完全平方公式
完全平方公式
一、教学目标
1、知识与技能目标
理解完全平方公式的推导过程，了解公式的几何解释，会应用公式进行简单的计算。
2、过程与方法目标
通过渗透建模，化归、还元，数形结合等思想方法，增强学生的应用意识，提高学生解决问题的能力和创新能力。
3、情感、态度与价值观目标
精心设计教学过程，激发学生的好奇心和求知欲，培养学生学习数学的兴趣，让学生获得成功的体验，培养学生学好数学的自信心。
二、教学重难点
重点：体会完全平方公式的发现和推导过程，理解公式的本质，并会运用公式进行简单的计算。
难点：理解完全平方公式的结构特征以及公式中的字母含义，判明要计算的代数式是哪两个数的和（差）的平方。
三、教学过程
1、提出问题，创设情境
a²+b²与(a+b)²；a²-b²与(a-b)²有什么区别？
引导学生比较a²+b²与(a+b)²；a²-b²与(a-b)²的区别
师：怎样计算两个数的和的平方或差的平方呢？
这就是本节课所要学习的完全平方公式
2、回顾练习，得出新知
请同学完成下面几道练习，你能发现它们的运算形式与结果有什么规律吗？
（1）(p+1)²；（2）(m+2)²；（3）(p-1)²；（4）(m-2)²
出示题目后观察学生做题，然后引导学生发现（1）结果中的2p=2×p ，(1)与（3）比较只有一次项有符号之差。
引导学生用自己的语言叙述所发现的规律，允许学生之间互相补充。 猜想：根据你发现的规律，你能直接写出(a+b)²计算的结果吗？ (a+b)²=(a+b)(a+b)=a ²+ab+ab+b ²=a ²+2ab+b ²
验证：由于(a+b)²可以看作求边长为(a+b)的正方形的面积，所以可以从几何的角度来解释
(a+b)² =a ²+ab+ab+b ²=a ²+2ab+b ²
(a-b)²计算结果是多少呢？
学生小组讨论，归纳方法
方法一：(a-b)²=(a-b)(a-b)=a ²-ab-ab+b ²=a ²-2ab+b ²
方法二：把(a-b)²的结果用(a+b)²来解释：
(a-b)²=[a+(-b)]²=a ²+2a(-b)+b ²=a ²-2ab+b ²
b
方法三：几何解释
归纳：通过以上活动，学生归纳完全平方公式：
两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍。 (a+b)²=a ²+2ab+b ²
(a-b)²=a ²-2ab+b ²
教师归纳口诀：完全平方有三项，首尾符号是同乡。
首平方与尾平方，首尾二倍放中央。
和的平方加连接，差的平方减连接。
应用：
下列各式的计算，错在哪里?应怎样改正？
（1）(a+b)²= a ²+b ²；（2）(a-b)²= a ²-b ²；（3）(a-2b)²=a ²+2ab+2b ². 公式中字母的含义：
（1）公式中的字母a,b 可以表示负数吗？可以表示单项式吗？可以表示多项式吗？
（2）(x+2y)²式哪两个数的和的平方？
(x+2y)²=( )²+2( )( )+( )²
(x-5y)²是哪两个数的差的平方？
(x-5y)²=( )²-2( )( )+( )²
（3）(x-5y)²可以看成式哪两个数的和的平方？
新知整理：
完全平方公式：(a+b)²=(a+b)(a+b)=a²+2ab+b²
(a-b)²=(a-b)(a-b)=a²-2ab+b²平方差公式：(a+b)(a-b)=a²-b²
3、应用新知，体验成功
例3 运用完全平方公式计算；
(1)(4m+n)²
解：(4m+n)²=(4m)²+2×(4m)×n+n²
=16m²+8mn+n²
变式1：(-4m+n)²
解：(-4m+n)²=(-4m)²+ 2×(-4m)×n+n²
=16m²-8mn+n²
（2）(y-2)²
解：(y-2)²=y²+2×(-2)×y+2²=y²+4y+4
变式1：(-y-2)²
解：解法一(-y-2)²=(-y²)-2×2×(-y)+2²=y²+4y+4
解法二(-y-2)²=[-(y+2)] ²=y²+2×2×y+2²=y²+4y+4 变式2：(2-y)²
解：(2-y)²=2²-2×2×(-y)+(-y²)=y²+4y+4
例4 运用完全平方公式计算：
（1）102²；（2）99².
解：（1）102²=(100+2)²=100²+2×100×2+2²=10000+400+4=10404 （2）99²=(100-1) ²=100²-2×100×1+1²=10000-200+1=9801
4、公式拓展，鼓励探究
速算游戏：个位数是5的两位数的平方。
（1）问：15²=？25²=？35²=？
（2）观察：15²= 225
25²= 625
35²=1225
45²=2025
……
个位数是5的两位数平方后所得的数，有什么规律？
（3）如果用10a+5表示个位数是5的这个两位数，你能用所学的知识解释这个规律吗？
5、小结提高，知识升华
（1）两个公式：(a+b)²=a²+2ab+b²
(a-b)²=a²-2ab+b²
（2）两种推到方法
（3）还元与数形结合
6、作业布置，分层落实
必做题：
（1）阅读教材15.2.2内容
（2）教科书习题15.2第2题
选做题：
（1）对(a+b)²，(a+b)³……的展开式从项数、系数方面探索它们的规律。（参考教科书第157页《杨辉三角》）
（2）思考：(a+b)²与(-a-b)²相等吗？(a-b)²与(b-a)²相等吗？
四、板书设计
初一奥数专题讲义——完全平方公式与平方差公式
完全平方公式与平方差公式 一．知识要点 1．乘法公式就是把一些特殊的多项式相乘的结果加以总结，直接应用。公式中的每一个字母，一般可以表示数字、单项式、多项式，有的还可以推广到分式、根式。公式的应用不仅可从左到右的顺用（乘法展开），还可以由右到左逆用（因式分解），还要记住一些重要的变形及其逆运算――除法等。 2．基本公式 完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2 2 2 3 （1 （2 4 由（ 由 5 （a+b （a－ a n－ b n能被a－b整除, a2n+1+b2n+1能被a+b整除, a2n－b2n能被a+b及a－b整除。 二．例题精选 例1．已知x、y满足x2+y2+5 4 =2x+y,求代数式 xy x y 的值。 例2．整数x,y满足不等式x2+y2+1≤2x+2y,求x+y的值。 例3．同一价格的一种商品在三个商场都进行了两次价格调整.
甲商场:•第一次提价的百分率为a,第二次提价的百分率为b; 乙商场:两次提价的百分率都是 2 a b +(a>0,•b>0); 丙商场:第一次提价的百分率为b,第二次提价的百分率为a,• 则哪个商场提价最多?说明理由. 例4．计算: (1)6(7+1)(72+1)(74+1)(78+1)+1； (2)1.345×0.345×2.69-1.3453-1.345×0.3452. 例5222() 例6例7例8数.12A.x 3A 45(2)19492 -19502 +19512 -19522 +……+19972 -19982 +19992 =_________。 6．已知a+1 a =5,则=422 1a a a ++=_____。 7．已知两个连续奇数的平方差为•2000,•则这两个连续奇数可以是______. 8．已知a 2+b 2+4a -2b+5=0,则a b a b +-=_____. 9．若代数式b x x +-62可化为1)(2--a x ，则b ﹣a 的值是． 10．已知a 、b 、c 均为正整数,且满足a 2+b 2=c 2,又a 为质数.证明:
完全平方公式6种变形
完全平方公式6种变形 在学习数学的过程中，学生们会遇到完全平方公式。它是一种经典的数学概念，可以通过数学运算容易地计算出一个数的完全平方值。本文将对完全平方公式的六种变形进行详细讨论。 首先，什么是完全平方公式？它是一种描述数的完全平方的特定的数学结构。例如，完全平方公式为：(x + y)2 = x2 + 2xy + y2。它表明，通过将一个数的完全平方和两个数伴随的系数相乘，就可以得到一个数的完全平方。 其次，完全平方公式有六种变形，它们分别是： 1.方差公式：(x - y)2 = x2 - 2xy + y2 2.方和公式：(x + y)2 = x2 + 2xy + y2 3.方和差的和：(x + y)(x - y) = x2 - y2 4.方和差的差：(x - y)(x + y) = x2 + y2 5.方差和的和：(x - y)[2xy = x2 + y2 6.方差和的差：(x - y)[2xy = x2 - y2 第一种变形就是平方差公式。它表明，只要x和y值相减，系数相乘就可以得到两数之间的平方差值。第二种变形是平方和公式，它表明，只要x和y值相加，系数相乘就可以得到两数之间的平方和值。第三种变形是平方和差的和，它表明，当x与y的和乘以x与y的差时，就可以得到平方和差的和。第四种变形是平方和差的差，它表明，当x与y的差乘以x与y的和时，就可以得到平方和差的差。第五种变形是平方差和的和，它表明，当x与y的差乘以2xy时，就可以得
到平方差和的和。最后，第六种变形是平方差和的差，它表明，当x 与y的差乘以2xy时，就可以得到平方差和的差。 完全平方公式是一种经典的数学概念，熟练掌握它的变形是很重要的，能够帮助我们计算出一个数的完全平方值，使我们更快地解决数学问题。因此，我们需要努力掌握和练习完全平方公式的六种变形，这样才能更好地学习数学。 在数学学习中，完全平方公式有六种变形，它们分别是：平方差公式、平方和公式、平方和差的和、平方和差的差、平方差和的和以及平方差和的差。这些变形的准确的使用可以帮助我们更快地解决数学问题。因此，要熟练掌握完全平方公式的六种变形，这样才能正确地学习数学，为以后解决数学问题打下坚实的基础。
完全平方公式及其应用
完全平方公式及其应用 一、公式及其变形 1、 完全平方公式：222()+2a b a ab b +=+ （1）222()2a b a ab b -=-+ （2） 公式特征：左边是一个二项式的完全平方，右边有三项，其中有两项是左边二项式中每一项的平方，而另一项是左边二项式中两项乘积的2倍。 注意： 222)()]([)(b a b a b a +=+-=-- 222)()]([)(b a b a b a -=--=+- 完全平方公式的口诀：首平方，尾平方，加上首尾乘积的2倍。 2、公式变形 (1)+（2）得:22 22 ()()2a b a b a b ++-+= (12)-）（得: 22 ()()4 a b a b ab +--= ab b a ab b a b a 2)(2)(2222-+=-+=+，ab b a b a 4)()(22-+=- 3、三项式的完全平方公式：bc ac ab c b a c b a 222)(2222+++++=++ 二、题型 题型一、完全平方公式的应用 例1、计算（1）（－ 21ab 2－3 2c ）2； （2）（x －3y －2）（x ＋3y －2）； 练习1、(1)（x －2y ）（x 2－4y 2）（x ＋2y ）；（2）、（a －2b ＋3c －1）（a ＋2b －3c －1）； 题型二、配完全平方式 1、若k x x ++22是完全平方式，则k = 2、.若x 2－7xy +M 是一个完全平方式，那么M 是 3、如果4a 2－N ·ab ＋81b 2是一个完全平方式，则N = 4、如果2 24925y kxy x +-是一个完全平方式，那么k = 题型三、公式的逆用 1．（2x －______）2＝____－4xy ＋y 2． 2．（3m 2＋_______）2＝_______＋12m 2n ＋________． 3．x 2－xy ＋________＝（x －______）2． 4．49a 2－________＋81b 2＝（________＋9b ）2．
完全平方公式概念
完全平方公式概念 完全平方公式又称为二次函数，是数学中最常用的一种函数形式。它的具体描述可以表述为y=ax2+bx+c（a≠0），其中a、b、c是未知的实数。这种函数也称为二次多项式函数，它是由三次项（也被称为平方项）、二次项（也被称为一次项）和常数项组成。它的特点是x 的次幂最高级只有2次，而且只有一个正系数。 完全平方公式有很多应用，它可以用来帮助我们计算数学形状的体积、面积和周长等值，还可以用来解决一些不等式或不定方程。比如我们想解决一个不等式x2-4x+4>0，那么我们可以把它表示为 y=x2-4x+4，然后再用完全平方公式解决： y=(x-2)2，这时候不等式变成了(x-2)2>0，解决后得到x>2，这就是我们所要求的解。 此外，完全平方公式还可以用来解决一些计算机科学问题，如图像变换，信号处理，几何算法等。比如在通过完全平方公式缩放图片时，它可以帮助我们较快地计算出图像缩放的比例。而在信号处理领域，完全平方公式也可以帮助我们提取信号的正确信息。 完全平方公式也可以用来解决一些实际的问题，比如在物体受力时，我们可以通过它来计算出物体的受力情况，以及决定物体折射什么样的变形程度。另外，在金融领域，完全平方公式也可以用来分析投资回报率。 完全平方公式涉及到的概念非常丰富，它的用处也是十分广泛的，在许多数学领域都有它的身影。它的应用不仅仅限于上述几个领域，在很多其他领域也有应用。比如，它可以用于建筑学，电子学，物理
学，地质学，医学等各个领域。通过完全平方公式，我们可以更好地解决各个领域的问题，从而使我们的生活更加便利。 完全平方公式是一种强大的数学工具，它不仅仅是一种抽象的概念，而是一种实际的应用，可以用来解决许多实际问题。只要我们掌握了它的基本原理，就可以使用它来解决各种实际问题，这样我们就可以发挥它的强大作用，促进生活的发展。
完全平方公式讲解
完全平方公式讲解 完全平方公式是数学中的一种重要概念，作为学习数学的基本概念，它在帮助我们掌握数学的过程中发挥了重要作用。完全平方公式是一种表明数学关系的工具，有助于理解数学中的概念和现象。下面将对完全平方公式做一个详细的说明。 完全平方公式可以表达多项式中数学性质的关系，对于指定的数学现象能够有效地剖析。完全平方公式的形式一般为$ax^2 +bx+c=0$，其中a，b，c是实数，a≠0。完全平方公式可以解释如下：$ax^2 +bx+c$表示等式左侧，等式右侧也可以写成一个完全平方形式：$(x+α)^2+β=0$。α和β是两个实数，α=－b/2a，β=c/a。 完全平方公式可以用来解决多项式的根，即求出多项式的原根，也可以直接得出结果。下面用完全平方公式来解决求解多项式根的问题，$ax^2 +bx+c=0$，求解x的值： $(x+α)^2+β=0$ 将其化为一元二次方程，有：$x^2+2αx+α^2+β=0$ 根据二次公式：$x_1,x_2=-αpm sqrt{α^2-4(1)β}$ 将α和β的值代入，可得： $x_1,x_2=frac{-bpm sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ 将该公式带入到多项式中，就能得出多项式的根： $x_1=frac{-b+sqrt{b^2-4ac}}{2a}， x_2=frac{-b-sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ 完全平方公式还可以用来解决含有绝对值的一元二次不等式，新
的形式如下：$|ax^2 +bx+c|=0$。可以看出，此类不等式左侧的绝对值变成了括号，这就使其转换成普通的一元二次不等式，此时就可以使用完全平方公式来解决了。 完全平方公式的用途还不止如此，它还可以用来处理有理函数，特别是能够使有理函数形式更清楚、更简便，更具有可读性。因此，完全平方公式也被广泛应用于高等数学中。 完全平方公式也可以解决三次方程，其具体步骤如下：首先，将三次方程转化为一次二次mixed型方程，即有如下形式： $ax^3+bx^2+cx+d=0$，然后，利用完全平方公式将其中的二次项处理，将它变成完全平方的形式，有：$(x^2+2αx+α^2)+β=0$，将α和β的值代入，即可得出解，最后，将解代入原方程中，检查解的有效性。 以上就是完全平方公式的详细说明，完全平方公式非常重要，它不仅可以用来解决二次方程，还可用于解决三次方程，有理函数以及多项式的根，它可以使数学性质的解释更加简便明了。完全平方公式的出现为数学学习提供了参考，是学习数学的重要工具。
完全平方公式
第三讲 完全平方公式 【基础知识精讲】 1．完全平方公式 （1）（a ＋b ）2＝a 2＋2ab ＋b 2 （a －b ）2＝a 2－2ab ＋b 2 右边是三项 （2）公式特征 左边：二项式的平方 右边：二项式中每一项的平方与这两项乘积2倍的和． 注意：公式右边2ab 的符号取决于左边二项式中两项的符号．若这两项同号，则2ab 取“＋”，若这两项异号，则2ab 的符号为“－”． （3）公式中字母可代表的含义 公式中的a 和b 可代表一个字母，一个数字及单项式． （4）几何解释 图1－5 图1－5中最大正方形的面积可用两种形式表示：①（a ＋b ）2 ②a 2＋2ab ＋b 2，由于这两个代数式表示同一块面积，所以应相等，即（a ＋b ）2＝a 2＋2ab ＋b 2 因此，用几何图形证明了完全平方公式的正确性． 2．三个数的完全平方式 （a ＋b ＋c ）2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc 【学习方法指导】 ［例1］计算 （1）（3a ＋2b ）2 （2）（mn －n 2）2 ［例2］计算 （1）（－m －n ）2 （2）（－5a －2）（5a ＋2） ［例3］计算 （1）（x －2y ）2－（x －y ）（x ＋y ） （2）（m －n ）（m 2－n 2）（m ＋n ） ［例4］计算：（x ＋2y ）2－（x －2 y ）2 ［例5］计算：（a －2b ＋1）（a ＋2b －1） ［例6］利用公式计算：1962
例7］某正方形边长a cm ，若把这个正方形的边长减小3 cm ，则面积减少了多少？ 完全平方公式练习 1．填空： （1）=+2)2(n m ________； （2）=--2)13(x ________； （3）=⎪⎭⎫ ⎝⎛-2324 3n m ________； （4）=+-2)32(y x ________； （5）=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-223.032a a ________； （6）=⎪⎭⎫ ⎝ ⎛--2261z y x ________； （7）[]=--2 27)3(a ________； （8）22216____________)3(y x x +-=-； （9）=-2)1(c b a n m ________； （10）=-2n )32(y x m ________； （11）=--+22)()(b a b a ________； （12）-+=+222)(b a b a ________+-=2)(b a ______ （13）=-+22)1()1(x x ________； （14）=--+)1)(1)(1(2x x x ________； （15）=2)9.99(________； （16）=⎪⎭⎫ ⎝⎛2 219________； （17）22(____)9)63(=+x ； （18）22 (____)318 14=⎪⎭⎫ ⎝⎛+x ． 2．选择题： （1）下列等式能够成立的是（ ）． A ．222121⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x B ．222121⎪⎭ ⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x C ．412122-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x D ．412122 +=⎪⎭⎫ ⎝ ⎛=x x （2）下列等式能够成立的是（ ）． A ．222)(y xy x y x +-=- B ．2229)3(y x y x +=+ C ．222 4121y xy x y x +-=⎪⎭⎫ ⎝ ⎛- D ．9)9)(9(2-=+-m m m
完全平方公式讲解
完全平方公式讲解 完全平方公式是数学中重要的基本定理，它可以将复杂的高等数学问题简化成简单的形式。它通过分解复数式，使得许多数学问题变得简单明了，也可以用于求解非线性方程，是一个必不可少的数学理论的重要组成部分。 完全平方公式的定义：如果a和b是整数，那么a的完全平方公式表示为：a2 + b2 = c2，其中c也是一个整数。这里的a和b是两个不同的整数，而c是由a和b构成的两个不同数字的和。 完全平方公式的算法： 1.于两个不同的整数a和b，将它们求和，即a+b，然后将该和平方，即（a+b）2。 2.该平方值减去a2和b2，求出它们的差值，即（a+b）2 - a2 - b2。 3.后，根据此差值，结合a和b的值，求出c的值，即a2 + b2 = c2，即 c =（a2 + b2）。 完全平方公式的应用： 1.以用完全平方公式来求解非线性方程，即求解x2+2x+1=0，在这个例子中，它可以转化为x2+2x= -1，那么用到完全平方公式，即x2+2x+1=0可以求得x=-1±√2。 2.全平方公式还可以帮助我们解决类似于a2+b2+c2+d2的多项 式的求根问题。例如：a2+b2+c2+d2=3，那么用到完全平方公式，可以求得a2+b2=3-c2-d2，即a2+b2=1，这样就可以把这个问题转变成
一个完全平方的求根问题。 3.全平方公式还可以用来解决类似于a2+2ab+b2=c2+2cd+d2的多项式方程。例如，a2+2ab+b2=4，c2+2cd+d2=9，那么可以分别求出a2，b2和c2，d2，即a2=2，b2=2，c2=7，d2=7，从而求出a，b，c，d的值。 完全平方公式是数学中重要的基本定理，它可以将复杂的高等数学问题简化成简单的形式，给予解决数学问题带来极大的便利，是研究数学理论的最佳工具之一。它的应用非常广泛，几乎可以用于各种数学问题的解决，也可以用来解决复杂的非线性方程，对于提高数学水平有重要的意义。
完全平方公式讲解
完全平方公式讲解 完全平方公式是一种求解二次方程的方法，通常用于解决含有未知数的平方项和一次项的方程。这个公式的公式表达形式为： $$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$完全平方公式在数学中具有广泛的应用，可以用来解决一元二次方程、分解因式、证明等问题。 首先，我们可以考虑一个特殊的二次多项式：$$(x+a)^2$$这里，a 是一个常数。根据分配律，我们可以展开该二次多项式： $$(x+a)(x+a)=x^2+ax+ax+a^2$$合并相同项得到：$$x^2+2ax+a^2$$我们可以观察到，这个二次多项式中的平方项（$x^2$）和常数项（$a^2$）是完全平方的结构。而一次项的系数项（$2ax$）是两个a的乘积的两倍。这就是所谓的完全平方。 根据以上的推导，我们得出了完全平方的一般形式。接下来，我们将利用完全平方公式来解决一元二次方程的问题。 对于一元二次方程$$ax^2+bx+c=0$$其中a、b、c是已知实数常数。我们将该方程两边移项，并利用一种变形技巧，将方程转化为完全平方的形式。具体步骤如下： 1. 将方程两边移项，使等式右边等于0，得到$$ax^2+bx=-c$$ 2.对于方程的左边，我们将其利用完全平方公式进行变形。如果我们能找到一个常数k，使得左边可以变为$(x+k)^2$的形式，那么我们就可以利用完全平方公式直接求解。 3. 考虑到$(x+k)^2=x^2+2kx+k^2$，我们可以发现，当$b=2k$时，方程的左边可以写成完全平方形式。
4. 所以，我们可以得到方程$$ax^2+2kx+k^2=-c$$ 5.然而，我们不能直接将方程的右边变为k的平方形式，因为我们无 法确切地知道k的值。所以，我们需要做一个额外的变形。 6. 我们可以再次考虑方程的两边，得到$$ax^2+2kx+k^2+c=0$$ 7.现在，我们成功地将方程转化为一个完全平方的形式。进一步观察，我们可以发现，左边的二次项是$x^2$的系数与$a$的乘积，一次项是 $x$的系数与$2k$的乘积，常数项则是$k^2+c$。 8. 根据完全平方公式$(x+k)^2=x^2+2kx+k^2$，我们可以对比二次项、一次项和常数项，得到：$$x^2+\frac{2k}{a}x+\frac{k^2+c}{a}=0$$ 9. 综上所述，我们可以将原方程改写为： $$x^2+\frac{2k}{a}x+\frac{k^2+c}{a}=0$$ 10. 现在，我们可以通过完全平方公式求解这个方程，得到解$x=- \frac{2k}{2a}\pm\sqrt{(\frac{2k}{2a})^2-\frac{k^2+c}{a}}$ 11. 化简上述公式，我们得到$x=- \frac{k}{a}\pm\sqrt{(\frac{k}{a})^2-\frac{k^2+c}{a}}$ 12.最后，我们可以根据已知的方程的系数a、b、c，以及变形后的 二次项的系数k，求解得到方程的解。 综上所述，完全平方公式是一种通过变形将二次方程转化为完全平方 形式，进而求解方程的方法。这个公式能够帮助我们更方便地求解一元二 次方程，并在数学中具有广泛的应用。
完全平方公式
完全平方公式 x = (-b ±√(b^2-4ac))/2a 其中，a、b、c是一元二次方程ax^2+bx+c=0中的系数。通过使用完全平方公式，我们可以通过计算确定二次方程的根。 设一元二次方程为：ax^2+bx+c=0（其中a≠0，a，b，c是常数），将一元二次方程变形为平方的形式可以得到： ax^2 + bx +c = a(x^2 + (b/a)x) + c =a(x^2+(b/a)x+(b/2a)^2-(b/2a)^2)+c =a(x+b/2a)^2-a(b/2a)^2+c = a(x + b/2a)^2 - ab^2/4a^2 + c = a(x + b/2a)^2 - (ab^2 - 4ac)/4a^2 = a(x + b/2a)^2 - (b^2 - 4ac)/4a 再整理上述方程，可以得到： a(x + b/2a)^2 = (b^2 - 4ac)/4a - c 令4ac = b^2 - 4ac，上式可化简为： a(x + b/2a)^2 = (b^2 - 4ac)/4a - 4ac/4a = (b^2 - 4ac - 4ac)/4a = (b^2 - 8ac)/4a 将等式两边同时开方，可得：
√(a(x + b/2a)^2) = √((b^2 - 8ac)/4a) 即： x + b/2a，= √(b^2 - 8ac)/2√a 将式子中的绝对值去掉，得到： x + b/2a = ±√(b^2-4ac)/2a x = (-b ±√(b^2-4ac))/2a 完全平方公式的意义是，我们可以通过计算二次方程的系数a、b、c，找到方程的根x。如果判别式b^2-4ac大于零，则方程有两个不相等的实根；如果判别式等于零，则方程有两个相等的实根；如果判别式小于零， 则方程没有实根，只有两个共轭复根。这种通过完全平方公式求解方程的 方法，可以广泛应用于数学、物理等领域的问题中。 举个例子来说明完全平方公式的应用。假设有一个一元二次方程 x^2-5x+6=0，我们可以将其系数代入完全平方公式中计算根的值：a=1，b=-5，c=6 代入完全平方公式得： x=(-(-5)±√((-5)^2-4*1*6))/(2*1) =(5±√(25-24))/2 =(5±√1)/2 =(5±1)/2 =3,2
完全平方公式12种变形公式
完全平方公式12种变形公式 完全平方公式12种变形公式是一类经典的数学公式，也叫广义完全平方公式，它可以将表示为一元二次方程的某一种形式的不定方程都变形为一元二次方程，从而使求解方程变得更加容易。它具有广泛的应用，如科学、工程等。 完全平方公式一共有12种，每一种都是由一元二次方程的左右两边变形得到的。下面分别介绍它们的变形过程和形式： 1. 令变形：即左边的方程可以变成 [x^2+2kx+k^2=(x+k)^2]，右边可以变形为 [ax^2+2kx+2x+k^2=ax^2+2kx+2x+k^2]。 2.方相加变形：即左边的方程可以变成 [x^2+(2k+a)x+ka^2=(x+k)^2+a^2]，右边可以变形为 [ax^2+(2k+a)x+ka^2=(x+k)^2+a^2]。 3.乘变形：即左边的方程可以变成 [x^2+2kxy+ky^2=(x+ky)^2]，右边可以变形为 [ax^2+2kxy+ky^2=(x+ky)^2]。 4.方相减变形：即左边的方程可以变成 [x^2+(2k-a)x+ka^2=(x+k)^2-a^2]，右边可以变形为 [ax^2+(2k-a)x+ka^2=(x+k)^2-a^2]。 5.项变形：即左边的方程可以变成 [x^2+(2k+1)x+k^2-a=x^2+(2k+1)x-a+k^2]，右边可以变形为 [ax^2+(2k+1)x+k^2-a=x^2+(2k+1)x-a+k^2]。 6.积变形：即左边的方程可以变成 [(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab]，右边可以变形为
[ax^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)]。 7. 乘积变形：即左边的方程可以变成 [x^2+2abx+b^2=a^2(x+b)^2]，右边可以变形为 [ax^2+2abx+b^2=a^2(x+b)^2]。 8.积变形：即左边的方程可以变成 [x^2-2abx+b^2=a^2(x-b)^2]，右边可以变形为 [ax^2-2abx+b^2=a^2(x-b)^2]。 9.断变形：即左边的方程可以变成 [x^2+(2k+2)x+2k^2+2kX+k^2=(x+k)^2+k^2]，右边可以变形为 [ax^2+(2k+2)x+2k^2+2kX+k^2=(x+k)^2+k^2]。 10.乘变形：即左边的方程可以变成 [x^2+2abx+b^2=a^2(x+b)^2/a]，右边可以变形为 [ax^2+2abx+b^2=a^2(x+b)^2/a]。 11.除变形：即左边的方程可以变成 [x^2-2abx+b^2=a^2(x-b)^2/a]，右边可以变形为 [ax^2-2abx+b^2=a^2(x-b)^2/a]。 12.除变形：即左边的方程可以变成 [(x+a)/(x-b)=(x^2+abx+ab)/(x^2-abx+ab)]，右边可以变形为 [a(x+a)/(x-b)=(x^2+abx+ab)/(x^2-abx+ab)]。 上述12种完全平方公式的变形，要掌握好他们需要积累大量的 练习。具体操作起来，需要记住常用的知识点，比如错乘、错除、移项、移断、内积和平方相加等，还需要做大量的练习来熟悉完全平方公式的变形。
完全平方公式讲解
完全平方公式讲解 完全平方（perfectsquare）公式是数学中最重要的公式之一， 它可以用于快速解决许多数学问题的解法。它的用处非常广泛，由于它的实用性，它被广泛应用于学校，大学，实验室和工作岗位中。 完全平方公式有三种基本形式：一是把一个根号中的式子化简为一个完全平方；二是将一个简单的数学表达式转换为另一个完全平方；三是将一个复杂的数学表达式化简为一个完全平方。 首先，要讲解完全平方公式，先来讲解求根数的完全平方形式。这种情况下，要求根数是将一个数x开方，例如求根162，就是求x=162的根号，其公式的形式为：y=a^2+bx+c由此可得：y=(a-b)^2 + 2ab + c，a,b,c是常数。若要求根数，要满足 y=a^2+bx+c=0，那么可以得到x=(-b+(b^2-4ac))/2a，此就可以得到x的值，也就是我们要求的根数。 其次，要解释完全平方公式，要讲解如何将一个简单的数学表达式转换成另一个完全平方的形式。以熟悉的表达式y= ax^2+ bx+ c 为例，如果要将它化简成完全平方的形式，可以这样做：令 y=(ax+b)^2+c，y=a^2x^2+2axb+b^2+ c，令a^2=d，d减去b^2就是 c的值，最后可以得到y=(ax+b)^2+d-b^2，也就是常见的完全平方形式。 最后，要讲解完全平方公式，要讲解如何将一个复杂的数学表达式化简为完全平方。在这种情况下，我们通常会使用一些数学方法，根据原数学表达式的结构，把它分解分解成多个部分，每一部分作为
一个完全平方求解，最后把这些部分综合起来，就可以得到一个完全平方的表达式。 总之，完全平方公式是一种非常有用的数学工具，它可以帮助我们快速解决许多数学问题。通过对它的正确使用，我们可以提高我们的解题能力，从而获得更好的成绩。
初中数学完全平方公式
初中数学完全平方公式 完全平方公式是指一些特定的二元二次方程式可以通过一个完全平方公式来求解。完全平方公式的形式通常为x^2 + bx + c = (x + m)^2，其中b为常数，m为待求解的常数。为了解决完全平方公式，可以通过解方程x^2 + bx + c = 0来找到x的值。 在初中数学中，我们通常遇到的是一元二次方程，即方程的形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知数，x为未知数。解一元二次方程可以通过两种常用方法：配方法和因式分解方法。完全平方公式就是在配方法的基础上发展而来的。 完全平方公式的基本形式是(x + m)^2 = x^2 + 2mx + m^2，其中m 为常数。将该公式与一元二次方程ax^2 + bx + c = 0进行比较，可以得到如下关系： x^2 + 2mx + m^2 = ax^2 + bx + c。 通过比较系数，我们可以得到以下等式： a=1，2m=b，m^2=c。 解完全平方公式的步骤如下： 1.将一元二次方程的系数与完全平方公式的系数进行比较，确定a、 b、c的值。 2.通过等式2m=b，可以解出m的值。 3.将m的值代入m^2=c中，可以解出c的值。
4.验证一下解是否正确，将a、b、c的值代入一元二次方程中进行计算。 下面举一个例子来说明完全平方公式的应用。 例题：解方程x^2+10x+25=0。 解：比较一元二次方程与完全平方公式的系数： a=1，b=10，c=25 根据等式2m=b，可以解出m的值： 2m=10，m=5 将m的值代入m^2=c中，可以解出c的值： 5^2=c，c=25 验证解的正确性，将a、b、c的值代入一元二次方程中计算： 1(x^2)+10x+25=0。 式子两边都乘以1，得到： x^2+10x+25=0。 由此可见，方程x^2+10x+25=0的解为x=-5 完全平方公式的应用不仅限于解方程，还可以用来化简一些特定的代 数表达式。例如，我们可以通过完全平方公式化简(x+m)^2-(x+n)^2这样 的表达式。 (x + m)^2 - (x + n)^2 = (x^2 + 2mx + m^2) - (x^2 + 2nx + n^2) = 2mx - 2nx + (m^2 - n^2) = 2m(x - n) + (m^2 - n^2)。
完全平方公式
完全平方公式 知识点一：完全平方公式 1.完全平方和公式：两数的和的平方等于这两个数的平方和加上这两个数乘积的2倍 即2222)(b ab a b a ++=+ 1.完全平方差公式：两数的差的平方等于这两个数的平方和减去这两个数乘积的2倍 即2222)(b ab a b a +-=- 注意：①公式中的字母a b 可以表示具体的数，也可以表示单项式或多项式。 ②可以用口诀来记忆：头平方和尾平方，头乘尾两倍在中央，中间符号照原样。 3. bc ac ab c b a c b a 222)(2222+++++=++ 1、利用完全平方公式计算 (1)2)32(-x (2)2)54(y x + (3)2)(a mn +- （4）2)2(n m -- 2.计算 （1）1022 （2） 1972 （3）9982 3.计算 （1）22)3(x x -+ （2）（a+b+3）(-a-b-3) (3）2)5(-+y x ) 提高练习 完全平方式： 1.若(x ＋m)2＝x 2－8x ＋n ，则m= ，n= 2.若x 2+kx ＋9是一个完全平方式，则k= 3. 若x 2-kx ＋9是一个完全平方式，则k= 4.若4x 2+kx +25是完全平方式，则k = 5. 若x 2+10x ＋m 是一个完全平方式，则m= 6. 若x 2+10x ＋m 2是一个完全平方式，则m= 7. 若4x 2-12x ＋m 是一个完全平方式，则m= 8.若x 2+10x ＋25=（x-m)2 则m= 练习： 1．下列不能用完全平方公式进行计算的是( ) A ．(x ＋y )2 B ．(x －y )2 C ．(－x －y )2 D ．x 2＋y 2 2．计算(x －2y)2的结果是( ) A ．x 2－4xy ＋2y 2 B ．x 2－4xy ＋4y 2 C ．x 2＋4xy ＋4y 2 D ．x 2－4y 2 3．计算(－x －y)2的结果是( )
平方差公式和完全平方公式
平方差公式和完全平方公式 平方差公式是先平方再减a²-b²= (a+b)(a-b)。 完全平方公式是先加减最后是平方(a±b)²=a²±2ab+b²。 平方差公式是指两个数的和与这两个数差的积，等于这两个数的平方差，这一公式的结构特征： 左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；右边是乘式中两项的平方差，即相同项的平方与相反项的平方差。公式中的字母可以表示具体的数(正数和负数)，也可以表示单项式或多项式等代数式。 该公式需要注意： 1.公式的左边是个两项式的积，有一项是完全相同的。 2.右边的结果是乘式中两项的平方差，相同项的平方减去相反项的平方。
3.公式中的a，b 可以是具体的数，也可以是单项式或多项式。 完全平方公式指两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。为了区别，会叫做两数和的完全平方公式，或叫做两数差的完全平方公式。这个公式的结构特征： 1.左边是两个相同的二项式相乘，右边是三项式，是左边二项式中两项的平方和，加上或减去这两项乘积的2倍； 2.左边两项符号相同时，右边各项全用“+”号连接；左边两项符号相反时，右边平方项用“+”号连接后再“-”两项乘积的2倍（注：这里说项时未包括其符号在内）。公式中的字母可以表示具体的数（正数或负数），也可以表示单项式或多项式等数学式。 该公式需要注意： 1.左边是一个二项式的完全平方。
2.右边是二项平方的和，加上（或减去）这两项乘积的二倍，a和b可是数，单项式，多项式。 3.不论是(a+b)2还是(a-b)2，最后一项都是加号，不要因为前面的符号而理所当然的以为下一个符号。 4.不要漏下一次项。 5.切勿混淆公式。 6.运算结果中符号不要错误。 7.变式应用难，不易于掌握。