高考数学《解三角形》一轮复习练习题(含答案)

高考数学《解三角形》一轮复习练习题（含答案）一、单选题1．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若222b c a bc +=+，则角A 的大小为（ ） A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 2．ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若cos =c b A ，则ABC 一定是（ ） A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形D ．等腰直角三角形3．在ABC 中，c =1b =，30B ∠=︒，则ABC 的面积等于（ ）AB C D4．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若2,30a b C ===，则c 的值为（ ）A ．1BC D ．5．记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且222sin sin sin sin cos 1B C B C A +-+=，则A =（ ）．A ．π6B ．5π6 C ．π3D ．2π36．在ABC 中，1,2,60a c B ===︒，则b =（ ）A ．1B ．2CD 7．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2cos (cos cos )C a B b A c +=，若ABC.则ab 的最小值为（ ） A ．13B ．16C ．19D ．1128．已知抛物线E ：22y px =（0p >）的焦点为F ，点A 是抛物线E 的准线与坐标轴的交点，点P 在抛物线E 上，若30PAF ∠=，则sin PFA ∠=（ ）A ．12B C D 9．秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作《数书九章》中有已知三边求三角形面积的方法：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实一为从阳，开平方得积．”如果把以上这段文字写成公式就是S =a ，b ，c 是ABC 的内角A ，B ，C 的对边，若sin 2sin cos C A B =，且224b c +=，则ABC 面积S 的最大值为（ ）A B C D10．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设()(222b c a bc +=+，且sin B A =，则sin C =（ ）A ．12B C D 11．在锐角△ABC 中，()222S a b c =--，2a =，则△ABC 的周长的取值范围是（ ）A ．(]4,6B ．(4,2⎤⎦C ．(6,2⎤⎦D ．(2⎤⎦ 12．在ABC 中，9AB AC ⋅=，()sin cos sin A C A C +=，6ABCS =，P 为线段AB 上的动点，且CA CBCP x y CACB=⋅+⋅，则21x y +的最小值为（ ）A ．116+B ．116C ．1112D ．1112二、填空题13．在某次海军演习中，已知甲驱逐舰在航母的南偏东15°方向且与航母的距离为12海里，乙护卫舰在甲驱逐舰的正西方向，若测得乙护卫舰在航母的南偏西45°方向，则甲驱逐舰与乙护卫舰的距离为___________海里.14．已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2,1,30a b B ===︒，则A =_________.15．正四棱锥S ABCD -的底面边长为a ，侧棱长为2a ，点P ，Q 分别在BD 和SC 上，并且:1:2=BP PD ，//PQ 平面SAD ，则线段PQ 的长为__________．16．已知三棱锥A BCD -的各棱长都相等，2AP PD =，Q 为AC 上一点，且BQ QP +的最________ 三、解答题17．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足πsin()cos 6⎛⎫+=- ⎪⎝⎭a A C b A ．(1)求角A ；(2)若3,5a b c =+=，求ABC 的面积．18．记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，分别以a ，b ，c 为边长的三个正三角形的面积依次为123,,S S S ，已知12331,sin 23S S S B -+==． (1)求ABC 的面积； (2)若2sin sin 3A C =，求b ．19．在①()2223sin 2a cb B ac +-=且4B π>；②sin 31cos b A a B =-；③sin sin sin sin B C a A C b c +=--这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题． 问题：在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且__________． (1)求B ；(2)若D 为边AC 的中点，且3,4==a c ，求中线BD 长．20．如图，扇形OMN 的半径为3，圆心角为3π，A 为弧MN 上一动点，B 为半径上一点且满足23OBA π∠=.(1)若1OB =，求AB 的长；(2)求△ABM 面积的最大值.21．如图，在边长为1的正三角形ABC 中，O 为中心，过点O 的直线交边AB 与点M ，交边AC 于点N ．(1)用AB ，AC 表示AO ； (2)若34AM =，求AN 的值； (3)求22OM ON +的最大值与最小值．22．在①2cos cos cos a A b C c B =+；②tan tan 33tan B C B C +=这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，已知______． (1)求角A 的大小；(2)若ABC 3G 为ABC 重心，点M 为线段AC 的中点，点N 在线段AB 上，且2AN NB =，线段BM 与线段CN 相交于点P ，求GP 的取值范围． 注：如果选择多个方案分别解答，按 第一个方案解答计分。

参考答案1．B2．C3．D4．A5．C6．D7．C8．B9．B10．C11．C12．C 13．14．90 151617．（1）由正弦定理得πsin sin sin cos 6A B B A ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为0πB <<，所以sin 0B >，所以πsin cos 6A A ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，化简得1sin sin 2A A A =+，所以πcos 06A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为0πA <<，所以π3A =．（2）因为π3A =，由余弦定理得2222()3a b c bc b c bc =+-=+-，又3,5a b c =+=，所以2229()3b c bc b c bc =+-=+-，即9253=-bc ，解得163bc =， 则ABC的面积1116sin 223S bc A ==⨯=． 18．（1）由题意得22221231,,2S a S S =⋅===，则222123S S S -+==， 即2222a c b +-=，由余弦定理得222cos 2a c b B ac+-=，整理得cos 1ac B =，则cos 0B >，又1sin 3B =，则cos B =1cos ac B ==1sin 2ABCS ac B ==（2）由正弦定理得：sin sin sin b a c B A C==，则229sin sin sin sin sin 4b a c ac B A C A C =⋅===，则3sin 2b B =，31sin 22b B ==.19．（1）若选①：()222sin a c b B +-=，且2222cos a c b ac B +-=，所以2cos sin ac B B =，所以sin2B = 又4B ππ<<，所以222B ππ<<，所以223B π=，所以3B π=．若选②：由正弦定理得sin sin 1cos B AA B=-，因为sin 0A ≠，所以sin B B =，即sin 3B π⎛⎫+ ⎪⎝⎭由40,333B B ππππ<<<+<，所以233B ππ+=，所以3B π=．若选③：由正弦定理得b c aa cb c+=--，即222a c b ac +-=， 由余弦定理得2221cos 222a cb ac B ac ac +-===，又0B π<<，所以3B π=．（2）在ABC 中，由余弦定理得2222cos 9161213b a c ac B =+-=+-=，所以b = 又()()224AC BA BC BD DA BD DC BD ⋅=+⋅+=-，所以21334cos34BD π⋅⋅=-，所以中线BD ． 20．(1)在△OAB 中，由余弦定理得，2222cos OA OB AB OB AB OBA ∠=+-⋅⋅，即213122AB AB ⎛⎫=+-⋅⋅- ⎪⎝⎭，即220AB AB +-=，即()()210AB AB +-=，∴1AB =； (2)3MOB π∠=，23OBA π∠=，MOB OBA ∠∠π∴+=，OM ∴∥AB ， MABOABSS∴=，设OB x =，AB y =，则在OAB 中，由余弦定理得222,2cos OA OB AB OB AB OBA ∠=+-⋅⋅， 即22321x y xy xy xy xy =+++⇒，当且仅当1x y ==时取等号，∴113sin 224OABSOB AB OBA x y xy ∠=⋅⋅⋅=⋅⋅=，当且仅当1x y ==时取等号.∴△ABM21．(1)延长AO 交BC 于D ，因为O 为正三角形ABC 的中心，所以D 为BC 的中点， 所以1()2AD AB AC =+,因为23AO AD =, 所以1133AO AB AC =+，(2)设AN m =，因为1AC =，所以1AC AN m=， 因为34AM =，1AB =, 所以43AB AM =, 由（1）可知1133AO AB AC =+， 所以141333AO AM AN m=⨯+， 因为,,M O N 三点共线， 所以41193m+=，解得35m =， 即AN 的值为35(3)因为正三角形ABC 的边长为1，O 为正三角形ABC 的中心，所以3AO =，6MAO NAO π∠=∠=，设MOA α∠=，则233ππα≤≤，在MOA 中，由正弦定理可得sin sin 6OMOAMAO ππα=∠⎡⎤⎛⎫-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以6sin 6OM πα==⎛⎫+ ⎪⎝⎭，在NOA △中，同理可得6sin 6ON πα==⎛⎫- ⎪⎝⎭,所以()()2222113sin 3sin OM ON αααα+=+2213= 2222223sin cos 3(3sin cos )αααα+=⋅- 22222sin 13(4sin 1)αα+=⋅- 令22sin 1t α=+，则21sin 2t α-=所以222213(41)2tOM ON t +=⋅-⋅-2234129t t t =⋅-+ 2193412t t=⋅+-，因为233ππα≤≤，所以1sin 12α≤≤，21sin 14α≤≤，所以252sin 132α≤+≤，即532t ≤≤， 令94y t t =+，则 94y t t =+在5,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以9594345322y ⨯+≥≥⨯+，即68155y ≥≥， 即9681545t t ≥+≥，所以9834125t t ≥+-≥，所以511983412t t≥≥+-， 所以252121938333412t t ⨯≥⋅≥⨯+-，即521291239412t t≥⋅≥+-， 所以2225912OM ON ≤+≤， 即22OM ON +最大值512，最小值2922．（1）解：若选①2cos cos cos a A b C c B =+，由正弦定理可得()2sin cos sin cos sin cos sin A A B C C B B C =+=+ 即2sin cos sin A A A =，又sin 0A >，所以2cos 1A =，即1cos 2A =， 因为()0,A π∈，所以3A π=；若选②tan tan tan B C B C +，即tan tan tan B C B C +=，即)tan tan 1tan tan B C B C +=-，所以tan tan 1tan tan B CB C+=-()tan B C +=()tan A π-=tan A =因为()0,A π∈，所以3A π=；（2）解：依题意23AN AB =，12AM AC =，所以()222111333233AG AB BG AB BM AB AM AB AB AC AB AB AC ⎛⎫=+=+=+-=+-=+ ⎪⎝⎭，因为C 、N 、P 三点共线，故设()()2113AP AN AC AB AC λλλλ=+-=+-，同理M 、B 、P 三点共线，故设()()1112AP AB AM AB AC μμμμ=+-=+-， 所以()231112λμλμ⎧=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，解得3412λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以1124AP AB AC =+， 则()11111112243361212GP AP AG AB AC AB AC AB AC AB AC ⎛⎫=-=+-+=-=- ⎪⎝⎭，因为13sin 2ABCSbc A =2bc =， 又ABC 为锐角三角形，当C 为锐角，则0AC BC ⋅>，即()0AC AC AB ⋅->，即20AC AC AB -⋅>，即2102b bc ->，即22b c b >=，所以1b >，当B 为锐角，则0AB CB ⋅>，即()0AB AB AC ⋅->，即20AB AC AB -⋅>，即2102c bc ->，即2c b >，即22b b ⋅>，所以02b <<，综上可得12b <<， 又1212GP AB AC =⋅-，则()2222144244GP AB AC AB AB AC AC =-=-⋅+2244AB AB AC AC =-⋅+ 2242c bc b =-+22164b b=-+ 因为12b <<，所以214b <<，而()164f x x x=-+在()1,4上单调递减，所以()()4,13f x ∈， 即()221644,13b b -+∈，即()21444,13GP ∈，所以(1213GP ∈，则1136GP ⎛∈ ⎝⎭。