山东省高密市银鹰文昌中学九年级数学上册《1.3 特殊的平行四边形》学案(3)
初中数学九年级上册《特殊平行四边形》教案7页word文档
课时课题：第三章第二节特殊平行四边形第三课时课型：新授课教学目标：1.通过正方形、矩形、菱形等特殊四边形的中点四边形的探求过程，引导学生体会证明过程中所运用的由一般到特殊再到一般的归纳思想方法、类比的思想方法、转化的思想方法等.（重点）2.经历“探索—发现—猜想—证明”的过程，进一步发展学生推理论证的能力,体会证明的必要性以及计算与证明在解决问题中的作用.（难点）教法与学法指导：这节课主要采用“自主探究--合作竞学”型教学模式，配以导练循环教学案.引导学生经历画图--探索—发现—猜想—证明的过程，在自主探究的基础上合作交流，从而形成对知识的建构.另外利用几何画板多媒体辅助教学，一方面生动直观，另一方面突出重点，分散难点.课前准备：制作课件，编写导学案，学生预习课本相关内容.教学过程：一、感悟导入[师]通过前几节内容的学习，我们进一步理解了三角形中位线性质定理、平行四边形及特殊平行四边形的性质定理和判定定理，下面我们来进行简单的训练．1.如图1，在ΔABC中，EF为ΔABC的中位线, 若∠A =30°,则∠BEF = ; 若EF = 8cm,则AC= .2.如图2,添加一个条件使得□ABCD成为（1）矩形？（2）菱形？[生]各抒己见,从定义和对角线方面积极回答平行四边形变为矩形、菱形的条件.[设计意图]本环节出示2个小题的目的是为了强化学生对三角形中位线性质定理、平行四边形及特殊平行四边形的性质定理和判定定理的掌握情况,针对出现的问题及时纠正弥补,为本节课的学习作好铺垫.二、自主探究[师]下面大家来猜一猜，想一想(出示课件)依次连接任意四边形各边的中点可以得到一个平行四边形．那么，依次连接正方形各边的中点．(如图)能得到—个怎样的图形呢?先猜一猜，再证明．[生1]依次连结正方形各边的中点得到的四边形是正方形．[师]这位同学回答的很准确，同学们，你能证明这个结论吗？[生]积极独立思考，并进一步在小组内交流讨论.[师]下面我请一位同学到黑板上板书他的证明过程,其余同学将你的思路书写在练习本上. [生2板书]证明：∵四边形ABCD是正方形∴∠A＝∠B=∠C=∠D＝90°AB＝BC＝CD＝DA又∵A1、B1、C1、D1分别是边AB、BC、CD、DA的中点∴AA1＝BA＝BB1＝B1C＝CC1＝C1D＝DD1＝D1A．∴△AD1A1≌△BA1B1≌△CB1C1≌△DC1D1．∴A1B1＝B1C1＝C1D1＝D1A1．∵∠A＝∠B＝90°，AA1＝AD1，A1B=BB1，∴∠AA1D1=∠BA1B1=45°．∴∠D1A1B1＝90°．∴四边形A1B1C1D1是正方形．[师]很好，哪位勇敢的同学能帮助我们大家梳理一下这位同学的思路呢?[生3]这个题同学们是先证明了四边形A1B1C1D1的四条边相等，即是菱形，然后又证明了这个四边形的一个角是直角，即有一个角为直角的菱形是正方形，从而得证四边形A1B1C1D1是正方形．[师]还有其他的方法吗?[生4]因为A1、B1是边AB、DC的中点，所以，若连结对角线AC，则A1B1是△ABC的中位线，同理可知C1D1是△ADC的中位线，同样，连结对角线BD，也可知A1D1是△ABD的中位线，B1C1是△BDC的中位线，这样由中位线的性质定理和正方形的对角线相等可得知A1B1、B1C1、C1D1、D1A1，是相等的，然后再证，有一个角是90°，这样也可以证明四边形A1B1C1D1是正方形．老师，我这种思路方法可以吗?[师]同学们的意见呢?[生齐声]可以．[设计意图]:让学生亲身经历独立思考、合作交流获得问题解决方法的过程，既巩固加深了学生对矩形、菱形、正方形这些特殊平行四边形的性质及判别的理解，同时使学生获得了把新知识转化为旧知识的这种解决数学问题的转化方法，提高了解决问题的能力,学生在探究的过程中，享受到成功的喜悦，增强了学习的信心，为下面的学习打下基础.三、合作竞学[师]证明四边形A 1B 1C 1D 1的四条边相等时，可以用三角形全等，也可以用三角形中位线定理和正方形的性质来证明．大家要灵活应用这些性质，接下来期待同学们有更好的表现,请看下面的问题.教师(出示课件)(1)依次连结菱形或矩形四边的中点能得到一个什么图形?先猜一猜，再证明．(2)依次连接平行四边形四边的中点呢?(3)依次连结四边形各边中点所得到的新四边形的形状与哪些线段有关?有怎样的关系． 操作方式:本环节采取分组探究的形式展开,全班分为3个小组,每一小组选择一个不同的任务，对矩形、菱形、平行四边形三种情况的中点四边形进行合作探究验证.[生]在获取小组任务后,在各小组组长的带领下,积极进行合作探究.[师]观察每个小组的学习情况，对有困难的给予引导，然后用投影分组展示各组的如下探究结果.[第一小组学生]依次连接菱形四边的中点得到的四边形是矩形，如图．已知:在菱形ABCD 中，点A 1、B 1、C 1、D 1分别是菱形四条边的中点，求证：四边形A 1B 1C 1D 1是矩形．证明：连接AC 、BD ．∵点A 1、B 1、C 1、D 1分别是菱形ABCD 的各边的中点，∴A 1B 1//21AC ，C 1D 1// 21AC. ∴A 1B 1//C 1D 1．∴四边形A 1B 1C 1D 1是平行四边形．∵AC 、BD 是菱形ABCD 的对角线，∴AC ⊥BD ．∴∠A 1B 1C 1＝90°．∴四边形A 1B 1C 1D 1是矩形．[第一小组同组同学]这个题还可以证明：∠A 1B 1C 1＝∠B 1C 1D 1＝∠C 1D 1A 1＝90°．因为A 1B 1//21AC ，C 1D 1//21AC ， A 1D //21BD ，B 1C 1//21BD ． 而菱形ABCD 的对角线AC 、BD 互相垂直．所以，即可得证四边形A 1B 1C 1D 1是矩形[第二小组学生]依次连结矩形四边的中点能得到菱形．如图，点A 1、B 1、C 1、D 1分别是矩形ABCD 各边的中点，所以连结AC 、BD ． 则A 1B 1//21AC ，C 1D 1//21AC ，A 1D 1//21BD ，B 1C 1//21BD ． ∴四边形A1B 1C 1D 1是平行四边形．∵AC ＝BD ．∴A 1B 1＝B 1C 1.∴平行四边形A 1B 1C 1D 1是菱形．(学生也提出不同的证明方法，也应鼓励)[第三小组同学]依次连结平行四边形四边的中点得到的四边形是平行四边形．如图，连接AC 或BD ．因为点A 1、B 1、C 1、D 1分别是平行四边形ABCD 各边的中点，所以A 1B 1//21AC ，C 1D 1//21AC ． 所以A 1B 1//C 1D 1．因此，四边形A 1B 1C 1D 1是平行四边形．[师]很好，同学们能用类比的方法，证明了连结平行四边形及特殊平行四边形各边中点得到的图形，那么大家能否得出一个一般性的结沦，即依次连结四边形各边小点所得的新四边形的形状与哪些线段有关?有怎样的关系?请同学们在小组内展开讨论.学生:全班同学展开热烈的讨论,气氛很好,学生的探究欲望教强烈.[第一小组代表]由前面的讨论可知：所得的四边形的形状与原四边形两条对角线的位置关系和数量关系有关．[第二小组代表]我们完全赞同第一小组的说法.[第三小组代表]我们也完全赞同第一小组的说法.[师]很好，那大家来想一想：到底有怎样的关系呢?[第一小组代表]只要四边形的对角线相等，那么依次连接这个四边形各边中点所得到的四边形就是菱形．[第二小组代表]只要四边形的对角线互相垂直，那么依次连接这个四边形各边中点所得到的四边形就是矩形．[师]还有补充吗?[第三小组代表]只要四边形的对角线既相等又互相垂直，那么依次连接这个四边形各边中点所得到的四边形就是正方形.[师]对角线既不相等也不垂直呢?[生齐声回答]平行四边形.[师]同学们回答的都很好!我们把结果展示出来,并用几何画板演示验证结论的正确性(出示课件)[设计意图]: 使学生经历“探索——发现——猜想——证明”的过程，体会合情推理与演绎推理在获得结论中各自发挥的作用，使学生意识到证明是探索活动的自然延续和必要发展．分小组对问题展开探究，既培养了学生的集体荣誉感，提高了学生的竞争意识，同时也提高了学习效率，几何画板的使用更充分发挥其直观、形象和快捷的作用，最大限度的使学生掌握和理解知识.四、拓展应用（本环节是对教材“做一做”的再创造）1.下图中， ABCDXA 是我市的一条环形公路，X 表示一座水库，B,C 表示两个村庄.已知ABCD 是一个正方形,XAD 是一个等边三角形.现在枣庄市政府要铺设输水管XB 和 XC , 从水库向B,C 两个村庄供水, 请你告诉工人师傅两条水管的夹角∠BXC 的度数为 .变式训练:如图，四边形ABCD 是正方形，⊿ADX 是等边三角形，则∠BXC 的度数为 .学生:认真读题，先独立思考，然后在小组内交流．教师：点拨指导，引导学生分析思路，方法，归纳一般的思路.[设计意图]:通过练习和变式训练及时引导学生加深对所学知识的理解,并能做到触类旁通,不仅提高了解决问题的能力而且发展了学生的发散思维的能力，让学生体会到数学在生活中的广泛应用，进一步感受生活的数学化.五、课堂小结[师]同学生掌握的很好,那么这节课你有哪些收获呢?还有那些困惑?[生] 各抒己见,认真总结反思本节课自己的收获．[设计意图]:培养学生语言表达归纳总结的能力和反思意识，总结研究数学问题的一般方法,形成完整的知识体系，六、达标测试1.如图1,矩形ABCD 的长为3，宽为1，取各边中点后得到的四边形是,它的的面积为.2.如图2,在1题中第二次取各边中点后得到的四边形是,它的面积为.3.如图3,这样继续下去第n次取各边中点后得到的四边形的面积为4.已知:四边形ABCD 的面积为s，第一次取各边中点后得到的四边形的面积为;第二次取各边中点后得到的四边形的面积为;这样继续下去第n次取各边中点后四边形的面积为.[设计意图]: 通过达标检测及时反馈学生对本节课知识点的掌握程度,以便有的放矢进行后续教学.七、作业布置A.课本P104知识技能1B. 在证明1,2,3这三章中，我们从若干条公理及有关定义出发，证明了关于平行线、三角形及四边形等图形的一些命题，请你用一副图表示这一过程.板书设计第三章平行四边形3.2 特殊平行四边形(3)一、依次连结正方形各边的中点二、中点四边形形状教学反思: Array本节紧紧围绕中点四边形的形状这个问题，引导学生利用已有的知识、经验在自主探究的基础上合作交流，形成对知识的建构，由一般到特殊再到一般，符合学生的认知基础和认知规律，体现了新课标的观念.本节课容量较大，但由于采用了几何画板辅助教学手段，为学生创建了一个学习情境，通过图形的变换，使学生很容易发现问题的规律、找出解决问题的方法.不要怕浪费时间,在小组讨论之前，还是应该留给学生充分的独立思考的时间，不要让一些思维活跃的学生的回答代替了其他学生的思考，掩盖了其他学生的疑问．要相信学生,不能抢了学生的主体地位,替学生包办太多.。
第1章特殊平行四边形(教案)2023-2024学年九年级上册数学(教案)(北师大版)
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了特殊平行四边形的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对特殊平行四边形的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
第1章特殊平行四边形（教案）2023-2024学年九年级上册数学（教案）(北师大版)
一、教学内容
第1章特殊平行四边形（教案）
2023-2024学年九年级上册数学（教案）
（北师大版）
1.1矩形的性质与判定
-矩形的定义及性质
-矩形的判定方法
1.2菱形的性质与判定
-菱形的定义及性质
-菱形的判定方法
1.3正方形的性质与判定
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解特殊平行四边形的基本概念。特殊平行四边形是指具有特殊性质的四边形，如矩形、菱形和正方形。它们在几何图形中具有重要地位，广泛应用于日常生活和建筑等领域。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。以长方形门为例，探讨矩形的性质及其在实际中的应用，如门的稳定性与对角线的关系。
3.培养学生的数据分析能力和解决问题的能力，让学生在实际问题中运用特殊平行四边形的知识，提高解决实际问题的能力。
4.培养学生的数学表达和交流能力，学会用数学语言准确地描述特殊平行四边形的性质和判定方法，与他人进行有效的数学交流。
5.培养学生的创新意识和团队合作精神，通过小组合作探究特殊平行四边形相关问题，激发学生的创新思维，提高合作解决问题的能力。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
山东省高密市银鹰文昌中学九年级数学上册《1.4 图形的中心对称》学案(1)(无答案) 青岛版
《1.4 图形的中心对称（1）》学案教学目标1、了解中心对称、对称中心、关于中心的对称点等概念及掌握这些概念解决一些问题．2、复习运用旋转知识作图，•旋转角度变化，•设计出不同的美丽图案来引入旋转180°的特殊旋转──中心对称的概念，并运用它解决一些实际问题．重难点、关键1．重点：利用中心对称、对称中心、关于中心对称点的概念解决一些问题．2．难点与关键：从一般旋转中导入中心对称．一、复习引入请同学们独立完成下题．如图，△ABC绕点O旋转，使点A旋转到点D处，画出旋转后的三角形，•并写出简要作法．二、探索新知问题：作出如图的两个图形绕点O旋转180°的图案，并回答下列的问题：1．以O为旋转中心，旋转180°后两个图形是否重合？2．各对称点绕O旋转180°后，这三点是否在一条直线上？像这样，把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．1．如图，四边形ABCD绕D点旋转180°，请作出旋转后的图案，写出作法并回答．（1）这两个图形是中心对称图形吗？如果是对称中心是哪一点？如果不是，请说明理由．（2）如果是中心对称，那么A、B、C、D关于中心的对称点是哪些点．2．如图，已知AD是△ABC的中线，画出以点D为对称中心，与△AB D•成中心对称的三角形．三、巩固练习教材练习2．四、应用拓展3．如图，在△ABC中，∠C=70°，BC=4，AC=4，现将△ABC沿CB方向平移到△A′B′C′的位置．（1）若平移的距离为3，求△ABC与△A′B′C′重叠部分的面积．（2）若平移的距离为x（0≤x≤4），求△ABC与△A′B′C′重叠部分的面积y，写出y与x的关系式．五、归纳小结（学生归纳，老师点评）六、当堂检测（一）选择题1．在英文字母VWXYZ中，是中心对称的英文字母的个数有（）个．A．1 B．2 C．3 D．42．下面的图案中，是中心对称图形的个数有（）个A．1 B．2 C．3 D．43．如图，把一张长方形ABCD的纸片，沿EF折叠后，ED′与BC的交点为G，•点D、C分别落在D′、C′的位置上，若∠EFG=55°，则∠1=（）A．55° B．125° C．70° D．110°（二）填空题1．关于某一点成中心对称的两个图形，对称点连线必通过_________．2．把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，•那么就说这两个图形是_________图形．3．用两个全等的直角非等腰三角形可以拼成下面图形中的哪几种：_______（•填序号）①长方形；②菱形；③正方形；④一般的平行四边形；⑤等腰三角形；•⑥梯形．三、综合提高题1．仔细观察所列的26个英文字母，将相应的字母填入下表中适当的空格内．A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z对称形式轴对称旋转对称中心对称只有一条对称轴有两条对称轴2．如图，在正方形ABCD中，作出关于P点的中心对称图形，并写出作法．3．如图，是由两个半圆组成的图形，已知点B是AC的中点，•画出此图形关于点B成中心对称的图形．。
山东省高密市银鹰文昌中学九年级数学上册《1.6 中位线定理》学案(2)(无答案) 青岛版
AB D E F G H 《1.6 中位线定理（2）》学案学习目标1、学生能利用三角形中位线定理判断中点四边形的形状；2、感受中点四边形的形状取决于原四边形的两条对角线的位置与长短；3、通过图形变换使学生掌握简单添加辅助线的方法。
学习难点中点四边形的形状判定教学过程一、新知识讲解中点四边形：顺次连接一个四边形四边中点所得四边形称为这个四边形的中点四边形二、观察与猜想依次连接任意四边形各边中点所成的四边形是什么形?请同学们画一画观察并猜想（同学们会出现各种图形，请同学们观察并分析其中的原因） 三、命题的给出与证明:在同学探究的基础上给出结论：中点四边形至少是平行四边形已知:如图,点E 、F 、G 、H 分别是四边形ABCD 各边中点。
求证：四边形EFGH 为平行四边形。
四、分析与探究：1、如果把上题中的“任意四边形”改为“平行四边形”，它的中点四边形是什么形状呢？把“任意四边形”改为“矩形”，它的中点四边形仍是平行四边形吗？有没有更特殊？ 再把它改为“菱形”、“正方形”呢？改成“一般梯形、直角梯形、等腰梯形”呢？结合手中准备的图片，小组探究以下几个问题答案：任意四边形的中点四边形都是___________；平行四边形的中点四边形是_____________；矩形的中点四边形是_______________；菱形的中点四边形是__________________；正方形的中点四边形是__________________；梯形的中点四边形是_________________；直角梯形的中点四边形是________________；等腰梯形的中点四边形是______________。
2、结合刚才的证明过程，小组讨论并思考：（1）、中点四边形的形状与原四边形的什么有密切关系？（2）、要使中点四边形是菱形，原四边形一定要是矩形吗？（3）、要使中点四边形是矩形，原四边形一定要是菱形吗？结论：H G F E A B C D （1）中点四边形的形状与原四边形的 有密切关系；（2）只要原四边形的两条对角线_ _，就能使中点四边形是菱形；（3）只要原四边形的两条对角线 ，就能使中点四边形是矩形；（4）要使中点四边形是正方形，原四边形要符合的条件是 。
九年级数学上册第一章特殊平行四边形3第1课时正方形的性质学案2新版北师大版
1.3正方形的性质与判定第1课时正方形的性质一、学习准备：1、有一组_______相等并且有一个角是________的平行四边形叫做正方形。
有一个角是________的菱形叫做正方形；一组________相等的矩形叫做正方形。
2、正方形既是_____,又是_____,所以它具有_____ 和 _____ 的性质：（1）正方形的四个角都是_____ ,四条边都 _____ ；（2）正方形的对角线_____且 ________,每条对角线平分__________；（3）正方形是_______图形,____________的交点是它的对称中心；（4）正方形是_______图形,两条对角线所在直线,以及过每一组对边中点的直线都是它的对称轴。
如上图,画出该正方形的对称轴。
3、如图,正方形ABCD的对角线把它分成了____个三角形,它们是_____三角形,它们全等吗？请简单说明理由____________________________________________________。
二、学习目标：1．理解正方形的定义, 掌握正方形的性质和判定；2．能运用正方形的性质和判定进行简单的计算与证明．三、自学提示：（一）自主学习：1、正方形具有而一般菱形不具有的性质是（）A. 四条边都相等B. 对角线互相垂直平分C. 对角线相等D. 每一条对角线平分一组对角2、正方形具有而一般矩形不一定具有的性质是（）A. 四个角相等B. 四条边相等C. 对角线互相平分D. 对角线相等3、已知一个正方形的边长为2cm,则对角线长为______。
4、已知一正方形的对角线长为2cm,则它的边长为_______。
5、若正方形的一条对角线长为4cm,则正方形的周长为______,面积为________；对角线的交点到边的距离为_______。
（二）合作探究：6、顺次连接正方形各边中点,得4个等腰直角三角形,则每个小三角形的面积为原正方形面积的______ 。
九年级数学上册《3.2 特殊平行四边形（三）》学案
特殊平行四边形（三）一、学习目标1.再次经历“探讨—发觉—猜想—证明”的进程，发觉决定中点四边形形状的因素，熟练运用学过的各类特殊四边形的识别及性质对中点四边形进行识别，并能对自己的猜想进行证明，进一步进展推理论证的能力。
试探题1：平行四边形转变为菱形需要增加什么条件？2.进一步体会证明的必要性和计算与证明在解决问题中的作用。
试探题2：等腰梯形的中点四边形是什么特殊四边形？如何验证？二、问题与例题问题：1.如图，在ΔABC 中，EF 为ΔABC 的中位线，①若∠BEF=30°，那么∠A= . ②假设EF=8cm, 那么AC= .2.在AC 的下方找一点D,做CD 和AD 的中点G 、H,问EF 和GH 有如何的关系？EH 和FG 呢？3.四边形EFGH 的形状有什么特点？问题2：若是四边形ABCD 变成特殊的四边形，中点四边形EFGH 会有如何的转变呢？问题3：在众多的特殊四边形（平行四边形，矩形，菱形，正方形，等腰梯形，梯形和直角梯形）当选择一种自己感爱好的原四边形来研究中点四边形，并验证结论的正确性。
问题：1.矩形和等腰梯形是形状不同的四边形，什么缘故中点四边形都由平行四边形转变为菱形？2.平行四边形转变为菱形需要增加什么条件？3.你是从什么角度考虑的？4.你从哪儿取得的启发？5.你能用你的发觉说明其它的图形转变吗？例如：原四边形为菱形，其中点四边形为矩形？ 三、目标检测1.四边形ABCD 中，AC=6，BD=8，且AC ⊥BD ，按序连接四边形ABCD 各边中点，取得四边形A 1B 1C 1D 1；再按序连接四边形A 1B 1C 1D 1各边中点，取得四边形A 2B 2C 2D 2……如此进行下去取得四边形A n B n C n D n 。
C A B D图 5E D C B A （2）写出四边形A 1B 1C 1D 1和四边形A 2B 2C 2D 2的面积；（3）写出四边形A n B n C n D n 的面积；（4）求四边形A 5B 5C 5D 5的周长。
山东省高密市银鹰文昌中学九年级数学上册《1.2 平行四
1.2 平行四边形的判定学习目标1、我掌握平行四边形的判定定理1和2，并能简单应用。
2、培养探究精神和发现、归纳能力，数学语言表达和逻缉思维能力。
学习过程课前预习1、平行四边形的定义：____________________________叫做平行四边形。
应用：平行四边形的定义可以作为判定_________________的方法。
2、平行四边形的性质有哪些？从边上看，平行四边形的_____________________________________从角上看，平行四边形的_____________________________________从对角线上看，平行四边形的_________________________________3、预习课本、思考:有哪几种方法判定一个四边形是平行四边形?课中探究一、自学课本，总结判定一个四边形是平行四边形的方法？并分别用数学符号语言表示答：判定方法1________________________________ _ _数学符号语言表示判定方法2数学符号语言表示判定方法3数学符号语言表示判定方法4数学符号语言表示二、探究与交流：1、已知：□ABCD 中，AE=CF ，连接BE 、DF 。
求证：四边形BEDF 是平行四边形. 证明：2、如图，在□ABCD 中，点E 和点F 分别在AD 和BC 上，且DE=BF ，连结CE 和AF ，试说明四边形AFCE 是平行四边形。
三、练一练：1、如图，已知在□ABCD 中， AE 、CF 分别是∠DAB 、∠BCD 的角平分线，试说明四边形AFCE是平行四边形．FC B C A FD B E2、已知：在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，点E 是AB 的中点，连结ED ，并延长使DF=DE ，连结CF 。
求证：四边形ACFE 是平行四边形3、如图, □ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，且E 、F 、G 、H 分别是AO,BO,CO,DO 的中点.求证：四边形EFGH 是平行四边形．四、随堂测验1、已知下面命题：①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；②一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；③两组对角相等的四边形是平行四边形；④有一个角与相邻的两个角都互补的四边形是平行四边形。
山东省高密市银鹰文昌中学九年级数学上册 1.2 怎样判
AC BDE 1.2怎样判定三角形相似学习目标：1.掌握识别两个三角形相似的方法：两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似；2.会用这种方法判定两个三角形是否相似。
学习过程： 课前预习1.下列各组三角形一定相似的是（ ）A ．两个直角三角形B ．两个钝角三角形C ．两个等腰三角形D ．两个等边三角形 2.△ABC 的两个角分别是60°和72°，和△A B C '''的两个角分别是 60°和48°，△ABC 和△A B C '''3.如图，D 是△ABC 的边AC 上一点，连接BD ，△ABC ∽△BDC,则需 要添加的条件是4.如图，E 、F 分别是△ABC 的边BC 上的点，DE ∥AB,DF ∥AC , 求证：△ABC ∽△DE F.5.如图，已知△ABC 与△ADE 的边DE 、AB 相交于O ，且∠1＝∠2＝∠3.（1）证明△ADO ∽△EBO.（2）证明△ADE ∽△ABC.课内探究探究：可否用类似于判定三角形全等的SAS 方法，能否通过两个三角形的两组对应边的比相等和它们对应的夹角相等，来判定两个三角形相似呢？ 结论： 三角形相似的判定方法2。
例题精讲：例1．如图，AD=3，AE=4，BE=5，CD=9，△ADE 与△ABC 相似吗？说明理由。
例2． 已知：如图，在四边形ABCD 中，∠B=∠ACD ，AB=6，BC=4，D CBAD C B A 213E O第5题AB CDE F第4题AC=5，CD=217，求AD 的长．挑战自我如图，ABCD ，CDEF ，EFGH 是三个相连的正方形，连接AC ，AF ，AG ，你能证明∠FA C=∠AGC 吗？试一试。
跟踪训练1．如图，△ACD 与△ABC 相似的条件是（ ） A. AC ：CD=AB ：BC B. CD:AD=AB:ACC. AC 2=AD ﹒ABD. CD 2=AD ﹒DB2.在△ABC 和△A ′B ′C ′中，∠B=B ′，AD ，A ′D ′分别是△ABC ，△A ′B ′C ′的角平分线，且AB A B BD B D ''=''，△ABC 与△A ′B ′C ′相似吗？说明你的理由.3．如图，在△ABC 中，D ，E 分别是边AB ，AC 上的点，且22,33AD AB AE AC ==， DE ∥BC 吗？为什么？ACBD E达标检测1．在△ABC中∠B=30°，AB=5㎝，AC=4㎝，在△A’B’C’中，∠B’=30°A’B’=10㎝，A’C’=8㎝，这两个三角形一定相似吗？2．如图，△ABC中，点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，求证：△ABC∽△DEF．课后延伸1．如图，AB•AC=AD•AE，且∠1=∠2，求证：△ABC∽△AED．2．已知：如图，P为△ABC中线AD上的一点，且BD2=PD•AD，求证：△ADC∽△CDP．3．如图，在△ABC中，点D在边BC上，∠BAC=∠ADC，AC=8，BC=16，求CD的长。
2019-2020学年九年级数学上册-3.2-特殊的平行四边形教案(3)-北师大版
2019-2020学年九年级数学上册 3.2 特殊的平行四边形教案（3） 北师大版 教学过程 一．巧设情境 引入新知 师: 通过前几节内容的学习，我们进一步理解了平行四边形及特殊平行四边形的性质定理和判定定理． 生：大多数同学能够说出定理。
师: 这节课我们来应用它们证明和计算一些题．下面大家来猜一猜，想一想 依次连接任意四边形各边的中点可以得到一个平行四边形．那么，依次连接正方形各边的中点．(如图)能得到—个怎样的图形呢?先猜一猜，再证明．设计意图：让学生回忆前面曾讨论的一个问题的特殊化，使学生经历猜测、证明的过程，提AA 1B B 1 CC 1D D 1高学生的学习兴趣。
二．小组合作共同探索[生甲]依次连结正方形各边的中点得到的四边形是正方形．[生乙]证明：∵四边形ABCD是正方形．∴∠A＝∠B=∠C=∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝DA．又∵A1、B1、C1、D1分别是边AB、BC、CD、DA的中点。
∴AA1＝BA＝BB1＝B1C＝CC1＝C1D＝DD1＝D1A．∴△AD1A1≌△BA1B1≌△CB1C1≌△DC1D1．∴A1B1＝B1C1＝C1D1＝D1A1．∵∠A＝∠B＝90°，AA1＝AD1，A1B=BB1，∴∠AA1D1=∠BA1B1=45°．∴∠D1A1B1＝90°．∴四边形A1B1C1D1是正方形．师: 很好，这个题同学们是先证明了四边形A1B1C1D1的四条边相等，即是菱形，然后又证明了这个四边形的一个角是直角，即有一个角为直角的菱形是正方形，从而得证四边形A1B1C1D1是正方形．生[生丙]因为A1、B1是边AB、DC的中点，所以，若连结对角线AC，则A1B1是△ABC的中位线，同理可知C1D1是△ADC的中位线，同样，连结对角线BD，也可知A1D1是△ABD的中位线，B1C1是△BDC的中位线，这样由中位线的性质定理和正方形的对角线相等可得知A1B1、B1C1、C1D1、D1A1，是相等的，然后再证，有一个角是90°，这样也可以证明：四边形A1B1C1D1是正方形．老师，你说这样可以吗?[生齐声]可以．[师]对，证明四边形A1B1C1D1的四条边相等时，可以用三角形全等，也可以用中位线的性质定理和正方形的性质来证明．大家要灵活应用这些性质，接下来同学们来想一想，议一议设计意图:鼓励学生大胆探索新颖独特的证明思路和方法，提高学生的逻辑思维水平。
山东省高密市银鹰文昌中学九年级数学上册《1.3 正方形性质及判定》学案(无答案) 青岛版
1.3 正方形性质及判定学习目标：1．掌握正方形的概念、性质和判定，并会用它们进行有关的论证和计算．2．理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别。
课前预习1、叫做正方形2、正方形既是矩形又是菱形，它都有什么性质呢？（1）边的性质：；（2）角的性质：；（3）对角线的性质：；3、正方形具有但矩形不一定具有的性质是（）A．四个角都是直角 B．对角线互相平分 C．对角相等 D．对角线互相垂直4、正方形ABCD的对角线交于点O，两条对角线长之和为8,则∠AOB= ，∠OAB= ，BD= ，AB= ，正方形ABCD 的周长= ，正方形ABCD的面积= 。
5、如图，以正方形ABCD的边BC为边向其内部作等边PBC三角形，连结AP，DP，作PE⊥CD.若AB＝2，则∠PCD＝______，∠PDC＝______，∠APD＝______，PE＝_____，S△PCD＝_______课中探究一、自主总结：正方形的判定方法：（1）的平行四边形是正方形（2）的矩形是正方形（3）的菱形是正方形（4）对角线的四边形是正方形（5）对角线的平行四边形是正方形（6）对角线的矩形是正方形（7）对角线的菱形是正方形二、合作交流1、如图，已知：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是∠ACB的平分线，交AB于D，作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E、F．求证：四边形DECF是正方形．PABDE FEDCBADB C A E F2、如图，以△ABC 的边AB 、AC 为边的等边三角形ABD 和等 边三角形ACE ，四边形ADFE 是平行四边形．（1）当∠BAC 满足 时，平行四边形ADFE 是矩形 （2）当∠BAC 满足 时，平行四边形ADFE 不存在 （3）当△ABC 满足 时，平行四边形ADFE 是菱形 （4）当△ABC 满足 时，平行四边形ADFE 是正方形三、自主展示1、判断下列命题是否正确，并说明理由.（1）有一组邻边相等且有一个角是直角的四边形是正方形;（2）有一个角是直角的平行四边形是正方形;（3）对角线相等的菱形是正方形;（4）对角线互相垂直的矩形是正方形;（5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形;（6）一个角是直角且对角线互相平分且相等的四边形是正方形;2、已知，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，则下列能判断它是正方形的条件的是：（ ）A ．AO=BO =CO=DO AC ⊥BDB ．AC=BC=CD=DAC ．AO=CO ，BO=DO ，AC ⊥BD D ．AB=BC CD ⊥DA四、当堂检测 1、如图，在正方形ABCD 中，E 为对角线AC 上一点，连接EB 、ED ．延长BE 交AD 于点F ，若∠DEB ＝ 140 ，则∠AFE =2、如图，D 是△ABC 的边BC 上的中点，DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，垂足分别为E 、F ，且BF ＝CE ，∠A ＝90°，试判断四边形AFDE 是怎样的四边形，并证明你的结论.课后拓展1、如图，P 为正方形ABCD 的对角线BD 上任一点，过点P 作PM ⊥BC于M ，PN ⊥CD 于N ，连结PA 、MN 。
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《1.3 特殊的平行四边形（3）》学案
学习目标：1．掌握正方形的概念、性质和判定，并会用它们进行有关的论证和计算．2．理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别。
学习重点：掌握正方形的概念、性质和判定，并会用它们进行有关的论证和计算
学习难点：理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别。
学习过程：
一、学习新知
自学教材19页—20页内容完成以下题目：
1、叫做正方形。
正方形是________的矩形，也是_______
的菱形。
2、从正方形的意义可以探究正方形具有的性质：
（1）正方形具有平行四边形具有的一切性质。
（2）正方形具有矩形具有的一切性质。
（3）正方形具有菱形具有的一切性质。
（4）正方形的对角线具有的性质是___________________________________.
3、正方形的判定方法是：
（1）_____________________________________的矩形是正方形。
（2）_____________________________________的菱形是正方形。
二、应用举例：
例题1：已知：如图，正方形ABCD中，E为B C上一点，AF平分∠DAE交CD于F，求证：AE=BE+DF．
例题2：已知：如图，△ABC中，∠C=90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F．求证：四边形CF DE是正方形．
三、随堂练习
1．已知：如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且DE=BF．求证：EA⊥AF．
2．已知：如图，正方形ABCD 中，对角线的交点为O ，E 是OB 上的一点，DG ⊥AE 于G ，DG 交OA 于F ．求证：OE=OF
四、课后小结：正方形的概念、性质和判定，正方形与平行四边
形、矩形、菱形的联系和区别。
五、当堂检测
1、正方形的四条边____ __，四个角___ ____，两条对角线____ ____．
2、在四边形ABCD 中，O 是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（ ）
（A ）AC=BD ，AB ∥CD ，AB=CD （B ）AD ∥BC ，∠A=∠C （C ）AO=BO=CO=DO ，AC ⊥BD （D ）AO=CO ，BO=DO ，AB=BC
3、如图，过矩形ABCD 的四个顶点作对角线AC 、BD 的平行线，分别相交于E 、F 、G 、H 四点，则四边形EFGH 为（ ）
A.平行四边形 B 、矩形 C 、菱形 D. 正方形
4、下列说法是否正确，并说明理由． ①对角线相等的菱形是正方形；（ ） ②对角线互相垂直的矩形是正方形；（ ）
③对角线垂直且相等的四边形是正方形；（ ）
④四条边都相等的四边形是正方形；（ ）
⑤四个角相等的四边形是正方形．（ ）
5、如图，在正方形ABCD 中，E 为DC 边上的点，连接BE ，将△BCE 绕点C•顺时针方向旋转90°得到△DCF ，连接EF ．若∠BEC=60°，
则∠EFD 的度数为（ ）
（A ）10° （B ）15° （C ）20° （D ）25°
6、已知：如图，四边形ABCD 为正方形，E 、F 分别为CD 、CB 延长线上的点，且DE ＝BF ．求证：∠AFE ＝∠AEF
A B C D E F A
D
C
B H E F G。