江西省兴国县将军中学2013-2014学年高二下学期第一次考试数学(理)试卷

满分：150分 考试时间：120分钟一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一个正确．每小题5分，共50分）1．复数34343i zi +=+-，则z 等于 （ ） A ．3i + B ．3i - C ．4i + D ．4i - 2．已知命题p ：∀x ∈R,2x <3x ；命题q ：∃x ∈R ，x 3＝1－x 2，则下列命题中为真命题的是( )A ．p ∧qB ．p ∧⌝qC ．⌝p ∧qD ．⌝p ∧⌝q3．若函数2()2ln f x x x =-在其定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)内不是单调函数，则实数k 的取值范围是 ( )A ．[1，＋∞)B ．[1，32)C ．[1,2)D ．[32，2) 4． 下列四个几何体中，几何体只有正视图和侧视图相同的是 ( )A ．①②B ．①③C ．①④D ．②④5．已知a 、b 是异面直线，a ⊥平面α，b ⊥平面β，则α、β的位置关系是 （ ）A ．相交B ．平行C ．重合D ．不能确定6．设椭圆的两个焦点分别为F 1,F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1F 2P为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为 （ ）A B C ．2- D 1-7.如图所示，正方形O′A′B′C′的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是 ( ) A ．6 B ．8 C ．2＋3 2 D ．2＋2 38．已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(－1,4，－2)，c ＝(7,5，λ)，若a ，b ，c三向量共面，则实数λ等于 ( )A.627B.637C.607D.6579．设离心率为e 的双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，直线l 过焦点F ， 且斜率为k ，则直线l 与双曲线C 的左、右两支都相交的充要条件是（ ）A ．221k e ->B ．221k e -<C ．221e k ->D ．221e k -<10．已知正三棱锥P —ABC 的高PO 的长为h ，点D 为侧棱PC 的中点，PO 与BD 所成，则正三棱锥P —ABC 的体积为 （ ）A 3B 3C 3D 3 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在题中横线上） 11．计算定积分10(2)x e x dx +⎰的值为 。

12．如图：长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB=3，AD=AA 1=2，E 为AB 上一点，且AE=2EB ，F为CC 1的中点，P 为C 1D 1上动点，当E F ⊥CP 时，PC 1= ．13．已知过球面上,,A B C 三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且2AB BC CA ===，则球的表面积为 .14．已知,,a b l 表示三条不同的直线，,,αβγ表示三个不同的平面，有下列四个命题：①若a αβ=，b βγ=，且//a b ，则//αγ；②若,a b 相交，且都在,αβ外，//,//,//,//a a b b αβαβ，则//αβ；③若,,,a b a b αβαββ⊥=⊂⊥，则b α⊥；④若,,,a b l a l b αα⊂⊂⊥⊥，则l α⊥。

其中正确命题的序号是 。

三、选做题：请在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按第一题评阅计分，本题5分15．（1）在平面直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为22x t y t =+⎧⎨=-⎩（参数t R ∈），圆C 的参数方程为2cos 2sin 2x y θθ=⎧⎨=+⎩（参数[0,2)θπ∈），直线l 交圆C 于A 、B 两点，则||AB = .（2）不等式2|1||2|,(1)x x a a a -++≤+>的解集不是空集，则实数a 的最小值为四、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤）16．（本小题满分12分）已知向量2(cos ,1),(3sin ,cos )222x x x m n =-=，设函数()f x m n =∙＋1（Ⅰ）若[0,]2x π∈， 11()10f x =,求cos x 的值；（Ⅱ）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是,,a b c ，且满足2cos 2b A c ≤，求()f B的取值范围．17．（本小题满分12分）如图四棱锥P —ABCD ，底面ABCD 为矩形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，其中BC=2AB=2PA=6，M 、N 为侧棱PC 上的三等分点。

（Ⅰ）证明：AN ∥平面MBD ；（Ⅱ）求三棱锥N —MBD 的体积。

18（本小题满分12分）斜三棱柱ABC —A 1B 1C1的各棱长为a ，侧棱与底面所成的角为60o ，且侧面ABB 1A 1垂直于底面。

（Ⅰ）判断B 1C 与AC 1是否垂直，并证明你的结论；（Ⅱ）求三棱柱的全面积。

19（本小题满分12分）如下图，在直棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ∥BC ，∠BAD ＝90°，AC ⊥BD ，BC ＝1，AD ＝AA 1＝3.（Ⅰ）求异面直线AD 1与BD 所成的角的余弦值；（Ⅱ）求直线B 1C 1与平面ACD 1所成角的正弦值．A B B 1 C A 1 C 120（本小题满分13分）设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的一个顶点与抛物线：x 2＝4 2y 的焦点重合，F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点，离心率e ＝33，过椭圆右焦点F 2的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）是否存在直线l ，使得OM →·ON →＝－1，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．21．（本小题满分14分）已知函数2ln )(bx x a x f +=在点))1(,1(f 处的切线方程为01=--y x ．（Ⅰ）求)(x f 的表达式;（Ⅱ）若)(x f 满足)()(x g x f ≥恒成立,则称)(x f 是)(x g 的一个“上界函数”,如果函数)(x f 为x xt x g ln )(-=（∈t R ）的一个“上界函数”,求t 的取值范围; （Ⅲ）当0>m 时,讨论x mm x x f x F 12)()(22+-+=在区间（0,2）上极值点的个数．高二数学（理）参考答案一．选择题：BCBDA DBDCC二．填空题11．e ； 12．2； 13．649π； 14．②③三．选做题：（1）； （2）2。

四．解答题16．解：（1）211()cos cos 1cos 22222x x x f x x x =-+=-+ 1sin()62x π=-+，∵11()10f x =,∴3sin()65x π-=； 又∵[0,]2x π∈，∴[,]663x πππ-∈-，即4cos()65x π-=3cos cos[()]cos()cos sin()sin 66666610x x x x ππππππ∴=-+=---=（2）由2cos 2b A c ≤得2sin cos 2sin B A C A ≤可得2sin cos 2sin()B A A B A ≤+-2sin cos cos (0,]6A B A B B π≥⇒≥⇒∈ ∴1sin()(,0]62B π-∈-，即11()sin()()(0,]622f B B f B π=-+⇒∈∴2222S S 2S =+=+=侧全底 19．解：(1)易知，AB ，AD ，AA 1两两垂直．如图2，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．设AB ＝t ，则相关各点的坐标为：A (0,0,0)，B (t,0,0)，B 1(t,0,3)，C (t,1,0)，C 1(t,1,3)，D (0,3,0)，D 1(0,3,3)．从而1B D ＝(－t,3，－3)，AC ＝(t,1,0)，BD ＝(－t,3,0)．因为AC ⊥BD ，所以AC ·BD ＝－t 2＋3＋0＝0.解得t ＝3或＝－3(舍去)． ∴BD ，而1(0,3,3)AD = 111cos ,||||BD AD BD AD BD AD= 332==⨯于是1B D ＝(－3，3，－3)，AC ＝(3，1,0)．(2)由(1)知，1AD ＝(0,3,3)，AC ＝(3，1,0)，11B C ＝(0,1,0)．设n ＝(x ，y ，z )是平面ACD 1的一个法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·AC →＝0，n ·AD 1→＝0，即⎩⎨⎧3x ＋y ＝0，3y ＋3z ＝0.令x ＝1，则n ＝(1，－3，3)． 设直线B 1C 1与平面ACD 1所成角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，11B C 〉|＝|n ·B 1C 1→|n |·|B 1C 1→||＝37＝217. 即直线B 1C 1与平面ACD 1所成角的正弦值为217. 20．解 (1)椭圆的顶点为(0，2)，即b ＝ 2.e ＝c a ＝ 1－b 2a 2＝33，解得a ＝3， ∴椭圆的标准方程为x 23＋y 22＝1. (2)由题可知，直线l 与椭圆必相交．①当直线斜率不存在时，经检验不合题意．②设存在直线l 为y ＝k (x －1)，且M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧ x 23＋y 22＝1，y ＝k x －得(2＋3k 2)x 2－6k 2x ＋3k 2－6＝0. x 1＋x 2＝6k 22＋3k 2，x 1·x 2＝3k 2－62＋3k 2， OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋k 2[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]＝3k 2－62＋3k 2＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫3k 2－62＋3k 2－6k 22＋3k 2＋1＝－k 2－62＋3k 2＝－1. 所以k ＝±2，故直线l 的方程为y ＝2(x －1)或y ＝－2(x －1)．21、（1）a=1 b=0 3分（2）∵x xt xln ln -≥恒成立 ∴x x t ln 2≤恒成立，()2ln ,h x x x =令()22ln h x x '=+则，e x x h 1,0)(≥≥'则令， ∴当0)(,10<'<<x h ex 时， ∴)(x h 的最小值为e e h 2)1(-=，∴et 2-≤ 8分 （3）mx mx m x m m x x x F )1)((11)(2--=+-+='，令)(x F =0，得mx m x 1==或 当 210≤<m 时，21≥m，m x =为)(x F 在区间（0,2）上的极大值点 当121<<m 时，211<<m ，mx m x 1==和为)(x F 在区间（0,2）上的极值点 当1=m 时，)(x F 在区间（0,2）上无极值点当21<<m 时，1121<<m ，mx m x 1==和为)(x F 在区间（0,2）上的极值点 当2=m 时，211=m ，mx 1=为)(x F 在区间（0,2）上的极大值点 当2>m 时，2110<<m ，mx 1=为)(x F 在区间（0,2）上的极大值点 由以上可知：当121<<m 或21<<m 时，)(x F 在区间（0,2）上有两个极值点 当210≤<m 或2≥m 时，)(x F 在区间（0,2）上有一个极值点； 当1=m 时，)(x F 在区间（0,2）上无极值点 14分。