专题16 三角形中位线定理(解析版)
三角形中位线定理及推论
三角形中位线定理及推论一、中位线定理中位线是指连接三角形一个顶点与对边中点的线段。
三角形中位线定理是指在一个三角形中，三条中位线交于一点，且这个交点与三个顶点的距离相等。
我们先来证明中位线交于一点这一结论。
假设ABC为一个三角形，AD是BC中点连线，BE是AC中点连线，CF 是AB中点连线。
我们可以得到△ADC和△BCD是全等三角形。
根据全等三角形的性质，我们可以得到∠ADC=∠CBD，∠ACD=∠BCD，且AD=BD。
同理，我们可以得到△AEB和△CEB是全等三角形，∠AEB=∠CEB，∠ABE=∠CBE，且AE=BE。
因为∠ADC=∠CBD，∠ACD=∠BCD，所以∠ADC+∠ACD=∠CBD+∠BCD，即∠ADC+∠ACD=180°。
同理，∠AEB+∠ABE=180°。
我们可以得到∠ADC+∠ACD+∠AEB+∠ABE=∠ADC+∠ACD+∠AEB+∠ABE+∠BCD+∠CBE。
而∠ADC+∠ACD+∠AEB+∠ABE+∠BCD+∠CBE=360°。
所以∠ADC+∠ACD+∠AEB+∠ABE+∠BCD+∠CBE=360°。
而∠ADC+∠ACD+∠AEB+∠ABE=360°。
所以∠BCD+∠CBE=0°。
由于∠BCD+∠CBE=0°，所以∠BCD=0°，∠CBE=0°。
因此，BD和CE是平行线。
根据平行线的性质，我们可以得到三角形BDF和三角形CEG是全等三角形，∠BFD=∠CGE，∠BDF=∠CEG，且BD=CE。
所以，我们可以得到BF=CG。
因此，在三角形ABC中，三条中位线AD、BE、CF交于一点G，且这个交点与三个顶点的距离相等。
二、中位线推论1. 三角形中位线推论一：中位线长度在一个三角形中，连接一个顶点与对边中点的中位线的长度等于对边的一半。
假设ABC为一个三角形，AD是BC中点连线。
我们已经证明了AD和BC是平行线，且AD=BD。
三角形中位线定理 知识讲解
三角形中位线定理【学习目标】1. 理解三角形的中位线的概念，掌握三角形的中位线定理．2. 掌握中点四边形的形成规律.【要点梳理】要点一、三角形的中位线1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.2．定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.要点诠释：（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系.（2）三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的12，每个小三角形的面积为原三角形面积的14.（3）三角形的中位线不同于三角形的中线.要点二、顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状（1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.（2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形.（3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形.（4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形.要点诠释：新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成.（1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形.（2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形.（3）若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形.【典型例题】类型一、三角形的中位线1、（优质试题•北京）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AC=AD，M，N分别为AC，CD的中点，连接BM，MN，BN．（1）求证：BM=MN；（2）∠BAD=60°，AC平分∠BAD，AC=2，求BN的长．【思路点拨】（1）根据三角形中位线定理得MN=AD，根据直角三角形斜边中线定理得BM=AC，由此即可证明．（2）首先证明∠BMN=90°，根据BN2=BM2+MN2即可解决问题．【答案与解析】（1）证明：在△CAD中，∵M、N分别是AC、CD的中点，∴MN∥AD，MN=AD，在RT△ABC中，∵M是AC中点，∴BM=AC，∵AC=AD，∴MN=BM．（2）解：∵∠BAD=60°，AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC=30°，由（1）可知，BM=AC=AM=MC，∴∠BMC=∠BAM+∠ABM=2∠BAM=60°，∵MN∥AD，∴∠NMC=∠DAC=30°，∴∠BMN=∠BMC+∠NMC=90°，∴BN2=BM2+MN2，由（1）可知MN=BM=AC=1，∴BN=【总结升华】本题考查三角形中位线定理、直角三角形斜边中线定理、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．举一反三：【变式】如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴正半轴上，B点坐标为（3，2），OB与AC交于点P，D、E、F、G分别是线段OP、AP、BP、CP的中点，则四边形DEFG的周长为_____.【答案】5；解：∵四边形OABC是矩形，∴OA＝BC，AB＝OC；BA⊥OA，BC⊥OC．∵B点坐标为（3，2），∴OA＝3，AB＝2．∵D、E、F、G分别是线段OP、AP、BP、CP的中点，∴DE＝GF＝1.5； EF＝DG＝1．∴四边形DEFG的周长为（1.5＋1）×2＝5．2、如图，在△ABC中，已知点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，AH是高．（1）若BC=10，AH=8，则四边形ADEF的面积为．（2）求证：∠DHF=∠DEF．HF EDCBA【思路点拨】（1）由三角形面积公式可知：△BDE、△EFC的面积都等于△ABC面积的四分之一，进而可求出四边形ADEF的面积．（2）首先证明四边形ADEF是平行四边形，进而可得∠DEF=∠DAF，再利用直角三角形的中线性质得线段相等，从而得角等，最终可得到∠DAF=∠DEF，即可证出∠DHF=∠DEF．【答案解析】（1）解：∵BC=10，AH=8，∴S△ABC=×8×10=40，∵点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，∴△BDE、△EFC的面积都等于△ABC面积的，∴四边形ADEF的面积=40﹣20=20，故答案为：20；（2）证明：∵D、E、F分别是△ABC各边中点，∴DE∥AC，EF∥AB，∴四边形ADEF是平行四边形，∴∠DEF=∠DAF，∵AH是△ABC的高∴△ABH、△ACH是直角三角形，∵点D、点F是斜边AB、AC中点，∴DH=DA，HF=AF，∴∠DAH=∠DHA ，∠FAH=∠FHA ，∴∠DAH+∠FAH=∠FHA+∠DHA ，即∠DAF=∠DHF ，∴∠DEF=∠DHF ．【总结升华】此题主要考查了平行四边形的性质与判定，三角形的中位线定理，直角三角形的性质，解决题目的关键是证明∠DHF=∠DAF 与∠DAF=∠DEF ．3、如图所示，在△ABC 中，M 为BC 的中点，AD 为∠BAC 的平分线，BD ⊥AD 于D ，AB ＝12，AC ＝18，求MD 的长．【思路点拨】本题中所求线段MD 与已知线段AB 、AC 之间没有什么联系，但由M 为BC 的中点联想到中位线，另有AD 为角平分线和垂线，根据等腰三角形“三线合一”构造等腰三角形ABN ，D 为BN 的中点，DM 即为中位线，不难求出MD 的长度．【答案与解析】解：延长BD 交AC 于点N ．∵ AD 为∠BAC 的角平分线，且AD ⊥BN ，∴ ∠BAD ＝∠NAD ，∠ADB ＝∠ADN ＝90°，在△ABD 和△AND 中，BAD NAD AD =ADADB ADN ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝ ∴ △ABD ≌△AND(ASA)∴ AN ＝AB ＝12，BD ＝DN ．∵ AC ＝18，∴ NC ＝AC －AN ＝18－12＝6，∵ D 、M 分别为BN 、BC 的中点，∴ DM ＝12CN ＝162⨯＝3． 【总结升华】当条件中含有中点的时候，可以将它与等腰三角形的“三线合一”、三角形的中线、中位线等联系起来，进行联想，必要时添加辅助线，构造中位线等图形． 举一反三：【变式】如图所示，四边形ABCD 中，Q 是CD 上的一定点，P 是BC 上的一动点，E 、F 分别是PA 、PQ 两边的中点；当点P 在BC 边上移动的过程中，线段EF 的长度将( )．A．先变大，后变小 B．保持不变 C．先变小，后变大 D．无法确定【答案】B；解：连接AQ．∵ E、F分别是PA、PQ两边的中点，∴ EF是△PAQ的中位线，即AQ＝2EF．∵ Q是CD上的一定点，则AQ的长度保持不变，∴线段EF的长度将保持不变．4、我们给出如下定义：有一组相邻内角相等的四边形叫做等邻角四边形．请解答下列问题：（1）如图1，在△ABC中，AB=AC，点D在BC上，且CD=CA，点E、F分别为BC、AD的中点，连接EF并延长交AB于点G．求证：四边形AGEC是等邻角四边形；（2）如图2，若点D在△ABC的内部，（2）中的其他条件不变，EF与CD交于点H，图中是否存在等邻角四边形，若存在，指出是哪个四边形，不必证明；若不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）运用中位线的性质，找出对应相等的角；（2）根据题意易知满足条件的四边形即为第一题的四边形．【答案与解析】解：（1）取AC的中点H，连接HE、HF∵点E为BC中点∴EH为△ABC的中位线∴EH∥AB，且EH=12AB同理FH∥DC，且FH=12DC∵AB=AC，DC=AC∴AB=DC，EH=FH∴∠1=∠2∵EH∥AB，FH∥DC∴∠2=∠4，∠1=∠3∴∠4=∠3∵∠AGE+∠4=180°，∠GEC+∠3=180°∴∠AGE=∠GEC∴四边形AGEC是邻角四边形（2）存在等邻角四边形，为四边形AGHC．【总结升华】本题考查了三角形的中位线以及等腰三角形的性质的综合运用．本题较灵活，要求学生能够把题中的条件转化成角，从而找出相等的角来解题．举一反三：【变式】如图，AB∥CD，E，F分别为AC，BD的中点，若AB=5，CD=3，则EF的长是（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D；解：连接DE并延长交AB于H，∵CD∥AB，∴∠C=∠A，∠CDE=∠AHE，∵E是AC中点，∴AE=CE，∴△DCE≌△HAE，∴DE=HE，DC=AH，∵F是BD中点，∴EF是△DHB的中位线，∴EF=12 BH，∴BH=AB-AH=AB-DC=2，∴EF=1．类型二、中点四边形5、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．（1）求证：四边形EFGH是正方形；（2）若AD＝2，BC＝4，求四边形EFGH的面积．【思路点拨】 （1）先由三角形的中位线定理求出四边相等，然后由AC⊥BD 入手，进行正方形的判断．（2）连接EG ，利用梯形的中位线定理求出EG 的长，然后结合（1）的结论求出2EH ＝92，也即得出了正方形EHGF 的面积．【答案与解析】证明：（1）在△ABC 中，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，故可得：EF ＝12AC ，同理FG ＝12BD ，GH ＝12AC ，HE ＝12BD ， 在梯形ABCD 中，AB ＝DC ，故AC ＝BD ，∴EF＝FG ＝GH ＝HE ，∴四边形EFGH 是菱形．设AC 与EH 交于点M ，在△ABD 中，E 、H 分别是AB 、AD 的中点，则EH∥BD，同理GH∥AC，又∵AC⊥BD，∴EH⊥HG，∴四边形EFGH 是正方形．（2）连接EG ．在梯形ABCD 中，∵E、G 分别是AB 、DC 的中点，∴EG＝12（AD ＋BC ）＝3． 在Rt△EHG 中， ∵222EH GH EG +=，EH ＝GH ，∴2EH ＝92，即四边形EFGH 的面积为92． 【总结升华】此题考查了等腰梯形的性质及三角形、梯形的中位线定理，解答本题的关键是根据三角形的中位线定理得出EH ＝HG ＝GF ＝FE ，这是本题的突破口． 举一反三：【变式】如图，E 、F 、G 、H 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 的中点．（1）判断四边形EFGH 的形状，并说明你的理由；（2）连接BD 和AC ，当BD 、AC 满足何条件时，四边形EFGH 是正方形．【答案】解：（1）四边形EFGH是平行四边形．理由：连接AC，∵E、F分别是AB、BC的中点，∴EF∥AC，且EF＝12 AC，同理，HG∥AC，且HG＝12 AC，∴EF∥HG，且EF＝HG，∴四边形EFGH是平行四边形；（2）当BD＝AC，且BD⊥AC时，EFGH是正方形．理由：连接AC，BD，∵E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，∴EF＝GH＝12AC，EH＝FG＝12BD，EH∥BD，GH∥AC，∵BD＝AC，BD⊥AC，∴EH＝EF＝FG＝GH，EH⊥GH，∴四边形ABCD是菱形，∠EHG＝90°，∴四边形EFGH是正方形．。
《三角形的中位线》 知识清单
《三角形的中位线》知识清单一、三角形中位线的定义连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
需要注意的是，一个三角形共有三条中位线。
二、三角形中位线定理三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。
这个定理是解决与三角形中位线相关问题的重要依据。
为了更好地理解这个定理，我们可以通过以下方式来证明：如图，在△ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 的中点，连接 DE。
延长 DE 到点 F，使得 EF ＝ DE，连接 CF。
因为 AE ＝ EC，∠AED ＝∠CEF，DE ＝ EF，所以△ADE ≌△CFE（SAS）所以 AD ＝ CF，∠ADE ＝∠F所以 AB ／／ CF又因为 AD ＝ BD所以 BD ＝ CF所以四边形 BCFD 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）所以 DF ／／ BC，DF ＝ BC因为 DE ＝ 1/2 DF所以 DE ／／ BC，DE ＝ 1/2 BC通过以上证明，我们得出了三角形中位线定理。
三、三角形中位线定理的应用1、证明线段平行如果已知一条线段是三角形的中位线，那么可以直接得出这条线段与三角形的第三边平行。
例如，在△ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 的中点，连接 DE，则DE ／／ BC。
2、证明线段的数量关系可以利用中位线等于第三边的一半来证明线段之间的倍数关系。
比如，已知△ABC 中，DE 是中位线，那么 DE ＝ 1/2 BC。
3、计算线段的长度在一些几何计算题中，如果能找到三角形的中位线，就可以利用中位线定理求出相关线段的长度。
例如，在△ABC 中，AB ＝ 10，D、E 分别是 AB、AC 的中点，那么 DE ＝ 5。
4、求图形的面积通过中位线与底边的关系，可以求出相关三角形的面积比。
假设△ABC 中，DE 是中位线，△ADE 的面积为 S1，△ABC 的面积为 S2。
因为 DE ／／ BC，所以△ADE ∽△ABC，相似比为 1 ： 2。
三角形中位线定理及推论
三角形中位线定理及推论一、三角形中位线定理三角形中位线定理是指在任意三角形中，连接一个顶点与对边中点的线段称为中位线，三条中位线交于一点，且该点与三个顶点的距离相等。
具体表述为：三角形三条中位线的交点与三个顶点的距离相等。
以三角形ABC为例，连接顶点A与边BC的中点D，顶点B与边AC 的中点E，顶点C与边AB的中点F，根据中位线定理可知，中位线AD、BE和CF三条线段交于一点G，并且AG=BG=CG。
中位线定理的证明可以通过向量法或平面几何法进行，这里我们选择平面几何法证明。
证明思路如下：1. 连接顶点A与边BC的中点D，假设点G是中位线AD与中位线BE 的交点；2. 连接顶点B与边AC的中点E；3. 通过顶点C以平行于边AB的直线与中位线AD交于点H；4. 由平行线的性质可知，AH=CH；5. 进一步，由三角形的对应边成比例可得：AH/AD=CH/CF；6. 由于AH=CH，所以AD=CF；7. 同样地，由中位线定理可得：BE=CF；8. 综上所述，AD=BE=CF，即证明了中位线定理。
二、三角形中位线推论基于中位线定理，我们可以得出一些有关三角形的推论。
1. 三角形中位线长度关系推论根据中位线定理，三角形三条中位线的交点与三个顶点的距离相等，即AG=BG=CG。
由此可得，中位线上的点距离顶点的距离是相等的。
进一步推论，三角形中位线的长度满足以下关系：AG=2GD，BG=2GE，CG=2GF。
2. 三角形中位线与三角形面积推论由三角形中位线定理可知，三条中位线交于一点G。
以G为顶点，三边中点分别为D、E、F，连接DG、EG和FG。
我们可以发现，连接G与三角形顶点的线段将三角形分成了六个小三角形，而这些小三角形的面积相等。
因此，我们可以推论得到：三角形中位线所分割的三个小三角形的面积相等。
3. 三角形中位线与三角形高度推论在三角形中，如果我们将中位线作为底边，那么与之对应的高度就是顶点到底边中点的距离。
三角形的中位线习题精讲精析PPT课件
(1) AB∥CD, BC∥AD
(2) AB=CD，BC=AD (3) AB∥CD,AB=CD (4) ∠A= ∠C ， ∠ B=∠ D
□ ABCD
(5) AO=OC, BO=OD
A
D
O
B.
C
1
A、B两点被池塘隔开，现在要测量出A、B两 点间的距离 ，但又无法直接去测量，怎么办？
⑶若四边形EFGH是正方形，AC与BD C 应满足什么条件？
.
27
作业
.
28
9 1. 如图,AF=FD=DB,FG∥DE∥BC,PE=1.5,则BC= ———
Ａ
Ｆ3Ｇ
Ｄ 4.5 1.5 Ｅ Ｐ
Ｂ
Ｃ
9
.
29
2. 已知：如图 E、F把四边形ABCD的对角线BD三等分， CE、CF的延长线分别平分AB、AD .
A
D
A’
D’
O
B’
C’
B
C
.
23
4. 在A、B外选一点C，连结AC和BC，并分别找出
AC和BC的中点D、E，如果能测量出DE的长度，
也就能知道AB的距离了。为什么？如果测的DE
=20m，那么A、B两点间的距离是多少？为什么？
A。
D。
40
20
C。
。
。B
E
.
学随
们着
解 决 这 个 问 题
将 会 有 更 多 的 办
如果 DE. 是△ABC的中位线
A
那么 ⑴ DE∥BC，
D
⑵ DE=1/2BC E 定理的主要用途：
B
C
① 证明平行
② 证明一条线段是另一条线段
三角形中位线
三角形中位线在我们学习三角形的众多知识中，三角形中位线是一个非常重要且有趣的概念。
它不仅在数学理论中有着重要的地位，在实际生活中的应用也十分广泛。
首先，咱们来明确一下什么是三角形中位线。
连接三角形两边中点的线段就叫做三角形的中位线。
一个三角形有三条中位线。
比如说，在三角形 ABC 中，点 D 是 AB 的中点，点 E 是 AC 的中点，那么线段DE 就是三角形 ABC 的一条中位线。
那么三角形中位线有哪些神奇的性质呢？这可得好好说道说道。
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
这是一个非常关键且有用的性质。
咱们来证明一下这个性质。
假设在三角形 ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 的中点。
延长 DE 到点 F，使 EF ＝ DE，连接 CF。
因为 AE ＝ EC，DE ＝ EF，且∠AED ＝∠CEF（对顶角相等），所以可以证明三角形 ADE 全等于三角形CFE。
这样一来，AD ＝ CF，∠ADE ＝∠CFE，所以 AB 平行于 CF。
又因为 AD ＝ BD，AD ＝ CF，所以 BD ＝ CF。
而且 BD 平行于 CF，所以四边形 BCFD 是平行四边形。
根据平行四边形的性质，DF 平行于BC 且 DF ＝ BC，又因为 DE ＝ EF ＝ 1/2 DF，所以 DE 平行于 BC 且DE ＝ 1/2 BC。
这个性质在解决很多数学问题时都能发挥巨大的作用。
比如，已知一个三角形的中位线长度和位置关系，就可以推断出第三边的长度和位置关系。
接下来咱们看看三角形中位线在实际生活中的应用。
比如说，在测量无法直接到达的两点之间的距离时，就可以利用三角形中位线的性质。
假设要测量一条河的宽度，但又无法直接测量。
我们可以在河的一侧找两个点 A 和 B，再在河的另一侧找一个点 C，使得 AC 和 BC 与河的两岸大致垂直。
然后分别找出 AB 和 AC 的中点 D 和 E，测量出DE 的长度。
因为 DE 是三角形 ABC 的中位线，所以河的宽度（也就是 BC 的长度）就是 DE 的两倍。
三角形中位线的性质
三角形中位线定理的应用
三角形中位线定理在几何学中有着广泛的应用，如证明某些几何命题、解决几何问题等。
三角形中位线定理的证明方法
证明方法一
利用相似三角形性质证明
第一步
根据相似三角形的性质，如果两个三角形相似，则它们的对应边成 比例。
三角形中位线的长度等于它所截得的相对边长的一半。即，如果中位线截取的 相对边长为AB，则中位线的长度为$frac{1}{2}AB$。
三角形中位线与第三边的关系
三角形中位线所截得的第三边与中位线平行且等于中位线长度的两倍。即，如 果中位线截取的第三边为CD，则CD平行于中位线且CD的长度为2倍的中位线 长度。
通过中位线定理，可以求解三角形的 边长。
在解决实际问题中的应用
解决工程问题
在工程设计中，可以利用 中位线定理解决实际的结 构和机械问题。
解决建筑问题
在建筑设计时，可以利用 中位线定理优化建筑物的 结构布局和稳定性。
解决数学建模问题
在数学建模中，可以利用 中位线定理解决一些实际 问题，如最优路径、最短 距离等。
三角形中位线的平行性质
三角形中位线的平行性质
三角形中位线与第三边平行。即，如果中位线为EF，第三边为CD，则EF平行于CD。
中位线与对角线的关系
三角形中位线与对角线互相平分。即，如果中位线为EF，对角线为AC，则E和F分别是AC的两个三等分点。
三角形中位线定理及
03
其证明
三角形中位线定理
三角形中位线定理定义
特殊情况下的三角形
05
中位线性质
等边三角形中的中位线性质
等边三角形中，任意一边的中 位线与相对的顶点连线垂直且 长度等于相对边的一半。
专题16 三角形中位线定理(解析版)
专题16 三角形中位线定理一．选择题1．在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，则下列说法正确的是（）A．CE＝BC B．DE＝AB C．∠AED＝∠C D．∠A＝∠C 解：∵D，E分别是AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE BC，故B选项说法错误；CE与BC不一定相等，故A选项说法错误；BD与DE不一定相等，B选项说法错误；由平行线的性质知∠AED＝∠C，故选项C说法正确；∠A与∠C不一定相等，故选项D说法错误；故选：C．2．如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，若BC＝6，则DE＝（）A．2 B．3 C．4 D．5解：∵D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝BC＝3，故选：B．3．A，B两地被池塘隔开，小明先在AB外选一点C，然后分别步测出AC，BC的中点D，E，并测出DE 的长为20m，则AB的长为（）A．10m B．20m C．30m D．40m解：∵点D，E是AC，BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴AB＝2DE＝40m，故选：D．4．如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点，AD＝BC，∠EPF ＝140°，则∠EFP的度数是（）A．50°B．40°C．30°D．20°解：∵P是BD的中点，E是AB的中点，∴PE是△ABD的中位线，∴PE＝AD，同理，PF＝BC，∵AD＝BC，∴PE＝PF，∴∠EFP＝×（180°﹣∠EPF）＝×（180°﹣140°）＝20°，故选：D．5．如图，在△ABF中，点C在中位线DE上，且CE＝CD，连接AC，BC，∠ACB＝90°，若BF＝20，则AB的长为（）A．10 B．12 C．14 D．16解：∵DE是△ABC的中位线，BF＝20，∴DE＝BF＝10，∵CE＝CD，∴CD＝DE＝8，∵∠ACB＝90°，∴AB＝2CD＝16，故选：D．6．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，AF⊥BD于点E，交BC于点F，点G是AC的中点，若BC＝10，AB＝7，则EG的长为（）A．1.5 B．2 C．2.5 D．3.5解：∵BD平分∠ABC，AF⊥BD，∴∠ABE＝∠FBE，∠AEB＝∠FEB＝90°，∵BE＝BE，∴△ABE≌△FBE（ASA），∴BF＝AB＝7，AE＝EF，∵BC＝10，∴CF＝3，∵点G是AC的中点，∴AG＝CG，∴EG＝CF＝，故选：A．7．如图，在△ABC中，BC＝20，D、E分别是AB、AC的中点，F是DE上一点，DF＝4，连接AF，CF，若∠AFC＝90°，则AC的长度为（）A．10 B．12 C．13 D．20解：∵D、E分别是AB、AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝BC＝10，∴EF＝DE﹣DF＝10﹣4＝6，在Rt△AFC中，AE＝EC，∴AC＝2EF＝12，故选：B．8．如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝8，D、E、F分别为AC、BC和AB边上的中点，则四边形BEDF的周长是（）A．10 B．12 C．14 D．16解：∵D、E分别为AC、BC边上的中点，∴BE＝BC＝4，DE是△ACB的中位线，∴DE＝AB＝3，∵D、F分别为AC、AB边上的中点，∴BF＝AB＝3，DF是△ABC的中位线，∴DF＝BC＝4，∴四边形BEDF的周长＝BE+DE+DF+BF＝4+3+4+3＝14，故选：C．9．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，点F是线段DE上的一点．连接AF，BF，∠AFB ＝90°，且AB＝8，BC＝14，则EF的长是（）A．2 B．3 C．4 D．5解：∵点D，E分别是边AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∵BC＝14，∴DE＝BC＝7，∵∠AFB＝90°，AB＝8，∴DF＝AB＝4，∴EF＝DE﹣DF＝7﹣4＝3，故选：B．10．如图，点P是△ABC内一点，AP⊥BP，BP＝12，CP＝15，点D，E，F，G分别是AP，BP，BC，AC的中点，若四边形DEFG的周长为28，则AP长为（）A．13 B．9 C．5 D．4解：∵点D，E，F，G分别是AP，BP，BC，AC的中点，∴DG＝EF＝PC＝15＝，DE＝FG＝AB，∵四边形DEFG的周长为28，∴DE＝FG＝×（28﹣﹣）＝，∴AB＝13，∵AP⊥BP，BP＝12，∴AP＝＝＝5，故选：C．11．如图，四边形ABCD中．AC⊥BC，AD∥BC，BD为∠ABC的平分线，BC＝3，AC＝4．E，F分别是BD，AC的中点，则EF的长为（）A．1 B．1.5 C．2 D．2.5解：∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°，∵BC＝3，AC＝4，∴AB＝5，∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，∵BD为∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠CBD，∴∠ABD＝∠ADB，∴AB＝AD＝5，连接BF并延长交AD于G，∵AD∥BC，∴∠GAC＝∠BCA，∵F是AC的中点，∴AF＝CF，∵∠AFG＝∠CFB，∴△AFG≌△CFB（AAS），∴BF＝FG，AG＝BC＝3，∴DG＝5﹣3＝2，∵E是BD的中点，∴EF＝DG＝1．故选：A．12．如图，在△ABC中，∠A＝90°，D是AB的中点，过点D作BC的平行线交AC于点E，作BC的垂线交BC于点F，若AB＝CE，且△DFE的面积为1，则BC的长为（）A．2B．5 C．4D．10解：过A作AH⊥BC于H，∵D是AB的中点，∴AD＝BD，∵DE∥BC，∴AE＝CE，∴DE＝BC，∵DF⊥BC，∴DF∥AH，DF⊥DE，∴BF＝HF，∴DF＝AH，∵△DFE的面积为1，∴DE•DF＝1，∴DE•DF＝2，∴BC•AH＝2DE•2DF＝4×2＝8，∴AB•AC＝8，∵AB＝CE，∴AB＝AE＝CE＝AC，∴AB•2AB＝8，∴AB＝2（负值舍去），∴AC＝4，∴BC＝＝2．故选：A．二．填空题13．如图，已知线段AB，将线段AB沿某个方向平移4个单位得到线段DC，其中点D是A的对应点，且点D不在直线AB上．连接AC，BD交于点O，若E是CD中点，则OE的长度值是．解：如图，连接AD，BC，根据平移的性质知：AD＝4，AB＝CD且AB∥CD，则四边形ABCD是平行四边形，∴O点是AC的中点，∵E是CD中点，∴OE是△ACD的中位线，∴OE＝AD＝2．故答案是：2．14．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，M、N分别是AB、AC的中点，延长BC至点D，使CD＝BD，连接DM、DN、MN．若AB＝4，则DN＝．解：连接CM，∵∠ACB＝90°，M是AB的中点，∴CM＝AB＝2，∵M、N分别是AB、AC的中点，∴MN＝BC，MN∥BC，∵CD＝BD，∴MN＝CD，又MN∥BC，∴四边形NDCM是平行四边形，∴DN＝CM＝2，故答案为：2．15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E、F分别为AB、AC、AD的中点．若AB＝6，则EF的长度为．解：在Rt△ABC中，D为AB的中点，∴CD＝AB＝3，∵E、F分别为AC、AD的中点，∴EF是△ACD的中位线，∴EF＝CD＝，故答案为：．16．如图，在△ABC中，AB＝13，BC＝12，D，E分别是AB，BC的中点，连接DE，CD，如果DE＝2.5，那么△ACD的面积是．解：∵D，E分别是AB，BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴AC＝2DE＝5，∵AC2+BC2＝52+122＝169，AB2＝169，∴AC2+BC2＝AB2，∴∠ACB＝90°，∴△ABC的面积＝×5×12＝30，∵D是AB的中点，∴△ACD的面积＝△ABC的面积×＝15．故答案为：15．17．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BC＝20，DE是△ABC的中位线．①点M是边BC中点，则DM＝；②探究：点M是边BC上一点，BM＝3，点N是线段MC上的一个动点，连接DN、ME，DN与ME相交于点O．若△OMN是直角三角形，则DO的长是．解：（1）∵∠A＝90°，AB＝AC，BC＝20，∴2AC2＝BC2＝202，∴AC＝10，∵D，M分别是AB，BC的中点，∴DM＝AC＝5；（2）如图作EF⊥BC于F，DN′⊥BC于N′交EM于点O′，此时∠MN′O′＝90°，∵DE是△ABC中位线，∴DE∥BC，DE＝BC＝10，∵DN′∥EF，∴四边形DEFN′是平行四边形，∵∠EFN′＝90°，∴四边形DEFN′是矩形，∴EF＝DN′，DE＝FN′＝10，∵AB＝AC，∠A＝90°，∴∠B＝∠C＝45°，∴BN′＝DN′＝EF＝FC＝5，∴＝，∴＝，∴DO′＝；当∠MON＝90°时，∵△DOE∽△EFM，∴＝，∵EM＝＝13，∴DO＝，故答案为：或．三．解答题18．已知：△ABC中，D是BC上的一点，E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点，求证：EG、HF互相平分．证明：连接EH，GH，GF，∵E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点，∴AB∥EH∥GF，GH∥BC∥BF．∴四边形EHGF为平行四边形．∵GE，HF分别为其对角线，∴EG、HF互相平分．19．如图，点A（0，8），点B（4，0），连接AB，点M，N分别是OA，AB的中点，在射线MN上有一动点P，若△ABP是直角三角形，求点P的坐标．解：∵A（0，8）B（4，0），∴AB＝4，∵点M，N分别是OA，OB的中点，∴MN∥AB，MN＝OB＝2，OM＝4，∴点P的纵坐标为4，∵△ABP是直角三角形，∴∠APB＝90°或∠ABP＝90°，①当∠APB＝90°时，则PN＝AB＝2，∴PM＝2+2，∴P（2+2，4），②当∠ABP＝90°时，过点P作PC⊥x轴于C，则四边形MOCP是矩形，过P作PC⊥x轴于C，则△ABO∽△BPC，∴＝＝1，∴BP＝AB＝4，∴PC＝OB＝4，∴BC＝8，∴PM＝OC＝4+8＝12，∴P（12，4），综上可得点P的坐标为（2+2，4）或（12，4）．20．如图，在△ABC中，BC＞AC，点D在BC上，且DC＝AC，∠ACB的平分线CF交AD于点F，点E 是AB的中点，连结EF．（1）求证：EF∥BC；（2）若四边形BDFE的面积为3，求△AEF的面积．解：（1）∵DC＝AC，CF平行∠ACD，∴F是AD的中点，又∵E是AB的中点，∴EF是△ABD的中位线，∴EF∥BC；（2）∵EF是△ABD的中位线，∴EF∥BC，EF：BD＝1：2，如图，连接DE，则S△DEF：S△DEB＝1：2，又∵四边形BDFE的面积为3，∴S△DEF＝1，又∵F是AD的中点，∴S△DEF＝S△AEF＝1．21．如图，在△ABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中点．（1）AB＝6，AC＝4，求四边形AEDF的周长；（2）EF与AD有怎样的位置关系？证明你的结论．解：（1）∵AD是高，∴∠ACB＝∠ADC＝90°，在Rt△ADB中，E是AB的中点，∴DE＝AB＝3，AE＝AB＝3，同理可得，AF＝DF＝AC＝2，∴四边形AEDF的周长＝3+3+2+2＝10；（2）EF垂直平分AD，理由如下：∵EA＝ED，FA＝FD，∴EF是AD的垂直平分线．22．如图，△ABC中，D，E，F分别是AB，AC，BC的中点．（1）若EF＝5cm，则AB＝cm；若BC＝9cm，则DE＝cm；（2）中线AF与中位线DE有什么特殊的关系？证明你的猜想．解：（1）∵在△ABC中，点E、F分别是AC、BC的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴EF∥AB且EF＝AB．又EF＝5cm，∴AB＝10cm．同理，DE＝BC＝4.5cm；故答案是：10、4.5（2）互相平分，理由：如图，连接DF，∵AD＝EF，AD∥EF，∴四边形ADFE为平行四边形，∴中线AF与DE的关系是互相平分．23．在△ABC中，D、E分别是AB，AC的中点，作∠B的角平分线（1）如图1，若∠B的平分线恰好经过点E，猜想△ABC是怎样的特殊三角形，并说明理由．（2）如图2，若∠B的平分线交线段DE于点F，已知AB＝8，BC＝10，求EF的长度．（3）若∠B的平分线交直线DE于点F，直接写出AB、BC、EF三者之间的数量关系．解：（1）∵D、E分别是AB，AC的中点，∴DE＝BC，DE∥BC，∴∠DEB＝∠EBC，∵BE是∠B的角平分线，∴∠DBE＝∠EBC，∴∠DEB＝∠DBE，∴DE＝DB＝AB，∴AB＝BC，∴△ABC是等腰三角形；（2）由（1）得，DE＝BC＝5，DF＝AB＝4，∴EF＝DE﹣DF＝1；（3）当点F在线段DE上时，由（2）得，EF＝（BC﹣AB）；当点F在线段DE的延长线上时，EF＝（AB﹣BC）．。
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解：过A作AH⊥BC于H，
∵D是AB的中点，
∴AD＝BD，
∵DE∥BC，
∴AE＝CE，
∴DE＝ BC，
∵DF⊥BC，
∴DF∥AH，DF⊥DE，
∴BF＝HF，
∴DF＝ AH，
∵△DFE的面积为1，
∴ DE•DF＝1，
∴DE•DF＝2，
∴BC•AH＝2DE•2DF＝4×2＝8，
故选：C．
9．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，点F是线段DE上的一点．连接AF，BF，∠AFB＝90°，且AB＝8，BC＝14，则EF的长是（ ）
A．2B．3C．4D．5
解：∵点D，E分别是边AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∵BC＝14，
∴DE＝ BC＝7，
∵∠AFB＝90°，AB＝8，
A．1B．1.5C．2D．2.5
解：∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°，
∵BC＝3，AC＝4，
∴AB＝5，
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
∵BD为∠ABC的平分线，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴AB＝AD＝5，
连接BF并延长交AD于G，
∵AD∥BC，
∴∠GAC＝∠BCA，
∵F是AC的中点，
A．1.5B．2C．2.5D．3.5
解：∵BD平分∠ABC，AF⊥BD，
∴∠ABE＝∠FBE，∠AEB＝∠FEB＝90°，
∵BE＝BE，
∴△ABE≌△FBE（ASA），
∴BF＝AB＝7，AE＝EF，
∵BC＝10，
∴CF＝3，
∵点G是AC的中点，
∴AG＝CG，
∴EG＝ CF＝ ，
故选：A．
7．如图，在△ABC中，BC＝20，D、E分别是AB、AC的中点，F是DE上一点，DF＝4，连接AF，CF，若∠AFC＝90°，则AC的长度为（ ）
A．10B．12C．14D．16
解：∵D、E分别为AC、BC边上的中点，
∴BE＝ BC＝4，DE是△ACB的中位线，
∴DE＝ AB＝3，
∵D、F分别为AC、AB边上的中点，
∴BF＝ AB＝3，DF是△ABC的中位线，
∴DF＝ BC＝4，
∴四边形BEDF的周长＝BE+DE+DF+BF＝4+3+4+3＝14，
∴AF＝CF，
∵∠AFG＝∠CFB，
∴△AFG≌△CFB（AAS），
∴BF＝FG，AG＝BC ＝3，
∴DG＝5﹣3＝2，
∵E是BD的中点，
∴EF＝ DG＝1．
故选：A．
12．如图，在△ABC中，∠A＝90°，D是AB的中点，过点D作BC的平行线交AC于点E，作BC的垂线交BC于点F，若AB＝CE，且△DFE的面积为1，则BC的长为（ ）
∴DF＝ AB＝4，
∴EF＝DE﹣DF＝7﹣4＝3，
故选：B．
10．如图，点P是△ABC内一点，AP⊥BP，BP＝12，CP＝15，点D，E，F，G分别是AP，BP，BC，AC的中点，若四边形DEFG的周长为28，则AP长为（ ）
A．13B．9C．5D．4
解：∵点D，E，F，G分别是AP，BP，BC，AC的中点，
A．10B．12C．13D．20
解：∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE＝ BC＝10，
∴EF＝DE﹣DF＝10﹣4＝6，
在Rt△AFC中，AE＝EC，
∴AC＝2EF＝12，
故选：B．
8．如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝8，D、E、F分别为AC、BC和AB边上的中点，则四边形BEDF的周长是（ ）
A．10B．12C．14D．16
解：∵DE是△ABC的中位线，BF＝20，
∴DE＝ BF＝10，
∵CE＝ CD，
∴CD＝ DE＝8，
∵∠ACB＝90°，
∴AB＝2CD＝16，
故选：D．
6．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，AF⊥BD于点E，交BC于点F，点G是AC的中点，若BC＝10，AB＝7，则EG的长为（ ）
∴DE＝ BC＝3，
故选：B．
3．A，B两地被池塘隔开，小明先在AB外选一点C，然后分别步测出AC，BC的中点D，E，并测出DE的长为20m，则AB的长为（ ）
A．10mB．20mC．30mD．40m
解：∵点D，E是AC，BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴AB＝2DE＝40m，
故选：D．
4．如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点，AD＝BC，∠EPF＝140°，则∠EFP的度数是（ ）
A．50°B．40°C．30°D．20°
解：∵P是BD的中点，E是AB的中点，
∴PE是△ABD的中位线，
∴PE＝ AD，
同理，PF＝ BC，
∵AD＝BC，
∴PE＝PF，
∴∠EFP＝ ×（180°﹣∠EPF）＝ ×（180°﹣140°）＝20°，
故选：D．
5．如图，在△ABF中，点C在中位线DE上，且CE＝ CD，连接AC，BC，∠ACB＝90°，若BF＝20，则AB的长为（ ）
BD与DE不一定相等，B选项说法错误；
由平行线的性质知∠AED＝∠C，故选项C说法正确；
∠A与∠C不一定相等，故选项D说法错误；
故选：C．
2．如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，若BC＝6，则DE＝（ ）
A．2B．3C．4D．5
解：∵D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DG＝EF＝ PC＝ 15＝ ，DE＝FG＝ AB，
∵四边形DEFG的周长为28，
∴DE＝FG＝ ×（28﹣ ﹣ ）＝ ，
∴AB＝13，
∵AP⊥BP，BP＝12，
∴AP＝ ＝ ＝5，
故选：C．Байду номын сангаас
11．如图，四边形ABCD中．AC⊥BC，AD∥BC，BD为∠ABC的平分线，BC＝3，AC＝4．E，F分别是BD，AC的中点，则EF的长为（ ）
专题16 三角形中位线定理
一．选择题
1．在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．CE＝BCB．DE＝ ABC．∠AED＝∠CD．∠A＝∠C
解：∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE BC，故B选项说法错误；
CE与BC不一定相等，故A选项说法错误；
∴AB•AC＝8，
∵AB＝CE，
∴AB＝AE＝CE＝ AC，
∴AB•2AB＝8，
∴AB＝2（负值舍去），
∴AC＝4，
∴BC＝ ＝2 ．
故选：A．
二．填空题
13．如图，已知线段AB，将线段AB沿某个方向平移4个单位得到线段DC，其中点D是A的对应点，且点D不在直线AB上．连接AC，BD交于点O，若E是CD中点，则OE的长度值是．