《图形的认识与测量》知识梳理及典型例题

10 V 3.14 14 18 2 1256 cm3 2
2
18
底面直径：10


四边形
圆（圆、扇形） 长方体、正方体
立体图形 圆柱、圆锥
球 周长 图形的测量
面积（面积、表面积） 体积（体积、容积）
二、三角形 1、三角形的分类
按角分
锐角三角形
按边分
三角形 等腰三角形 等边三角形
2、三角形
性质 ①三角形具有稳定性； ②三角形两边之和大于第三边。 内角和 三角形的内角和是180°。 ※ n边形的内角和（n－2）×180°
分析:要求长方形的面积，必须知道长和宽。在题目
中，长是80米，但宽是未知数，因此要先求出宽是多
少，然后才能求面积。 解:长方形的宽：80÷4＝20（米）
长方形的面积：80×20＝1600（平方米）
下图中的六个圆的半径都是4厘米，那么图中长方形的 面积是多少平方厘米？
解:长方形的长是：4×2×3＝24（厘米）
三、四边形 1、四边形的特征
边 平行四边形 两组对边分别平行，且相等 长方形 正方形 梯形 两组对边分别平行，且相等 两组对边分别平行，四条边都相等 只有一组对边平行 角 四个角，且对角相等 四个角都是直角 四个角都是直角
三、四边形 2、四边形的关系图
四边形
平行四边形 长方形 正方形 等腰 梯形 直角 梯形 梯形 有一个角 是直角的 梯形
垂直
①经过直线上或直线外一点，有且只有一条直线和已知直线垂直。 ②从直线外一点到直线的线段中，垂线段最短。 平行
①经过直线外一点，有且只有一条线段与这条直线平行。
②如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平 行。
如下图，分别过A点，画两条直线的垂线。
分析:画垂线的方法,①三角板的一条直 边与已知直线重合；②平移三角板，使 另一条直边与点重合；③按住三角板， 沿一条直角边向另一条直角边画直线。
分析:需先求出角的度数后判定是什么三角形。根据 三个角的比可求出三角形中最大的角
是：
所以是钝角三角形。
，因为120°的角是钝角，
线（直线、射线、线段）和角 平面图形 图 形 的 认 识 和 测 量
三角形
四边形
圆（圆、扇形） 长方体、正方体
立体图形 圆柱、圆锥
球 周长 图形的测量
面积（面积、表面积） 体积（体积、容积）
.A
B
C
解:如图，直线AB、AC就是所要画 的垂线，垂足分别是点B和点C。
.A
6、角
角的组成
2条边；1个顶点。 B 0
角的表示方法
记作：∠AOB或∠BOA或∠1 角的分类
角的名称 锐角 0°＜a＜90° 直角 a＝90°
.
1
A
钝角 90°＜a＜180°
平角 a＝180°
பைடு நூலகம்
周角 a＝360°
度数范围
长方形的宽是：4×2×2＝16（厘米）
长方形的面积：24×16＝384（平方厘米）
右图是一个梯形，高为6厘米。 求它的面积。（单位：厘米）
45°
45°
分析:已知梯形的高是6厘米，那么需要求出上底和下 底的长。由图可知，左右两个三角形是等腰直角三角 形，由此可以知道上底和下底的和是6厘米。 解:6×6÷2＝18（平方厘米）
圆锥
线（直线、射线、线段）和角 平面图形 图 形 的 认 识 和 测 量
三角形
四边形
圆（圆、扇形） 长方体、正方体
立体图形 圆柱、圆锥
球 周长 图形的测量
面积（面积、表面积） 体积（体积、容积）
三、球
球 球的表面是一个曲面 O——球心 半径r，直径d，d＝2r
O
.
线（直线、射线、线段）和角 平面图形 图 形 的 认 识 和 测 量
名称 图形 a 周长 面积
正方形
C＝4a
a
S＝a 2
梯形
h
b
a＋b × h S＝ 2
1、平面图形的周长和面积公式
名称 圆 图形 周长 面积
r
d
C＝ d＝2 r
S＝ r 2
扇形
n°r
r . R
S＝
r2
360
n
环形
S＝ R 2－ r 2
一个长方形的长是80米，它是宽的4倍，这个长方形的 面积是多少?
2、射线没有端点。
. . ..
A B
C
D
分析:直线1条；射线8条，分别是以A、B、C、D为端点左右两条，
有4×2＝8条；线段有6条，分别是线段AB、BC、CD、AC、BC、AD。
5、两条直线之间的关系
关系展示图
关系 平行 相交 相交 垂直
图例 展示 特点 没有交点 只有一个交点 相交成直角
5、两条直线之间的关系
分析:侧面展开后是正方形，可以知道圆柱的高就是
正方形的边长，也是圆柱的底面周长。
解:半径：37.68÷3.14÷2＝6（厘米） 体积：3.14×6×6×37.68 ＝4259.3472≈4259（立方厘米）
计算下面图形的体积。（单位：㎝） 14
分析：这是一个不规则的立体图形， 可以通过“补形”拼成一个圆柱， 如图所示，所求的体积是圆柱体积 的一半。
∠2＝36°，则∠1＝（ 36° ）度。
0
.
1
3
B
2
A
分析:图中3个角是由4条射线相交于一点组成，并且 由已知条件的，∠3和∠2为同一个角的两部分，所 以∠2＝90°－∠3；同理∠1＝ 90°－∠3，所以
∠1＝∠2＝36°。
线（直线、射线、线段）和角 平面图形 图 形 的 认 识 和 测 量
三角形
2、射线
射线的表示方法 记作：射线OA
. .
O A
射线 ①射线只有一个端点，只能向一方无限延伸，不 可以测量长度； ②从一点可以引出无数条射线。
3、线段
线段
直线上任意两点之间的部分叫做线段。这两点叫做线段的端点。
线段的表示方法 A B
.
.
.
a
.
线段的性质 两点之间，线段最短。
4、直线、射线和线段之间的联系与区别
高 底
用长度分别是2、3、5厘米的小棒可以围成一 个三角形。（ × ） 两个完全一样的三角尺拼成一个三角形，这个 三角形的内角和是180°。（ √ ） 两个完全一样的三角尺拼成一个长方形，这个 三角形的内角和是180°。（ × ）
若一个三角形三个内角的度数比是6:2:1，那 么这是一个（ 钝角 ）三角形。
2、零度刻度线和角的一条边重合； 3、角的另一条边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数。
下图是一长方体折起来以后的图形。已知∠1＝30°， ∠2的度数是多少？
2 1
解：如果把折起来的纸打开，就可以得到由2个∠2 和1个∠1组成的1个平角；
所以，∠2＝（180°－30°）÷2＝75°。
D
C
右图中∠AOC＝∠DOB＝90°，
直线、射线和线段的联系与区别
直线 射线 线段 没有端点，可以向两方无限延伸 一个端点，可以向一方无限延伸 有两个端点 不可以测量长度 不可以测量长度 可以测量长度
判断正误。 1、直线是无限长的。 √
× 3、一条直线上的两点把这条直线分成3条射线。 × 填空题。 下图中共有（ 1 ）条直线，（ 8 ）条射线， （ 6 ）条线段。
6、角
角的大小是由两条边张开的程度决定的，与边的长短无关。
例如：用一个能将物体放大10倍的放打井观察一个45°的角， 角的大小不变。 角的度量 角的计量单位是“度”，用“°”表示。
例如：45度记作“45°”。
一般度量角的工具是量角器。
6、角
1
1、把量角器放在角的上面；使量角器的中心和角的顶点重合；
两腰相等 的梯形
判断正误。 1、两个完全一样的三角形能拼成一个长方形。 2、正方形也是一个平行四边形。
3、两个高相等的平行四边形拼在一起还是平行 四边形。
√ √
×
线（直线、射线、线段）和角 平面图形 图 形 的 认 识 和 测 量
三角形
四边形
圆（圆、扇形） 长方体、正方体
立体图形 圆柱、圆锥
球 周长 图形的测量
线（直线、射线、线段）和角 平面图形 图 形 的 认 识 和 测 量
三角形
四边形
圆（圆、扇形） 长方体、正方体
立体图形 圆柱、圆锥
球 周长 图形的测量
面积（面积、表面积） 体积（体积、容积）
一、线（直线、射线、线段）和角 1、直线
直线的表示方法 记作：直线AB或直线BA或直线a
. .
A
B
a
直线 ①直线没有端点，它可以向两方无限延伸，不可 以测量其长度； ②两点确定一条直线。
表面积与体积公式
名称 图形 表面积 体积
S侧 Ch 2 rh
圆柱 h r o
S表 =2 rh+2 r 2
C是底面周长
V =S底h r 2h
圆锥
o
h r
1 1 V = S底 h r 2 h 3 3
一个圆柱的高是37.68厘米，它的侧面展开后恰好是正 方形，这个圆柱的体积是多少立方厘米（π取3.14， 结果保留整数）
正方体
6个
12个
8个
6个面都是相等的正 12条棱都 方形 相等
李老师有一个正方体教具，里面放了一个礼品，准 备送给答对问题的同学。下面的四幅展开图中，哪 C 幅是图中正方体的展开图？ A B C A B C B A
C A B
C B
A
线（直线、射线、线段）和角 平面图形 图 形 的 认 识 和 测 量
三角形
四边形