江苏省姜堰市张甸中学2013-2014学年高二下学期数学(文)期末复习(2) 有答案

一、填空1、设集合{}4,3,2,1=U ，{}2,1=A ,{}4,2=B ,则U C A B =（） 2、已知复数z 满足1iz i =+（i 为虚数单位），则z = 3、函数12ln y x x=+的单调减区间为__________ 4、已知集合22{|230},{|0}A x x x B x x ax b =-->=++≤ ，若A B R =，{|34}A B x x =<≤，则a b +的值等于5、若关于x 的方程082=-+a xx 有正数根，则实数a 的取值范围为12、已知()f x 是定义在[2,2]-上的函数，且对任意实数1212,()x x x x ≠，恒有1212()()0f x f x x x ->-，且()f x 的最大值为1，则不等式2(log )1f x <的解集为13、给出下列等式：22cos,222cos,2222cos4816πππ=+=++=， 请从中归纳出第(*)n n N ∈个等式：2222n +++个…= ；14、设函数)(13)(3R x x ax x f ∈+-=，若对于任意]1,1[-∈x ，都有0)(≥x f 恒成立， 则实数a 的值为_________。

二、解答题15、设p ：2233m m -≤-，q ：关于x 的不等式2240x x m -+≤的解集是空集，试确定实数m 的取值范围，使得p 或q 为真命题，p 且q 为假命题.16、复数z ＝3(1)()1i a bi i++-且||4z =，z 对应的点在第一象限，若复数0,,z z对应的点是正三角形的三个顶点，求实数,a b 的值．19．已知函数2()ln ,af x x a R x=+∈． （1）若函数()f x 在[2,)+∞上是增函数，求实数a 的取值范围； （2）若函数()f x 在[1,]e 上的最小值为3，求实数a 的值．20．已知函数4()log (41)()x f x kx k R =++∈为偶函数． (1)求k 的值；(2)若方程4()log (2)x f x a a =⋅-有且只有一个根，求实数a 的取值范围．1．设集合{}4,3,2,1=U ，{}2,1=A ,{}4,2=B ,则U C A B =（） ． 【答案】{}4,32， 【解析】试题分析：依题意可得{}{}|,3,4U C A x x U x A =∈∉=，所以{}{}|()2,3,4U U C A B x x C A x B =∈∈=（）或.考点：集合的运算.2．已知复数z 满足1iz i =+（i 为虚数单位），则z = . 【答案】2 【解析】试题分析：由21(1)()11()i i i iz i z i i i i i i ++-=+⇒===--=-⨯-，所以22||1(1)2z =+-=.考点：1.复数的四则运算；2.复数的基本概念——模.3．命题“若a b >，则22ac bc >（,a b ∈R ）”否命题的真假性为 （从“真”、“假”中选填一个）． 【答案】真 【解析】试题分析：依题意知原命题的否命题为：“若a b ≤，则22ac bc ≤”，该命题是真命题.因为当0c =时，220ac bc ==，显然22ac bc ≤成立；当0c ≠时，由2220a b ac bc c ≤⎫⇒≤⎬>⎭，综上可知，否命题为真命题.考点：1.四种命题；2.命题真假的判断；3.不等式的基本性质.4．已知集合22{|230},{|0}A x x x B x x ax b =-->=++≤ ，若AB R =，{|34}A B x x =<≤，则a b +的值等于 .【答案】7- 【解析】 试题分析：依题可得{}{}2{|230}|(3)(1)0|31A x x x x x x x x x =-->=-+>=><-或，由AB R =及{|34}A B x x =<≤可知{}2|14{|0}B x x x x ax b =-≤≤=++≤，所以1-和4是方程20x ax b ++=的两个根，所以143144a ab b -+=-=-⎧⎧⇒⎨⎨-⨯==-⎩⎩，所以347a b +=--=-. 考点：1.集合的运算；2.二次方程根与系数的关系.5．若22(4)(32)x x x i -+++是纯虚数，则实数m 的值是 . 【答案】2【解析】试题分析：因为(,)z a bi a b R =+∈为纯虚数的充要条件为0a b =⎧⎨≠⎩，所以若22(4)(32)x x x i -+++是纯虚数，则有2240221,2320x x x x x x x ⎧-==±⎧⎪⇒⇒=⎨⎨≠-≠-++≠⎪⎩⎩. 考点：复数的基本概念.6．“2:{|20}p x x x x ∈--≥”，“:{|}q x x x a ∈<”，若p ⌝是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是 ．【答案】2a ≥ 【解析】试题分析：因为2:{|20}p x x x x ∈--≥即{}:|21p x x x x ∈≥≤-或，所以{}:12p x x ⌝∈-<<，由p ⌝是q 的充分不必要条件可知{}12{|}x x x a -<<<Ü，所以2a ≥.考点：1.充分必要条件；2.集合间的关系.7．函数12ln y x x =+的单调减区间为___________. 【答案】1(0,)2【解析】试题分析：因为函数12ln y x x =+的定义域为(0,)+∞，且212y x x'=-+，由2200101221200x x x x y x x x>>⎧⎧⎪⎪⇒⇒<<-⎨⎨'=-+<<⎪⎪⎩⎩，所以函数12ln y x x =+的单调递减区间为1(0,)2.考点：函数的单调性与导数.8．曲线2ln y x x =-在点(1,2)处的切线方程是 ． 【答案】10x y -+=【解析】试题分析：因为12y x'=-，所以1|211x y ='=-=，由直线的点斜式可写出所求切线的方程为2(1)10y x x y -=-⇒-+=. 考点：导数在切线上的应用.9．若命题“x R ∃∈，使210x ax ++<”的否定是假命题，则实数a 的取值范围是 . 【答案】(,2)(2,)-∞-+∞【解析】试题分析：因为“x R ∃∈，使210x ax ++<”的否定是假命题，所以命题“x R ∃∈，使210x ax ++<”是真命题，即关于x 的不等式210x ax ++<有解，所以2402a a ∆=->⇒>或2a <-，所以a 的取值范围是(,2)(2,)-∞-+∞.考点：1.全称命题与特称命题；2.逻辑联结词；3.二次函数的图像与性质.10．设函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()21xf x =+，若()3f a =，则实数a 的值为 . 【答案】1± 【解析】试题分析：当0a ≥时，由()32131af a a =⇒+=⇒=，因为()f x 为偶函数，所以函数()f x 的图像关于y 轴对称，所以(1)(1)3f f -==，所以在0a <时，也有唯一实根1a =-，综上可知1a =±. 考点：函数的奇偶性.12．已知()f x 是定义在[2,2]-上的函数，且对任意实数1212,()x x x x ≠，恒有1212()()0f x f x x x ->-，且()f x 的最大值为1，则不等式2(log )1f x <的解集为 .【答案】1|44x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭【解析】试题分析：设1222x x -≤<<，则有120x x -<，由任意实数1212,()x x x x ≠，恒有1212()()0f x f x x x ->-，可得此时12()()0f x f x -<即12()()f x f x <，所以()f x 为[2,2]-上的单调递增，从而可得max [()](2)1f x f ==，所以2222log 21(log )1(log )(2)4log 24x f x f x f x x ≤⎧<⇔<⇔⇔≤≤⎨≥-⎩，所以不等式2(log )1f x <的解集为1|44x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭.考点：1.函数的单调性；2.对数函数的图像及性质. 13、12cos2n π+14．已知函数2,1()1,1x ax x f x ax x ⎧-+≤=⎨->⎩ 若1212,,x x R x x ∃∈≠，使得12()()f x f x =成立，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】2a < 【解析】试题分析：因为1x ≤时，2()f x x ax =-+，该二次函数的对称轴为2a x =，当12a≥即2a ≥时，()f x 在(,1]-∞单调递增，此时1x >时，11(1)ax a f ->-=，从而此时函数()f x 在R 上单调递增，不存在1212,,x x R x x ∈≠，使得12()()f x f x =；当12a<即2a <时，()f x 在(,]2a -∞单调递增，在[,1]2a 单调递减，由二次函数的对称性可知，此时必然满足“1212,,x x R x x ∃∈≠，使得12()()f x f x =成立”；综上可知实数a 的取值范围为2a <. 考点：1.一次函数、二次函数的图像与性质；2.函数的单调性.15．设p ：2233m m -≤-，q ：关于x 的不等式2240x x m -+≤的解集是空集，试确定实数m 的取值范围，使得p 或q 为真命题，p 且q 为假命题.【答案】(,2)[0,2][3,)m ∈-∞-⋃⋃+∞. 【解析】试题分析：首先将命题,p q 分别化成两个集合,A B ，因为得p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，则两命题中有且只有一个命题为真，所以m 的取值集合为:()()R R C A B AC B .将2233m m -≤-化为03mm ≤-，∴03m ≤< 4分 ∵不等式2240x x m -+≤的解集为φ，∴21640m ∆=-<，∴2m <-或2m > 8分∵p 或q 真，p 且q 假，∴p 与q 有且仅有一真 9分当p 成立而q 不成立时，0322m m ≤<⎧⎨-≤≤⎩，所以02m ≤≤ 11分当p 不成立而q 成立时，0322m m m m <≥⎧⎨<->⎩或或，解得2m <-或3m ≥ 13分综上所述，(,2)[0,2][3,)m ∈-∞-⋃⋃+∞ 14分. 考点：1.命题与逻辑联结词；2.分式不等式的解法；3.集合的运算.16．复数z ＝3(1)()1i a bi i++-且||4z =，z 对应的点在第一象限，若复数0,,z z 对应的点是正三角形的三个顶点，求实数,a b 的值． 【答案】3a =-，1b =-. 【解析】试题分析：先将复数z 进行化简得到22z a bi =--，进而由||4z =得到,a b 的一个等式224a b +=，再由复数0,,z z 对应的点构成正三角形，得到||||z z z -=，代入z 化简得到||1b =，结合z 对应的点所在的象限确定b 的值，进而再由224a b +=确定a 的值即可.2(1)(1)()2()221i i z a bi i i a bi a bi i=⋅+=⋅+=--＋＋－ 5分由||4z =，得224a b +=∵复数0,,z z 对应的点构成正三角形∴||||z z z -=，把22z a bi =--代入化简得||1b = 10分又∵Z 点在第一象限，∴0,0a b <<，由①②得31a b ⎧⎪⎨⎪⎩＝－＝－ 14分故所求值为3a =-，1b =- 15分. 考点：1.复数的几何意义；2.复数的四则运算.17．(1）用综合法证明：（2）用反证法证明：若,,a b c 均为实数，且222a x y π=-+，223b y z π=-+，226c z x π=-+求证：,,a b c 中至少有一个大于0.(2) 假设,,a b c 都不大于0即0,0,0a b c ≤≤≤ 8分根据同向不等式的可加性可得0a b c ++≤ ④ 11分 又222222222(1)(1)(1)30236a b c x y y z z x x y z ππππ++=-++-++-+=-+-+-+->与④式矛盾所以假设不成立即原命题的结论,,a b c 中至少有一个大于0 15分. 考点：1.综合法；2.反证法；3.基本不等式的应用.18、解析：(1)因为蓄水池侧面的总成本为rh rh ππ2002100=⋅元，底面的总成本为2160r π元，所以蓄水池的总成本为)160200(2r rh ππ+ 元． …2分又据题意πππ120001602002=+r rh ， ………………………3分 所以rr h 543002-=，从而)4300(5)(32r r h r r V -==ππ． ………5分因为0>r ，由0543002>-=rr h 可得35<r ，故函数)(r V 的定义域为)35,0(．…6分(2)因为)12300(5)()4300(5)(23r x V r r r V -='⇒-=ππ…………………8分令550)(21-==⇒='r r x V ，（因为-5不在定义域内，所以舍去） ……………10分 当)5,0(∈r 时，0)(>'r V ，所以)(r V 在)5,0(上为单调增函数当)35,5(∈r 时，0)(<'r V ，所以)(r V 在)35,5(上为单调减函数．……………12分由此可知，)(r V 在5=r 处取得最大值，此时825100300543002=-=-=r r h . 所以当85==h r ，时，该蓄水池的体积最大． …………………14分19．已知函数2()ln ,af x x a R x=+∈． （1）若函数()f x 在[2,)+∞上是增函数，求实数a 的取值范围； （2）若函数()f x 在[1,]e 上的最小值为3，求实数a 的值． 【答案】（1）(,1]-∞；（2）a e =.【解析】 试题分析：（1）这是一个由函数在某区间上是增函数，求参数取值范围的问题，可转化为其导函数在此区间上恒大于或等于0的一个恒成立问题，恒成立问题是我们所熟悉的问题，可采用分离参数法进行解答，也可由函数本身的性质作出判断；（2）这是一个求含参函数在某区间上的最小值问题，可通过导数的符号去判断函数的单调区间，当然一般会涉及对参数的讨论，之后利用单调性则可求出函数的最小值，再由最小值为3，就可求出参数a 的值. （1）∵2()ln a f x x x =+，∴212()af x x x'=- 2分 ∵()f x 在[2,)+∞上是增函数∴212()af x x x'=-≥0在[2,)+∞上恒成立，即a ≤2x 在[2,)+∞上恒成立 4分令()2xg x =，则a ≤[]min (),[2,)g x x ∈+∞ ∵()2xg x =在[2,)+∞上是增函数，∴[]min ()(2)1g x g == ∴1a ≤．所以实数a 的取值范围为(,1]-∞ 7分 （2）由（1）得22()x af x x -'=，[1,]x e ∈ ①若21a <，则20x a ->，即()0f x '>在[1,]e 上恒成立，此时()f x 在[1,]e 上是增函数 所以()min (1)23f x f a ===⎡⎤⎣⎦，解得32a =（舍去） 10分②若12a e ≤≤，令()0f x '=，得2x a =，当12x a <<时，()0f x '<，所以()f x 在(1,2)a 上是减函数，当2a x e <<时，()0f x '>，所以()f x 在(2,)a e 上是增函数所以()()min2ln(2)13f x f a a ==+=⎡⎤⎣⎦，解得22e a =（舍去） 13分③若2a e >，则20x a -<，即()0f x '<在[1,]e 上恒成立，此时()f x 在[1,]e 上是减函数 所以()()min 213af x f e e==+=⎡⎤⎣⎦，所以a e = 16分. 考点：1.函数的单调性与导数；2.函数的最值与导数；3.分类讨论的思想. 20．已知函数4()log (41)()x f x kx k R =++∈为偶函数． (1)求k 的值；(2)若方程4()log (2)x f x a a =⋅-有且只有一个根，求实数a 的取值范围． 【答案】(1)12k =-；(2) 1a >或222a =--. 【解析】试题分析：(1)法一：根据)(x f 为偶函数，将等式)()(x f x f =-化简整理即可得到k 的值；法二：根据)(x f 为偶函数，得到(1)(1)f f -=即445log log 54k k -=+，从中求解即可得到12k =-，检验此时是否满足()()f x f x -=即可；(2)首先将方程)2(log )(4a a x f x -⋅=化简:()f x =x x21)14(log 4-+1244log (41)log 4x x =+-44log (41)log 2x x =+-；由4()log (2)x f x a a =⋅-得4log (41)x +)2(log 4a a x -=4log 2x +，进而可得41(2)220x x xx a a a a ⎧+=⋅-⋅⎪⎨⋅->⎪⎩，令x t 2= ，则*变为关于t 的方程2(1)10a t at -++=只有一个正实数根，先考虑1a =的情形是否符合，然后针对二次方程的根的分布分该方程有一正一负根、有两个相等的正根进行讨论求解，并保证20x a a ⋅->即可，最后根据各种情况讨论的结果写出a 的取值范围的并集即可. (1)法一：因为)(x f 为偶函数，所以)()(x f x f =-即=-+-kx x)14(log 44log (41)xkx ++，∴kx x x x 2)14(log 414log 44=+-+ ∴0)12(=+x k ，∴12k =- 6分 法二：因为)(x f 为偶函数，所以(1)(1)f f -=即445log log 54k k -=+，解得12k =-此时41()l o2xf x x =+-，44411411()log (41)log log (14)2422x xx x f x x x x x -+-=++=+=+-+41log (14)()2x x f x =+-=，所以12a =-.(2)依题意知:()f x =x x21)14(log 4-+1244log (41)log 4x x=+-44log (41)log 2x x =+-∴由4()log (2)x f x a a =⋅-得4log (41)x +)2(log 4a a x-=4log 2x +41(2)220x x x xa a a a ⎧+=⋅-⋅⎪∴⎨⋅->⎪⎩………①…………………②8分 令x t 2= ，则①变为2(1)10a t at -++=，只需关于t 的方程只有一个正根即可满足题意(1)1,1-==t a 不合题意 9分(2)①式有一正一负根，则⎪⎩⎪⎨⎧<-=>--=∆0110)1(4212a t t a a 经验证满足20x a a ⋅->，1a ∴> 11分。