初中数学动点问题及练习题附参考答案

例1.如图，已知在矩形ABCD 中，AD =8，CD =4，点E 从点D 出发，沿线段DA 以每秒1

个单位长的速度向点A 方向移动，同时点F 从点C 出发，沿射线CD 方向以每秒2个单位长的速度移动，当B ，E ，F 三点共线时，两点同时停止运动．设点E 移动的时间为t （秒）． （1）求当t 为何值时，两点同时停止运动；

（2）设四边形BCFE 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式，并写出t 的取值范围； （3）求当t 为何值时，以E ，F ，C 三点为顶点的三角形是等腰三角形； （4）求当t 为何值时，∠BEC =∠BFC ．

例2. 正方形ABCD 边长为4，M 、N 分别是BC 、CD 上的两个动点， 当M 点在

BC 上运动时，保持AM 和MN 垂直， （1）证明：Rt Rt ABM MCN △∽△；

（2）设BM x =，梯形ABCN 的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式；当M 点运动到什么位置时，四边形ABCN 面积最大，并求出最大面积；

（3）当M 点运动到什么位置时Rt Rt ABM AMN △∽△，求此时x 的值．

例3.如图，在梯形ABCD

中，3545AD BC AD DC AB B ====︒∥，，，．

动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t 秒． （09年济南中考） （1）求BC 的长。 （2）当MN AB ∥时，求t 的值．

（3）试探究：t 为何值时，MNC △为等腰三角形．

例1. 解：（1）当B ，E ，F 三点共线时，两点同时停止运动，如图2所示．………（1分） 由题意可知：ED =t ，BC =8，FD = 2t -4，FC = 2t ．

∵ED ∥BC ，∴△FED ∽△FBC ．∴

FD ED

FC BC

=． ∴

2428

t t

t -=．解得t =4．

A

B

C

D E F

O

C

D

M

A B

C

N

图2

A

B

C

D

E

F

∴当t =4时，两点同时停止运动；……（3分）

（2）∵ED=t ，CF=2t ， ∴S =S △BCE + S △BCF =

12×8×4+1

2

×2t ×t =16+ t 2． 即S =16+ t 2．（0 ≤t ≤4）；………………………………………………………（6分）

（3）①若EF=EC 时，则点F 只能在CD 的延长线上，

∵EF 2=2

2

2

(24)51616t t t t -+=-+，

EC 2=222416t t +=+，∴251616t t -+=2

16t +．∴t =4或t=0（舍去）； ②若EC=FC 时，∵EC 2=222416t t +=+，FC 2=4t 2，∴2

16t +=4t 2

．∴t =； ③若EF=FC 时，∵EF 2=2

2

2

(24)51616t t t t -+=-+，FC 2=4t 2，

∴2

51616t t -+=4t 2．∴t 1

=16+，t 2

=16-．

∴当t 的值为4

16-E ，F ，C 三点为顶点的三角形是等腰三角形；………………………………………………………………………………（9分）

（4）在Rt △BCF 和Rt △CED 中，∵∠BCD =∠CDE =90°，

2BC CF

CD ED

==， ∴Rt △BCF ∽Rt △CED ．∴∠BFC =∠CED ．………………………………………（10分） ∵AD ∥BC ，∴∠BCE =∠CED ．若∠BEC =∠BFC ，则∠BEC =∠BCE ．即BE =BC ． ∵BE 2=2

1680t t -+，∴2

1680t t -+=64． ∴t 1

=16+，t 2

=16-．

∴当t

=16-BEC =∠BFC ．……………………………………………（12分）

例2. 解：（1）在正方形ABCD 中，

490AB BC CD B C ===∠=∠=，°， AM MN Q ⊥， 90AMN ∴∠=°，

90CMN AMB ∴∠+∠=°，

在Rt ABM △中，90MAB AMB ∠+∠=°， CMN MAB ∴∠=∠，

Rt Rt ABM MCN ∴△∽△，

（2）Rt Rt ABM MCN Q △∽△， 44AB BM x MC CN x CN

∴=∴=-，， 244

x x CN -+∴=，

N

D

A

C

B

M

()22

2141144282102422ABCN

x x y S x x x ⎛⎫-+∴==+=-++=--+ ⎪⎝⎭

梯形·， 当2x =时，y 取最大值，最大值为10． （3）90B AMN ∠=∠=Q °，

∴要使ABM AMN △∽△，必须有

AM AB

MN BM

=

， 由（1）知

AM AB

MN MC

=

， BM MC ∴=，

∴当点M 运动到BC 的中点时，ABM AMN △∽△，此时2x =．

例3.解：（1）如图①，过A 、D 分别作AK BC ⊥于K ，DH BC ⊥于H ，则四边形ADHK 是矩形

∴3KH AD ==．

在Rt ABK △

中，sin 454AK AB =︒==g

cos 4542

BK AB =︒==g g

在Rt CDH △

中，由勾股定理得，3HC ==

∴43310BC BK KH HC =++=++=

（2）如图②，过D 作DG AB ∥交BC 于G 点，则四边形ADGB 是平行四边形 ∵MN AB ∥ ∴MN DG ∥ ∴3BG AD == ∴1037GC =-=

由题意知，当M 、N 运动到t 秒时，102CN t CM t ==-，． ∵DG MN ∥

∴NMC DGC =∠∠ 又C C =∠∠

∴MNC GDC △∽△

（图①） A D C B K H （图②） A D C B G M

N