2021-2022学年重庆市高三上学期月考数学试卷(12月份)(含答案解析)
2021-2022学年重庆市高三上学期月考数学试卷(12月份)一、单选题（本大题共8小题，共40.0分） 1.已知集合A ={x|x(3−x)≥0}，B ={x|x −1≤0}，则A ∩B =( )A. {x|1≤x ≤3}B. {x|x ≤0}C. {x|x ≥3}D. {x|0≤x ≤1}2.若复数z =(m +1)−2mi(m ∈R)为纯虚数，则z 的共轭复数是( )A. −2iB. −iC. iD. 2i3.在等差数列{a n }中，a 1=2，a 3=8，则98是{a n }的( )A. 第31项B. 第32项C. 第33项D. 第34项4.(x 2−3x)7展开式的第3项为( )A. 189B. 189x 8C. −945D. −945x 55.已知函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0,0<φ<π2)，现有如下四个命题：甲：该函数的最大值为√2；乙：该函数图象可以由y =sin2x +cos2x 的图象平移得到； 丙：该函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为π； 丁：该函数图象的一个对称中心为(2π3,0)． 如果只有一个假命题，那么该命题是( )A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁6.已知f(x)是定义在R 上的周期为4的奇函数，当x ∈(0,1)时，f(x)=x +m.若f(172)+f(2)=1，则f(113)=( )A. 73B. 56C. −73D. −567.“0<xsinx <π2”是“0<x <π2”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8.双曲线型自然通风塔的外形是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，如图所示，它的最小半径为4√3米，上口半径为4√393米，下口半径为20√33米，高为24米，则该双曲线的离心率为( )A. 2B. √3C. √2D. 2√2二、多选题（本大题共4小题，共20.0分） 9.已知曲线C 的方程为ax 2+ay 2−2x −2y =0(a ∈R)，则( )A. 曲线C 可能是直线B. 当a =1时，直线3x +y =0与曲线C 相切C. 曲线C 经过定点D. 当a =1时，直线x +2y =0与曲线C 相交10. 已知x +y >0，且x <0，则( )A. x 2>−xyB. |x|<|y|C. lgx 2>lgy 2D. y x +xy <−211. 已知函数f(x)={x 2−4x +2,x ≥02x +1,x <0，则( )A. ∀x ∈R ，f(x)≥−2B. ∃x ∈R ，f(x)=f(−x)C. 直线y =910与f(x)的图象有3个交点 D. 函数g(x)=f(x)−sinx 只有2个零点12. 设S n 和T n 分别为数列{a n }和{b n }的前n 项和．已知2S n =3−a n ，b n =na n 3，则( )A. {a n }是等比数列B. {b n }是递增数列C. S nan=3n −12D. SnT n>2 三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知菱形ABCD 的边长为1，|AB|=|AC|，则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =______． 14. 函数f(x)=x +√4−x 的图象在点(3,4)处切线的斜率为______． 15. 已知锐角α满足tanα=4sinα，则tan(α−π4)=______．16. 已知AB 是过抛物线y 2=4x 焦点F 的弦，P 为该抛物线准线上的动点，则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为______．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且a1+a3=10，a2+a4=20．(1)求{a n}的通项公式；(2)求S1a1+S2a2+⋅⋅⋅+S na n．18.在①sinAsinB +sinBsinA+1=c2ab，②(a+2b)cosC+ccosA=0，③√3asin A+B2=csinA，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且_______．(1)求角C的大小；(2)若c=√7，sinAsinB=314，求△ABC的面积．19.一个完美均匀且灵活的平衡链被它的两端悬挂，且只受重力的影响，这个链子形成的曲线形状被称为悬链线(如图所示).选择适当的坐标系后，悬链线对应的函数近似是一个双曲余弦函数，其解析式可以为f(x)=ae x+be−x，其中a，b是常数．(1)当a=b≠0时，判断f(x)的奇偶性；(2)当a，b∈(0,1)时，若f(x)的最小值为√2，求11−a +21−b的最小值．20.2020年某地爆发了新冠疫情，检疫人员对某高风险小区居民进行检测．(1)若假设A，B，C，D，E，F，G，H，I，J这10人的检测样本中有1份呈阳性，且这10人中恰有1人感染，请设计一种最多只需做4次检测，就能确定哪一位居民被感染的方案，并写出设计步骤；(2)若A，B为确诊患者，C，D为密切接触者，且C被A或B感染的概率均为12，D被A或B或C感染的概率均为13(D没有途径感染C)，则C，D中受感染的人数X作为一个随机变量，求X的分布列及数学期望．21.已知P为圆x2+y2=16上的一个动点，过P作x轴的垂线，垂足为Q，M为线段PQ的中点，M的轨迹为E．(1)求E的方程；(2)若不过原点的直线l：y=−x+m与E交于A，B两点，O为坐标原点，以OA，OB为邻边作平行四边形，求这个平行四边形面积的最大值．22.已知函数f(x)=alnx−x，a∈R．(1)讨论f(x)的单调性；(2)若关于x的不等式f(x)≤1x −2e在(0,+∞)上恒成立，求a的取值范围．参考答案及解析1.答案：D解析：∵集合A={x|x(3−x)≥0}={x|0≤x≤3}，B={x|x−1≤0}={x|x≤1}，∴A∩B={x|0≤x≤1}．故选：D．求出集合A，B，利用交集定义能求出A∩B．本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：A解析：若复数z=(m+1)−2mi(m∈R)为纯虚数，则m+1=0，解得：m=−1，故z=2i，则z的共轭复数是−2i，故选：A．根据纯虚数的定义得到关于m的方程，求出m的值，求出z的共轭复数即可．本题考查了共轭复数问题，考查纯虚数的定义，是基础题．3.答案：C解析：∵在等差数列{a n}中，a1=2，a3=8，=3，a n=2+(n−1)×3=3n−1，∴公差d=8−22令3n−1=98，求得n=33，则98是{a n}第33项，故选：C．由题意利用等差数列的定义和通项公式，得出结论．本题主要考查等差数列的定义和通项公式，属于基础题．4.答案：B)7展开式的第3项为T3=C72⋅(−3)2⋅x8=189x8，解析：(x2−3x故选：B．由题意直接利用二项式展开式的通项公式，求得展开式的第3项．本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．5.答案：B解析：由命题甲：该函数的最大值为√2，可得A =√2；由命题乙：由y =sin2x +cos2x =√2sin(2x +π4)，可知A =√2，ω=2； 由命题丙：该函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为π，可得ω=1， 所以命题乙和命题丙矛盾；若假命题是乙，则f(x)=√2sin(x +φ)，由命题丁：该函数图象的一个对称中心为(2π3,0)，可得f(2π3)=√2sin(2π3+φ)=0， 因为0<φ<π2， 可得φ=π3，符合题意；若假命题是丙，则f(x)=√2sin(2x +φ)，由命题丁：该函数图象的一个对称中心为(2π3,0)，可得f(2π3)=√2sin(4π3+φ)=0， 可得φ=kπ−4π3，k ∈Z ，不满足条件0<φ<π2，所以假命题是乙． 故选：B ．根据题意得到命题乙和命题丙矛盾，结合三角函数的图象与性质，分类讨论，结合命题丁进行判定，即可求解．本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用，考查了分类讨论思想和函数思想，属于中档题．6.答案：D解析：∵f(x)是定义在R 上的周期为4的奇函数， ∴f(x)=f(x +4)且f(−x)=−f(x)， ∴−f(−x)=f(x +4)，∴f(−2+4)=−f[−(−2)]⇒f(2)=−f(2)⇒f(2)=0，∴f(172)+f(2)=1⇒f(8+12)+f(2)=1⇒f(12)=1=12+m ⇒m =12， ∴f(113)=f(4−13)=f(−13)=−f(13)=−(13+12)=−56，故选：D ．根据奇函数的定义以及周期性求得−f(−x)=f(x +4)，再结合已知求得f(2)=0，进而求解结论． 本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的周期性，函数求值，是函数性质的综合应用．7.答案：B解析：①当x ∈(−π2,0)时，满足0<xsinx <π2，∴充分性不成立，②当0<x <π2时，∵y′=sinx +xcosx >0，x ∈(0,π2)，∴y =xsinx 在(0,π2)递增， ∴0<xsinx <π2，∴必要性成立，∴0<xsinx <π2是0<x <π2的必要不充分条件， 故选：B ．根据充分必要条件的定义以及三角函数的性质判断即可． 本题考查了充分必要条件，考查三角函数的性质，是基础题．8.答案：A解析：以AA 1的中点O 为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 则|OA|=|OA 1|=4√3， 设双曲线的方程为x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)，则a =4√3， 可设C 1(4√393,m)，B 1(20√33,m −24)(0<m <24)，又由B 1，C 1在双曲线上，所以{ (4√393)248−m 2b 2=1(20√33)248−(m−24)2b 2=1，解得m =8，b =12，即ba =√3，所以该双曲线的离心率为√1+b 2a2=2．故选：A ．以AA 1的中点O 为坐标原点，建立平面直角坐标系，设双曲线的方程为x 2a 2−y 2b 2=1，设C 1(4√393,m)，B 1(20√33,m −24)，代入双曲线的方程，求得b =12，得到ba =√3，进而求得双曲线的离心率．本题主要考查双曲线离心率的求解，双曲线的实际应用等知识，属于中等题．9.答案：ACD解析：当a =0时，曲线为：−2x −2y =0，是直线方程，所以A 正确；当a =1时，曲线C 的方程为x 2+y 2−2x −2y =0，即(x −1)2+(y −1)2=2，表示圆，圆的圆心(1,1)，半径为√2，圆心到直线3x +y =0的距离：√9+1=2√105≠√2，所以B 不正确；圆心到直线x +2y =0的距离：√5=3√55<√2，直线x +2y =0与曲线C 相交，所以D 正确；曲线C 的方程为ax 2+ay 2−2x −2y =0恒过(0,0)点，所以C 正确； 故选：ACD ．利用a 的值，判断选项是正误即可．本题考查直线与圆的位置关系的应用，曲线与方程的应用，是中档题．10.答案：BD解析：由于x +y >0，且x <0，故y >0， 对于A ：x 2<−xy ，故A 错误； 对于B ：|y|>|x|，故B 正确； 对于C ：lgx 2<lgy 2，故C 错误；对于D ：yx +xy =−[−(yx )−(xy )]<−2，故D 正确． 故选：BD ．直接利用不等式的性质的应用判断A 、B 、C 、D 的结论．本题考查的知识要点：不等式的性质，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．11.答案：ABD解析：对于A ，当x ≥0时，x 2−4x +2=(x −2)2−2≥−2， 当x <0时，1<2x +1<2， 所以f(x)≥−2成立，故A 正确；对于B ，作出函数f(x)的图象，如图所示，由图象可得，y =2−x +1(x >0)与y =2x +1(x <0)的图象关于y 轴对称， 且与y =x 2−4x +2(x >0)有交点， 即∃x ∈R ，f(x)=f(−x)，故选项B 正确；对于C ，由图图象可知，直线y =910与f(x)的图象只有2个交点，故选项C 错误；对于D ，g(x)=f(x)−sinx 的零点个数等于f(x)的图象与y =sinx 的图象的交点的个数为2，故选项D 正确， 故选：ABD ．先利用二次函数、指数函数的单调性得到每一段上的函数值的取值范围，进而确定f(x)的值域，即选项A 正确；作出f(x)的图象，利用y =2−x +1(x >0)，y =2x +1(x <0)及y =x 2−4x +2(x >0)的图象判定选项B 正确；由直线y =910与f(x)的图象判定选项C 错误；由f(x)与y =sinx 的图象的交点个数可判断选项D 正确．本题考查了分段函数的应用，函数的零点，数形结合的思想等知识，属于中档题．12.答案：ACD解析：因为2S n =3−a n ， 当n ≥2时，2S n−1=3−a n−1，两式相减得，2a n =a n−1−a n ，即3a n =a n−1， 当n =1时，2S 1=3−a 1，解得a 1=1，所以数列{a n }是以1为首项，以13为公比的等比数列，A 正确； 所以a n =(13)n−1，b n=na n 3=n ⋅(13)n−2，S n=3−(13)n−12，则b 1=3，b 2=2，B 显然不成立； 又S nan=3−(13)n−12×(13)n−1=3n −12，C 正确；T n =13+232+⋅⋅⋅+n−13n−1+n3n ，13T n =132+⋅⋅⋅⋅⋅+n−13n+n 3n+1，两式相减得，23T n =13+132+⋅⋅⋅⋅+13n −n3n+1=13(1−13n )1−13−n 3n+1=12(1−13n )−n3n+1，所以T n =34(1−13n )−n2⋅3n >0，所以2T n −S n =32(1−13n )−n 3n −32(1−13n )=−n3n <0，所以SnT n>2，D 正确．故选：ACD ．由已知结合数列的项与和的递推关系及等比数列的定义和求和公式可检验选项A ，C ； 结合数列的单调性定义及数列的项的值可检验选项B ；利用错位相减法求出T n ，然后利用比较法可检验选项D ．本题主要考查了数列的项与和的递推公式的应用，还考查了等比数列的通项公式及求和公式，错位相减求和，属于中档题．13.答案：−12解析：因为AB =AC ，四边形ABCD 为菱形， 所以∠ABC =π3，∠BAD =2π3，所以AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =−(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=−12，故答案为：−12．化简可得AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =−(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，结合数量积的运算公式，计算可得结果． 本题考查了平面向量数量积的性质及应用，属于基础题．14.答案：12解析：由f(x)=x +√4−x ，得f′(x)=12√4−x ， ∴f′(3)=1−2×√4−3=12．∴函数f(x)=x +√4−x 的图象在点(3,4)处切线的斜率为12． 故答案为：12．求出原函数的导函数，得到函数在x =3处的导数值，则答案可求． 本题考查导数的几何意义及应用，关键是求出原函数的导函数，是基础题．15.答案：8−√157解析：∵锐角A 满足方程tanα=4sinα，可得cosα=14， 则sinα=√1−cos 2α=√154，所以tanα=√15，所以tan(α−π4)=tanα−tanπ41+tanαtanπ4=√15−11+√15=8−√157，故答案为：8−√157．化简已知等式可得cosα，进而求得sinα，即可得到tanα，再利用两角差的正切函数公式即可求得答案．本题考查了两角差的三角函数公式，属于基础题．解析：∵抛物线y 2=4x 的焦点为F(1,0)， ∴直线AB 的方程可设为x =ty +1， 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，联立直线AB 与抛物线方程{x =ty +1y 2=4x ，化简整理可得，y 2−4ty −4=0，由韦达定理可得，y 1+y 2=4t ，y 1y 2=−4， ∵P 为该抛物线准线上的动点，∴可设P(−1,m)，则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1+1,y 1−m)=(ty 1+2,y 1−m)， PB⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2+1,y 2−m)=(ty 2+2,y 2−m)， ∴PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(ty 1+2)(ty 2+2)+(y 1−m)(y 2−m)=(t 2+1)y 1y 2+(2t −m)(y 1+y 2)+4+m 2=(2t −m)2≥0． 故答案为：0．根据已知条件，结合向量的数量积公式，以及韦达定理，即可求解．本题主要考查抛物线的性质，掌握向量的数量积公式，以及韦达定理是解本题的关键，属于中档题．17.答案：解：(1)设{a n }的公比为q ，则q =a 4+a 2a 3+a 1=2．因为a 1+a 3=a 1+4a 1=10，所以a 1=2， 所以{a n }的通项公式为a n =2×2n−1=2n ． (2)由(1)知S n =2−2n+11−2=2n+1−2．因为Sn a n=2n+1−22n =2−12n−1．所以S 1a 1+S 2a 2+⋅⋅⋅+S na n=2n −1−12n 1−12=2n −2+12n−1．解析：(1)利用等比数列的通项公式，结合已知条件求解公比，然后求解通项公式． (2)化简通项公式，然后利用分组求和，求解即可．本题考查数列求和，等比数列的简单性质的应用，是中档题．18.答案：解：(1)选择条件①由sinAsinB +sinBsinA +1=c 2ab 及正弦定理，可得ab +ba +1=c 2ab，则a 2+b 2−c 2=−ab ， 由余弦定理，得cosC =a 2+b 2−c 22ab =−ab 2ab=−12．因为0<C <π，所以C =2π3．由(a +2b)cosC +ccosA =0及正弦定理，可得(sinA +2sinB)cosC +sinCcosA =0， 即sinAcosC +cosAsinC =−2sinBcosC ． 即sin(A +C)=−2sinBcosC ． 在△ABC 中，A +B +C =π，所以sin(A +C)=sin(π−B)=sinB ，即sinB =−2cosCsinB ， 因为0<B <π，所以sinB ≠0，所以cosC =−12． 因为0<C <π，所以C =2π3．选择条件③ 由√3asinA+B 2=csinA 及正弦定理，可得√3sinAsinA+B 2=sinCsinA ，因为sinA ≠0，所以√3sin A+B 2=sinC ．在△ABC 中，A +B +C =π，可得sin A+B 2=cos C2，故√3cos C2=2sin C2cos C2．因为0<C <π，所以cos C 2≠0，则sin C 2=√32，故C =2π3．(2)由正弦定理，得ab sinAsinB =(csinC )2，所以ab =(c sinC )2sinAsinB =(√7sin 2π3)2×314=2．所以△ABC 的面积S =12absinC =12×2×sin2π3=√32． 解析：(1)依据选择条件分别计算即可求得C 的大小；(2)由正弦定理，得absinAsinB =(csinC )2，可求得ab 的值，从而可求面积．本题考查了解三角形的应用，正弦定理和余弦定理的综合应用，特殊角的三角函数值的运用，三角恒等变换以及三角形面积公式的应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．19.答案：解：(l)当a =b ≠0时，函数f(x)=a(e x +e −x )的定义域为R ．因为对任意的x ∈R ，都有−x ∈R ，且f(−x)=a(e −x +e x )=f(x)，所以f(x)为偶函数． (2)因为当a ，b ∈(0,1)时，f(x)的最小值为√2， 所以f(x)=ae x +be −x ≥2√ae x ⋅be −x =2√ab =√2， 即ab =12，所以b =12a <1，所以12<a <1， 所以2−2a >0，2a −1>0， 所以11−a+21−b=11−a+21−12a=11−a+4a 2a−1=11−a+22a−1+2=22−2a+22a−1+2=(22−2a+22a−1)×[(2−2a)+(2a −1)]+2=2(2a−1)2−2a+2(2−2a)2a−1+6≥2√4+6=10当且仅当2−2a =2a −1，即a =34，b =23时，等号成立， 所以11−a +21−b 的最小值为10．解析：(1)利用函数的奇偶性的定义，判断函数的奇偶性即可．(2)利用基本不等式求解函数的最小值，通过“1”的代换，求解最小值即可．本题考查函数的奇偶性的判断，基本不等式求解函数的最值的方法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．20.答案：解：(1)第一步，将10人的样本随机5份作为一组，剩余5份作为另一组．任取一组，若呈阳性，则该组记为Ⅰ组；若呈阴性，则另一组记为Ⅰ组．第二步，将Ⅰ组的样本随机分为两组，2人一组记为Ⅱ组，3人一组记为Ⅲ组．第三步，对Ⅱ组样本进行检测，若呈阳性，再任取这2人中的1人的样本对其进行检测即可得知患病人员，因此，共检测3次；若呈阴性，则阳性样本必在Ⅲ组内，再逐一检测，2次即可得知患病人员，因此，共检测4次．对Ⅲ组样本进行检测，若呈阳性，再逐一检测，2次即可得知患病人员，因此，共检测4次； 若呈阴性，则从Ⅱ组样本中任取一人的样本进行检测，即可得知患病人员，因此，共检测3次． 综上所述，最多需做4次检测．(2)X 的可能取值为0，1，2．P(X =0)=12×12×23×23=19 C 被感染而D 未被感染的概率P 1=(1−14)×23×23×23=29， D 被感染而C 未被感染的概率P 2=14×(1−49)=536， 则P(X =1)=P 1+P 2=1336，P(X =2)=1−19−1336=1936， X 的分布列为：EX =0×19+1×1336+2×1936=1712．解析：(1)应用随机分组检测设计检测步骤，并根据各步检测结果判断所需的检测频数，即可确定最多只需做4次检测的方案．(2)X 的可能取值为0，1，2，求出相应的概率，进而写出其分布列，根据分布列求出期望即可． 本题考查检测方案的确定、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21.答案：解：(1)设M(x,y)，P(x 0,y 0)，则由题意可知{x =x 02y =y 0①因为P 在圆x 2+y 2=16上，所以x 02+y 02=16，将①代入，并化简可得x 216+y 24=1．因为M 为线段PQ 的中点，所以P 与Q 不能重合，所以E 的方程为x 216+y 24=1(y ≠0)．(2)联立{y =−x +mx 216+y 24=1得5x 2−8mx +4m 2−16=0，则Δ=64m 2−80(m 2−4)=16(20−m 2)>0， 因为l 不经过原点，所以0<m 2<20．设A ，B 两点的坐标分别为(x 1,y 1)，(x 2,y 2)，则x 1+x 2=8m 5，x 1x 2=4m 2−165，|AB|=√1+(−1)2⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=4√2⋅√20−m 25，又O 到直线l 的距离d =√2，所以这个平行四边形的面积S =12×|AB|×d ×2=√2×4√2×√20−m 25=4√m 2(20−m 2)5≤4×m 2+20−m 225=8，当且仅当m 2=20−m 2，即m =±√10(满足0<m 2<20)时，等号成立， 故这个平行四边形面积的最大值为8．解析：(1)设M(x,y)，P(x 0,y 0)，由题设得到它们坐标之间的数量关系，再根据P 在圆上代入方程求M 的轨迹方程．(2)联立直线与M 的轨迹方程，根据Δ>0求m 的范围，设A ，B 分别为(x 1,y 1)，(x 2,y 2)，应用韦达定理、弦长公式求|AB|，由点线距离公式求O 到直线l 的距离，应用面积公式可得平行四边形的面积关于m 的函数，应用基本不等式求最值．本题主要考查轨迹方程的求解，椭圆中的四边形面积问题，韦达定理及其应用等知识，属于中等题．22.答案：解：(1)f′(x)=a x −1=a−x x(x >0)．①若a ≤0，则f′(x)<0，所以f(x)在(0,+∞)上单调递减． ②若a >0，令f′(x)=0，得x =a ．当x ∈(0,a)时，f′(x)>0；当x ∈(a,+∞)时，f′(x)<0． 所以f(x)在(0,a)上单调递增，在(a,+∞)上单调递减．(2)不等式f(x)≤1x −2e 等价于alnx −x −1x +2e ≤0在(0,+∞)上恒成立， 令g(x)=alnx −x −1x +2e ，则g′(x)=ax−1+1x 2=−x 2−ax−1x 2．对于二次函数y =x 2−ax −1，Δ=a 2+4>0，所以其必有两个零点． 又两零点之积为−1，所以两个零点一正一负，设其中一个零点x 0∈(0,+∞)，则x 02−ax 0−1=0，即a =x 0−1x 0．此时g(x)在(0,x 0)上单调递增，在(x 0,+∞)上单调递减， 故g(x 0)≤0，即(x 0−1x 0)lnx 0−x 0−1x 0+2e ≤0，设函数ℎ(x)=(x −1x )lnx −x −1x +2e ，则：ℎ′(x)=(1+1x 2)lnx +1−1x 2−1+1x 2=(1+1x 2)lnx ． 当x ∈(0,1)时，ℎ′(x)<0； 当x ∈(1,+∞)时，ℎ′(x)>0．所以ℎ(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增． 又ℎ(1e )=ℎ(e)=0，所以x 0∈[1e ,e]，由a =x 0−1x 0在[1e ,e]上单调递增，得a ∈[1e −e,e −1e ]．故a 的取值范围为[1e −e,e −1e ]．解析：本题考查函数的导数的应用，函数的单调性的求法，极值点的判断，构造法的应用，考查转化思想以及计算能力，是难题．(1)求出导函数，利用a 的范围，判断导函数的符号，推出函数的单调区间即可．(2)不等式f(x)≤1x −2e等价于alnx−x−1x+2e≤0在(0,+∞)上恒成立，构造函数，通过函数的导数，利用二次函数的性质，说明极值点一正一负，设函数ℎ(x)=(x−1x )lnx−x−1x+2e，利用导函数，结合函数的单调性，转化求解a的范围即可．。
2021-2022年高三上学期第一次联考(12月)物理试题 含答案
2021年高三上学期第一次联考（12月）物理试题含答案（时间120分钟，满分150分）xx-12注：本卷g取10m/s2（第28题g取9.8m/s2）一、单项选择题（共16分，每小题2分。
每小题只有一个正确选项。
）1、小明想推动家里的衣橱，但使足了力气也推不动，他便想了个妙招，如图所示，用A、B两块木板，搭成一个人字形架，然后往中央一站，衣橱居然被推动了，下列说法中正确的是（）（A）A板对衣橱的推力一定小于小明的重力（B）人字形架的底角越大，越容易推动衣橱（C）人字形架的底角越小，越容易推动衣橱（D）A板对衣橱的推力大小与人字形架的底角大小无关2、一物体在外力F作用下静止在光滑斜面上，在撤去外力F的瞬间（）(A)物体具有速度和加速度(B)物体具有加速度，但速度为零(C)物体具有速度，但加速度为零(D)物体的速度和加速度都为零3、一水平弹簧振子在光滑水平面上做简谐振动，当它通过关于平衡位置对称的两个位置时，一定相同的物理量有（）（A）位移和速度（B）速度和加速度（C）加速度和动能（D）动能和弹性势能4、分子间的引力和斥力同时存在，分子力大小与分子间的距离有关，当分子间的距离增大时（）（A）分子间引力和斥力都增大（B）分子间引力和斥力都减小（C）分子间引力增大，斥力减小（D）分子间斥力增大，引力减小5、一定质量的理想气体，温度升高时（）（A）一定吸收热量（B）压强一定增大（C）内能一定增大（D）体积一定增大v 0bac•• • 6、如图甲所示，水波传到两板间的空隙发生了明显的衍射，若不改变小孔的尺寸，只改变挡板的位置或方向，如图乙中的(a)、(b)、(c)、(d)，则下列判断正确的是（ ）(A) 只有 (a)能发生明显衍射 (B) 只有（a ）（b ）能发生明显衍射(C) (a)、(b)、(c)、(d)均能发生明显衍射 (D) (a)、(b)、(c)、(d)均不能发生明显衍射 7、如图，在固定斜面上，一物体受到平行于斜面向上的外力F 作用处于静止状态，则（ ） （A ）物体受到的摩擦力为零（B ）物体有上滑趋势，受到的摩擦力平行于斜面向下（C ）物体有下滑趋势，受到的摩擦力平行于斜面向上 （D ）以上三种情况都有可能8、如图，斜面上a 、b 、c 三点等距，小球从a 点正上方抛出，做初速为的平抛运动，恰落在b 点。
2021-2022学年重庆市清华中学高二(上)第一次月考数学试卷(10月份) (解析版)
2021-2022学年重庆市清华中学高二（上）第一次月考数学试卷（10月份）一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分）.1．直线的倾斜角为（）A．60°B．30°C．45°D．120°2．已知向量，，且，那么x等于（）A．﹣4B．﹣3C．0D．13．点A（1，2）到直线l：3x﹣4y﹣1＝0的距离为（）A．B．C．4D．64．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，已知＝，＝，＝，＝，则＝（）A．﹣+B．++C．﹣﹣+D．﹣﹣+5．在空间直角坐标系中，A（1，﹣1，﹣1），B（2，1，1），平面BCD的一个法向量是（1，1，0），则直线AB与平面BCD所成角为（）A．30°B．45°C．60°D．135°6．若入射光线所在直线的方程为，经x轴反射，则反射光线所在直线的方程是（）A．B．C．D．7．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E为底面A1B1C1D1内一动点，则•的取值范围是（）A．[，1]B．[0，1]C．[﹣1，0]D．[﹣，0]8．已知直线l1：x﹣y﹣1＝0绕与x轴交点旋转过程中始终与动直线l2：x﹣ay﹣2＝0垂直，当直线l1逆时针旋转75°时，则直线l2沿与向量共线的方向平移4个单位长度后的直线的方程为（）A．B．C．或D．或二、多选题（本大题共4小题，每题5分，共20.0分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．）9．设直线l1：3x+2ay﹣5＝0，l2：（3a﹣1）x﹣ay﹣2＝0．若l1与l2平行，则a的值可以为（）A．﹣B．C．0D．610．对于直线l：x＝my+1，下列说法正确的是（）A．直线l恒过定点（1，0）B．直线l斜率必定存在C．m＝时，直线l的倾斜角为60°D．m＝2时，直线l与两坐标轴围成的三角形面积为11．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中不正确的是（）A．B．BD⊥平面ACC1C．向量与的夹角是60°D．直线BD1与AC所成角的余弦值为12．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点O在线段AC上移动，点M为棱BB1的中点，则下列结论中正确的有（）A．D1O∥平面A1BC1B．∠D1OM的大小可以为90°C．异面直线D1O与A1C1的距离为定值D．存在实数λ∈[0，1]，使得成立三、单空题（本大题共4小题，每小题5分，共20.0分）13．若三点P（1，1），A（2，﹣4），B（x，﹣9）共线，则x＝．14．已知四点A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，1），P（1，1，1），则点P面ABC（填写“∈”或者“∉”中的一个）．15．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝90°，AA1＝A1B1＝A1C1＝4，点E是棱CC1上一点，且，则异面直线A1B与AE所成角的余弦值为．16．m∈R，动直线l1：x+my﹣1＝0过定点A，动直线过定点B，若直线l1与l2相交于点P（异于点A，B），则△PAB周长的最大值为．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知直线l经过点P（1，2）．（1）求在两坐标轴上截距相等的直线l的方程；（2）求与第（1）问中斜率小于零的直线l距离等于的直线l1的方程．18．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，点E，F分别为棱CC1，AA1的中点．（1）求证：D1F∥平面BDE；（2）求直线D1F到平面BDE的距离．19．已知圆C经过点A（1，0），点B（3，﹣2），且它的圆心在直线2x+y＝0上．（1）求圆C的标准方程；（2）若圆D与圆C关于直线x﹣y+1＝0对称，求圆D的标准方程．20．在△ABC中，A（5，4），边AC上的高BE所在的直线方程为3x+4y﹣7＝0，边AB上的中线CM所在的直线方程为5x﹣2y﹣10＝0．（1）求点C坐标；（2）求直线BC的方程．21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AC∩BD＝O，底面ABCD为菱形，边长为2，PO⊥CD，PA＝PC，且∠ABC＝60°．（1）求证：PO⊥平面ABCD；（2）当异面直线PB与CD所成的角为60°时，在线段CP上是否存在点M，使得直线OM与平面PCD所成角的正弦值等于？若存在，请求出线段CM的长，若不存在，请说明理由．22．在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2．点E，F分别在AB，CD上，且AE＝2，CF＝1．沿EF将四边形AEFD翻折至四边形A'EFD'，使平面A'EFD'与平面BCFE垂直，若在线段EB上有动点H．（1）从以下两个条件中任选一个作为已知条件_____，以确定点的位置，①若四点A'，D'，C，H共面，②若三棱锥A'﹣EFH的体积是三棱锥C﹣A'EF体积的；（2）在第（1）问基础上，在线段A'D'上有一动点P，设二面角P﹣HF﹣E的平面角为θ，求cosθ的最大值．参考答案一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40.0分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．直线的倾斜角为（）A．60°B．30°C．45°D．120°【分析】因为直线的斜率等于倾斜角的正切值，所以先找出直线的斜率，根据特殊角的三角函数值得到倾斜角的度数．解：设直线的倾斜角为α，0＜α＜180°，由直线的斜率为得到：tanα＝，所以α＝60°故选：A．2．已知向量，，且，那么x等于（）A．﹣4B．﹣3C．0D．1【分析】利用向量垂直的性质直接求解．解：向量，，且，∴＝x﹣1＝0，解得x＝1．故选：D．3．点A（1，2）到直线l：3x﹣4y﹣1＝0的距离为（）A．B．C．4D．6【分析】由题意利用点到直线的距离公式，求得结果．解：点A（1，2）到直线l：3x﹣4y﹣1＝0的距离为＝，故选：B．4．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，已知＝，＝，＝，＝，则＝（）A．﹣+B．++C．﹣﹣+D．﹣﹣+【分析】利用空间向量加法法则求解．解：因为在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，＝，＝，＝，＝，所以＝（+）＝﹣+（+）＝﹣++＝﹣+（﹣）+（﹣）＝﹣++＝﹣+．故选：A．5．在空间直角坐标系中，A（1，﹣1，﹣1），B（2，1，1），平面BCD的一个法向量是（1，1，0），则直线AB与平面BCD所成角为（）A．30°B．45°C．60°D．135°【分析】记平面BCD的一个法向量＝（1，1，0），设直线AB与平面BCD所成的角为θ，根据sinθ＝|cos＜，＞|，求解即可．解：在空间直角坐标系中，A（1，﹣1，﹣1），B（2，1，1），＝（1，2，2），记平面BCD的一个法向量＝（1，1，0），设直线AB与平面BCD所成的角为θ，直线AB与平面BCD所成的角的正弦值sinθ＝|cos＜，＞|＝＝＝．则直线AB与平面α所成角θ为45°．故选：B．6．若入射光线所在直线的方程为，经x轴反射，则反射光线所在直线的方程是（）A．B．C．D．【分析】经x轴反射的两条光线的斜率互为相反数，再求出入射光线与x轴的交点，然后由点斜式即可写出反射光线所在直线的方程．解：由题意知，反射光线所在直线的斜率为﹣，在直线中，令y＝0，则x＝，所以入射光线所在直线与x轴的交点坐标为（，0），所以反射光线所在直线的方程是y﹣0＝﹣（x﹣），即y＝﹣x+4．故选：B．7．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E为底面A1B1C1D1内一动点，则•的取值范围是（）A．[，1]B．[0，1]C．[﹣1，0]D．[﹣，0]【分析】由题意画出图形，建立适当的空间直角坐标系，求出•的表达式，再由配方法求解．解：如图，以D为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系．则A（1，0，0），C（0，1，0），设E（x，y，1），则0≤x≤1，0≤y≤1．∴，，∴＝．由二次函数的性质可得：当x＝y＝时，•取最小值为；当x＝0或x＝1，且y＝0或y＝1时，•取得最大值为1．∴•的取值范围是[，1]．故选：A．8．已知直线l1：x﹣y﹣1＝0绕与x轴交点旋转过程中始终与动直线l2：x﹣ay﹣2＝0垂直，当直线l1逆时针旋转75°时，则直线l2沿与向量共线的方向平移4个单位长度后的直线的方程为（）A．B．C．或D．或【分析】根据题意先求出l2的直线方程，再对直线进行平移即可．解：直线l1：x﹣y﹣1＝0的斜率k＝1，倾斜角为45°，将直线l1逆时针旋转75°，可得直线的倾斜角为45°+75°＝120°，所以旋转后直线的斜率k1＝tan120°＝﹣，因为旋转后的直线与直线l2：x﹣ay﹣2＝0垂直，所以﹣×＝﹣1，所以a＝，所以l2：x﹣y﹣2﹣0，因为||＝＝2，所以将直线l2沿与向量共线的方向平移4个单位长度后的直线的方程为（x+2）﹣（y+2）﹣2＝0或（x﹣2）﹣（y﹣2）﹣2＝0，即x﹣y﹣6＝0或x﹣y+2＝0；故选：D．二、多选题（本大题共4小题，每题5分，共20.0分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．）9．设直线l1：3x+2ay﹣5＝0，l2：（3a﹣1）x﹣ay﹣2＝0．若l1与l2平行，则a的值可以为（）A．﹣B．C．0D．6【分析】对a是否等于0分情况讨论，利用两直线平行的斜率关系即可求出a的值．解：①当a＝0时，直线l1：x＝，直线l2：x＝﹣2，此时两直线平行，符合题意．②当a≠0时，直线l1：y＝，直线l2：y＝，若l1与l2平行，则＝，解得：a＝﹣，综上所述，a＝0或﹣，故选：AC．10．对于直线l：x＝my+1，下列说法正确的是（）A．直线l恒过定点（1，0）B．直线l斜率必定存在C．m＝时，直线l的倾斜角为60°D．m＝2时，直线l与两坐标轴围成的三角形面积为【分析】由题意求出直线的斜率和倾斜角，求直线和坐标轴的交点坐标，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．解：对于直线l：x＝my+1，令y＝0，求得x＝1，可得它恒过定点（1，0），故A正确；当m＝0时，它的斜率不存在，故B错误；m＝时，直线l的斜率为＝，故它的倾斜角为30°，故C错误；m＝2时，直线l即x﹣2y﹣1＝0，它与坐标轴的交点为（1，0）、（0，﹣），故该直线与两坐标轴围成的三角形面积为×1×＝，故D正确，故选：AD．11．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中不正确的是（）A．B．BD⊥平面ACC1C．向量与的夹角是60°D．直线BD1与AC所成角的余弦值为【分析】直接在平行六面体中，利用向量的线性运算，向量的模，向量的夹角，向量的数量积，线面垂直和线线垂直之间的转换判断A、B、C、D的结论．解：在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，所以：，故：＝+2＝36+36+36+3×2×6×6×cos60°＝216；整理得：，故A错误；对于B：由于底面ABCD为菱形，所以AC⊥BD，由于，所以AC1⊥BD，故BD⊥平面ACC1，故B正确；对于C：由于，△AA1D为等边三角形，所以和的夹角为120°，故向量与的夹角是120°，故C错误；对于D：，，利用：，解得：，，由于，所以，故D正确．故选：AC．12．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点O在线段AC上移动，点M为棱BB1的中点，则下列结论中正确的有（）A．D1O∥平面A1BC1B．∠D1OM的大小可以为90°C．异面直线D1O与A1C1的距离为定值D．存在实数λ∈[0，1]，使得成立【分析】以D为坐标原点，建立空间直角坐标系D﹣xyz，如图所示，设正方体的棱长为2，通过求解，转化判断A的正误；通过证明OD1⊥平面MAC，判断B的正误；利用空间向量法求出异面直线的距离，从而判断C的正误，通过A，O，C三点共线，结合向量的模的关系，判断D的正误．解：以D为坐标原点，建立空间直角坐标系D﹣xyz，如图所示，设正方体的棱长为2，设O（x，2﹣x，0），0⩽x⩽2，D1（0，0，2），B（2，2，0），B1（2，2，2），所以．又DB1⊥平面A1BC1，所以平面A1BC1的法向量为．因为，所以OD1⊥DB1，所以D1O∥平面A1BC1，故A正确；对于B，当O为AC的中点时，O（1，1，0），M（2，2，1），A（2，0，0），C（0，2，0），所以，所以，，所以OD1⊥AC，OD1⊥AM，因为AC∩AM＝A，AC，AM⊂平面MAC，所以OD1⊥平面MAC，所以∠D1OM的大小可以为90°，故B正确；对于C，，设，所以，即，令a＝1，则b＝1，c＝1，所以，又，所以异面直线D1O与A1C1的距离，故C不正确，对于D，A，O，C三点共线，，，，所以，故D正确．故选：ABD．三、单空题（本大题共4小题，每小题5分，共20.0分）13．若三点P（1，1），A（2，﹣4），B（x，﹣9）共线，则x＝3．【分析】三点共线等价于以三点为起点终点的两个向量共线，利用向量坐标公式求出两个向量的坐标，利用向量共线的充要条件列出方程求出x．解：三点P（1，1），A（2，﹣4），B（x，﹣9）共线，，，⇒1×（﹣10）＝﹣5（x﹣1）⇒x＝3故答案为314．已知四点A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，1），P（1，1，1），则点P∉面ABC（填写“∈”或者“∉”中的一个）．【分析】设＝x+y，根据空间向量的坐标运算，可得关于x和y的方程组，解之即可．解：由题意知，＝（﹣1，1，0），＝（﹣1，0，1），＝（0，1，1），设＝x+y，则（0，1，1）＝（﹣x﹣y，x，y），即，该方程无解，所以点P∉面ABC．故答案为：∉．15．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝90°，AA1＝A1B1＝A1C1＝4，点E是棱CC1上一点，且，则异面直线A1B与AE所成角的余弦值为．【分析】以点A1为原点，建立如图所示的空间直角坐标系A1﹣xyz，求出两直线的方向向量，利用向量法求异面直线所成的角的余弦值．解：以点A1为原点，建立如图所示的空间直角坐标系A1﹣xyz，则A1（0，0，0），B（4，0，4），A（0，0，4），E（0，4，），则＝（4，0，4），＝（0，4，﹣），cos＜，＞＝＝﹣，所以异面直线A1B与AE所成角的余弦值为，故答案为：．16．m∈R，动直线l1：x+my﹣1＝0过定点A，动直线过定点B，若直线l1与l2相交于点P（异于点A，B），则△PAB周长的最大值为2+2．【分析】求出直线l1：x+my﹣1＝0过定点A的坐标和直线l2：mx﹣y﹣2m+＝0过定点B的坐标，l1与l2交于点P，根据两条直线的斜率不难发现有则有PA⊥PB，∴|PA|2+|PB|2＝|AB|2＝4．利用基本不等式的性质可得|PA|+|PB|的最大值，即可得到所求周长的最大值．解：直线l1：x+my﹣1＝0过定点A（1，0），直线l2：mx﹣y﹣2m+＝0即m（x﹣2）＝y﹣，可得过定点B（2，），由于1•m+m•（﹣1）＝0，则l1与l2始终垂直，P又是两条直线的交点，则有PA⊥PB，∴|PA|2+|PB|2＝|AB|2＝4．由a2+b2≥2ab可得2（a2+b2）≥（a+b）2，那么2（|PA|2+|PB|2）≥（|PA|+|PB|）2，即有|PA|+|PB|≤＝2，当且仅当|PA|＝|PB|＝时，上式取得等号，则△PAB周长的最大值为2+2．故答案为：2+2．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知直线l经过点P（1，2）．（1）求在两坐标轴上截距相等的直线l的方程；（2）求与第（1）问中斜率小于零的直线l距离等于的直线l1的方程．【分析】（1）直线l经过原点时，利用点斜式可得方程；直线l不经过原点时，可设方程为：x+y＝a，把点P（1，2）代入可得a．（2）第（1）问中斜率小于零的直线l为：x+y﹣3＝0．设要求的直线l1的方程为：x+y+m ＝0，利用平行线之间的距离公式即可得出．解：（1）直线l经过原点时，可得方程为：y＝2x；直线l不经过原点时，可设方程为：x+y＝a，把点P（1，2）代入可得：a＝1+2＝3，此时直线l的方程为：x+y﹣3＝0．综上可得直线l的方程为：y＝2x；或x+y﹣3＝0．（2）第（1）问中斜率小于零的直线l为：x+y﹣3＝0．设要求的直线l1的方程为：x+y+m＝0，则＝2，解得m＝1，或﹣7．∴要求的直线l1的方程为：x+y+1＝0，或x+y﹣7＝0．18．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，点E，F分别为棱CC1，AA1的中点．（1）求证：D1F∥平面BDE；（2）求直线D1F到平面BDE的距离．【分析】（1）取BB1的中点G，连接FG，C1G，先证明四边形C1D1FG为平行四边形，从而得到D1F∥C1G，由中位线定理以及平行公理可得，D1F∥BE，再利用线面平行的判定定理证明即可；（2）建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面BDE的法向量，又直线D1F到平面BDE的距离，即为点D1到平面BDE的距离，由点到平面距离的向量公式求解即可．解：（1）证明：取BB1的中点G，连接FG，C1G，因为A1B1∥C1D1，且A1B1＝C1D1，又A1B1∥FG，且A1B1＝FG，所以FG∥C1D1，且FG＝C1D1，故四边形C1D1FG为平行四边形，则D1F∥C1G，在矩形BCC1B1中，因为E，G分别为CC1，BB1的中点，所以BE∥C1G，所以D1F∥BE，又D1F⊄平面BDE，BE⊂平面BDE，故D1F∥平面BDE；（2）以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，则D（0，0，0），B（1，1，0），E（0，1，1），D1（0，0，2），所以，，设平面BDE的法向量为，则，即，令y＝﹣1，则x＝z＝1，故，由（1）可知，D1F∥平面BDE，所以直线D1F到平面BDE的距离即为点D1到平面BDE的距离，又点D1到平面BDE的距离为＝，所以直线D1F到平面BDE的距离为．19．已知圆C经过点A（1，0），点B（3，﹣2），且它的圆心在直线2x+y＝0上．（1）求圆C的标准方程；（2）若圆D与圆C关于直线x﹣y+1＝0对称，求圆D的标准方程．【分析】（1）先求得线段AB的垂直平分线方程，与2x+y＝0联立，求得圆心即可；（2）根据圆D与圆C关于直线x﹣y+1＝0对称，求得圆心C关于直线x﹣y+1＝0的对称点即可．解：（1）已知圆C经过点A（1，0），点B（3，﹣2），则线段AB的垂直平分线方程为：y+1＝x﹣2，即x﹣y﹣3＝0，又圆心在直线2x+y＝0上，联立，解得，所以其圆心为C（1，﹣2），R＝|AC|＝2，所以圆C的标准方程（x﹣1）2+（y+2）2＝4；（2）设圆D的圆心为D（x，y），因为圆D与圆C关于直线x﹣y+1＝0对称，所以，解得，所以圆D的标准方程是（x+3）2+（y﹣2）2＝4．20．在△ABC中，A（5，4），边AC上的高BE所在的直线方程为3x+4y﹣7＝0，边AB上的中线CM所在的直线方程为5x﹣2y﹣10＝0．（1）求点C坐标；（2）求直线BC的方程．【分析】（1）由边AC上的高BE所在的直线方程为3x+4y﹣7＝0，可设直线AC的方程为4x﹣3y+m＝0，把A（5，4）代入解得m．直线AC的方程与CM的方程联立即可得出C点的坐标．（2）设B（a，b），利用中点坐标公式可得M坐标，代入CM可得方程5×﹣2×﹣10＝0，把B坐标代入BE方程，联立即可得出．解：（1）由边AC上的高BE所在的直线方程为3x+4y﹣7＝0，可设直线AC的方程为4x﹣3y+m＝0，把A（5，4）代入可得：4×5﹣3×4+m＝0，解得m＝﹣8，∴直线AC的方程为4x﹣3y﹣8＝0，联立，解得C（2，0）．（2）设B（a，b），则5×﹣2×﹣10＝0，又3a+4b﹣7＝0，联立解得：a＝b＝1，∴B（1，1）．∴直线BC的方程为：y﹣0＝（x﹣2），化为：x+y﹣2＝0．21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AC∩BD＝O，底面ABCD为菱形，边长为2，PO⊥CD，PA＝PC，且∠ABC＝60°．（1）求证：PO⊥平面ABCD；（2）当异面直线PB与CD所成的角为60°时，在线段CP上是否存在点M，使得直线OM与平面PCD所成角的正弦值等于？若存在，请求出线段CM的长，若不存在，请说明理由．【分析】（1）只要证明PO垂直于平面ABCD中两相交直线AC和CD即可；（2）用向量数量积计算直线与平面成角的正弦值，列方程求解．【解答】（1）证明：因为ABCD为菱形，所以O为AC中点，又因为PA＝PC，所以PO⊥AC，又因为PO⊥CD，AC∩CD＝C，所以PO⊥平面ABCD．（2）解：因为ABCD为菱形，所以BD⊥AC，由（1）知OC、OD、OP两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，B（0，﹣，0），C（1，0，0），D（0，，0），设P（0，0，t），t＞0，＝（0，，t），＝（﹣1，，0），因为异面直线PB与CD所成的角为60°，所以＝，解得t ＝，所以P（0，0，），PC＝＝，设，λ∈[0，1]，则M（λ，0，﹣），＝（λ，0，﹣），＝（﹣1，0，），设平面PCD的法向量为＝（x，y，z），，令z＝1，＝（，，1），直线OM与平面PCD所成角的正弦值为＝，要使直线OM与平面PCD所成角的正弦值等于，只要＝，解得，所以CM＝PC﹣PM＝PC﹣λPC＝（1﹣λ）PC＝＝．22．在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2．点E，F分别在AB，CD上，且AE＝2，CF＝1．沿EF将四边形AEFD翻折至四边形A'EFD'，使平面A'EFD'与平面BCFE垂直，若在线段EB上有动点H．（1）从以下两个条件中任选一个作为已知条件_____，以确定点的位置，①若四点A'，D'，C，H共面，②若三棱锥A'﹣EFH的体积是三棱锥C﹣A'EF体积的；（2）在第（1）问基础上，在线段A'D'上有一动点P，设二面角P﹣HF﹣E的平面角为θ，求cosθ的最大值．【分析】（1）选①，过点C作CM⊥平面BCFE，因为四边形ABCD是矩形，所以BC ⊥CF，因为四点A'，D'，C，H共面，所以存在一对实数λ，μ使＝λ+μ，设BH＝x，用坐标表示向量可求得x的值，选②，三棱锥A'﹣EFH的体积是三棱锥C﹣A'EF体积的，设BH＝x，表示体积可求得x的值；（2）设，表示出两平面的法向量，利用向量法求出两平面所成角的余弦值的绝对值，可求得余弦值的最大值，解：选①，（1）过点C作CM⊥平面BCFE，因为四边形ABCD是矩形，所以BC⊥CF，以C为原点，CF，CB，CM分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则B（0，2，0），C（0，0，0），A′（，，），D'（，，），设H（x，2，0），所以＝（x，2，0），＝（，，），＝（，，），因为四点A'，D'，C，H共面，所以存在一对实数λ，μ使＝λ+μ，所以（x，2，0）＝λ（，，）+μ（，，），则（x，2，0）＝（λ，λ，λ）+（μ，μ，μ）＝（λ+μ，λ+μ，λ+μ），解得x＝，当HB＝时，四点A'，D'，C，H共面，选②，点A'到面BCFE的距离为，设BH＝x，则S△EHF＝×（2﹣x）×2＝2﹣x；因为三棱锥A'﹣EFH的体积是三棱锥C﹣A'EF体积的，所以×（2﹣x）×＝×S△CEF××，所以2﹣x＝，解得x＝，（2）由（1）知A′（，，），D'（，，），H（，2，0），E （2，2，0），F（1，0，0）设＝（﹣，﹣，λ），所以点P（﹣+，﹣+，λ+），所以＝（﹣，﹣2，0），＝（﹣+﹣，﹣+﹣2，λ+），设平面HPF的一个法向量为＝（x，y，z），，令x＝6，则y＝﹣1，z＝，所以平面HPF的一个法向量为＝（6，﹣1，），因CM⊥平面BCFE，所以平面BCFE的一个法向量为＝（0，0，1）所以cosθ＝＝＝，所以当λ＝0时，cosθ的值最大，且cosθ＝，故答案为：．。
中职数学 2023-2024学年四川省广元市职业高级中学高三(上)月考数学试卷(12月份)
2023-2024学年四川省广元市职业高级中学高三（上）月考数学试卷（12月份一、选择题：（本大题共15小题，每小题4分，共计60分）A ．4B ．-4C ．1D ．-11．（4分）已知f （x ）是定义在R 上的奇函数，满足f （x +2）=f （x -2）且f （-1）=1，则f （2021）=（ ）A ．y =2x +1B ．y =-C ．y =x 3D ．y =x 22．（4分）下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（ ）1x A ．{x |x ≥-1且x ≠1}B ．{x |x ≠1}C ．{x |x ≠-1}D ．{x |x >-1且x ≠1}3．（4分）函数f （x ）=（x -1+的定义域是（ ））0M 2x +1A ．8B ．10C ．6D ．124．（4分）若函数f （x ）=则f （f （3））的值为（ ）{-，x ＞0-3x +2，x ≤04x A ．R B ．[-1，+∞）C ．（-∞，0）∪（0，+∞）D ．[-1，0）∪（0，+∞）5．（4分）函数f （x ）=-的定义域是（ ）M x +11x A ．b >c >a B ．c >a >b C ．b >a >cD ．a >c >b6．（4分）已知a =，b =lo ，c =，则（ ）（）32-0.6g 1314（）230.97．（4分）函数f （x ）=的图象大致为（ ）-1x 2|x |A ．B．C．D．A ．f （x ）在（0，+∞）上为增函数B ．方程f （x ）=4的实根为±2C ．f （x ）的值域为（0，1）D ．f （x ）为偶函数8．（4分）若幂函数f （x ）的图象经过点（，），则下列判断正确的是（ ）M 212A ．1B ．2C ．D ．9．（4分）设函数f （x ）=，若f （3）=a ,则f （a -2）=（ ）{lo x ,（x ＞0），（x ≤0）g 22x 3443A ．B ．C ．D ．10．（4分）y =|-x 2+1|+2向左、向下分别平移2个、3个单位长度，所得图像为（ ）A ．f （3）<f （-2）<f （1）B ．f （1）<f （-2）<f （3）C ．f （3）<f （1）<f （-2）D ．f （-2）<f （1）<f （3）11．（4分）定义在R 上的偶函数f （x ）满足：对任意的x 1，x 2∈[0，+∞），x 1≠x 2，有（x 2-x 1）[f （x 2）-f （x 1）]<0（ ）A ．{a |-4≤a ≤4}B ．{a |-4<a <4}C ．{a |a ≤-4或a ≥4}D ．{a |a <-4或a >4}12．（4分）若不等式x 2+ax +4<0的解集为空集，则a 的取值范围是（ ）13．（4分）不等式ax 2-bx +c >0的解集为{x |-2<x <1}，则函数y =ax 2+bx +c 的图像大致为（ ）二、填空题：（本大题共5小题，每小题4分，共20分）三、解答题：（本大题共6小题，共70分）A．B．C．D．A．{x|0＜x＜}B．{x|-＜x≤0}C．{x|-＜x＜0或0≤x＜}D．{x|x＜-或0≤x＜}14．（4分）已知y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x>0时，f（x）=x-2，那么不等式f（x）＜的解集是（）12523232523252A．a<-2或a>2B．a>2C．-2<a<2D．a<215．（4分）已知函数f（x）=，若存在x1，x2∈R，x1≠x2，使得f（x1）=f（x2）成立，则实数a的取值范（）{-+ax,x≤1ax-1，x＞1x216．（4分）已知f（x）+2f（-x）=x2+x,则f（x）=．17．（4分）若函数f（）=x-1，则f（x）=．M x+118．（4分）已知函数y=f（x）是R上的奇函数，∀x∈R，都有f（2-x）=f（x）+f（2）成立，则f（2）+f（3）+…+f 2）=．19．（4分）已知函数f（x）的定义域为[-2，2]，则函数g（x）=f（2x）+的定义域为．M1-2x20．（4分）已知奇函数f（x）在（0，+∞）上的解析式为f（x）=x-1，则f（x）在（-∞，0）上的解析式为．21．（10分）已知函数f（x）=．（1）判断并证明函数f（x）的奇偶性；（2）判断当x∈（-1，1）时函数f（x）的单调性，并用定义证明；x+1x222．（10分）已知函数f （x ）=x +的图像过点（1，3）．（1）求实数m 的值；（2）判断函数的奇偶性并证明．m x23．（10分）已知函数f （x ）=，x ∈（0，+∞）．（1）判断函数f （x ）的单调性，并利用定义证明；（2）若f （2m -1）>f （1-m ），求实数m 的取值范围．2x x +124．（10分）已知f （x ）=．（1）求f （），f （f （6）的值；（2）求满足f （a ）=6的实数a 的值；（3）求y =f （x ）的定义域和值域．{-2x +3，x ≤2-x +5，2＜x ＜10x 21225．（15分）已知函数f （x ）=2x +．（1）试判断函数f （x ）在区间（0，1]上的单调性，并用函数单调性定义证明；（2）若∃x ∈（0，1]，使f （x ）<2+m 成立，求实数m 的范围．1x 226．（15分）已知二次函数y =f （x ），f （0）=f （8）=0，f （4）=16．（1）求函数y =f （x ）的解析式；（2）求函数f （x ）在区间[t ,t +2]的最大值h （t ）．。
2021-2022学年重庆一中八年级(上)第一次月考数学试卷(10月份)(解析版)
2021-2022学年重庆一中八年级第一学期第一次月考数学试卷（10月份）一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）.1．9的相反数是（）A．B．﹣C．9D．﹣92．下列电视台标志中是轴对称图形的是（）A．B．C．D．3．估计（2+）÷的值应在（）之间．A．7和8B．8和9C．9和10D．10和114．下列事件中确定事件是（）A．掷一枚均匀的硬币，正面朝上B．买一注福利彩票一定会中奖C．把4个球放入三个抽屉中，其中一个抽屉中至少有2个球D．掷一枚六个面分别标有1，2，3，4，5，6的均匀正方体骰子，骰子停止转动后奇数点朝上5．下列计算正确的是（）A．＝3B．×＝C．＝8a3b3D．6．下列几组数据中不能作为直角三角形三边长的是（）A．0.5、1.2、1.3B．、3、2C．9、40、41D．32、42、527．《九章算术》中有一道题的条件是：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛．”大致意思是：有大小两种盛米的桶，5大桶加1小桶共盛3斛米，1大桶加5小桶共盛2斛米，依据该条件，若设1个大桶可以盛米x斛，1个小桶可以盛米y斛，则可列方程组为（）A．B．C．D．8．下列说法中正确的有（）个．①（﹣1，﹣x2）位于第三象限；②的平方根是3；③若x+y＝0，则点P（x，y）在第二、四象限角平分线上；④点A（2，a）和点B（b，﹣3）关于x轴对称，则a+b的值为5；⑤点N（1，n）到x轴的距离为n．A．1B．2C．3D．49．如图，在平面直角坐标系上有个点P（1，0），点P第1次向上跳动1个单位至点P1（1，1），紧接着第2次向左跳动2个单位至点P2（﹣1，1），第3次向上跳动1个单位，第4次向右跳动3个单位，第5次又向上跳动1个单位，第6次向左跳动4个单位，…，依此规律跳动下去，点P第100次跳动至点P100的坐标是（）A．（100，50）B．（50，50）C．（25，50）D．（26，50）10．如图，在边长为7的正方形ABCD中，E为BC边上一点，F为AD边上一点，连接AE、EF，将△ABE沿EF折叠，使点A恰好落在CD边上的A′处，若A′D＝2，则B′E 的长度为（）A．B．C．D．211．某客运公司的特快巴士与普通巴士同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，普通巴士到达乙地后停止行驶，特快巴士到达乙地后，停留30分钟，然后按原路以另一速度匀速返回甲地，已知两辆巴士分别距乙地的路程y（千米）与行驶时间x（小时）之间的图象如图所示，则下列说法错误的是（）A．普通巴士的速度是60km/hB．特快巴士返回甲地时的速度为80km/hC．行驶过程中，特快巴士与普通巴士的相遇时间为4小时D．普通巴士到达乙地时，特快巴士与甲地之间的距离为185千米12．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°且CA＝CB，D为△ABC外一点，连接AD，过D作DE⊥DA交BC于点E，F为DE上一点且DF＝DA，连接BF，CD．将线段CD绕点C 逆时针旋转90°到线段CG，连接DG分别交BF、BA于点M、N，连接BG、CF．下列结论：①BM＝FM；②CG＝DM；③∠BCG＞AND；④CF+AD＞DG；⑤若BG＝2，BC＝，CF＝，则S四边形ADFC＝2+．其中正确的个数为（）A．2个B．3个C．4个D．5个二、填空题：（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）请将每小题的正确答案直接填在答题卡中对应的横线上.13．（﹣1）2021+（3﹣π）0＝．14．新冠疫情爆发至今全球各个国家受到不同程度的影响，印度作为受疫情影响较严重的国家，已有累计确诊病例约3300万，数据3300万用科学记数法可表示为．15．若代数式有意义，则x的取值范围是．16．已知是关于x，y的二元一次方程组的解，则m+2n的值为．17．在一只不透明的口袋中放入只有颜色不同的白球6个，黑球4个，黄球n个，搅匀后随机从中摸取一个恰好是黄球的概率为，则放入的黄球总数n＝．18．如图，长方体中，AB＝6m，BC＝4m，BE＝2m，一只蚂蚁从点A出发沿长方体表面爬行到点F，至少需要爬行米．19．国庆期间，小艾同学和小一同学相约在某小区门口一同出发，各自骑自行车前往距离2000米的欢乐谷游玩，出发后不久，小艾突感身体不适，于是在路旁休息了4分钟后再次出发，以1.2倍之前的速度冲向终点，小一同学则在到达终点之后立即原路原速返回迎接小艾同学，最终陪同小艾同学骑完了全程．在整个骑行过程中，变速前后小艾同学、小一同学两人均保持匀速，且途中掉头时间忽略不计，小艾同学、小一同学两人相距的路程y（米）与出发的时间x（秒）之间的关系如图所示．则第二次相遇时，小艾、小一两位同学距离终点米．20．开学伊始，各校新生都组织了军训，某校军训汇演的场地为一块长方形地块，某班准备学生在场地内站成行距、列距均为1m的方阵，场地边缘不站人，且最靠边的行、列距离边缘都是1m．但后来发现这样安排只能刚好站下参加汇演的所有女性，就决定男生站在边缘一圈的位置，且行、列与女生对齐，发现刚好占满所有可以站人的位置．汇演时男生挥舞彩旗，女性摇动啦啦球，采购彩旗和啦啦球时发现啦啦球的单价是彩旗的4倍，而啦啦球的总价是彩旗总价的 4.8倍．如果场地面积不超过60m2．那么场地的面积为．三、解答题：（本大题共7个小题，其中22、24题各8分，21、23、25-27题各10分，共66分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.21．（1）﹣（）（2+）；（2）解方程组：．22．已知：在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC交AC于D．（1）尺规作图：作线段BC的垂直平分线交BD于O，交BC于E，连接CO；（2）若∠BAC＝56°，求∠DOC的度数．23．先化简，再求值：[（3a+2b）（a﹣b）﹣（2a+b）（2a﹣b）+b（2a+b）]÷（a），其中+b2+2b+1＝0．24．为选拔同学参加全市组织的青少年科学知识竞赛，重庆一中在全校进行了“请党放心，强国有我”科学知识竞赛，并对八年级（3）班全体同学本次知识竞赛成绩进行了统计，我们将成绩分为A、B、C、D、E五类，制成了如下不完整的条形统计图和扇形统计图（如图所示）．请你根据统计图中的信息，解答下列问题：（1）八年级（3）班学生总人数是人；在扇形统计图中，a的值是；（2）若八年级（3）班得C等级的同学人数是得E等级的同学人数的4倍，请将条形统计图补充完整；（3）若等级为A表示优秀，等级为B表示良好，等级为C表示合格，等级为D表示不合格，等级为E表示差，根据本次统计结果，估计全校2000名学生中知识竞赛成绩在合格及以上的学生大约有多少人？25．体育与健康是学校素质教育的重要组成部分，为了活跃校园气氛，增强学生的集体观念，培养学生团队合作的精神．某学校将于11月份举办学生趣味运动会，计划用7380元购买足球和篮球共43个，分别作为运动会团体一、二等奖的奖品．已知足球的单价为180元，篮球的单价为160元．（1）学校计划购买足球和篮球各多少个？（列二元一次方程组解决该问题）（2）某老师按计划到商场购买足球和篮球时，正好赶上商场对商品价格进行调整，足球单价下降了a%，篮球单价上涨了a%，最终经费比计划节省了774元，求a的值．26．如图，在平面直角坐标系内，点B是x轴上的点，点A是y轴上的点，将△AOB沿直线AB翻折使点O落在C点处，过C点作CD⊥y轴交y轴于点D，已知C（4，8）．（1）直接写出A、B两点的坐标；（2）若在x轴上存在某点N，使得以A、B、C．N四点为顶点的四边形面积为40，求N 点的坐标；（3）若P点是y轴上一动点，当△PAB为等腰三角形时，请直接写出点P的坐标．27．任意一个四位正整数，如果它的千位数字与百位数字的和是7，十位数字与个位数字的和为8，那么我们把这样的数称为“七上八下数”．例如：3453 的千位数字与百位数字的和为：3+4＝7，十位数字与个位数字的和为：5+3＝8，所以3453是一个七上八下数”：3452的十位数字与个位数字的和为：5+2≠8，所以3452不是一个“七上八下数”．（1）判断2571和4425是不是“七上八下数”？并说明理由；（2）若对于一个七上八下数m，交换其百位数字和十位数字得到新数m'，并且定义F （m）＝，若F（m）与m个位数字的135倍的和刚好为一个正整数的平方，求出满足条件的所有“七上八下数”m，并说明理由．四、解答题：（本题共12分）解答时必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.28．如图，在△ABC中，∠A＝45°．（1）如图1，若AC＝6，BC＝2，求△ABC的面积；（2）如图2，D为△ABC外的一点，连接CD，BD且CD＝CB，∠ABD＝∠BCD．过点C作CE⊥AC交AB的延长线于点E．求证：BD+2AB＝AC；（3）如图3，在（2）的条件下，作AP平分∠CAE交CE于点P，过E点作EM⊥AP交AP的延长线于点M，点K为直线AC上的一个动点，连接MK，过M点作MK'⊥MK，且始终满足MK'＝MK，连接AK'，若AC＝4，请直接写出AK'+MK'取得最小值时（AK'+MK′）2的值．参考答案一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个选项，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号在答题卡中对应的方框涂黑.1．9的相反数是（）A．B．﹣C．9D．﹣9【分析】根据相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数可得答案．解：9的相反数是﹣9，故选：D．2．下列电视台标志中是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形的概念判断即可．解：A、是轴对称图形，本选项符合题意；B、不是轴对称图形，本选项不符合题意；C、不是轴对称图形，本选项不符合题意；D、不是轴对称图形，本选项不符合题意；故选：A．3．估计（2+）÷的值应在（）之间．A．7和8B．8和9C．9和10D．10和11【分析】先化简原式，估算出的范围，再求出2+2的范围，即可得出选项．解：原式＝2+2，∵9＜15＜16，∴3＜＜4，∵3.82＝14.44，3.92＝15.21，∴3.8＜＜4，∴7.6＜2＜8，∴9.6＜2+2＜10，∴（2+）÷的值应在9和10之间．故选：C．4．下列事件中确定事件是（）A．掷一枚均匀的硬币，正面朝上B．买一注福利彩票一定会中奖C．把4个球放入三个抽屉中，其中一个抽屉中至少有2个球D．掷一枚六个面分别标有1，2，3，4，5，6的均匀正方体骰子，骰子停止转动后奇数点朝上【分析】确定事件包括必然事件和不可能事件．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．解：A、掷一枚均匀的硬币，正面朝上是随机事件；B、买一注福利彩票一定会中奖是随机事件；C、把4个球放入三个抽屉中，其中一个抽屉中至少有2个球是必然事件，即确定事件；D、掷一枚六个面分别标有1，2，3，4，5，6的均匀正方体骰子，骰子停止转动后奇数点朝上是随机事件．故选：C．5．下列计算正确的是（）A．＝3B．×＝C．＝8a3b3D．【分析】直接利用二次根式的性质以及积的乘方运算法则和二次根式的加减运算法则分别化简得出答案．解：A．无法化简，故此选项不合题意；B．×＝＝，故此选项符合题意；C．（ab）3＝2a3b3，故此选项不合题意；D．+无法计算，故此选项不合题意；故选：B．6．下列几组数据中不能作为直角三角形三边长的是（）A．0.5、1.2、1.3B．、3、2C．9、40、41D．32、42、52【分析】根据如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形进行分析即可．解：A、0.52+1.22＝1.32，能组成直角三角形，故此选项不合题意；B、22+32＝（）2，能组成直角三角形，故此选项不合题意；C、92+402＝412，能组成直角三角形，故此选项不合题意；D、∵32＝9，42＝16，52＝25，9+16＝25，不能组成三角形，更不能组成直角三角形，故此选项符合题意．故选：D．7．《九章算术》中有一道题的条件是：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛．”大致意思是：有大小两种盛米的桶，5大桶加1小桶共盛3斛米，1大桶加5小桶共盛2斛米，依据该条件，若设1个大桶可以盛米x斛，1个小桶可以盛米y斛，则可列方程组为（）A．B．C．D．【分析】直接利用5个大桶加上1个小桶可以盛米3斛，1个大桶加上5个小桶可以盛米2斛，分别得出等式组成方程组求出答案．解：设1个大桶可以盛米x斛，1个小桶可以盛米y斛，则，故选：A．8．下列说法中正确的有（）个．①（﹣1，﹣x2）位于第三象限；②的平方根是3；③若x+y＝0，则点P（x，y）在第二、四象限角平分线上；④点A（2，a）和点B（b，﹣3）关于x轴对称，则a+b的值为5；⑤点N（1，n）到x轴的距离为n．A．1B．2C．3D．4【分析】①根据平面直角坐标系中的点的坐标特点判断即可；②根据平方根的定义判断即可；③根据第二、四象限角平分线上的点的横坐标与纵坐标的和等于0判断即可；④直接利用关于x轴对称点的性质（横坐标不变，纵坐标互为相反数）得出a，b的值，进而得出答案；⑤根据点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值判断即可．解：当x＝0时，（﹣1，﹣x2）位于x轴上，故①说法错误；的平方根是±3，故②说法错误；若x+y＝0，则点P（x，y）在第二、四象限角平分线上，故③说法正确；∵点A（2，a）与点B（b，﹣3）关于x轴对称，∴a＝3，b＝2，∴a+b的值是：3+2＝5．故④说法正确；⑤点N（1，n）到x轴的距离为|n|．故⑤说法错误；说法中正确的有②，共2个．故选：B．9．如图，在平面直角坐标系上有个点P（1，0），点P第1次向上跳动1个单位至点P1（1，1），紧接着第2次向左跳动2个单位至点P2（﹣1，1），第3次向上跳动1个单位，第4次向右跳动3个单位，第5次又向上跳动1个单位，第6次向左跳动4个单位，…，依此规律跳动下去，点P第100次跳动至点P100的坐标是（）A．（100，50）B．（50，50）C．（25，50）D．（26，50）【分析】根据题意，以奇数开头的相邻两个坐标的纵坐标是相同的，所以第100次跳动后，纵坐标为100÷2＝50；其中4的倍数的跳动都在y轴的右侧，那么第100次跳动得到的横坐标也在y轴右侧．P1横坐标为1，P4横坐标为2，P8横坐标为3，依此类推可得到P100的横坐标．解：经过观察可得：P1和P2的纵坐标均为1，P3和P4的纵坐标均为2，P5和P6的纵坐标均为3，因此可以推知P99和P100的纵坐标均为100÷2＝50；其中4的倍数的跳动都在y轴的右侧，那么第100次跳动得到的横坐标也在y轴右侧．P1横坐标为1，P4横坐标为2，P8横坐标为3，依此类推可得到：P n的横坐标为n÷4+1（n 是4的倍数）．故点P100的横坐标为：100÷4+1＝26，纵坐标为：100÷2＝50，点P第100次跳动至点P100的坐标是（26，50）．故选：D．10．如图，在边长为7的正方形ABCD中，E为BC边上一点，F为AD边上一点，连接AE、EF，将△ABE沿EF折叠，使点A恰好落在CD边上的A′处，若A′D＝2，则B′E 的长度为（）A．B．C．D．2【分析】由正方形的性质和折叠的性质可得AB＝BC＝CD＝7，∠B＝∠C＝90°，A'C＝CD﹣A'D＝5，AE＝AE'，BE＝B'E，由勾股定理可求B'E的长度．解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝7，∠B＝∠C＝90°，∴A'C＝CD﹣A'D＝5，∵△ABE沿EF折叠，使点A恰好落在CD边上的A′处，∴AE＝A'E，BE＝B'E，在Rt△ABE中，AE2＝AB2+BE2，在Rt△A'CE中，A'E2＝A'C2+EC2，∴49+BE2＝25+（7﹣BE）2，∴BE＝＝B'E，故选：C．11．某客运公司的特快巴士与普通巴士同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，普通巴士到达乙地后停止行驶，特快巴士到达乙地后，停留30分钟，然后按原路以另一速度匀速返回甲地，已知两辆巴士分别距乙地的路程y（千米）与行驶时间x（小时）之间的图象如图所示，则下列说法错误的是（）A．普通巴士的速度是60km/hB．特快巴士返回甲地时的速度为80km/hC．行驶过程中，特快巴士与普通巴士的相遇时间为4小时D．普通巴士到达乙地时，特快巴士与甲地之间的距离为185千米【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以先计算出普通巴士的速度，从而可以判断A；再计算出特快巴士的速度，从而判断B；然后根据图象中的时间，可以计算出行驶过程中，特快巴士与普通巴士的相遇时间，从而可以判断C，再计算出普通巴士到达乙地时，特快巴士与甲地之间的距离，即可判断D．解：由图象可得，普通巴士的速度是：（300﹣120）÷3＝60（km/h），故选项A不符合题意；特快巴士返回甲地时的速度为：300÷（7﹣3﹣）＝80（km/h），故选项B不符合题意；设行驶过程中，特快巴士与普通巴士的相遇时间为a小时，60a+80（a﹣3﹣）＝300，解得a＝4，故选项C不符合题意；普通巴士到达乙地时用的时间为：300÷60＝5（小时），∴普通巴士到达乙地时，特快巴士与甲地之间的距离为：80×（7﹣5）＝180（千米），故选项D符合题意；故选：D．12．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°且CA＝CB，D为△ABC外一点，连接AD，过D作DE⊥DA交BC于点E，F为DE上一点且DF＝DA，连接BF，CD．将线段CD绕点C 逆时针旋转90°到线段CG，连接DG分别交BF、BA于点M、N，连接BG、CF．下列结论：①BM＝FM；②CG＝DM；③∠BCG＞AND；④CF+AD＞DG；⑤若BG＝2，BC＝，CF＝，则S四边形ADFC＝2+．其中正确的个数为（）A．2个B．3个C．4个D．5个【分析】先证明△BCG≌△ACD，得到对应边，对应角相等，依次得出①正确和③错误，由等腰直角三角形的性质和勾股定理得出②正确，由三角形的三边关系得出④正确，利用勾股定理逆定理和三角形的面积计算公式即可判定⑤正确，从而得出结论．解：连接AF，∵∠ACB＝90°，∠GCD＝90°，∴∠7＝∠5，又∵CA＝CB且CD＝CG，∴△BCG≌△ACD（SAS），∴BG＝AD，∠2＝∠CAD，∴BG＝AD＝DF，∵∠ADE＝90°，∴∠CAD+∠CED＝360°﹣∠ACB﹣∠ADE＝180°，∴∠CAD＝∠1，∴∠1＝∠2，∴∠3＝∠1+∠4＝∠2+∠4＝∠GBM，又∵∠DMF＝∠GMB，BG＝DF，∴△DMF≌△GMB（AAS），∴GM＝DM，BM＝FM，故①正确；∵CD2+CG2＝DG2，∴2CG2＝（2DM）2，CD＝，∴，故②正确；∵CF+AD＝CF+DF＞CD，即CF+AD＞，故④正确；∵∠CAN＝∠CDN＝45°，∠8＝∠NDC+∠6，∠8＝∠NAC+∠5，∴∠5＝∠6，∴∠7＝∠6，故③错误；如图，连接AF，若BG＝2，BC＝，CF＝，∴BG＝AD＝DF＝2，∴AF2＝AD2+DF2＝8，即AF＝2，∴AF2+CF2＝BC2＝AC2，∴AF⊥CF，∴S四边形ADFC＝S△ADF+S△AFC＝＝2+，故⑤正确，∴正确的个数为4个，故选：C．二、填空题：（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）请将每小题的正确答案直接填在答题卡中对应的横线上.13．（﹣1）2021+（3﹣π）0＝0．【分析】直接利用有理数的乘方运算法则、零指数幂的性质分别化简，再利用有理数的加减运算法则计算得出答案．解：原式＝﹣1+1＝0．故答案为：0．14．新冠疫情爆发至今全球各个国家受到不同程度的影响，印度作为受疫情影响较严重的国家，已有累计确诊病例约3300万，数据3300万用科学记数法可表示为 3.3×107．【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．解：3300万＝33000000＝3.3×107．故答案为：3.3×107．15．若代数式有意义，则x的取值范围是x＞﹣4．【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．解：由题意得：x+4＞0，解得：x＞﹣4，故答案为：x＞﹣4．16．已知是关于x，y的二元一次方程组的解，则m+2n的值为7．【分析】根据二元一次方程的解的定义解决此题．解：由题得：﹣3+2n＝8，﹣m﹣2＝2．∴m＝﹣4，n＝．∴m+2n＝﹣4+2×＝﹣4+11＝7．故答案为：7．17．在一只不透明的口袋中放入只有颜色不同的白球6个，黑球4个，黄球n个，搅匀后随机从中摸取一个恰好是黄球的概率为，则放入的黄球总数n＝5．【分析】根据口袋中装有白球6个，黑球4个，黄球n个，故球的总个数为6+4+n，再根据黄球的概率公式列式解答即可．解：∵口袋中装有白球6个，黑球4个，黄球n个，∴球的总个数为6+4+n，∵从中随机摸出一个球，摸到黄球的概率为，∴＝，解得，n＝5．经检验，n＝5是分式方程的解．故答案为：5．18．如图，长方体中，AB＝6m，BC＝4m，BE＝2m，一只蚂蚁从点A出发沿长方体表面爬行到点F，至少需要爬行6米．【分析】蚂蚁经过两个面有三种爬行路线，分别将其展开成长方形，利用勾股定理求其对角线即可．解：如图，若从前面再到上面可得：AF＝＝6，如图，若从前面再到右面可得：AF＝＝4，如图，若从左面再到上面可得：AF＝＝2，∵6＜4，∴蚂蚁从点A出发沿长方体表面爬行到点F，至少需要爬行6米，故答案为：6．19．国庆期间，小艾同学和小一同学相约在某小区门口一同出发，各自骑自行车前往距离2000米的欢乐谷游玩，出发后不久，小艾突感身体不适，于是在路旁休息了4分钟后再次出发，以1.2倍之前的速度冲向终点，小一同学则在到达终点之后立即原路原速返回迎接小艾同学，最终陪同小艾同学骑完了全程．在整个骑行过程中，变速前后小艾同学、小一同学两人均保持匀速，且途中掉头时间忽略不计，小艾同学、小一同学两人相距的路程y（米）与出发的时间x（秒）之间的关系如图所示．则第二次相遇时，小艾、小一两位同学距离终点204米．【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以先计算出小一的速度，然后即可计算出小艾开始的速度和后来的速度，再根据小艾突感身体不适，于是在路旁休息了4分钟后再次出发，可以求得当小一到达终点时小艾走的路程，然后即可求得他们第二次相遇时，小一从终点到他们相遇的时间，此时小一从终点到他们相遇走的路程就是小艾、小一两位同学距离终点的距离．解：由图象可得，小一在第500秒到达终点，故小一的速度为：2000÷500＝4（米/秒），前70秒，小艾比小一多走70米，故小艾开始的速度为：4+70÷70＝4+1＝5（米/秒），后来的速度为：5×1.2＝6（米/秒），当小一到达终点时，小艾走的路程为：70×5+（500﹣70﹣4×60）×6＝1490（米），小一从终点返回到与小艾相遇用的时间为：（2000﹣1490）÷（4+6）＝51（秒），故第二次相遇时，小艾、小一两位同学距离终点：4×51＝204（米），故答案为：204．20．开学伊始，各校新生都组织了军训，某校军训汇演的场地为一块长方形地块，某班准备学生在场地内站成行距、列距均为1m的方阵，场地边缘不站人，且最靠边的行、列距离边缘都是1m．但后来发现这样安排只能刚好站下参加汇演的所有女性，就决定男生站在边缘一圈的位置，且行、列与女生对齐，发现刚好占满所有可以站人的位置．汇演时男生挥舞彩旗，女性摇动啦啦球，采购彩旗和啦啦球时发现啦啦球的单价是彩旗的4倍，而啦啦球的总价是彩旗总价的 4.8倍．如果场地面积不超过60m2．那么场地的面积为33m2或50m2．【分析】先设出相应未知数，再根据题意列出方程，利用实际问题的限制要求，得到a 和＞的取值范围，在范围内判断求解即可．解：设长方形地块的长为am，宽为bm，彩旗的单价为x元/个；由题意可知女生占地的长为（a﹣2）m，宽为（b﹣2）m，由间隔均为1m，可得女生人数为（a﹣2+1）（b﹣2+1），即为（ab﹣a﹣b+1）人，由于男生站在边缘一圈的位置，且行、列与女生对齐，发现刚好占满所有可以站人的位置，所以男生人数为2（a+I）+2（b﹣1），即为（2a+2b）人；∵采购彩旗和啦啦球时发现啦啦球的单价是彩旗的4倍，而啦啦球的总价是彩旗总价的4.8倍，∴4.8（2a+2b）x＝4（ab﹣a﹣b+1）x，化简得：ab+1＝（a+b），∵长方形地块学生横纵间距都是1m，且刚好站满，a和b都是正整数，且a≥3，b≥3，∴ab≤60且（a+b）为5的整数倍，∴a+b＝10或a+b＝15，∴ab＝33或ab＝50．故答案为：33m2或50m2．三、解答题：（本大题共7个小题，其中22、24题各8分，21、23、25-27题各10分，共66分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.21．（1）﹣（）（2+）；（2）解方程组：．【分析】（1）利用完全平方公式和平方差公式计算；（2）利用加减消元法解方程组．解：（1）原式＝18﹣6+1﹣×（﹣）（+）＝19﹣6﹣×（2﹣3）＝19﹣6+＝19﹣5；（2），①×5+②得15x+2x＝25+26，解得x＝3，把x＝3代入①得9﹣y＝5，解得y＝4，∴方程组的解为．22．已知：在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC交AC于D．（1）尺规作图：作线段BC的垂直平分线交BD于O，交BC于E，连接CO；（2）若∠BAC＝56°，求∠DOC的度数．【分析】（1）利用基本作图作BC的垂直平分线；（2）根据线段垂直平分线的性质得到点A、O、E共线，OB＝OC，再利用等腰三角形的性质和等腰三角形的性质得∠ABC＝∠ACB＝62°，接着利用互余计算出∠DBC＝28°，然后根据等腰三角形的性质和三角形外角性质计算∠DOC的度数．解：（1）如图，点O、E为所作；（2）∵AB＝AC，OE垂直平分BC，∴点A、O、E共线，OB＝OC，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣∠BAC）＝（180°﹣56°）＝62°，∵BD⊥AC，∴∠ODC＝90°，∴∠DBC＝90°﹣62°＝28°，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB＝28°，∴∠DOC＝∠OBC+∠OCB＝56°．23．先化简，再求值：[（3a+2b）（a﹣b）﹣（2a+b）（2a﹣b）+b（2a+b）]÷（a），其中+b2+2b+1＝0．【分析】直接利用乘法公式以及多项式乘多项式、单项式乘多项式运算法则分别化简，再利用整式的除法运算法则计算，结合非负数的性质得出a，b的值，代入计算得出答案．解：原式＝[（3a2﹣3ab+2ab﹣2b2）﹣（4a2﹣b2）+2ab+b2]÷（a）＝（3a2﹣3ab+2ab﹣2b2﹣4a2+b2+2ab+b2]÷（a）＝（﹣a2+ab）÷（a）＝﹣a2÷（a）+ab÷（a）＝﹣3a+3b，∵+b2+2b+1＝0，∴+（b+1）2＝0，∴a﹣2＝0，b+1＝0，解得：a＝2，b＝﹣1，∴原式＝﹣3×2+3×（﹣1）＝﹣6﹣3＝﹣9．24．为选拔同学参加全市组织的青少年科学知识竞赛，重庆一中在全校进行了“请党放心，强国有我”科学知识竞赛，并对八年级（3）班全体同学本次知识竞赛成绩进行了统计，我们将成绩分为A、B、C、D、E五类，制成了如下不完整的条形统计图和扇形统计图（如图所示）．请你根据统计图中的信息，解答下列问题：（1）八年级（3）班学生总人数是50人；在扇形统计图中，a的值是20；（2）若八年级（3）班得C等级的同学人数是得E等级的同学人数的4倍，请将条形统计图补充完整；（3）若等级为A表示优秀，等级为B表示良好，等级为C表示合格，等级为D表示不合格，等级为E表示差，根据本次统计结果，估计全校2000名学生中知识竞赛成绩在合格及以上的学生大约有多少人？【分析】（1）用B等级的人数除以所占的百分比求出八年级（3）班学生总人数，用D 等级的人数除以总人数，即可得出a；（2）设E等级的同学有x人，则C等级的同学人数有4x，根据总人数是50，列出方程，求出x的值，从而补全统计图；（3）用全校的总人数乘以知识竞赛成绩在合格及以上的学生所占的百分比即可．解：（1）八年级（3）班学生总人数是：12÷24%＝50（人），a%＝×100%＝20%，即a＝20；故答案为：50，20；（2）设E等级的同学有x人，则C等级的同学人数有4x，根据题意得：8+12+4x+10+x＝50，解得：x＝4，则4x＝4×4＝16，则E等级的同学有4人，则C等级的同学人数有16人，补全统计图如下：（3）2000×＝1440（人），答：估计全校2000名学生中知识竞赛成绩在合格及以上的学生大约有1440人．25．体育与健康是学校素质教育的重要组成部分，为了活跃校园气氛，增强学生的集体观念，培养学生团队合作的精神．某学校将于11月份举办学生趣味运动会，计划用7380元购买足球和篮球共43个，分别作为运动会团体一、二等奖的奖品．已知足球的单价为180元，篮球的单价为160元．（1）学校计划购买足球和篮球各多少个？（列二元一次方程组解决该问题）（2）某老师按计划到商场购买足球和篮球时，正好赶上商场对商品价格进行调整，足球单价下降了a%，篮球单价上涨了a%，最终经费比计划节省了774元，求a的值．【分析】（1）设学校计划购买足球x个，篮球y个，利用总价＝单价×数量，结合用7380元购买足球和篮球共43个，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出学校计划购买足球和篮球的数量；（2）利用总价＝单价×数量，结合商场对商品价格进行调整后可节省774元，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出a的值．。
2021-2022学年上海市杨浦区控江中学高三上学期月考数学试卷(12月份)(含答案解析)
2021-2022学年上海市杨浦区控江中学高三上学期月考数学试卷(12月份)一、单选题（本大题共4小题，共20.0分）1.已知α、β是两个不同平面，m为α内的一条直线，则“m//β”是“α//β”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件2.在等差数列a n中a10<0,a11>0,且a11>|a10|，则在S n中最大的负数为()A. S17B. S18C. S19D. S203.已知点A的坐标为(0,2)，点P是抛物线y=4x2上的点，则使得△OPA是等腰三角形的点P的个数是()A. 2B. 4C. 6D. 84.已知正方体ABCD−A1B1C1D1，点P是棱CC1的中点，设直线AB为a，直线A1D1为b，对于下列两个命题：①过点P有且只有一条直线l与a、b都相交；②过点P有且只有一条直线l与a、b都成45°角，以下判断正确的是()A. ①为真命题，②为真命题B. ①为真命题，②为假命题C. ①为假命题，②为真命题D. ①为假命题，②为假命题二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）5.方程2x=3的解为______．6.设z=2−i1+i，则|z|=______．7.若角α的终边过点P(4,−3)，则sin(3π2+α)的值为______．8.为了解300名学生的视力情况，采用系统抽样的方法从中抽取容量为20的样本，则分段的间隔为______．9.若线性方程组的增广矩阵为(20m1n2)，解为{x=1y=1，则m+n=______．10. 一平面截一球得到直径是6cm 的圆面，球心到这个平面的距离是4cm ，则该球的体积是______cm 3．11. 已知x ，y 为实数，行列式∣∣∣∣∣1y 7151x−1−161∣∣∣∣∣中元素y 的代数余子式的值大于等于0，则x 的范围是______． 12. 甲、乙、丙三位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率是______．13. 在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2+y 2−8x +15=0，若直线y =kx −2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是______．14. 已知f(x)=m(x −2m)(x +m +3)，g(x)=2x −2，若满足对于任意x ∈R ，f(x)<0和g(x)<0至少有一个成立.则m 的取值范围是______ ．15. 已知直线f(x)=k 0x +b 与曲线g(x)=k 2x 交于点M(m,−1)，N(n,2)，则不等式f −1(x)≥g −1(x)的解集为______．16. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n +a n+1=12n ，若数列{S n }收敛于常数A ，则首项a 1的取值的集合为______．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17. 如图1，在Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =3，AC =6，D ，E 分别是AC ，AB 上的点，且DE//BC ，DE =2，将△ADE 沿DE 折起到A 1DE 的位置，使A 1C ⊥CD ，如图2．(1)求证：A 1C ⊥平面BCDE ；(2)若M 是A 1D 的中点，求CM 与平面A 1BE 所成角的大小．18. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且8sin 2B+C 2−2cos2A =7．(I)求角A 的大小；(II) 若a =√3，b +c =3，求b 和c 的值．19. 如图，A ，B ，C 三地有直道相通，AB =5千米，AC =3千米，BC =4千米．现甲、乙两警员同时从A 地出发匀速前往B 地，经过t 小时，他们之间的距离为f(t)(单位：千米).甲的路线是AB ，速度为5千米/小时，乙的路线是ACB ，速度为8千米/小时．乙到达B 地后原地等待．设t =t 1时乙到达C 地．(1)求t 1与f(t 1)的值；(2)已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米．当t 1≤t ≤1时，求f(t)的表达式，并判断f(t)在[t 1,1]上的最大值是否超过3？说明理由．20. 已知双曲线Γ：x 22−y 24=1的右顶点为A ，点B 的坐标为(1,√2)．(1)设双曲线Γ的两条渐近线的夹角为θ，求cosθ．(2)设点D 是双曲线Γ上的动点，若点N 满足、BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =ND⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求点N 的轨迹方程． (3)过点B 的动直线l 交双曲线Γ于P 、Q 两个不同的点，M 为线段PQ 的中点，求直线AM 斜率的取值范围．21. 记无穷数列{a n }的前n 项中最大值为M n ，最小值为m n ，令b n =M n +m n 2.求：(1)若a n =2n −3n ，写出b 1，b 2，b 3，b 4的值；(2)设a n =2n −λn ，若b 3=−3，求λ的值及n ≥4时数列{b n }的前n 项和S n ；(3)求证：“数列{a n }是等差数列”的充要条件是“数列{b n }是等差数列．参考答案及解析1.答案：B解析：α、β表示两个不同的平面，直线m⊂α，m//β，不一定得到直线与平面平行，还有一种情况可能是直线和平面相交，需要有另一条和它相交的直线也平行于平面，当两个平面平行时，一个平面上的直线一定平行于另一个平面，一定存在m//β∴“m//β”是“α//β”的必要不充分条件故选：B．m//β不一定得到直线与平面平行，还有一种情况可能是直线和平面相交，需要有另一条和它相交的直线也平行于平面，当两个平面平行时，一个平面上的直线一定平行于另一个平面，一定存在m//β本题考查条件的判断和平面的基本性质及推论，本题解题的关键是注意平面与平面平行的判定与性质，本题是一个基础题．2.答案：C解析：本题考查等差数列的前n项和，主要是等差数列的性质的应用，注意前20项和前19项的和的表示形式，写成能够判断大小的形式．等差数列{a n}中a10<0.a11>0，且a11>|a10|，把前20项的和表示出来，结果大于0，把前19项的和表示出来，结果小于0．解：∵a10<0，∴由a11>|a10|，可得a10+a11>0，∵数列{a n}为等差数列，∴a10+a11=a1+a20，∴S20=a1+a202×20>0，又∵S19=19a10<0，且a10<0<a11，∴等差数列{a n}为单调递增数列，∴a1，a2，...，a10都小于零，a11，a12，....都大于零，∴S1，S2，...，S10越来越小，S11，S12，....，S19，...越来越大，其中S19是后一组中的最大的负数，但S1的值不确定，并且是负值，根据等差数列{a n}中a10<0,a11>0且a11>|a10|，可得{a1+9d<0a1+10d>0a1+10d>|a1+9d|，解得−219a1<d<−a19，S19=19a1+19×182d>19a1+19×182×(−219a1)=a1=S1，∴S19是在S n中最大的负数，故选C．3.答案：C解析：解：等腰三角形的腰长不明确，①当PA=PO时，则P为OA垂直平分线y=1与抛物线的交点，如图中的P1，P2；②当PO=AO时，则P为以O为圆心，OA为半径的圆与抛物线的交点，如图中的P3，P4；③当PA=AO时，则P为以点A为圆心，AO为半径的圆与抛物线的交点，如图中的P5，P6．综上所述，使得△OPA是等腰三角形的点P的个数是6个．故选：C．根据等腰三角形的腰长不明确，分PA=PO，PO=AO，PA=AO三种情况进行分析求解，即可得到答案．本题考查了抛物线的几何性质的理解与应用，圆的定义的理解与应用，考查了逻辑推理能力与分类讨论数学思想方法的运用，属于中档题．4.答案：B解析：解：直线AB与A1D1是两条互相垂直的异面直线，点P不在这两异面直线中的任何一条上，如图所示：取BB1的中点Q，则PQ//A1D1，且PQ=A1D1，设A1Q与AB交于E，则点A1、D1、Q、E、P共面，直线EP必与A1D1相交于某点F，则过P点有且只有一条直线EF与a、b都相交，故①为真命题；分别平移a，b，使a与b均经过P，则有两条互相垂直的直线与a，b都成45°角，故②为假命题．∴①为真命题，②为假命题．故选：B．作出过P与两直线相交的直线l判断①；通过平移直线a，b，结合异面直线所成角的概念判断②．本题考查立体几何图形中直线和平面的相交、平行、垂直的性质，体现了数形结合的数学思想，是中档题．5.答案：x =log 23解析：∵2x =3，∴指数式化为对数式得：x =log 23，故答案为：x =log 23.把指数式化为对数式即可求出方程的解．本题主要考查了指数式与对数式的互化，是基础题．6.答案：√102解析：∵z =2−i 1+i =(2−i)(1−i)(1+i)(1−i)=12−32i ，∴|z|=√(12)2+(−32)2=√102． 故答案为：√102． 根据已知条件，运用复数的运算法则，以及复数模的公式，即可求解．本题考查了复数代数形式的乘除法运算，以及复数模的公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题． 7.答案：−45解析：sin(3π2+α)=−sin(π2+α)=−cosα，∵角α的终边过点P(4,−3)，∴cosα=√42+(−3)2=45， 则sin(3π2+α)=−cosα=−=45，故答案为：−45利用三角函数的诱导公式以及三角函数的定义进行转化求解即可．本题主要考查三角函数值的计算，结合三角函数的诱导公式以及三角函数的定义是解决本题的关键． 8.答案：15解析：根据系统抽样的特征，得；从300名学生中抽取20个学生，分段间隔为30020=15．故答案为：15．根据系统抽样的特征，求出分段间隔即可．本题考查了系统抽样的应用问题，解题时应熟知系统抽样的特征，是基础题目．9.答案：3解析：由线性方程组的增广矩阵为(20m 1n2)， 可知该线性方程组为{2x =m x +ny =2， ∵该线性方程组的解为{x =1y =1， 即{2×1=m 1+n =2，∴m =2，n =1，则m +n =3． 故答案为：3．先根据增广矩阵写出相应的线性方程组，然后将解代入即可求解．本题主要考查线性方程组与矩阵结合的问题．考查了转化思想，对应思想，以及方程的计算能力，属基础题． 10.答案：500π3解析：球的半径为√(62)2+42=5(cm)，球的体积为4π3×53=500π3(cm 3) 故答案为500π3．由勾股定理求出球的半径，再利用球的体积公式求球的体积．本题考查球的体积公式，注意球心距，圆的半径，球的半径，三条线段构成直角三角形，可用勾股定理．11.答案：[0,1)解析：∵行列式∣∣∣∣∣1y 7151x−1−161∣∣∣∣∣中元素y 的代数余子式的值大于等于0， ∴−∣∣∣∣11x−1−11∣∣∣∣=−(1⋅1−(−1)⋅1x−1)=−1−1x−1≥0，即1x−1+1=x x−1≤0， 解得0≤x <1．∴x 的范围是[0,1)．故答案为：[0,1)．由题意求出元素y 的代数余子式的值，结合元素y 的代数余子式的值大于等于0，求解分式不等式可得x 的取值范围．本题考查实数的取值范围的求法，考查行列式的代数余子式的定义等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．12.答案：34解析：3位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，共有23=8种情况，周六、周日都有同学参加公益活动，共有23−2=8−2=6种情况，∴所求概率为68=34．故答案为：34求得3位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动、周六、周日都有同学参加公益活动的情况，利用古典概型概率公式求解即可．本题考查古典概型，是一个古典概型与排列组合结合的问题，解题时先要判断该概率模型是不是古典概型，再要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数13.答案：43解析：∵圆C的方程为x2+y2−8x+15=0，整理得：(x−4)2+y2=1，即圆C是以(4,0)为圆心，1为半径的圆；又直线y=kx−2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，∴只需圆C′：(x−4)2+y2=4与直线y=kx−2有公共点即可．设圆心C(4,0)到直线y=kx−2的距离为d，则d=√1+k2≤2，即3k2−4k≤0，∴0≤k≤43．∴k的最大值是43．故答案为：43．由于圆C的方程为(x−4)2+y2=1，由题意可知，只需(x−4)2+y2=1与直线y=kx−2有公共点即可．本题考查直线与圆的位置关系，将条件转化为“(x−4)2+y2=4与直线y=kx−2有公共点”是关键，考查学生灵活解决问题的能力，属于中档题．14.答案：(−4,0)解析：∵g(x)=2x−2，当x≥1时，g(x)≥0，又∵∀x∈R，f(x)<0或g(x)<0，∴f(x)=m(x−2m)(x+m+3)<0在x≥1时恒成立，。
2021-2022年高三上学期第二次月考数学(理)试题含答案
2021-2022年高三上学期第二次月考数学（理）试题含答案一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知全集为R ，集合A={x|（）x ≤1}，B={x|x 2﹣6x+8≤0}， 则A∩（）=（ ）A ．{x|x ≤0}B ．{x|2≤x ≤4}C ．{x|0≤x ＜2或x ＞4}D ．{x|0＜x ≤2或x ≥4}2.下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是( ) (A)y=tanx (B)y=3x (C)y= (D)y=lg|x|3.下列四种说法中,错误的个数是( ) ①A={0,1}的子集有3个;②“若am 2<bm 2,则a<b ”的逆命题为真;③“命题p ∨q 为真”是“命题p ∧q 为真”的必要不充分条件;④命题“∀x ∈R,均有x 2-3x-2≥0”的否定是:“∃x 0∈R,使得x 02-3x 0-2≤0”. (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 4.已知函数则f(f())的值是( ) (A)9(B)(C)-9(D)-5.若a=log 20.9,则( )(A)a<b<c (B)a<c<b (C)c<a<b(D)b<c<a6.若函数y=-x 2+1(0<x<2)的图象上任意点处切线的倾斜角为α,则α的最小值是( )()()()()53A B C D 4664ππππ7.已知命题p:函数f(x)=2ax 2-x-1(a ≠0)在(0,1)内恰有一个零点;命题q:函数y=x 2-a 在(0,+∞)上是减函数.若p 且﹁q 为真命题,则实数a 的取值范围是 ( ) (A)a>1(B)a ≤2 (C)1<a ≤2(D)a ≤1或a>28.函数f(x)=的大致图象为( )9．设函数f （x ）=x 2+xsinx ，对任意x 1，x 2∈（﹣π，π）， 若f （x 1）＞f （x 2），则下列式子成立的是（ ） A ．x 1＞x 2B ．C ．x 1＞|x 2|D ．|x 1|＜|x 2|10函数y=f(x)(x ∈R)满足f(x+1)=-f(x)，且x ∈［-1,1］时f(x)=1-x 2，函数()lg x,x 0,g x 1,x 0,x>⎧⎪=⎨-<⎪⎩则函数h(x)=f(x)-g(x)在区间［-5，4］内的零点的个数为( ) (A)7(B)8(C)9(D)10二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.请把正确答案填在题中横线上)11．已知集合M={y|y=x 2﹣1，x ∈R}，，则M∩N=_____ 12．已知函数f （x ）=a x +b （a ＞0，a ≠1）的定义域和值域都是 [﹣1，0]，则a+b= ．13.已知p:≤x ≤1,q:(x-a)(x-a-1)>0,若p 是﹁q 的充分不必要条件,则实数a 的取值范围是 .14．若f （x ）=是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围为 ． 15.若方程有正数解，则实数的取值范围是_______三、解答题(本大题共6小题,共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16．（12分）已知p ：∀x ∈R ，2x ＞m （x 2+1），q ：∃x 0∈R ， x+2x 0﹣m ﹣1=0，且p ∧q 为真，求实数m 的取值范围．17、（12分）已知函数．（1）求f（x）的定义域；（2）讨论f（x）的奇偶性；（3）证明f（x）在（0，1）内单调递减．18．（12分）已知函数f（x）=x3﹣ax2﹣3x（1）若f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围；（2）若x=﹣是f（x）的极值点，求f（x）在[1，4]上的最大值．19．(12分)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．（Ⅰ）当0≤x≤200时，求函数v（x）的表达式；（Ⅱ）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）=x•v（x）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）．20. （13分）已知函数f(x)满足()()()x 121f x f 1e f 0x x .2-='-+(1)求f(x)的解析式及单调区间.(2)若f(x)≥x 2+ax+b,求(a+1)b 的最大值.21、 (14分)已知函数21()(21)2ln ()2f x ax a x x a R =-++∈．（Ⅰ）若曲线y=f （x ）在x=1和x=3处的切线互相平行，求a 的值； （Ⅱ）求f （x ）的单调区间；（Ⅲ）设g （x ）=x 2﹣2x ，若对任意x 1∈（0，2]，均存在x 2∈（0，2]，使得 f （x 1）＜g （x 2），求a 的取值范围．高三数学第一次检测题答案解析1. C ．2.C.3.D.4.B.5.B.6.D.7.C 8、D.9.【解析】∵f （﹣x ）=（﹣x ）2﹣xsin （﹣x ）=x 2+xsinx=f （x ），∴函数f （x ）=x 2+xsinx 为偶函数，又f′（x ）=2x+sinx+xcosx ，∴当x ＞0时，f′（x ）＞0，∴f （x ）=xsinx 在[0，π]上单调递增，∴f （﹣x ）=f （|x|）；∵f （x 1）＞f （x 2），∴结合偶函数的性质得f （|x 1|）＞f （|x 2|），∴|x 1|＞|x 2|，∴x 12＞x 22．故选B ．10.选A.由f（x＋1）＝－f（x），可得f（x＋2）＝－f（x＋1）＝f（x），所以函数f（x）的周期为2，求h（x）＝f（x）－g（x）的零点，即求f（x）＝g（x）在区间［－5,4］的解的个数.画出函数f（x）与g（x）的图象，如图，由图可知两图象在［－5,4］之间有7个交点，所以所求函数有7个零点，选A.11、解：∵集合M={y|y=x2﹣1，x∈R}={y|y≥﹣1}，={x|﹣}，∴M∩N=．故答案为：．12、解：当a＞1时，函数f（x）=a x+b在定义域上是增函数，所以，解得b=﹣1，=0不符合题意舍去；当0＜a＜1时，函数f（x）=a x+b在定义域上是减函数，所以，解得b=﹣2，a=，综上a+b=，故答案为：13.q:x>a+1或x<a,从而﹁q:a≤x≤a+1.由于p是﹁q的充分不必要条件,故a111a2≥⎧⎪⎨≤⎪⎩＋，，即0≤a≤.答案:[0,]14、解：∵f（x）=是R上的单调函数，∴，解得：a≥，故实数a的取值范围为[，+∞），故答案为：[，+∞）15.16、解：不等式2x＞m（x2+1），等价为mx2﹣2x+m＜0，若m=0，则﹣2x＜0，即x＞0，不满足条件．若m≠0，要使不等式恒成立，则，即，解得m＜﹣1．即p：m＜﹣1．———————————————————————4分若∃x0∈R，x+2x﹣m﹣1=0，则△=4+4（m+1）≥0，解得m≥﹣2，即q：m≥﹣2．———————————————————————8分若p∧q为真，则p与q同时为真，则，即﹣2≤m＜﹣1————12分17、解：（1）⇔﹣1＜x＜0或0＜x＜1，故f（x）的定义域为（﹣1，0）∪（0，1）；————————————4分（2）∵，∴f（x）是奇函数；————————————————————————————6分（3）设0＜x1＜x2＜1，则∵0＜x1＜x2＜1，∴x2﹣x1＞0，x1x2＞0，（1﹣x1）（1+x2）=1﹣x1x2+（x2﹣x1）＞1﹣x1x2﹣（x2﹣x1）=（1+x1）（1﹣x2）＞0∴，∴f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）∴f（x）在（0，1）内递减——————————————————12分另解：∴当x∈（0，1）时，f′（x）＜0故f（x）在（0，1）内是减函数．—————————————————12分18、解：（1）求导函数，可得f′（x）=3x2﹣2ax﹣3，∵f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，∴f′（x）≥0在区间[1，+∞）上恒成立∴3x2﹣2ax﹣3≥0在区间[1，+∞）上恒成立∴且f′（1）=﹣2a≥0∴a≤0———4分（2）∵x=﹣是f（x）的极值点，∴∴∴a=4——6分∴f（x）=x3﹣4x2﹣3x，f′（x）=3x2﹣8x﹣3，∴x1=﹣，x2=3令f′（x）＞0，1＜x＜4，可得3＜x＜4；令f′（x）＜0，1＜x＜4，可得1＜x＜3；∴x=3时，函数取得最小值﹣18∵f（1）=﹣6，f（4）=﹣12∴f（x）在[1，4]上的最大值为﹣6．————————————————12分19、解：（Ⅰ）由题意：当0≤x≤20时，v（x）=60；当20＜x≤200时，设v （x）=ax+b再由已知得，解得故函数v（x）的表达式为．——————4分（Ⅱ）依题并由（Ⅰ）可得当0≤x＜20时，f（x）为增函数，故当x=20时，其最大值为60×20=1200当20≤x≤200时，当且仅当x=200﹣x，即x=100时，等号成立．所以，当x=100时，f（x）在区间（20，200]上取得最大值．综上所述，当x=100时，f（x）在区间[0，200]上取得最大值为，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时．—————————————————————————10分答：（Ⅰ）函数v（x）的表达式（Ⅱ）当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时．——————————————————————————12分20.(1)∵f(x)=f′(1)e x-1-f(0)x+x2,∴f′(x)=f′(1)e x-1-f(0)+x,令x=1得：f(0)=1,∴f(x)=f′(1)e x-1-x+x2,∴f(0)=f′(1)e-1=1,∴f′(1)=e得：f(x)=e x-x+x2.—————————4分设g(x)=f′(x)=e x-1+x,g′(x)=e x+1>0,∴y=g(x)在R上单调递增.令f′(x)>0=f′(0)，得x>0,令f′(x)<0=f′(0)得x<0，∴f(x)的解析式为f(x)=e x-x+x2且单调递增区间为（0，+∞),单调递减区间为（-∞,0).————————————-4分(2)由f(x)≥x2+ax+b得e x-(a+1)x-b≥0，令h(x)=e x-(a+1)x-b,则h′(x)=e x-(a+1).①当a+1≤0时，h′(x)>0⇒y=h(x)在x∈R上单调递增.x→-∞时，h(x)→-∞与h(x)≥0矛盾.——————————6分②当a+1>0时，由h′(x)>0得x>ln(a+1),由h′(x)<0得x<ln(a+1)=(a+1)-(a+1)ln(a+1)-b≥0.———8分得当x=ln(a+1)时，h(x)min（a+1)b≤(a+1)2-(a+1)2ln(a+1) (a+1>0).令F(x)=x2-x2ln x(x>0)，则F′(x)=x（1-2ln x),——————10分由F′(x)>0得0<x<,由F′(x)<0得x>,当x=时，F（x)=,∴当a=-1,b=时，（a+1)b的最大值为.—————————max—————————————13分21、解：（Ⅰ）∵函数，∴（x＞0）．∵曲线y=f（x）在x=1和x=3处的切线互相平行，∴f'（1）=f'（3），即，解得．————————————4分（Ⅱ）（x＞0）．①当a≤0时，x＞0，ax﹣1＜0，在区间（0，2）上，f'（x）＞0；在区间（2，+∞）上f'（x）＜0，故f（x）的单调递增区间是（0，2），单调递减区间是（2，+∞）．②当时，，在区间（0，2）和上，f'（x）＞0；在区间上f'（x）＜0，故f（x）的单调递增区间是（0，2）和，单调递减区间是③当时，，故f（x）的单调递增区间是（0，+∞）．④当时，，在区间和（2，+∞）上，f'（x）＞0；在区间上f'（x）＜0，故f（x）的单调递增区间是和（2，+∞），单调递减区间是．————————————8分（Ⅲ）由已知，在（0，2]上有f（x）max ＜g（x）max．由已知，g（x）max=0，由（Ⅱ）可知，①当时，f（x）在（0，2]上单调递增，故f（x）max=f（2）=2a﹣2（2a+1）+2ln2=﹣2a﹣2+2ln2，所以，﹣2a﹣2+2ln2＜0，解得a＞ln2﹣1，故．——————————————————12分②当时，f（x）在上单调递增，在上单调递减，故．由可知，2lna＞﹣2，﹣2lna＜2，所以，﹣2﹣2lna＜0，f（x）max＜0，综上所述，a＞ln2﹣1．————————————————14分21072 5250 剐31873 7C81 粁31426 7AC2 竂z33043 8113 脓e35722 8B8A 變 39463 9A27 騧K34467 86A3 蚣38124 94EC 铬=40272 9D50 鵐。
2021-2022学年重庆市普通高中高二(上)学业水平信息技术试卷+答案解析(附后)
2021-2022学年重庆市普通高中高二（上）学业水平信息技术试卷1. 在计算机软件系统中，下列属于应用软件的是（ ）A. WPS OficeB. HarmonyOS（鸿蒙）C. WindowsD. Android（安卓）2. 在大型图书馆里借，还书时，只需要把一叠书放在自助借还书机上，几秒钟后这一叠书的信息就被读取到了。
请问，自助借还书机是通过（ ）技术识别到这一叠书的？A. 图像识别B. 射频识别C. 人脸识别D. 指纹识别3. 在家里电脑下载某一网络软件时，电脑屏幕上查看该软件下载速度为128Kps，请问该家里的网络带宽是（ ）A. 1MbpsB. 10MbpsC. 100MbpsD. 200Mbps4. 利用无线路由器组建家庭无线网络时，外接人的网线应该接入路由器的（ ）端口。
A. ①（Power）B. ②（Reset）C. ③（WAN）D. ④（LAN）5. 学生、教师通过浏览器在学习平台上开展网络学习、指导活动。
这一网络学习管理系统，属于信息系统主要体系结构类型的是（ ）A. 客户机/服务器结构B. 浏览器/服务器结构C. 对等网络结构D. 非对等网络结构6. 某市政府门户网站，针对政策、法规和活动等事宜开展民意征集，接收群众咨询，意见建议和举报投诉，并及时对相关问题进行答复，此举主要体现了电子政务服务的（ ）特征。
A. 政务信息公开B. 互动交流C. 在线办事D. 公益便民7. 为建设“人人皆学，处处能学，时时可学”的学习型社会，信息技术发展趋势中的（ ）起到了重要作用。
A. 网络互联的移动化和泛在化B. 信息处理的集中化和大数据化C. 信息存储的多样化和结构化D. 信息服务的智能化和个性化8. 小明通过医院的官微预约挂号，并按预约时间去医院看病，并在官微上查看检查报告。
这体现了信息系统（ ）A. 改变了人们的生产与工作方式B. 改变了人们的生活与交往方式C. 促进了人们数字化学习与创新D. 培养了人们计算思维方式9. 网络订票系统就是一个典型的信息系统。
2021-2022学年江西省智慧上进大联考高三上学期月考数学试卷(理科)(12月份)(含答案解析)
2021-2022学年江西省智慧上进大联考高三上学期月考数学试卷(理科)(12月份)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）}，B={x|x>2}，则A∩(∁U B)=()1.已知全集U=R，若集合A={x|2x>116A. |x|−4<x<2|B. {x|2<x<4}C. |x|−4<x≤2|D. {x|2<x≤4}2.已知向量a⃗=(2,λ)，b⃗ =(−1,2)，若a⃗⊥b⃗ ，则|a⃗+b⃗ |=()A. 3B. √10C. 2√2D. 2√33.哥隆尺是一种特殊的测量尺子，图(1)中的哥隆尺可以一次性测量的长度为1，2，3，4，5，6，小明同学要测量5，8，11，15这4个长度，若使用图(2)中的哥隆尺，则不可以一次性测量的长度个数为()A. 1B. 2C. 3D. 44.已知圆台的上底面半径为2，下底面半径为6，若该圆台的体积为104π，则其母线长为()(注：圆台的体积V=13⋅(S上+S下+√S上S下)⋅ℎ)A. 2√10B. 2√13C. √10D. √135.近年来，娱乐综艺《中国好声音》备受全国音乐爱好者的关注，许多优美的声音通过该节目传到全国观众的耳朵里．声音的本质是声波，而声波在空气中的振动可以用三角函数来刻画，在音乐中可以用正弦函数来表示单音，用正弦函数相叠加表示和弦．已知某二和弦可表示为函数f(x)=2sin2x+sin4x，则f(x)在[−π,π]上的图象大致为()A. B.C.D.6.已知a ，b ∈(0,+∞)，若1a +4b ⩾λa+b 恒成立，则实数λ的取值范围为( )A. [5,+∞)B. [9,+∞)C. (−∞,5]D. (−∞,9]7.已知平行四边形ABCD 中，AB =3√2，AD =2，∠ABC =135°，若DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λDC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−6，则λ=( )A. 13B. 23C. 25D. 358.如图所示，平面四边形ABCD 中，AB =4，AC =2，CD =√2，∠ADC =45°，∠DAB =150°，则BC 的长为( )A. √14B. 2√14C. 2√5D. 2√79.如图中小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为( )A. 74πB. 64πC. 78πD. 68π10. 若斜率为k 的直线l 与椭圆C ：x 23+y 22=1交于A ，B 两点，且AB 的中点坐标为(12,13)，则k =( )A. −2B. −32C. −1D. −1211. 已知函数f(x)=|sin2x|+sin(2x −π3)，命题p ：f(x)的图象是轴对称图形，但不是中心对称图形；命题q ：f(x)在[−π,−23π]上单调递减，则在￢p ，p ∨￢q ，￢p ∧q 中，正确的命题的个数为( )A. 0B. 1C. 2D. 312. 若曲线y =e x−1与曲线y =a √x 在公共点处有公共切线，则实数a =( )A. √2e eB. √eeC. 2eD. 1e二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 某公司工人甲生产第x 件产品的所需时间f(x)(单位：ℎ)满足f(x)={log a x +4,0<x <λ,10x+1,λ⩽x ⩽8,其中a >0且a ≠1，若甲生产第2件产品的时间为3ℎ，生产第λ件产品的时间为2ℎ，则λa =______． 14. 若直线l 1：x −3y =0与直线l 2：ax −y +2=0相互垂直，则l 2被圆C ：(x −2)2+(y −1)2=6截得的弦长为______．15. 已知首项为2的数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n+1=S n +3a n +2n −1，则{a n }的通项公式为______．16. 已知表面积为24的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，L 分别是线段AA 1，A 1D 1，D 1C 1的中点，点P 在平面ABCD 内，若D 1P//平面LMN ，则线段D 1P 的长度的最小值为______． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. 已知圆C 过点(2,−1)，(6,3)，(−2,3)． (1)求C 的标准方程；(2)若点P(x,y)在C 上运动，求3x −4y 的取值范围．18. 已知函数f(x)=3sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，其中A(0,3√32)，B(2π3,−3√32).(1)求f(x)的解析式；(2)设函数g(x)=f(2x)，x ∈[−π3,0]，求g(x)的值域．19.从①c(c−b)=(2−b)(2+b)，②△ABC的面积S=√3(2cosC+ccosA)ccosA，③2sinA=2bsinB+c(sinC−sinB)，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a=2，且_____．(1)求A；(2)若角A的平分线AM与BC交于点M，AM=√3，求b，c．20.如图，在四棱椎P−ABCD中，底面ABCD为平行四边形，PH⊥AD，垂足为H，HA=HB=HP=√2AB=1．2(1)求证：平面PBC⊥平面PBH；(2)若PB=√2，求二面角A−PB−C的正弦值．n(n+1)(n+2)．21.已知首项为1的数列{a n}的前n项和为S n，且nS n+1−(n+2)S n=13}是等差数列；(1)求证：数列{S nn(n+1)(2)求数列{a n}的通项公式；(3)若数列{b n}满足a2n+1⋅b n=a2n，求证：b1⋅b2⋅b3⋅⋯⋅b n<1．n+122.已知函数f(x)=ae x−x2．,3]上恰有1个零点，求实数a的取值范围；(1)若f(x)在[12(2)若关于x的不等式f(x)+x2≥ln x−1在(1,+∞)上恒成立，求实数a的取值范围．ae参考答案及解析1.答案：C解析：由2x>116=2−4，得x>−4，∴A={x|2x>116}={x|x>−4}，∵全集U=R，B={x|x>2}，∴∁U B={x|x≤2}，则A∩(∁U B)={x|−4<x≤2}．故选：C．求解指数不等式化简A，再由补集与交集运算得答案．本题考查交、并、补集的混合运算，考查指数不等式的解法，是基础题．2.答案：B解析：向量a⃗=(2,λ)，b⃗ =(−1,2)，a⃗⊥b⃗ ，∴a⃗⋅b⃗ =−2+2λ=0，解得λ=1，∴a⃗+b⃗ =(1,3)，|a⃗+b⃗ |=√1+9=√10．故选：B．利用向量坐标运算法则、向量的模直接求解．本题考查向量的模的求法，考查向量坐标运算法则、向量的模等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.答案：C解析：根据题意，哥隆尺能够一次性测量的长度均为尺子上的刻度之差，若使用图(2)所示的哥隆尺，能够一次性测量的长度数据只有8，因为9−1=8，其余3个数据均无法一次性测量．故选：C．根据题意，哥隆尺能够一次性测量的长度均为尺子上的刻度之差，即可容易判断．本题考查合情推理，考查学生的推理能力，属于基础题．4.答案：B解析：∵圆台的上底面半径为2，下底面半径为6，该圆台的体积为104π，∴圆台的体积V=13(S上+S下+√S上S下)ℎ=52π3ℎ=104π，解得ℎ=6，∴其母线长为l =√62+42=2√13． 故选：B ．根据圆台的体积公式求出贺台的高，再根据圆台轴截面的性质，利用勾股定理求出母线长即可． 本题考查圆台的母线长的求法，考查圆台的体积等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.答案：A解析：对于函数函数f(x)=2sin2x +sin4x ，满足f(−x)=−f(x)，故该函数f(x)为奇函数，故排除D ，由于函数的y =2sin2x 的最小正周期为π，函数y =sin4x 的最小正周期为π2，故函数f(x)的最小正周期为π；当x →+0时，f(x)>0，故排除C ；利用函数的导数f′(x)=4cos2x +4cos4x =8(cos2x +14)2−92， 在(0,π2)时，函数的极值点只有一个，故排除B ； 故选：A ．直接利用排除法和函数的性质，利用奇偶性，函数的极值点和函数的导数和极值点的关系判断A 、B 、C 、D 的结论．本题考查的知识要点：函数的性质，奇偶性，函数的极值点和函数的导数和极值点的关系，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．6.答案：D解析：因为a ，b ∈(0,+∞)，若1a+4b ≥λa+b恒成立，所以λ≤(a +b)(1a +4b )， 因为(a +b)(1a +4b )=ba +4a b+5≥2√b a ⋅4a b+5=9，当且仅当ba +4a b ，即b =2a 时等号成立，所以λ≤9，故实数λ的取值范围为(−∞,9]． 故选：D ．由已知可得出λ≤(a +b)(1a +4b )，利用基本不等式可求得实数λ的取值范围．本题主要考查不等式恒成立问题，利用基本不等式求最值问题，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．7.答案：A解析：∵平行四边形ABCD 中，AB =3√2，AD =2，∠ABC =135°，DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λDC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +λDC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=4+λ×3√2×2×√22−3√2×2×√22−18λ=−2−12λ=−6，∴12λ=4，∴λ=13， 故选：A ．利用向量的数量积运算，平面向量的线性运算求解即可．本题考查了向量的数量积运算，平面向量的线性运算，属于中档题．8.答案：D解析：∵AB =4，AC =2，CD =√2，∠ADC =45°，∠DAB =150°， 在△ACD 中，由正弦定理知CDsin∠CAD =ACsin∠ADC ，可得√2sin∠CAD=2sin45∘，∴sin∠CAD =12，∵CD <AC ，可得∠CAD 为锐角， ∴∠CAD =30°，∴∠BAC =150°−30°=120°，∴在△ABC 中，由余弦定理知，BC 2=AB 2+AC 2−2AB ⋅AC ⋅cos∠BAC =42+22−2×4×2×cos120°=28， ∴BC =2√7． 故选：D ．由已知在△ACD 中，由正弦定理可得sin∠CAD =12，利用大边对大角可求∠CAD 为锐角，进而可得∠CAD =30°，可求∠BAC =120°，在△ABC 中，由余弦定理即可求解BC 的值．本题考查正弦定理、余弦定理与大边对大角在解三角形中的应用，考查了逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．9.答案：D。
2021-2022年高三上学期12月月考数学试卷(文科)含解析
2021年高三上学期12月月考数学试卷（文科）含解析一、选择题（每小题5分，共计50分）1．设i是虚数单位，复数( )A．3﹣2i B．3+2i C．2﹣3i D．2+3i2．集合A={x|x2﹣a≥0}，B={x|x＜2}，若C R A⊆B，则实数a的取值范围是( ) A．（﹣∞，4] B．[0，4] C．（﹣∞，4）D．（0，4）3．已知a0=20.5，b=log32，c=log20.1，则( )A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．b＜c＜a4．下列四个结论：①若x＞0，则x＞sinx恒成立；②命题“若x﹣sinx=0则x=0”的逆命题为“若x≠0则x﹣sinx≠0”；③“命题p或q为真”是“命题p且q为真”的充分不必要条件；④命题“∀x∈R，x﹣lnx＞0”的否定是“∃x0∈R，x0﹣lnx0≤0”．其中正确结论的个数是( )A．1个B．2个C．3个D．4个5．直线x+my+1=0与不等式组表示的平面区域有公共点，则实数m的取值范围是( )A．[，]B．[﹣，﹣]C．[，3] D．[﹣3，﹣]6．已知某几何体的三视图，则该几何体的体积是( )A．12 B．24 C．36 D．487．设0＜a＜1，则函数y=的图象大致为( )A．B．C．D．8．已知向量=（0，sinx），=（1，2cosx），函数f（x）=•，g（x）=2+2﹣，则f（x）的图象可由g（x）的图象经过怎样的变换得到( )A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度9．已知函数f （x）=Asin（ωx+φ），（0＜φ＜π）的图象如图所示，若f （x0）=3，x0∈（，），则sinx0的值为( )A． B． C． D．10．设f（x）=|lnx|，若函数g（x）=f（x）﹣ax在区间（0，3]上有三个零点，则实数a的取值范围是( )A．（0，）B．（，e）C．（0，]D．[，）二、解答题（每小题5分共计25分）11．已知sinα﹣cosα=，α∈（0，π），tanα=__________．12．已知平面向量=（1，2），=（﹣2，m），且⊥，则2+3=__________．13．函数y=lg（1﹣）+的定义域是__________．14．设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1、S2，体积分别为υ1，υ2，若它们的侧面积相等，且的值为__________．15．给出下列四个命题：①命题“∀x∈R，cosx＞0”的否定是“∃x∈R，cosx≤0”；②a、b、c是空间中的三条直线，a∥b的充要条件是a⊥c且b⊥c；③命题“在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB”的逆命题为假命题；④对任意实数x，有f（﹣x）=f（x），且当x＞0时，f′（x）＞0，则当x＜0时，f′（x）＜0．其中的真命题是__________．（写出所有真命题的编号）三、解答题：16．已知函数f（x）=sinωxcosωx﹣cos2ωx﹣（ω＞0，x∈R）的图象上相邻两个最高点的距离为π．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若△ABC三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且c=，f（C）=0，sinB=3sinA，求a，b的值．17．已知数列{a n}前n项和S n满足：2S n+a n=1（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，数列{b n}的前n项和为T n，求证：T n＜．18．已知函数．（1）求f（x）的最小正周期；（2）若将f（x）的图象向右平移个单位，得到函数g（x）的图象，求函数g（x）在区间上的最大值和最小值，并求出相应的x的值．19．如图正方形ABCD的边长为ABCD的边长为，四边形BDEF是平行四边形，BD与AC 交于点G，O为GC的中点，平面ABCD．（I）求证：AE∥平面BCF；（Ⅱ）若，求证CF⊥平面AEF．20．（13分）已知函数f（x）=lnx﹣mx，m∈R（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）≤﹣2m+1在[1，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围．21．（14分）近日，国家经贸委发出了关于深入开展增产节约运动，大力增产市场适销对路产品的通知，并发布了当前国内市场185种适销工业品和42种滞销产品的参考目录．为此，一公司举行某产品的促销活动，经测算该产品的销售量P万件（生产量与销售量相等）与促销费用x万元满足（其中0≤x≤a，a为正常数）．已知生产该产品还需投入成本（10+2P）万元（不含促销费用），产品的销售价格定为元/件．（1）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；（2）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大．xx山东省潍坊市寿光五中高三（上）12月月考数学试卷（文科）一、选择题（每小题5分，共计50分）1．设i是虚数单位，复数( )A．3﹣2i B．3+2i C．2﹣3i D．2+3i【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：复数===3﹣2i，故选：A．【点评】本题考查了复数的运算法则，属于基础题．2．集合A={x|x2﹣a≥0}，B={x|x＜2}，若C R A⊆B，则实数a的取值范围是( )A．（﹣∞，4]B．[0，4]C．（﹣∞，4）D．（0，4）【考点】补集及其运算；集合的包含关系判断及应用．【专题】集合．【分析】根据集合的补集关系进行求解即可．【解答】解：∵A={x|x2﹣a≥0}={x|x2≥a}，∴C R A={x|x2≤a}，若a＜0，则C R A=∅，满足C R A⊆B，若a≥0，则C R A={x|x2＜a}={x|﹣＜x＜}，若C R A⊆B，则≤2，解得0≤a≤4，综上a≤4，故选：A【点评】本题主要考查集合的基本运算和集合关系的应用，注意分类讨论．3．已知a0=20.5，b=log32，c=log20.1，则( )A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．b＜c＜a【考点】对数值大小的比较．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用指数函数和对数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵a=20.5＞20=1，0＜b=log32＜log33=1，c=log20.1＜log21=0．∴c＜b＜a．故选：C．【点评】本题考查了指数函数和对数函数的单调性，属于基础题．4．下列四个结论：①若x＞0，则x＞sinx恒成立；②命题“若x﹣sinx=0则x=0”的逆命题为“若x≠0则x﹣sinx≠0”；③“命题p或q为真”是“命题p且q为真”的充分不必要条件；④命题“∀x∈R，x﹣lnx＞0”的否定是“∃x0∈R，x0﹣lnx0≤0”．其中正确结论的个数是( )A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】命题的真假判断与应用．【专题】规律型；探究型；构造法；导数的概念及应用；简易逻辑．【分析】令f（x）=x﹣sinx，利用导数分析其单调性，可判断①；写出原命题的逆命题，可判断②；根据充要条件的定义，可判断③；写出原命题的否定，可判断④．【解答】解：令f（x）=x﹣sinx，则f′（x）=1﹣cosx≥0恒成立，故f（x）=x﹣sinx在R上为增函数，故x＞0时，f（x）＞f（0）=0，即x＞sinx恒成立，故①正确；命题“若x﹣sinx=0，则x=0”的逆命题为“若x=0，则x﹣sinx=0”，故②错误；“命题p或q为真”时，“命题p且q为真”不一定成立，“命题p且q为真”时，“命题p或q为真”成立，故“命题p或q为真”是“命题p且q为真”的必要不充分条件，故③错误；④命题“∀x∈R，x﹣lnx＞0”的否定是“∃x0∈R，x0﹣lnx0≤0”，故正确．其中正确结论的个数是2个，故选：B【点评】本题考查的知识点是全称命题的否定，四种命题，复合命题，函数的单调性，难度中档．5．直线x+my+1=0与不等式组表示的平面区域有公共点，则实数m的取值范围是( )A．[，]B．[﹣，﹣]C．[，3] D．[﹣3，﹣]【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用线性规划的知识即可得到结论．【解答】解：即直线x+my+1=0过定点D（﹣1，0）作出不等式组对应的平面区域如图：当m=0时，直线为x=﹣1，此时直线和平面区域没有公共点，故m≠0，x+my+1=0的斜截式方程为y=x，斜率k=，要使直线和平面区域有公共点，则直线x+my+1=0的斜率k＞0，即k=＞0，即m＜0，满足k CD≤k＜k AB，此时AB的斜率k AB=2，由解得，即C（2，1），CD的斜率k CD==，由，解得，即A（2，4），AD的斜率k AD==，即≤k≤，则≤≤，解得﹣3≤m≤﹣，故选：D．【点评】本题主要考查线性规划以及斜率的应用，利用数形结合是解决本题的关键．6．已知某几何体的三视图，则该几何体的体积是( )A．12 B．24 C．36 D．48【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】利用三视图判断几何体的形状，通过三视图是数据，求出几何体的体积即可．【解答】解：三视图复原的几何体是底面为边长4、3的矩形，高为3的棱锥，高所在棱垂直底面矩形的一个得到，所以棱锥的体积为：=12．故选：A．【点评】本题主要考查关于“几何体的三视图”与“几何体的直观图”的相互转化的掌握情况，同时考查空间想象能力．7．设0＜a＜1，则函数y=的图象大致为( )A．B．C．D．【考点】函数的图象．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用0＜a＜1，判断a x，x＞0时的范围，以及x＜0时的范围，然后求解a x﹣1的范围，倒数的范围，即可判断函数的图象．【解答】解：因为0＜a＜1，x＞0时，0＜a x＜1，﹣1＜a x﹣1＜0，＜﹣1，x＜0时，a x＞1，a x﹣1＞0，＞0，观察函数的图象可知：B满足题意．故选：B．【点评】本题考查指数函数的图象，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化，注意函数的值域以及指数函数的性质．8．已知向量=（0，sinx），=（1，2cosx），函数f（x）=•，g（x）=2+2﹣，则f（x）的图象可由g（x）的图象经过怎样的变换得到( )A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】由题意利用两个向量的数量积公式、诱导公式可得函数f（x）=sin2x，g（x）=sin2（x+），再根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．【解答】解：由题意可得函数f（x）=•=（2sinxcosx）=sin2x，g（x）=2+2﹣=sin2x+1+4cos2x﹣=3cos2x﹣=cos2x=sin（2x+）=sin2（x+），故把g（x）的图象向右平移个单位长度，可得f（x）的图象，故选：B．【点评】本题主要考查诱导公式的应用，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，统一这两个三角函数的名称，是解题的关键，属于基础题．9．已知函数f （x）=Asin（ωx+φ），（0＜φ＜π）的图象如图所示，若f （x0）=3，x0∈（，），则sinx0的值为( )A． B． C． D．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】由函数的最值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，求出函数的解析式．再由f （x0）=3求出sin（x0+ ）的值，可得cos（x0+ ）的值，再由两角差的正弦公式求得sinx0 =sin[（x0+ ）﹣]的值．【解答】解：由函数的图象可得A=5，且=，解得ω=1再由五点法作图可得1•+φ=，解得φ=．故函数的解析式为f（x）=5sin（x+ ）．再由f （x0）=3，x0∈（，），可得5sin（1•x0+ ）=3，解得sin（x0+ ）=，故有cos（x0+ ）=﹣，sinx0 =sin[（x0+ ）﹣]=sin（x0+ ）cos﹣cos（x0+ ）sin=﹣（﹣）=．故选A．【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+∅）的部分图象求解析式，由函数的最值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，两角差的正弦公式的应用，属于中档题．10．设f（x）=|lnx|，若函数g（x）=f（x）﹣ax在区间（0，3]上有三个零点，则实数a的取值范围是( )A．（0，）B．（，e）C．（0，]D．[，）【考点】根的存在性及根的个数判断；函数零点的判定定理．【专题】函数的性质及应用．【分析】首先，画出函数f（x）=|lnx|的图象，然后，借助于图象，结合在区间（0，3]上有三个零点，进行判断．【解答】解：函数f（x）=|lnx|的图象如图示：当a≤0时，显然，不合乎题意，当a＞0时，如图示，当x∈（0，1]时，存在一个零点，当x＞1时，f（x）=lnx，可得g（x）=lnx﹣ax，（x∈（1，3]）g′（x）==，若g′（x）＜0，可得x＞，g（x）为减函数，若g′（x）＞0，可得x＜，g（x）为增函数，此时f（x）必须在[1，3]上有两个零点，∴解得，，在区间（0，3]上有三个零点时，，故选D．【点评】本题重点考查函数的零点，属于中档题，难度中等．二、解答题（每小题5分共计25分）11．已知sinα﹣cosα=，α∈（0，π），tanα=﹣1．【考点】同角三角函数间的基本关系．【专题】计算题；三角函数的求值．【分析】已知等式左边提取，利用两角和与差的正弦函数公式化简，求出sin（α﹣）的值为1，由α的范围，利用特殊角的三角函数值求出α的度数，即可求出tanα的值．【解答】解：∵sinα﹣cosα=sin（α﹣）=，∴sin（α﹣）=1，∵α∈（0，π），∴α﹣=，即α=，则tanα=﹣1．【点评】此题考查了同角三角函数间的基本关系，特殊角的三角函数值，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键．12．已知平面向量=（1，2），=（﹣2，m），且⊥，则2+3=（﹣4，7）．【考点】平面向量的坐标运算．【专题】计算题；转化思想；向量法；平面向量及应用．【分析】由向量=（1，2），=（﹣2，m），且⊥，求出m的值，则2+3的答案可求．【解答】解：∵向量=（1，2），=（﹣2，m），且⊥，∴﹣2+2m=0，解得m=1，则2+3=2×（1，2）+3×（﹣2，1）=（﹣4，7）．故答案为：（﹣4，7）．【点评】本题考查了平面向量数量积的运算，考查了平面向量的坐标运算，是基础题．13．函数y=lg（1﹣）+的定义域是[log23，+∞）．【考点】函数的定义域及其求法．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数成立的条件，即可求出函数的定义域．【解答】解：要使函数有意义，则，即，∴x≥log23，即函数的定义域为[log23，+∞），故答案为：[log23，+∞）【点评】本题主要考查函数定义域的求法，要求熟练掌握常见函数成立的条件，比较基础．14．设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1、S2，体积分别为υ1，υ2，若它们的侧面积相等，且的值为．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】设两个圆柱的底面半径分别为R，r，高分别为H，h，由=，得=，由它们的侧面积相等，得=，由此能求出．【解答】解：设两个圆柱的底面半径分别为R，r，高分别为H，h，∵=，∴=，∵它们的侧面积相等，∴=1，∴=，∴==（）2×=．故答案为：．【点评】本题考查两个圆柱的体积的比值的求法，是中档题，解题时要注意圆柱的体积和侧面积计算公式的合理运用．15．给出下列四个命题：①命题“∀x∈R，cosx＞0”的否定是“∃x∈R，cosx≤0”；②a、b、c是空间中的三条直线，a∥b的充要条件是a⊥c且b⊥c；③命题“在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB”的逆命题为假命题；④对任意实数x，有f（﹣x）=f（x），且当x＞0时，f′（x）＞0，则当x＜0时，f′（x）＜0．其中的真命题是①④．（写出所有真命题的编号）【考点】命题的真假判断与应用．【专题】简易逻辑．【分析】①利用命题的否定即可判断出；②由a⊥c且b⊥c可得a∥b或相交或为异面直线，另一方面由a∥b，推不出a⊥c，b⊥c，即可判断出；③在△ABC中，A＞B⇔a＞b，由正弦定理可得：，可得sinA＞sinB．④利用偶函数的性质即可得出．【解答】解：①命题“∀x∈R，cosx＞0”的否定是“∃x∈R，cosx≤0”，正确；②a、b、c是空间中的三条直线，由a⊥c且b⊥c可得a∥b或相交或为异面直线，由a∥b，推不出a⊥c，b⊥c，因此“a⊥c且b⊥c”是a∥b的既不充分也不必要条件，因此②不正确；③在△ABC中，由A＞B⇔a＞b，由正弦定理可得：，因此sinA＞sinB．可知逆命题为真命题，因此不正确；④对任意实数x，有f（﹣x）=f（x），可知函数f（x）是偶函数．由当x＞0时，f′（x）＞0，则当x＜0时，f′（x）＜0．正确．综上可知：只有①④正确．故答案为：①④．【点评】本题综合考查了空间中的线线位置关系、三角形的边角关系、函数的奇偶性单调性、简易逻辑等基础知识与基本技能方法，属于基础题．三、解答题：16．已知函数f（x）=sinωxcosωx﹣cos2ωx﹣（ω＞0，x∈R）的图象上相邻两个最高点的距离为π．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若△ABC三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且c=，f（C）=0，sinB=3sinA，求a，b的值．【考点】余弦定理；两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性．【专题】解三角形．【分析】（Ⅰ）f（x）解析式利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，整理为一个角的正弦函数，根据题意确定出ω的值，确定出f（x）解析式，利用正弦函数的单调性求出函数f（x）的单调递增区间即可；（Ⅱ）由f（C）=0，求出C的度数，利用正弦定理化简sinB=3sinA，由余弦定理表示出cosC，把各自的值代入求出a与b的值即可．【解答】解：f（x）=sin2ωx﹣（1+cos2ωx）﹣=sin（2ωx﹣）﹣1，∵f （x ）图象上相邻两个最高点的距离为π，∴=π，即ω=1，则f （x ）=sin （2x ﹣）﹣1，（Ⅰ）令﹣+2k π≤2x ﹣≤+2k π，k ∈Z ，得到﹣+k π≤x ≤k π+，k ∈Z ，则函数f （x ）的单调递增区间为[﹣+k π，k π+]，k ∈Z ；（Ⅱ）由f （C ）=0，得到f （C ）=sin （2C ﹣）﹣1=0，即sin （2x ﹣）=1，∴2C ﹣=，即C=，由正弦定理=得：b=，把sinB=3sinA 代入得：b=3a ，由余弦定理及c=得：cosC===，整理得：10a 2﹣7=3a 2，解得：a=1，则b=3．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及二倍角的正弦、余弦函数公式，熟练掌握定理是解本题的关键．17．已知数列{a n }前n 项和S n 满足：2S n +a n =1（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设b n =，数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：T n ＜．【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（I ）利用递推式可得：．再利用等比数列的通项公式即可得出；（II ）由（I ）可得b n ==，；利用“裂项求和”即可得出数列{b n }的前n 项和为T n ，进而得到证明．【解答】（I ）解：∵2S n +a n =1，∴当n ≥2时，2S n ﹣1+a n ﹣1=1，∴2a n +a n ﹣a n ﹣1=0，化为．当n=1时，2a 1+a 1=1，∴a 1=．∴数列{a n }是等比数列，首项与公比都为．∴．（II ）证明：b n = ===，∴数列{b n }的前n 项和为T n =++…+=．∴T n ＜．【点评】本题考查了递推式的应用、等比数列的通项公式、“裂项求和”、不等式的证明，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．已知函数．（1）求f（x）的最小正周期；（2）若将f（x）的图象向右平移个单位，得到函数g（x）的图象，求函数g（x）在区间上的最大值和最小值，并求出相应的x的值．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数中的恒等变换应用．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】（1）利用三角函数的倍角公式和诱导公式化简函数f（x），然后直接由周期公式求周期；（2）通过函数的图象的平移求解函数g（x）的解析式为g（x）=，由x的范围求出的范围，从而求得函数g（x）的最值，并得到相应的x的值．【解答】解：（1）由，得==．∴f（x）的最小正周期为π；（2）∵将f（x）的图象向右平移个单位，得到函数g（x）的图象，∴=．∵x∈[0，）时，，∴当，即时，g（x）取得最大值2；当，即x=0时，g（x）取得最小值．【点评】本题考查了三角函数的倍角公式及诱导公式，考查了三角函数的图象平移，训练了三角函数的最值得求法，是中档题．19．如图正方形ABCD的边长为ABCD的边长为，四边形BDEF是平行四边形，BD与AC 交于点G，O为GC的中点，平面ABCD．（I）求证：AE∥平面BCF；（Ⅱ）若，求证CF⊥平面AEF．【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【专题】证明题；数形结合；数形结合法；空间位置关系与距离．【分析】（I）利用正方形，平行四边形的性质可得AD∥BC，DE∥BF，可证平面ADE∥平面BCF，即可证明AE∥平面BCF…5分（Ⅱ）由已知可证AC2=AF2+CF2，由勾股定理可得CF⊥AF，又FO⊥平面ABCD，可得FO⊥BD，又AC⊥BD，即可证明BD⊥平面AFC，结合EF∥BD，即可证明EF⊥CF，从而可证CF⊥平面AEF．【解答】证明：（I）∵四边形ABCD为正方形，四边形BDEF是平行四边形，∴AD∥BC，DE∥BF，∵AD∩DE=D，BC∩BF=B，∴平面ADE∥平面BCF，又∵AE⊂平面ADE，∴AE∥平面BCF…5分（Ⅱ）∵正方形ABCD边长为2，∴对角线AC=4，又∵O为GC中点，∴AO=3，OC=1又∵FO⊥平面ABCD，且FO=，∴AF2=AO2+OF2=9+3=12，CF2=OC2+OF2=1+3=4，又AC2=16，∴AC2=AF2+CF2，∴CF⊥AF，又FO⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴FO⊥BD又∵AC⊥BD∴BD⊥平面AFC，又∵EF∥BD，∴EF⊥平面AFC∴EF⊥CF，又EF∩AF=F∴CF⊥平面AEF…12分【点评】本题主要考查了直线与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．20．（13分）已知函数f（x）=lnx﹣mx，m∈R（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）≤﹣2m+1在[1，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【专题】导数的概念及应用；导数的综合应用．【分析】（1）先对原函数求导数，然后通过解导数大于零或小于零的不等式得到原函数的单调区间；（2）先将原不等式归零化简，然后通过求函数的最值解决问题，只需利用导数研究函数的单调性即可，注意分类讨论．【解答】解：由题意可得，函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=．（1）当m≤0时，f′（x）＞0，此时函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，当m＞0时，令f′（x）＞0，解得，令f′（x）＜0，解得．所以当m≤0时，此时函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；当m＞0时，函数f（x）的单调递增区间为（0，），单调减区间为（）．（2）因为在[1，+∞）上恒成立．即在[1，+∞）上恒成立，令g（x）=，则，（1）当，即时，若，则g′（x）＜0，g（x）是减函数，所以g（x）＜g（1）=0，即g（x）≥0在[1，+∞）上不恒成立；（2）当，即时，若x＞1，则g′（x）＞0，g（x）是增函数，所以g（x）＞g（1）=0，即，故当x≥1时，f（x）恒成立．综上所述，所求的正实数m的取值范围是．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性的思路，以及不等式恒成立问题转化为函数的最值问题来解的基本思想．21．（14分）近日，国家经贸委发出了关于深入开展增产节约运动，大力增产市场适销对路产品的通知，并发布了当前国内市场185种适销工业品和42种滞销产品的参考目录．为此，一公司举行某产品的促销活动，经测算该产品的销售量P万件（生产量与销售量相等）与促销费用x万元满足（其中0≤x≤a，a为正常数）．已知生产该产品还需投入成本（10+2P）万元（不含促销费用），产品的销售价格定为元/件．（1）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；（2）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大．【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【专题】不等式的解法及应用．【分析】（1）根据产品的利润=销售额﹣产品的成本建立函数关系；（2）利用基本不等式可求出该函数的最值，注意等号成立的条件．【解答】解：（1）由题意知，，将代入化简得：（0≤x≤a）．…（2），当且仅当，即x=1时，上式取等号．…当a≥1时，促销费用投入1万元时，厂家的利润最大；当a＜1时，在[0，a]上单调递增，所以x=a时，函数有最大值．即促销费用投入a万元时，厂家的利润最大．综上，当a≥1时，促销费用投入1万元，厂家的利润最大；当a＜1时，促销费用投入a万元，厂家的利润最大．…【点评】本题主要考查了函数模型的选择与应用，以及基本不等式在最值问题中的应用，同时考查了计算能力，属于中档题．。
2021-2022学年辽宁省名校联盟高一上学期12月月考数学试题(解析版)
2021-2022学年辽宁省名校联盟高一上学期12月月考数学试题一、单选题1．设函数()f x =的定义域A ，函数()()ln 2g x x =-的定义域为B ，则集合A B 为（ ） A ．（2，3） B ．(]2,3C ．[)3,2-D ．（-3，2）【答案】C【解析】由函数的定义域，分别算出A 和B ，然后根据集合交集的定义，即可得到本题答案.【详解】由290x -≥，得33x -≤≤，所以{|33}A x x =-≤≤， 又由20x ->，得2x <，所以{|2}B x x =<， 所以{|32}A B x x ⋂=-≤<. 故选：C【点睛】本题主要考查函数的定义域和集合的交集运算，属基础题. 2．“x A ∃∈，使得22250x x -->”的否定为（ ） A ．x A ∃∈，使得22250x x --< B ．x A ∃∈，使得22250x x --≤ C ．x A ∀∈，使得22250x x --≤ D ．x A ∀∈，使得22250x x -->【答案】C【分析】特称命题的否定是全称命题，把存在改为任意，把结论否定.【详解】“x A ∃∈，使得22250x x -->”的否定为“x A ∀∈，使得22250x x --≤”． 故选：C3．设a ，b 都是不等于1的正数，则“222a b >>”是“log 2log 2a b <”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【分析】根据充分和必要条件的定义即可求解.【详解】由222a b >>可得1222a b >>，即1a b >>，可推出log 2log 2a b <， 当01a <<，1b >时，不等式log 2log 2a b <成立，但推不出222a b >>，根据充分和必要条件的定义可得“222a b >>”是“log 2log 2a b <”的充分不必要条件， 故选：A.4．总体由编号01，,02，…，19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为 7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234493582003623486969387481A ．08B ．07C ．02D ．01【答案】D【详解】从第一行的第5列和第6列起由左向右读数划去大于20的数分别为：08,02,14,07,01，所以第5个个体是01，选D.【解析】此题主要考查抽样方法的概念、抽样方法中随机数表法，考查学习能力和运用能力. 5．函数()2x xe ef x x --=的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B【分析】通过研究函数奇偶性以及单调性，以及由1(1)e e 0f -=->排除不正确的选项，从而得出答案..【详解】详解：20,()()()x xe e xf x f x f x x--≠-==-∴为奇函数，排除A, 1(1)0f e e -=->，故排除D. ()()()()()243222,xx x x x x e x e xx e x e f x x e e x ---+---++=='，当2x >时，()0f x '>，所以()f x 在()2+∞，单调递增，所以排除C ； 故选：B.6．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是1θ，空气的温度是0θ，t 分钟后物体的温度θ可由公式()0.24010e tθθθθ-=+-（e 为自然对数的底数）求得．已知ln 20.693≈，把温度是100℃的物体放在10-℃的空气中冷却到45℃约需要（ ） A ．1.69分钟 B ．2.89分钟 C ．4.58分钟 D ．6.61分钟【答案】B【分析】根据题中的公式代入数据，根据指数与对数运算法则计算即可. 【详解】由题意得，()0.24451010010e t-=-++℃℃℃℃，化简得，0.241e2t-=， 即0.24ln 20.693t =≈， 所以()2.89min t ≈ 故选：B7．已知函数()f x 是定义域为R 的偶函数，且在区间[)0,∞+上单调递增．若实数a 满足()()212log (log )22f a f a f +≤，则a 的取值范围是（ ）A ．(]0,2B ．(]0,4C ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D【分析】根据给定条件利用对数换底公式变形，再结合函数奇偶性、单调性求解不等式作答.【详解】函数()f x 是定义域为R 的偶函数，则1222(log )(log )(log )f a f a f a =-=，21222(log )(log )2(2)2(log )2(2)(|log |)(2)f a f a f f a f f a f +≤⇔≤⇔≤，函数()f x 在区间[)0,∞+上单调递增，于是得：22|log |22log 2a a ≤⇔-≤≤22222log 2log log 2a -⇔≤≤，解得144a ≤≤，所以a 的取值范围是1,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选：D8．已知5log 2a =，8log 3b =，0.012c =，则下列判断正确的是（ ） A ．c b a << B ．b a c << C ．a b c << D ．a c b <<【答案】C【分析】根据给定条件利用指数函数、对数函数单调性，借助“媒介”数比较大小作答.【详解】函数5log y x =与函数8log y x =在(0,)+∞上都单调递增，238<<，则有58881log 2log log log 3log 812a =<==<=，即1a b <<， 函数2x y =在R 上单调递增，0.010>，则0.010221c =>=， 所以a b c <<. 故选：C 二、多选题9．下列说法中，正确的是（ ）A ．极差和标准差都能描述一组数据的离散程度B ．如果一组数中每个数减去同一个非零常数，则这一组数的平均数改变，方差不改变C ．一个样本的方差()()()22221220133320s x x x ⎡⎤=-+-+⋅⋅⋅+-⎣⎦，则这组数据总和等于60 D ．数据1a ，2a ，…，n a 的方差为2s ，则数据12a ，22a ，…，2n a 的方差为22s 【答案】ABC【分析】根据平均数、极差、方差及标准差的概念即得.【详解】根据极差和标准差的定义可知二者均可描述一组数据的离散程度，故A 正确， 根据平均数及方差的计算公式可得，如果一组数中每个数减去同一个非零常数，则这一组数的平均数改变，方差不改变，故B 正确；由一个样本的方差()()()22221220133320s x x x ⎡⎤=-+-+⋅⋅⋅+-⎣⎦，可知样本平均数为3，这组数据总和等于60，故C 正确；数据1a ，2a ，，n a 的方差为2s ，则数据12a ，22a ，，2n a 的方差为24s ，故D 错误.故选：ABC ．10．若a b >，则（ ） A ．22ac bc > B ．22a b --< C ．330a b -> D ．()ln 0a b ->【答案】BC【分析】由0c 判断A ；根据指数函数和幂函数的单调性判断BC ；由对数函数的性质判断D.【详解】0c 时，选项A 错误；利用()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减可知22a b --<，选项B 正确；利用()3f x x =在R 上单调递增可知330a b ->，选项C 正确；若01a b <-<，则选项D 错误． 故选：BC11．已知函数()f x 在区间I 上连续，若对于任意1x ，2x I ∈，且12x x ≠，都有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭，则称函数()f x 为区间I 上的下凸函数，下列函数在定义域上为下凸函数的是（ ） A ．1lny x= B ．23y x -= C ．231x y x +=+，()1,x ∈-+∞ D ．()121222x x y x --⎛⎫=++ ⎪⎝⎭【答案】ACD【分析】利用下凸函数的定义逐项分析即得. 【详解】对于A ，由1lny x=，可知()0,x ∈+∞，任意1x ，()20,x ∈+∞，且12x x ≠， 则()()()()212121212ln ln ln ln 22222x x f x f x x x x x +⎛⎫ ⎪++⎝⎭=-=->-1212ln 22x x x x f ++⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 正确；对于B，23y x-==()(),00,x ∈-∞⋃+∞，函数在定义域上不连续，故B 错误；对于C ，231211x y x x +==+++，()1,x ∈-+∞，任意1x ，()21,x ∈-+∞，且12x x ≠， ∴()()1212112,2,11f x f x x x =+=+++12121212222212x x f x x x x +⎛⎫=+=+ ⎪+++⎝⎭+， ∵()()()()121212121122112222211f x f x x x x x x x ++++++++==+++，∴()()121222211x x x x +++++12222x x ⎛⎫-+= ⎪++⎝⎭()()121212222112x x x x x x ++-++++ ()()()()()()()()()()22121212121212122411021122112x x x x x x x x x x x x x x ++-++-==>++++++++，即()()122f x f x +>122x x f +⎛⎫⎪⎝⎭，故C 正确；对于D ，()()1212242222x x x x f x x x --⎛⎫=++=+⋅+ ⎪⎝⎭，可知R x ∈，任意1x ，2R x ∈，且12x x ≠，∵121224424x xx x ++>⋅，12122222242x x x x +⋅+⋅>⋅，()1212222x x x x +=+，∴()()121212121212224422222242222x x x x x x x x f x f x x x +++++⋅+⋅++=>+⋅()12122x x x x f +⎛⎫++= ⎪⎝⎭，故D 正确．故选：ACD ．12．设正整数010112222k k k k n a a a a --=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅，其中{}0,1i a ∈，记()01k n a a a ω=++⋅⋅⋅+，则（ ）A ．()41ω=B ．()()2n n ωω=C ．()()231n n ωω+=+D ．()()4523n n ωω+=+【答案】ABD【分析】根据()n ω定义判断B 和D ，运用特殊值法判断A 和C 即可.【详解】对于选项A ，0124020212=⋅+⋅+⋅，()40011ω=++=，选项A 正确；对于选项B ，()01k n a a a ω=++⋅⋅⋅+，12101122222k k k k n a a a a +-=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅，所以()012k n a a a ω=+++ ()n ω=，选项B 正确；对于选项C ，取2n =，012237121212n +==⋅+⋅+⋅，所以()73ω=，而0120212=⋅+⋅，则()21ω=，即()()721ωω≠+，选项C 错误；对于选项D ，23201452225k k n a a a ++=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+()01223201232010112021222212021222k k k k a a a a a a ++=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅=⋅+⋅++⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅，所以()12101120101011452.2322231212222k k k k k n a a a n a a a a a a ω+++=+++⋅⋅⋅++=⋅+⋅++⋅++⋅⋅⋅+⋅=⋅+⋅+⋅+⋅()012101121222k k a a a +=⋅++⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅，所以()01232k n a a a ω+=+++⋅⋅⋅+，因此()()4523n n ωω+=+．选项D 正确.故选：ABD【点睛】数列新定义类的题目，往往有一定的难度，需要在认真分析题意的基础上巧妙运用赋值等方法进行判断，从而快速准确地判断一些选项. 三、填空题13．写出一个同时具有下列性质①②③的函数()f x =______．①()()()1212f x x f x f x =；②()()f x f x -=；③任取1x ，[)20,x ∈+∞，12x x ≠且()()()12120f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦．【答案】2x （答案不唯一）【分析】取()2f x x =，利用幂函数的性质逐一验证即可.【详解】取()2f x x =，函数()f x 为幂函数，满足①；()()2f x x f x -==，则函数()f x 为偶函数，满足②；③表示函数()f x 在[)0,∞+上单调递增，由幂函数的性质可知()2f x x =满足③.故答案为：2x （答案不唯一） 14．函数f （x ）＝ln |x |11x --的零点的个数是 【答案】3【分析】由f （x ）＝0得ln |x |11x =-，然后分别作出函数y ＝ln |x |与y 11x =-的图象，利用数形结合即可得到结论． 【详解】解：由f （x ）＝ln |x |11x -=-0得ln |x |11x =-，设函数y ＝ln |x |与y 11x =-，分别作出函数y ＝ln |x |与y 11x =-的图象如图： 由图象可知两个函数的交点个数为3个， 故函数的零点个数为3个， 故答案为3【点睛】本题主要考查函数零点个数的判断，根据函数和方程之间的关系，转化为两个函数图象的交点个数问题，利用数形结合是解决本题的关键．15．已知函数2(43)3,0()(01)log (1)1,0a x a x a x f x a a x x ⎧+-+<=>≠⎨++≥⎩且在R 上单调递减，则a 的取值范围是_________. 【答案】13[,]34【分析】根据分段函数在R 上单调递减可得01a << ，且二次函数在,2b a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ 上单调递减，所以02ba-≥，且()()2max min4330log 110a x a x a x x x ⎡⎤⎡⎤+-+<≥++≥⎣⎦⎣⎦（）（），从而可得答案．【详解】由题分段函数在R 上单调递减可得01a << 又因为二次函数图像开口向上，所以4302a --≥，解得34a ≤ 且()()2max min4330log 110a x a x a x x x ⎡⎤⎡⎤+-+<≥++≥⎣⎦⎣⎦（）（）， 将0x =代入可得31a ≥，解得13a ≥所以a 的取值范围是13,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查分段函数的单调性，解题的关键是明确01a <<且()()2max min4330log 110a x a x a x x x ⎡⎤⎡⎤+-+<≥++≥⎣⎦⎣⎦（）（）属于一般题．16．已知1a >，2a b ab +-=，则4a b -的最小值为______． 【答案】1【分析】由题可得21a b a -=-，进而可得44131a b a a -=-+--，利用基本不等式即得. 【详解】∵2a b ab +-=，1a >， ∴21111a b a a -==---， ∴44134311a b a a -=-+-≥-=-，当且仅当411a a -=-，即3a =时等号成立，∴4a b -的最小值为1. 故答案为：1. 四、解答题 17．计算下列各式：(1)()3122318642--⎛⎫-++ ⎪⎝⎭(2)552lg 4lg log log 48++．【答案】(1)312； (2)43. 【分析】（1）利用指数幂的运算性质计算即得； （2）利用对数的运算性质及换底公式计算即得.【详解】(1)()()()()331212433212323181864282216-----⎛⎫⎛⎫-++=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭32133128822⎛⎫=+++= ⎪⎝⎭．(2)285551lg 5lg 42lg 4lg log log 4lg 4882lg8lg 5⎛⎫++=⨯+⨯⨯ ⎪⎝⎭14133=+=．18．已知集合1282xA x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，()(){}210B x x a x a =---≤．(1)当2a =时，求A B ；(2)设命题:p x A ∈，命题:q x B ∈，若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 【答案】(1){}23A B x x ⋂=≤≤(2)a ≤【分析】（1）首先解指数不等式得到{}13A x x =-≤≤，再求A B 即可.（2）首先根据题意得到{}21B x a x a =≤≤+，再根据充分不必要条件求解即可.【详解】(1)，2a =时，{}25B x x =≤≤，{}23A B x x ⋂=≤≤(2){}2221310124a a a B x a x a ⎛⎫+-=-+>⇒=≤≤+ ⎪⎝⎭， p 是q 的充分不必要条件，则且A B ≠，所以2a ≤19．已知幂函数()()22722m f x m m x -=+-（m Z ∈）的定义域为R ，且在[)0,∞+上单调递增． (1)求m 的值；(2)[]1,2x ∀∈，不等式()320af x x -+>恒成立，求实数a 的取值范围． 【答案】(1)1m =或3m =- (2)98a >【分析】（1）根据幂函数的性质求解即可.（2）首先根据题意转化为[]1,2x ∀∈，22321132x a x x x -⎛⎫⎛⎫>=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立．再利用换元法求解即可.【详解】(1)22211m m m +-=⇒=或3m =-， 又因为函数()f x 在[)0,∞+上单调递增，1m =，()6f x x -=（舍），3m =-，()2f x x =.(2)[]1,2x ∀∈，2320ax x -+>恒成立，[]1,2x ∀∈，22321132x a x x x -⎛⎫⎛⎫>=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立． 令11,12t x ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，()232g t t t =-，则()g t 在区间13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间3,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减， ()max 3948g t g ⎛⎫== ⎪⎝⎭， 故98a >． 20．已知函数()lg f x x =，若ab >，()()f a f b =，求证：2224a b a b+-≥-． 【答案】证明见解析 【分析】根据分段函数单调性及函数值相等，得到()1,a ∈+∞，()0,1b ∈，利用对数运算得到1ab =，对不等式变形后利用基本不等式进行证明.【详解】证明：()[)()lg ,1,,lg ,0,1,x x f x x x ∞⎧∈+⎪=⎨-∈⎪⎩()f x 在()0,1单调递减：在[)1,+∞上单调递增，所以()1,a ∈+∞，()0,1b ∈，()()()lg lg 0lg 01f a f b a b ab ab =⇒+=⇒=⇒=，()2222224a b ab a b a b a b a b a b-++++==-+---， ()4424a b a b a b a b-+≥-=--，当且仅当 4a b a b -=-即21a =+，21b =-时等号成立，所以2224a b a b ++≥-． 21．某学校为了解本校文、理科学生的学业水平模拟测试数学成绩情况，分别从理科班学生中随机抽取60人的成绩得到样本甲，从文科班学生中随机抽取n 人的成绩得到样本乙，根据两个样本数据分别得到如下直方图：甲样本数据直方图乙样本数据直方图已知乙样本中数据在[)70,80的有10个.（1）求n 和乙样本直方图中a 的值；（2）试估计该校理科班学生本次模拟测试数学成绩的平均值和文科班学生本次模拟测试数学成绩的中位数（同一组中的数据用该组区间中点值为代表）.【答案】（1）50n =，0.018a =；（2）81.5,82.【分析】（1）首先计算乙样本中数据在[)70,80的频率，然后计算样本容量，利用频率和等于1求a ；（2）根据样本平均值和中位数的计算公式分别计算；【详解】（1）由直方图可知，乙样本中数据在[)70,80的频率为0.020100.20⨯=，而这个组学生有10人，则100.20n=，得50n =. 由乙样本数据直方图可知()0.0060.0160.0200.040101a ++++⨯=，故0.018a =.（2）甲样本数据的平均值估计值为()550.005650.010750.020850.045950.0201081.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=.由（1）知0.018a =，故乙样本数据直方图中前三组的频率之和为()0.0060.0160.020100.420.50++⨯=<，前四组的频率之和为()0.0060.0160.0200.040100.820.50+++⨯=>，故乙样本数据的中位数在第4组，则可设该中位数为80x +，由()0.0060.0160.020100.0400.50x ++⨯+=得2x =，故乙样本数据的中位数为80282+=.根据样本估计总体的思想，可以估计该校理科班学生本次模拟测试数学成绩的平均值约为81.5，文科班学生本次模拟测试数学成绩的中位数约为82.【点睛】本题考查了样本频率分布直方图中的相关计算问题，需熟记公式：每个小矩形的面积是本组的频率，频率之和等于1，频数=频率⨯样本容量，样本平均数等于每组数据的中点乘以本组的面积之和，中位数两侧的面积都是0.5.22．已知函数()()log 1x a f x a kx =++（0a >且1a ≠，k ∈R ）是偶函数．(1)求k 的值：(2)若0a ∀>且1a ≠，函数()y f x =的图象与函数()12g x x b =+的图象都没有交点，求b 的值；(3)设函数()24log 3x a h x c a c ⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭，若函数()f x 与()h x 的图象有且只有一个公共点，求实数c 的取值范围．【答案】(1)12k =- (2)0(3){}()31,c ∈-⋃+∞【分析】（1）利用()()f x f x -=列方程，化简求得k 的值.（2）由()()f x g x =分离常数b ，结合对数函数的性质求得b 的值.（3）由()()f x h x =列方程，利用换元法，结合对c 分类讨论来求得c 的取值范围.【详解】(1)()()f x f x =-，即()(log 1log 1)x x a a a kx a kx -++=+-，()()2log 1log 1x x a a kx a a -=+-+，12log log 1x x a a x a kx a x a --⎛⎫+===- ⎪+⎝⎭， 12k =-． (2)()11log 122x a a x x b +-=+，即()log 1x a b a x =+-， ()log 1log x x a a b a a =+-，11log log 1x a a x x a b a a ⎛⎫+⎛⎫==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为111xa +>， 所以()0,1a ∈，()1log 1,0a x y a⎛⎫=+∈-∞ ⎪⎝⎭，()1,a ∈+∞，()1log 10,a x y a ⎛⎫=+∈+∞ ⎪⎝⎭， 所以0b =．(3)由题意得，()22411log log 1log 32x x x a a a x a c a c a x a ⎛⎫⎛⎫+ ⎪⋅-=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭有唯一解， 222244033143x x x x x c a c c a a c a c a ⎧⎛⎫⋅-=⋅->⎪ ⎪⎝⎭⎪⎨+⎪=⋅-⎪⎩有唯一解． 令x t a =，()0,t ∈+∞，有唯一解，()241103c t ct ---=有唯一解． 设()()24113r t c t ct =---， 当1c =时，()413r t t =--，()0,t ∈+∞，()0r t <，所以不符合题意； 当1c >时，()010r =-<，4161616251039999r c c ⎛⎫=---=-< ⎪⎝⎭，所以恰好一个大于43的解：符合题意；当1c <时，()244103c c ⎛⎫∆=-+-= ⎪⎝⎭， 解得3c =-或34， 3c =-，12t =符合题意； 34c =，2t =-不符合题意， 综上，{}()31,c ∈-⋃+∞.【点睛】求解方程根、函数图象的交点、函数零点等问题，可考虑分离常数法来进行求解.如本题中第（2）问，()f x 与()g x 有0个交点，转化为()()f x g x =有0个解，分离常数b 后，转化为b 与1log 1a x y a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象没有交点来进行求解.。