医学统计学9直线相关与回归
医学统计学PPT：直线相关和回归
r X X Y Y
l XY
X X 2 Y Y 2
l XX lYY
X 的离均差平方和:
2
lXX X X
Y 的离均差平方和:
2
lYY Y Y
X与Y 间的离均差积和: lXY X X Y Y
离均差平方和、离均差积和的展开：
lXX
2
XX
X2
相关系数的抽样分布( = 0)
300 200 100
0 -1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
相关系数的抽样分布( =0.8)
300 200 100
0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
R.A. Fisher(1921) 的 z 变换
150
100
50
0
-2
-1
0
1
2
相关系数的z 值的抽样分布( = 0.8)
200
150
100
50
0
0
1
2
3
4
相关系数的可信区间估计
➢ (1) 将 r 变换为 z ； ➢ (2) 根据 z 服从正态分布，估计 z 的可信区间；
1 z u sz z u n 3
➢ (3) 再将 z 变换回 r 。
1 1
0.7221
lup
e2z 1 e2z +1
e22.6650 e22.6650
1该可0信.99区0间4 有1 什么含义？
7.3 直线回归
直线回归是把两个变量之间的关系用适当的方 程式表达出来，可以从一个自变量推算另一个 应变量。
直线回归的定义
➢ Y 因变量，响应变量 (dependent variable, response variable)
医学统计学--回归与相关
SY SY . X ˆ
SY X 当X X时，SY ˆ n
Sy ˆ
ˆ 是 Y 的标准误。
F0.01,1,8=11.26， 0.05> P >0.01,按 α=0.05水准,拒绝H0,接受H1,故可以认为 SAH患者血清IL-6和脑积液IL-6之间有直线 关系,所求回归方程存在。
直线回归分析的区间估计 (一) 总体回归系数β的估计 用样本回归系数b估计总体回归系数β，方法如 下： β95%可信区间是：
>t> t0.02,8 , 故 0.02>P>0.01,按α=0.05水准,
拒绝H0,接受H1,故可以认为SAH患者血清IL-6和脑
积液IL-6之间有直线关系,所求回归方程存在。
2、方差分析方法 假设及检验水准同前
SS回 / 回 8495.833 / 1 F 8.7742 SS 剩 / 剩 7746.2161/ 8
变量间的回归关系 由于生物间存在变异，故两相关变量之间的关 系具有某种不确定性，如同性别、同年龄的人，其 肺活量与体重有关，肺活量随体重的增加而增加， 但体重相同的人其肺活量并不一定相等。因此，散 点呈直线趋势，但并不是所有的散点均在同一条直 线上，肺活量与体重的关系与严格对应的函数关系 不同，它们之间是一种回归关系，称直线回归。这 种关系是用直线回归方程来定量描述。
医学统计学
第十一章 回归与相关分析
本章学习重点
1、直线回归与相关的概念；
2、直线回归方程的建立； 3、回归系数、相关系数的建设检验；
4、直线回归与相关的区别和联系；
5、直线回归与相关的应用。
回归与相关概述
什么是标准体重，如何测量？
医学统计学 问答题
1、标准正态分布（u分布）与t分布有何异同？相同点：集中位置都为0，都是单峰分布，是对称分布，标准正态分布是t分布的特例（自由度是无限大时）不同点：t分布是一簇分布曲线，t 分布的曲线的形状是随自由度的变化而变化，标准正态分布的曲线的形状不变，是固定不变的，因为它的形状参数为1。
3、简述直线回归与直线相关的区别。
1资料要求上不同：直线回归分析适用于应变量是服从正态分布的随机变量，自变量是选定变量；直线相关分析适用于服从双变量正态分布的资料。
2 两种系数的意义不同：回归系数是表明两个变量之间数量上的依存关系，回归系数越大回归直线越陡峭，表示应变量随自变量变化越快；相关系数是表明两个变量之间相关的方向和紧密程度的，相关系数越大，两个变量的关联程度越大。
第一章医学统计中的基本概念2、抽样中要求每一个样本应该具有哪三性？从总体中抽取样本，其样本应具有“代表性”、“随机性”和“可靠性”。
（1）代表性: 就是要求样本中的每一个个体必须符合总体的规定。
（2）随机性: 就是要保证总体中的每个个体均有相同的几率被抽作样本。
（3）可靠性: 即实验的结果要具有可重复性，即由科研课题的样本得出的结果所推测总体的结论有较大的可信度。
由于个体之间存在差异, 只有观察一定数量的个体方能体现出其客观规律性。
每个样本的含量越多，可靠性会越大，但是例数增加，人力、物力都会发生困难，所以应以“足够”为准。
需要作“样本例数估计”。
3、什么是两个样本之间的可比性？可比性是指处理组（临床设计中称为治疗组）与对照组之间，除处理因素不同外，其他可能影响实验结果的因素要求基本齐同，也称为齐同对比原则。
实习一统计研究工作的基本步骤1、什么叫医学统计学？医学统计学与统计学、卫生统计学、生物统计学有何联系与区别？医学统计学：是运用统计学原理和方法研究生物医学资料的搜索、整理、分析和推断的一门学科统计学：是研究数据的收集、整理、分析与推断的科学。
卫生统计学：是把统计理论、方法应用于居民健康状况研究、医疗卫生实践、卫生事业管理和医学科研的一门应用学科。
医学统计学题库一
第九章医学统计学的基本内容一、单选题1．以下有关小概率事件的描述，正确的是A、在一次抽样中就会发生的事件B、在一次抽样中发生的概率≤0.05C、在一次抽样中不可能发生的事件D、即使多次抽样也不可能发生的事件E、在多次抽样中发生的概率≤0.052．医学统计学的研究内容是A、样本B、个体C、变量之间的相关关系D、总体E、资料或信息的收集、整理和分析3．医学统计工作的基本步骤是A、搜集资料、整理资料、描述资料、设计B、搜集资料、整理资料、推断资料、设计C、设计、搜集资料、整理资料、分析资料D、统计描述、统计推断、统计设计E、搜集资料、描述资料、推断资料4．用某种新药治疗白血病患者50名，治疗的结果如下死亡恶化好转显效治愈治疗结果369284治疗人数该资料的类型是A、计量资料B、计数资料C、等级资料D、分层资料E、定量资料5．随机样本的特点是A、能消除系统误差B、能消除随机测量误差C、能减少抽样误差D、能消除研究者有意无意带来的样本偏性E、能消除过失误差6．统计学中的总体是指A、任意想象的研究对象的全体B、根据研究目的确定的研究对象的全体C、根据地区划分的研究对象的全体D、根据时间划分的研究对象的全体E、根据人群划分的研究对象的全体7．为了由样本推断总体，样本应该是A、总体中任意的一部分B、总体中的典型部分C、总体中有意义的部分D、总体中有价值的一部分E、总体中有代表性的一部分8．抽样误差是指A、不同样本指标之间的差别B、样本指标与总体指标之间由于抽样产生的差别C、样本中每个个体之间的差别D、由于抽样产生的观测值之间的差别E、系统误差与过失误差之间的差别9．可以通过增加例数的方法减少的误差是A、系统误差B、随机测量误差C、抽样误差D、过失误差E、以上均无法减少10．关于统计学中的过失误差、系统误差、随机测量误差和抽样误差，正确的是A、4种误差均不可避免B、系统误差和随机测量误差不可避免C、系统误差和抽样误差不可避免D、随机测量误差和抽样误差不可避免E、过失误差和抽样误差不可避免11． P(A)=0时，表示事件A、很可能发生B、极可能发生C、不可能发生D、在一次抽样中不会发生E、已经发生二、判断题1．概率是描述随机事件发生的可能性大小的一种度量，用P表示，其值介于0.01~100之间。
医学统计学-直线相关与回归
病例号
血糖
胰岛素
i
YI
Xi
1
12.21
15.2
2
14.54
16.7
3
12.27
11.9
4
12.04
14.0
5
7.88
19.8
6
11.10
16.2
7
10.43
17.0
8
13.32
10.3
9
19.59
5.9
10
9.05
18.7
i
Yi
Xi
11
6.44
25.1
12
9.49
16.4
13
10.16
22.0
14
8.38
年龄-身高； 肺活量-体重； 药物剂量-动物死亡率
双变量资料
统计资料
单变量资料：X 双变量资料：X，Y 多变量资料：X1，X2，…，XK，Y
3
相关与回归是研究两个或多个变量之间相互关系的
一种分析方法。
数据结构
编号
Y
1
2
n
X1
……
XK
4
概念：
回归：是研究变量之间在数量上依存关系的一种 方法。
相关：是研究随机变量之间相互联系密切程度和 方向的方法。
23.1
5
7.88
19.8
15
8.49
23.2
6
11.10
16.2
16
7.71
25.0
7
10.43
17.0
17
11.38
16.8
8
13.32
10.3
18
10.82
医学统计学解答题
简答题1、统计资料可以分成几类?答: 根据变量值的性质，可将统计资料分为数值变量资料(计量资料)，无序分类变量资料(计数资料)，有序分类变量资料(等级资料或半定量资料)。
用定量方法测定某项指标量的大小，所得资料，即为计量资料；将观察对象按属性或类别分组，然后清点各组人数所得的资料，即为计数资料；按观察对象某种属性或特征不同程度分组，清点各组人数所得资料称为等级资料。
2、不同类型统计资料之间的关系如何?答: 根据分析需要，各类统计资料可以互相转化。
如男孩的出生体重，属于计量资料，如按体重正常与否分两类，则资料转化为计数资料；如按体重分为: 低体重，正常体重，超体重，则资料转化为等级资料。
计数资料或等级资料也可经数量化后，转化为计量资料。
如性别，结果为男或女，属于计数资料，如男性用0(或1)，女性用1(或0)表示，则将计数资料转化为计量资料。
3、频数分布有哪两个重要特征?答:频数分布有两个重要特征:集中趋势和离散趋势，是频数分布两个重要方面。
将集中趋势和离散趋势结合起来分析，才能全面地反映事物的特征。
一组同质观察值，其数值有大有小，但大多数观察值集中在某个数值范围，此种倾向称为集中趋势。
另一方面有些观察值较大或较小，偏离观察值集中的位置较远，此种倾向称为离散趋势。
4、标准差有什么用途?答: 标准差是描述变量值离散程度常用的指标，主要用途如下: ①描述变量值的离散程度。
两组同类资料(总体或样本)均数相近，标准差大，说明变量值的变异度较大，即各变量值较分散，因而均数代表性较差；反之，标准差较小，说明变量异度较小，各变量值较集中在均数周围，因而均数的代表性较好。
②结合均数描述正态分布特征；③结合均数计算变异系数CV；④结合样本含量计算标准误。
5、变异系数(CV)常用于哪几方面?答: 变异系数是变异指标之一，它常用于以下两个方面: ①比较均数相差悬殊的几组资料的变异度。
如比较儿童的体重与成年人体重的变异度，应使用CV；②比较度量衡单位不同的几组资料的变异度。
医学统计学直线相关与回归分析
SY|X为Y的剩余标准差——扣除X的影响后Y的变异程度。
SY|X
Y Yˆ 2
n2
残差 2
＝ n2
SS剩 ＝ n2
MS剩＝ˆY|X
Y的剩余标准差——扣除X的影 响后Y （即回归所能解释的部 分）本身的变异程度
SY|X 度量了实际散点远离回归直线的离散程度， 反映了模型的可靠性。越小模型越好。
直线回归系数的t检验
H0：总体回归系数＝0； H1：总体回归系数≠0； =0.05
=15-2=13
按=13查t界值表，t0.05/2,13=2.160， t0.01/2,13=3.012， t>t0.01/2,13，得P<0.01。按 =0.05水准拒绝H0，接受H1。
认为胰岛素和血糖存在直线回归关系。
直线相关与回归
Linear Correlation and regression Analysis
▪ 人的体重往往随着身高的增加而增加。二 者之间是否存在某种关联？如果存在，可 否用身高来推测体重的多少？
▪ 人的肺活量往往随着胸围的增加而增加。 是否可以建立胸围和肺活量的数量关系？
▪ 还有：年龄与血压、药物剂量与动物死亡 率、胰岛素与血糖水平的关系等
可以用回归来解释的部分
Y即的与X有总关变的部异分
份额的大小可以 用相关系数的平
方来衡量 （决定系数）
不能用X来解释的部分 即与X无关的部分（随机误差）
Page 72
估计值 的意义
▪ 给定X时，Y的均数的估计值。 ▪ X=10, = 12.7015
即胰岛素为10mU/L，平均血糖值为 12.7015mmol/L
15例糖尿病患者胰岛素患者胰岛素水平和血糖水平的散点图
医学统计：相关分析和回归分析
（一）绘制散点图
图9-2 剂量X与日数Y散点图
从整体趋势而言， 随着剂量的增加， 日数呈增加的趋势， 且二者之间存在线 性相关关系。
（二）估计简单相关系数r
n
r102
l x xl y y
n
n
x x2 y y2
i 1
i 1
（三）相关系数ρ 的假设检验 由于抽样误差的存在，我们计算出来的样 本相关系数未必等于总体相关系数，所以需 要对相关系数进行假设检验。 若ρ≠0，说明X与Y之间有线性关系。 若ρ=0，说明X与Y之间无线性关系，但也 可能存在其它相关关系。
Pearson积差相关系数 coefficient of product-moment correlation
X和Y的协方差 ❖ 相关系数＝ (X的方差)(Y的方差)
样本相关系数
r
(X X )(Y Y) lXY
(X X )2 (Y Y)2 lXX lYY
•若ρ＝0，称X和Y不相关 •若ρ≠0，则X和Y线性相关 •相关系数没有量纲，取值范围[-1,1]
❖ Spearman等级相关适用资料不满足正态分布 或总体分布类型未知的数据。
❖ 分析方法是将原始数据值由小到大排序，序 号称为秩(rank)，以秩作为新的变量来计算等 级相关系数rs,用以说明两变量XY之间线性相 关关系的密切程度和方向。
❖ Spearman等级相关公式：
6 d 2
rs 1 n(n2 1)
则是研究2个随机变量间是否有线性联系、 联系程度及方向的统计方法。
第一节 线性相关分析
线性相关的基本概念
1. 相关分析 (correlation analysis) 研究两个或多个变量之间关联性或关联
程度的一种统计分析方法。 2. 相关系数 (correlation coefficient)
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• （3）求回归系数b
和截距a
b lXY 226 0.2348 l XX 962 .5
a Y bX 45.4 0.2348172.5 4.897
（4）列出回归方程
将求出的 a 和 b
代入公式（9.7）得
Yˆ 4.897 0.2348 X
• 三、回归直线的绘制
• 在自变量X的实测值范围，任意指定相距较
• 回归系数b为样本回归系数，假设在总体回 归系数β=0的总体中抽样，得出样本的b不
一定为0，因此需作总体回归系数β是否为
0的假设检验，常用t检验或方差分析。因
方差分析计算较为繁琐不在此讲述。
tb
|b0| Sb
|b| Sb
• Sb为回归系数的标准误，Syx为各观察值 Y 距回归直线的标准差，即剩余标准差；为
n2
10 2
• （3）确定P值，作出推断结论
按υ
＝n-2=8查t界值表，得 0.002<P<0.005，
按α ＝0.05水准，拒绝Ho，接受H1，故可
认为20岁男青年身高与前臂长呈正直线相
关关系。
• 2.查表法 查附表14, r界值表列出了相关 系数r与0差别显著性的判断界值，按自由 度 ＝ n-2 查 r 界 值 表 ， 当 r≥rα,n-2 时 ， 则 P≤α ；反之，r＜ rα,n-2 时，则P＞α 。 本例r＝0.8227，大于r0.05(8)＝0.738 ，故 P<0.05。r值有意义。检验结果与t检验相
• 计算步骤：
• （1）列回归系数计算表同表9-1，求出ΣX ，ΣY ，ΣXY ， X2 ， ΣY2 。
• 本例ΣX=1725 ，ΣY=454 ，ΣXY=78541 X，ΣXX2=219782552517，2.Σ5 Y2=2Y0690Y。 前45面4 已45经.4
计算n出 lx1x0=962.5 ，lxy=226n 10
。
• 例9.5在肝癌病因研究中，某地调查了10个 乡肝癌死亡率（1/10万）与某种食物中黄 曲霉毒素相对含量，见表9-2。试分析黄曲 霉毒素相对含量与肝癌死亡率有无相关的 关系。
• 表9-2 黄曲霉毒素相对含量与肝癌死亡
乡编 号
(1)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 合计
率
黄曲霉毒素相对含量
(Y Yˆ)2 n2
25.33 1.78 10 2
Sb
SYX l XX
1.78 0.0574 962.5
tb
b0 Sb
b Sb
0.2348 0.0574
4.09
• （3）确定P值，作出推断结论 本例υ =10-2=8 ， 查 附 表 2 ， t 界 值 表 得 t0.005(8)=3.833, 现 t>t0.005(8) ， 故 P<0.005
• 计算公式为：
l XX
X2
( X )2 n
lYY
Y 2
(Y )2 n
l XY
XY
( X )(Y ) n
• 例9.1 某研究者测量10名20岁男青年身高 与前臂长。见表9-1。问身高与前臂长有无 直线相关关系？
• 计算步骤：
• （1）由原始数据绘制散点图9-2，本资料 呈直线相关趋势。
个范围，X与Y就不一定仍然呈线性关系。
7. 同一组资料由X推Y和由Y推X的直线回归
方程是不同的。
•由X推Y： 回归系数
截距
bYX
l XY l XX
a Y bYX X
回归方程
Yˆ a bYX Xˆ
由Y推X：
数
回 归 系bXY
l XY lYY
•截 距 a X bXYY
•回归方程 Xˆ a bXY Y
d2
（7）
4 0 4 9 1 9 1 9 1 4 42
• ③在应用上，说明两变量间的相关程度及
• 5. 相关与回归的联系
• ①在同一组数据，相关系数r与回归系数b
的符号一致。
• ②同一组数据，r与b的假设检验是等价的 ，即tr=tb。因r的假设检验可直接查表，较 为简便，故可代替b的假设检验。
• 为超出这
远且易读的两个数值，代入直线回归方程
，求出相应的Y的估计值，确定两点，用直 线连接。如本例取X1=155，则 ；X2=185，
则。在图上确定（155，41.291）和（185 ，48.335）两个点，直线连接，即得出直 线回归方程的图形，
图9-2
20岁男青年身高与前臂长散点 图
• 四、回归系数的假设检验
• 4.直线相关与回归的区别
• ①在资料需求上，相关分析要求两变量X 与Y均为服从正态分布的随机变量，即两者 都不能预先指定；回归分析要求Y是正态随 机变量，而X可以不是正态随机变量而是一 确定值，此时回归分析称为Ⅰ型回归，X也
可以是正态随机变量，此时回归分析称为 Ⅱ型回归。
• ②在意义上，相关反映两变量的相关关系 ；回归反映两变量间的依存关系。
截距，b 为回归系数即回归方程的斜率。
• 二、直线回归方程的求法
• 求直线回归方程，关键在于计算a、b两个
系数，根据数学上的最小二乘法原理即保
证各实测点至回归直线的纵向距离的平方
和最小。
b (X X )(Y Y ) lXY
( X X )2
l XX
a Y bX
• 例9.3 利用例9.1资料已知20岁男青年身高 与前臂长之间存在直线相关关系，现求身 高与前臂长的直线回归方程。
XY
( X )(Y ) n
78541 1725 454 10
226
• （4）求相关系数r
r lXY
226
0.8227
lXX lYY 962.5 78.4
• 三、相关系数的检验假设
• 检验r是否来自总体相关系数ρ为零的总体
。
• 1。t 检验法 t检验的计算公式
t |r0| |r|
Sr
Sr
。 按α=0.05的水准，拒绝Ho，接受H1，可 认为20岁男青年身高与前臂长有直线回归
关系。
• 五、直线回归方程的应用 • （一）描述两变量间的依存关系 • 可用直线回归来描述 。Yˆ 4.897 0.2348 X • （二）利用回归方程进行预测
• 将X代入直线回归方程，可得到应变量Y的
估计值。
• 本例∑X＝1725，∑Y＝454，
• ∑X2＝298525，∑Y2＝20690，∑XY＝78541
。
• （lX3X ） 计X 2算 (X、nX )2Y的29离8525均 1差71205平2 方962和.5 与离均差积
和
lYY
Y 2
(Y )2 n
20690
454 2 10
78.4
l XY
• 其分析步骤如下：
• 1. 先将 X、Y 分别由小到大列出等级，即
编秩次，数字相同时需要求平均等级；
• 2. 求出每一对 X、Y 的等级之差 d 值； • 3. 按下列公式计算等级相关系数 rs
式d2中为r等s 为级等之级差相，关n 系为数样，
本含量。
rs
1
6d2 n(n2 1)
• 4. 根据n查附表15，rs界值表，确定P值。 如rs≥ rα ，n ，，则P≤α ，说明X、Y两 变量相关有统计学意义；如rs< rα ，n ，则 P>α ，说明X、Y两变量相关无统计学意义
0.4>│r│≥0.2 低度相关
图9-1 相关系数示意
第一节 直线相关
• 二、相关系数的计算
• 相关系数r的计算公式：
r
（X X )(Y Y )
l XY
( X X )2 (Y Y )2
l XX lYY
• 式中lXX与lYY分别为变量X与Y的离均差平方和，lXY为两 变量X 、Y的离均差积和。
298525 ∑X2
Y2
(4)
2025 1764 1936 1681 2209 2500 2209 2116 2401 1849
20690 ∑Y2
XY
(5)
7650 7266 7040 6355 8131 9400 8366 8418 8820 7095
78541 ∑XY
• （2）根据表9-1原始数据计算出∑X，∑Y ，∑X2，∑Y2，∑XY 。
剩余平方和，它反映X对Y的线性影响之外
的因素对Y的变异作用。在散点图中，各实
测点离回归直线越近，越小，说明直线回
归的估计误差越小。
Sb
SYX l XX
SYX
(Y Yˆ)2 n2
(Y
Yˆ)2
lYY
l
2 XY
l XX
例9.4 根据例9.3所得b值，检验身高与前臂
长是否有直线回归关系。
（1）建立检验假设
8. 建立回归方程的条件（时间、地点、方法、测量仪 器等）一旦改变，原回归方程就不宜继续使用。
第四节 等级相关
❖当遇到有些资料并不呈正态分布，对于此 类资料就不宜用上述所讲的直线相关与回 归分析，而常用等级相关处理资料。
❖等级相关（rank correlation）亦称为秩 相关，适用于分布类型不明的资料、偏态 分布资料和等级资料的相关分析。本节主 要介绍Spearman等级相关法。
表9-1 身高与前臂长数据与计算表
身高(cm) X
(1)
170 173
160 155
173 188 178
183 180 165
1725 ∑X
前臂长(cm) Y
(2)
45 42
44 41
47 50 47
46 49 43
454 ∑Y
X2
(3)
28900 29929 25600 24025 29929 35344 31684 33489 32400 27225