初中数学矩形的性质与判定

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初中数学《矩形的性质与判定》PPT课件_【北师大版】1

初中数学《矩形的性质与判定》优秀课件北师大版1 -精品课件ppt (实用版)
结论
由此得到矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形.
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中考试题
例
在四边形ABCD中，对角线AC与BD互相平分，
交点为O，在不添加任何辅助线的前提下，要使四边
形ABCD成为矩形，还需添加一个条件，这个条件可
以是 AC=BD ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ ∠ABC，∠CDA，∠BAD，∠BCD
图2-46
结论
三个角是直角的四边形，容易知道另一个角也是直角，由此得到：
三个角是直角的四边形是矩形.
四边形中只有两个角是直角，我想到了下边的图形：
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动脑筋
从“矩形的对角线相等且互相平分”这一性质受到启发，你能画出对角线长度为4cm的一个矩形吗？这样的矩形有多少个？
因此点B和点C关于直线EF对称，点A和点D关于直线EF对称，从而在关于直线EF的轴反射下，矩形 ABCD的像与它自身重合，因此矩形ABCD是轴对称图形，直线EF是矩形ABCD的一条对称轴.
类似地，过点O作直线MN⊥AB，且分别与边 AB，DC相交于点M，N，则点M，N分别是边AB，
DC的中点，直线MN是矩形ABCD的一条对称轴.
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初中数学矩形的性质及其判定

矩形中考要求知识点睛矩形的性质及判定1．矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．2．矩形的性质矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，•还具有自己独特的性质：①边的性质：对边平行且相等．②角的性质：四个角都是直角．③对角线性质：对角线互相平分且相等．④对称性：矩形是中心对称图形，也是轴对称图形．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．直角三角形中，30 角所对的边等于斜边的一半．点评：这两条直角三角形的性质在教材上是应用矩形的对角线推得，用三角形知识也可推得．3．矩形的判定判定①：有一个角是直角的平行四边形是矩形．判定②：对角线相等的平行四边形是矩形．判定③：有三个角是直角的四边形是矩形．例题精讲模块一矩形的概念【例1】矩形的定义：__________________的平行四边形叫做矩形．【答案】有一个角是直角；【例2】矩形的性质：矩形是一个特殊的平行四边形，它除了具有四边形和平行四边形所有的性质，还有：矩形的四个角______；矩形的对角线______；矩形是轴对称图形，它的对称轴是____________．【答案】都是直角，相等，经过对边中点的直线；【例3】矩形的判定：一个角是直角的______是矩形；对角线______的平行四边形是矩形；有______个角是直角的四边形是矩形．【答案】平行四边形；对角线相等；三个角【例4】矩形具有而平行四边形不具有的性质为（）A ．对角线相等B ．对角相等C ．对角线互相平分D ．对边相等【解析】省略【答案】A【巩固】矩形ABCD 中，点H 为AD 的中点，P 为BC 上任意一点，PE HC ⊥交HC 于点E ，PF BH ⊥交BH 于点F ，当AB BC ，满足条件时，四边形PEHF 是矩形【解析】省略【答案】2BC AB =模块二矩形的性质【例5】如图，矩形ABCD 沿AE 折叠，使D 点落在BC 边上的F 点处，如果60BAF ∠=︒，则DAE ∠=FED CBA【解析】省略【答案】15︒【例6】矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于O ，∠AOB ＝60°，AC ＝10cm ，则BC ＝______cm ，周长为．【答案】，【例7】如图，在矩形ABCD 中，,E F 分别是,BC AD 上的点，且BE DF =. 求证：ABE ∆≌CDF ∆.D EFCAB【解析】省略【答案】∵四边形ABCD 是矩形∴90AB AD B D =∠=∠=，. 在ABE ∆和CDF ∆中，又∵BE DF =， ∴ABE ∆≌CDF ∆.【例8】如图，在矩形ABCD 中，点E 是BC 上一点，AE AD =，DF AE ⊥，垂足为F .线段DF 与图中的哪一条线段相等？先将你猜想出的结论填写在下面的横线上，然后再加以证明。

北师大版初中数学九年级上册第一章矩形的性质与判定(二)课件

第一章特殊平行四边形
第2节矩形的性质与判定(二）
知识回顾
矩形的定义有一个角是直角的平行四边形.
边
矩形的性质
矩形的对边平行且相等.
角矩形的四个角都是直角.
矩形的两条对角线相等对角线且互相平分.
矩形既是中心对称图形，对称性又是轴对称图形.
矩形的判定
根据矩形的定义，一个平行四边形如果有一个角是直角，那么这个平行四边形就是矩形。
有三个角是直角的四边形是矩形
A D
B
C
∠A=∠B=∠C=90°
四边形ABCD 是矩形
议一议：
1. 如果仅仅有一根较长的绳子，你怎么判断一个四边形是平行四边形呢？
2. 如果仅仅有一根较长的绳子，你怎么判断一个四边形是菱形呢？ 3. 如果仅仅有一根较长的绳子，你怎么判断一个四边形是矩形呢？
例：如图在□ABCD中，对角线AC和BD相较于点O，△ABO是等边三角形，AB=4. 求□ABCD的面积. A
习题精炼，新知探索
已知：如图，在□ABCD中，AC，BD是它的两条对角线，AC=BD.求证：□ABCD是矩形. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=DC， AB∥DC，又∵ BC=CB， AC=DB， ∴△ABC≌△DCB， ∴ ∠ABC=∠DCB ， ∵ AB∥DC，
∴ ∠ABC+∠DCB =180°， 1 ABC DCB 180 0 90 0 , 2 ∴ □ABCD是矩形.（矩形的定义）.
有三个角是直角的四边形是矩形吗?
已知:如图,在四边形ABCD,∠A=∠B=∠C=90°. 求证:四边形ABCD是矩形.
A
D
证明: ∵∠A=∠B=∠C=90°,

初中数学-中考数学复习讲义-矩形的性质及判定.讲义学生版

知识点 A 要求 B 要求Ｃ要求矩形会识别矩形掌握矩形的概念、判定和性质，会用矩形的性质和判定解决简单问题会运用矩形的知识解决有关问题1．矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形． 2．矩形的性质矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，•还具有自己独特的性质： ① 边的性质：对边平行且相等． ② 角的性质：四个角都是直角．③ 对角线性质：对角线互相平分且相等．④ 对称性：矩形是中心对称图形，也是轴对称图形．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．直角三角形中，30︒角所对的边等于斜边的一半．点评：这两条直角三角形的性质在教材上是应用矩形的对角线推得，用三角形知识也可推得． 3．矩形的判定判定①：有一个角是直角的平行四边形是矩形．判定②：对角线相等的平行四边形是矩形．判定③：有三个角是直角的四边形是矩形．重点：掌握矩形的性质，并学会应用．难点：理解矩形的特殊性．关键：把握平行四边形的演变过程，迁移到矩形概念与性质上来，明确矩形是特殊的平行四边形．一、矩形的判定【例1】在矩形ABCD 中，点H 为AD 的中点，P 为BC 上任意一点，PE HC ⊥交HC 于点E ，PF BH⊥交BH 于点F ，当AB BC ，满足条件时，四边形PEHF 是矩形例题精讲重、难点中考要求中考要求矩形的性质及判定CDB A【巩固】矩形具有而平行四边形不具有的性质为（）A ．对角线相等B ．对角相等C ．对角线互相平分D ．对边相等【例3】如图，已知在四边形ABCD 中，AC DB ⊥交于O ，E 、F 、G 、H 分别是四边的中点，求证四边形EFGH 是矩形．HG OFEDCB A【巩固】如图，在平行四边形ABCD 中，M 是AD 的中点，且MB MC =，求证：四边形ABCD 是矩形．MCDB A【例4】如图，平行四边形ABCD 中，AQ 、BN 、CN 、DQ 分别是DAB ∠、ABC ∠、BCD ∠、CDA ∠的平分线，AQ 与BN 交于P ，CN 与DQ 交于M ，证明：四边形PQMN 是矩形．NMQPDCBA【例5】如图，在ABC ∆中，D 是BC 边上的一点，E 是AD 的中点，过A 点作BC 的平行线交CE 的延长线于点F ，且AF BD =，连结BF ． ⑴ 求证：BD CD =．⑵ 如果AB AC =，试判断四边形AFBD 的形状，并证明你的结论．FED CBA【巩固】如图，在ABC ∆中，点D 是AC 边上的一个动点，过点D 作直线MN BC ∥，若MN 交BCA ∠的平分线于点E ，交BCA ∠的外角平分线于点F （1）求证：DE DF =（2）当点D 运动到何处时，四边形AECF 为矩形？请说明理由！NMFEDCBA【例6】如图所示，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，将Rt ABC ∆绕点C 顺时针方向旋转60︒得到DEC ∆点E在AC 上，再将Rt ABC ∆沿着AB 所在直线翻转180︒得到ABF ∆连接AD ． ⑴ 求证：四边形AFCD 是菱形；⑵ 连接BE 并延长交AD 于G 连接CG ，请问：四边形ABCG 是什么特殊平行四边形？为什么？AB CDGEF【巩固】如图，在ABCD 中，AE BC ⊥于E ，AF CD ⊥于F ，AEF ∆的两条高相交于M ，20AC =，16EF =，求AM 的长．MF E DC BA【例7】已知，如图矩形ABCD 中，延长CB 到E ，使CE AC =，F 是AE 中点．求证：BF DF ⊥．ABCE FD【例8】如图，在矩形ABCD 中，点E 是BC 上一点，AE AD =，DF AE ⊥，垂足为F .线段DF 与图中的哪一条线段相等？先将你猜想出的结论填写在下面的横线上，然后再加以证明。

第04讲矩形的判定、判定与性质综合(原卷版)-初中数学暑假自学课讲义(9年级北师大版)

第04讲矩形的判定、判定与性质综合1.掌握矩形的判定定理.2.学会用矩形的性质与判定综合解题.矩形的判定矩形的判定有三种方法：1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.2.对角线相等的平行四边形是矩形.3.有三个角是直角的四边形是矩形.要点：在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形.考点一：矩形的判定例1．下列条件不能判定一个四边形是矩形的是（）A ．四个内角都相等B ．四条边都相等C ．对角线相等且互相平分D ．对角线相等的平行四边形例2．下列说法不正确的是（）A ．有一个角为直角的平行四边形是矩形B ．有三个角为直角的四边形是矩形C ．对角线相等的平行四边形是矩形D ．对角线互相垂直的平行四边形是矩形例3．在平行四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ．下列条件不能．．判定平行四边形ABCD 为矩形的是()A ．∠ABC ＝90°B ．AC ＝BD C ．AC ⊥BD D ．∠BAD ＝∠ADC例4．能判断一个平行四边形是矩形的条件是（）A ．两条对角线互相平分B ．一组邻边相等C ．两条对角线互相垂直D ．两条对角线相等考点二：添加一个条件成为矩形例5．如图，要使平行四边形ABCD 为矩形，则可添加下列哪个条件（）A ．BO DO =B ．AC BD ⊥C ．AB BC =D ．AO DO =例6．如图，在平行四边形ABCD 中，在不添加任何辅助线的情况下，添加以下哪个条件，能使平行四边形ABCD 是矩形（）A ．AD AB ⊥B ．AB BC =C ．AB CD D ．A C∠=∠例7．如图，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，AC 交BD 于点O ，再添加什么条件可以判定四边形ABCD 为矩形()A ．,AB CD AB AD =∥B ．,OA OC BC CD==C ．,AB CD AC BD ==D ．,AD BC AC BD==例8．如图，AD 是ABC 的中线，四边形ADCE 是平行四边形，下列条件中，能判定四边形ADCE 是矩形的是（）A ．90BAC ∠=︒B ．AC 平分DAE ∠C ．AB AC =D ．AB AE =考点三：矩形的判定的证明例9．如图，BD 是平行四边形ABCD 的一条对角线，E 是CD 的中点，连接AE 并延长交BC 的延长线于F ．(1)求证：BC CF =．(2)当DB DF =时，求证：四边形ABCD 是矩形．例10．如图，在平行四边形ABCD 中，E 为线段AD 的中点，延长BE 与CD 的延长线交于点F ，连接AF ，BD ，90BDF ∠=︒．(1)求证：四边形ABDF 是矩形；(2)若4BC =，3DF =，求四边形ABCF 的面积S ．例11．如图，四边形ABCD 的对角线AC BD 、交于点O ，BE AC ⊥于E ，DF AC ⊥于F ，点O 既是AC 的中点，又是EF 的中点．(1)求证：BOE DOF ≌；(2)若12OA BD =，求证：四边形ABCD 是矩形．例12．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC BD ，交于点O ，E 为OC 中点，过点C 作CF BD ∥交BE 的延长线于F ，连接DF ．(1)求证：FCE BOE ≅ (2)当ADC △满足什么条件时，四边形OCFD 为矩形？请说明理由．考点四：根据矩形的判定与性质求长度例13．如图，在矩形ABCD 中，EG 垂直平分BD 于点G ，若4AB =，3BC =，则线段EG 的长度是______．例14．四边形ABCD 的对角线相交于点O ，且OA OB OC OD ===，60AOB ∠=︒，则:AB AC =_______．例15．如图，在平行四边形ABCD 中，∠ACB ＝90°，过点D 作DE ⊥BC 交BC 的延长线于点E ，连接AE 交CD 于点F ，连接BF ．若∠ABC ＝60°，CE ＝2，则BF ＝_____．例16．如图，在矩形ABCD 中，AB =4，AD =6，O 为对角线AC 的中点，点P 在AD 边上，且AP =2，点Q 在BC 边上，连接PQ 与OQ ，则PQ −OQ 的最大值为______．考点五：根据矩形的判定与性质求角度例17．如图，矩形ABCD 中，BE ⊥AC 于点E ，若∠ACB ＝23°，则∠DBE ＝_______度．例18．如图，在矩形ABCD 中，2=AD AB ，点E 在AD 上，且BE AD =，则ECD ∠=________．例19．如图，在ABCD Y 中，E 为边BC 上一点，以AE 为边作矩形AEFG ．若40BAE ∠=︒，10CEF ∠=︒，则D ∠的大小为______度．例20．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，DE 平分∠ADC ．若∠AOB ＝60°，则∠COE 的大小为____．例21．在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝3，过点A 作∠DAC 的角平分线交BC 的延长线于点H ，取AH 的中点P ，连接BP ，则S △ABP ＝___．考点六：根据矩形的判定与性质求面积例22．已知矩形ABCD ，点E 在AD 边上，DE AE <，连接BE ，点G 在BC 边上，连接EG ，BE 平分AEG ∠，若5BG GC =，2DE CG =，10BE =ABE 的面积是___________．例23．如图，在矩形ABCD 中，AE 平分BAD ∠交BC 于点E ，15CAE ∠=︒．有下面的结论：①ODC ∆是等边三角形；②135AOE ∠=︒；③AOE COE S S ∆∆=．其中，正确结论的个数为_________．例24．如图，在矩形ABCD 中，∠BAD 的平分线交BC 于点E ，交DC 的延长线于点F ，取EF 的中点G ，连接CG ，BG ，BD ，DG ，下列结论：①BE ＝CD ；②∠DGF ＝135°；③△BEG ≌△DCG ；④∠ABG +∠ADG ＝180°；⑤若23AB AD =，则3S △BDG ＝13S △DGF ．其中正确的结论是_____．（请填写所有正确结论的序号）一、单选题1．（2020·湖北·中考真题）已知ABCD Y 中，下列条件：①AB BC =；②AC BD =；③AC BD ⊥；④AC 平分BAD ∠，其中能说明ABCD Y 是矩形的是（）A ．①B ．②C ．③D ．④2．（2020·山东菏泽·统考中考真题）如果顺次连接四边形的各边中点得到的四边形是矩形，那么原来四边形的对角线一定满足的条件是（）A ．互相平分B ．相等C ．互相垂直D ．互相垂直平分3．（2013·河北·中考真题）如已知：线段AB ，BC ，∠ABC ="90°."求作：矩形ABCD ．以下是甲、乙两同学的作业：对于两人的作业，下列说法正确的是A ．两人都对B ．两人都不对C ．甲对，乙不对D ．甲不对，乙对二、填空题4．（2021·黑龙江·统考中考真题）如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件______________，使平行四边形ABCD 是矩形．．交DC 的延长线于点F ，延长(1)求证：△ABE ≌△FCE 别是OA ，OC 的中点．(1)求证：BE DF =；BD一、单选题1．如图，在四边形ABCD 中，对角线条件，不能判定四边形ABCD A ．AB AD =2．连接菱形各边中点，可得到的A ．菱形的四条边都相等C ．菱形的对角线互相平分3．如图，平行四边形89EF AE ==，，AB 的长为（A ．10B ．73O ，若AO ＝BO ，AD A ．42AB =，则四边形AECF 的面积为（A ．3B ．17．已知如图，AD BC ∥，面积为（）A ．2B ．38．如图，在平行四边形ABCD 的延长线于点E ，连接AE ，交BC 于点F A ．5B ．259．如图，矩形1111D C B A 在矩形ABCD 结1BB ，1DB ，1BD ，1DD ，若矩形知道下列哪个值就一定可以求得四边形A ．矩形ABCD 的面积2A ．①②④B ．②③④二、填空题11．矩形的判定定理包括：（1）___________的平行四边形是矩形；（2）____________的平行四边形是矩形；（3）____________的四边形是矩形．12．四边形ABCD 中，AC BD 、交于O ，给出条件①,OA OC OB OD ==；②,AB CD AC BD ==；③OA OB OC OD ===；④,AB BC AC BD ⊥=．其中能推得四边形ABCD 是矩形的是（填序号）___________．13．如图，AB ∥CD ，∠A ＝∠B ＝90°，AB ＝4cm ，BC ＝3cm ，则AB 与CD 之间的距离为________．14．如图，在ABC 中，AC BC =，D ，E 分别是边AB ，AC 的中点，将ADE V 绕点E 旋转180︒得CFE ，则四边形ADCF 的形状为______．15．如图，△ABC 的边BC 长为4cm ．将△ABC 平移2cm 得到△A ′B ′C ′，且BB ′⊥BC ，则阴影部分的面积为______2cm ．16．如图，在ABC 中，=AB AC ，120A ∠=︒，D 是BC 上任意一点，分别作DE AB ⊥于E ，DF AC ⊥于F ．如果12BC =，那么+=DE DF ________．17．如图，ABC 是等腰直角三角形，90C = ∠，4AC BC ==，点P 是AB 上的一个动点（点P 与点A 、B 不重合），过点P 分别作PE BC ⊥于点E ，PF AC ⊥于点F ，连接EF ．（1）四边形PECF 的形状是______；（2）线段EF 的最小值为______．18．如图，在矩形ABCD 中，8AB =，10AD =，点E F 、分别是AB BC 、上的动点，点E 不与AB 、重合，且EF AB =，点G 是五边形AEFCD 内点，GE GF =，且90EGF ∠=︒．①当点E 为AB 的中点时，AEG ∠=_____________．②点G 到AB 边距离为m ，则m 的取值范围为_____________．三、解答题19．如图，在平行四边形ABCD 中，点P 是AB 边上一点（不与A ，B 重合），过点P 作PQ ⊥CP ，交AD 边于点Q ，且∠QPA ＝∠PCB ．求证：四边形ABCD 是矩形．20．如图，在平行四边形ABCD 中，过点D 作DE AB ⊥于点,E 点F 在CD 边上，,CF AE =连接,.AF BF (1)求证：四边形BFDE 是矩形；(2)若AF 平分,DAB ∠3,5,CF DF ==求四边形BFDE 的面积．21．如图，ABCD Y 四个内角的平分线围成四边形EFGH ，猜想四边形EFGH 的形状，并说明理由．22．如图，在平行四边形ABCD 中，点O 是边BC 的中点，连接DO 并延长，交AB 延长线于点E ，连接,BD EC ．(1)求证：四边形BECD 是平行四边形；(2)若55A ∠=︒，则当BOD ∠=__________时，四边形BECD 是矩形（不用证明）23．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 和BD 交于点O ，分别过点B 、C 作BE AC ∥，CE BD ∥，BE 与CE 交于点E ．(1)求证：四边形OBEC 是矩形；(2)当60ABD ∠=︒，4=AD 时，求ED 的长．24．如图，菱形ABCD 的对角线AC 和BD 交于点O ，分别过点C 、D 作CE BD ∥，∥DE AC ，CE 和DE 交于点E ．(1)判断四边形ODEC 的形状并说明理由；(2)连接AE ，交CD 于点F ，当602ADB AD ∠=︒=，时，求AE 的长．25．如图，平行四边形ABCD 的对角线交于点O ，以OD ，CD 为邻边作平行四边形DOEC ，OE 交BC 于点F ，连接BE ．(1)求证：F 为BC 中点．(2)若OB ⊥AC ，OF =1，求平行四边形ABCD 的周长．26．如图，已知：如图，在四边形ABCD 中，点G 在边BC 的延长线上，CE 平分BCD ∠，CF 平分GCD ∠，EF BC ∥交CD 于点O ．(1)求证：OE OF =；(2)若点O 为CD 的中点，求证：四边形DECF 是矩形．27．如图1，在DBF 中，DB DF =，DC BF ⊥于点C ，点E 是BD 的中点，连接CE 并延长，使AE CE =，连接AD AB 、．(1)求证：四边形ABCD 是矩形．(2)如图2，点H 为DF 的中点，连接CH ，若4AB =，2BC =，求四边形ECHD 的面积．28．如图，四边形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，其中AD ∥BC ，AD ＝BC ，AC ＝2OB ，AE 平分∠BAD 交CD 于点E ，连接(1)求证：四边形ABCD 是矩形；(2)若∠OAE ＝15°，①求证：DA ＝DO ＝DE ；②直接写出∠DOE 的度数．29．如图1，在平行四边形ABCD F ．(1)当90ABC ∠=︒时，G 是EF 的中点，联结,DB DG （如图2），请直接写出BDG ∠的度数中点．(1)求证：C ABE DF ≌△△；(2)延长AE 至G ，使EG AE =，连接CG ，延长①当AB 与AC 满足什么数量关系时，四边形②若210AP DP ==，25CP =，5CD =，求四边形31．如图所示，在菱形ABCD 中，P 为边过点E 作EF AC ⊥于点F ，延长EF 交AD 点N ．(1)当点E 与点P 重合时，求证：AFE BNE △≌△(2)如图①，若点E 在线段AP 上，且5AD =，△是什么特殊三角形？并证明你(3)如图②，若点E在线段BP上，连接NP、FP，则NFP的结论．。

自学初中数学资料-矩形及其性质矩形(1)

自学资料一、矩形及其性质【知识探索】1．有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，也是长方形．2．矩形的性质：（1）矩形的四个角都是直角；（2）矩形的两条对角线相等．【说明】（1）矩形具有平行四边形的所有性质；（2）矩形既是中心对称图形，又是轴对称图形．对称中心是其对角线的交点，对称轴是每组对边的垂直平分线．【错题精练】例1．如图，已知矩形ABCD的对角线AC的长为10cm，连结矩形各边中点E、F、G、H得四边形EFGH，则四边形EFGH的周长为（）cm．第1页共7页自学七招之日计划护体神功：每日计划安排好，自学规划效率高非学科培训A. 20；B. ；C. ；D. 25．例2．已知：如图，矩形ABCD中，AC与BD交于O点，若点E是AO的中点，点F是OD的中点．求证：BE=CF．例3．如图，矩形ABCD中，延长AB至E，延长CD至F，BE=DF，连接EF，与BC、AD分别相交于P、Q两点．（1）求证：CP=AQ；（2）若BP=1，PQ=2，∠AEF=45°，求矩形ABCD的面积例4．如图，矩形ABCD中，已知AB=6，BC=8，BD的垂直平分线交AD于点E，交BC于点F，则△BOF的面积为__________ ．第2页共7页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训【举一反三】1．如图，在矩形ABCD中，点E在BC上，AE=AD，DF⊥AE于F，连接DE．证明：DF=DC2．如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，M是边CD上一点，将△ADM沿直线AM对折，得到△ANM．（1）当AN平分∠MAB时，求DM的长；（2）连接BN，当DM=1时，求△ABN的面积；（3）当射线BN交线段CD于点F时，求DF的最大值．3．如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上的点M处，将边CD沿CF折叠，使点D落在AC上的点N处．（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）若AB=6，AC=10，求四边形AECF的面积．4．如图，矩形ABCD的对角线AC的中点为O，过点O作OE⊥BC于点E，连接OD，已知AB=6，BC=8，则四边形OECD的周长为__________ ．第3页共7页自学七招之以背代诵掌：高效记忆有妙招，以背代诵效果好非学科培训5．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若∠EAC=2∠CAD，则∠BAE=__________ 度二、矩形的判定【知识探索】1．矩形的判定：（1）对角线相等的平行四边形是矩形．（2）有三个角是直角的四边形是矩形．【错题精练】例1．如图，在▱ABCD中，点O是边BC的中点，连接DO并延长，交AB延长线与点E，连接BD，EC．（1）求证：四边形BECD是平行四边形；（2）若∠A=50∘，则当∠BOD=°时，四边形BECD是矩形．例2．已知：如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交与BE的延长线于点F，且AF=DC，连接CF．（1）求证：D是BC的中点；（2）当AB与AC有何数量关系时，四边形ADCF为矩形，请说明理由．第4页共7页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训【举一反三】1．已知，如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交与BE的延长线于点F，且AF=DC，连结CF．（1）求证：四边形ADCF是平行四边形；（2）当AB与AC有何数量关系时，四边形ADCF为矩形，请说明理由．2．已知：如图，AB=AC，AE=AF，且∠EAB=∠FAC，EF=BC．求证：四边形EBCF是矩形．1．已知：如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，点F在边BC上，且BE=CF，EF⊥DF，求证：BF=CD．2．如图，在矩形ABCD中（AD＞AB），点E是BC上一点，且DE=DA，AF⊥DE，垂足为点F，在下列结论中，不一定正确的是（）第5页共7页自学七招之以背代诵掌：高效记忆有妙招，以背代诵效果好非学科培训A. △AFD≌△DCEB. AF=ADC. AB=AFD. BE=AD﹣DF3．如图，在平行四边形ABCD中，AB≠BC，连接AC，AE是∠BAD的平分线，交边DC的延长线于点F．（1）证明：CE=CF；（2）若∠B=60°，BC=2AB，试判断四边形ABFC的形状，并说明理由．（如图2所示）4．如图，在直线MN上和直线MN外分别取点A、B，过线段AB的中点作CD平行于MN，分别与∠MAB与∠NAB的平分线相交于点C、D．求证：四边形ACBD是矩形．5．如图，在▱ABCD中，E是DC边的中点，且EA=EB．求证：▱ABCD是矩形．6．下列说法中，错误的是（）第6页共7页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训A. 平行四边形的对角线互相平分B. 对角线互相平分的四边形是平行四边形C. 菱形的对角线互相垂直D. 对角线互相垂直的四边形是菱形第7页共7页自学七招之以背代诵掌：高效记忆有妙招，以背代诵效果好非学科培训。

人教版八年级数学讲义矩形的判定和性质(含解析)(2020年最新)

第17讲矩形的判定和性质知识定位讲解用时：3分钟A、适用范围：人教版初二，基础较好；B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初二新课，本节课我们要学习矩形的判定和性质。

矩形是初中四边形中的一节重要内容，是中考几何证明题考查的重点，涉及到后面菱形与正方形的学习，关系密切，因此本节课要重点掌握。

知识梳理讲解用时：20分钟矩形的性质和判定1.矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形.2.矩形的性质：（1）矩形具有平行四边形的一切性质；（2）矩形的对角线相等且互相平分；（3）矩形的四个角都是90°；（4）矩形是轴对称图形.性质边角对角线对称性矩形对边平行且相等四个角都是直角互相平分且相等轴对称，中心对称1.矩形的判定：（1）有一个角是直角的平行四边形叫做矩形；（2）对角线相等的平行四边形是矩形；（3）有三个角是直角的四边形是矩形；（4）对角线相等且互相平分的四边形是矩形.课堂精讲精练【例题1】如图，在矩形ABCD 中，点O 为对角线AC 、BD 的交点，点E 为BC 上一点，连接EO ，并延长交AD 于点F ，则图中全等三角形共有（）A ．5对B ．6对C ．8对D ．10对【答案】D【解析】根据已知及全等三角形的判定方法进行分析，从而得到答案．解：∵四边形ABCD 为矩形，其矩形的对角线相等且相互平分，∴AB=CD ，AD=BC ，AO=CO ，BO=DO ，EO=FO ，∠DAO=∠BCO ，又∠AOB=∠COD ，∠AOD=∠COB ，∠AOE=∠COF ，易证△ABC ≌△DCB ，△ABC ≌△CDA ，△ABC ≌△BAD ，△BCD ≌△ADC ，△BCD ≌△DAB ，△ADC ≌△DAB ，△AOF ≌△COE ，△DOF ≌△BOE ，△DOC ≌△AOB ，△AOD ≌△BOC 故图中的全等三角形共有10对．直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.如图：OA=OB=OC=12AC你知道怎么证明吗？讲解用时：3分钟解题思路：本题考查矩形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，属于基础题，中考常考题型．教学建议：熟练掌握矩形的性质以及全等三角形的判定和性质.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：杭州模拟年份：2017【练习1.1】如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC交DC的延长线于点E．（1）求证：BD=BE；（2）若∠DBC=30°，BO=4，求四边形ABED的面积．【答案】（1）BD=BE；（2）24【解析】（1）根据矩形的对角线相等可得AC=BD，然后证明四边形ABEC是平行四边形，再根据平行四边形的对边相等可得AC=BE，从而得证；（2）根据矩形的对角线互相平分求出BD的长度，再根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求出CD的长度，然后利用勾股定理求出BC的长度，再利用梯形的面积公式列式计算即可得解．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，AB∥CD，又∵BE∥AC，∴四边形ABEC是平行四边形，∴AC=BE，（2）解：∵在矩形ABCD中，BO=4，∴BD=2BO=2×4=8，∵∠DBC=30°，∴CD=BD=×8=4，，∴AB=CD=4，DE=CD+CE=CD+AB=4+4=8在Rt△BCD中，BC===4，∴四边形ABED的面积=（4+8）×4=24．讲解用时：4分钟解题思路：本题考查了矩形的对角线互相平分且相等的性质，平行四边形的判定与性质，30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关键．教学建议：熟练掌握矩形的性质以及平行四边形的性质和判定.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：肇庆年份：2012【例题2】如图，若要使?ABCD成为矩形，需添加的条件是（）A．AB=BC B．∠ABD=∠DBC C．AO=BO D．AC⊥BD【答案】C【解析】根据矩形的判定定理（①有一个角是直角的平行四边形是矩形，②有三个角是直角的四边形是矩形，③对角线相等的平行四边形是矩形）逐一判断即可．解：A、根据AB=BC和平行四边形ABCD不能得出四边形ABCD是矩形，故本选项错误；B、∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABD=∠DBC，得出四边形ABCD是菱形，不是矩形；故本选项错误；C、∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，∵AO=BO，，∴OA=OC=OB=OD即AC=BD，∴平行四边形ABCD是矩形，故本选项正确；D、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形，不能推出四边形ABCD是矩形，故本选项错误；故选：C．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了对矩形的判定定理的应用，注意：矩形的判定定理有：①有一个角是直角的平行四边形是矩形，②有三个角是直角的四边形是矩形，③对角线相等的平行四边形是矩形．教学建议：熟记矩形的判定定理并灵活应用.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：上城区期末年份：2017【练习2.1】如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（）A．AB=CD B．AD=BC C．AC=BD D．AB=BC【答案】C【解析】四边形ABCD的对角线互相平分，则说明四边形是平行四边形，由矩形的判定定理知，只需添加条件是对角线相等．解：可添加AC=BD，∵四边形ABCD的对角线互相平分，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC=BD，根据矩形判定定理对角线相等的平行四边形是矩形，∴四边形ABCD是矩形，故选：C．讲解用时：3分钟解题思路：此题主要考查了矩形的判定，关键是矩形的判定：①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形．教学建议：熟记矩形的判定定理并灵活应用.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：黔南州年份：2012【例题3】如图，△ABC中，∠ACB=90°，AD=BD，且CD=4，求AB的长.【答案】8【解析】根据直角三角形斜边上中线性质求出AB=2CD，代入求出即可．解：∵△ABC中，∠ACB=90°，AD=BD，CD=4，∴AB=2CD=8.讲解用时：2分钟解题思路：本题考查了直角三角形斜边上中线性质的应用，解此题的关键是能根据直角三角形的性质得出AB=2CD，是一道简单的题目．教学建议：熟练运用直角三角形斜边上的中线是斜边的一半.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习3.1】如图，△ABC中，∠C=90°，D在CB上，E为AB之中点，AD、CE相交于F，且AD=DB．若∠B=20°，求∠DFE的度数.【答案】60°【解析】在直角△ABC中，由AE=BE=EC，AD=DB可以推出∠BAD=20°，∠ADC=40°然后利用三角形的外角和内角的关系即可求出∠DFE=60°．解：∵∠C=90°，AE=BE=EC，AD=DB，∴∠BAD=20°，∠ADC=40°，∠DAC=∠ECA=50°．∴∠ECD=20°，∠FDC=40°．∴∠DFE=60°．讲解用时：3分钟解题思路：此题主要考查了直角三角形的中线等于斜边的一半和三角形的内角和与外角和的运用．教学建议：熟练运用直角三角形斜边上的中线是斜边的一半.难度：4 适应场景：当堂练习例题来源：台湾年份：2007【例题4】在△ABC中，∠A、∠B、∠C的度数的比是1：5：6，AB边上的中线长是2，求△ABC的面积.【答案】2【解析】根据度数比可求出此三角形为直角三角形，然后根据斜边中线的长可得出三角形的面积．解：设∠A=x°，则x+5x+6x=180，x=15．∴∠A=15°，∠B=75°，∠C=90°．如图：CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，则DA=DC，作斜边上的高CE，在Rt△CED中，∠CDE=2∠A=30°，CD=2，易求得CE=1，又AB=2DC=4．故所求△ABC的面积是2．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查直角三角形的斜边中线等于斜边一半这个知识点，解答此题的关键是很据题意确定△ABC是直角三角形．教学建议：熟练运用直角三角形斜边上的中线是斜边的一半.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习4.1】如图，在△ABC中，∠A=90°，AC=8，AB=6，点D是BC边上的动点（不与B，C 重合）过点D作DE⊥AB于点E，作DF⊥AC于点F，求EF的最小值.【答案】【解析】连接AD，根据矩形的性质可知：EF=AD，当AD最小时，则EF最小，根据垂线段最短可知当EF⊥AD时，则EF最小，再根据三角形的面积为定值即可求出EF的长．解：∵Rt△ABC中，∠A=90°，AC=8，BA=6，∴BC=10，连接AD，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴四边形EAFD是矩形，∴EF=AD，当AD最小时，则EF最小，根据垂线段最短可知当AD⊥BC时，则AD最小，∴EF=AD==.讲解用时：4分钟解题思路：本题考查了勾股定理的运用、矩形的判定和性质以及直角三角形的面积的不同求法，题目难度不大，设计很新颖，解题的关键是求FE的最小值转化为其相等线段AD的最小值．教学建议：熟练掌握矩形的性质和判定并灵活应用.难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：萧山区月考年份：2016【例题5】如图，△ABC中，∠ACB=90°，D在BC上，E为AB之中点，AD、CE相交于F，且AD=DB．若∠B=20°，则∠DFE等于°．【答案】60【解析】由直角三角形的性质知，中线CE=AE=BE，所以∠EAC=∠ECA，∠B=∠BCE，由三角形内角和即可求得．解：由直角三角形性质知，∵E为AB之中点，∴CE=AE=BE，（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）∴∠B=∠BCE=20°，∠EAC=∠ECA=70°，∴∠ACF=70°，又∵AD=DB，∴∠B=∠BAD=20°，∴∠FAC=50°，∴在△ACF中，∠AFC=180°﹣70°﹣50°=60°，∴∠DFE=∠AFC=60°．故答案为60讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了直角三角形的性质，是基础题．教学建议：熟练掌握直角三角形的性质并灵活应用.难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：鼓楼区一模年份：2013【练习5.1】如图，在△ABC中，AB=AC=8，AD是底边上的高，E为AC中点，则DE= ．【答案】4【解析】由题意知，△ABC是等腰三角形，所以，D是BC边上的高和中线，即D是边BC的中点；由于△ADC是直角三角形，E为AC中点，所以DE=．解：在△ABC中，AB=AC=8，∴△ABC中是等腰三角形，又∵AD是底边上的高，∴AD⊥BC，∴在△ADC中，∠ADC=90°，∵E为AC中点，∴DE===4，∴DE=4．讲解用时：3分钟解题思路：本题综合考查了直角三角形的性质与判定，以及等腰三角形的性质．在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半；在一个三角形中，只要有两个边相等，那么这个三角形就是等腰三角形．教学建议：熟练掌握直角三角形的性质以及等腰三角形的性质.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：益阳年份：2012【例题6】如图，△ABC中，BC=18，若BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，F、G分别为BC、DE的中点，若ED=10，则FG的长为．【答案】2【解析】先利用直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，求得△EFD为等腰三角形，再利用等腰三角形边上的三线合一，即可求证FG⊥DE，再利用勾股定理可求出FG的长度．解：连接EF，DF，∵BD、CE是△ABC的高，F是BC的中点，∴在Rt△CEB中，EF=，在Rt△BDC中，FD=，∴FE=FD=9，即△EFD为等腰三角形，又∵G是ED的中点，∴FG是等腰三角形EFD的中线，EG=DG=5，∴FG⊥DE（等腰三角形边上的三线合一），在Rt△GDF中，FG===2．故答案为：2．讲解用时：3分钟解题思路：此题主要考查了直角三角形的性质：斜边上的中线等于斜边的一半，求得△EFD为等腰三角形，再根据等腰三角形边上的三线合一的性质来证明此题的△EFD为等腰三角形，这是证明此题的关键．教学建议：熟练掌握直角三角形的性质以及等腰三角形三线合一的性质.难度： 4 适应场景：当堂例题例题来源：海淀区校级期中年份：2010【练习6.1】已知，如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交与BE的延长线于点F，且AF=DC，连结CF．（1）求证：四边形ADCF是平行四边形；（2）当AB与AC有何数量关系时，四边形ADCF为矩形，请说明理由．【答案】（1）四边形ADCF是平行四边形；（2）AB=AC【解析】（1）根据平行四边形的判定定理得出即可；（2）可证△AFE≌△DBE，得出AF=BD，进而根据AF=DC，得出D是BC中点的结论，根据等腰三角形三线合一的性质知AD⊥BC；而AF与DC平行且相等，故四边形ADCF是平行四边形，又AD⊥BC，则四边形ADCF是矩形．（1）证明：∵AF∥CD，AF=CD，∴四边形ADCF是平行四边形；（2）解：当AB=AC时，四边形ADCF为矩形，理由是：∵E是AD的中点，∴AE=DE．∵AF∥BC，∴∠FAE=∠BDE，∠AFE=∠DBE．在△AFE和△DBE中，，∴△AFE≌△DBE（AAS）．∴AF=BD．∵AF=DC，∴BD=DC．∵AB=AC，∴AD⊥BC即∠ADC=90°．∴平行四边形ADCF是矩形，即当AB=AC时，四边形ADCF为矩形．讲解用时：3分钟解题思路：此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行四边形、矩形的判定等知识综合运用，熟记特殊平行四边形的判定方法是解题的关键.教学建议：全面掌握矩形的判定、等腰三角形的性质以及全等三角形的判定和性质.难度： 4 适应场景：当堂练习例题来源：杭州期末年份：2015【例题7】如图甲，李叔叔想要检测雕塑底座正面四边形ABCD是否为矩形，但他随身只带了有刻度的卷尺，请你设计一种方案，帮助李叔叔检测四边形ABCD是否为矩形（图乙供设计备用）．【答案】（1）当AB=CD，且AD=BC时，四边形ABCD为平行四边形；否则四边形ABCD不是平行四边形，从而不是矩形；（2）当AC=BD时，四边形ABCD是矩形；否则四边形ABCD不是矩形．【解析】由矩形的判定定理：先测量四边形ABCD是否为平行四边形即两组对边是否分别相等，再测量对角线是否相等．解：方案如下：（1）用卷尺分别比较AB与CD，AD与BC的长度，当AB=CD，且AD=BC时，四边形ABCD为平行四边形；否则四边形ABCD不是平行四边形，从而不是矩形．（2）当四边形ABCD是平行四边形时，用卷尺比较对角线AC与BD的长度．当AC=BD时，四边形ABCD是矩形；否则四边形ABCD不是矩形．讲解用时：3分钟解题思路：本题涉及矩形的判定定理，且涉及实际问题，难度适中．教学建议：掌握矩形的判定并灵活运用.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习7.1】已知：如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是线段BC延长线上一点，过点A 作BE的平行线与线段ED的延长线交于点F，连接AE，CF．（1）求证：AF=CE；（2）若AC=EF，试判断四边形AFCE是什么样的四边形，并证明你的结论．【答案】（1）AF=CE；（2）矩形【解析】（1）可通过全等三角形来证明简单的线段相等．△ADF和△CDE中，已知了AD=CD，∠ADF=∠CDE，AF∥BE，因此不难得出两三角形全等，进而可得出AF=CE．（2）需先证明四边形AFCE是平行四边形，那么对角线相等的平行四边形是矩形．（1）证明：在△ADF和△CDE中，∵AF∥BE，∴∠FAD=∠ECD．又∵D是AC的中点，∴AD=CD．∵∠ADF=∠CDE，∴△ADF≌△CDE．∴AF=CE．（2）解：若AC=EF，则四边形AFCE是矩形．证明：由（1）知：AF=CE，AF∥CE，∴四边形AFCE是平行四边形．又∵AC=EF，∴平行四边形AFCE是矩形．讲解用时：3分钟解题思路：两条线段在不同的三角形中要证明相等时，通常是利用全等来进行证明．教学建议：掌握矩形的判定并灵活运用.难度： 4 适应场景：当堂练习例题来源：成都年份：2006【练习7.2】如图，四边形ABCD是由一个锐角为30°的直角△ABC与一个等腰直角△ACD拼成，E为斜边AC的中点．（1）判断线段BE、DE的大小，并说明理由（2）求∠BDE的大小．【答案】（1）BE=DE；（2）15°【解析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BE=DE=AC；（2）求出∠BED的度数，再根据等腰三角形两底角相等列式计算即可得解．解：（1）∵E为斜边AC的中点，∴BE=DE=AC，∴BE=DE；（2）由题意得，∠BAC=90°﹣30°=60°，所以，∠AEB=∠BAC=60°，∠AED=90°，所以，∠BED=60°+90°=150°，所以，∠BDE=×（180°﹣150°）=15°．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰直角三角形的性质，等腰三角形的性质，熟记各性质是解题的关键．教学建议：熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018课后作业【作业1】如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么需要添加的条件是（）A．AB=CD B．AD=BC C．AB=BC D．AC=BD【答案】D【解析】由四边形ABCD的对角线互相平分，可得四边形ABCD是平行四边形，再添加AC=BD，可根据对角线相等的平行四边形是矩形证明四边形ABCD是矩形．解：可添加AC=BD，∵四边形ABCD的对角线互相平分，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC=BD，根据矩形判定定理对角线相等的平行四边形是矩形，∴四边形ABCD是矩形，故选：D．难度： 3 适应场景：练习题例题来源：昆山市二模年份：2016【作业2】直角三角形斜边上的中线长为5cm，则斜边长为cm．【答案】10【解析】根据直角三角形的性质直接求解．解：∵直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，∴斜边长=2×5=10cm．讲解用时：3分钟难度： 3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业3】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的中线，DE⊥AB于点D，交AC 于点E．（1）若BC=3，AC=4，求CD的长；（2）求证：∠1=∠2．【答案】（1）2.5；（2）∠1=∠2【解析】（1）由勾股定理求出AB，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可；（2）由直角三角形的锐角关系和等腰三角形的性质即可得出结论．（1）解：∵∠ACB=90°，BC=3，AC=4，∴AB==5，∵CD是AB边上的中线，∴CD=AB=2.5；（2）证明：∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∵DE⊥AB，∴∠A+∠1=90°，∴∠B=∠1，∵CD是AB边上的中线，∴BD=CD，∴∠B=∠2，∴∠1=∠2．讲解用时：3分钟难度： 4 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业4】如图，平行四边形ABCD中，AC=6，BD=8，点P从点A出发以每秒1cm的速度沿射线AC移动，点Q从点C出发以每秒1cm的速度沿射线CA移动．（1）经过几秒，以P，Q，B，D为顶点的四边形为矩形？（2）若BC⊥AC垂足为C，求（1）中矩形边BQ的长．【答案】（1）7；（2）2√14【解析】（1）由四边形ABCD是平行四边形，AC=6，得到CP=AQ=1，PQ=BD=8，由OB=DO，OQ=OP，证得四边形BPDQ为平形四边形，根据对角线相等，证得四边形BPDQ为矩形；（2）根据直角三角形的性质、勾股定理求得结论．解：（1）当时间t=7秒时，四边形BPDQ为矩形．理由如下：当t=7秒时，PA=QC=7，∵AC=6，∴CP=AQ=1∴PQ=BD=8∵四边形ABCD为平行四边形，BD=8∴AO=CO=3∴BO=DO=4∴OQ=OP=4∴四边形BPDQ为平形四边形，∵PQ=BD=8∴四边形BPDQ为矩形，（2）由（1）得BO=4，CQ=7，∵BC⊥AC∴∠BCA=90°BC2+CQ2=BQ2∴BQ=．讲解用时：4分钟难度： 4 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018。

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初中数学矩形的性质与判定
矩形是平面几何中最基本的图形之一，它是一个由四条直线构成的平行四边形，两个对角
线相等，对角线分别叫做矩形的两个直角边。

由以上定义可知，矩形是一种特殊的平行四
边形，所以，矩形的性质有如下一些：
一、矩形的四边相等
矩形的四条边是相等的，不管你横向测量，还是纵向测量，都得到相同的长度。

二、矩形的两个对角线相等
即矩形对角线是相等的，并且垂直于矩形的四边。

三、矩形有四个顶点
矩形有四个定点，分布在矩形的每个角，两个对角上。

判定矩形：
我们可以根据以上性质来判定一个图形是否是矩形：
1、检查四边，如果四边相等，则可以推断它可能是矩形；
2、测量对角线的长度，如果两条对角线长度相等，且垂直于矩形的四边，则可以确认它
是矩形；
3、查看顶点，如果有四个顶点，则它就是矩形。

综上所述，矩形是一种平行四边形，有四边相等，两个对角线相等，且垂直于矩形的四边，有四个顶点的特殊图形。

我们可以根据矩形的性质和判定规则，很容易判断出一个平行四
边形是否是矩形。

初中数学矩形的性质与判定

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