中考数学总复习选填题压轴题突破重难点突破1几何图形中的有关计算类型2几何图形中旋转变化问题习题课件
中考数学选填题压轴题突破 重难点突破二 多结论选填题
称轴的距离，∴y3>y2，
∴y2<y3<y1，故④错误，∵方程|ax2＋bx＋c|＝k (k≥0, k 为常数)的解，
是抛物线与直线 y＝±k 的交点，当有 3 个交点时，方程|ax2＋bx＋c|＝k
(k≥0，k 为常数)的所有根的和为 33 ，当有 4 个交点时，方程|ax2＋bx
＋c|＝k (k≥0，k 为常数)的所有根的和为 44 ，当有 2 个交点时，方
①PA＝PB；②OP⊥AB；③四边形 OAPB 有外接圆；④M 是△AOP 外接圆的
圆心．
其中正确说法的个数是
( C)
A．1
B．2
C．3
D．4
9．★(2022·扬州)如图，在△ABC 中，AB<AC，将△ABC 以点 A 为中心逆
时针旋转得到△ADE, 点 D 在 BC 边上，DE 交 AC 于点 F.下列结论：①△
14．★(2021·张家界)如图，在正方形 ABCD 外取一点 E，连接 DE，AE， CE，过点 D 作 DE 的垂线交 AE 于点 P，若 DE＝DP＝1，PC＝ 6.下列结论： ①△APD≌△CED；②AE⊥CE；③点 C 到直线 DE 的距离为 3；④S 正方形ABCD ＝5＋2 2，其中正确结论的序号为①①②②④④.
(3，0)，对称轴为直线 x＝1，有下列四个结论：①abc>0；②a－b＋c＝0；
③y 的最大值为 3；④方程 ax2＋bx＋c＋1＝0 有实数根，其中正确结论的
序号是
( C)
A．①②
B．①③
C．②④
D．②③④
3．★(2022·毕节)在平面直角坐标系中，已知二次函数 y＝ ax2＋bx＋c
(a≠0)的图象如图所示，有下列 5 个结论：①abc>0；② 2a－b＝0；③ 9a
2021年九年级数学中考一轮复习专题突破训练：几何压轴—圆的综合(二)及答案
2021年九年级数学中考一轮复习专题突破训练：几何压轴—圆的综合1．如图，AB是⊙O的直径，BM切⊙O于点B，点P是⊙O上的一个动点（点P不与A，B两点重合），连接AP，过点O作OQ∥AP交BM于点Q，过点P作PE⊥AB于点C，交QO的延长线于点E，连接PQ，OP，AE．（1）求证：直线PQ为⊙O的切线；（2）若直径AB的长为4．①当PE＝时，四边形BOPQ为正方形；②当PE＝时，四边形AEOP为菱形．2．已知AB是⊙O的直径，DA为⊙O的切线，切点为A，过⊙O上的点C作CD∥AB交AD于点D，连接BC、AC．（1）如图①，若DC为⊙O的切线，切点为C，求∠ACD和∠DAC的大小．（2）如图②，当CD为⊙O的割线且与⊙O交于点E时，连接AE，若∠EAD＝30°，求∠ACD和∠DAC的大小．3．已知AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，点D为AB延长线一点，连接AC．（Ⅰ）如图①，OB＝BD，若DC与⊙O相切，求∠D和∠A的大小；（Ⅱ）如图②，CD与⊙O交于点E，AF⊥CD于点F连接AE，若∠EAB＝18°，求∠FAC 的大小．4．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O分别交AB、BC于点M、N，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P．（1）求证：∠CAB＝2∠BCP；（2）若⊙O的直径为5，sin∠BCP＝，求△ABC内切圆的半径；（3）在（2）的条件下，求△ACP的周长．5．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，延长BC到点D，使BD＝BA，P是BC边上一点．点Q在射线BA上，PQ＝BP，以点P为圆心，PD长为半径作⊙P，交AC 于点E，连接PQ，设PC＝x．（1）AB＝，CD＝，当点Q在⊙P上时，求x的值；（2）x为何值时，⊙P与AB相切？（3）当PC＝CD时，求阴影部分的面积；（4）若⊙P与△ABC的三边有两个公共点，直接写出x的取值范围．6．如图1，以AB为直径作⊙O，点C是直径AB上方半圆上的一点，连结AC，BC，过点C作∠ACB的平分线交⊙O于点D，过点D作AB的平行线交CB的延长线于点E．（1）如图1，连结AD，求证：∠ADC＝∠DEC．（2）若⊙O的半径为5，求CA•CE的最大值．（3）如图2，连结AE，设tan∠ABC＝x，tan∠AEC＝y，①求y关于x的函数解析式；②若＝，求y的值．7．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，＝，CO的延长线交⊙O于点E，交BD的延长线于点F，连接FA，且恰好FA∥CD，连接BE交CD于点P，延长BE交FA于点G，连接DE．（1）求证：FA是⊙O的切线；（2）求证：点G是FA的中点；（3）当⊙O的半径为6时，求tan∠FBE的值．8．如图1，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，P是斜边AC上一个动点，以BP为直径作⊙O交BC于点D，与AC的另一个交点为E（点E在点P右侧），连结DE、BE，已知AB＝3，BC＝6．（1）求线段BE的长；（2）如图2，若BP平分∠ABC，求∠BDE的正切值；（3）是否存在点P，使得△BDE是等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的CP的长；若不存在，请说明理由．9．如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上一点（不与点A、B重合），D是的中点，DE⊥AB于点E，过点C作半圆O的切线，交ED的延长线于点F．（1）求证：∠FCD＝∠ADE；（2）填空：①当∠FCD的度数为时，四边形OADC是菱形；②若AB＝2，当CF∥AB时，DF的长为．10．如图，在∠DAM内部做Rt△ABC，AB平分∠DAM，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8，点N为BC的中点，动点E由A点出发，沿AB运动，速度为每秒5个单位，动点F由A 点出发，沿AM运动，速度为每秒8个单位，当点E到达点B时，两点同时停止运动，过A、E、F作⊙O．（1）判断△AEF的形状为，并判断AD与⊙O的位置关系为；（2）求t为何值时，EN与⊙O相切？求出此时⊙O的半径，并比较半径与劣弧长度的大小；（3）直接写出△AEF的内心运动的路径长为；（注：当A、E、F重合时，内心就是A点）（4）直接写出线段EN与⊙O有两个公共点时，t的取值范围为．（参考数据：sin37°＝，tan37°＝，tan74°≈，sin74°≈，cos74°≈）参考答案1．（1）证明：∵OQ∥AP，∴∠EOC＝∠OAP，∠POQ＝∠APO，又∵OP＝OA，∴∠APO＝∠OAP，又∵∠BOQ＝∠EOA＝∠OAP，∴∠POQ＝∠BOQ，在△BOQ与△POQ中，，∴△POQ≌△BOQ（SAS），∴∠OPQ＝∠OBQ＝90°，∵点P在⊙O上，∴PQ是⊙O的切线；（2）解：①∵△POQ≌△BOQ，∴∠OBQ＝∠OPQ＝90°，当∠BOP＝90°，四边形OPQB为矩形，而OB＝OP，则四边形OPQB为正方形，此时点C、点E与点O重合，PE＝PO＝AB ＝2；②∵PE⊥AB，∴当OC＝AC，PC＝EC，四边形AEOP为菱形，∵OC＝OA＝1，∴PC＝＝＝，∴PE＝2PC＝2．故答案为：2；2．2．解：（1）∵AB是⊙O的直径，DA为⊙O的切线，切点为A，∴DA⊥AB，∴∠DAB＝90°，∵DC为⊙O的切线，切点为C，∴DC＝DA，∵CD∥AB，∴∠D+∠DAB＝180°，∴∠D＝90°，∴∠ACD＝∠DAC＝45°；（2）∵AB是⊙O的直径，DA为⊙O的切线，切点为A，∴DA⊥AB，∴∠DAB＝90°，∠DEA＝∠EAB，∴∠ADC＝90°，∵∠EAD＝30°，∴∠DEA＝60°，∴∠EAB＝60°，∴∠BCE＝120°，∵AB是⊙O的直径，∴∠BCA＝90°，∴∠ACD＝30°，∴∠DAC＝60°．3．解：（Ⅰ）如图①，连接OC，BC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵DC与⊙O相切，∴∠OCD＝90°，∵OB＝BD，∴BC＝OD＝OB＝BD，∴BC＝OB＝OC，∴△OBC是等边三角形，∴∠OBC＝∠OCB＝∠COB＝60°，∴∠BCD＝∠OCA＝30°，∴∠D＝∠A＝30°；（Ⅱ）如图②，连接BE，∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∵AF⊥CD，∴∠AFC＝90°，∵∠ACF是圆内接四边形ACEB的外角，∴∠ACF＝∠ABE，∴∠FAC＝∠EAB＝18°，答：∠FAC的大小为18°．4．解：（1）如图，连接AN，∵AC为直径，∴AN⊥BC，∵AB＝AC，∴AN平分∠BAC，∵PC是圆的切线，∴∠ACP＝90°，∵∠NAC+∠ACB＝∠PCB+∠ACB＝90°，∴∠NAC＝∠BCP，即∠BAC＝2∠BCP；（2）由（1）知，AN平分∠BAC，则∠NAC＝∠BCP，故sin∠NAC＝sin∠BCP＝，则tan∠NAC＝，在Rt△NAC中，AC＝5，NC＝AC•sin∠NAC＝5×＝，同理AN＝2，则BC＝2NC＝2；S＝×BC•AN＝2×2＝10，△ABC设△ABC内切圆的半径为r，则S＝（AB+AC+BC）•r＝×（5+5+2）•r＝10，△ABC解得：r＝；故△ABC内切圆的半径为；（3）在△ABC中，设AC边长的高为h，则S＝AC•h＝×5×h＝10，解得：h＝4，△ABCsin∠BAC＝＝，在Rt△ACP中，∵sin∠BAC＝＝，设PC＝4m，则AP＝5m，则AC＝3m＝5，解得m＝，△ACP的周长＝3m+4m+5m＝12m＝20．5．解：（1）∵△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝5，∵BD＝BA，∴BD＝5，∴CD＝1．故答案为：5，1；当点Q在⊙P上时，如图1，PQ＝PD．∴BP＝PD，即4﹣x＝x+1．解得x＝．（2）作PF⊥AB于点F，当PF＝PD时，⊙P与AB相切，如图2，则PF＝PD＝x+1，sin B＝＝，∴＝．解得x＝．经检验，x＝是分式方程的解，且满足题意．∴x＝时，⊙P与AB相切．（3）如图3，连接PE，∵Rt△PEC中，PC＝CD＝1，PE＝PD＝1+1＝2，∴∠EPC＝60°，EC＝．∴S阴影＝S扇形PDE﹣S△PCE＝﹣×1×＝﹣．（4）由图2可知，当0≤x＜时，⊙P与△ABC的三边有两个公共点；由图1可知，当＜x＜4时，⊙P与△ABC的三边有两个公共点．∴x的取值范围为：0≤x＜或＜x＜4．6．（1）证明：∵AB∥DE，∴∠ABC＝∠E，∵∠ADC＝∠ABC，∴∠ADC＝∠E；（2）解：∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠DCE，又∠ADC＝∠E，∴△ADC∽△DEC，∴，即CD2＝CA•CE，又∵⊙O的半径为5，∴CA•CE＝CD2≤102＝100．即CA•CE的最大值为100．（3）解：①连接AD，∵△ADC∽△DEC，，∴y＝tan∠AEC＝，过点D作DF⊥CE，不妨设EF＝a，∵∠CED＝∠CBA，∠DCE＝45°，∴CF＝DF＝ax，∴CD＝ax，∴y＝＝．②∵，∴，∴＝9：4，即x：y＝9：4，将y＝x代入y＝得，，解得，x1＝2，x2＝，当x＝2时，y＝，当x＝时，y＝，∴y＝或．7．（1）证明：∵AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，＝，∴AB⊥CD，又∵FA∥CD，∴FA⊥AB，∵OA过O，∴FA是⊙O的切线；（2）证明：连接AE，∵AB是⊙O的直径，∴AE⊥BG，又∵FA⊥AB，∴∠GEA＝∠BAG，又∵∠BGA＝∠EGA，∴△GAB∽△GEA，∴＝，∴GA2＝GB×EG，∵FA∥CD，∴∠C＝∠EFG，又∵∠C＝∠FBE，∴∠EFG＝∠FBE，又∵∠FGE＝∠BGF，∴△FEG∽△BFG，∴＝，∴GF2＝GB×GE，∴GF＝GA，∴G为AF的中点；（3）解：∵FA∥CD，∴＝＝，又∵GF＝GA，∴DP＝HP，又∵CE是⊙O的直径，D在圆上，∴CD⊥DE，又∵AB⊥CD于点H，EO＝OC，∴点H是CD的中点，AB∥DE，又∵DP＝HP，∴DE＝BH，又∵点O是CE中点，点H是CD的中点，∴OH＝DE＝BH，又∵⊙O的半径为6，∴OH＝2，CH＝＝＝4，∴tan∠FBE＝tan C＝＝＝．8．解：（1）∵∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝6，∴AC＝＝＝3，∵BP为⊙O的直径，∴∠BEP＝90°，∴BE⊥AC，∵S＝×AB×AC，△ABC∴BE＝；（2）∵BP平分∠ABC，∴∠DBP＝∠ABC＝45°，连接DP，如图1，∵BP为⊙O的直径，∴∠DBP＝∠DPB＝45°，∴可设DP＝BD＝x，∵∠CDP＝∠ABC＝90°∴PD∥AB，∴△CPD∽△CAB，∴＝2，∴CD＝2x，∴CB＝3x＝6，∴x＝2，∴DP＝BD＝2，CD＝4，∴CP＝＝＝2，∴CE＝＝＝，∴tan∠BDE＝tan∠BPE＝＝＝3．（3）解：存在这样的点P．由△DCP∽△BCA，得，，∴CP＝CD，若△BDE是等腰三角形，可分三种情况：①当BD＝BE时，BD＝BE＝，∴CD＝BC﹣BD＝6﹣，∴CP＝＝3﹣3．②当BD＝DE时，此时点D是Rt△CBE斜边的中点，∴CD＝BC＝3，∴CP＝；③当DE＝BE时，作EH⊥BC于点H，则H是BD的中点，∵∠ABC＝∠EHC＝90°，∴EH∥AB，∴，又∵AE＝AC﹣CE＝3﹣＝，∴BH＝DH＝＝，∴CD＝6﹣＝，∴CP＝．综上所述，△BDE是等腰三角形，符合条件的CP的长为3﹣3或或．9．（1）证明：连接OC、AC．如图1所示：∵D是的中点，∴＝，∴DA＝DC，∴∠DAC＝∠DCA．∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA．∴∠DAC+∠OAC＝∠DCA+∠OCA，即∠OAD＝∠OCD．∵CF是半圆O的切线，∴CF⊥OC，∴∠FCD+∠OCD＝90°，∵DE⊥AB，∴∠ADE+∠OAD＝90°，∴∠FCD＝∠ADE．（2）解：①当∠FCD的度数为30°时，四边形OADC是菱形；理由如下：连接OD，如图2所示：∵∠FCD＝30°，∴∠ADE＝30°，∵DE⊥AB，∴∠OAD＝60°，∵OA＝OD，∴△OAD是等边三角形，∴AD＝OA，∠AOD＝60°，∵D是的中点，∴＝，∴∠AOD＝∠COD＝60°，∵OC＝OD，∴△COD是等边三角形，∴CD＝OD＝OC，∴OA＝AD＝CD＝OC，∴四边形OADC是菱形；故答案为：30°；②连接OD，如图3所示：∵AB＝2，∴OA＝OD＝，∵CF∥AB，DE⊥AB，∴CF⊥EF，∴∠CFD＝90°＝∠DEA，在△ADE和△DCF中，，∴△ADE≌△DCF（AAS），∴AE＝DF，DE＝CF，∵CF半圆O的切线，∴CF⊥OC，∴四边形OCFE是矩形，∴CF＝OE，∴DE＝OE，∴△ODE是等腰直角三角形，∴OE＝OD＝1，∴DF＝AE＝OA﹣OE＝﹣1；故答案为：﹣1．10．解：（1）过点E作EH⊥AF于H，连接OA、OE、OH，如图1所示：∵∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8，∴BC＝＝＝6，设运动时间为t，则AE＝5t，AF＝8t，∵∠AHE＝∠ACB＝90°，∠EAH＝∠BAC，∴△EAH∽△BAC，∴＝，即：＝，∴AH＝4t，∴FH＝AF﹣AH＝8t﹣4t＝4t，∴AH＝FH，∵EH⊥AF，∴△AEF是等腰三角形，∴E为的中点，∠EAF＝∠EFA，∵AH＝FH，∴OH⊥AC，∴E、H、O三点共线，∴∠OAF+∠AOE＝90°，∵AB平分∠DAM，∴∠DAE＝∠EAF＝∠EFA，∵∠AOE＝2∠EFA，∴∠AOE＝∠DAE+∠EAF＝∠DAF，∴∠DAF+∠OAF＝90°＝∠DAO，即OA⊥AD，∵OA为⊙O的半径，∴AD与⊙O相切；故答案为：等腰三角形，相切；（2）连接OA、OF、OE，OE于AC交于H，如图2所示：由（1）知：EH⊥AC，∵EN与⊙O相切，∴∠OEN＝90°，∵∠ACB＝90°，∴四边形EHCN为矩形，∴EH＝NC，在Rt△AHE中，EH＝＝＝3t，∴NC＝3t，∵点N为BC的中点，∴BC＝2NC＝6t，∵BC＝6，∴6t＝6，∴t＝1，∴AH＝4，EH＝3，设⊙O的半径为x，则OH＝x﹣3，在Rt△AOH中，由勾股定理得：OA2＝OH2+AH2，即x2＝（x﹣3）2+42，解得：x＝，∴⊙O的半径为，∴OH＝，∴tan∠AOH＝＝，∴∠AOH＝74°，∵∠AOH＝60°时，△AOE是等边三角形，AE＝OA，74°＞60°，∴AE＞OA，∴劣弧长度的大于半径；（3）当点E运动到B点时，t＝10÷5＝2，∴AF ＝2×8＝16，AE ＝EF ＝AB ＝10， 此时△AEF 的内心记为G ，当A 、E 、F 重合时，内心为A 点，∴△AEF 的内心运动的路径长为AG ，作GP ⊥AE 于P ，GQ ⊥EF 于Q ，连接AG 、GF ，则CG ＝PG ＝NQ ，如图3所示： S △AEF ＝AF •BC ＝×16×6＝48，设CG ＝PG ＝NQ ＝a ，则S △AEF ＝S △AGF +S △AEB +S △FEG ＝AF •CG +AE •PG +EF •GQ ＝×（16+10+10）a ＝48，解得：a ＝，在Rt △AGC 中，AC 2+CG 2＝AG 2，即82+（）2＝AG ， ∴AG ＝， 故答案为：；（4）分别讨论两种极限位置，①当EN 与⊙O 相切时，由（2）知，t ＝1；②当N 在⊙O 上，即ON 为⊙O 的半径，连接OA 、ON 、OE ，OE 交AC 于H ，过点O 作OK ⊥BC 于K ，如图4所示： 则四边形OKCH 为矩形，OA ＝OE ＝ON ，∴OH ＝CK ，AH ＝4t ，EH ＝3t ，设⊙O 的半径为x ，则在Rt △AOH 中，AH 2+OH 2＝OA 2，即（4t ）2+（x ﹣3t ）2＝x 2，解得：x ＝t ， ∴OH ＝CK ＝t ﹣3t ＝t ，在Rt △OKN 中，OK 2+KN 2＝ON 2，即（8﹣4t ）2+（3+t ）2＝（t ）2， 解得：t ＝，∴线段EN 与⊙O 有两个公共点时，t 的取值范围为：1＜t ≤，故答案为：1＜t≤．。
中考数学选填题压轴题突破 重难点突破二 用数学思想解决交点问题
与线段 AB 有两个不同的交点，则 a 的取值范围是
( C)
A．a≤－2
9 B．a＜8
C．1≤a＜98或 a≤－2 D．－2≤a＜98
16．★(2021·贵阳模拟)二次函数 y＝(x－b)2＋b＋1 的图象与一次函数
y＝－x＋5(－1≤x≤5)的图象没有交点，则 b 的取值范围是 ( C )
A．b＜－4
B．2 个
C．3 个
D．4 个
13．(2022·鄂州)数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，一
1 次函数 y＝kx＋b(k，b 为常数，且 k＜0)的图象与直线 y＝3x 都经过点
1 A(3，1)，当 kx＋b＜3x 时，根据图象可知，x 的取值范围是
(A)
A．x＞3
B．x＜3
C．x＜1
D．x＞1
(3)k2x＋b2＝0 的解为 xx＝=－－33.
1．直线 y＝k1x＋b1 与 x 轴交点的横坐标就是方程 k1x＋b1＝0 的解．
2 ． 直 线 y ＝ k1x ＋ b1 与 y ＝ k2x ＋ b2 交 点 的 横 、 纵 坐 标 就 是 方 程 组 yy＝＝kk12xx＋＋bb12，的解． 3．根据满足不等式的图象在交点的左边或右边确定不等式的解集．
直线 x＝1，若关于 x 的一元二次方程 x2－2x－1－t＝0(t 为实数)在－1
＜x＜4 的范围内有实数解，则 t 的取值范围是
(B )
A．t≥－2
B．－2≤t＜7
C．－2≤t＜2
D．2＜t＜7
9．★(2022·孝南区模拟)已知二次函数 y＝－x2＋x＋6，将该二次函数
在 x 轴上方的图象沿 x 轴翻折到 x 轴下方，图象的其余部分不变，得到
中考数学选填题压轴题突破 重难点突破二 反比例函数与几何综合题
的面积是
( D)
A．3
B.143
C.72
D.145
5．★如图，正方形 ABCD 的顶点 A，B 分别在 x 轴和 18
y 轴上，与双曲线 y＝ x 恰好交于 BC 的中点 E，若
OB＝2OA，则 S△ABO 的值为 112 . 2
6．★如图，在平面直角坐标系中，菱形 ABCD 的
对称中心恰好是原点 O，已知点 B 的坐标是
55，点B的坐标为(4，n)．
(1)求该反比例函数和一次函数的解析式；
(2)求△BCH的面积．来自解：(1)∵AH⊥x轴于点H， AC＝4 5，cos∠ACH＝ 55， ∴HACC＝ 55＝4HC5， 解得HC＝4， ∵点O是线段CH的中点，∴HO＝CO＝2， ∴AH＝ AC2－HC2＝8，∴A(－2，8)，
个点的横横坐坐标标与纵与坐纵标的乘积，由已知四边形 ABDC 的面积，从而需要将 四边形坐ABD标C 的面积进行转化，即分别延长 CA，DB 交于点 E，借助 AC＝
1
BD＝5OC，可设出点
A
的坐标(t，5t)，从而用
t
表示点 E 的坐标(5t(，55tt，) 5t)
和点 B 的坐标(55tt，，t)，t再) 由 S 四边形 ＝S －S ABDC △ECD △EAB 得到 tt22＝＝2，2由 k＝t·5t
一象限内，边BC与x轴平行，A，B两点的纵坐标分别为3，1.反比例函数
3 y＝x的图象经过A，B两点，则菱形ABCD的面积为
( D)
A．2
B．4
C．2 2
D．4 2
4．★(2022·无锡)一次函数y＝mx＋n的图象与反比例函数y＝
m x
的图象
1
交于点A，B, 其中点A，B的坐标分别为 －m，－2m，(m，1)，则△OAB
中考数学 精讲篇 中考压轴题重难点突破六 几何综合探究题 类型二
∴∠AEB＝90°， ∵AE2＋BE2＝AB2，且 DE＝2，AD＝BE， ∴(AD＋2)2＋AD2＝(2 5)2＋(2 5)2. 解得 AD＝ 19－1 或 AD＝－ 19－1(舍去)； 如解图 3，A，D，E 三点在同一直线上， 且点 D 在 AE 的延长线上， ∵∠BCF＝∠ACE＝90°－∠ACF，BC＝AC，CF＝CE， ∴△BCF≌△ACE(SAS)，∴∠BFC＝∠AEC，
(2)证明：在等边△ABC 中，AC＝BC，∠ACB＝60°， 由旋转可得 CP＝CQ，∠PCQ＝60°， ∴∠ACB＝∠PCQ， ∴∠ACP＋∠PCB＝∠BCQ＋∠PCB，即∠ACP＝∠BCQ，
∴△ACP≌△BCQ(SAS)， ∴AP＝BQ，∠CBQ＝∠CAP＝90°， ∴BQ＝AP＝AC＝BC，
②如图 2，过 A 点作 AM⊥GD，垂足为 M，交 FE 于点 N， ∵四边形 DEFG 是正方形， ∴DE＝GD＝GF＝EF＝2，由①得△AGD≌△CED， ∴AG＝CE，AD＝CD.
又∵CE＝CD，∴AG＝AD＝CD＝4， 1
∵AM⊥GD，∴GM＝2GD＝1，
又∵∠FGD＝∠F＝90°， ∴四边形 GMNF 是矩形， ∴MN＝GF＝2，在 Rt△AGM 中，AM＝ AG2－GM2＝ 42－12＝ 15，
∵∠CFE＝∠CED＝45°， ∴∠BFC＋∠CFE＝∠AEC＋∠CED＝180°， ∴点 B，F，E 在同一条直线上． ∵AC＝BC，∠ACD＝∠BCE＝90°＋∠ACE，CD＝CE，∴△ACD≌△BCE(SAS)， ∴AD＝BE，∵AE2＋BE2＝AB2， ∴(AD－2)2＋AD2＝(2 5)2＋(2 5)2. 解得 AD＝ 19＋1 或 AD＝－ 19＋1(舍去)． 综上所述，AD 的长为 19－1 或 19＋1.
中考数学选填题压轴题突破 重难点突破三 几何计算题
解决与折叠有关问题的方法 1．首先掌握折叠出现的全等：折叠前后的两部分图形全等，对应线段、 角和面积相等． 2．关注折痕(如图)： (1)折痕可以看作角平分线：折痕平分对应线段形成的角，即 FH 平分∠ AFE； (2)折痕可以看作垂直平分线：即折痕垂直平分对应点所连线段，FH 垂直 平分 AE；
【分层分析】连接 OC，OM，CM，∵M 为 PQ 的中点，∴OM＝12PQ，CM＝12PQ， ∴OM＝CM，∴点 M 在 OC 的垂直平分线上，∴点 M 运动的轨迹为△ABC 的
1 中位线，∴点 M 所经过的路线长为2AB.
涉及以动点为背景求动点移动路径长的题目有两种情形： 1．动点移动的路径是弧：求路径长时往往找圆心，定半径． 2．动点移动的路径是线段，往往与中点有关． 解题策略是“化动为静”．先取动态问题中的某两种(三种)位置研究是弧 还是线段再求解．
11．★(2022·辽宁)如图，正方形 ABCD 的边长为 10，点 G 是边 CD 的中 点，点 E 是边 AD 上一动点，连接 BE，将△ABE 沿 BE 翻折得到△FBE，连 接 GF，当 GF 最小时，AE 的长是 55 5－－5 5.
类型二：与几何图形中最值有关的计算
(2022·黄石)如图，等边三角形 ABC 中，AB＝10，点 E 为高 AD 上的
15．★(2022·乐山)如图，等腰三角形 ABC 的面积为 2 3，AB＝AC，BC
1 ＝2.作 AE∥BC，且 AE＝2BC.点 P 是线段 AB 上一动点，连接 PE，过点 E
作 PE 的垂线交 BC 的延长线于点 F，M 是线段 EF 的中点．那么，当点 P
从 A 点运动到 B 点时，点 M 的运动路径长为
2
.
类型三：与几何图形中动点的轨迹有关的计算
中考压轴题突破：几何最值问题(将军饮马、造桥选址、胡不归、阿波罗尼斯圆等)
中考压轴题突破：几何最值问题大全（将军饮马、造桥选址、胡不归、阿波罗尼斯圆等）一、基本图形所有问题的老祖宗只有两个：①[定点到定点]：两点之间，线段最短；②[定点到定线]：点线之间，垂线段最短。
由此派生：③[定点到定点]：三角形两边之和大于第三边；④[定线到定线]：平行线之间，垂线段最短；⑤[定点到定圆]：点圆之间，点心线截距最短（长）；⑥[定线到定圆]：线圆之间，心垂线截距最短；⑦[定圆到定圆]：圆圆之间，连心线截距最短（长）。
余不赘述，下面仅举一例证明：[定点到定圆]：点圆之间，点心线截距最短（长）。
已知⊙O半径为r，AO=d，P是⊙O上一点，求AP的最大值和最小值。
证明：由“两点之间，线段最短”得AP≤AO+PO，AO≤AP+PO，得d-r≤AP ≤d+r，AP最小时点P在B处，最大时点P在C处。
即过圆心和定点的直线截得的线段AB、AC分别最小、最大值。
(可用“三角形两边之和大于第三边”，其实质也是由“两点之间，线段最短”推得）。
上面几种是解决相关问题的基本图形，所有的几何最值问题都是转化成上述基本图形解决的。
二、考试中出现的问题都是在基本图形的基础上进行变式，如圆与线这些图形不是直接给出，而是以符合一定条件的动点的形式确定的；再如过定点的直线与动点所在路径不相交而需要进行变换的。
类型分三种情况：（1）直接包含基本图形；（2）动点路径待确定；（3）动线（定点）位置需变换。
（一）直接包含基本图形例1.在⊙O中，圆的半径为6，∠B=30°，AC是⊙O的切线，则CD的最小值是。
简析：由∠B=30°知弧AD一定，所以D是定点，C是直线AC上的动点，即为求定点D到定线AC的最短路径，求得当CD⊥AC时最短为3。
（二）动点路径待确定例2.，如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，P是AB边上的动点（不与点B重合），将△BCP沿CP所在的直线翻折，得到△B′CP，连接B′A，则B′A长度的最小值是。
中考数学 精讲篇 中考压轴题突破 二、解答题压轴题突破 重难点突破十 几何图形综合题
(2)如解图，连接 EF， 由(1)知△BCE≌△ADF，∴AF＝BE，又∵AF∥BE， ∴四边形 ABEF 为平行四边形， ∴S△AEF＝S△AEB，同理 S△DEF＝S△DEC， ∴T＝S△AEB＋S△DEC. ∵T＝S△AED＋S△ADF＝S△AED＋S△BCE，
S ∴S＝S△AEB＋S△AED＋S△BCE＋S△DEC＝2T，∴T＝2.
(1)解：①在 Rt△ABC 中，∵BC＝2，AC＝4， ∴AB＝ 22＋42＝2 5.∵AD＝CD＝2，∴BD＝2 2. 由翻折可知 BP＝BA＝2 5. ②证明：∵△BCD 是等腰直角三角形， ∴∠BDC＝45°，∴∠ADB＝∠BDP＝135°，
∴∠PDC＝135°－45°＝90°.∴∠BCD＝∠PDC＝90°，∴DP∥BC. ∵PD＝AD＝BC＝2，∴四边形 BCPD 是平行四边形．
重难点突破十 几何图形 综合题
类型一：与全等三角形有关的问题 (安徽：2018，2014，2011T23)
如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝BC，延长 AB 至点 D，使 DB＝ AB，连接 CD，以 CD 为边作△CDE，其中∠DCE＝90°，CD＝CE，连接 BE. (1)求证：△ACD≌△BCE； (2)若 AB＝6 cm，则 BE＝______cm； (3)BE 与 AD 有何位置关系？请说明理由．
证明：(1)∵∠ACB＝90°，AC＝BC， ∴∠ABC＝45°＝∠PBA＋PBC， ∵∠APB＝135°， ∴∠PAB＋PBA＝45°， ∴∠PBC＝∠PAB， ∵∠APB＝∠BPC＝135°， ∴△PAB∽△PBC.
(2)∵△PAB∽△PBC， PA PB AB
∴PB＝PC＝BC， 在 Rt△ABC 中，AC＝BC， ∴ABBC＝ 2， ∴PA＝ 2PB，PB＝ 2PC， ∴PA＝2PC.
中考数学解答题压轴题突破 重难点突破八 几何综合探究题 类型二：操作型探究问题
5．(2022·嘉兴)小东在做九上课本 123 页习题：“1∶ 2 也是一个很有 趣的比．已知线段 AB(如图①)，用直尺和圆规作 AB 上的一点 P，使 AP∶ AB＝1∶ 2.”小东的作法是：如图②，以 AB 为斜边作等腰直角三角形 ABC，再以点 A 为圆心，AC 长为半径作弧，交线段 AB 于点 P，点 P 即为 所求作的点．小东称点 P 为线段 AB 的“趣点”．
(1)【阅读理解】我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国 古代的数学著作《周髀算经》中．汉代数学家赵爽为了证明勾股定理， 创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”． 根据“赵爽弦图”写出勾股定理和推理过程；
解： a2＋b2＝c2(直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方)． 推理如下： ∵如图①，4 个△ADE 的面积和＋正方形 EFGH 的面积＝正方形 ABCD 的面 积， 即 4×12ab＋(b－a)2＝c2， 整理得 a2＋b2＝c2.
解：∵在正方形 PQMN 中，PN＝PQ＝DE，PN∥BC，∴△APN∽△ABC，AE＝
PN AE AD－DE＝AD－PN，∴BC＝AD，
PN h－PN
ah
ah
∴ a ＝ h ，∴PN＝a＋h，∴正方形 PQMN 的边长为a＋h.
(2)【操作推理】如何画出这个正方形 PQMN 呢？ 如图②，小杰画出了图①的△ABC，然后又进行以下操作：先在 AB 边上 任取一点 P′，画正方形 P′Q′M′N′，使点 Q′，M′在 BC 边上，点 N ′在△ABC 内，然后连接 BN′，并延长交 AC 于点 N，作 NM⊥BC 于点 M， NP⊥NM 交 AB 于点 P，PQ⊥BC 于点 Q，得到四边形 PQMN.证明：图②中的 四边形 PQMN 是正方形； 【分层分析】先推出四边形 PQMN 是矩形，再根据 P′N′∥PN，M′N′∥ MN，可得P′PNN′＝N′NMM′，结合 M′N′＝P′N′，推得 MN＝PN 进而得证；
专项 几何图形选填压轴题(含特殊三角形、特殊平行四边形、圆等综合问题)中考数学
抢分通关02 几何图形选填压轴题（含特殊三角形、特殊平行四边形、圆等综合问题） 目录【中考预测】预测考向，总结常考点及应对的策略【误区点拨】点拨常见的易错点【抢分通关】精选名校模拟题，讲解通关策略（含新考法、新情境等）几何图形选填压轴题含特殊三角形、特殊平行四边形、圆等综合问题是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容。
每年都有一些考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等原因导致失分。
1．从考点频率看，以等腰三角形、直角三角形等为基础的多解题，特殊四边形与圆为载体的几何求解问题是高频考点、必考点，所以必须提高对几何图形性质的理解和掌握。
2．从题型角度看，以选择题、填空题最后一题为主，分值3分左右，着实不少！易错点一 等腰三角形多解题漏解【例1】（2024·辽宁锦州·模拟预测）如图，AB ⊥直线l 于点B ，点C 在直线l 上（不与点B 重合），连接AC ，将线段CA 绕点C 顺时针旋转90︒，得到线段CD ，连接AD ，点E 是AD 的中点，连接BE ，AB =ABE 是等腰三角形时，BC = ．本题考查旋转的性质，涉及等腰直角三角形性质及应用，全等三角形的判定与性质，勾股定理逆定理的应用等知识，解题的关键是用含的代数式表示的三边长．m ABE【例2】（2024·辽宁盘锦·模拟预测）在矩形ABCD 中，6AB =，8BC =，M 是射线BD 上的动点，过点M 作ME BC ⊥于点E ，连接AM ，当ADM △是等腰三角形时，ME 的长为 ．【例3】（2024·四川达州·一模）如图，ABC 和CEF 都是等腰直角三角形，90BAC CEF ∠=∠=︒，点E 在AC 边上．将CEF 绕点C 逆时针旋转(0180)αα︒<<︒，旋转过程中，直线EF 分别与直线AC ，BC 交于点M ，N ，若CMN 是等腰三角形，则α的值为 ．【例4】（2024·河南·一模）如图，菱形ABCD 的边长为2，120BAD ∠=︒，将菱形纸片翻折，使点B 落在对角线BD 上的点B '处，折痕为MN ，连接AB '，当AB D 'V 为等腰三角形时，BM 的长为 ．易错点二 直角三角形多解题漏解【例1】（2024·江苏常州·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知A ()0,2，B ()4,0，点P 在x 轴上，把AP 绕点P 顺时针旋转90︒得到线段A P '，连接A B '．若A PB '△是直角三角形时，则点P 的横坐标为 ．【例2】（2024·河南周口·一模）矩形ABCD 中，O 为对角线AC 的中点，点E 从点A 出发，沿A B C →→运动到点C，且1AB AD ==，当以点A E O ，，为顶点的三角形为直角三角形时，AE 的长为 ．【例3】（2024·河南漯河·一模）ABC 是边长为4的等边三角形，点D 为高BF 上一个动点．连接AD ，将AD 绕点A 顺时针旋转60︒得到AE ，当CEF △是直角三角形时，EF =．本题考查旋转性质、全等三角形的判定与性质、坐标与图形、解直角三角形、解一元二次方程等知识，添加辅助线构造全等三角形，利用分类讨论和数形结合思想求解是解答的关键．【例4】（2023·江西·中考真题）如图，在ABCD Y 中，602B BC AB ∠=︒=，，将AB 绕点A 逆时针旋转角α（0360α︒<<︒）得到AP ，连接PC ，PD ．当PCD 为直角三角形时，旋转角α的度数为 ．题型一 平行线中求角的度数【例1】（2024·江苏宿迁·一模）如图，直线m n ∥，点A C 、在直线m 上，点B 在直线n 上，BC 平分ABD ∠，若122BAC ∠=︒，则ACB ∠的度数为（ ）A ．58︒B ．61︒C ．30︒D ．29︒【例2】（2024·河北沧州·一模）如图，直线a ，b 分别与ABC 的边相交，且a ∥AC ，b ∥BC ，根据图中标示的角度，可知C ∠的度数为（）本题主要考查平行线的性质，角平分线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．A ．30︒B ．40︒C ．50︒D ．60︒1．（2024·广东珠海·一模）如图，12l l ∥，135∠=︒，250∠=︒，则3∠的度数为（ ）A ．85︒B ．95︒C ．105︒D ．116︒2．（2024·陕西西安·三模）如图，,145AB CD ABE ∠=︒∥，40DFE ∠=︒，则BEF ∠的度数为（ ）A ．40︒B ．50︒C ．75︒D ．70︒题型二 特殊平行四边形中求线段或角【例1】（新考法，拓视野）（2024·安徽合肥·一模）七巧板是我们祖先的一项伟大创造，被誉为“东方魔板”．在一次“美术制作”活动课上，小明用边长为4的正方形纸片制作了如图1所示的七巧板，并设计了一幅作品放入矩形ABCD 中（如图2），则AB 的长为 ．【例2】（2024·陕西宝鸡·一模）如图，在菱形ABCD 中，过点A 作AG CD ⊥于点G ，过点G 作BC 的平行线EF ，连接AE 、DF ，EF AB =，四边形AEFD 的面积为48，若6AG =，则CG 的长为 ．1．（2024·湖北孝感·一模）如图，平行四边形ABCD 中，4AB =，BC =120ABC ∠=︒，点E 在AD 上，将ABE 沿BE 折叠得到A BE ' ，若点A '恰好在线段CE 上，则AE 的长为 ．题型三 多边形中求角度或线段长【例1】（新考法，拓视野）（2024·山西吕梁·一模）如图1，飞虹塔位于山西省洪洞县的广胜寺景区内，是第一批全国重点文物保护单位，呈三角形共十三层，图2所示的正八边形是其中一层的平面示意图，则α∠=．本题考查了七巧板的应用，掌握七巧板的相关结论是解题关键．【例2】（2024·陕西西安·二模）约1500年前，我国伟大的数学家和天文学家祖冲之计算出圆周率应在3.1415926和3.1415927之间，成为世界上第一个把圆周率精确到小数点后7位的人．如图，若O 的半径为2，若用O 的内接正六边形的周长来估计O 的周长，则O 的周长与其内接正六边形的周长的差值为 ．（结果保留π）1．（2024·河北石家庄·一模）如图1的螺丝钉由头部（直六棱柱）和螺纹（圆柱）组合而成，其俯视图如图2所示．小明将刻度尺紧靠螺纹放置，经过点A 且交CD 于点P ，量得PC 长为1mm ，六边形ABCDEF 的边长为4mm ．（1）AP 长为 mm ；（2）Q 为圆上一点，则AQ 的最小值为 mm ．2．（2024·河北石家庄·一模）图1是一种拼装玩具的零件，它可以看作是底面为正六边形的六棱柱，其内部挖去一个底面为正方形的长方体后得到的几何体，图2是该零件的俯视图，正方形ABCD 的两个相对的顶点A ，C 分别在正六边形一组平行的对边上，另外两个顶点B ，D 在正六边形内部（包括边界），点E ，F 分别是正六边形的顶点．已知正六边形的边长为2，正方形边长为a．本题主要考查正多边形的内角和外角，与圆中边心矩，中心角等知识．（1）连接EF ，EF 的长为 ；（2）a 的取值范围是 ．题型四 圆中求角度或线段长【例1】（2024·湖南永州·一模）如图，ABC 的边AC 与O 相交于C ，D 两点，且经过圆心O ，边AB 与O相切，切点为B ．如果38A ∠=︒，那么C ∠等于 ．【例2】（2024·河南鹤壁·模拟预测）如图，PA 与O ☉相切于点A ，PO 与弦AB 相交于点C ，OB OP ⊥，若3OB =，1OC =，则PA 的长为 ．1．（2024·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，P 经过点O ，与y轴交于点(0,A ，与x轴交于点()B ，则OP 的长为 ．本题考查切线的性质，圆周角定理，解题的关键是熟练掌握切线的性质和圆周角定理.2．（2024·安徽合肥·一模）如图所示，AB 是O 的直径，弦CE AB ⊥，垂足为M ，过点C 作O 的切线交BA 的延长线于点D ，若1AM =、5BM =，则AD =题型五 圆中求扇形或不规则图形的面积【例1】（2024·河南周口·二模）如图，从一张圆心角为45︒的扇形纸板剪出一个边长为1的正方形CDEF ，则图中阴影部分的面积为 .【例2】（2024·河南驻马店·一模）如图，已知扇形ACB 中，90ACB ∠=︒，以BC 为直径作半圆O ，过点O 作AC 的平行线，分别交半圆O ，弧AB 于点D E 、，若扇形ACB 的半径为4，则图中阴影部分的面积是．第一种是规则图形的面积，知圆心角，直接代入公式求值.第二种是不规则图形的面积，转化为规则图形或利用切割法把不规则转化为几个规则图形，进而求解.1．（2024·河北沧州·一模）马面裙（图1），又名“马面褶裙”，是我国古代女子穿着的主要裙式之一，如图2，马面裙可以近似地看作扇环ABCD （AD 和BC 的圆心为点O ），A 为OB 的中点，8dm BC OB ==，则该马面裙裙面（阴影部分）的面积为（ ）A ．24πdmB ．28πdmC ．212πdmD ．216πdm 2．（2024·山西吕梁·一模）如图，点A 、B 为O 上的点，O 的半径为2，128AOB ∠=︒，点C 在O 外，连接AC 、BC 与O 分别交于点D 、E ，若34C ∠=︒，则阴影部分的面积为（ ）A ．23πB ．43πC ．23π-D ．43π-题型六 网格中求某角的三角函数值【例1】（新考法，拓视野）（2024·江苏常州·模拟预测）如图，在44⨯的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，ABC 的顶点均在格点上．则tan BAC ∠的值是 ．【例2】（2024·贵州·一模）如图是54⨯的网格，每个格子都为正方形．点A B C D E ，，，，均为格点，线段AC DE ，交于点O ．则sin COE ∠= ．1．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）如图，点,,A B C 为正方形网格中的3个格点，则tan ACB ∠= ．2．（2024·宁夏·一模）如图，在64⨯网格正方形中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，若ABC 的顶点均是格点，则sin ABC ∠的值是 ．抢分通关02 几何图形选填压轴题解析（含特殊三角形、特殊平行四边形、圆等综合问题）第一种是以原角构造直角三角形，求构造后的边长，再根据三角形函数的定义求值.第二种是转化角，找与原角相等的角构造直角三角形，求构造后的边长，再根据三角形函数的定义求值.【中考预测】预测考向，总结常考点及应对的策略【误区点拨】点拨常见的易错点【抢分通关】精选名校模拟题，讲解通关策略（含新考法、新情境等）几何图形选填压轴题含特殊三角形、特殊平行四边形、圆等综合问题是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容。