函数知识题型汇总
表示函数的方法(3知识点+4题型+强化训练)(学生版) 24-2025学年高一数学上学期必修第一册
3.1.2 表示函数的方法课程标准学习目标（1）在实际情境中, 会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法) 表示函数, 理解函数图象的作用。
（1）会求函数的解析式; （难点)（2）列表法表示函数（3）图象法表示函数。
知识点01 解析法把常量和表示自变量的字母用一系列运算符号连接起来得到的式子，叫作解析式（也叫作函数表达式或函数关系式），解析法就是用解析式来表示函数的方法。
比如正方形周长C 与边长a 间的解析式为C =4a ，圆的面积S 与半径r 的解析式S =πr 2等.求函数解析式的方法① 配凑法 ② 待定系数法③ 换元法④ 构造方程组法 ⑤ 代入法【即学即练1】已知函数f (x )=1x ，则f (x +1)=（ ）A ．f (x +1)=1x+1B ．f (x +1)=1x―1C ．f (x +1)=2x―1D ．f (x +1)=2x+1知识点02 列表法如上表，我们很容易看到y与r之间的函数关系.在初中刚学画一次函数时，想了解其图像是一直线，第一步就是列表，其实就是用表格法表示一次函数.【即学即练2】函数f(x)与g(x)的对应关系如下表．x―101x123f(x)132g(x)0―11则g(f(―1))的值为（）A．0B．3C．1D．―1知识点03 图象法如上图，很清晰的看到某天空气质量指数I与时间t两个变量之间的关系，特别是其趋势.数学中的“数形结合”也就是这回事，它是数学一大思想，在高中解题中识图和画图尤为重要.【即学即练3】购买某种饮料x听，所需钱数是y元．若每听2元，试分别用解析法、列表法、图象法将y表示成x(x∈{1,2,3,4})的函数．【题型一：解析法表示函数】例1．若函数y=f(x)对任意x∈R，均有f(x+y)=f(x)+f(y)，则下列函数可以为y=f(x)解析式的是（）A．f(x)=x+1B．f(x)=2x―1C．f(x)=2x D．f(x)=x2+x变式1-1．一个等腰三角形的周长为20，底边长y是一腰长x的函数，则（）A．y=10―x(0<x≤10)B．y=10―x(0<x<10)C．y=20―2x(5≤x≤10)D．y=20―2x(5<x<10)变式1-2．下列函数中，对任意x，不满足2f(x)=f(2x)的是（）A．f(x)=|x|B．f(x)=―2xC．f(x)=x―|x|D．f(x)=x―1变式1-3．定义在R上的函数f(x)满足f(xy)=f(x)+f(y)，且f(4)=8，则f（）A B．2C．4D．6变式1-4．若函数f(x)满足f(a+b)=f(a)+f(b)1―f(a)f(b)，且f(2)=12，f(3)=13，则f(7)=A．1B．3C．43D．83【方法技巧与总结】理解函数解析式y=f(x)，仅是用一系列运算符号连接起来得到的式子，它对定义域内任何一个值都是成立的；比如①函数f(x)=x2(x>0)，可取任何大于0的值进行赋值；②若函数f(x)满足f(xy)=f(x)+f(y)，则x ,y 取任何实数均可使得等式成立.【题型二：求函数的解析式】方法1 待定系数法例2．若二次函数f(x)满足f(x +1)―f(x)=2x ，且f(0)=1，则f(x)的表达式为（ ）A ．f(x)=―x 2―x ―1B ．f(x)=―x 2+x ―1C ．f(x)=x 2―x ―1D ．f(x)=x 2―x +1变式2-1．已知f(x)是一次函数，且2f(2)―3f(1)=5，2f(0)―f(―1)=3，则f(x)=（ ）A ．3x ―2B ．3x +2C ．92x ―12D ．4x ―1变式2-2．已知函数f(x)是一次函数，且f[f(x)―2x]=3，则f(5)=（ ）A ．11B ．9C ．7D ．5变式2-3．已知二次函数f (x )满足f(2)=―1,f(1―x)=f(x)，且f (x )的最大值是8，则此二次函数的解析式为f(x)=（ ）A ．―4x 2+4x +7B ．4x 2+4x +7C ．―4x 2―4x +7D ．―4x 2+4x ―7方法2 换元法例3．已知函数f 2)=x ―，则f(x)的解析式为（ ）A ．f(x)=x 2+1(x ≥0)B ．f(x)=x 2+1(x ≥―2)C ．f(x)=x 2(x ≥0)D ．f(x)=x 2(x ≥―2)变式3-1．已知函数f(1―x)=1―x2x2(x≠0)，则f(x)=（）A．1(x―1)2―1(x≠0)B．1(x―1)2―1(x≠1)C．4(x―1)2―1(x≠0)D．4(x―1)2―1(x≠1)变式3-2．设函数f1+=2x+1，则f(x)的表达式为（）A．1+x1―x (x≠1)B．1+xx―1(x≠1)C．1―x1+x (x≠―1)D．2xx+1(x≠―1)变式3-3．已知f1)=x+3，则f(x)=（）A．x2―2x+2(x≥0)B．x2―2x+4(x≥1)C．x2―2x+4(x≥0)D．x2―2x+2(x≥1)方法3 方程组法例4．已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足f(x)=―15x，则f(2)的值为（）A．152B．154C．174D．172变式4-1．若函数f(x)，g(x)满足f(x)―=3x―4x，且f(x)+g(x)=2x+6，则f(2)+g(―1)=（）A．6B．7C．8D．9变式4-2．已知函数f(x)满足f(x)+2f(2―x)=1x―1，则f(3)的值为（）A．―73B．―109C．―415D．―16变式4-3．已知定义在R上的函数f(x)，满足f(x)+2f(―x)=2x+12.(1)求f(x)的解析式；(2)若点P(a,b)在y=f(x)图像上自由运动，求4a+2b的最小值.【方法技巧与总结】求函数解析式，可视情况而定，1 若已知函数类型，可用待定系数法；2 若求f(g(x))型函数解析式，可用换元法，此时要注意新自变量的取值范围；3 若求满足某函数方程的函数解析式，则用方程组的方法.【题型三：列表法表示函数】例5．设已知函数f(x),g(x)如下表所示：x12345f(x)54321g(x)43215则不等式f(g(x))>g(f(x))的解集为（）A．{1,3}B．{5,3}C．{2,3,4}D．{5}变式5-1．已知函数f(x),g(x)分别由下表给出：则f[g(2)]的值是（）x123f(x)131g(x)321A．1B．2C．3D．1和2变式5-2．观察下表：x―3―2―1123f(x)51―1―335g(x)1423―2―4则f[f(―1)―g(3)]=（）A．―4B．―3C．3D．5变式5-3．德国数学家狄利克在1837年时提出：“如果对于x的每一个值，y总有一个完全确定的值与之对应，则y是x的函数，”这个定义较清楚地说明了函数的内涵.只要有一个法则，使得取值范围中的每一个值，有一个确定的y和它对应就行了，不管这个对应的法则是公式、图象，表格或是其它形式.已知函数f(x)由下表给出，则f10f）x x≤11<x<2x≥2y123A．0B．1C．2D．3【方法技巧与总结】表格法表示函数，要注意看清楚变量数值之间的对应关系.【题型四：图象法表示函数】例6．如图所示的4个图象中，与所给3个事件最吻合的顺序为（）①我离开家后，心情愉快，缓慢行进，但最后发现快迟到时，加速前进；②我骑着自行车上学，但中途车坏了，我修理好又以原来的速度前进；③我快速的骑着自行车，最后发现时间充足，又减缓了速度.A．③①②B．③④②C．②①③D．②④③变式6-1．小明骑车上学，开始时匀速行驶，中途因车流量大而减速行驶，后为了赶时间加速行驶，与以上事件吻合得最好的图象是（）A．B．C．D．变式6-2．俗话说，“一分耕耘，一分收获”．那么，在实际生活中，如果把收获看成付出的函数，它们之间的关系可以怎样描述呢？情境甲：当以匀速的方式驾驶汽车时，行驶的里程与所用的时间之间的关系；情境乙：家长过分宠爱孩子，有时还有可能付出增加会导致收获减少；情境丙：在我们学习新的知识时，可能一开始效率会比较高，单位时间的付出得到的收获会比较大，但随着付出的时间越来越多，单位时间的付出得到的收获会变少．请问依次与下面三个图象所表示的收获与付出的关系相对应的情境正确的一项是（）A．甲、乙、丙B．丙、甲、乙C．甲、丙、乙D．乙、丙、甲变式6-3．已知完成某项任务的时间t与参加完成此项任务的人数x之间满足关系式t=ax+bx(a∈R,b∈R)，当x=2时，t=100；当x=4时，t=53，且参加此项任务的人数不能超过8．（1）写出t关于x的解析式；（2）用列表法表示此函数；（3）画出此函数的图象．【方法技巧与总结】图象法表示函数，达到“一目了然”的效果，对于函数图象还注意函数的定义域，函数图象的上升下降趋势，增减趋势的缓急等等！一、单选题1．已知定义在[―2,2]上的函数y=f(x)表示为:x[―2,0)0(0,2]y10―2设f(1)=m，f(x)的值域为M，则（）A．m=1,M={―2,0,1}B．m=―2,M={―2,0,1}C．m=1,M={y|―2≤y≤1}D．m=1,M={y|―2≤y≤1}2.函数y=g(x)的对应关系如下表所示，函数y=f(x)的图象是如图所示的曲线ABC，则g(f(3)―1)的值为（）x123g(x)20230―2023A．2023B．0C．―1D．―20233.设f(x)=xx2+1，则( )A．f(x)B．―f(x)C．1f(x)D．―1f(x)4.如图，公园里有一处扇形花坛，小明同学从A点出发，沿花坛外侧的小路顺时针方向匀速走了一圈(A→B→O→A)，则小明到O点的直线距离y与他从A点出发后运动的时间t之间的函数图象大致是（）A．B．C．D．5.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c，且0<f(―1)=f(―2)=f(―3)≤3，则（）A．c≤3B．3<c≤6C．6<c≤9D．c>96.已知f+1)=x+3，则f(x)的解析式为f(x)=（）A．x2―2x+4B．x2+3C．x2―2x+4(x≥1)D．x2+3(x≥1)7.函数f(x)满足2f(x)―f(1―x)=x，则函数f(x)=（）A．x―2B．x+13C．x―13D．―x+28.某农贸市场出售西红柿，当价格上涨时，供给量相应增加，而需求量相应减少，具体调查结果如下表：表一市场供给量单价（元/kg）2 2.4 2.8 3.2 3.64供给量（1000kg）506070758090表一市场需求量单价（元/kg）4 3.4 2.9 2.6 2.32需求量（1000kg）506065707580根据以上提供的信息，市场供需平衡点（即供给量和需求量相等时的单价）应在区间（ ）A．(2.3,2.6)内B．(2.4,2.6)内C．(2.6,2.8)内D．(2.8,2.9)内二、多选题9．某工厂8年来某产品产量y与时间t的函数关系如图，则以下说法中正确的是（）A．前2年的产品产量增长速度越来越快B．前2年的产品产量增长速度越来越慢C．第2年后，这种产品停止生产D．第2年后，这种产品产量保持不变10.下列说法正确的是（）A．函数f(x+1)的定义域为[―2,2)，则函数f(x)的定义域为[―1,3)B．f(x)=x2x和g(x)=x表示同一个函数C．函数y=1x2+3的值域为0D．定义在R上的函数f(x)满足2f(x)―f(―x)=x+1，则f(x)=x3+111.已知f(0)=12，f(x+y)=f(x)f(1―y)+f(y)f(1―x)，则（）A．f(1)=12B．f(x)=12恒成立C．f(x+y)=2f(x)f(y)D．满足条件的f(x)不止一个三、填空题12．下列表示函数y=f(x)，则f(11)=．x0<x<55≤x<1010≤x<1515≤x≤20y234513.已知y=f(x)是二次函数，且f(0)=1，f(x+1)―f(x)=2x，则y=f(x)=．14.若正整数m，n只有1为公约数，则称m，n互质.对于正整数n，φ(n)是小于或等于n的正整数中与n互质的数的个数，函数φ(n)以其首位研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如：φ(3)=2，φ(7)=6，φ(9)=6，则下列说法正确的序号是．①φ(5)=φ(10)；②φ(2n―1)=1；③φ(32)=16；④φ(2n+2)>φ(2n)，n是正整数．四、解答题15．下图所示为某市一天24小时内的气温变化图，根据图象回答下列问题.(1)全天的最高气温、最低气温分别是多少？(2)大约在什么时刻，气温为0°C？(3)大约在什么时刻内，气温在0°C以上？(4)变量Q是关于变量t的函数吗？16.已知f(x)=1（x∈R，且x≠―1），g(x)=x2+2(x∈R)．1+x(1)求f(2)，g(2)的值；(2)求f(g(2))，g(f(2))的值；(3)求f(x)和g(x―1)的值域．17.已知二次函数f(x)满足f(x)=f(2―x)，且f(0)=―3，f(1)=―4.(1)求函数f(x)的解析式；(2)若g(x)=x+1，比较f(x)与g(x)的大小.18.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R)只能同时满足下列三个条件中的两个：①a=2；②不等式f(x)>0的解集为{x|―1<x<3 }；③函数f(x)的最大值为4.(1)请写出满足题意的两个条件的序号，并求出函数f(x)的解析式；(2)求关于x的不等式f(x)≥(m―1)x2+2(m∈R)的解集.19．已知函数y=f(x)与y=g(x)的定义域均为D，若对任意的x1､x2∈D(x1≠x2)都有|g(x1)―g(x2)|<|f(x1)―f(x2)|成立，则称函数y=g(x)是函数y=f(x)在D上的“L函数”.(1)若f(x)=3x+1,g(x)=x,D=R，判断函数y=g(x)是否是函数y=f(x)在D上的“L函数”，并说明理由；(2)若f(x)=x2+2,g(x)==[0,+∞)，函数y=g(x)是函数y=f(x)在D上的“L函数”，求实数a的取值范围；(3)若f(x)=x,D=[0,2]，函数y=g(x)是函数y=f(x)在D上的“L函数”，且g(0)=g(2)，求证：对任意的x1､x2∈D(x1≠x2)都有|g(x1)―g(x2)|<1.。
高中数学函数知识点归纳及常考题型
高中数学函数知识点归纳及常考题型1.映射定义：对于非空集合A和B，若集合A中的每个元素a都与集合B中唯一的元素b对应，则称从A到B的对应为映射。
当集合A中有m个元素，集合B中有n个元素时，从A到B可以建立n个映射。
2.函数定义：函数是定义在非空数集A和B上的映射f。
此时，数集A是函数f(x)的定义域，集合C={f(x)|x∈A}是函数的值域，且C是B的子集。
3.函数的三个要素是定义域、对应法则和值域。
判断两个函数是否相同，需要同时考虑它们的定义域和值域以及对应法则。
4.求函数的定义域通常需要考虑以下因素：①分母不为0；②偶次根式中被开方数不小于0；③对数的真数大于0，底数大于零且不等于1；④零指数幂的底数不等于零；⑤实际问题需要考虑实际意义；⑥正切函数角的终边不在y轴上。
5.求解函数解析式的方法包括：①配凑法；②换元法；③待定系数法；④赋值法；⑤消元法等。
6.求函数值域的方法包括：①配方法；②分离常数法；③逆求法；④换元法；⑤判别式法；⑥单调性法等。
7.函数单调性的证明方法：对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值x1和x2，当x1f(x2)），则称f(x)在该区间上是增函数（或减函数）。
8.求函数单调区间的方法包括：①定义法；②图象法；③同增异减原则。
9.函数的奇偶性：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)（或f(-x)=-f(x)），则函数f(x)是偶函数（或奇函数）。
例如f(x)=x+2，f(x)=x-x等。
10.函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称。
因此，如果定义域不关于原点对称，则函数既不是奇函数也不是偶函数。
11.常用的判断函数奇偶性的形式包括：奇函数——f(-x)=-f(x)，f(-x)+f(x)=0（对数函数）；偶函数——f(-x)=f(x)，f(-x)-f(x)=0，mf(-x)/f(x)=-1（指数函数）。
1.若函数f(x)为奇函数且在x=0处有定义，则f(0)=0.这个性质常用于待定系数的计算。
函数性质的八大题型综合应用(解析版)-高中数学
函数性质的八大题型综合应用题型梳理【题型1函数的单调性的综合应用】【题型2函数的最值问题】【题型3函数的奇偶性的综合应用】【题型4函数的对称性的应用】【题型5对称性与周期性的综合应用】【题型6类周期函数】【题型7抽象函数的性质】【题型8函数性质的综合应用】命题规律从近几年的高考情况来看，本节是高考的一个热点内容，函数的单调性、奇偶性、对称性与周期性是高考的必考内容，重点关注单调性、奇偶性结合在一起，与函数图象、函数零点和不等式相结合进行考查，解题时要充分运用转化思想和数形结合思想，灵活求解．对于选择题和填空题部分，重点考查基本初等函数的单调性、奇偶性，主要考察方向是：判断函数单调性及求最值、解不等式、求参数范围等，难度较小；对于解答题部分，一般与导数相结合，考查难度较大.知识梳理【知识点1函数的单调性与最值的求解方法】1.求函数的单调区间求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间.2.函数单调性的判断(1)函数单调性的判断方法：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性；④导数法.(2)函数y=f(g(x))的单调性应根据外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则.(3)函数单调性的几条常用结论：①若f(x)是增函数，则-f(x)为减函数；若f(x)是减函数，则-f(x)为增函数；②若f(x)和g(x)均为增(或减)函数，则在f(x)和g(x)的公共定义域上f(x)+g(x)为增(或减)函数；③若f(x)>0且f(x)为增函数，则函数f(x)为增函数，1f(x)为减函数；④若f(x)>0且f(x)为减函数，则函数f(x)为减函数，1f(x)为增函数．3.求函数最值的三种基本方法：(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.4.复杂函数求最值：对于较复杂函数，可运用导数，求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.【知识点2函数的奇偶性及其应用】1.函数奇偶性的判断判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立.(3)运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个(或多个)函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如f(x)+g(x),f(x)-g(x),f(x)×g(x),f(x)÷g(x)．对于运算函数有如下结论：奇±奇=奇；偶±偶=偶；奇±偶=非奇非偶；奇×(÷)奇=偶；奇×(÷)偶=奇；偶×(÷)偶=偶．(4)复合函数y=f[g(x)]的奇偶性原则：内偶则偶，两奇为奇．(5)常见奇偶性函数模型奇函数：①函数f(x)=ma x+1a x-1(x≠0)或函数f(x)=m a x-1a x+1．②函数f(x)=±(a x-a-x)．③函数f(x)=log a x+mx-m=log a1+2mx-m或函数f(x)=log a x-mx+m=log a1-2mx+m④函数f(x)=log a(x2+1+x)或函数f(x)=log a(x2+1-x)．2.函数奇偶性的应用(1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值.(2)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题.【知识点3函数的周期性与对称性常用结论】1.函数的周期性常用结论(a是不为0的常数)(1)若f(x+a)=f(x)，则T=a；(2)若f(x+a)=f(x-a)，则T=2a；(3)若f(x+a)=-f(x)，则T=2a；(4)若f(x+a)=f(1x)，则T=2a；(5)若f(x+a)=f(1x)，则T=2a；(6)若f(x+a)=f(x+b)，则T=|a-b|(a≠b);2.对称性的三个常用结论(1)若函数f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则y=f(x)的图象关于直线x=a+b2对称.(2)若函数f(x)满足f(a+x)=-f(b-x)，则y=f(x)的图象关于点a+b2,0对称.(3)若函数f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c，则y=f(x)的图象关于点a+b2,c 2对称.3.函数的的对称性与周期性的关系(1)若函数y=f(x)有两条对称轴x=a，x=b(a<b)，则函数f(x)是周期函数，且T=2(b-a)；(2)若函数y=f(x)的图象有两个对称中心(a,c),(b,c)(a<b)，则函数y=f(x)是周期函数，且T=2(b-a)；(3)若函数y=f(x)有一条对称轴x=a和一个对称中心(b,0)(a<b)，则函数y=f(x)是周期函数，且T=4(b-a)．举一反三【题型1函数的单调性的综合应用】1(2023·广东深圳·统考模拟预测)已知函数f x 的定义域为R，若对∀x∈R都有f3+x= f1-x，且f x 在2，+∞上单调递减，则f1 ，f2 与f4 的大小关系是()A.f4 <f1 <f2B.f2 <f1 <f4C.f1 <f2 <f4D.f4 <f2 <f1【解题思路】由f3+x=f1-x，得到f1 =f3 ，利用单调性即可判断大小关系，即可求解．【解答过程】因为对∀x∈R都有f3+x=f1-x，所以f1 =f3-2=f[1-(-2)]=f3 又因为f x 在2，+∞上单调递减，且2<3<4，所以f4 <f3 <f2 ，即f4 <f1 <f2 ．故选：A．【变式训练】1(2023·山西朔州·怀仁市第一中学校校考二模)定义在R上的函数f(x)满足f2-x=f x ，且当x ≥1时，f (x )单调递增，则不等式f 2-x ≥f (x +1)的解集为()A.12,+∞ B.0,12C.-∞,-12D.-∞,12【解题思路】根据函数的对称性和单调性即可.【解答过程】由f 2-x =f (x )，得f (x )的对称轴方程为x =1，故2-x -1 ≥x +1 -1 ，即(1-x )2≥x 2，解得x ≤12．故选：D .2(2023上·江西鹰潭·高三校考阶段练习)已知函数f x =-x 2+2ax +4,x ≤1,1x,x >1是-12,+∞ 上的减函数，则a 的取值范围是()A.-1,-12B.-∞,-1C.-1,-12D.-∞,-1【解题思路】首先分析知，x >1，函数单调递减，则x ≤1也应为减函数，同时注意分界点处的纵坐标大小关系即可列出不等式组，解出即可.【解答过程】显然当x >1时，f x =1x为单调减函数，f x <f 1 =1当x ≤1时，f x =-x 2+2ax +4，则对称轴为x =-2a2×-1=a ，f 1 =2a +3若f x 是-12,+∞上减函数，则a ≤-122a +3≥1解得a ∈-1,-12 ，故选：A .3(2023·四川绵阳·统考三模)设函数f x 为x -1与x 2-2ax +a +3中较大的数，若存在x 使得f x ≤0成立，则实数a 的取值范围为()A.-43,-1 ∪1,4 B.-∞,-43∪4,+∞ C.-∞,1-132∪1+132,4D.-1,1【解题思路】根据绝对值函数的图像和二次函数讨论对称轴判定函数的图像即可求解.【解答过程】因为f x =max x -1,x 2-2ax +a +3 ，所以f x 代表x -1与x 2-2ax +a +3两个函数中的较大者，不妨假设g (x )=|x |-1,h (x )=x 2-2ax +a +3g (x )的函数图像如下图所示：h(x)=x2-2ax+a+3是二次函数，开口向上，对称轴为直线x=a，①当a<-1时，h(x)=x2-2ax+a+3在-1,1上是增函数，需要h(-1)=(-1)2-2a(-1)+a+3=3a+4≤0即a≤-4 3，则存在x使得f x ≤0成立，故a≤-4 3；②当-1≤a≤1时，h(x)=x2-2ax+a+3在-1,1上是先减后增函数，需要h(x)min=h(a)=a2-2a⋅a+a+3=-a2+a+3≤0，即a2-a-3≥0，解得a≥1+132或a≤1-132，又1+132>1，1-132<-1故-1≤a≤1时无解；③当a>1时，h(x)=x2-2ax+a+3在-1,1上是减函数，需要h(1)=12-2a+a+3=-a+4≤0即a≥4，则存在x使得f x ≤0成立，故a≥4.综上所述，a的取值范围为-∞,-4 3∪4,+∞.故选：B.【题型2函数的最值问题】1(2023·江西九江·校考模拟预测)若0<x<6，则6x-x2有()A.最小值3B.最大值3C.最小值9D.最大值9【解题思路】根据二次函数的性质进行求解即可.【解答过程】令y =6x -x 2=-(x -3)2+9，对称轴为x =3，开口向下，因为0<x <6，所以当x =3时，6x -x 2有最大值9，没有最小值，故选：D .【变式训练】1(2023·全国·校联考三模)已知函数f x =bx -b +3 x 3在-1,1 上的最小值为-3，则实数b的取值范围是()A.-∞,-4B.9,+∞C.-4,9D.-92,9【解题思路】由已知可得当-1≤x <1时，可得bx 1+x ≥-3x 2+x +1 恒成立，通过分离变量，结合函数性质可求b 的取值范围【解答过程】因为f 1 =-3，函数f x =bx -b +3 x 3在-1,1 上的最小值为-3，所以对∀x ∈-1,1 ，f x ≥-3恒成立，所以bx -b +3 x 3≥-3恒成立，即bx 1-x 2 ≥-31-x 3 恒成立，当x =1时，b ∈R ，当-1≤x <1时，可得bx 1+x ≥-3x 2+x +1 恒成立.当x =0或x =-1时，不等式显然成立；当0<x <1时，b ≥-3x 2+x +1 x 1+x =-31+1x 2+x，因为x 2+x ∈0,2 ，所以1x 2+x ∈12,+∞ ，1+1x 2+x ∈32,+∞ ，-31+1x 2+x∈-∞,-92 ，所以b ≥-92；当-1<x <0时，b ≤-31+1x 2+x，因为x 2+x ∈-14,0 ，所以1x 2+x ∈-∞,-4 ，1+1x 2+x ∈-∞,-3 ，-31+1x 2+x∈9,+∞ ，所以b ≤9.综上可得，实数b 的取值范围是-92,9.故选：D .2(2023上·广东广州·高一校考阶段练习)定义一种运算min a ,b =a ,a ≤bb ,a >b，设f x =min 4+2x -x 2,x -t (t 为常数，且x ∈[-3,3]，则使函数f x 的最大值为4的t 的值可以是()A.-2或4B.6C.4或6D.-4【解题思路】根据定义，先计算y=4+2x-x2在x∈-3,3上的最大值，然后利用条件函数f(x)最大值为4，确定t的取值即可．【解答过程】y=4+2x-x2=-x-12+5在x∈-3,3上的最大值为5，所以由4+2x-x2=4，解得x=2或x=0，所以x∈0,2时，y=4+2x-x2>4，所以要使函数f(x)最大值为4，则根据定义可知，当t≤1时，即x=2时，2-t=4，此时解得t=-2，符合题意；当t>1时，即x=0时，0-t=4，此时解得t=4，符合题意；故t=-2或4.故选：A.3(2023·广东惠州·统考一模)若函数f x 的定义域为D，如果对D中的任意一个x，都有f x > 0,-x∈D，且f-xf x =1，则称函数f x 为“类奇函数”．若某函数g x 是“类奇函数”，则下列命题中，错误的是()A.若0在g x 定义域中，则g0 =1B.若g x max=g4 =4，则g x min=g-4=1 4C.若g x 在0,+∞上单调递增，则g x 在-∞,0上单调递减D.若g x 定义域为R，且函数h x 也是定义域为R的“类奇函数”，则函数G x =g x h x 也是“类奇函数”【解题思路】对A，根据“类奇函数”的定义，代入x=0求解即可；对B，根据题意可得g-x=1g x，再结合函数的单调性判断即可；对C，根据g-x=1g x，结合正负分数的单调性判断即可；对D，根据“类奇函数”的定义，推导G x G-x=1判断即可.【解答过程】对于A，由函数g x 是“类奇函数”，所以g x g-x=1，且g x >0，所以当x=0时，g0 g-0=1，即g0 =1，故A正确；对于B，由g x g-x=1，即g-x=1g x,g-x随g x 的增大而减小，若g(x)max=g4 =4，则g(x)min=g-4=14成立，故B正确；对于C，由g x 在0,+∞上单调递增，所以g-x=1g x，在x∈0,+∞上单调递减，设t=-x∈-∞,0 ，∴g t 在t ∈-∞,0 上单调递增，即g x 在x ∈-∞,0 上单调递增，故C 错误；对于D ，由g x g -x =1,h x h -x =1，所以G x G -x =g x g -x h x h -x =1，所以函数G x =g x h x 也是“类奇函数”，所以D 正确；故选：C .【题型3 函数的奇偶性的综合应用】1(2023·广东·东莞市校联考一模)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )=ax +1，若f (-2)=5，则不等式f (x )>12的解集为()A.-∞,-12 ∪0,16B.-12,0 ∪0,16C.-∞,-12 ∪16,+∞ D.-12,0 ∪16,+∞ 【解题思路】根据条件可求得x >0时f (x )的解析式，根据函数为奇函数继而可求得当x <0时f (x )的解析式，分情况解出不等式即可.【解答过程】因为函数f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (-2)=-f (2)=5，则f (2)=-5，则2a +1=-5，所以a =-3，则当x >0时，f (x )=-3x +1，当x <0时，-x >0，则f (x )=-f (-x )=-[-3×(-x )+1]=-3x -1，则当x >0时，不等式f (x )>12为-3x +1>12，解得0<x <16，当x <0时，不等式f (x )>12为-3x -1>12，解得x <-12，故不等式的解集为-∞,-12 ∪0,16，故选：A .【变式训练】1(2023·全国·模拟预测)已知函数f (x )，g (x )的定义域均为R ，f (3x +1)为奇函数，g (x +2)为偶函数，f (x +1)+g (1-x )=2，f (0)=-12，则102k =1 g (k )=()A.-51B.52C.4152D.4092【解题思路】由题意，根据函数奇偶性可得f (x )的图象关于点(1,0)中心对称、g (x )的图象关于点(1,2)中心对称，进而可知g (x )是以4为周期的周期函数．求出g (1)，g (2)，g (3)，g (4)，结合周期即可求解.【解答过程】因为f (3x +1)为奇函数，所以f (x +1)为奇函数，所以f (x +1)=-f (-x +1)，f (x )的图象关于点(1,0)中心对称，f (1)=0．因为g (x +2)为偶函数，所以g (x +2)=g (-x +2)，g (x )的图象关于直线x =2对称．由f (x +1)+g (1-x )=2，得f (-x +1)+g (1+x )=2，则-f (x +1)+g (1+x )=2，所以g (x +1)+g (1-x )=4,g (x )+g (2-x )=4，所以g (x )的图象关于点(1,2)中心对称．因为g (x )的图象关于x =2轴对称，所以g (x )+g (2+x )=4，g (x +2)+g (x +4)=4，所以g (x +4)=g (x )，即g (x )是以4为周期的周期函数．因为f (1)=0，f (0)=-12，所以g (1)=2，g (2)=52，g (3)=g (1)=2，g (4)=g (0)=4-g (2)=32，所以102k =1g (k )=25×2+52+2+32 +2+52=4092．故选：D ．2(2023·安徽亳州·蒙城第一中学校联考模拟预测)已知函数f x 是定义在R 上的偶函数，函数g x 是定义在R 上的奇函数，且f x ，g x 在0,+∞ 上单调递减，则()A.f f 2 >f f 3B.f g 2 <f g 3C.g g 2 >g g 3D.g f 2 <g f 3【解题思路】利用函数的单调性以及函数的奇偶性，判断各选项的正负即可.【解答过程】因为f x ，g x 在0,+∞ 上单调递减，f x 是偶函数，g x 是奇函数，所以g x 在R 上单调递减，f x 在-∞,0 上单调递增，对于A ，f 2 >f 3 ，但无法判断f 2 ,f 3 的正负，故A 不正确；对于B ，g 2 >g 3 ，但无法判断g 2 ,g 3 的正负，故B 不正确；对于C ，g 2 >g 3 ，g x 在R 上单调递减，所以g g 2 <g g 3 ，故C 不正确；对于D ，f 2 >f 3 ，g x 在R 上单调递减，g f 2 <g f 3 ，故D 正确.故选：D .3(2023·江西吉安·江西省遂川中学校考一模)若定义在R 上的函数f (x )满足：对任意x 1，x 2∈R有f (x 1+x 2)=f (x 1)+f (x 2)-2016，且x >0时，f (x )>2016，记f (x )在[-2017，2017]上的最大值和最小值为M ，N ，则M +N 的值为()A.2016B.2017C.4032D.4034【解题思路】先计算得到f (0)=2016，再构造函数g (x )=f (x )-2016，判断g (x )的奇偶性得出结论．【解答过程】解：令x 1=x 2=0得f (0)=2f (0)-2016，∴f (0)=2016，令x 1=-x 2得f (0)=f (-x 2)+f (x 2)-2016=2016，∴f (-x 2)+f (x 2)=4032，令g(x)=f(x)-2016，则g max(x)=M-2016，g min(x)=N-2016，∵g(-x)+g(x)=f(-x)+f(x)-4032=0，∴g(x)是奇函数，∴g max(x)+g min(x)=0，即M-2016+N-2016=0，∴M+N=4032．故选：C．【题型4函数的对称性的应用】1(2023·江西赣州·统考二模)已知函数f(x)的图像既关于点(-1,1)对称，又关于直线y=x对称，且当x∈[-1,0]时，f(x)=x2，则f174=()A.-194B.-92C.-72D.-174【解题思路】用Γ表示函数y=f x 的图像，设x0,y0∈Γ，根据中心对称性与轴对称性，得到4+y0,-4+x0∈Γ，令4+y0=174，求出y0，即可求出x0，即可得解.【解答过程】用Γ表示函数y=f x 的图像，对任意的x0∈-1,0，令y0=x20，则x0,y0∈Γ，且y0∈0,1，又函数f(x)的图像既关于点(-1,1)对称，且关于直线y=x对称，所以y0,x0∈Γ，则-2-y0,2-x0∈Γ，则2-x0,-y0-2∈Γ，则-4+x0,4+y0∈Γ，则4+y0,-4+x0∈Γ，令4+y0=174，即y0=14，此时x0=-12或x0=12(舍去)，此时-4+x0=-4+-1 2=-92，即174,-92∈Γ，因此f174 =-92.故选：B.【变式训练】1(2023·四川绵阳·绵阳中学校考一模)若函数y=f x 满足f a+x+f(a-x)=2b，则说y=f x 的图象关于点a,b对称，则函数f(x)=xx+1+x+1x+2+x+2x+3+...+x+2021x+2022+x+2022x+2023的对称中心是()A.(-1011,2022)B.1011,2022C.(-1012,2023)D.1012,2023【解题思路】求出定义域，由定义域的对称中心，猜想a=-1012，计算出f(-1012+x)+f(-1012-x) =4046，从而求出对称中心.【解答过程】函数定义域为{x|x≠-1,x≠-2...,...x≠-2022,x≠-2023}，定义域的对称中心为(-1012,0)，所以可猜a=-1012，则f(-1012+x)=-1012+x-1011+x+-1011+x-1010+x+-1010+x-1009+x+...+1009+xx+1010+1010+x1011+x，f(-1012-x)=-1012-x-1011-x +-1011-x-1010-x+-1010-x-1009-x+...+1009-x1010-x+1010-x1011-x=1012+x 1011+x +1011+x1010+x+1010+x1009+x+...+1009-x1010-x+1010-x1011-x，故f(-1012+x)+f(-1012-x)=1010+x1011+x +1012+x 1011+x+1009+xx+1010+1011+x 1010+x⋯+-1012+x-1011+x +1010-x 1011-x=2×2023=4046所以y=f x 的对称中心为(-1012,2023)，故选：C．2(2023·四川南充·四川省南充高级中学校考三模)函数f x 和g x 的定义域均为R，且y=f3+3x为偶函数，y=g x+3+2为奇函数，对∀x∈R，均有f x +g x =x2+1，则f7 g7 = ()A.615B.616C.1176D.2058【解题思路】由题意可以推出f x =f6-x，g x =-4-g6-x，再结合f x +g x =x2+1可得函数方程组，解出函数方程组后再代入求值即可.【解答过程】由函数f3+3x为偶函数，则f3+3x=f3-3x，即函数f x 关于直线x=3对称，故f x =f6-x；由函数g x+3+2为奇函数，则g x+3+2=-g-x+3-2，整理可得g x+3+g-x+3=-4，即函数g x 关于3,-2对称，故g x =-4-g6-x；由f x +g x =x2+1，可得f6-x+g6-x=(6-x)2+1，所以f x -4-g x =(6-x)2+1，故f x +g x =x2+1f x -4-g x =(6-x)2+1 ，解得f x =x2-6x+21,g x =6x-20，所以f7 =72-6×7+21=28,g7 =6×7-20=22，所以f7 g7 =28×22=616.故选：B.3(2023·甘肃张掖·高台县校考模拟预测)已知函数f(x)的定义域为R，f x-1的图象关于点(1,0)对称，f3 =0，且对任意的x1,x2∈-∞,0，x1≠x2，满足f x2-f x1x2-x1<0，则不等式x-1f x+1≥0的解集为()A.-∞,1∪2,+∞B.-4,-1∪0,1C.-4,-1∪1,2D.-4,-1∪2,+∞【解题思路】首先根据f(x-1)的图象关于点(1,0)对称，得出(x)是定义在R上的奇函数，由对任意的x1，x2∈(-∞,0)，x1≠x2，满足f(x2)-f(x1)x2-x1<0，得出f(x)在(-∞,0)上单调递减，然后根据奇函数的对称性和单调性的性质，求解即可．【解答过程】∵f(x-1)的图象关于点(1,0)对称，∴f(x)的图象关于点(0,0)对称，∴f(x)是定义在R 上的奇函数，∵对任意的x1，x2∈(-∞,0)，x1≠x2，满足f(x2)-f(x1)x2-x1<0，∴f(x)在(-∞,0)上单调递减，所以f(x)在(0,+∞)上也单调递减，又f3 =0所以f-3=0，且f0 =0，所以当x∈-∞,-3∪0,3时，f x >0；当x∈-3,0∪3,+∞时，f x <0，所以由x-1f x+1≥0可得x-1<0,-3≤x+1≤0或x-1>0,0≤x+1≤3或x-1=0，解得-4≤x≤-1或1≤x≤2，即不等式x-1f x+1≥0的解集为-4,-1∪1,2．故选：C.【题型5对称性与周期性的综合应用】1(2023·四川宜宾·统考一模)已知函数f x ,g x 的定义域为R,g x 的图像关于x=1对称，且g2x+2为奇函数，g1 =1,f x =g3-x+1，则下列说法正确的个数为()①g(-3)=g(5)；②g(2024)=0；③f(2)+f(4)=-4；④2024n=1f(n)=2024.A.1B.2C.3D.4【解题思路】根据奇函数定义得到g-2x+2=-g2x+2，进而得到g x 的对称中心为，再根据对称轴求出周期，通过赋值得到答案.【解答过程】因为g2x+2为奇函数，所以g-2x+2=-g2x+2，则g-x+2=-g x+2，所以g x 对称中心为2,0，又因为g x 的图像关于x=1对称，则g-x+2=g x ，所以-g x+2=g x ，则g x+4=-g x+2=g x ，所以g x 的周期T=4，①g-3=g-3+8=g5 ，所以①正确；②因为g1 =1，g-x+2=g x ，g x 对称中心为2,0，所以g0 =g2 =0，所以g(2024)=g0 =0，所以②正确；③因为f x =g3-x+1，所以f2 =g1 +1=2，因为-g x+2=g x ，所以g-1=-g1 ，则f4 =g-1+1=-g1 +1=0，所以f(2)+f(4)=2，所以③错误；④因为f x =g 3-x +1且g x 周期T =4，所以f x +4 =g 3-x -4 +1=g 3-x +1=f x ，则f x 的周期为T =4，因为f 1 =g 2 +1=1，f 2 =2，f 3 =g 0 +1=1，f 4 =0，所以f 1 +f 2 +f 3 +f 4 =4，所以2024n =1 f (n )=506f 1 +f 2 +f 3 +f 4 =4 =506×4=2024，所以④正确.故选：C .【变式训练】1(2023·北京大兴·校考三模)已知函数f x 对任意x ∈R 都有f x +2 =-f x ，且f -x =-f x ，当x ∈-1,1 时，f x =x 3.则下列结论正确的是()A.函数y =f x 的图象关于点k ,0 k ∈Z 对称B.函数y =f x 的图象关于直线x =2k k ∈Z 对称C.当x ∈2,3 时，f x =x -2 3D.函数y =f x 的最小正周期为2【解题思路】根据f x +2 =-f x 得到f x +2 =f x -2 ，所以f x 的周期为4，根据f -x =-f x 得到f x 关于x =-1对称，画出f x 的图象，从而数形结合得到AB 错误；再根据f x =-f x -2 求出x ∈2,3 时函数解析式；D 选项，根据y =f x 的最小正周期，得到y =f x 的最小正周期.【解答过程】因为f x +2 =-f x ，所以f x =-f x -2 ，故f x +2 =f x -2 ，所以f x 的周期为4，又f -x =-f x ，所以f -x =f x -2 ，故f x 关于x =-1对称，又x ∈-1,1 时，f x =x 3，故画出f x 的图象如下：A 选项，函数y =f x 的图象关于点1,0 不中心对称，故A 错误；B 选项，函数y =f x 的图象不关于直线x =2对称，B 错误；C 选项，当x ∈2,3 时，x -2∈0,1 ，则f x =-f x -2 =-x -2 3，C 错误；D 选项，由图象可知y =f x 的最小正周期为4，又f x +2 =-f x =f x ，故y =f x 的最小正周期为2，D 正确.故选：D .2(2023·四川绵阳·绵阳校考模拟预测)已知函数f x 的定义域为R ,f 1 =0，且f 0 ≠0,∀x ,y∈R 都有f x +y +f x -y =2f x f y ，则下列说法正确的命题是()①f 0 =1；②∀x ∈R ,f -x +f x =0；③f x 关于点1,0 对称；④2023i =1 f (i )=-1A.①②B.②③C.①②④D.①③④【解题思路】利用特殊值法，结合函数的奇偶性、对称性和周期性进行求解即可.【解答过程】对于①，由于∀x ,y ∈R 都有f x +y +f x -y =2f x f y ，所以令x =y =0，则f 0 +f 0 =2f 0 f 0 ，即f 0 =f 20 ，因为f 0 ≠0，所以f 0 =1，所以①正确，对于②，令x =0，则f y +f -y =2f 0 f y =2f y ，所以f y =f -y ，即f x =f -x ，所以∀x ∈R ,f -x -f x =0，所以②错误，对于③，令x =1，则f 1+y +f 1-y =2f 1 f y =0，所以f 1+y =-f 1-y ，即f 1+x =-f 1-x ，所以f x 关于点1,0 对称，所以③正确，对于④，因为f 1+x =-f 1-x ，所以f 2+x =-f -x ，因为f x =f -x ，所以f 2+x =-f x ，所以f 4+x =-f 2+x ，所以f 4+x =f x ，所以f x 的周期为4，在f x +y +f x -y =2f x f y 中，令x =y =1，则f 2 +f 0 =2f 1 f 1 =0，因为f 0 =1，所以f (2)=-1，f (3)=f (-1)=f (1)=0,f (4)=f (0)=1，所以f (1)+f (2)+f (3)+f (4)=0+(-1)+0+1=0，所以2023i =1 f (i )=505×f (1)+f (2)+f (3)+f (4) +f (1)+f (2)+f (3)=-1，所以④正确，故选：D .3(2023·安徽合肥·合肥一中校考模拟预测)已知函数f x 与g (x )的定义域均为R ，f (x +1)为偶函数，且f (3-x )+g (x )=1，f (x )-g (1-x )=1，则下面判断错误的是()A.f x 的图象关于点(2,1)中心对称B.f x 与g x 均为周期为4的周期函数C.2022i =1f (i )=2022D.2023i =0g (i )=0【解题思路】由f (x +1)为偶函数可得函数关于直线x =1轴对称，结合f (3-x )+g (x )=1和f (x )-g (1-x )=1可得f x 的周期为4，继而得到g x 的周期也为4，接着利用对称和周期算出对应的值即可判断选项【解答过程】因为f x +1 为偶函数，所以f x +1 =f -x +1 ①，所以f x 的图象关于直线x =1轴对称，因为f x -g 1-x =1等价于f 1-x -g x =1②，又f 3-x +g x =1③，②+③得f 1-x +f 3-x =2④，即f 1+x +f 3+x =2，即f 2+x =2-f x ，所以f 4+x =2-f 2+x =f x ，故f x 的周期为4，又g x =1-f 3-x ，所以g x 的周期也为4，故选项B 正确，①代入④得f 1+x +f 3-x =2，故f x 的图象关于点2,1 中心对称，且f 2 =1，故选项A 正确，由f 2+x =2-f x ，f 2 =1可得f 0 =1,f 4 =1，且f 1 +f 3 =2，故f 1 +f 2 +f 3 +f 4 =4，故2022i =1 f (i )=505×4+f (1)+f (2)=2021+f (1)，因为f 1 与f 3 值不确定，故选项C 错误，因为f 3-x +g x =1，所以g 1 =0,g 3 =0,g 0 =1-f 3 ,g 2 =1-f 1 ，所以g 0 +g 2 =2-f 1 +f 3 =0，故g 0 +g 1 +g 2 +g 3 =0，故2023i =0 g (i )=506×0=0，所以选项D 正确，故选:C .【题型6 类周期函数】1(2023·安徽合肥·合肥一六八中学校考模拟预测)定义在R 上的函数f x 满足f x +1 =12f x ，且当x ∈0,1 时，f x =1-2x -1 .当x ∈m ,+∞ 时，f x ≤332，则m 的最小值为()A.278B.298C.134D.154【解题思路】根据已知计算出f x =12n 1-2x -2n +1 ≤12n ，画出图象，计算f x =332，解得x =298，从而求出m 的最小值.【解答过程】由题意得，当x ∈1,2 时，故f x =12f x -1 =121-2x -3 ，当x ∈2,3 时，故f x =12f x -1 =141-2x -5 ⋯，可得在区间n ,n +1 n ∈Z 上，f x =12n 1-2x -2n +1 ≤12n ，所以当n ≥4时，f x ≤332，作函数y =f x 的图象，如图所示，当x ∈72,4 时，由f x =181-2x -7 =332,2x -7 =14,x =298，则m ≥298，所以m 的最小值为298故选：B .【变式训练】1(2023上·湖南长沙·高三校考阶段练习)定义域为R 的函数f x 满足f x +2 =2f x -1，当x∈0,2 时，f x =x 2-x ,x ∈0,1 1x,x ∈1,2.若x ∈0,4 时，t 2-7t 2≤f x ≤3-t 恒成立，则实数t 的取值范围是()A.1,2B.1,52C.12,2D.2,52【解题思路】由f (x +2)=2f (x )-1，求出x ∈(2，3)，以及x ∈[3，4]的函数的解析式，分别求出(0，4]内的四段的最小值和最大值，注意运用二次函数的最值和函数的单调性，再由t 2-7t2≤f x ≤3-t 恒成立即为t 2-7t2≤f x min ，f x max ≤3-t ，解不等式即可得到所求范围【解答过程】当x ∈(2,3),则x -2∈(0,1)，则f (x )=2f (x -2)-1=2(x -2)2-2(x -2)-1，即为f (x )=2x 2-10x +11，当x ∈[3，4]，则x -2∈[1，2]，则f (x )=2f (x -2)-1=2x -2-1.当x ∈(0,1)时,当x =12时,f (x )取得最小值,且为-14；当x ∈[1,2]时,当x =2时,f (x )取得最小值,且为12；当x ∈(2,3)时,当x =52时,f (x )取得最小值,且为-32；当x ∈[3,4]时,当x =4时,f (x )取得最小值，且为0.综上可得,f (x )在(0,4]的最小值为-32.若x ∈(0,4]时, t 2-7t2≤f x min 恒成立，则有t 2-7t 2≤-32.解得12≤t ≤3.当x ∈(0,2)时,f (x )的最大值为1,当x ∈(2,3)时,f (x )∈-32,-1 ，当x ∈[3,4]时,f (x )∈[0,1]，即有在(0,4]上f (x )的最大值为1.由f x max ≤3-t ，即为1≤3-t ，解得t ≤2，综上，即有实数t 的取值范围是12,2.故选：C .2(2022·四川内江·校联考二模)定义域为R 的函数f (x )满足f (x +2)=3f (x )，当x ∈[0,2]时，f (x )=x 2-2x ，若x ∈[-4,-2]时，f (x )≥1183t-t 恒成立，则实数t 的取值范围是()A.-∞,-1 ∪0,3B.-∞,-3 ∪0,3C.-1,0 ∪3,+∞D.-3,0 ∪3,+∞【解题思路】根据题意首先得得到函数的具体表达式，由x ∈[-4,-2]，所以x +4∈[0,2]，所以f (x +4)=x 2+6x +8，再由f (x +4)=3f (x +2)=9f (x )可得出f (x )的表达式，在根据函数思维求出f (x )最小值解不等式即可.【解答过程】因为x ∈[-4,-2]，所以x +4∈[0,2]，因为x ∈[0,2]时，f x =x 2-2x ，所以f x +4 =(x +4)2-2(x +4)=x 2+6x +8,因为函数f x 满足f x +2 =3f x ，所以f x +4 =3f x +2 =9f x ，所以f x =19f x +4 =19x 2+6x +8 ，x ∈[-4,-2]，又因为x ∈[-4,-2]，f x ≥1183t-t 恒成立，故1183t -t ≤f x min =-19，解不等式可得t ≥3或-1≤t <0.故选C .3(2023上·浙江台州·高一校联考期中)设函数f x 的定义域为R ，满足f x =2f x -2 ，且当x∈0,2 时，f x =x 2-x ．若对任意x ∈-∞,m ，都有f x ≤3，则m 的取值范围是()A.-∞,52B.-∞,72C.-∞,92D.-∞,112【解题思路】根据给定条件分段求解析式及对应函数值集合，再利用数形结合即得.【解答过程】因为函数f x 的定义域为R ，满足f x =2f x -2 ，且当x ∈0,2 时，f x =x 2-x =-x -1 2+1∈0,1 ，当x ∈(2,4]，时，x -2∈(0,2]，则f (x )=2f (x -2)=2x -2 2-x -2 =-2x -3 2+2∈0,2 ，当x ∈(4,6]，时，x -4∈(0,2]，则f (x )=4f (x -2)=4x -2-2 4-x -2 =-4x -5 2+4∈0.4 ，当x ∈(-2,0]，时，x +2∈(0,2]，则f (x )=12f (x +2)=12(x +2)-x =-12x +1 2+12∈0,12，作出函数f x 的大致图象，对任意x ∈-∞,m ，都有f x ≤3，设m 的最大值为t ，则f t =3，所以-4t -5 2+4=3，解得t =92或t =112，结合图象知m 的最大值为92，即m 的取值范围是-∞,92.故选：C .【题型7 抽象函数的性质】1(2023·新疆乌鲁木齐·统考二模)已知f x ，g x 都是定义在R 上的函数，对任意x ，y 满足f x -y=f x g y -g x f y ，且f -2 =f 1 ≠0，则下列说法正确的是()A.f 0 =1B.函数g 2x +1 的图象关于点1,0 对称C.g 1 +g -1 =0D.若f 1 =1，则2023n =1 f n =1【解题思路】利用赋值法结合题目给定的条件可判断AC ，取f x =sin2π3x ,g x =cos 2π3x 可判断B ，对于D ，通过观察选项可以推断f x 很可能是周期函数，结合f x g y ,g x f y 的特殊性及一些已经证明的结论，想到令y =-1和y =1时可构建出两个式子，两式相加即可得出f x +1 +f x -1 =-f x ，进一步得出f x 是周期函数，从而可求2023n =1 f n 的值.【解答过程】解：对于A ，令x =y =0，代入已知等式得f 0 =f 0 g 0 -g 0 f 0 =0，得f 0 =0，故A 错误；对于B ，取f x =sin 2π3x ,g x =cos 2π3x ，满足f x -y =f x g y -g x f y 及f -2 =f 1 ≠0，因为g 3 =cos2π=1≠0，所以g x 的图象不关于点3,0 对称，所以函数g 2x +1 的图象不关于点1,0 对称，故B 错误；对于C ，令y =0，x =1，代入已知等式得f 1 =f 1 g 0 -g 1 f 0 ，可得f 1 1-g 0 =-g 1 f 0 =0，结合f 1 ≠0得1-g 0 =0，g 0 =1，再令x =0，代入已知等式得f -y =f 0 g y -g 0 f y ，将f 0 =0，g 0 =1代入上式，得f -y =-f y ，所以函数f x 为奇函数.令x =1，y =-1，代入已知等式，得f 2 =f 1 g -1 -g 1 f -1 ，因为f -1 =-f 1 ，所以f 2 =f 1 g -1 +g 1 ，又因为f 2 =-f -2 =-f 1 ，所以-f 1 =f 1 g -1 +g 1 ，因为f 1 ≠0，所以g 1 +g -1 =-1，故C 错误；对于D ，分别令y =-1和y =1，代入已知等式，得以下两个等式：f x +1 =f x g -1 -g x f -1 ，f x -1 =f x g 1 -g x f 1 ，两式相加易得f x +1 +f x -1 =-f x ，所以有f x +2 +f x =-f x +1 ，即：f x =-f x +1 -f x +2 ，有：-f x +f x =f x +1 +f x -1 -f x +1 -f x +2 =0，即：f x -1 =f x +2 ，所以f x 为周期函数，且周期为3，因为f 1 =1，所以f -2 =1，所以f 2 =-f -2 =-1，f 3 =f 0 =0，所以f 1 +f 2 +f 3 =0，所以2023n =1 f n =1=f 1 +f 2 +f 3 +⋯+f 2023 =f 2023 =f 1 =1，故D 正确.故选：D .【变式训练】1(2023·福建宁德·福鼎市校考模拟预测)已知函数f x 及其导函数f x 的定义域均为R ，对任意的x ,y ∈R ，恒有f x +y +f x -y =2f x f y ，则下列说法正确的个数是()①f 0 =0；②fx 必为奇函数；③f x +f 0 ≥0；④若f (1)=12，则2023n =1f (n )=12.A.1B.2C.3D.4【解题思路】利用赋值法可判断①；利用赋值法结合函数奇偶性定义判断②；赋值，令y =x ，得出f 2x+f0 ≥0，变量代换可判断③；利用赋值法求出f(n)部分函数值，推出其值具有周期性，由此可计算2023n=1f(n)，判断④，即可得答案.【解答过程】令x=y=0，则由f x+y+f x-y=2f x f y 可得2f0 =2f20 ，故f(0)=0或f0 =1，故①错误；当f(0)=0时，令y=0，则f(x)+f(x)=2f(x)f(0)=0，则f(x)=0，故f (x)=0，函数f (x)既是奇函数又是偶函数；当f(0)=1时，令x=0，则f(y)+f(-y)=2f(0)f(y)，所以f-y=f y ，则-f (-y)=f (y)，即f (-y)=-f (y)，则f (x)为奇函数，综合以上可知f (x)必为奇函数，②正确；令y=x，则f2x+f0 =2f2x ，故f2x+f0 ≥0.由于x∈R，令t=2x,t∈R，即f t +f0 ≥0，即有f x +f0 ≥0，故③正确；对于D，若f1 =12，令x=1,y=0，则f1 +f1 =2f1 f0 ，则f(0)=1，令x=y=1，则f2 +f0 =2f21 ，即f2 +1=12,∴f2 =-12，令x=2,y=1，则f3 +f1 =2f2 f1 ，即f3 +12=-12,∴f(3)=-1，令x=3,y=1，则f4 +f2 =2f3 f1 ，即f4 -12=-1,∴f(4)=-12，令x=4,y=1，则f5 +f3 =2f4 f1 ，即f5 -1=-12,∴f(5)=12，令x=5,y=1，则f6 +f4 =2f5 f1 ，即f6 -12=12,∴f(6)=1，令x=6,y=1，则f7 +f5 =2f6 f1 ，即f7 +12=1,∴f(7)=12，令x=7,y=1，则f8 +f6 =2f7 f1 ，即f8 +1=12,∴f(8)=-12，⋯⋯，由此可得f(n),n∈N*的值有周期性，且6个为一周期，且f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=0，故2023n=1f n =337×[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)]+f(1)=12，故④正确，即正确的是②③④，故选：C.2(2023·河南·校联考模拟预测)已知函数f x 对任意实数x,y恒有f(x-y)+f(x+y)=f(2x)成立，且当x<0时，f(x)>0.(1)求f(0)的值;(2)判断f x 的单调性，并证明;(3)解关于x的不等式:f x2-(a+2)x+f(a+y)+f(a-y)>0.【解题思路】(1)根据题意，令x=0,y=0，即可求得f(0)=0；(2)令x=0，得到f(-y)=-f(y)，所以f x 为奇函数，在结合题意和函数单调性的定义和判定方法，即可求解；(3)化简不等式为f x2-(a+2)x>f(-2a)，结合函数f x 的单调性，把不等式转化为x2-(a+2)x <-2a，结合一元二次不等式的解法，即可求解.【解答过程】(1)解：因为函数f(x)对任意实数x,y恒有f(x-y)+f(x+y)=f(2x)成立，令x=0,y=0，则f(0)+f(0)=f(0)，所以f(0)=0.(2)解：函数f x 为R上的减函数.证明:令x=0，则f(-y)+f(y)=f(0)=0，所以f(-y)=-f(y)，故f x 为奇函数.任取x1,x2∈R，且x1<x2，则x1-x2<0，因为当x<0时，f(x)>0，所以f x1-x2>0，所以f x1-f x2=f x1+f-x2=fx1-x22+x1+x22+f x1-x22-x1+x22=f x1-x2>0，即f x1>f x2，所以f x 是R上的减函数.(3)解：根据题意，可得f x2-(a+2)x>-[f(a+y)+f(a-y)]=-f(2a)=f(-2a)，由(2)知f x 在R上单调递减，所以x2-(a+2)x<-2a，即x2-(a+2)x+2a<0，可得(x-2)(x-a)<0，当a>2时，原不等式的解集为(2,a)；当a=2时，原不等式的解集为∅；当a<2时，原不等式的解集为(a,2).3(2023上·广东东莞·高一校联考期中)已知函数f x 对任意实数x,y恒有f x+y=f x +f y ，当x>0时，f x <0，且f1 =-2.(1)判断f x 的奇偶性；(2)判断函数单调性，求f x 在区间-3,3上的最大值；(3)若f x <m2-2am+2对所有的x∈-1,1,a∈-1,1恒成立，求实数m的取值范围.【解题思路】(1)令x=y=0，求得f0 =0，再令y=-x，从而得f-x=-f x ，从而证明求解. (2)设x1,x2∈R且x1<x2，结合条件用单调性的定义证明函数f x 的单调性，然后利用单调性求解区间-3,3上的最大值.(3)根据函数f x <m2-2am+2对所有的x∈-1,1，a∈-1,1恒成立，说明f x 的最大值2小于右边，因此先将右边看作a的函数，解不等式组，即可得出m的取值范围．【解答过程】(1)f x 为奇函数，证明如下：令x=y=0，则f0+0=2f0 ，所以f0 =0，令y=-x，则f x-x=f x +f-x=f0 =0，所以：f-x=-f x 对任意x∈R恒成立，所以函数f x 为奇函数.(2)f x 在R上是减函数，证明如下：任取x1,x2∈R且x1<x2，则x2-x1>0f x2-f x1=f x2+f-x1=f x2-x1<0，所以f x2<f x1，所以f x 在R上为减函数.当x∈-3,3时，f x 单调递减，所以当x=-3时，f x 有最大值为f-3，因为f3 =f2 +f1 =3f1 =-2×3=-6，所以f-3=-f3 =6，故f x 在区间-3,3上的最大值为6.(3)由(2)知f x 在区间-1,1上单调递减，所以f x ≤f-1=-f1 =2，因为f x <m2-2am+2对所有的x∈-1,1，a∈-1,1恒成立，即m2-2am>0对任意a∈-1,1恒成立，令g a =-2am+m2，则g-1>0g1 >0，即2m+m2>0-2m+m2>0，解得：m>2或m<-2.故m的取值范围为-∞,-2∪2,+∞.【题型8函数性质的综合应用】1(2023上·河北石家庄·高一校考阶段练习)已知函数f(x)=a x，g(x)=b⋅a-x+x，a>0且a≠1，若f(1)+g(1)=52，f(1)-g(1)=32，设h(x)=f(x)+g(x)，x∈[-4,4]．(1)求函数h(x)的解析式并判断其奇偶性；(2)判断函数h(x)的单调性(不需证明)，并求不等式h(2x+1)+h(2x-1)≥0的解集．【解题思路】(1)由f(1)+g(1)=52、f(1)-g(1)=32代入可解出a、b，得到h(x)，再计算h(x)与h(-x)的关系即可得到奇偶性；(2)分别判断h(x)中每一部分的单调性可得h(x)的单调性，结合函数的单调性与奇偶性解决该不等式即可得.【解答过程】(1)由f(1)+g(1)=52，f(1)-g(1)=32，即有a+ba+1=52a-ba-1=32，解得a=2b=-1，即f(x)=2x，g(x)=-2-x+x，则h(x)=2x-2-x+x，其定义域为R，h (-x )=2-x -2x -x =-2x -2-x +x =-h (x )，故h (x )为奇函数.(2)h (x )=2x -2-x +x ，由2x 在R 上单调递增，-2-x 在R 上单调递增，x 在R 上单调递增，故h (x )在R 上单调递增，由h (2x +1)+h (2x -1)≥0，且h (x )为奇函数，即有h (2x +1)≥-h (2x -1)=h 1-2x ，即有2x +1≥1-2x ，解得x ≥0，故该不等式的解集为x x ≥0 .【变式训练】1(2023上·上海·高一校考期中)已知定义在全体实数上的函数f x 满足：①f x 是偶函数；②f x 不是常值函数；③对于任何实数x 、y ，都有f x +y =f x f y -f 1-x f 1-y ．(1)求f 1 和f 0 的值；(2)证明：对于任何实数x ，都有f x +4 =f x ；(3)若f x 还满足对0<x <1有f x >0，求f 13+f 23 +⋯+f 20263 的值．【解题思路】(1)取x =1，y =0代入计算得到f 1 =0，取y =0得到f x =f x f 0 ，得到答案.(2)取y =1，结合函数为偶函数得到f x +2 =-f x ，变换得到f x +4 =f x ，得到证明.(3)根据函数的周期性和奇偶性计算f 13 +f 23 +⋯+f 123 =0，取x =y =13和取x =13，y =-13得到f 13 =32，根据周期性得到f 13 +f 23 +⋯+f 20263=-f 13 -1，计算得到答案.【解答过程】(1)f x +y =f x f y -f 1-x f 1-y取x =1，y =0得到f 1 =f 1 f 0 -f 0 f 1 =0，即f 1 =0；取y =0得到f x =f x f 0 -f 1-x f 1 =f x f 0 ，f x 不是常值函数，故f 0 =1；(2)f x +y =f x f y -f 1-x f 1-y ，取y =1得到f x +1 =f x f 1 -f 1-x f 0 =-f 1-x ，f x 是偶函数，故f x +1 =-f x -1 ，即f x +2 =-f x ，f x +4 =-f x +2 =f x .(3)f x +2 +f x =0，f x 为偶函数，取x =-13，则f 53 +f -13 =0，即f 53 +f 13 =0；取x =-23，则f 43 +f -23 =0，即f 43 +f 23=0；故f 73+f 83 +f 103 +f 113 =-f 13 -f 23 -f 43 -f 53 =0，f 2 =-f 0 =-1，f 3 =f -1 =f 1 =0，f 4 =f 0 =1，故f 13+f 23 +⋯+f 123 =0，取x =y =13得到f 23 =f 213 -f 223，取x =13，y =-13得到f 0 =f 213 -f 23 f 43 =f 213 +f 223=1，f 13 >0，f 23 >0，解得f 13 =32，f 13+f 23 +⋯+f 20263 =-f 113 -f 123 =-f 13 -1=-32-1.2(2023下·山西运城·高二统考期末)已知f x =e x -1+e 1-x +x 2-2x +a ，(1)证明：f x 关于x =1对称；(2)若f x 的最小值为3(i )求a ；(ii )不等式f m e x +e -x +1 >f e x -e -x 恒成立，求m 的取值范围【解题思路】(1)代入验证f (x )=f (2-x )即可求解，(2)利用单调性的定义证明函数的单调性，即可结合对称性求解a =2，分离参数，将恒成立问题转化为m >e x -e -x -1e x +e -xmax ，构造函数F (x )=e x -e -x -1e x +e-x ，结合不等式的性质即可求解最值.【解答过程】(1)证明：因为f x =e x -1+e 1-x +x 2-2x +a ，所以f (2-x )=e 2-x -1+e1-(2-x )+(2-x )2-2(2-x )+a =e 1-x +e x -1+x 2-2x +a ，所以f (x )=f (2-x )，所以f (x )关于x =1对称.(2)(ⅰ)任取x 1,x 2∈(1,+∞),且x 1<x 2f x 1 -f x 2 =e x 1-1+e1-x 1+x 21-2x 1-ex 2-1+e1-x 2+x 22-2x 2=e x 1-1-ex 2-1+e1-x 1-e1-x 2+x 21-x 22 -2x 1-x 2=(ex 1-1-ex 2-1)(e x 1-1e x 2-1-1)ex 1-1ex 2-1+(x 1-x 2)(x 1+x 2-2)∵1<x 1<x 2，∴0<x 1-1<x 2-1,∴e x 1-1>1,ex 2-1>1,ex 1-1-ex 2-1<0,ex 1-1e x 2-1-1>0，x 1-x 2<0,x 1+x 2-2>0,∴f (x 1)<f (x 2)，所以f (x )在1,+∞ 上单调递增，又f (x )关于x =1对称，则在-∞,1 上单调递减.所以f (x )min =f (1)=1+a =3，所以a =2.(单调性也可以用单调性的性质、复合函数的单调性判断、导数证明)(ⅱ)不等式f (m (e x +e -x )+1)>f (e x -e -x )恒成立等价于(m (e x +e -x )+1)-1 >e x -e -x -1 恒成立， 即m >ex-e -x -1 e x +e -x =e x -e -x -1e x +e -x恒成立，即m >e x -e -x -1e x +e -xmax令F (x )=e x -e -x -1e x +e -x ，则F (x )=e 2x -e x -1e 2x +1=1-e x +2e 2x +1，令e x +2=n ,n ∈2,+∞ ，则e x =n -2则g n =1-n n 2-4n +5=1-1n -4+5n，因为n ∈2,+∞ ,n -4+5n ≥25-4，n =5取等号，则g n ∈-52,1，所以g n ∈0,52，所以m >52,即m ∈-∞,-52 ∪52,+∞ .3(2023下·广东·高一统考期末)已知函数y =φx 的图象关于点P a ,b 成中心对称图形的充要条件是φa +x +φa -x =2b ．给定函数f x =x -6x +1及其图象的对称中心为-1,c ．(1)求c 的值；(2)判断f x 在区间0,+∞ 上的单调性并用定义法证明；(3)已知函数g x 的图象关于点1,1 对称，且当x ∈0,1 时，g x =x 2-mx +m ．若对任意x 1∈0,2 ，总存在x 2∈1,5 ，使得g x 1 =f x 2 ，求实数m 的取值范围．【解题思路】(1)根据函数的对称性得到关于c 的方程，解出即可求出函数的对称中心；(2)利用函数单调性的定义即可判断函数f (x )单增,(3)问题转化为g (x )在[0,2]上的值域A ⊆[-2,4]，通过讨论m 的范围，得到关于m 的不等式组，解出即可．【解答过程】(1)由于f (x )的图象的对称中心为-1,c ，则f (-1+x )+f (-1-x )=2c ，即(x -1)-6x -1+1+(-x -1)-6-x -1+1=2c ，整理得-2=2c ，解得：c =-1，故f (x )的对称中心为(-1,-1)；(2)函数f (x )在(0,+∞)递增；设0<x 1<x 2，则f x 1 -f x 2 =x 1-6x 1+1-x 2+6x 2+1=x 1-x 2 +6x 1-x 2 x 2+1 x 1+1=x 1-x 2 1+6x 2+1 x 1+1，由于0<x 1<x 2，所以x 1-x 2<0, 6x 2+1 x 1+1>0，所以f x 1 -f x 2 <0⇒f x 1 <f x 2 ，故函数f (x )在(0,+∞)递增；。
函数探究题型-含答案
函数探究题型一、知识梳理1、求函数解析式正比例与反比例自变量取值范围（1）分母（2）偶次根式被开方数（3）题目特殊要求2、画函数图像列表、描点、连线注：过整数点、渐进线3、函数的性质2.1对称性2.2增减性2.3极大值、极小值4、函数与方程的解交点个数与方程解的个数5、函数与不等式的解6、常考函数（1）函数的平移左加右减、上加下减（2）反比例函数变形（3）对勾函数（4）绝对值函数（5）幂函数及变形强化练习1．参照学习函数的过程与方法，探究函数y ＝的图象与性质．因为y ＝，即y ＝﹣+1，所以我们对比函数y ＝﹣来探究．列表：﹣描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以y＝相应的函数值为纵坐标，描出相应的点，如图所示：（1）请把y轴左边各点和右边各点，分别用一条光滑曲线顺次连接起来；（2）观察图象并分析表格，回答下列问题：①当x＜0时，y随x的增大而；（填“增大”或“减小”）②y＝的图象是由y＝﹣的图象向平移个单位而得到；③图象关于点中心对称．（填点的坐标）（3）设A（x1，y1），B（x2，y2）是函数y＝的图象上的两点，且x1+x2＝0，试求y1+y2+3的值．2．已知函数y＝y1+y2，其中y1与x成反比例，y2与x﹣2成正比例，函数的自变量x的取值范围是x≥，且当x＝1或x＝4时，y的值均为．请对该函数及其图象进行如下探究：（1）解析式探究：根据给定的条件，可以确定出该函数的解析式为：．（2）函数图象探究：①根据解析式，补全下表：②根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出函数图象（3）结合画出的函数图象，解决问题：①当x＝，，8时，函数值分别为y1，y2，y3，则y1，y2，y3的大小关系为：；（用“＜”或“＝”表示）②若直线y＝k与该函数图象有两个交点，则k的取值范围是，此时，x的取值范围是．（4）写出函数的两条性质①②3．已知y＝y1﹣y2，其中y1与x﹣1成反比例，y2＝x+b，下表给出了自变量x与函数y 的一些对应值．（1）求函数y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）补全表格m＝，n＝；（3）在如图所示的平面直角坐标系中，根据表中数据描出相应的点，画出函数图象；（4）根据图象直接写出y1≥y2时，自变量x的取值范围．﹣﹣（5）写出函数的两条性质①②4．已知函数，探究函数图象和性质过程如下：（1）下表是y与x的几组值，则解析式中的m＝，表格中的n＝（2）在平面直角坐标系中描出表格中各点，并画出函数图象：（3）若A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）为函数图象上的三个点，其中x2+x3＞4且﹣1＜x1＜0＜x2＜2＜x3＜4，则y1、y2、y3之间的大小关系是；（4）若直线y＝k+1与该函数图象有且仅有一个交点，则k的取值范围为．（5）写出函数的两条性质①②5.吴京同学根据学习函数的经验，对一个新函数y＝的图象和性质进行了如下探究，请帮他把探究过程补充完整（1）该函数的自变量x的取值范围是．（2）列表：表中m＝，n＝．（3）描点、连线在下面的格点图中，建立适当的平面直角坐标系xOy中，描出上表中各对对应值为坐标的点（其中x为横坐标，y为纵坐标），并根据描出的点画出该函数的图象：（4）观察所画出的函数图象，写出该函数的两条性质：①；②．y=2x-36. 在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式——利用函数图象研究其性质一一运用函数解决问题＂的学习过程．在画函数图象时，我们通过描点或平移的方法画出了所学的函数图象．同时，我们也学习了绝对值的意义⎩⎨⎧<-≥=)0a (a )0a (a a ．结合上面经历的学习过程，现在来解决下面的问题：在函数y=|kx-3|+b 中，当x=2时，y= -4当x=0时，y= -1. （1）求这个函数的表达式； （2）在给出的平面直角坐标系中，请用你喜欢的方法面出这个函数的图象并写出这个函数的一条性质； （3）已知函3x 21y -=的图象如图 所示，结合你所画的函数图象，直 接写出不等式3x 21b 3kx -≤+-的 解集．7．函数图象在探索函数的性质中有非常重要的作用，下面我们就一类特殊的函数展开探索．画函数y＝﹣2|x|的图象，经历分析解析式、列表、描点、连线过程得到函数图象如图所示；经历同样的过程画函数y＝﹣2|x|+2和y＝﹣2|x+2|的图象如图所示．（1）观察发现：三个函数的图象都是由两条射线组成的轴对称图形；三个函数解折式中绝对值前面的系数相同，则图象的开口方向和形状完全相同，只有最高点和对称轴发生了变化．写出点A，B的坐标和函数y＝﹣2|x+2|的对称轴．（2）探索思考：平移函数y＝﹣2|x|的图象可以得到函数y＝﹣2|x|+2和y＝﹣2|x+2|的图象，分别写出平移的方向和距离．（3）拓展应用：在所给的平面直角坐标系内画出函数y＝﹣2|x﹣3|+1的图象．若点（x1，y1）和（x2，y2）在该函数图象上，且x2＞x1＞3，比较y1，y2的大小．8.已知函数2x b2ax y 1+-+=，其自变量的取值范围是x>-2，当x=2时，y 1=-2；当x=6时，y 1=-5.（1）根据给定的条件，求出a 、b 的值和y 1的函数解析式；（2）根据你所求的函数解析式，选取适当的自变量x 完成下表，并在下面的平面直角坐标系中描点并画出函数的大致图象.（3）请画出y 2=x-4的图象，并结合图象直接写出：当y 1>y 2时，x 的取值范围是 .9.某班“数学兴趣小组”对函数的函数图象与性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．（1）函数的自变量x的取值范围是；下表是y与x的几组对应值．﹣则表格中的m＝；（2）如图，在平面直角坐标系中，画出该函数的图象；（3）进一步探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是（2，3），结合函数图象，写出一条该函数的其它性质；（4）该函数的图象关于点（，）成中心对称，若直线y＝m与该函数的图象无交点，请求出m的取值范围．10.参考答案1．参照学习函数的过程与方法，探究函数y ＝的图象与性质．因为y ＝，即y ＝﹣+1，所以我们对比函数y ＝﹣来探究．列表：﹣描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以y＝相应的函数值为纵坐标，描出相应的点，如图所示：（1）请把y轴左边各点和右边各点，分别用一条光滑曲线顺次连接起来；（2）观察图象并分析表格，回答下列问题：①当x＜0时，y随x的增大而增大；（填“增大”或“减小”）②y＝的图象是由y＝﹣的图象向上平移1个单位而得到；③图象关于点（0，1）中心对称．（填点的坐标）（3）设A（x1，y1），B（x2，y2）是函数y＝的图象上的两点，且x1+x2＝0，试求y1+y2+3的值．【解答】解：（1）函数图象如图所示：（2）①当x＜0时，y随x的增大而增大；②y＝的图象是由y＝﹣的图象向上平移1个单位而得到；③图象关于点（0，1）中心对称．（填点的坐标）故答案为增大，上，1，（0，1）（3）∵x1+x2＝0，∴x1＝﹣x2，∴A（x1，y1），B（x2，y2）关于（0，1）对称，∴y1+y2＝2，∴y1+y2+3＝5．2．已知函数y＝y1+y2，其中y1与x成反比例，y2与x﹣2成正比例，函数的自变量x的取值范围是x≥，且当x＝1或x＝4时，y的值均为．请对该函数及其图象进行如下探究：（1）解析式探究：根据给定的条件，可以确定出该函数的解析式为：．（2）函数图象探究：①根据解析式，补全下表：②根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出函数图象（3）结合画出的函数图象，解决问题：①当x＝，，8时，函数值分别为y1，y2，y3，则y1，y2，y3的大小关系为：y2＜y1＜y3；（用“＜”或“＝”表示）②若直线y＝k与该函数图象有两个交点，则k的取值范围是1＜k≤，此时，x的取值范围是≤x≤8．【解答】解：（1）设，y2＝k2（x﹣2），则，由题意得：，解得：，∴该函数解析式为，故答案为：，（2）①根据解析式，补全下表：②根据上表在平面直角坐标系中描点，画出图象．（3）①由（2）中图象可得：（2，1）是图象上最低点，在该点左侧，y随x增大而减小；在该点右侧y随x增大而增大，∴y2＜y1＜y3，故答案为：y2＜y1＜y3，②观察图象得：x≥，图象最低点为（2，1），∴当直线y＝k与该图象有两个交点时，1＜k≤，此时x的范围是：≤x≤8．故答案为：1＜k≤，≤x≤8．3．已知y＝y1﹣y2，其中y1与x﹣1成反比例，y2＝x+b，下表给出了自变量x与函数y的一些对应值．（1）求函数y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）补全表格m＝，n＝；（3）在如图所示的平面直角坐标系中，根据表中数据描出相应的点，画出函数图象；（4）根据图象直接写出y1≥y2时，自变量x的取值范围．﹣﹣【解答】解：（1）y1与x﹣1成反比例，设y1＝，∴y＝y1﹣y2＝﹣x+b，令x＝0，则﹣k+b＝﹣1，令x＝﹣1，则﹣++b＝，∴k＝2，b＝1，∴y＝﹣x+1，（x≠1）；（2）当x＝﹣2时，m＝，当x＝3时，n＝，故答案为，；（3）如图：（4）当y1≥y2，∴y≥0，当y＝0时，x＝或x＝，结合函数图象可知x≤或1＜x≤；4．已知函数，探究函数图象和性质过程如下：（1）下表是y与x的几组值，则解析式中的m＝﹣3，表格中的n＝（2）在平面直角坐标系中描出表格中各点，并画出函数图象：（3）若A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）为函数图象上的三个点，其中x2+x3＞4且﹣1＜x1＜0＜x2＜2＜x3＜4，则y1、y2、y3之间的大小关系是y1＜y3＜y2；（4）若直线y＝k+1与该函数图象有且仅有一个交点，则k的取值范围为k＜﹣1或k ＝3．【解答】解：（1）将表格中（﹣5，）代入函数y＝中，得m＝﹣3将x＝5代入函数y＝﹣（x﹣2）2+4中，得y＝，即n＝故答案为：﹣3，；（2）如图所示，（3）∵﹣1＜x1＜0，即﹣2＜x1﹣1＜﹣1，﹣1＜＜﹣，＜＜3，∴＜y1＜3∵0＜x2＜2，∴﹣2＜x2﹣2＜0，＜4，即﹣＞﹣1∴﹣+4＞3 即y2＞3＞y1∵2＜x3＜4，在对称轴右侧，∴y随着x的增加而减小，∴3＜y3＜4，∴y3＞y1又∵x2+x3＞4且x2＜2＜x3且对称轴为x＝2，∴（2﹣x2）﹣（x3﹣2）＝4﹣（x2+x3）＜0∴2﹣x2＜x3﹣2即x3距离对称轴更远，∴y3＜y2综上所述，y1＜y3＜y2故答案为y1＜y3＜y2（4）直线y＝k+1为平行于x轴的直线，观察图象可知，k+1＜0或k+1＝4时，与该函数图象有且仅有一个交点，∴k＜﹣1或k＝3故答案为k＜﹣1或k＝35.吴京同学根据学习函数的经验，对一个新函数y＝的图象和性质进行了如下探究，请帮他把探究过程补充完整（1）该函数的自变量x的取值范围是一切实数．（2）列表：表中m＝，n＝．（3）描点、连线在下面的格点图中，建立适当的平面直角坐标系xOy中，描出上表中各对对应值为坐标的点（其中x为横坐标，y为纵坐标），并根据描出的点画出该函数的图象：（4）观察所画出的函数图象，写出该函数的两条性质：①该函数有最小值没有最大值；②该函数图象关于直线x＝2对称．【解答】解：（1）由y＝知，x2﹣4x+5≠0，所以变量x的取值范围是一切实数．故答案为：一切实数；（2）m＝，n＝，y=x-3故答案为：；；（3）建立适当的直角坐标系，描点画出图形，如下图所示：（4）观察所画出的函数图象，有如下性质：①该函数有最小值没有最大值；②该函数图象关于直线x ＝2对称．故答案为：该函数有最小值没有最大值；该函数图象关于直线x ＝2对称6. 解：（1）将x=2时，y= -4和分别代入y=|kx-3|+b 中，得⎪⎩⎪⎨⎧-=+--=+-1b 34b 3k 2解得：⎪⎩⎪⎨⎧-==4b 23k ∴这个函数的表达式是 43x 23y --=……（3分） （2）函数图象如答图……（5①当x<2时，y 随x当x>2时，y随x的增大而增大.②当x=2时，函数有最小值，最小值是-4. ……（7分）（3）不等式的解集是1≤x≤4……（10分）7．函数图象在探索函数的性质中有非常重要的作用，下面我们就一类特殊的函数展开探索．画函数y＝﹣2|x|的图象，经历分析解析式、列表、描点、连线过程得到函数图象如图所示；经历同样的过程画函数y＝﹣2|x|+2和y＝﹣2|x+2|的图象如图所示．（1）观察发现：三个函数的图象都是由两条射线组成的轴对称图形；三个函数解折式中绝对值前面的系数相同，则图象的开口方向和形状完全相同，只有最高点和对称轴发生了变化．写出点A，B的坐标和函数y＝﹣2|x+2|的对称轴．（2）探索思考：平移函数y＝﹣2|x|的图象可以得到函数y＝﹣2|x|+2和y＝﹣2|x+2|的图象，分别写出平移的方向和距离．（3）拓展应用：在所给的平面直角坐标系内画出函数y＝﹣2|x﹣3|+1的图象．若点（x1，y1）和（x2，y2）在该函数图象上，且x2＞x1＞3，比较y1，y2的大小．【解答】解：（1）A（0，2），B（﹣2，0），函数y＝﹣2|x+2|的对称轴为x＝﹣2；（2）将函数y＝﹣2|x|的图象向上平移2个单位得到函数y＝﹣2|x|+2的图象；将函数y＝﹣2|x|的图象向左平移2个单位得到函数y＝﹣2|x+2|的图象；（3）将函数y＝﹣2|x|的图象向上平移1个单位，再向右平移3个单位得到函数y＝﹣2|x ﹣3|+1的图象．所画图象如图所示，当x2＞x1＞3时，y1＞y2．8.已知函数2x b2ax y 1+-+=，其自变量的取值范围是x>-2，当x=2时，y 1=-2；当x=6时，y 1=-5.（1）根据给定的条件，求出a 、b 的值和y 1的函数解析式；（2）根据你所求的函数解析式，选取适当的自变量x 完成下表，并在下面的平面直角坐标（3）请画出y 2=x-4的图象，并结合图象直接写出：当y 1>y 2时，x 的取值范围是 . 解：（1）∵当x=2时，y 1=-2；当x=6时，y 1=-5. ∴⎪⎩⎪⎨⎧+-+=-+-+=-26b 2a 6522b 2a 22，解得⎩⎨⎧=-=8b 1a ∴a 的值为-1，b 的值为8， y 1的函数解析式为2x 82x y 1+-+-=.……3分. （2）列表：……5分描点，连线，画出图象如图所示. ……8分（3）画出y 2=x-4的图象，如图所示.当y 1>y 2时，x 的取值范围是-1<x<2. ……10分9.某班“数学兴趣小组”对函数的函数图象与性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．（1）函数的自变量x的取值范围是；下表是y与x的几组对应值．﹣则表格中的m＝；（2）如图，在平面直角坐标系中，描出了以上表格中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；（3）进一步探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是（2，3），结合函数图象，写出一条该函数的其它性质；（4）该函数的图象关于点（1，1）成中心对称，若直线y＝m与该函数的图象无交点，请求出m的取值范围．【解答】解：（1）函数的自变量x的取值范围是x≠1；x＝4时，y＝+4＝，∴m＝．故答案为．（2）函数图象如图所示：（3）x＞2时y随x的增大而增大．（答案不唯一）（4）①该函数的图象关于点（1，1）成中心对称；直线y＝m与该函数的图象无交点，则m的取值范围为﹣1＜m＜3；故答案为1，1．10.（1）。
高考函数的十大题型
高考函数的十大题型一、函数定义与性质1.确定函数的定义域、值域，并描述函数的单调性、奇偶性、周期性等基本性质。
2.根据函数的不同特性比较大小，解决与函数性质相关的问题。
二、函数图象与变换1.能够绘制函数的图象，并分析函数的周期性、对称性等特性。
2.通过平移、对称、伸缩等变换，研究函数图象的变化规律。
三、函数解析式与求值1.根据函数解析式，求函数的值或已知函数值求自变量的值。
2.理解参数在函数中的作用，掌握参数的求法。
四、函数不等式与最值1.利用函数的单调性或导数研究不等式，解决与不等式相关的问题。
2.求解函数的最大值、最小值，以及在特定条件下的最优化问题。
五、函数零点与方程根1.求函数的零点或方程的根，并分析零点或根的分布情况。
2.利用零点或根的性质解决方程的求解问题。
六、函数单调性与极值1.利用导数研究函数的单调性，判断函数的极值点。
2.求函数的极值或已知极值求参数的值。
七、函数奇偶性与周期性1.分析函数的奇偶性，判断函数的对称性。
2.研究函数的周期性，掌握周期函数的性质和特点。
八、函数值域与最优化1.求函数的值域或已知值域求参数的范围。
2.解决与最优化相关的问题，如最大利润、最小成本等。
九、函数在实际问题中的应用1.利用函数模型解决实际问题，如增长率、人口模型等。
2.掌握常见函数在实际问题中的应用技巧和方法。
十、综合题与压轴题1.掌握综合题的解题思路和方法，能够灵活运用多个知识点解决复杂问题。
2.掌握压轴题的解题技巧和方法，提高解题能力和思维水平。
函数基本概念常考题型含详解
函数概念常考基础题型题型一：函数概念1、下列各曲线中，不能表示y是X的函数的是（）2、下列对应关系是从集合A到集合3的函数的是()A. A = R, B = {x∣x>O∣, f：x→γ = ∣xB. A = R, B = {x∣x>0∣, f：x→ y = lnxC. A = Z 9 B = N , f：x → y = y[xD. A = Z, B = N, /：x→y 二∕3、判断下列对应是否为函数：(1) /：x→j=x, x∈{x∣0<x<6), j∈{j∣O<y≤3}5(2) /：x→y=-x f x∈{x∣0≤x≤6}, j∈{j∣0<y≤3}j6(3) f：x→βy=3x+L χGR, y∈R题型二：区间表示1、用区间表示下列集合:(1) {x∣-l ≤x≤3} ； (2) {x∣0<x≤ 1} ； (3) {x∖2≤x<5}；(4) {x∣0<x<2}∙ (5) [x∖x<3}； (6) {x∖x≥2}.2、若［a, 3a—1］为一确定区间，则a的取值范围是题型三：求函数的定义域1、求下列函数的定义域：(1) y — 2x÷3H ---------- ；(2) y —>∕x + 3 H—；(3) y —>∕x+^3 ÷ V—% —3.x-∖x2、解下列各题：(1)已知函数∕(x)的定义域是［1,2］,求函数/(X+1)的定义域.(2)已知函数/(X+1)的定义域是［L2］,求函数/(九)的定义域.(3)已知函数∕(x+l)的定义域为［一2』，求函数g(χ) =―二+ f(χ-2)的定义域。
x — 2(4)已知函数y=，〃优2 _6〃›+加+8的定义域是R,求实数机的取值范围.3、若y = ∕(χ)的定义域为［-1」，则函数y = ∕(3χ) + ∕ -的定义域为\ 3 )。
函数必考知识点及常考题型总结(优质资料)
函数必考知识点及常考题型总结（优质资料）一、函数的定义函数是指一个特定的输入与输出之间的关系。
通常情况下，函数有一个或多个输入（也可以没有输入），并且通过执行特定的算法或过程来产生一个输出。
函数的输入可以是数字、字符串、布尔值或其他值，输出也可以是数字、字符串、布尔值或其他值。
二、函数的调用与参数函数的调用是指在代码中使用函数的名称来触发函数执行的过程。
通常情况下，我们需要给函数传递参数，以便让函数使用这些参数来执行一些操作并返回结果。
参数可以是数字、字符串、布尔值或其他值。
三、函数的返回值函数的返回值是指函数执行完毕后返回的结果。
在函数定义时，我们可以指定函数的返回值类型，以便在函数执行完毕后返回一个特定的类型的值。
函数的返回值可以是数字、字符串、布尔值或其他类型的值。
四、函数的作用域与变量函数的作用域是指函数内可以访问的变量的范围。
在函数内部定义的变量只能在函数内部使用，这些变量被称为局部变量。
全局变量则可以在整个程序中使用，在函数内部也可以访问。
五、函数的递归函数的递归是指在函数内部调用自身的过程。
这样可以让函数自己不断地调用自己，直到达到某个条件为止。
递归函数通常会使用条件语句来判断是否需要继续递归，以便防止出现无限递归的情况。
六、函数的高阶函数的高阶是指函数可以作为参数传递给另一个函数，或者可以作为返回值返回给调用者。
这样可以让我们编写更为灵活的代码，使得我们可以把函数看做是数据结构的一种。
七、函数式编程函数式编程是一种编程范式，它强调的是函数的纯度和不可变性。
函数式编程通常会强调使用只读数据和不可变数据，这样可以将程序中的错误降到最低。
此外，函数式编程还可以采用递归、高阶函数等技术，来实现更为复杂的程序逻辑。
常见的函数题型：1.编写一个函数，计算两个数的和。
2.编写一个函数，计算一个数的平方。
3.编写一个函数，接受一个字符串参数，输出字符串的长度。
4.编写一个函数，接受一个整数列表参数，输出所有元素的平均值。
完整版)函数的单调性知识点与题型归纳
完整版)函数的单调性知识点与题型归纳备考知考情：在高考中，理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义以及运用基本初等函数的图象分析函数的性质是非常重要的。
函数的单调性是热点，常见问题有求单调区间、判断函数的单调性、求参数的取值、利用函数单调性比较数的大小以及解不等式等。
客观题主要考查函数的单调性，最值的确定与简单应用。
题型多以选择题、填空题的形式出现，若与导数交汇命题，则以解答题的形式出现。
一、知识梳理在研究函数单调性之前，必须先求函数的定义域。
函数的单调区间是定义域的子集，单调区间不能并。
知识点一：函数的单调性单调函数的定义：若函数f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D 叫做f(x)的单调区间。
注意：1.定义中x1，x2具有任意性，不能是规定的特定值。
2.函数的单调区间必须是定义域的子集。
3.定义有两种变式。
问题探究：1.关于函数单调性的定义应注意哪些问题？1）定义中x1，x2具有任意性，不能是规定的特定值。
2）函数的单调区间必须是定义域的子集。
3）定义有两种变式。
2.单调区间的表示注意哪些问题？单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示。
如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结。
知识点二：单调性的证明方法：定义法及导数法高频考点例1：规律方法1) 定义法：利用定义证明函数单调性的一般步骤是：①任取x1、x2∈D，且x1<x2；②作差f(x1)－f(x2)，并适当变形（如“分解因式”、配方成同号项的和等）；③依据差式的符号确定其增减性。
2) 导数法：x＋1x＋1a>0)由定义可知。
f(x1f(x2即f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．法二：导数法f′(x)＝a(x＋1)－axx＋1)2ax＋1)2a>0，x∈(－1，＋∞))即f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．例2.（2）《名师一号》P16高频考点例1（2）判断函数f(x)＝x2－2x＋3在R上的单调性，并证明．法一：导数法f′(x)＝2x－22(x－1)当x<1时，f′(x)<0，即f(x)在(－∞，1)上为减函数；当x>1时，f′(x)>0，即f(x)在(1，＋∞)上为增函数．综上可知，f(x)在R上单调性不同．法二：二次函数法对于任意实数x，有f(x)＝(x－1)2＋2因为平方项非负，所以f(x)的最小值为2，即f(x)≥2；又因为当x＝1时，f(x)＝2，所以f(x)的最小值为2，即f(x)≥2；又因为当x＝1时，f(x)＝2，所以f(x)在(－∞，1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数．综上可知，f(x)在R上单调性不同．例3.（1）《名师一号》P16高频考点例1（3）设f(x)＝exax－b，其中a，b为常数，证明：当a2<4时，f(x)在R上为凸函数；当a2>4时，f(x)在R上为下凸函数；当a2＝4时，f(x)在R上为抛物线．证明：f′(x)＝exaf′′(x)＝ex当a20，即f(x)在R上为凸函数；当a2>4时，f′′(x)<0，即f(x)在R上为下凸函数；当a2＝4时，f′′(x)＝0，即f(x)为抛物线．因此，当a2<4时，f(x)在R上为凸函数；当a2>4时，f(x)在R上为下凸函数；当a2＝4时，f(x)在R上为抛物线．2.1、解析：根据题意，我们可以列出不等式a-2<0，解得a≤2.代入原式得到实数a的取值范围为(-∞。
函数的图像知识点及题型归纳总结
函数的图像知识点及题型归纳总结知识点精讲一、掌握基本初等函数的图像 （1）一次函数；（2）二次函数；（3）反比例函数；（4）指数函数；（5）对数函数；（6）三角函数. 二、函数图像作法 1.直接画①确定定义域；②化简解析式；③考察性质：奇偶性（或其他对称性）、单调性、周期性、凹凸性；④特殊点、极值点、与横/纵坐标交点；⑤特殊线（对称轴、渐近线等）. 2.图像的变换 （1）平移变换①函数()(0)y f x a a =+>的图像是把函数()y f x =的图像沿x 轴向左平移a 个单位得到的； ②函数()(0)y f x a a =->的图像是把函数()y f x =的图像沿x 轴向右平移a 个单位得到的； ③函数()(0)y f x a a =+>的图像是把函数()y f x =的图像沿y 轴向上平移a 个单位得到的； ④函数()(0)y f x a a =+>的图像是把函数()y f x =的图像沿y 轴向下平移a 个单位得到的； （2）对称变换①i:函数()y f x =与函数()y f x =-的图像关于y 轴对称； ii:函数()y f x =与函数()y f x =-的图像关于x 轴对称；iii: 函数()y f x =与函数()y f x =--的图像关于坐标原点(0,0)对称； ②i:若函数()f x 的图像关于直线x a =对称，则对定义域内的任意x 都有()()f a x f a x -=+或()(2)f x f a x =-（实质上是图像上关于直线x a =对称的两点连线的中点横坐标为a ，即()()2a x a x a -++=为常数）；ii: 若函数()f x 的图像关于点(,)a b 对称，则对定义域内的任意x 都有()2(2)()2()f x b f a x f a x b f a x =---=-+或③()y f x =的图像是将函数()f x 的图像保留x 轴上方的部分不变，将x 轴下方的部分关于x 轴对称翻折上来得到的（如图2-21（a ）和图2-21（b ））所示④()y f x =的图像是将函数()f x 的图像只保留y 轴右边的部分不变，并将右边的图像关于y 轴对称得到函数()y f x =左边的图像即函数()y f x =是一个偶函数（如图2-21（c ）所示）.注：()f x 的图像先保留()f x 原来在x 轴上方的图像，做出x 轴下方的图像关于x 轴对称图形，然后擦去x 轴下方的图像得到；而()f x 的图像是先保留()f x 在y 轴右方的图像，擦去y 轴左方的图像，然后做出y 轴右方的图像关于y 轴的对称图形得到.这两变换又叫翻折变换. ⑤函数1()y fx -=与()y f x =的图像关于y x =对称.（3）伸缩变换①()(0)y Af x A =>的图像，可将()y f x =的图像上的每一点的纵坐标伸长(1)A >或缩短(01)A <<到原来的A 倍得到.②()(0)y f x ωω=>的图像，可将()y f x =的图像上的每一点的横坐标伸长(01)ω<<或缩短(1)ω>到原来的1ω倍得到. 题型归纳及思路提示题型1 由式选图（识图） 思路提示利用函数的性质（如定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性、特殊点等）排除错误选项，从而筛选出正确答案例2.70 函数22xy x =-的图像大致是（）分析观察四个选项给出的图像，区别在于函数零点的个数及单调性不同.解析解法一：当0x ≤时，函数2xy =单调递增，同时函数2y x =-单调递增，故函数()f x 在(],0-∞上单调递增，排除,C D ；当0x >时，()f x 存在两个零点122,4x x ==，所以排除选项B .故选A . 解法二：如图2-22所示，有图像可知，函数2xy =与函数2y x =的交点有3个，说明函数22xy x =-的AxOxyO y xx yO O y BCD零点有3个，故排除选项,B C ；当0x x <时，22x x >成立，即220x y x =-<，故排除选项D ，故选A .变式1 函数ln cos 22y x x ππ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭的图像是（）变式2 在同一坐标系中画出函数log ,,xa y x y a y x a ===+的图像，可能正确的是（）变式3 函数2y ax bx =+与log ,0,b ay x ab a b =≠≠在同一直角坐标系中的图像可能是（）变式4（2012新课标全国卷10）已知函数1()ln(1)f x x x=+-，则()y f x =的图像大致为（ ）题型2 函数图像的应用 思路提示1利用函数图像判断方程解的个数.由题设条件作出所研究对象的图像，利用图像的直观性得到方程解的个数.例2.71函数0.5()2log 1xf x x =-的零点个数为（ ）.1A.2B.3C.4D解析令0.5()2log 10xf x x =-=可得0.51log 2xx ⎛⎫= ⎪⎝⎭.设0.5()log g x x =，1()2xh x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，在同一坐标系下分别画出函数(),()g x h x 的图像，如图2-23所示.可以发现两个函数一定有2个交点，因此函数()f x 有2个零点.故选B .变式1 已知函数32,2()(1),2x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩，若关于x 的方程()f x k =有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是变式2 直线1y =与曲线2y x x a =-+有4个交点，则a 的取值范围是变式3 函数()2ln f x x =的图像与函数2()45g x x x =-+的图像的交点个数为（）.3A .2B .1C .0D变式4 设定义域为R 的函数lg 1(1)()0(1)x x f x x ⎧-≠⎪=⎨=⎪⎩，则关于x 的方程[]2()()0f x bf x c ++=有7个不同实数解的充要条件是（）.00Ab c <>且.00B b c ><且.00C b c <=且.00Db c ≥=且变式5 设定义域为R 的函数1251(0)()44(0)x x f x x x x -⎧-≥⎪=⎨++<⎪⎩，若关于x 的方程[]22()2()0f x mxf x m -+=有7个不同实数解，则m =思路提示2利用函数图像求解不等式的解集及参数的取值范围.先作出所研究对象的图像，求出它们的交点，根据题意结合图像写出答案例2.72设函数1221(0)()(0)x x f x x x -⎧-≤⎪=⎨⎪>⎩，若0()1f x >，则0x 的取值范围是（）.(1,1)A -.(1,)B -+∞.(,2)(0,)C -∞+∞.(,1)(1,)D -∞-+∞分析作出函数()y f x =与1y =的图像，由图像得不等式的解集.解析作出函数()y f x =与1y =的图像，如图2-24所示，得0()1f x >所对应的0x 的取值范围是(,1)(1,)-∞-+∞，故选D .变式1 (2010新课标全国卷理24)设函数(),142+-=x x f 若不等式()ax x f ≤的解集非空，求a 的取值范围.变式2 已知函数()()(),040422⎪⎩⎪⎨⎧<-≥+=x x x x x x x f 若不等式()()a f a f >-22，则实数a 的取值范围是 （ ） A 、()()+∞⋃-∞-,21, B 、()2,1- C 、()1,2- D 、()()+∞⋃-∞-,12,变式3 （2012福建理15）对于实数a 和b ，定义运算“*”：a *b =⎪⎩⎪⎨⎧>-≤-ba ab b ba ab a ,,22，设()()12-=x x f *()1-x ，且关于x 的方程()()R m m x f ∈=恰有3个互不相等的实数根1x32,,x x ，则321x x x 的取值范围是 .变式4（2010新课标全国卷理11）已知函数()(),10621)100(lg ⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤<=x x x x x f 若c b a ,,互不相等，且()()(),c f b f a f ==则abc 的取值范围是 （ ）A 、()10,1B 、()6,5C 、()12,10D 、()24,20思路提示3利用函数图像求函数的最值，先做出所涉及到的函数图像，根据题目对函数的要求，从图像上寻找取得最值的位置，计算出结果，这体现出了数形结合的思想。
函数复习题及答案
函数复习题及答案一、选择题1. 函数f(x) = 2x^2 + 3x - 5的图像关于哪条直线对称？A. x = -1B. x = 1C. x = 0D. x = 3答案： B2. 如果函数f(x) = x^3 - 2x^2 + x + 2的导数为0，那么x的值是多少？A. -1B. 0C. 1D. 2答案： C3. 函数g(x) = 1/x在区间(0, +∞)上的单调性是？A. 单调递增B. 单调递减C. 先递增后递减D. 先递减后递增答案： B二、填空题4. 函数h(x) = 4x^3 - 5x^2 + 2x + 1的极值点是______。
答案： x = 0 或 x = 5/45. 如果函数f(x) = sin(x) + cos(x)的最大值为√2，那么x的取值范围是______。
答案：[2kπ + π/4, 2kπ + 5π/4] (k ∈ Z)三、简答题6. 描述函数y = x^2在区间[-1, 1]上的性质。
答案：函数y = x^2在区间[-1, 1]上是单调递增的，且图像是一个开口向上的抛物线，顶点在原点。
7. 解释什么是函数的周期性，并给出一个周期函数的例子。
答案：函数的周期性是指函数值在某个固定的间隔内重复出现的性质。
例如，正弦函数sin(x)就是一个周期函数，它的周期是2π。
四、计算题8. 计算函数f(x) = 3x^2 - 4x + 5在x = 2时的值。
答案： f(2) = 3 * (2)^2 - 4 * 2 + 5 = 12 - 8 + 5 = 99. 求函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2的一阶导数和二阶导数。
答案：一阶导数：f'(x) = 3x^2 - 12x + 9二阶导数：f''(x) = 6x - 12五、证明题10. 证明对于任意实数x，函数f(x) = x^3 - 3x + 2的值总是大于0。
答案：首先求导f'(x) = 3x^2 - 3，令导数为0得到x = ±1。
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一、 函数定义域函数定义域问题一般比较简单，高考中常以常规简单题为主，后面的几种题型仅供参考，没必要掌握较难。
一．解题准备:已知解析式求定义域的问题,应根据解析式中各部分的要求,首先列出自变量应满足的不等式或不等式组,然后解这个不等式或不等式组,解答过程要注意考虑全面,最后定义域必须写成集合或区间的形式.二．求明确解析式表示的函数定义域常见的几种情况：(1)若f(x)是整式，则函数的定义域是实数集R.(2)若f(x)是分式，则函数的定义域是使分母不等于0的实数集．(3)若f(x)是二次(偶次)根式，则函数的定义域是使被开方式大或等于0的实数集合． (4)若f(x)是零指数幂，则零指数幂的底数不等于0. (5)若f(x)是指数式，则函数的定义域是使底数大于0且不等于1的实数集．若f(x)是对数式，则函数的定义域是使真数大于0，且底数大于0且不等于1的实数集． (6)若f(x)是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各个式子同时有意义的实数的集合的交集。
（高考常考）(7)由实际问题确定的函数,其定义域要受实际问题的约束．三．题型 （题型1）常规题(山东文数12年T3)函数21()4ln(1)f x x x =+-+的定义域为(A)[2,0)(0,2]- (B)(1,0)(0,2]- (C)[2,2]- (D)(1,2]- (山东文数13年T5)、函数1()123xf x x =-++的定义域为 (A)(-3，0] (B) (-3，1] (C) (,3)(3,0]-∞-- (D) (,3)(3,1]-∞--(题型2)求抽象函数的定义域时：①若已知函数f(x)的定义域为[a ，b]，其复合函数f(g(x))的定义域由不等式a ≤g(x)≤b 求出．【典例1】②若已知函数f(g(x))的定义域为[a ，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x ∈[a ，b]时的值域．【典例2】1.已知函数f(x)的定义域为[0,1],求函数f(2x+1)的定义域________.2.已知函数f(x+1)的定义域是[0,9],则函数f(2x)的定义域为_____3.若函数)(x f y =的定义域为[-1，1]，求函数)41(+=x f y )41(-⋅x f 的定义域解：要使函数有意义，必须：43434543434514111411≤≤-⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤-⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤-≤+≤-x x x x x ∴函数)41(+=x f y )41(-⋅x f 的定义域为：⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-4343|x x （题型3）逆向型：已知函数的定义域，求含参数的取值范围例4.若函数aax ax y 12+-=的定义域是R ，求实数a 的取值范围 解：∵定义域是R,∴恒成立，012≥+-aax ax ∴⎪⎩⎪⎨⎧≤<⇒≤⋅-=∆>2001402a a a a a 等价于题型4.（实际应用型）----------------------------略二、函数值域问题函数值域问题相对于求定义域、解析式考的较少些，山东近几年高考仅2010年T3（复合函数求值域----换元法）进行了考察。
求值域针对不同的题型有不同的方法，规律性也较强，这些方法贯穿高中的始终，打好基础题型再怎么变也没问题！需掌握常考的题型即可。
（1）、直接法：从自变量x 的范围出发，推出()y f x =的取值范围。
或由函数的定义域结合图象，或直观观察，准确判断函数值域的方法。
例1：求函数()11,1y x x x =-++≥的值域。
)2,⎡+∞⎣ 例2：求函数2610y x x =++的值域。
[)1,+∞例3：求函数1y x =+的值域。
解：∵0x ≥，∴11x +≥， ∴函数1y x =+的值域为[1,)+∞。
（2）、配方法：配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。
形如2()()()F x af x bf x c =++的函数的值域问题，均可使用配方法。
——建议直接根据二次函数定义域与对称轴去数形结合例1：求函数242y x x =-++（[1,1]x ∈-）的值域。
解：2242(2)6y x x x =-++=--+，∵[1,1]x ∈-，∴2[3,1]x -∈--，∴21(2)9x ≤-≤∴23(2)65x -≤--+≤，∴35y -≤≤∴函数242y x x =-++（[1,1]x ∈-）的值域为[3,5]-。
（3）．最值法：对于闭区间上的连续函数（单调性），利用函数的最大值、最小值求函数的值域的方法。
例1：求函数2xy =，[]2,2x ∈-的值域。
1,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦例2：求函数2256y x x =-++的值域。
73,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦（4）、反函数法（逆求法或有界法）：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域。
利用某些函数有界性求得原函数的值域。
例1：求函数1212xxy -=+的值域。
解：由1212x xy -=+解得121xy y -=+， ∵20x>，∴101yy->+，∴11y -<< ∴函数1212xxy -=+的值域为(1,1)y ∈-。
例2：求函数2sin 2sin xy x-=+的值域。
1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦（5）、分离常数法：分子、分母是一次函数得有理函数，可用分离常数法，此类问题一般也可以利用反函数法。
小结：已知分式函数)0(≠++=c dcx bax y ，如果在其自然定义域（代数式自身对变量的要求）内，值域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠c a y y ；如果是条件定义域（对自变量有附加条件），采用部分分式法将原函数化为)(bc ad dcx c adb c a y ≠+-+=，用复合函数法来求值域。
例1：求函数125xy x -=+的值域。
解：∵177(25)112222525225x x y x x x -++-===-++++， ∵72025x ≠+，∴12y ≠-，∴函数125x y x -=+的值域为1{|}2y y ≠-。
（6）、换元法：①运用代数代换，奖所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域，形如y ax b cx d =+±+（a 、b 、c 、d 均为常数，且0a ≠）的函数常用此法求解。
②复合函数型（常考）：对函数(),()y f u u g x ==，先求()u g x =的值域充当()y f u =的定义域，从而求出()y f u =的值域的方法。
例1：求函数212y x x =+-的值域。
解：令12t x =-（0t ≥），则212t x -=，∴22151()24y t t t =-++=--+∵当12t =，即38x =时，max 54y =，无最小值。
∴函数212y x x =+-的值域为5(,]4-∞。
例2：求函数212log (253)y x x =-++的值域。
(设真数为t ，注意换元过程中定义域保持一致)（2010山东文数T3）)13(log )(2+=xx f 的值域为 （A ）(0,)+∞ （B ）[)0,+∞（C ）(1,)+∞（D ）[)1,+∞（7）、判别式法：把函数转化成关于x 的二次方程(,)0F x y =；通过方程有实数根，判别式0∆≥，从而求得原函数的值域，形如21112222a xb xc y a x b x c ++=++（1a 、2a 不同时为零）的函数的值域，常用此方法求解。
例1：求函数2231x x y x x -+=-+的值域。
解：由2231x x y x x -+=-+变形得2(1)(1)30y x y x y ---+-=，当1y =时，此方程无解；当1y ≠时，∵x R ∈，∴2(1)4(1)(3)0y y y ∆=----≥， 解得1113y ≤≤，又1y ≠，∴1113y <≤ ∴函数2231x x y x x -+=-+的值域为11{|1}3y y <≤（8）、数型结合法：函数图像是掌握函数的重要手段，利用数形结合的方法，根据函数图像求得函数值域，是一种求值域的重要方法。
当函数解析式具有某种明显的几何意义（如两点间距离，点到直线的距离，直线的斜率、截距等，这一块常与线性规划相结合）或当一个函数的图象易于作出时，借助几何图形的直观性可求出其值域。
例1：求函数|3||5|y x x =++-的值域。
解：∵22|3||5|822x y x x x -+⎧⎪=++-=⎨⎪-⎩(3)(35)(5)x x x <--≤<≥，∴|3||5|y x x =++-的图像如图所示，由图像知：函数|3||5|y x x =++-的值域为[8,)+∞（9）.平方法求函数x x y -+-=53 的值域解：（平方法）函数定义域为：[]5,3∈x[][][][]2,24,21,0158,5,31582)5()3(2222原函数值域为得由∴∈∴∈-+-∈-+-+-+-=y x x x x x x x y（10）、导数法若函数f 在),(b a 内可导, 可以利用导数求得f 在),(b a 内的极值, 然后再计算f 在a ,b 点的极限值. 从而求得f 的值域.例1： 求函数x x x f 3)(3-=在)1,5(-内的值域.（11）、基本不等式法——一正二定三相等（这个作为一个不等式专题去研究）当然求函数值域还有很多方法，例如三角换元法等等，一个题有时候可以用不同的方法去求解，需灵活运用。
85-3oyx三、求函数解析式函数专题之解析式问题求函数解析式的方法把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫函数的解析式，简称解析式。
求函数解析式的题型有：（1）已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法； （2）已知()f x 求[()]f g x 或已知[()]f g x 求()f x ：换元法、配凑法；（3）已知函数图像，求函数解析式； （4）()f x 满足某个等式，这个等式除()f x 外还有其他未知量，需构造另个等式：解方程组法；（5）应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等。
一 【待定系数法】（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）若已知)(x f 的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得)(x f 的表达式。
【例1】已知函数f(x)是一次函数，且满足关系式3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17，求f(x)的解析式。
分析：所求的函数类型已定，是一次函数。
设f(x)=ax+b(a ≠0)则f(x+1)=?，f(x-1)=?解：设f(x)=ax+b(a ≠0)，由条件得：3[a(x+1)+b]-2[a(x-1)+b]=ax+5a+b=2x+17，∴f(x)=2x+7【例2】求一个一次函数f(x)，使得f{f[f(x)]}=8x+7分析：所求的函数类型已定，是一次函数。