现代控制理论试卷及答案-总结

、〔10分,每小题1分〕试判断以下结论的正确性,若结论是正确的, 一

〔√〕1. 由一个状态空间模型可以确定惟一一个传递函数.

〔√〕2. 若系统的传递函数不存在零极点对消,则其任意的一个实现均为最小实现.

〔×〕 3. 对一个给定的状态空间模型,若它是状态能控的,则也一定是输出能控的.

〔√〕4. 对线性定常系统x = Ax ,其Lyapunov意义下的渐近稳定性和

矩阵A的特征值都具有负实部是一致的.

〔√〕5.一个不稳定的系统,若其状态彻底能控,则一定可以通过状态

反馈使其稳定.

〔×〕 6. 对一个系统,只能选取一组状态变量；

〔√〕7. 系统的状态能控性和能观性是系统的结构特性,与系统的输

入和输出无关；

〔×〕 8. 若传递函数G(s) = C(sI 一A)一1 B 存在零极相消,则对应的状态空间模型描述的系统是不能控且不能观的；

〔×〕9. 若一个系统的某个平衡点是李雅普诺夫意义下稳定的,则该

系统在任意平衡状态处都是稳定的；

〔×〕 10. 状态反馈不改变系统的能控性和能观性.

二、已知下图电路,以电源电压 u为输入量,求以电感中的电流和

电容中的电压作为状态变量的状态方程,和以电阻 R2 上的电压为输

出量的输出方程.〔10 分〕

解：〔1〕由电路原理得：

二．〔10 分〕图为 R-L-C 电路,设u 为控制量,电感L 上的支路电流和 电容 C 上的电压x 为状态变量,电容 C 上的电压x 为输出量,试求： 网

2 2

络的状态方程和输出方程,并绘制状态变量图.

解：此电路没有纯电容回路,也没有纯电感电路,因有两个储能元件, 故有独立变量.

以 电感 L 上 的 电流和 电容两端 的 电压为状态变量 , 即令：

i L = x 1 , u c = x 2

,由基尔霍夫电压定律可得电压方程为： • •

y y

2

1 =

-

x x

21

+ u

三、 〔每小题 10 分共 40 分〕基础题

〔1〕试求 y - 3y - 2y = u + u 的一个对角规 X 型的最小实现.〔10 分〕

Y(s) = s 3 + 1 = (s +1)(s 2 - s +1) = s 2 - s +1 = 1+ 1

+ -1 …………4 分

不妨令

X (s)1 = 1 ,

X (s)2 = - 1 …………2 分 于是有 又

Y(s)

U(s)

= 1+ X (s)1

U(s)+ X (s)

2U(s)

,所以Y(s) = U (s) + X 1 (s) + X 2 (s) , 即有

y = u + x + x …………2 分

1 2

最终的对角规 X 型实现为

则系统的一个最小实现为：

=「|2 0 ]+「| 1 ]

|

u, y = [1 1…………2 分 U (s) s 3 - 3s - 2 (s +1)(s 2 - s - 2) s 2 - s - 2 s - 2 s + 1 L 0 -1-1」

U (s) s - 2 U (s) s + 1

从上述两式可解出x 1 ,x 2 ,即可得到状态空间表达式如下：

〔2〕已知系统 =「| 0 1]| +「|1]

|

u, y = [1 -2] ,写出其对偶系统,判断该

系统的能控性与其对偶系统的能观性.〔10 分〕

解答：

= 10 3-2

+ -12 u

…………………………2 分

y = [1 2] ……………………………………2 分

〔3〕设系统为

试求系统输入为单位阶跃信号时的状态响应〔10 分〕 .

解

(t )=「|e

-t 0 ]|

L 0 e -2t 」……………………………..…….……..3 分

(t) = (t )(0) + j 0

t (t )u(t )d τ

……….….……….……..3 分

=

11

+ j 0t

1

1d τ ….……..2 分

=「| e

-t ]| + j t 「| e -(t -t ) ]|d τ

L e -2t 」 0 |L e -2(t -t )」| .................................................................................... 1 分

=

(1- e

1(1-2

= 21 (1 e -2t )

………………..1 分

〔4〕已知系统 x =

01 01x + 11

u 试将其化为能控标准型.〔10 分〕 「0 1 ]

解： u c = 11 02 , u -c 1 =

|L 21 - 21 」

| ............

2 分 p 1

= [0 1]u -c

1 = [0 1]

-

1

21

= [21 - 2

1].…….1 分 p 2

= p 1

A = [21

- 2

1]

01 01

= [21 2

1].……..1 分 L -2 3」 L 2」