广东省执信中学1314学年下学期高二期中数学(理)(附答案)

2013-2014学年度第二学期 高二级数学科期中考试试卷本试卷分选择题和非选择题两部分，共10页，满分为150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡和答卷密封线内相应的位置上，用2B 铅笔将自己的学号填涂在答题卡上。

2、选择题每小题选出答案后，有2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上。

3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答卷纸上作答，答案必须写在答卷纸各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4、考生必须保持答题卡的整洁和平整。

第一部分选择题(共40分)一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．在复平面内，复数12i-（i 是虚数单位）对应的点位于（ ） .A 第一象限 .B 第二象限 .C 第三象限 .D 第四象限 2．设全集R U =，集合{}12|>=x x A ，{}32|≤-=x x B ，则B A C U 等于( ).A [)0,1- .B (]5,0 .C []0,1- .D []5,03．下列说法正确的是( ).A “(0)0f =”是“函数()f x 是奇函数”的充要条件.B 若0:p x ∃∈R ，20010x x -->，则:p ⌝x ∀∈R ，210x x --<.C 若p q ∧为假命题，则p 、q 均为假命题 .D “若6πα=，则1sin 2α=”的否命题是“若6πα≠，则1sin 2α≠” 4. 若110a b<<，则下列结论不正确的是（ ） .A 22a b < .B 2a b b < .C 2b aa b+> .D ||||||a b a b +>+5. 某几何体的三视图如图1所示，且该几何体的体积是32，则正视图中的x 的值是（ ）.A 2 .B29 .C 23.D 3 6. 动点P 在函数sin 2y x =的图象上移动，动点(,)Q x y 满足π(,0)8PQ =， 则动点Q 的轨迹方程为（ ）.A πsin 28y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.B πsin 28y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.C πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.D πsin 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭7.已知1F 、2F 是双曲线22221x y a b-=（0>a ，0>b ）的左右两个焦点，过点1F 作垂直于x轴的直线与双曲线的两条渐近线分别交于A ，B 两点，2ABF ∆是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是（ ）.A ()2,1 .B ()5,1.C ()5,1 .D ()+∞,58. 如图，四棱锥P-ABCD 的底面为正方形，侧面PAD 为等边三角形，且侧面PAD ⊥底面ABCD ．点M 在底面内运动，且满足MP=MC ，则点M 在正方形ABCD 内的轨迹.A .B .C .D第二部分非选择题(共 110分)二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 9. 不等式3112x x-≥-的解集是10. 若函数)(13131211)(*N n n n f ∈-++++= ，则对于*N k ∈，+=+)()1(k f k f 11. 已知210,0,1x y x y>>+=,若222x y m m +>+恒成立,则实数m 的取值范围H PGF ED CB12. 从如图所示的长方形区域内任取一个点),(y x M 则点M 取自阴影部分的概率为 （边界曲线方程为23)(x x f =） 13. 如右图，在四边形ABCD 中，13DC AB =， E 为BC 的中点，且AE x AB y AD =⋅+⋅，则32x y -= .14．设[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]3π=，[ 2.3]3-=-．给出下列命题： ①对任意实数x ，都有1[]x x x -<≤；②对任意实数x 、y ，都有[][][]x y x y +≤+；③[lg1][lg 2][lg3][lg100]90++++=；④若函数()[[]]f x x x =⋅，当*[0,)()x n n ∈∈N 时，令()f x 的值域为A ，记集合A 的元素个数为n a ，则49n a n +的最小值为192． 其中所有真命题的序号是_________________．三、解答题（本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分12分）在ABC ∆中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,且a =,B C =. （1） 求cos B 的值；（2) 设函数()()sin 2f x x B =+,求6f π⎛⎫⎪⎝⎭的值. 16．（本小题满分14分）如图，四边形A B C D 是正方形，EA ⊥平面A B C D ，PD EA //，2AD PD EA ==，F ，G ， H 分别为PB ，EB ，PC 的中点．（1）求证：FG //平面PED ；（2）求平面FGH 与平面PBC 所成锐二面角的大小.17．（本小题满分14分） 已知函数x ax x a x f ln 21)(2-+-=（R a ∈） （1） 当1=a 时，求函数)(x f 的极值； （2）当1>a 时，讨论)(x f 的单调性。

18．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足n a S n n -=2，*N n ∈（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求证：22113221na a a a a a n n n <+++<-+19．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆C ∶)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别1F 、2F 焦距为2，且与双曲线1222=-y x 共顶点．P 为椭圆C 上一点，直线1PF 交椭圆C 于另一点Q ． （1）求椭圆C 的方程；（2）若点P 的坐标为()b ,0，求过P 、Q 、2F 三点的圆的方程； （3）若11QF P F λ=，且⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,21λ，求OQ OP ⋅的最大值．20．（本小题满分14分） 已知)1l n ()(-=x a x f ，bx x x g +=2)(，)()1()(x g x f x F -+=，其中R b a ∈,。

（1）若)(x f y =与)(x g y =的图像在交点（2，k ）处的切线互相垂直，求b a ,的值；（2）若2=x 是函数)(x F 的一个极值点，0x 和1是)(x F 的两个零点，且0x ∈（)1,+n n N n ∈，求n ；（3）当2-=a b 时，若1x ，2x 是)(x F 的两个极值点，当|1x －2x |>1时，求证：|)(1x F －)(2x F |2ln 43->参考答案：一、选择题：ACDDC DBC 二、填空题：9．⎪⎭⎫⎢⎣⎡2,43； 10．23113131++++k k k ； 11．()2,4-； 12．31； 13．1； 14．①④ 三．解答题：15. （本小题满分12分）(1) 因为B C =，所以c b =， (1)分 又a =， 所以222cos 2a c bB ac +-=(3分)23b= (4分)=………5分解法2：∵a =，∴sin A B =…………………2分 ∵B C =，且A B C ++=π，所以sin 2B B =……………3分 又2sin cos 2B B B =………4分∵sin 0B ≠， ∴cos 4B = (5)分 (Ⅱ)由(Ⅰ)得sin 4B ==，……………………7分 所以sin 63f B ππ⎛⎫⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(8分)sin cos cos sin 33BB ππ=+ (10)分12=+ (11分)= …………………12分 16. （本小题满分14分）（1）证明：F,G 分别为PB ，BE 的中点，FG∴PE . ………1分又FG ⊄平面PED ，PE ⊂平面PED ， …………………3分FG ∴//平面PED . ……………………………4分（2）解:EA ⊥平面ABCD ，//EA PD ，PD ∴⊥平面.ABCD,AD CD ⊂平面,ABCD PD AD ∴⊥，PD CD ⊥.四边形ABCD 是正方形，AD CD ∴⊥.QPHGFE D C BA以D 为原点,分别以直线,,DA DC DP 为x 轴, y 轴,z 轴 建立如图所示的空间直角坐标系，设 1.EA = …………6分2A D P D E A==, D ∴()0,0,0，P ()0,0,2，A ()2,0,0，C ()0,2,0，B ()2,2,0，(2,0,1)E ,(2,2,2)PB =-,(0,2,2)PC =-. F ，G ， H 分别为PB ，EB ，PC 的中点，F ∴()1,1,1，G 1(2,1,)2，H (0,1,1),1(1,0,)2GF =-,1(2,0,).2GH =- ………8分（解法一)设1111(,,)x y z =n 为平面FGH 的一个法向量，则110GF GH ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ,即11111021202x z x z ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，令11y =，得1(0,1,0)=n . …10分 设2222(,,)x y z =n 为平面PBC 的一个法向量,则2200PB PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ,即222222220220x y z y z +-=⎧⎨-=⎩，令21z =，得2(0,1,1)=n . ……………12分所以12cos ,n n =1212⋅⋅n n n n=2. ……………………13分 所以平面FGH 与平面PBC 所成锐二面角的大小为π4（或45︒）. ………14分 （解法二)(0,1,1)(2,0,0)0DH BC ⋅=⋅-=，(0,1,1)(0,2,2)0DH PC ⋅=⋅-=,DH ∴是平面PBC 一个法向量. … ……………………10分(0,2,0)(1,0,0)0DC FH ⋅=⋅-=，1(0,2,0)(1,0,)02DC FG ⋅=⋅-=,DC ∴是平面平面FGH 一个法向量. …… ………………12分cos ,2DH DC DH DC DH DC⋅===⋅ ……… … ……………13分 ∴平面F G H 与平面PBC 所成锐二面角的大小为π4（或45︒）. ………14分（解法三) 延长AE 到,Q 使得,AE EQ =连,.PQ BQ2PD EA AQ ==，EA PD ，∴四边形ADPQ 是平行四边形，.PQAD四边形ABCD 是正方形，,.BCAD PQ BC ∴ F ，H 分别为PB ，PC 的中点，,.FHBC FHPQ ∴FH ⊄平面PED ，PQ ⊂平面PED ， FH∴平面PED . ………7分,,FH FG F FH FG =⊂平面,ADPQ ∴平面FGH平面.ADPQ ………9分故平面FGH 与平面PBC 所成锐二面角与二面角D PQ C --相等. … …10分,PQ CD PQ PD ⊥⊥,,,PD CD D PD DC =⊂平面,PDC PQ ∴⊥平面.PDCPC ⊂平面,,PDC PQ PC ∴⊥DPC ∠是二面角D PQ C --的平面角. …12分 ,,45.AD PD AD PD DPC =⊥∴∠=︒ … …………13分∴平面FGH 与平面PBC 所成锐二面角的大小为π4（或45︒）. … …………14分 17. （本小题满分14分） 解：（1）函数的定义域为),0(+∞ …………1分 当1=a 时，x x x f ln )(-= xx f 11)('-=…………2分 令0)('=x f ，得1=x当10<<x 时，0)('<x f ；当1>x 时，0)('>x f故)(x f 在)1,0(上单调递减，在),1(+∞上单调递增…………3分 故)(x f 的极小值为1)1(=f …………4分 ，无极大值…………5分 （2）)0()1)(11)(1(1)1(1)1()('2>----=-+-=-+-=x xx a x a xax x a x a x a x f (6)分①当111=-a 即2=a 时，0)1()('2<--=xx x f ，故函数在),0(+∞上是减函数；②当111<-a 即2>a 时, 令0)('<x f ，得1110>-<<x a x 或；令0)('>x f ，得111<<-x a ； ③当111>-a 即20<<a 时, 令0)('<x f ，得1110-><<a x x 或；令0)('>x f ，得111-<<a x ； 综上所述，当20<<a 时，)(x f 的单调递增区间是)11,1(-a ，单调递减区间是），和（∞+-11)1,0(a ；……9分 当2=a 时，单调递减区间是）+∞,0(；…………11分2>a 时，)(x f 的单调递增区间是)111(，-a ，单调递减区间是），）和∞+-1(11,0(a …………14分18.（本小题满分12分）（1）因为n a S n n -=2，………① 11=∴a ………….1分 且)1(211--=--n a S n n ……… ②①-②得121+=-n n a a ………….2分 )2()1(211≥+=+∴-n a a n n{}1+∴n a 是首项为2，公比为2的等比数列………….3分，12-=n n a ………….4分（2）证明：（方法一）21)212(212121211<--=--=++n n n n n n a a ………….6分 213221na a a a a a n n <+++∴+ ．………….8分 （方法二） 用数学归纳法证明213221na a a a a a n n <+++∴+ ，此部分4分11111112121222121222121121121)212(2121212+++++++->-+-=-⋅-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=--=--=n n n n n nn n n n n a a ………….10分 21)211(212212121213213221->--=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++->+++++n n n a a a a a a n n n n ………….12分 ∴22113221na a a a a a n n n <+++<-+ ． 19、（本小题满分14分） （1）解：由题意得2,12==a c ……2分故椭圆的方程为1222=+y x ．…3分 （2）因为)0,1(),1,0(1-F P 所以1PF 的方程为01=+-y x 由⎩⎨⎧=+=+-220122y x y x 解得点Q 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛--31,34． ……………5分 解法一：因为121-=PF PF k k 所以2PQF ∆为直角三角形 ……………………6分 因为2QF 的中点为⎪⎭⎫⎝⎛--61,61，325||2=QF ， 所以圆的方程为1825)61()61(22=+++y x ………………8分 解法二：设过2,,F Q P 三点的圆为022=++++F Ey Dx y x ……………6分则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+--=++=++031349170101F E D F D F E 解得34,31,31-===F E D所以圆的方程为034313122=-+++y x y x ……………8分 （3）解法一：设),(),,(2211y x Q y x P ，则),1(111y x P F +=，),1(221y x QF ---=因为11QF F λ= ，所以⎩⎨⎧-=--=+2121)1(1y y x x λλ即⎩⎨⎧-=---=21211y y x x λλλ所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+---1212)1(222222222y x y x λλλ解得λλ2312-=x ………………………10分所以λλλλλλ-+--=----=+=⋅22222222121)1(2)1(x x y x x y y x x)1(8547231)1()231(22λλλλλλλλλ+-=--⋅+---=………………………12分因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,21λ ，所以21≥+λλ，当且仅当λλ1=，即1=λ时，取等号．⋅最大值为12． ……………………14分解法二：当PQ 斜率不存在时， 在1222=+y x 中，令1-=x 得22±=y ．所以11(1)(2OP OQ ⋅=-⨯-=，此时11,22λ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦……………………9分当PQ 斜率存在时，设PQ 的方程是)1(+=x k y由⎪⎩⎪⎨⎧=++=12)1(22y x x k y 得0224)2(2222=-+++k x k x k i ， 韦达定理 22121222422==1212k k x x x x k k--+++，………………………………………10分设),(),,(2211y x Q y x P 则212121212(1)(1)OP OQ x x y y x x k x x ⋅=+=+++22212122222222222(1)()224(1)12122 61215122(12)2k x x k x x k k k k k k k k k kk =++++--=+++++-=⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯+=-<+分。