现代控制理论试卷及答案总结

2012年现代控制理论考试试卷一、（10分，每小题1分）试判断以下结论的正确性，若结论是正确的，（√）1.由一个状态空间模型可以确定惟一一个传递函数。

（√）2.若系统的传递函数不存在零极点对消，则其任意的一个实现均为最小实现。

（×）3.对一个给定的状态空间模型，若它是状态能控的，则也一定是输出能控的。

（√）4.对线性定常系统xAx =&，其Lyapunov 意义下的渐近稳定性和矩阵A 的特征值都具有负实部是一致的。

（√）5.一个不稳定的系统，若其状态完全能控，则一定可以通过状态反馈使其稳定。

（×）6.对一个系统，只能选取一组状态变量；（√）7.系统的状态能控性和能观性是系统的结构特性，与系统的输入和输出无关；（×）8.若传递函数1()()G s C sI A B -=-存在零极相消，则对应的状态空间模型描述的系统是不能控且不能观的；（×）9.若一个系统的某个平衡点是李雅普诺夫意义下稳定的，则该系统在任意平衡状态处都是稳定的；（×）10.状态反馈不改变系统的能控性和能观性。

二、已知下图电路，以电源电压u(t)为输入量，求以电感中的电流和电容中的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻R2上的电压为输出量的输出方程。

（10分）解：（1）由电路原理得：二．（10分）图为R-L-C 电路，设u 为控制量，电感L 上的支路电流和电容C 上的电压2x 为状态变量，电容C 上的电压2x 为输出量，试求：网络的状态方程和输出方程，并绘制状态变量图。

解：此电路没有纯电容回路，也没有纯电感电路，因有两个储能元件，故有独立变量。

以电感L 上的电流和电容两端的电压为状态变量，即令：12,L c i x u x ==，由基尔霍夫电压定律可得电压方程为：从上述两式可解出1x •，2x •，即可得到状态空间表达式如下：⎥⎦⎤⎢⎣⎡21y y =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++-211212110R R R R R R R ⎥⎦⎤⎢⎣⎡21x x +u R R R ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+2120三、（每小题10分共40分）基础题（1）试求32y y y u u --=+&&&&&&&的一个对角规范型的最小实现。

（10分）232322()(1)(1)11111()2132(1)(2)2Y s s s s s s s U s s s s s s s s s s +-++-+-====++-+--+----…………4分 不妨令1()1()2X s U s s =-，2()1()1X s U s s -=+…………2分 于是有 又12()()()1()()()X s X s Y s U s U s U s =++，所以12()()()()Y s U s X s X s =++，即有 12y u x x =++…………2分最终的对角规范型实现为则系统的一个最小实现为：[]201, 11011u y ⎡⎤⎡⎤=+=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦&x x x +u …………2分 （2）已知系统[]011, 12232u y ⎡⎤⎡⎤=+=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦&xx x ，写出其对偶系统，判断该系统的能控性及其对偶系统的能观性。

（10分） 解答：021132u -⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦&x x …………………………2分[]12y =x……………………………………2分（3）设系统为试求系统输入为单位阶跃信号时的状态响应（10分）。

解()200tt e t e --⎡⎤=⎢⎥⎣⎦Φ……………………………..…….……..3分()()0()(0)()d τt t t t u τ=+⎰x x B ΦΦ……….….……….……..3分()()2201010d τ110t t t t t e e e e ττ------⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰….……..2分 ()()220d τt t t t t e e e e ττ------⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰.……….…………………..…..1分()()()22211==111122t t t t t e e e e e -----⎡⎤+-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥++-⎢⎥⎣⎦⎣⎦………………..1分（4）已知系统u x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=110011&试将其化为能控标准型。

（10分）解：1210c u ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，1112201cu -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦.……..2分 [][][]1111221122010101c p u -⎡⎤===-⎢⎥-⎣⎦.…….1分[][]11112122221100p p A ⎡⎤==-=⎢⎥⎣⎦.……..1分11221112211,11P P --⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦.……..2分 能控标准型为u x x⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=101010&.……..4分四、设系统为试对系统进行能控性及能观测性分解，并求系统的传递函数。

（10分） 解： 能控性分解： 能观测性分解： 传递函数为4520()(2)33g s s s ⨯==++L L L 分 五、试用李雅普诺夫第二法，判断系统0111x x •⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦的稳定性。

（10分） 方法一： 解：21x x =•原点=0e x 是系统的唯一平衡状态。

选取标准二次型函数为李雅普诺夫函数，即当01=x ，02=x 时，0)(=•x v ；当01≠x ，02=x 时，0)(=•x v ，因此)(x v •为负半定。

根据判断，可知该系统在李雅普诺夫意义下是稳定的。

另选一个李雅普诺夫函数，例如： 为正定，而为负定的，且当x →∞，有()V x →∞。

即该系统在原点处是大范围渐进稳定。

方法二： 解：或设11122122p p P p p ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦则由TA P PA I +=-得1112111212221222010110111101p p p p p p p p --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 可知P 是正定的。

因此系统在原点处是大范围渐近稳定的六、 （20分）线性定常系统的传函为()4()(2)(1)Y s s U s s s +=++ （1）实现状态反馈，将系统闭环的希望极点配置为()4,3--，求反馈阵K 。

（5分）（2）试设计极点为（-10,-10）全维状态观测器（5分）。

（3）绘制带观测器的状态反馈闭环系统的状态变量图（4分） （4）分析闭环前后系统的能控性和能观性（4分）注明：由于实现是不唯一的，本题的答案不唯一！其中一种答案为： 解：（1）2()44()(2)(1)32Y s s s U s s s s s ++==++++ 系统的能控标准型实现为：[]010,41231X X u y X ⎡⎤⎡⎤=+=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦&……1分 系统完全可控，则可以任意配置极点……1分 令状态反馈增益阵为[]12K k k =……1分 则有210123A BK k k ⎡⎤-=⎢⎥----⎣⎦，则状态反馈闭环特征多项式为 又期望的闭环极点给出的特征多项式为：2(4)(3)712s s s s ++=++由2212(3)(2)712k k s s λλ++++=++可得到[]410K=……3分（2）观测器的设计：由传递函数可知，原系统不存在零极点相消，系统状态完全能观，可以任意配置观测器的极点。

……1分 令[]12TE e e =……1分由观测器ˆˆ()xA EC x Bu Ey =-++&可得其期望的特征多项式为: *1195()()33Tf s f s E ⎡⎤=⇒=-⎢⎥⎣⎦……4分（3）绘制闭环系统的模拟结构图第一种绘制方法：……4分（注：观测器输出端的加号和减号应去掉！不好意思，刚发现！！）第二种绘制方法：（4）闭环前系统状态完全能控且能观，闭环后系统能控但不能观（因为状态反馈不改变系统的能控性，但闭环后存在零极点对消，所以系统状体不完全可观测）……4分A卷一、判断题，判断下例各题的正误，正确的打√，错误的打×（每小题1分，共10分）1、状态方程表达了输入引起状态变化的运动，输出方程则表达了状态引起输出变化的变换过程（√）2、对于给定的系统，状态变量个数和选择都不是唯一的（×）3、连续系统离散化都没有精确离散化，但近似离散化方法比一般离散化方法的精度高（×）4、系统的状态转移矩阵就是矩阵指数（×）5、若系统的传递函数存在零极点相消，则系统状态不完全能控（×）6、状态的能空性是系统的一种结构特性,依赖于系统的结构,与系统的参数和控制变量作用的位置有关（√）7、状态能控性与输出能控性之间存在必然的联系（×）8、一个传递函数化为状态方程后，系统的能控能观性与所选择状态变量有关（√）9、系统的内部稳定性是指系统在受到小的外界扰动后，系统状态方程解的收敛性，与输入无关（√）10、若不能找到合适的李雅普诺夫函数，那么表明该系统是不稳定的（×） 二、已知系统的传递函数为 试分别用以下方法写出系统的实现：（1） 串联分解 （2） 并联分解 （3） 直接分解（4）能观测性规范型（20分）解： 对于322103130s s s +++有（1） 串联分解串联分解有多种，如果不将2分解为两个有理数的乘积，如1284=⨯，绘制该系统串联分解的结构图，然后每一个惯性环节()ii k s p +的输出设为状态变量，则可得到系统四种典型的实现为：则对应的状态空间表达式为：需要说明的是，当交换环节相乘的顺序时，对应地交换对应行之间对角线的元素！！！如211(2)(3)(5)s s s ⋅⋅+++的实现为：[]200213000150001X X u y X u⎧-⎡⎤⎡⎤⎪⎢⎥⎢⎥=-+⎪⎢⎥⎢⎥⎨⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎪⎪=+⎩& 则211(5)(3)(2)s s s ⋅⋅+++的实现为：[]500213000120001X X u y X u ⎧-⎡⎤⎡⎤⎪⎢⎥⎢⎥=-+⎪⎢⎥⎢⎥⎨⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎪⎪=+⎩& 依次类推！！（2） 并联分解实现有无数种，若实现为[]112233123000000b X X b u b y c c c X u⎧⎡⎤⎡⎤⎪⎢⎥⎢⎥=+⎪⎢⎥⎢⎥⎨⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎪⎪=+⎩&λλλ只要满足 例如：32212133(3)103130s s s s -=++++++，则其实现可以为： （3）直接分解 （4）能观测规范型三、给定一个二维连续时间线性定常自治系统,0xx A t =≥&。