数理统计复习资料
概率论与数理统计考研复习资料
概率论与数理统计复习第一章 概率论的基本概念一.基本概念随机试验E:(1)可以在相同的条件下重复地进行;(2)每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;(3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.样本空间S: E 的所有可能结果组成的集合. 样本点(基本事件):E 的每个结果. 随机事件(事件):样本空间S 的子集.必然事件(S):每次试验中一定发生的事件. 不可能事件(Φ):每次试验中一定不会发生的事件. 二. 事件间的关系和运算1.A ⊂B(事件B 包含事件A )事件A 发生必然导致事件B 发生.2.A ∪B(和事件)事件A 与B 至少有一个发生.3. A ∩B=AB(积事件)事件A 与B 同时发生.4. A -B(差事件)事件A 发生而B 不发生.5. AB=Φ (A 与B 互不相容或互斥)事件A 与B 不能同时发生.6. AB=Φ且A ∪B=S (A 与B 互为逆事件或对立事件)表示一次试验中A 与B 必有一个且仅有一个发生. B=A, A=B . 运算规则 交换律 结合律 分配律 德•摩根律B A B A = B A B A =三. 概率的定义与性质1.定义 对于E 的每一事件A 赋予一个实数,记为P(A),称为事件A 的概率.(1)非负性 P(A)≥0 ; (2)归一性或规范性 P(S)=1 ;(3)可列可加性 对于两两互不相容的事件A 1,A 2,…(A i A j =φ, i ≠j, i,j=1,2,…),P(A 1∪A 2∪…)=P( A 1)+P(A 2)+…2.性质(1) P(Φ) = 0 , 注意: A 为不可能事件 P(A)=0 .(2)有限可加性 对于n 个两两互不相容的事件A 1,A 2,…,A n ,P(A 1∪A 2∪…∪A n )=P(A 1)+P(A 2)+…+P(A n ) (有限可加性与可列可加性合称加法定理) (3)若A ⊂B, 则P(A)≤P(B), P(B -A)=P(B)-P(A) .(4)对于任一事件A, P(A)≤1, P(A)=1-P(A) .(5)广义加法定理 对于任意二事件A,B ,P(A ∪B)=P(A)+P(B)-P(AB) . 对于任意n 个事件A 1,A 2,…,A n()()()()+∑+∑-∑=≤<<≤≤<≤=nk j i k j i nj i j i ni i n A A A P A A P A P A A A P 11121…+(-1)n-1P(A 1A 2…A n )四.等可能(古典)概型1.定义 如果试验E 满足:(1)样本空间的元素只有有限个,即S={e 1,e 2,…,e n };(2)每一个基本事件的概率相等,即P(e 1)=P(e 2)=…= P(e n ).则称试验E 所对应的概率模型为等可能(古典)概型.2.计算公式 P(A)=k / n 其中k 是A 中包含的基本事件数, n 是S 中包含的基本事件总数. 五.条件概率1.定义 事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率P(B|A)=P(AB) / P(A) ( P(A)>0).2.乘法定理 P(AB)=P(A) P (B|A) (P(A)>0); P(AB)=P(B) P (A|B) (P(B)>0).P(A 1A 2…A n )=P(A 1)P(A 2|A 1)P(A 3|A 1A 2)…P(A n |A 1A 2…A n-1) (n ≥2, P(A 1A 2…A n-1) > 0) 3. B 1,B 2,…,B n 是样本空间S 的一个划分(B i B j =φ,i ≠j,i,j=1,2,…,n, B 1∪B 2∪…∪B n =S) ,则 当P(B i )>0时,有全概率公式 P(A)=()()i ni i B A P B P∑=1当P(A)>0, P(B i )>0时,有贝叶斯公式P (B i |A)=()()()()()()∑==ni i i i i i B A P B P B A P B P A P AB P 1. 六.事件的独立性1.两个事件A,B,满足P(AB) = P(A) P(B)时,称A,B 为相互独立的事件.(1)两个事件A,B 相互独立⇔ P(B)= P (B|A) .(2)若A 与B ,A 与B ,A 与B, ,A 与B 中有一对相互独立,则另外三对也相互独立.2.三个事件A,B,C 满足P(AB) =P(A) P(B), P(AC)= P(A) P(C), P(BC)= P(B) P(C),称A,B,C 三事件两两相互独立. 若再满足P(ABC) =P(A) P(B) P(C),则称A,B,C 三事件相互独立.3.n 个事件A 1,A 2,…,A n ,如果对任意k (1<k ≤n),任意1≤i 1<i 2<…<i k ≤n.有()()()()kkii i i i i A P A P A P A A A P 2121=,则称这n 个事件A 1,A 2,…,A n相互独立.第二章 随机变量及其概率分布一.随机变量及其分布函数1.在随机试验E 的样本空间S={e}上定义的单值实值函数X=X (e)称为随机变量.2.随机变量X 的分布函数F(x)=P{X ≤x} , x 是任意实数. 其性质为:(1)0≤F(x)≤1 ,F(-∞)=0,F(∞)=1. (2)F(x)单调不减,即若x 1<x 2 ,则 F(x 1)≤F(x 2). (3)F(x)右连续,即F(x+0)=F(x). (4)P{x 1<X≤x 2}=F(x 2)-F(x 1). 二.离散型随机变量 (只能取有限个或可列无限多个值的随机变量)1.离散型随机变量的分布律 P{X= x k }= p k (k=1,2,…) 也可以列表表示. 其性质为: (1)非负性 0≤P k ≤1 ; (2)归一性 11=∑∞=k k p .2.离散型随机变量的分布函数 F(x)=∑≤xX kk P 为阶梯函数,它在x=x k (k=1,2,…)处具有跳跃点,其跳跃值为p k =P{X=x k } .3.三种重要的离散型随机变量的分布(1)X~(0-1)分布 P{X=1}= p ,P{X=0}=1–p (0<p<1) .(2)X~b(n,p)参数为n,p 的二项分布P{X=k}=()kn k p p k n --⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1(k=0,1,2,…,n) (0<p<1) (3))X~π(λ)参数为λ的泊松分布 P{X=k}=λλ-e k k !(k=0,1,2,…) (λ>0) 三.连续型随机变量1.定义 如果随机变量X 的分布函数F(x)可以表示成某一非负函数f(x)的积分F(x)=()dt t f x⎰∞-,-∞< x <∞,则称X 为连续型随机变量,其中f (x)称为X 的概率密度(函数). 2.概率密度的性质(1)非负性 f(x)≥0 ; (2)归一性 ⎰∞∞-dx x f )(=1 ;(3) P{x 1<X ≤x 2}=⎰21)(xx dx x f ; (4)若f (x)在点x 处连续,则f (x)=F / (x) .注意：连续型随机变量X 取任一指定实数值a 的概率为零,即P{X= a}=0 .3.三种重要的连续型随机变量的分布 (1)X ～U (a,b) 区间(a,b)上的均匀分布⎩⎨⎧=-0)(1a b x f其它b x a << . (2)X 服从参数为θ的指数分布.()⎩⎨⎧=-0/1θθx ex f 00≤>x x 若若 (θ>0). (3)X~N (μ,σ2)参数为μ,σ的正态分布222)(21)(σμσπ--=x ex f -∞<x<∞, σ>0. 特别, μ=0, σ2 =1时,称X 服从标准正态分布,记为X~N (0,1),其概率密度2221)(x e x -=πϕ , 标准正态分布函数⎰=Φ∞--xt dt e x 2221)(π, Φ(-x)=1-Φ(x) .若X ～N ((μ,σ2), 则Z=σμ-X ~N (0,1), P{x 1<X ≤x 2}=Φ(σμ-2x )-Φ(σμ-1x ).若P{Z>z α}= P{Z<-z α}= P{|Z|>z α/2}= α,则点z α,-z α, ±z α/ 2分别称为标准正态分布的上,下,双侧α分位点. 注意：Φ(zα)=1-α , z 1- α= -z α.四.随机变量X 的函数Y= g (X)的分布 1.若g(x k ) (k=1,2,…)的值全不相等,则由上表立得Y=g(X)的分布律.若g(x k ) (k=1,2,…)的值有相等的,则应将相等的值的概率相加,才能得到Y=g(X)的分布律. 2.连续型随机变量的函数若X 的概率密度为f X (x),则求其函数Y=g(X)的概率密度f Y (y)常用两种方法： (1)分布函数法 先求Y 的分布函数F Y (y)=P{Y ≤y}=P{g(X)≤y}=()()dx x f ky X k∑⎰∆其中Δk (y)是与g(X)≤y 对应的X 的可能值x 所在的区间(可能不只一个),然后对y 求导即得f Y (y)=F Y /(y) .(2)公式法 若g(x)处处可导,且恒有g /(x)>0 (或g / (x)<0 ),则Y=g (X)是连续型随机变量,其概率密度为()()()()⎩⎨⎧'=0y h y h f y f X Y其它βα<<y其中h(y)是g(x)的反函数 , α= min (g (-∞),g (∞)) β= max (g (-∞),g (∞)) .如果f (x)在有限区间[a,b]以外等于零,则 α= min (g (a),g (b)) β= max (g (a),g (b)) .第三章 二维随机变量及其概率分布 一.二维随机变量与联合分布函数1.定义 若X 和Y 是定义在样本空间S 上的两个随机变量,则由它们所组成的向量(X,Y)称为二维随机向量或二维随机变量.对任意实数x,y,二元函数F(x,y)=P{X ≤x,Y ≤y}称为(X,Y)的(X 和Y 的联合)分布函数. 2.分布函数的性质(1)F(x,y)分别关于x 和y 单调不减.(2)0≤F(x,y)≤1 , F(x,- ∞)=0, F(-∞,y)=0, F(-∞,-∞)=0, F(∞,∞)=1 .(3) F(x,y)关于每个变量都是右连续的,即 F(x+0,y)= F(x,y), F(x,y+0)= F(x,y) . (4)对于任意实数x 1<x 2 , y 1<y 2P{x 1<X ≤x 2 , y 1<Y ≤y 2}= F(x 2,y 2)- F(x 2,y 1)- F(x 1,y 2)+ F(x 1,y 1)二.二维离散型随机变量及其联合分布律1.定义 若随机变量(X,Y)只能取有限对或可列无限多对值(x i ,y j ) (i ,j =1,2,… )称(X,Y)为二维离散型随机变量.并称P{X= x i ,Y= y j }= p i j 为(X,Y)的联合分布律.也可列表表示.2.性质(1)非负性 0≤p i j ≤1 .(2)归一性∑∑=i jij p 1 .3. (X,Y)的(X 和Y 的联合)分布函数F(x,y)=∑∑≤≤x x yy ij i j p三.二维连续型随机变量及其联合概率密度1.定义 如果存在非负的函数f (x,y),使对任意的x 和y ,有F(x,y)=⎰⎰∞-∞-yxdudv v u f ),(则称(X,Y)为二维连续型随机变量,称f(x,y)为(X,Y)的(X 和Y 的联合)概率密度. 2.性质 (1)非负性 f (x,y)≥0 . (2)归一性 1),(=⎰⎰∞∞-∞∞-d x d y y x f .(3)若f (x,y)在点(x,y)连续,则yx y x F y x f ∂∂∂=),(),(2(4)若G 为xoy 平面上一个区域,则⎰⎰=∈Gdxdy y x f G y x P ),(}),{(.四.边缘分布1. (X,Y)关于X 的边缘分布函数 F X (x) = P{X ≤x , Y<∞}= F (x , ∞) . (X,Y)关于Y 的边缘分布函数 F Y (y) = P{X<∞, Y ≤y}= F (∞,y)2.二维离散型随机变量(X,Y) 关于X 的边缘分布律 P{X= x i }=∑∞=1j ij p = p i·( i =1,2,…) 归一性11=∑∞=∙i i p .关于Y 的边缘分布律 P{Y= y j }= ∑∞=1i ij p = p·j( j =1,2,…) 归一性11=∑∞=∙j j p .3.二维连续型随机变量(X,Y)关于X 的边缘概率密度f X (x)=⎰∞∞-dy y x f ),( 归一性1)(=⎰∞∞-dx x f X关于Y 的边缘概率密度f Y (y)=x d y x f ⎰∞∞-),( 归一性1)(=⎰∞∞-dyy f Y五.相互独立的随机变量1.定义 若对一切实数x,y ,均有F(x,y)= F X (x) F Y (y) ,则称X 和Y 相互独立.2.离散型随机变量X 和Y 相互独立⇔p i j= p i ··p ·j( i ,j =1,2,…)对一切x i ,y j成立.3.连续型随机变量X 和Y 相互独立⇔f (x,y)=f X(x)f Y(y)对(X,Y)所有可能取值(x,y)都成立.六．条件分布1．二维离散型随机变量的条件分布定义 设(X,Y)是二维离散型随机变量,对于固定的j,若P{Y=y j }>0,则称 P{X=x i |Y=y j }为在Y= y j 条件下随机变量X 的条件分布律. 同样,对于固定的i,若P{X=x i }>0,则称,}{},{jj i j j i p p y Y P y Y x X P ∙=====P{Y=y j |X=x i }为在X=x i 条件下随机变量Y 的条件分布律.第四章 随机变量的数字特征一.数学期望和方差的定义随机变量X 离散型随机变量 连续型随机变量分布律P{X=x i }= p i ( i =1,2,…) 概率密度f (x)数学期望(均值)E(X)∑∞=1i i i p x (级数绝对收敛)⎰∞∞-dx x xf )((积分绝对收敛)方差D(X)=E{[X-E(X)]2}[]∑-∞=12)(i i i p X E x ⎰-∞∞-dx x f X E x )()]([2=E(X 2)-[E(X)]2 (级数绝对收敛) (积分绝对收敛) 函数数学期望E(Y)=E[g(X)] i i i p x g ∑∞=1)((级数绝对收敛) ⎰∞∞-dx x f x g )()((积分绝对收敛)标准差σ(X)=√D(X) .二.数学期望与方差的性质1. c 为为任意常数时, E(c) = c , E(cX) = cE(X) , D(c) = 0 , D (cX) = c 2D(X) . 2.X,Y 为任意随机变量时, E (X ±Y)=E(X)±E(Y) .3. X 与Y 相互独立时, E(XY)=E(X)E(Y) , D(X ±Y)=D(X)+D(Y) .4. D(X) = 0 ⇔P{X = C}=1 ,C 为常数.三.六种重要分布的数学期望和方差 E(X) D(X)1.X~ (0-1)分布P{X=1}= p (0<p<1) p p (1- p)2.X~ b (n,p) (0<p<1) n p n p (1- p)3.X~ π(λ) λ λ4.X~ U(a,b) (a+b)/2 (b-a) 2/12 5.X 服从参数为θ的指数分布 θ θ2 6.X~ N (μ,σ2) μ σ2 四.矩的概念随机变量X 的k 阶(原点)矩E(X k ) k=1,2,… 随机变量X 的k 阶中心矩E {[X-E(X)] k }随机变量X 和Y 的k+l 阶混合矩E(X k Y l ) l=1,2,…随机变量X 和Y 的k+l 阶混合中心矩E{[X-E(X)] k [Y-E(Y)] l}第六章 样本和抽样分布一.基本概念总体X 即随机变量X ; 样本X 1 ,X 2 ,…,X n 是与总体同分布且相互独立的随机变量;样本值x 1 ,x 2 ,…,x n 为实数;n 是样本容量.统计量是指样本的不含任何未知参数的连续函数.如：样本均值∑==n i i X n X 11 样本方差()∑--==n i i XX n S 12211 样本标准差S样本k 阶矩∑==n i k i k X n A 11( k=1,2,…) 样本k 阶中心矩∑-==n i ki k X X n B 1)(1( k=1,2,…),}{},{∙=====i j i i j i p p x X P y Y x X P二.抽样分布 即统计量的分布 1.X 的分布 不论总体X 服从什么分布, E (X ) = E(X) , D (X ) = D(X) / n .特别,若X~ N (μ,σ2 ) ,则X ~ N (μ, σ2/n) .2.χ2分布 (1)定义 若X ～N (0,1) ,则Y =∑=ni i X 12~ χ2(n)自由度为n 的χ2分布.(2)性质 ①若Y~ χ2(n),则E(Y) = n , D(Y) = 2n .②若Y 1~ χ2(n 1) Y 2~ χ2(n 2) ,则Y 1+Y 2~ χ2(n 1 + n 2).③若X~ N (μ,σ2 ), 则22)1(σS n -~ χ2(n-1),且X 与S 2相互独立.(3)分位点 若Y~ χ2(n),0< α <1 ,则满足αχχχχαααα=<>=<=>--))}(())({()}({)}({22/122/212n Y n Y P n Y P n Y P的点)()(),(),(22/122/212n n n n ααααχχχχ--和分别称为χ2分布的上、下、双侧α分位点. 3. t 分布(1)定义 若X~N (0,1),Y~ χ2(n),且X,Y 相互独立,则t=nY X~t(n)自由度为n 的t 分布. (2)性质①n →∞时,t 分布的极限为标准正态分布.②X ～N (μ,σ2 )时, nS X μ-~ t (n-1) .③两个正态总体相互独立的样本 样本均值 样本方差X~ N (μ1,σ12 ) 且σ12=σ22=σ2 X 1 ,X 2 ,…,X n1 X S 12Y~ N (μ2,σ22 ) Y 1 ,Y 2 ,…,Y n2Y S22则212111)()(n n S Y X w +---μμ~ t (n 1+n 2-2) , 其中 2)1()1(212222112-+-+-=n n S n S n S w(3)分位点 若t ~ t (n) ,0 < α<1 , 则满足αααα=>=-<=>)}({)}({)}({2/n t t P n t t P n t t P的点)(),(),(2/n t n t n t ααα±-分别称t 分布的上、下、双侧α分位点.注意: t 1- α (n) = - t α (n).4.F 分布 (1)定义 若U~χ2(n 1), V~ χ2(n 2), 且U,V 相互独立,则F =21n V n U ~F(n 1,n 2)自由度为(n 1,n 2)的F 分布.(2)性质(条件同3.(2)③)22212221σσS S ~F(n 1-1,n 2-1)(3)分位点 若F~ F(n 1,n 2) ,0< α <1,则满足)},({)},({21121n n F F P n n F F P αα-<=>ααα=<>=-))},(()),({(212/1212/n n F F n n F F P的点),(),(),,(),,(212/1212/21121n n F n n F n n F n n F αααα--和分别称为F 分布的上、下、双侧α分位点. 注意:.).(1),(12211n n F n n F αα=-第七章 参数估计一.点估计 总体X 的分布中有k 个待估参数θ1, θ2,…, θk .X 1 ,X 2 ,…,X n 是X 的一个样本, x 1 ,x 2 ,…,x n 是样本值.1.矩估计法先求总体矩⎪⎩⎪⎨⎧===),,,(),,,(),,,(2121222111k k k k k θθθμμθθθμμθθθμμ 解此方程组,得到⎪⎩⎪⎨⎧===),,,(),,,(),,,(2121222111k k k k k μμμθθμμμθθμμμθθ ,以样本矩A l 取代总体矩μ l ( l=1,2,…,k)得到矩估计量⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===∧∧∧),,,(),,,(),,,(2121222111k k k k k A A A A A A A A A θθθθθθ,若代入样本值则得到矩估计值. 2.最大似然估计法若总体分布形式(可以是分布律或概率密度)为p (x, θ1, θ2,…, θk ),称样本X 1 ,X 2 ,…,Xn的联合分布∏==ni k i k x p L 12121),,,,(),,,(θθθθθθ 为似然函数.取使似然函数达到最大值的∧∧∧kθθθ,,,21 ,称为参数θ1, θ2,…,θk 的最大似然估计值,代入样本得到最大似然估计量.若L(θ1, θ2,…, θk )关于θ1, θ2,…, θk 可微,则一般可由 似然方程组0=∂∂i L θ 或 对数似然方程组 0ln =∂∂iLθ (i =1,2,…,k) 求出最大似然估计. 3.估计量的标准(1) 无偏性 若E(∧θ)=θ,则估计量∧θ称为参数θ的无偏估计量.不论总体X 服从什么分布, E (X )= E(X) , E(S 2)=D(X), E(A k )=μk =E(X k ),即样本均值X , 样本方差S 2,样本k 阶矩A k 分别是总体均值E(X),方差D(X),总体k 阶矩μk 的无偏估计,(2)有效性 若E(∧θ1 )=E(∧θ2)= θ, 而D(∧θ1)< D(∧θ2), 则称估计量∧θ1比∧θ2有效. (3)一致性(相合性) 若n →∞时,θθP →∧,则称估计量∧θ是参数θ的相合估计量.文 - 汉语汉字 编辑词条文，wen ，从玄从爻。
概率论与数理统计总复习参考
定义7 （概率的统计定义） 定义8 （概率的公理化定义） 设试验E的样本
空间为Ω，对任意事件A，赋予一实数 P(A)，若
它满足
非负性公理：0≤P(A) ≤1;
规范性公理：P(Ω)=1;
可列可加性公理：若A1, A2, …两两互斥, 则
P ( Ai ) P ( Ai ).
二、随机事件的关系与运算
1. 事件的关系
(1) 包含关系 若事件A发生必然导致事件B发生，则称事件A包含于B，
记为 A B.
(2) 互斥（互不相容）： 若两个事件A、B不可能同时发生，则称事件A与B互斥 （互不相容）. 必然事件与不可能事件互斥; 基本事件之间是互斥的.
2. 事件的运算
(1) 事件的并（和） 若C表示“事件A与事件B至少有一个发生”这一事件，
fY
(
y)
f
X
[h(
y)] | 0,
h(
y)
|,
y ,
其他.
第三章 二维随机变量及其分布
1. 二维随机变量
(X, Y )：X, Y 是定义在同一样本空间 上的两个随机变量.
2. 联合分布函数、性质 F(x, y) =P{X x, Y y}, (任意实数x, y).
3. 边缘分布函数 FX (x) = F(x, +), FY (y) = F(+, y).
P p1
p2 … pn …
注 ：如果 g( xk ) 中有些项相同，则需将它们 作适当并项.
(2) 连续型随机变量函数的分布 (i) 定义法
FY ( y) P{Y y} P{g( X ) y}
{ x|g( x) y} f X ( x)dx.
数理统计复习资料
复习资料（资料总结，仅供参考）判断题1.研究人员测量了100例患者外周血的红细胞数，所得资料为计数资料。
X 2.统计分析包括统计描述和统计推断。
3.计量资料、计数资料和等级资料可根据分析需要相互转化。
4.均数总是大于中位数。
X 5.均数总是比标准差大。
X 6.变异系数的量纲和原量纲相同。
X 7.样本均数大时，标准差也一定会大。
X 8.样本量增大时，极差会增大。
9.若两样本均数比较的假设检验结果P 值远远小于0.01，则说明差异非常大。
X 10.对同一参数的估计，99%可信区间比90%可信区间好。
X 11.均数的标准误越小，则对总体均数的估计越精密。
12. 四个样本率做比较，2)3(05.02χχ> ，可认为各总体率均不相等。
X13.统计资料符合参数检验应用条件，但数据量很大，可以采用非参数方法进行初步分析。
14.对同一资料和同一研究目的，应用参数检验方法，所得出的结论更为可靠。
X 15.等级资料差别的假设检验只能采用秩和检验，而不能采用列联表χ2检验等检验方法X 。
16.非参数统计方法是用于检验总体中位数、极差等总体参数的方法。
X 17.剩余平方和SS 剩1=SS 剩2，则r 1必然等于r 2。
X 18.直线回归反映两变量间的依存关系，而直线相关反映两变量间的相互直线关系。
19.两变量关系越密切r 值越大。
X 20.一个绘制合理的统计图可直观的反映事物间的正确数量关系。
21.在一个统计表中，如果某处数字为“0”，就填“0”，如果数字暂缺则填“…”，如果该处没 有数字，则不填。
X 22.备注不是统计表的必要组成部分，不必设专栏，必要时，可在表的下方加以说明。
23.散点图是描写原始观察值在各个对比组分布情况的图形，常用于例数不是很多的间断性分组资料的比较。
24.百分条图表示事物各组成部分在总体中所占比重，以长条的全长为100%，按资料的原始顺序依次进行绘制，其他置于最后。
X 25.用元参钩藤汤治疗80名高血压患者，服用半月后比服用前血压下降了2.8kPa ，故认为该药有效（ X ）。
数理统计复习
n 2 2
( xi ) 0
1n
2 4
( xi
i 1
)2
0
得
1
ni 21
n
n
xi
1
n
(
i 1
xi
x
x )2
s02
经检验，x和s02确为似然函数的最大值点，
从而, 2的极大似然估计量为 ˆ X , 2 S02
i 1
i 1
n
n
(
n
C xi m
xi ) p i1
(1
nm xi p) i1
i 1
n
对数似然方程为 ln L( p) ln(
C xi m
)
nx
ln
p
(nm
nx)
ln(1
p)
i 1
令 ln L( p) nx (nm nx) 0 p x
抽取6件，测得它们的长度为：32.56, 29.66, 31.64, 30.00, 31.87, 31.03。问 这批零件的长度是否符合产品要求？
3、某药厂生产一种抗菌素，每瓶抗菌素的某项指标服从正态分布。某日开 工后随机抽取5瓶，测得该项指标数据为：22.3, 21.5, 22.0, 21.8, 21.4。 1）求该指标均值的区间估计； 2）设在正常情况下，该指标的均值为23.0，问该日的生产是否正常？
2
n
|xi |
2）极大似然估计：似然函数L( )
n
n i 1
p(
xi
;
)
1
数理统计总复习(题型归纳)
56学 考题8（2005级 256学时） 三 、 ( 本 题 8 分 ) 设 X 1 , X 2 , L , X n为 服 从 泊 松 分 布 )的 π(λ )的总体X的一个样本，求λ的极大似然估计量。
32 考题9（2004级 32学时） 三、(本题8分)设总体X的概率密度为： ( θ + 1) x θ , 0 < x < 1, f ( x) = 0, 其它 其中θ > −1是未知参数，X 1 , X 2 , L , X n为总体X 的一个容量为n简单随机样本，求参数θ的极大 似然估计量。
考题5（2007级 64学时 作业P153 四） 七、(本题8分)设X 1 , L , X n为总体X的样本， X的密度函数为： 0< x<1 θ, f ( x , θ) = 1 − θ, 1 ≤ x < 2；其中未知参数θ > 0 0, 其他 设N为样本值x1 , L , xn中小于1的个数，求θ的极 大似然估计。
1 2 n
32学 考题4（2007级 32学时） 10分 六、(本题10分)设随机变量X的概率密度为 2x 2 , 0< x<θ f ( x) = θ ，其中未知参数θ > 0, 0, 其他 X 1 , L , X n是样本，求θ的矩估计和最大似然估计。
（此题和2008级的第三大题一样的.)
： 解（1）检验假设H 0：σ 2 = 1，H 1：σ 2 ≠ 1； ( n − 1) S 2 取统计量：χ 2 = 2 σ0
2 拒绝域为：χ 2 ≤ χ 2 α ( n − 1) = χ 0.975 ( 9) = 2.70 1−
或χ 2 ≥ χ 2 ( n − 1) = χ α
2
2 2 0.025
概率论与数理统计复习资料要点总结4
概率论及数理统计复习提要第一章 随机事件及概率1．事件的关系 φφ=Ω-⋃⊂AB A B A AB B A B A 2．运算规那么 〔1〕BA AB A B B A =⋃=⋃〔2〕)()( )()(BC A C AB C B A C B A =⋃⋃=⋃⋃ 〔3〕))(()( )()()(C B C A C AB BC AC C B A ⋃⋃=⋃⋃=⋃ 〔4〕B A AB B A B A ⋃==⋃3．概率)(A P 满足的三条公理及性质： 〔1〕1)(0≤≤A P 〔2〕1)(=ΩP〔3〕对互不相容的事件n A A A ,,,21 ，有∑===nk k nk k A P A P 11)()( 〔n 可以取∞〕〔4〕 0)(=φP 〔5〕)(1)(A P A P -=〔6〕)()()(AB P A P B A P -=-，假设B A ⊂，那么)()()(A P B P A B P -=-，)()(B P A P ≤〔7〕)()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃〔8〕)()()()()()()()(ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P +---++=⋃⋃ 4．古典概型：根本领件有限且等可能 5．几何概率 6．条件概率（1） 定义：假设0)(>B P ，那么)()()|(B P AB P B A P = （2） 乘法公式：)|()()(B A P B P AB P =假设n B B B ,,21为完备事件组，0)(>i B P ，那么有（3） 全概率公式： ∑==ni i i B A P B P A P 1)|()()(（4） 公式：∑==ni iik k k B A P B P B A P B P A B P 1)|()()|()()|(7．事件的独立性： B A ,独立)()()(B P A P AB P =⇔ 〔注意独立性的应用〕第二章 随机变量及概率分布1．离散随机变量：取有限或可列个值，i i p x X P ==)(满足〔1〕0≥i p ，〔2〕∑ii p =1〔3〕对任意R D ⊂，∑∈=∈Dx i ii p D X P :)(2． 连续随机变量：具有概率密度函数)(x f ，满足〔1〕1)( ,0)(-=≥⎰+∞∞dx x f x f ；〔2〕⎰=≤≤ba dx x fb X a P )()(；〔3〕对任意R a ∈，0)(==a X P3． 几个常用随机变量4． 分布函数 )()(x X P x F ≤=，具有以下性质〔1〕1)( ,0)(=+∞=-∞F F ；〔2〕单调非降；〔3〕右连续； 〔4〕)()()(a F b F b X a P -=≤<，特别)(1)(a F a X P -=>； 〔5〕对离散随机变量，∑≤=x x i ii px F :)(；〔6〕对连续随机变量，⎰∞-=xdt t f x F )()(为连续函数，且在)(x f 连续点上，)()('x f x F =5． 正态分布的概率计算 以)(x Φ记标准正态分布)1,0(N 的分布函数，那么有〔1〕5.0)0(=Φ；〔2〕)(1)(x x Φ-=-Φ；〔3〕假设),(~2σμN X ，那么)()(σμ-Φ=x x F ；〔4〕以αu 记标准正态分布)1,0(N 的上侧α分位数，那么)(1)(αααu u X P Φ-==>6． 随机变量的函数 )(X g Y =〔1〕离散时，求Y 的值，将一样的概率相加；〔2〕X 连续，)(x g 在X 的取值范围内严格单调，且有一阶连续导数，那么|))((|))(()('11y g y g f y f X Y --=，假设不单调，先求分布函数，再求导。
概率论与数理统计期末复习
概率论与数理统计期末复习《概率论与数理统计》总复习提纲第⼀块随机事件及其概率内容提要基本内容：随机事件与样本空间，事件的关系与运算，概率的概念和基本性质，古典概率，⼏何概率，条件概率，与条件概率有关的三个公式，事件的独⽴性，贝努⾥试验.1、随机试验、样本空间与随机事件（1）随机试验：具有以下三个特点的试验称为随机试验，记为.1）试验可在相同的条件下重复进⾏；2）每次试验的结果具有多种可能性，但试验之前可确知试验的所有可能结果；3）每次试验前不能确定哪⼀个结果会出现.（2）样本空间：随机试验的所有可能结果组成的集合称为的样本空间记为Ω；试验的每⼀个可能结果，即Ω中的元素，称为样本点，记为.（3）随机事件：在⼀定条件下，可能出现也可能不出现的事件称为随机事件，简称事件；也可表述为事件就是样本空间的⼦集，必然事件（记为）和不可能事件（记为）. 2、事件的关系与运算（1）包含关系与相等：“事件发⽣必导致发⽣”，记为或；且.（2）互不相容性：；互为对⽴事件且.（3）独⽴性：（1）设为事件，若有，则称事件与相互独⽴. 等价于：若().（2）多个事件的独⽴：设是n个事件，如果对任意的，任意的，具有等式，称个事件相互独⽴．3、事件的运算（1）和事件（并）：“事件与⾄少有⼀个发⽣”，记为.（2）积事件（交）：“事件与同时发⽣”，记为或.（3）差事件、对⽴事件(余事件)：“事件发⽣⽽不发⽣”，记为称为与的差事件；称为的对⽴事件；易知：.4、事件的运算法则1) 交换律：，；2) 结合律：，；3) 分配律：，；4) 对偶(De Morgan)律：，，可推⼴5、概率的概念（1）概率的公理化定义：（2）频率的定义：事件在次重复试验中出现次，则⽐值称为事件在次重复试验中出现的频率，记为，即.（3）统计概率：称为事件的（统计）概率.在实际问题中，当很⼤时，取（4）古典概率：若试验的基本结果数为有限个，且每个事件发⽣的可能性相等，则（试验对应古典概型）事件发⽣的概率为：.（5）⼏何概率：若试验基本结果数⽆限，随机点落在某区域g的概率与区域g的测度(长度、⾯积、体积等)成正⽐，⽽与其位置及形状⽆关，则（试验对应⼏何概型），“在区域中随机地取⼀点落在区域中”这⼀事件发⽣的概率为：.（6）主观概率：⼈们根据经验对该事件发⽣的可能性所给出的个⼈信念.6、概率的基本性质（1）不可能事件概率零：＝0.（2）有限可加性：设是n个两两互不相容的事件，即＝，（），则有＝＋.（3）单调不减性：若事件，且.（4）互逆性：且.（5）加法公式：对任意两事件，有－；此性质可推⼴到任意个事件的情形.（6）可分性：对任意两事件，有，且7、条件概率与乘法公式（1）条件概率：设是两个事件，即，则称为事件发⽣的条件下事件发⽣的条件概率．（2）乘法公式：设且则称为事件的概率乘法公式.8、全概率公式与贝叶斯(Bayes)公式（1）全概率公式：设是的⼀个划分，且，，则对任何事件，有称为全概率公式.（2）贝叶斯(Bayes)公式：设是的⼀个划分，且，则对任何事件，有称为贝叶斯公式或逆概率公式.9、贝努⾥(Bernoulli)概型（1）只有两个可能结果的试验称为贝努⾥试验，常记为．也叫做“成功—失败”试验,“成功”的概率常⽤表⽰，其中＝“成功”.（2）把重复独⽴地进⾏次，所得的试验称为重贝努⾥试验，记为．（3）把重复独⽴地进⾏可列多次，所得的试验称为可列重贝努⾥试验，记为．以上三种贝努⾥试验统称为贝努⾥概型．（4）中成功次的概率是：其中.疑难分析1、必然事件与不可能事件必然事件是在⼀定条件下必然发⽣的事件，不可能事件指的是在⼀定条件下必然不发⽣的事件.它们都不具有随机性，是确定性的现象，但为研究的⽅便，把它们看作特殊的随机事件.2、互逆事件与互斥（不相容）事件如果两个事件与必有⼀个事件发⽣，且⾄多有⼀个事件发⽣，则、为互逆事件；如果两个事件与不能同时发⽣，则、为互斥事件.因⽽，互逆必定互斥，互斥未必互逆.区别两者的关键是：当样本空间只有两个事件时，两事件才可能互逆，⽽互斥适⽤与多个事件的情形.作为互斥事件在⼀次试验中两者可以都不发⽣，⽽互逆事件必发⽣⼀个且只发⽣⼀个.3、两事件独⽴与两事件互斥两事件、独⽴，则与中任⼀个事件的发⽣与另⼀个事件的发⽣⽆关，这时；⽽两事件互斥，则其中任⼀个事件的发⽣必然导致另⼀个事件不发⽣，这两事件的发⽣是有影响的，这时.可以⽤图形作⼀直观解释.在图1.1左边的正⽅形中，图1.1，表⽰样本空间中两事件的独⽴关系，⽽在右边的正⽅形中，，表⽰样本空间中两事件的互斥关系.4、条件概率与积事件概率是在样本空间内，事件的概率，⽽是在试验增加了新条件发⽣后的缩减的样本空间中计算事件的概率.虽然、都发⽣，但两者是不同的，⼀般说来，当、同时发⽣时，常⽤，⽽在有包含关系或明确的主从关系时，⽤.如袋中有9个⽩球1个红球，作不放回抽样，每次任取⼀球，取2次，求：（1）第⼆次才取到⽩球的概率；（2）第⼀次取到的是⽩球的条件下，第⼆次取到⽩球的概率.问题（1）求的就是⼀个积事件概率的问题，⽽问题（2）求的就是⼀个条件概率的问题. 5、全概率公式与贝叶斯(Bayes)公式当所求的事件概率为许多因素引发的某种结果，⽽该结果⼜不能简单地看作这诸多事件之和时，可考虑⽤全概率公式，在对样本空间进⾏划分时，⼀定要注意它必须满⾜的两个条件.贝叶斯公式⽤于试验结果已知，追查是何种原因（情况、条件）下引发的概率.第⼆块随机变量及其分布内容提要基本内容：随机变量，随机变量的分布的概念及其性质，离散型随机变量的概率分布，连续型随机变量的概率分布，常见随机变量的分布，随机变量函数的分布.1、随机变量设是随机试验的样本空间，如果对于试验的每⼀个可能结果，都有唯⼀的实数与之对应，则称为定义在上的随机变量，简记为.随机变量通常⽤⼤写字母等表⽰.2、离散型随机变量及其分布列如果随机变量只能取有限个或可列个可能值，则称为离散型随机变量.如果的⼀切可能值为，并且取的概率为，则称为离散型随机变量的概率函数（概率分布或分布律）.也称分布列，常记为其中.常见的离散型随机变量的分布有：（1）两点分布（0-1分布）：记为，分布列为或（2）⼆项分布：记为，概率函数（3）泊松分布，记为，概率函数泊松定理设是⼀常数，是任意正整数，设，则对于任⼀固定的⾮负整数，有.当很⼤且很⼩时，⼆项分布可以⽤泊松分布近似代替，即，其中（4）超⼏何分布：记为，概率函数，其中为正整数，且.当很⼤，且较⼩时，有（5）⼏何分布：记为，概率函数.3、分布函数及其性质分布函数的定义：设为随机变量，为任意实数，函数称为随机变量的分布函数.分布函数完整地描述了随机变量取值的统计规律性，具有以下性质：（1）有界性；（2）单调性如果，则；（3）右连续，即；（4）极限性；（5）完美性.4、连续型随机变量及其分布分布如果对于随机变量的分布函数，存在⾮负函数，使对于任⼀实数，有，则称为连续型随机变量.函数称为的概率密度函数.概率密度函数具有以下性质：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）如果在处连续，则.常⽤连续型随机变量的分布：（1）均匀分布：记为，概率密度为分布函数为（2）指数分布：记为，概率密度为分布函数为（3）正态分布：记为，概率密度为，相应的分布函数为当时，即时，称服从标准正态分布.这时分别⽤和表⽰的密度函数和分布函数，即具有性质：①.②⼀般正态分布的分布函数与标准正态分布的分布函数有关系：.5、随机变量函数的分布（1）离散型随机变量函数的分布设为离散型随机变量，其分布列为(表2-2)：表2-2则任为离散型随机变量，其分布列为(表2-3)：表2-3……有相同值时，要合并为⼀项，对应的概率相加.（2）连续型随机变量函数的分布设为离散型随机变量，概率密度为，则的概率密度有两种⽅法可求.1）定理法：若在的取值区间内有连续导数，且单调时，是连续型随机变量，其概率密度为.其中是的反函数.2）分布函数法：先求的分布函数然后求.疑难分析1、随机变量与普通函数随机变量是定义在随机试验的样本空间上，对试验的每⼀个可能结果，都有唯⼀的实数与之对应.从定义可知：普通函数的取值是按⼀定法则给定的，⽽随机变量的取值是由统计规律性给出的，具有随机性；⼜普通函数的定义域是⼀个区间，⽽随机变量的定义域是样本空间.2、分布函数的连续性定义左连续或右连续只是⼀种习惯.有的书籍定义分布函数左连续，但⼤多数书籍定义分布函数为右连续. 左连续与右连续的区别在于计算时，点的概率是否计算在内.对于连续型随机变量，由于，故定义左连续或右连续没有什么区别；对于离散型随机变量，由于，则定义左连续或右连续时值就不相同，这时，就要注意对定义左连续还是右连续.第三块多维随机变量及其分布内容提要基本内容：多维随机变量及其分布函数⼆维离散型随机变量的联合分布列，⼆维连续型随机变量的联合分布函数和联合密度函数，边际分布，随机变量的独⽴性和不相关性，常⽤多维随机变量，随机向量函数的分布.1、⼆维随机变量及其联合分布函数为n维(n元)随机变量或随机向量.联合分布函数的定义设随机变量,为随机向量的联合分布函数⼆维联合分布函数具有以下基本性质：（1）单调性是变量或的⾮减函数；（2）有界性；（3）极限性（3）连续性关于右连续，关于也右连续；（4）⾮负性对任意点，若，则.上式表⽰随机点落在区域内的概率为：.2、⼆维离散型随机变量及其联合分布列如果⼆维随机变量所有可能取值是有限对或可列对，则称为⼆维离散型随机变量.设为⼆维离散型随机变量,它的所有可能取值为将或表3.1称为的联合分布列.………………联合分布列具有下列性质：（1）；（2）.3、⼆维连续型随机变量及其概率密度函数如果存在⼀个⾮负函数,使得⼆维随机变量的分布函数对任意实数有，则称是⼆维连续型随机变量，称为的联合密度函数（或概率密度函数）.联合密度函数具有下列性质：（1）⾮负性对⼀切实数，有；（2）规范性；（3）在任意平⾯域上，取值的概率；（4）如果在处连续，则.4、⼆维随机变量的边缘分布设为⼆维随机变量，则称分别为关于和关于的边缘（边际）分布函数.当为离散型随机变量，则称分别为关于和关于的边缘分布列.当为连续型随机变量，则称分别为关于和关于的边缘密度函数.5、⼆维随机变量的条件分布（了解）（1）离散型随机变量的条件分布设为⼆维离散型随机变量，其联合分布律和边缘分布列分别为，则当固定，且时，称为条件下随机变量的条件分布律.同理，有（2）连续型随机变量的条件分布设为⼆维连续型随机变量，其联合密度函数和边缘密度函数分别为：.则当时，在和的连续点处，在条件下，的条件概率密度函数为.同理，.6、随机变量的独⽴性设及分别是的联合分布函数及边缘分布函数.如果对任何实数有则称随机变量与相互独⽴.设为⼆维离散型随机变量，与相互独⽴的充要条件是.设为⼆维连续型随机变量，与相互独⽴的充要条件是对⼏乎⼀切实数，有.7、两个随机变量函数的分布设⼆维随机变量的联合概率密度函数为，是的函数，则的分布函数为.（1）的分布若为离散型随机变量，联合分布列为，则的概率函数为：或.若为连续型随机变量，概率密度函数为，则的概率函数为：.（2）的分布若为连续型随机变量，概率密度函数为，则的概率函数为：.8．最⼤值与最⼩值的分布则9．数理统计中常⽤的分布（1）正态分布：（2）：（3）：（4）：疑难分析1、事件表⽰事件与的积事件，为什么不⼀定等于？如同仅当事件相互独⽴时，才有⼀样，这⾥依乘法原理.只有事件与相互独⽴时，才有，因为.2、⼆维随机变量的联合分布、边缘分布及条件分布之间存在什么样的关系？由边缘分布与条件分布的定义与公式知，联合分布唯⼀确定边缘分布，因⽽也唯⼀确定条件分布.反之，边缘分布与条件分布都不能唯⼀确定联合分布.但由知，⼀个条件分布和它对应的边缘分布，能唯⼀确定联合分布.但是，如果相互独⽴，则，即.说明当独⽴时，边缘分布也唯⼀确定联合分布，从⽽条件分布也唯⼀确定联合分布.3、两个随机变量相互独⽴的概念与两个事件相互独⽴是否相同？为什么？两个随机变量相互独⽴，是指组成⼆维随机变量的两个分量中⼀个分量的取值不受另⼀个分量取值的影响，满⾜.⽽两个事件的独⽴性，是指⼀个事件的发⽣不受另⼀个事件发⽣的影响，故有.两者可以说不是⼀个问题.但是，组成⼆维随机变量的两个分量是同⼀试验的样本空间上的两个⼀维随机变量，⽽也是⼀个试验的样本空间的两个事件.因此，若把“”、“”看作两个事件，那么两者的意义近乎⼀致，从⽽独⽴性的定义⼏乎是相同的.第四块随机变量的数字特征内容提要基本内容：随机变量的数学期望和⽅差、标准差及其性质，随机变量函数的数学期望，原点矩和中⼼矩，协⽅差和相关系数及其性质.1、随机变量的数学期望设离散型随机变量的分布列为，如果级数绝对收敛，则称级数的和为随机变量的数学期望.设连续型随机变量的密度函数为，如果⼴义积分绝对收敛，则称此积分值为随机变量的数学期望.数学期望有如下性质：（1）设是常数，则；（2）设是常数，则；（3）若是随机变量，则；对任意个随机变量，有；（4）若相互独⽴，则；对任意个相互独⽴的随机变量，有.2、随机变量函数的数学期望设离散型随机变量的分布律为，则的函数的数学期望为，式中级数绝对收敛.设连续型随机变量的密度函数为，则的函数的数学期望为，式中积分绝对收敛.3、随机变量的⽅差设是⼀个随机变量，则称为的⽅差.称为的标准差或均⽅差.。
数理统计复习要点
e x , x 0
0, x 0
其中 0 。试用矩法求 的估计量。
解： =E （X )
1 所以， =
xf ( x)dx xe
0
x
dx
1
1 ˆ ˆ =X ，所以， = 用样本 X 估计， 则有 X
3.设母体X具有在区间[a,b]上的均匀分布,其 分布密度为 f(x)=
H0
16.某电工器材厂生产一种保险丝。测量其融化 时间，依通常情况方差为400。今从某天产品中 抽取容量为25的子样，测量其融化时间并计算得 x 62.24，s*2 404.77，问这天保险丝融化时间 分散度与通常有无明显差异（ 1%）？假定融 化时间是正态母体。 解：（1 ）建立假设H 0： 0 400
=e
( xi )
i 1
n
d ln L ln L ( xi n ), 0无解 d i
xi n尽可能小，所以 为了使L达到最大， i 尽可能大，而 x , min x x
i 1i n i (1)
12、设母体X服从正态分布 N (,1),( X1, X 2 ) 是从此母体中抽取的一个子样。试验证下面 三个估计量 2 1 （1）＾ 1 X 1 X 2
0
（3）给定显著水平 0.05 ,有 u 1.96 ,使 2 x 0 P{ u u } 即 P{ 1.96} 0.05 0 / n 2 （4）由样本n=16, x 27.56 代入 27.56 26 接受H0 u 1.2 u 1.96 5.2 / 4 2
解：
（1）X
*2
用 s 估计 2 给定置信概率1 =99%,查表得
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
数理统计复习资料
数理统计复习资料
数理统计是一门应用数学的学科，主要研究数据的收集、整理、分析和解释。
它在各个领域都有广泛的应用，包括经济学、医学、社会科学等。
在学习数理
统计时，我们需要掌握一些基本的概念和方法，以及一些常用的统计分布和假
设检验。
下面是一些数理统计复习资料的内容。
1. 概率论基础
概率论是数理统计的基础，它研究随机事件的发生概率。
在学习概率论时，我
们需要了解一些基本的概念，如样本空间、事件、概率等。
同时，还需要掌握
概率的计算方法，包括加法法则、乘法法则、条件概率等。
此外，还需要了解
一些常用的概率分布，如二项分布、泊松分布、正态分布等。
2. 统计推断
统计推断是数理统计的核心内容，它研究如何通过样本对总体进行推断。
在学
习统计推断时，我们需要了解抽样分布和估计量的性质。
同时，还需要学习点
估计和区间估计的方法，包括最大似然估计、矩估计、置信区间等。
此外，还
需要掌握假设检验的基本原理和方法，包括单样本均值检验、两样本均值检验、方差分析等。
3. 回归分析
回归分析是数理统计的重要应用，它研究自变量与因变量之间的关系。
在学习
回归分析时，我们需要了解线性回归模型和非线性回归模型的基本原理。
同时，还需要学习回归系数的估计方法，包括最小二乘估计、岭回归、lasso回归等。
此外，还需要掌握回归模型的诊断方法，包括残差分析、模型选择等。
4. 方差分析
方差分析是数理统计的一种重要方法，它研究不同因素对观测值的影响。
在学
习方差分析时，我们需要了解单因素方差分析和多因素方差分析的基本原理。
同时，还需要学习方差分析的假设检验方法，包括F检验、多重比较等。
此外，还需要掌握方差分析的扩展方法，如混合设计、重复测量设计等。
5. 非参数统计
非参数统计是数理统计的一种重要分支，它不依赖于总体分布的假设。
在学习
非参数统计时，我们需要了解秩和检验、符号检验、Wilcoxon秩和检验等基本
方法。
同时，还需要学习非参数回归、非参数方差分析等扩展方法。
非参数统
计在实际问题中具有广泛的应用，特别是在样本量较小或总体分布未知的情况下。
综上所述，数理统计的复习资料涵盖了概率论基础、统计推断、回归分析、方
差分析和非参数统计等内容。
通过系统地学习这些知识，我们可以更好地理解
和应用数理统计的方法。
同时，还需要通过大量的习题和实例进行练习，以巩
固所学的知识。
希望这些复习资料对大家的数理统计学习有所帮助。