2021年初中物理竞赛及自主招生专题讲义第二讲力与物体的平衡第一节几种常见的力含解析

第二讲 力与物体的平衡第一节 几种常见的力力是物体与物体之间的相互作用，日常生活中的物体间往往存在着力的作用。

常见的力有重力、弹力和摩擦力。

一、重力重力即地球表面的物体由于地球的吸引而受到的力，地球表面任何物体部受到重力的作用，重力的方向是竖直向下或者表达为垂直于水平面向下，重力的大小与物体质量成正比，可用公式表示为G mg =，其中g 为比例系数。

通常情况下g 取9.8N/kg ，粗略计算中可以取10N/kg g =。

但值得注意的是，地球上不同位置的g 的值不尽相同，g 的值随着纬度的升高而变大，赤道处的g 最小，约为9.780N/kg ，两极处的g 最大，约为9.832N/kg ，因此，同一物体在极地和在赤道所受重力大小是不同的。

物体各个部分都受到重力作用，各部分重力的作用点分散在物体各个部位，物体所受到的总重力可以等效地认为作用在某一点，该点即为物体的重心。

对于质量分布均匀、形状规则的物体，重心的位置在它们的几何中心。

如图4.1所示的C 点即为常见均匀几何体的重心。

对于形状不规则、质量分布不均匀的薄板型物体，可以用悬挂法来确定重心的位置。

下面介绍计算物体重心位置的方法：1．两个物体的重心如图4.2所示，设两物体的质量分别为1m ，2m ，它们重心之间的距离为L ，这两个物体所受的总重力()12m m g +的等效作用点即为两物体组成的系统的重心。

若以不计质量的轻细杆将1m ，2m 连接，再支起轻杆使其水平平衡，则支点即为物体的等效重心。

设1m ，2m 的重心到系统重心C 的距离分别为1x ，2x ，则12x x L +=，由杠杆平衡条件可得1122m gx m gx =，解得2112m x L m m =+，1212m x L m m =+。

可见，两物体重心的位置必在两物件各自重心的连线上，且两物体的重心距离系统重心的距离与物体质量成反比，即系统重心离质量较大的物体较近。

2．几个物体的重心现在我们讨论由处于同一平面内的几个物体纽成的系统的重心。

如果某平面内存在着若干个物体，它们的质量分别为1m ，2m ，3m ，，n m ，则可以在平面内建立xOy 直角坐标系，并记各个物体重心的坐标为()11,x y ，()22,x y ，()33,x y ，，(),n n x y ，如图4.3所示，则这空物体组成的系统的重心坐标可以表示为(),C C x y ，其中112233123n n C nm x m x m x m x x m m m m ++++=++++ 112233123n n C n m y m y m y m y y m m m m ++++=++++ 特殊地，如果几个物体恰在一条直线上，则只需建立一维坐标系Ox 轴即可。

例1（上海第25届大同杯复赛）如图4.4所示，两根长度相等的杆OA 与OB 在O 点用螺母铰接在一起，两臂间的夹角可以改变，OA 是没有质量的轻杆，而OB 杆是有一定质量且质量均匀分布的重杆，初始时两杆间的夹角为90︒，用一根细线悬挂端点A ，两杆处于静止状态，然后将两杆间的夹角变为100︒，两杆再次处于静止状态时O 点相对于初始状态________（选填“上升”“下降”或“位置不变”），为使金属杆的顶点O （即两臂连接处）位置最高，金属杆两臂张开的角度应为________。

分析与解 由于杆AO 为没有质量的轻质杆，因此杆AO 与杆BO 所组成的系统的重心在BO 的中点C 点，且C 点必位于悬挂点A 的正下方，如图4.5所示。

由于悬挂点A 不动，当两杆夹角变化时，O 点的轨迹是以A 点为圆心、杆长为半径的圆，CAO ∠越大，O 点位置越高。

不妨假设CAO θ∠=，ACO α∠=，则在ACO △中，由正弦定理可得sin sin CO AO θα=，因此1sin sin sin 2CO AO θαα==，故当90α=︒时，θ取得最大值30︒，O 点最高。

此时可得60AOC ∠=︒。

当两杆间的夹角由90︒增加到100︒时，可知θα+变小，结合1sin sin 2θα=可知θ，α应同时变大或变小，则θ，α均变小，O 点高度下降。

例2 半径为R 的均匀薄圆盘的质量为M 。

在圆盘上挖去一个半径为()r r R <的小圆孔，且小圆孔与圆盘相切，如图4.6所示，求剩余部分重心的位置。

分析与解 整个圆盘可以分成两部分：被挖去部分m 与剩余部分M m -，这两部分的重心在圆盘圆心O 点。

圆盘单位面积的质量2M R δπ=，挖去部分的质量222Mr m r R δπ=⋅=。

以圆盘圆心O 为坐标原点，沿着圆盘圆心O 与挖去部分的圆心1O 连线方向建立x 轴如图4.7所示，则整个圆盘重心坐标为0，挖去部分原来的重心坐标为1x R r =-，由对称性，剩余部分的重心必在x 轴上。

设剩余部分的重心坐标为2x ，则应有()120mx M m x M +-=，代入数据可解得22r x R r=-+，因此剩余部分的重心在距离O 点2r R r+处。

例3 （上海第23届大同杯复赛）均匀三角板的重心在三角形三条中线的交点上，均匀细杆的重心在杆的中点上。

现有一块等腰直角三角板和三根均匀细杆。

三根细杆的长度分别与三角板的边长相等，将这三根细杆构成如图4.8所示的三角形。

设三角板的重心为P ，三根细杆构成的三角形的重心为P '，P 与P '未在图中画出。

以下是三位同学的观点：甲同学认为P 和P '的位置重合；乙同学认为P 和P '的位置不重合，且P 到斜边的距离大于P '到斜边的距离；丙同学认为P 和P '的位置不重合，且P 到斜边的距离小于P '到斜边的距离。

请你通过分析，对以上三位同学的观点做出判断。

分析与解对于三角形薄板，其重心P在三条边中线的交点，设斜边上的高为h，则根据中线的性质，重心P到斜边的距离为0.3333hh=。

对三角形，三条边的重心分别在边的中点上，如图4.9的A，B，C所示。

为了找到三角形重心P'的位置，现以斜边上的中点C为坐标原点，沿箬斜边上高的方向建立如图所示的x轴坐标，则2A Bhx x==，0Cx=，再根据边长关系设三角形的三边质量分别为m，m，2m，结合对称性，P'必在x轴上，则P'到斜边的高度20220.293222Ph hm m mx hm m m'⋅+⋅+⋅===+++。

因为0.3330.293h h>，所以甲、丙同学说法错误，乙同学说法正确。

二、弹力（一）弹力的概念弹力是指两个相互接触的物体之间，由于相互挤压而产生的力的作用。

弹力的产生条件有两个：两个物体直接接触，相互挤压而发生弹性形变。

弹力的大小与形变程度有关。

弹力的方向与施加这个弹力的物体的形变方向相反，与受到这个弹力的物体的形变方向相同。

弹力方向还可如下判断：①压力、支持力的方向总是垂直于接触面，若接触面是曲面，则垂直于曲面的切线。

②绳对物体的拉力总是沿着绳指向绳收缩的方向。

③杆对物体的弹力不一定沿杆的方向。

如果可自由转动的轻直杆只有两个端点受力而处于平衡状态，则轻杆的弹力方向一定沿杆。

如图4.10给出了细杆A与圆球B在几种常见情况下所受弹力的示意图。

值得注意的是，有时候物体相互接触，但却不一定挤压而发生弹性形变，因此互相接触的物体不一定会产生弹力。

大多情况下物体发生的形变很微小，肉眼难以判断。

因此根据弹力产生的两个条件来判断弹力的有无很困难。

我们可以采用“假设法”来判断物体间的弹力是否存在。

如图4.11（a）所示，球A静置于光滑水平面上，与竖直光滑墙壁接触。

竖直墙壁对球A是否施加了弹力，就可以用假设法判断：假设竖直墙壁对球A施加了弹力，由于接触面均光滑，球A必然会向右移动，与题述球A静止矛盾，因此竖直墙与球A之间没有弹力作用。

同样在图4.11（b）中，悬绳竖直，小球B与斜面接触。

判断斜面对球B是否有弹力，可以先假设存在弹力，则小球B所受斜面对其的弹力必垂直于斜面向上，悬绳自然会倾斜，这与题矛盾，因此该弹力不存在。

（二）弹簧的弹力当弹簧被拉伸或者被压缩时，弹簧会对与它接触的物体产生弹力的作用，当弹簧被拉伸时，弹簧的弹力表现为拉力；当弹簧被压缩时，弹簧的弹力表现为斥力。

对于质量不计的轻弹簧，其内部的弹力大小处处相等。

1．胡克定律弹簧被拉伸或压缩时，会产生反抗形变的弹力，如图4.12所示。

在弹性限度内，弹簧的弹力F与弹簧的形变量x成正比，这就是胡克定律，由英国物理学家胡克发现。

胡克定律可以表示为F kx=，其中k表示弹簧的劲度系数，反映了弹簧发生形变的难易程度，由Fkx=可知，劲度系数越大的弹簧，发生相同形变量时所需的力F越大，即弹簧越不容易发生形变。

弹簧的劲度系数只与弹簧的材料、长度、粗细、匝数等因素有关，与弹簧的形变量及弹力大小无关。

图4.13反映了弹簧弹力F与弹簧的形变量x之间的函数关系。

应该注意的是，弹簧的形变量不能太大，否则弹簧在外力撤去时将不能恢复到原长状态，即不能使外力超过弹簧的弹性限度。

例4 如图4.14所示，A ，B 是两个相同的轻弹簧，原长010cm L =，劲度系数500N/m k =，如果图中悬挂的两个物体质量均为1kg m =，g 取10N/kg ，则两个弹簧的总长度为（ ）。

A ．22cmB ．24cmC ．26cmD ．28cm分析与解 上方弹簧承受的拉力大小等于两物体重力之和，因此其伸长量124cm mg x k ==，上方弹簧的长度为0114cm L x +=。

下方弹簧承受的拉力大小等于mg ，其伸长量22cm mg x k==，下方弹簧长度为0212cm L x +=，所以两个弹簧的总长度为26cm ，选项C 正确。

例5 （上海第25届大同杯初赛）如图4.15所示，劲度系数为1k 的轻质弹簧A —端固定在地面上并竖直放置，质量为m 的物块压在弹簧A 上，用一细绳跨过定滑轮，细绳一端与m 相连，另一端与劲度系数为2k 的轻质弹簧B 相连。

现用手握住弹簧B 的右端使其位于c 点时，弹簧B 恰好呈水平且没有形变，将弹簧B 的右端水平拉到d 点时，弹簧A 恰好没有形变。

已知21k k <，则c ，d 之间的距离为（ ）。

A ．1212k k mg k k + B ．1212k k mg k k - C ．12mg k k + D ．12mg k k - 分析与解 当B 弹簧处于原长状态时，A 弹簧的压缩量为1ΔA mg x k =，当A 弹簧恢复原长时，B 弹簧的伸长量为2ΔB mg x k =，则c ，d 之间的距离为()1212ΔΔA B k k mg x x k k ++=，选项A 正确。

2．弹簧的串并联 （1）弹簧的串联：弹簧的串联就是把几根弹簧首尾相接，连成一根弹簧。