水静力学
1 水静力学
△
作用在ABD上 的静水压力 △ FPy 图 微元四面体受力分析
• ①表面力：
（只有各面上的垂直压力即周围液体的静水压力）
dPx dPy dPz dPn
1 px dAx px dydz 2 1 p y dAy p y dxdz 2 1 pz dAz pz dxdy 2 pn dAn
dU fxdx fydy fzdz dp ( fxdx fydy fzdz )
故，dp dU 积分得，p U C 若已知平衡液体边界压强为p0 , 力势函数为U 0，则积分常数为 C p0 U 0 则p （U U 0） p0
巴斯加原理：平衡液体中，边界上的压强
②.自由液面
2 C gz0 1 2 2 r g ( z z0 ) 2 1 2 2 r g ( zs z0 ) 2
式中， (x,y,z) 为液面任意点坐标
为使 z 坐标与液体内部点(x,y,z)区分，用
zs 表示自由液面的铅垂坐标
③.静水压强的分布规律
p p0 g ( zs z) p0 gh
液体的平衡状态
1 静止状态：相对于地球没有相对运动，处于相对静止状态；
2 相对平衡状态：整个液体对于地球而言具有相对运动，但是
液体对于容器或者液体内部质点之间没有相对运动，处于相对
平衡。
dv 0 da 0
水静力学中，无需区分理想液体与实际液体。
1-1 静水压强及其特性
一、静水压强
静水压力：是指液体内部相邻两部分之间相互作用的力或指液体对固
(3)在静止液体中，位于同一深度(h＝常数)的各点的静压 强相等，即任一水平面都是等压面。
水力学 水静力学 水静力学
压力中心位置：
0.6
Ph D dP h
1 h 2 [0.5 2 (0.6 h) cot 600 ]dh 0.37m P 0
1 hD dP h P0
h
受压面为梯形，是对称图形，所以其压力中心位于对称轴上。
§2.5 平面上静水总压力计算 2.5.1 图解法（矩形平面）
PyD ydP gyy sin dA
A
g sin y 2 dA g sin I x
A
yD
g sin I x
P
g sin I x I x g sin yc A yc A
2 （惯性矩平行移轴定理 ） I x I C Ayc
yD
2 I xC Ayc I yc C yc A yc A
dx 1 p pM p x , y, z p dx 2 2 x dx 1 p pN p x , y, z p dx 2 2 x
质量力在x轴的分量为：
fx dx dy dz
X方向的平衡方程：
1 p 1 p dx dydz p dx dydz f x dxdydz 0 p 2 x 2 x
2.3
重力场中流体静压强的分布规律
液体中任一点的压强为：
dp ( f x dx f y dy f z dz )
质量力只有重力：fx＝ fy ＝0， fz ＝－g，可得：
dp gdz
p c z c 积分可得： p gz g g p C 也可变形为 z g
微小面元dA上水压力
dP pdA ghdA
作用在平面上的总水压力 是平行分布力的合力
第二章 水静力学
第二章 水静力学水静力学（Hydrostatics ）是研究液体处于静止状态时的力学规律及其在实际工程中的应用。
“静止”是一个相对的概念。
这里所谓“静止状态”是指液体质点之间不存在相对运动，而处于相对静止或相对平衡状态的液体，作用在每个液体质点上的全部外力之和等于零。
绪论中曾指出，液体质点之间没有相对运动时，液体的粘滞性便不起作用，故静止液体质点间无切应力；又由于液体几乎不能承受拉应力，所以，静止液体质点间以及质点与固壁间的相互作用是通过压应力（称静水压强）形式呈现出来。
水静力学的主要任务是根据力的平衡条件导出静止液体中的压强分布规律，并根据其分布规律，进而确定各种情况下的静水总压力。
因此，水静力学是解决工程中水力荷载问题的基础，同时也是学习水动力学的基础。
§2-1 静水压强及其特性1．静水压强的定义 在静止的液体中，围绕某点取一微小作用面，设其面积为ΔA ，作用在该面积上的压力为ΔP ，则当ΔA 无限缩小到一点时，平均压强A P ∆∆/便趋近于某一极限值，此极限值便定义为该点的静水压强(Hydrostatic Pressure)，通常用符号p 表示，即dA dP A P p A =∆∆=→∆0lim (2-1) 静水压强的单位为2/m N (Pa(帕))，量纲为[][]21--=T ML p 。
2．静水压强的特性静水压强具有两个重要的特性：(1)静水压强方向与作用面的内法线方向重合。
在静止的液体中取出一团液体，用任意平面将其切割成两部分，则切割面上的作用力就是液体之间的相互作用力。
现取下半部分为隔离体，如图2-1所示。
假如切割面上某一点M 处的静水压强p 的方向不是内法线方向而是任意方向，则p 可以分解为切应力τ和法向应力p n 。
从绪论中知道，静止的液体不能承受剪切力也不可能承受拉力，否则将平衡破坏，与静止液体的前提不符。
所以，静水压强唯一可能的方向就是和作用面的内法线方向一致。
(2)静水压强的大小与其作用面的方位无关，亦即任何一点处各方向上的静水压强大小相等。
第二章水静力学
n
= p • D Ax
p =
n n
•
1 2
Dy
•
Dz
代入第一式
F F F px pncos(n, x) x =0 则：
1 2
Dy
Dz
px
1 2
Dy
Dz
pn
1 6
Dx Dy
Dz
fx
=
0
整理后,有
px
pn
1 Dx
3
fx
=
0
当四面体无限缩小到A点时，Dx
p x
=
p n
同理，我们可以推出：
0 因此：
△h
G
z1
2p 2
z2
0
h
G
p
0
（a）
（b）
圆柱上表面的静水压力 F1 = p1DA
圆柱下表面的静水压力 F2 = p2DA
小水柱体的重力
G = gDADh
力的平衡方程 p2DA p1DA gDADh = 0
p 0 ▽
h1 h2
△h
p
11
G
z1
2p 2
z2
0
（a）
p 0 ▽
h
G
p
0 （b）
单位重量的液体在某点所具有的位置势能（单位位
能）：
z1
=
mgz1 mg
z 的能量意义是单位重量液体所具有的位置势能，
称为单位位能。
pa
p1 g
h12
1
z1
pa
p2 g
z2
0
0
Z Fpy
D Fpn Fpx
z
A y CBOFpzYX
相应面上的总压力为
第二部分 水静力学
§2—2 液体平衡的微 分方程及其积分
1．液体平衡的微分方程
设正交六面体中心 点处的静水压强为p，是 坐标的连续函数，即 p=p(x,y,z)，用泰勒级数 展开得M和N点的压强为
pM
p 1 p dx 2 x
pN
p
1 p dx 2 x
ABCD面上的力（p 1 p dx)dydz 2 x
dp=ρ(Xdz+Ydy+Zdz)
积分：p= —ρ（a x +g z）+ C
由边界条件x = z = 0 ,p = p0 C = P0对任一点B（x ，y ）
p p0 (ax gz)
p0
(a g
x
z)
p0
a g
x z
p0 (z z ) p0 h
pc p0 h2 p0 h1 (h2 h1) pA h
p p0 h
水静力学基本方程常用表达式 说明：
(1) 静水压强随深度按线性规律增加。
(2) 液体内任一点的静水压强由两部分组成， 一部分是自由液面上的表面压强po； 另一部分是单位面积上的垂直液柱重量γh 。
§2-3重力作用下静水压强的分布规律
思考： 点A质量为M的液体： 静止时有重力Mg，方向？与Z轴方向？？在X、Y轴方向的投影为？ 则：单位质量力为Mg / M = g ，方向？？
任一点的单位质量力均为g，方向？？
1 ．水静力学基本方程
dp=ρ(Xdz+Ydy+Zdz)
液体平衡微分方程综合式
X 0, Y 0, Z g
思考： 平面上各点的静水压力方向？？ 曲面上各点的静水压力方向？？
2第二章 水静力学
A
p0 h z z0
式中，h=z0-z 表示该点在自由面以下的液柱高度。 上式即计算静水压强的基本公式。它表明，静止液体内任 意点的静水压强由两部分组成：一部分是自由面上的气体 压强p0（当自由面与大气相通时， p0=pa ，为当地大气压 强），另一部分是γh ，相当于单位面积上高度为 h 的水柱 重量。
∆P dP = ∆A→0 ∆A dA lim
静水压力的单位为N或kN； 静水压强的单位为Pa或kPa 。
• 二、静水压强的特性
静水压强有两个重要的特性： 1．静水压强的方向与受压面垂直并指向受压面（垂直指向性）
在平衡液体中静水压强的方向与作用面垂直并指向作用面， 即静水压力只能是垂直的压力。
2．静水压强各向同性（各向等值性）：任一点静水压强的大 小和受压面方向无关，或者说作用于同一点上个方向的静水压 强大小相等。
dp = ρ(−adx − gdz) 积分得 p = ρ(−ax − gz) + C
当x=z=0时，p=p0，故C=p0，从而 a p = ρ(−ax − gz) + C 或 p = p0 + γ (− x − z)
g
令p0=98kPa，x=-1.5m，z=-1.0m，代入上式，得Ａ点压强为
p A = 98 + 9.8[− 0.98 (−1.5) − (−1.0)] = 109.27kPa 9.8
例题分析
一洒水车，以0.98m/s2的等加速度向前行驶，设以水面中心点为 原点，建立xOz坐标系，试求自由表面与水平面的夹角θ；又自 由表面压强p0=98kPa，车壁某点A的坐标为x=-1.5m，z=-1.0m， 求A点的压强。
例题分析
水力学课件 第一章 水静力学
§1.1 静水压强及其特征
联立上面各式代入后得：
1 2
pxyz
1 2
pnyz
1 6
xyzf x
0
1 2
p y xz
1 2
pnxz
1 6
xyzf y
0
1 2
pz xy
1 2
pnxy
1 6
xyzf z
0
联立上面各式代入后得：
1 2
pxyz
1 2
pnyz
1 6
xyzf x
0
1 2
p y xz
1 2
pnxz
§1.4 等压面
一、等压面(Isobaric Surface)：在平衡的液体中， 由压强相等的各点所组成的面叫做等压面。 等压面的重要特性是： 1.在静止的或相对平衡的液体中，等压面同时也是
等势面(Isopotential Surface)。 dp dU
2.在相对平衡的液体中，等压面与质量力正交。
条件：只适用于静止、同种、连续液体
三、气体压强计算
p p0
§ 1.5几种质量力同时作用下的液体平衡
z
gm h z
zs
o
x
以z轴为对称轴的旋转抛物面方程：
R
o
r
x
m
F
y 1 2rBiblioteka gz C 2§ 1.5几种质量力同时作用下的液体平衡 平衡微分方程： dp ( fxdx f ydy fzdz) 质量力：离心惯性力和重力 F m 2r, mg 单位质量力： fx 2 x, f y 2 y, fz g 自由面上压强不变为大气压： dp 0
§ 1.5几种质量力同时作用下的液体平衡
2、圆筒中液体内任一点静水压强分布规律：
第二章水静力学s1ok
压力图法适用于求上、下边与水面平行的矩形 平面上的静水总压力及其作用点的位置。 压力的大小：
1 P = pcA gh 2b =Ωb 2
式中: Ω为压强分布图的面积;b为作用面的宽度。
38
水力学
压力的方向：垂直指向作用面
第 二 章 水 静 力 学
31
水力学
将以上三式代入
dp=ρ(fxdx+ fydy+ fzdz)
第 二 章 水 静 力 学
= ρ (ω2xdx+ ω2ydy－gdz)
积分得
或
1 2 2 2 p （x y ) gz C 2
p g(
2r 2
2g
z) c
由边界条件：x = y = z = 0，p = p0， Ｃ＝p0 得 2r 2 则 p p0 g( z)
35
水力学
静水总压力的作用点
静水总压力P 的作用点称为压力中
第 二 章 水 静 力 学
心，以D表示。为了确定D的位置，必 须求其坐标xD和yD。 用理论力学中的合力矩定理求坐标 xD和yD。
PyD g sin S x yD dPy g sin y 2 dA g sin y 2 dA
13
水力学
1 p fx 0 x
第 二 章 水 静 力 学
fy
1 p 0 y
(1)
1 p fz 0 z
该式为液体的平衡微分方程式。又称为欧拉平衡微 分方程。反映了平衡液体中质量力与压强梯度的关系。 即，在静止液体内部，若在某一方向上有质量力存在，
那该方向就一定存在压强的变化。
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水力学教案第二章水静力学【教学基本要求】1、正确理解静水压强的两个重要的特性和等压面的性质。
2、掌握静水压强基本公式和物理意义，会用基本公式进行静水压强计算。
3、掌握静水压强的单位和三种表示方法；绝对压强、相对压强和真空度；理解位置水头、压强水头和测管水头的物理意义和几何意义。
4、掌握静水压强的测量方法和计算。
5、会画静水压强分布图，并熟练应用图解法和解析法计算作用在平面上的静水总压力。
6、正确绘制压力体，掌握曲面上静水总压力的计算。
【学 习 重 点】1、静水压强的两个特性及有关基本概念。
2、重力作用下静水压强基本公式的物理意义和应用。
3、压强量度与量测。
4、静水压强分布图和平面上的静水总压力的计算。
5、压力体的构成和绘制以及曲面上静水总压力的计算。
【内容提要和教学重点】水静力学的任务是研究液体的平衡规律及其工程应用。
2.1 静水压强及其特性静止液体作用在每单位受压面积上的压力称为静水压强，单位为（N/ m2），也称为帕斯卡（P a）。
某点的静水压强p可表示为：（2—1）静水压强有两个重要特性：（1）静水压强的方向垂直并且指向受压面；（2）静止液体内任一点沿各方向上静水压强的大小都相等，或者说每一点的静水压强仅是该点坐标的函数，与受压面的方向无关，可表示为p = p (x，y，z)。
这两个特性是计算任意点静水压强、绘制静水压强分布图和计算平面与曲面上静水总压力的理论基础。
2.2 等压面液体中由压强相等的各点所构成的面（可以是平面或曲面）称为等压面，静止液体的自由表面就是等压面。
对静止液体进行受力分析，导出液体平衡微分方程即欧拉平衡方程。
根据等压面定义，可得到等压面方程式：X d x+Y d y+Z d z = 0 （2—2）式中：X、Y、Z是作用在液体上的单位质量力在x、y、z坐标轴上的分量，并且（2—3）其中：U是力势函数。
等压面有两个特性：（1）等压面就是等势面；（2）等压面与质量力正交。
2.3重力作用下的静水压强基本公式重力作用下的静水压强基本公式（水静力学基本公式）为p = p0+γh（2—4）式中：p0—液体自由表面上的压强，h—测压点在自由面以下的淹没深度，γ—液体的容重。
该式表明：静止液体内任一点的静水压强由两部分组成，一部分是液体表面压强p0，它将等值地传递到液体内每一点；另一部分是高度为h 的液柱产生的压强γh。
该式还表明，静水压强p沿水深呈线性分布。
对于连通器，水深相同的点组成的面是等压面；当自由表面是水平面时，等压面也是水平面。
2.4绝对压强、相对压强和真空度由物理学可知，大气也有压强，它是地面以上高达二百多公里的大气层在单位面积上造成的压力，其值由托里拆利实验测定。
一个标准大气压1p atm＝101.293kN/m2=760mmHg柱=10.33m水柱。
像这种以设想的没有大气压存在的绝对真空状态为零点计量得到的压强称为绝对压强，以p ab或p＇来表示。
由于大气压强随海拔高程而变化，地球上不同地点的大气压强值不同，故提出了当地大气压的概念。
但利用当地大气压强进行水力计算很不方便，为此，在水力学中又提出了工程大气压的概念，取一个工程大气压1p a=98kN/m2=736mmHg柱=10m水柱，显然略小于标准大气压。
以当地大气压作为零点计量的压强是相对压强p，若当地大气压强用绝对压强表示为p a，则相对压强与绝对压强的关系为：p= p＇- p a（2—5）当液面与大气相连通时，根据相对压强的定义，液面压强可表示为p0 = 0 ，根据式（2—4），静止液体中某点的相对压强为： p=γh （2—6）这是用相对压强表示的静水压强基本公式，该式也可表示为：（2—7）即用液柱的高度表示某点的压强，这是压强表示的另一种方法，也是用测压管量测某点压强的依据。
当液体中某点的绝对压强小于当地大气压强，该点的相对压强为负值，则称该点存在真空。
负压的绝对值称为真空压强hυ，即（2—8）请注意：绝对压强永远是正值，相对压强可正也可负，真空压强（真空度）不能为负值。
最小的真空压强为零，这时相对压强也为0，而绝对压强p＇= 1工程大气压= 98kN /m2，用液柱高度表示绝对压强为相当与10米水柱。
压强的计量单位有三种：（1）用应力单位表示：N /m2（P a）或kN /m2（kP a）；（2）用大气压的倍数表示：即p a=98kN /m2，用p a的倍数表示；（3）用液柱高度：米水柱高度（mH2O）或毫米水银柱高度（mmHg）。
它们之间的关系为：1p a = 98kN /m2， mH2O， mmHg2.5水头和单位势能重力作用下静水压强基本公式可表示为：p = p0+γ(z0- z)或z+ = c (2—9)式中：z0和z分别是液面和液体内某点相对于某个基准面的位置高程，常数c= z0 + 。
该式表示：重力作用下静止液体内任一点的（）都相等。
z和都是长度量，而且都具有能量的含义，z是单位重量液体所具有的位能，是单位重量液体具有的压能。
水力学中习惯用“水头”来称呼这些具有能量意义的长度量，即z称为位置水头（即单位重量液体具有的位置势能），称为压强水头（单位重量液体具有的压强势能），而（）称为测压管水头（表示单位重量液体具有的总势能）。
因此，水静力学基本方程也可表述为：静止液体中各点的测压管水头维持同一常数。
该方程实质上反映了静止液体中的能量守恒规律。
应用时需要注意公式中各物理量的正负号：位置水头z的正负与基准面有关，点的位置在基准面以上，z为正，点的位置在基准面以下，z为负。
压强水头的正负与基准面无关，与测压管液面（大气压强作用面或相对压强为零的面）有关，点的位置在测压管液面以上，为负，点的位置在测压管液面以下，为正。
称为测压管水头，其值的正负既与基准面有关，又与测压管液面有关。
测压管液面在基准面以上，为正；测压管液面在基准面以下，为负。
表示静止液体中各点对同一基准面所具有的测压管水头维持同一常数。
基准面不同，常数值不同。
大家注意，重力作用下静水压强的两个基本公式中并未对压强p做什么明确的说明，但这里要强调，公式中的压强可用绝对压强，也可用相对压强，只要两者用同一起算基准，即p0为绝对压强，求得的p也必为绝对压强。
但公式中的压强p只能用相对压强，因为代表测压管水头，即测压管中液柱上升的高度，实际上液柱只能上升相对压强所代表的水头高度。
若用绝对压强表示，则与实际情况不符。
2.6压强的测量和计算测量液体的压强，可以用压力表（机械式压强量测仪表）、压力传感器（电测方法）等量测仪器，也可以用水静力学原理设计的测压管、比压计、U型水银测压计等量测仪器和方法。
静水压强的量测和计算的理论依据是水静力学基本公式和连通器中等压面关系。
2.7静水压强分布图静水压强分布图可以形象地反映受压面平上的压强分布情况，并能据此计算矩形平面上的静水总压力。
用比例线段表示压强的大小，根据静水压强特性，用垂直受压面的箭头表示静水压强的方向，根据静水压强沿水深是线性分布的规律，绘出平面上两点的静水压强并把其端线相连，即可确定平面上静水压强分布图。
绘制静水压强分布图时，一般按相对压强绘制，因为大气压强无处不在。
需要指出的是：当受压面两侧均有液体作用时，可以用受压面两侧静水压强分布图进行合成，箭头代表合压强的方向。
在相对压强分布图中，当外侧是大气压强时且表示压强方向的箭头背向受压面时，说明受压面上的相对压强是负压或存在真空。
2.8作用在平面上静水总压力（1）对于矩形平面，应用静水压强分布图可以求出作用在平面上静水总压力的大小为P=Ωb （2—10）式中：是静水压强分布图的面积，b和L分别是矩形平面的宽度和长度，h1和h2分别是矩形平面上边和底边处的水深。
静水总压力是平行力系的合成，根据静水压强的特性，静水总压力的方向垂直指向该平面。
静水总压力的作用点D（又称压力中心）位于纵向对称轴上，D到底边的距离e为（2—11）这样作用在平面上静水总压力的三个要素——大小、方向、作用点都可以确定了。
在应用式（2—11）进行计算时需要注意h1和h2的含义。
（2）用解析法求作用在任意形状平面上的静水总压力作用在任意形状平面上静水总压力的大小等于该平面面积与其形心处点的静水压强的乘积，即P=p c A=γh c A（2—12）总压力的作用点（压力中心）D点的坐标为（2—13）或者（2—14）式中：p c是平面形心处的静水压强；h c是平面形心C在液面下的淹没深度；y D是压力中心D距ox轴的距离；y c为形心距ox轴的距离；I c为面积A 对过形心C的水平轴的惯性矩，矩形平面的I C=bh3/12 ，圆形断面的I C=πd4/64；e1为偏心矩，即压力中心D到形心C的距离。
2.9作用在曲面上的静水总压力求作用在曲面上的静水总压力P，可先求出其水平分力P x和铅垂分力P z，然后合成为总压力P。
（1）静水总压力的水平分力P x等于作用在该曲面的铅垂投影面A x上的静水总压力，即 P x = p c A x = γh c A x（2—15）式中h c是投影面A x的形心点水深。
P x的方向垂直于投影面A x，作用点位于A x压力中心。
（2）静水总压力的铅垂分力P z等于曲面所托压力体的水重。
压力体是由三部分表面围成的体积V：即受压的曲面、通过曲面的边缘向液面或液面的延长面作的铅垂平面和自由液面或自由液面的延长面。
这时静水总压力的铅垂分力P z为P z=γV（2—16）铅垂分力P z的方向按如下原则确定：当压力体与液体在受压曲面的同侧，P z的方向向下；当压力体与液体在受压曲面的两侧，则P z的方向向上，并且P z的作用线通过压力体的形心。
（3）作用在曲面上的静水总压力P为（2—17）总压力与水平方向的夹角α为（2—18）请注意，在许多工程问题中，如重力坝的稳定分析，通常不需要计算总压力，而是直接用水平分力和铅垂分力来分析的。
对于三维曲面，除了有x方向水平分力P x，还有y方向水平分力P y，P y的计算方法同P x 。
根据作用在曲面上静水总压力的计算原理可以证明：浸没在水中的物体受到静水压力的合力F等于物体在水中所排开水体的重量，即F=γV，V是物体的体积，而且合力的方向向上。
F也称为物体受到水的浮力，浮力的作用线通过物体所排开水体的形心，这就是著名的阿基米德定律。
根据物体受到的重力G和浮力F间大小的对比，可以确定物体是处在沉浮或随遇平衡状态。
【思考题】2—1什么是静水压强？静水压强有什么特性？2—2什么是等压面？等压面有什么性质？2—3水静力学基本方程的形式和表示的物理意义是什么？2—4静止液体中沿水平方向和垂直方向的静水压强是否变化？怎么变化？2—5在什么条件下“静止液体内任何一个水平面都是等压面”的说法是正确的？2—6图示为复式比压计，请判断图中A—A、B—B、C—C、D—D、C—E中哪些是思2—6图等压面？为什么？2—7请解释下列名词的物理意义：绝对压强，相对压强，真空和真空度，水头，位置水头，压强水头和测压管水头，并说明水头与能量的关系。