结构化学-晶棱和晶面指数的计算方法
第三节 晶列和晶面指数
Solid State Physics
简单立方晶格的晶向标志 —— 由于立方晶格的对称性，以上3组晶向是等效的 —— 表示为
100 110 111
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2 晶向指数 (direction indices)
一组能表示晶列方向的数称为晶向指数。 晶向指数可根据晶列上格点的周期性，用如下的方法来表标志：
取晶列直线上一格点为坐标原点，该晶列上另一格点相对该点的
位矢为：
R l ' l1 ' a 1 l 2 ' a 2 l 3 ' a 3
，得第一晶面满足的方程组：
co s( a 1 , n ) d
co s( a 2 , n ) d
（1.3.4）
1 h3
co s( a 3 , n ) d
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晶面的标志 晶体的晶面 —— 在布拉伐格子中作一簇平行的平面 这些相互平行、等间距的平面可以 将所有的格点包括无遗
—— 这些相互平行的平 面称为晶体的晶面
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同一个格子，两组不同的晶面族
C D B A
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晶面指数计算公式
晶面指数计算公式晶面指数是晶体学中用来描述晶面方向的重要概念，而晶面指数的计算公式则是我们理解和确定晶面的关键工具。
在晶体结构中，晶面是由一系列原子排列所构成的平面。
为了准确地描述这些晶面在空间中的取向，我们就需要用到晶面指数。
晶面指数的计算其实有一套相对固定的方法。
首先，我们要找出晶面在三个坐标轴上的截距。
这可不是随便找的哦，得是实实在在的数值。
比如说，一个晶面在 X、Y、Z 轴上的截距分别是 2a、3b、4c（这里的 a、b、c 是晶格常数）。
接下来，就要进行倒数计算啦。
把这些截距的数值取倒数，就得到1/2、1/3、1/4 。
但是还没完呢，我们还得把这些倒数化作互质的整数。
怎么化呢？就是将它们分别乘以它们分母的最小公倍数。
在这个例子里，最小公倍数是 12 ，所以经过计算后，得到 6、4、3 。
最后，把这组整数括在圆括号里，就得到了这个晶面的指数(643) 。
我还记得之前给学生们讲这个知识点的时候，有个小调皮鬼一直搞不明白为啥要这么算。
我就给他打了个比方，我说这就好比咱们分蛋糕。
晶面就像是蛋糕的切面，坐标轴就是切蛋糕的刀，截距就是每一刀下去切到的位置。
而计算晶面指数呢，就是把这些切的位置给规范化，方便咱们统一描述和交流。
那孩子听了之后，眼睛一下子亮了起来，好像突然就开窍了。
从那以后，每次遇到晶面指数的计算，他都特别积极，还能给其他同学讲明白呢。
在实际的研究和应用中，晶面指数的准确计算对于理解晶体的物理和化学性质都有着至关重要的作用。
比如说，不同的晶面可能具有不同的表面能，这会影响晶体的生长过程和形态。
总之，晶面指数计算公式虽然看起来有点复杂，但只要我们掌握了方法，多做几道练习题，就一定能轻松拿下它。
相信大家在今后的学习和研究中，都能熟练运用这个工具，去探索晶体世界的奥秘！。
结构化学-晶棱和晶面指数的计算方法
§1-2 晶棱和晶面指数这一节主要是讨论表示利用晶格的概念来表示晶棱和晶面的方法。
晶棱与晶向：由于晶体结构的周期性，晶格中各格点的周围情况都是一样的，因此通过任意两个格点作一条直线，则在直线上所有格点的周期相同，这样的直线称为晶棱。
再通过其它格点还可以做许多与此晶棱平行的直线，这些平行直线组成一个晶棱族，如图1-8所示。
同一晶棱族的方向相同，而且能把所有点子包括无遗。
此外，通过同一格点还可沿不同方向作无限多晶棱，如图1-9中通过O的晶棱有1、2、3、4、5等等，其中每一个晶棱都有一组晶棱与之对应，就是说，可以做无限多个晶棱族，各族晶棱可以通过取向不同而加以区别。
晶棱的取向也简称晶向。
只要表出了晶向，该组晶棱的特点也就知道了。
图1-8 一族晶棱示意图图1-9 通过格点O的部分晶棱示意图晶向的表示方法：取格点O为原点，a、b、c为晶胞的三个基矢，则其它任一格点A 的位置矢量为式中l1、l2、l3为整数（或有理数）。
取l1、l2、l3的互质比，即l1：l2：l3来表示晶棱OA 的方向，通常不直接用比例记号，该用方括号[l1l2l3]表示。
例如在图1-9中，晶棱1上A点为l1=1，l2=1，l3=0；B点为l1=2，l2=2，l3=0；比值为：l1:l2:l3=1:1:0=2:2:0，由此可得晶棱1的方向为[110]。
同理可得晶棱2的方向为[320]，晶棱4的方向为[30]，其中记号“”代表“-1”。
三个晶轴a、b、c的方向分别为[100]、[010]、[001]（c轴与图平面垂直，未画出）。
晶面与晶面指数：晶格中，还可以从各个方向上划分成无限多平面，即晶面族，如图1-10所示。
同一族晶面中，彼此距离相等，方向相同，格点在晶面上的分布也相同。
晶体的表面也是晶面，通常应该是原子面密度比较大的面。
现在问题是如何表示这些晶面族的方向。
图1-10 部分晶面族示意图从立体几何中知道，要描述一个平面的方向，就是表示出这个平面在三个坐标轴上的截距。
《晶列和晶面指数》课件
透射电子显微镜法
通过透射电子显微镜观察晶 体和晶面的结构。
干涉显微镜法
通过干涉显微镜测量晶体和 晶面的参数。
晶列和晶面的实际应用
1
药物研发
2
分析晶体结构以进行药物晶型的选择。
3
材料科学
研究晶体结构以优化材料性能。
能源领域
优化晶体结构以提高能源转换效率。
结论和总结
晶列和晶面指数是研究晶体结构和性质的重要工具，广泛应用于材料科学、 药物研发和能源领域等。
《晶列和晶面指数》PPT 课件
晶体和晶面的定义
பைடு நூலகம்
晶列指数和晶面指数的定义
1 晶列指数
晶列指数用来描述晶体内原子排列的规则性。
2 晶面指数
晶面指数表示晶体表面所处位置的标识。
晶列和晶面的表示方法
晶列 晶面
方向和摆放顺序的指数 截距和晶面位置的指数
晶列和晶面的求解方法
X射线衍射法
利用X射线衍射实验测量晶体 和晶面的参数。
3、晶列、晶面指数、倒格空间讲解
第 13 页
§1.4 晶列 晶面指数
晶面族的两种标示方法：
晶面族的标示方法一：以固体物理学原胞基矢 a1、a2、a3 为坐 标系三个轴，用晶面族的法线的方向余弦(h1h2h3)来标示晶面，称为该 晶面族的晶面指数。
晶面族的标示方法二：以结晶学原胞基矢 a、b、c 为坐标系三 个轴，用晶面族的法线的方向余弦(hkl)来标示晶面，称为该晶面族的 密勒指数。
第3页
(1,0,0)
(0,1,1)
§1.4 晶列 晶面指数
第4页
§1.4 晶列 晶面指数
晶向上原子排列规律相同但空间方位不同的晶向属于同一晶向族， 用<uvw>表示。
立方边一共有六个不同的晶向，如图：
[100].[010].[001].[100].[010].[001]
第5页
§1.4 晶列 晶面指数
r st
第 10 页
晶面指数与截距的关系
§1.4 晶列 晶面指数
截距为（r，s，t）的晶面族中，总有两个晶面分别通过基矢的两端，
从而这个晶面族把基矢 a1, a2 分, a别3 截成
h1, h2个, h3等长的小段。
由图可以看出，该晶面系中离原点 最近的晶面（ μ ＝1）的截距分别是
a1 , a2 , a3 h1 h2 h3
n)
d
(2)
ta3 cos(a3 , n)
d
取a1、a2、a3为沿三个轴的自然的长度单位， 得：
cos(a1, n) : cos(a2 , n) : cos(a3 , n) 1 : 1 : 1 (3)
r st
第9页
§1.4 晶列 晶面指数
晶面的法线方向n与三个坐标轴（基矢）的夹角的余 弦之比等于晶面在三个轴上的截距的倒数之比。 cos(a1, n) : cos(a2 , n) : cos(a3 , n) 1 : 1 : 1 (3)
3、 晶列、晶面指数、倒格空间
a1, a2 分别截成 , a3
个等长的小段。 h1 , h2 个等长的小段。 , h3
由图可以看出，该晶面系中离原点 由图可以看出，该晶面系中离原点 最近的晶面（ µ ＝1）的截距分别是 最近的晶面（
a1 a 2 a 3 , , h1 h 2 h 3
由方程（2）就得到第一晶面满足的方程组： 由方程（ 就得到第一晶面满足的方程组： 第一晶面满足的方程组
x ⋅ n = µd ⋯⋯(1)
μ为整数， x是晶面上任意点的位矢。 为整数， 是晶面上任意点的位矢。
第一章 晶体的结构
第8页
设此晶面与三个坐标轴的交点的截距分别为： 设此晶面与三个坐标轴的交点的截距分别为： ra1、sa2、ta3,依次代入上 式就得到： 式就得到：
ra 1 cos( a 1 , n ) = µ d sa 2 cos( a 2 , n ) = µ d ta 3 cos( a 3 , n ) = µ d
第一章 晶体的结构
第 19 页
本节讨论的倒格子（倒易点阵、倒格空间） 本节讨论的倒格子（倒易点阵、倒格空间）与后面 将要提及的布里渊区，就是试图给出晶体中传播的波的 将要提及的布里渊区， 一些普遍的几何特性。 一些普遍的几何特性。 1913年 1913年， 德国人厄瓦耳（P.P.Ewald1888-1985 ） 德国人厄瓦耳（P.P.Ewald1888为解释X射线的单晶衍射的结果，提出了厄瓦耳球的概念， 为解释X射线的单晶衍射的结果，提出了厄瓦耳球的概念， 同时引进倒易空间的概念。 同时引进倒易空间的概念。
§1.4 晶列 晶面指数 晶体的基本特征是具有方向性，沿晶体的不同方向，晶体性质不同。 晶体的基本特征是具有方向性，沿晶体的不同方向，晶体性质不同。 1、晶列和晶列族 联结任意二个格点的一条直线上包含无 限个相同格点，这样的一条直线称为晶列 晶列。 限个相同格点，这样的一条直线称为晶列。 同一个格子可以形成方向不同的晶列。 同一个格子可以形成方向不同的晶列。 每一个晶列定义了一个方向，称为晶向， 每一个晶列定义了一个方向，称为晶向， 晶向 它的确定依赖于晶体单胞的基矢。 它的确定依赖于晶体单胞的基矢。 所有与该晶列平行的全同晶列（ 所有与该晶列平行的全同晶列（有无穷 多个）的集合称为晶列族 晶列族。 多个）的集合称为晶列族。
晶体学基础(晶向指数与晶面指数)word版本
1.4 晶向指数和晶面指数一晶向和晶面1 晶向晶向：空间点阵中各阵点列的方向（连接点阵中任意结点列的直线方向）。
晶体中的某些方向，涉及到晶体中原子的位置，原子列方向，表示的是一组相互平行、方向一致的直线的指向。
2 晶面晶面：通过空间点阵中任意一组阵点的平面（在点阵中由结点构成的平面）。
晶体中原子所构成的平面。
不同的晶面和晶向具有不同的原子排列和不同的取向。
材料的许多性质和行为（如各种物理性质、力学行为、相变、X光和电子衍射特性等）都和晶面、晶向有密切的关系。
所以，为了研究和描述材料的性质和行为，首先就要设法表征晶面和晶向。
为了便于确定和区别晶体中不同方位的晶向和晶面，国际上通用密勒（Miller）指数来统一标定晶向指数与晶面指数。
二晶向指数和晶面指数的确定1 晶向指数的确定方法三指数表示晶向指数[uvw]的步骤如图1所示。
(1)建立以晶轴a，b，c为坐标轴的坐标系，各轴上的坐标长度单位分别是晶胞边长a，b，c，坐标原点在待标晶向上。
(2)选取该晶向上原点以外的任一点P(xa，yb，zc)。
(3)将xa，yb，zc化成最小的简单整数比u，v，w，且u∶v∶w = xa∶yb∶zc。
(4)将u，v，w三数置于方括号内就得到晶向指数[uvw]。
图1 晶向指数的确定方法图2 不同的晶向及其指数当然，在确定晶向指数时，坐标原点不一定非选取在晶向上不可。
若原点不在待标晶向上，那就需要选取该晶向上两点的坐标P(x1，y1，z1)和Q(x2，y2，z2)，然后将(x1-x2)，(y1-y2)，(z 1-z 2)三个数化成最小的简单整数u ，v ，w ，并使之满足u ∶v ∶w =(x 1-x 2)∶(y 1-y 2)∶(z 1-z 2)。
则[uvw ]为该晶向的指数。
显然，晶向指数表示了所有相互平行、方向一致的晶向。
若所指的方向相反，则晶向指数的数字相同，但符号相反，如图3中[001]与[010]。
说明： a 指数意义：代表相互平行、方向一致的所有晶向。
晶向指数和晶面指数
在晶体结构上本来是等价的晶面却不具有 类似的指数，给研究带来不方便。 解决的办法是引入四指数，即引入四个坐标 轴：a1,a2,a3,c,其中a1,a2,c,不变， a3＝－( a1+a2) 引入四指数后，晶体学上等价的晶面具有 类似的指数。 例如：{1010}=(1010),(1100),(0110) {1120}=(1120),(1210),(2110)
指标的不唯一性
在确定六角晶系的晶向、晶面的四轴指标时， 会出现新的问题：指标不唯一。 例如：a1轴的指标可以是[1000]，也可以是 [2110]. 解决方法：加限制条件：前三个指标之和 为0 例如：晶向指标为[u v t w],则u+v+t=0,故a1 轴的指标应选[2110].
晶向四指数的解析求法：
(1) (2) (3)
金刚石、闪锌矿结构的图示法
• 该图为金刚石惯用元胞 在{100}面上的投影,图 中“0”,“1/2”表示一个 fcc的原子. • “1/4”,“3/4”表示另一个 fcc的原子; • “•”表示共价键上的电子.
• 注意：化互质整数时，所乘的因子的正、
负并未限制，故[100]和[100]应视为同一晶 向。 • 例1：在立方晶系中，〈100〉代表
[100],[010],[001]三个等效晶向。
例2：在立方晶系中，{100}代表(100), (010), (001)三个等效晶面族。
有时为了表示一个具体的晶面，也可以 不化互质整数。 例3：(200)指平行于(100)，但与a轴截距 为a/2的晶面。
说明：若选用基矢坐标系，方法类似，显
然数值是不同的。
说明
六角晶系的四指数表示 以上三指数表示晶向、晶面原则上适用 于任何晶系，但用于六角晶系有一个缺点： 晶体具有等效的晶面、晶向不具有 类似的指数。 例：六棱柱的两个相邻的外表面在晶体学 上应是等价的，但其密勒指数却分别为 (100)和(110)。夹角为600的密排方向是等 价的，但其方向指数却为[100]和[110].
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§1-2 晶棱和晶面指数
这一节主要是讨论表示利用晶格的概念来表示晶棱和晶面的方法。
晶棱与晶向：由于晶体结构的周期性，晶格中各格点的周围情况都是一样的，因此通过任意两个格点作一条直线，则在直线上所有格点的周期相同，这样的直线称为晶棱。
再通过其它格点还可以做许多与此晶棱平行的直线，这些平行直线组成一个晶棱族，如图1-8所示。
同一晶棱族的方向相同，而且能把所有点子包括无遗。
此外，通过同一格点还可沿不同方向作无限多晶棱，如图1-9中通过O的晶棱有1、2、3、4、5等等，其中每一个晶棱都有一组晶棱与之对应，就是说，可以做无限多个晶棱族，各族晶棱可以通过取向不同而加以区别。
晶棱的取向也简称晶向。
只要表出了晶向，该组晶棱的特点也就知道了。
图1-8 一族晶棱示意图
图1-9 通过格点O的部分晶棱示意图
晶向的表示方法：取格点O为原点，a、b、c为晶胞的三个基矢，则其它任一格点A 的位置矢量为
式中l1、l2、l3为整数（或有理数）。
取l1、l2、l3的互质比，即l1：l2：l3来表示晶棱OA 的方向，通常不直接用比例记号，该用方括号[l1l2l3]表示。
例如在图1-9中，晶棱1上A点为l1=1，l2=1，l3=0；B点为l1=2，l2=2，l3=0；比值为：l1:l2:l3=1:1:0=2:2:0，由此可得晶棱1
的方向为[110]。
同理可得晶棱2的方向为[320]，晶棱4的方向为[30]，其中记号“”代表“-1”。
三个晶轴a、b、c的方向分别为[100]、[010]、[001]（c轴与图平面垂直，未画出）。
晶面与晶面指数：晶格中，还可以从各个方向上划分成无限多平面，即晶面族，如图1-10所示。
同一族晶面中，彼此距离相等，方向相同，格点在晶面上的分布也相同。
晶体的表面也是晶面，通常应该是原子面密度比较大的面。
现在问题是如何表示这些晶面族的方向。
图1-10 部分晶面族示意图
从立体几何中知道，要描述一个平面的方向，就是表示出这个平面在三个坐标轴上的截距。
描写晶面方向的方法也是如此。
选取与晶轴平行的基矢a、b、c为坐标轴。
假设有一个晶面与此三个坐标轴相交于M1、M2和M3三点（如图1-11所示），截距分别等于：OM1=ra，OM2=sb，OM3=tc，例如在图1-11中晶面的三个截距分别是r=3，s=2，t=1。
因为一族晶面一定包含了所有格点，所以截距的长度是一组有理数，或者说截距的倍数是晶格常数的整数倍，如果晶面与某一坐标轴平行，则晶面在此坐标轴的截距为无限大（例如，若晶面与b 轴平行，则s=∞）。
为了避免使用无限大，常采用截距倒数的互质整数比，即用
来表示晶面的方向。
通常不用比例记号，该用圆括号（hkl）来表示晶面的方向。
（hkl）称为晶面指数，或称为米勒（Miller）指数。
如图1-11中的晶面指数为，
即M1M2M3面的米勒指数为（236）。
有时也称M1M2M3面为（236）晶面。
图1-11 晶面在坐标轴上的截距
图1-12画出了用米勒指数表示的一些晶面，在此图中，c轴与图面垂直。
从图中还可以看出米勒指数越小的晶面，晶面之间的距离越大，晶面上的原子密度也越大，晶体越容易沿这些晶面解理（裂开），形成表面。
图1-13中画出了一些常用的米勒指数表示的晶面。
图1-12 用密勒指数表示的一些晶面
图1-13 常用晶面的密勒指数
四指数表示法：以上所讨论的表示晶向和晶面的方法，对于所有的的晶系都适用。
但是在六角晶系中，如果仍采用三个基矢a、b、c（如图1-14a所示）的方法，则很难反映出六角晶系的对称性，给工作带来不方便。
因此在结晶学中，往往采用专为六角晶系而设立的按四个晶轴的定向方法，晶向和晶面指数都是用四个指数。
如图1-14b所示。
六角晶系的四个晶轴为a、b、c、d，其中a、b、d轴在同一个平面上，互成120°的夹角；c轴则垂直于该平面。
米勒指数为（hkil）的形式。
其中h、k、i、l为该晶面在坐标轴上的截距倒数的互质整数比。
例如，晶面ABD与a轴和c轴平行，在b轴上截距为1 b，在d轴上截距为-d，故得
晶面ABD的米勒指数为（010）。
从图1-14b还看出，各晶面指数存在这样的规律，即
h+k+i=0，就是说，在h、k、i中，只要知道其中两个即可确定第三个指数。
在三角晶系中，也时常采用四个晶轴的定向方法。
(a) 三晶轴表示法(b) 四晶轴表示法
图1-14 六角晶体的晶向和晶面指数。