 可u 令 t, 则 u: a b
而此 a时 b, 对参数u进行讨论，
二元函数 f ( x, y)的梯度为
gradf
f xi
f
y
j
f
三元函数 f ( x, y, z)的梯度为
gradf
f xi
f
y
j
fzk
f
定义：一个向量场F 称为保守场，如果它是某个数量函数的
梯度，即存在一个函数 f ，使得F f ，此时 f 称为
F 的势函数。
注意：不是所有的向量场都是保守场，但这种向量场在物理
M
i
，做数量积：
F(Mi )
ri
，(
i
1,2,n)，
求和：
n
F
(
M
i
)
ri
，令
i 1
miaxsi 0，若
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高等数学（2）第12章第二类曲线积分典型例题解析
例1 若对任意的x ，y 有y
P
x Q ∂∂≡∂∂，设C 是有向闭曲线，则⎰+C y Q x P d d = ．
解：由格林公式将
y x y
P
x Q y y x Q x y x P D
C
d d )(
d ),(d ),(∂∂-∂∂=+⎰⎰⎰
其中D 为C l 围成的平面区域，及条件
y
P
x Q ∂∂≡∂∂知，应该填写：0 例2．_______d d =+-⎰
y x x y l ，其中l 是延圆周1)1()1(2
2
=-+-y x 正向一周．
解：因为圆周1)1()1(2
2=-+-y x 所围圆面积D 为：π⋅2
1，由格林公式得：
⎰⎰
⎰+=+-D
l
y x y x x y d d )11(d d =π2，应该填写：π2
例3 若),(y x P 及),(y x Q 在单连通域D 内有连续的一阶偏导数，则在D 内，曲线积分⎰
+l
y Q x P d d 与路径无关的充分必要条件是（ ）．
A ．在域D 内恒有
y Q x P ∂∂=∂∂ B ．在域D 内恒有y
P
x Q ∂∂=∂∂ C ．在D 内任一条闭曲线l '上，曲线积分0d d ≠+⎰'
l y Q x P
D ．在D 内任一条闭曲线l '上，曲线积分
0d d =+⎰'
l y Q x P
解：若),(),,(y x Q y x P 在单连通区域D 内有一阶连续偏导数，则
⎰+l
y y x Q x y x P d ),(d ),(与路径无关D y x y
P
x Q ∈∂∂=∂∂⇔
),(,。
所以选择：B
例4 设C 是平面上有向曲线，下列曲线积分中，（ ）是与路径无关的． A ．⎰
+C
y x x yx d d 332 B ．⎰-C
y x x y d d
C ．
⎰-C
y x x xy d d 22
D ．⎰+C
y y x yx d d 33
2
解：因为选项A 中，
23323)(,3)3(x x
x x Q x y yx y P =∂∂=∂∂=∂∂=∂∂，由曲线积分与路径无关的充分必要条件知道，正确选择：A
—
例 5 设积分路径⎩⎨
⎧==)
()
(:t y t x l ψϕ，)(βα≤≤t ，那么第二类曲线积分计算公式
⎰+l
y y x Q x y x P d ),(d ),(=（ ）
． A ．⎰'+'β
αψψϕϕψϕt t t t Q t t t P d )]())(),(()())(),(([ B ．⎰'+β
αϕψϕψϕt t t t Q t t P d )())](),(())(),(([ C ．⎰'+β
αψψϕψϕt t t t Q t t P d )())](),(())(),(([ D ．
⎰+β
αψϕψϕt t t Q t t P d ))](),(())(),(([
解：因为积分曲线的路径由参数方程⎩⎨⎧==)
()
(:t y t x l ψϕ，)(βα≤≤t 给出，把参数方程代
入曲线积分中，得：
⎰'+'β
αψψϕϕψϕt t t t Q t t t P d )]())(),(()())(),(([
所以正确选择：A
例6 计算⎰
-++-l
x
x
y x y x x y y d )cos e (d )3sin e (2
，其中l 为由点)0,3(A 经椭圆
⎩⎨
⎧==t
y t
x sin 2cos 的上半弧到点)0,3(-B 再沿直线回到A 的路径． 解：由于l 为封闭曲线，故原式可写成
⎰-++-l
x x
y x y x x y y d )cos e (d )3sin e
(2
其中x y Q x y y P x x
-=+-=cos e ,
3sin e 2
，由格林公式
原式=⎰
-++-l
x
x y x y x x y y d )cos e (d )3sin e (2⎰⎰∂∂-∂∂=
D
d d ][
y x y
P
x Q =
⎰⎰---D
x x y x y y d d ]3cos e ()1cos e [( =
⎰⎰D
y x d d 2=23212⋅⋅⋅π=π6 例7．计算⎰-+-
l x x
y y x y y d )2
1
cos e (d )2sin e (2，其中l 是上半圆周x y x 222=+ )0(>y 和x 轴围成平面区域边界的正向．
解：Θ2
1
cos e ,2sin e 2-=-=y Q y y P x x
，由格林公式得
—
⎰-+-l
x
x
y y x y y d )21cos e (d )2sin e (2⎰⎰∂∂-∂∂=D
d d ][y x y P x Q =
⎰⎰--D
x x
y x y y y d d )]cos e (cos e
[=⎰⎰D
y x y d d
=
⎰
⎰
θ
π
θθcos 20
2
2
d d sin r r =⎰20
3d cos sin 38
π
θθθ
=
32
)cos (3220
4=-π
θ 例8 计算⎰
-l
x y x y xy d d 2
2，其中1:2
2
=+y x l 逆时针方向．
解：Θ22
,
xy Q y x P =-=，由格林公式得
⎰-l
x y x y xy d d 2
2⎰⎰∂∂-∂∂=D
d d ][y x y
P
x Q =
⎰⎰
≤++1
2
222d d )(y x y x y x =⎰⎰1
320
d d r r π
θ =2
412π
π=⨯。