甘肃省定西市数学中考试题及答案

2009年甘肃省定西市中考数学试卷友情提示：1．抛物线2y ax bx c =++的顶点坐标是2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．2．弧长公式：π180n Rl =弧长；其中，n 为弧所对圆心角的度数，R 为圆的半径． 本试卷满分为150分，考试时间为120分钟．一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将此选项的代号填入题后的括号内． 1．4的相反数是（ ） A ．4B ．4-C ．14D ．14-2．图1所示的物体的左视图（从左面看得到的视图）是（ ）图１ A ． B ． C ． D ． 3．计算：a b a b b a a -⎛⎫-÷= ⎪⎝⎭（ ）A ．a bb +B ．a bb- C ．a ba- D ．a ba+ 4．在一个不透明的布袋中装有红色、白色玻璃球共40个，除颜色外其他完全相同．小明通过多次摸球试验后发现，其中摸到红色球的频率稳定在15％左右，则口袋中红色球可能有（ ） A ．4个 B ．6个 C ．34个 D ．36个5．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A ．等腰梯形 B ．平行四边形 C ．正三角形 D ．矩形6．有19位同学参加歌咏比赛，所得的分数互不相同，取得分前10位同学进入决赛．某同学知道自己的分数后，要判断自己能否进入决赛，他只需知道这19位同学成绩的（ ） A ．平均数 B ．中位数 C ．众数 D ．方差7．某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于60°，否则就有危险，那么梯子的长至少为（ ）A ．8米B ．C 米D 米 8．如图2，⊙O 的弦AB =6，M 是AB 上任意一点，且OM 最小值为4，则⊙O 的半径为（ ） A ．5 B ．4 C ．3 D ．29．如图3，小东用长为3.2m 的竹竿做测量工具测量学校旗杆的高度，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点相距8m 、与旗杆相距22m ，则旗杆的高为（ ） A ．12m B ．10mC ．8mD ．7m图2 图3 图410．如图4，四边形ABCD 中，AB =BC ，∠ABC =∠CDA =90°，BE ⊥AD 于点E ，且四边形ABCD 的面积为8，则BE =（ ） A ．2B ．3C．D．二、填空题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．把答案写在题中的横线上． 11．当31x y ==、时，代数式2()()x y x y y +-+的值是 ． 12．方程组25211x y x y -=-⎧⎨+=⎩，的解是 ．13．如图5，Rt △ACB 中，∠ACB =90°，DE ∥AB ，若∠BCE =30°，则∠A = ． 14．反比例函数的图象经过点P （2-，1），则这个函数的图象位于第 象限． 15．不等式组103x x +>⎧⎨>-⎩，的解集是 ．16．如图6，四边形ABCD 是平行四边形，使它为矩形的条件可以是 ．图6 图7 图817．如图7，在△ABC 中，5cm AB AC ==，cos B 35=．如果⊙O，且经过点B 、C ，那么线段AO = cm ．18．抛物线2y x bx c =-++的部分图象如图8所示，请写出与其关系式、图象相关的2个正确结论： ， ．（对称轴方程，图象与x 正半轴、y 轴交点坐标例外）三、解答题（一）：本大题共5小题，共38分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 19．（6分）若20072008a =，20082009b =，试不用．．将分数化小数的方法比较a 、b 的大小．20．（6分）在实数范围内定义运算“⊕”，其法则为：22a b a b ⊕=-，求方程（4⊕3）⊕24x =的解．21．（8分）如图9，随机闭合开关S 1、S 2、S 3中的两个，求能让灯泡⊗发光的概率．22．（8分）图10（1）是一扇半开着的办公室门的照片，门框镶嵌在墙体中间，门是向室内开的．图10（2）画的是它的一个横断面．虚线表示门完全关好和开到最大限度（由于受到墙角的阻碍，再也开不动了）时的两种情形，这时二者的夹角为120°，从室内看门框露在外面部分的宽为4cm ，求室内露出的墙的厚度a 的值．（假设该门无论开到什么角度，门和门框之间基本都是无缝的．精确到0.1cm1.73）23．（10分）鞋子的“鞋码”和鞋长（cm ）存在一种换算关系，下表是几组“鞋码”与鞋长换算的对应数值：［注：“鞋码”是表示鞋子大小的一种号码］鞋长（cm ） 16 19 21 24 鞋码（号）22283238（1）设鞋长为x ，“鞋码”为y ，试判断点（x ，y ）在你学过的哪种函数的图象上？ （2）求x 、y 之间的函数关系式；（3）如果某人穿44号“鞋码”的鞋，那么他的鞋长是多少？图9 图10（1） 图10（2）四、解答题（二）：本大题共5小题，共50分（不含附加4分）．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 24．（8分）为响应国家要求中小学生每天锻炼1小时的号召，某校开展了形式多样的体育运动活动，小明对某班同学参加锻炼的情况进行了统计，并绘制了下面的统计图11（1）和图11（2）．（1）请在图11（1）中将表示“乒乓球”项目的图形补充完整； （2）求扇形统计图11（2）中表示“足球”项目扇形圆心角的度数．25．（10分）去年5月12日，四川省汶川县发生了里氏8.0级大地震，兰州某中学师生自愿捐款，已知第一天捐款4800元，第二天捐款6000元，第二天捐款人数比第一天捐款人数多50人，且两天人均捐款数相等，那么两天共参加捐款的人数是多少？人均捐款多少元？ 26．（10分）图12中的粗线CD 表示某条公路的一段，其中AmB 是一段圆弧，AC 、BD 是线段，且AC 、BD 分别与圆弧AmB 相切于点A 、B ，线段AB =180m ，∠ABD =150°． （1）画出圆弧AmB 的圆心O ； （2）求A 到B 这段弧形公路的长．图11（1） 图11（2）图1227．（10分）如图13，△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，∠ACB =∠ECD =90°，D 为AB 边上一点，求证：（1）ACE BCD △≌△；（2）222AD DB DE +=．28．［12分+附加4分］如图14（1），抛物线22y x x k =-+与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C （0，3-）．［图14（2）、图14（3）为解答备用图］（1）k = ，点A 的坐标为 ，点B 的坐标为 ； （2）设抛物线22y x x k =-+的顶点为M ，求四边形ABMC 的面积；（3）在x 轴下方的抛物线上是否存在一点D ，使四边形ABDC 的面积最大？若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由；（4）在抛物线22y x x k =-+上求点Q ，使△BCQ 是以BC 为直角边的直角三角形．附加题：如果你的全卷得分不足150分，则本题与28题附加的4分的得分将记入总分，但记入总分后全卷得分不得超过150分，超过按150分算． 29．（7分）本试卷第19题为：若20072008a =，20082009b =，试不用．．将分数化小数的方法比较a 、b 的大小．观察本题中数a 、b 的特征，以及你比较大小的过程，直接写出你发现的一个一般结论．图13图14（1） 图14（2） 图14（3）武威、金昌、定西、白银、酒泉、嘉峪关 武威市2009年初中毕业、高中招生考试数学试卷参考答案与评分标准一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案B D A B D B CAAC二、填空题：本大题共8小题，每小题4分，共32分． 11．9 12． 34x y =⎧⎨=⎩，13．60o 14．二、四15．1->x 16．答案不唯一，如AC =BD ，∠BAD =90o ，等 17． 518．答案不唯一．如：①c =3；②b +c =1；③c -3b =9；④b =-2；⑤抛物线的顶点为（-1，4），或二次函数的最大值为4；⑥方程-x 2+bx +c =0的两个根为-3，1；⑦y >0时，-3<x <1；或y <0时，x <-3或x >1；⑧当x >-1时，y 随x 的增大而减小；或当x <-1时，y 随x 的增大而增大．等等 三、解答题（一）：本大题共5小题，共38分． 19． 本小题满分6分解：∵ a =2007200920082009⨯⨯(20081)(20081)20082009-⨯+=⨯222008120082009-=⨯， ··························· 3分 b 2200820082009=⨯， ··············································································· 4分222200812008-<， ··········································································· 5分∴ a <b ． ································································································· 6分 说明：求差通分作，参考此标准给分．若只写结论a <b ，给1分．20． 本小题满分6分解：∵ 22a b a b ⊕=- ， ∴ 2222(43)(43)77x x x x ⊕⊕=-⊕=⊕=-． ·········· 3分 ∴ 22724x -=． ∴ 225x =． ······························································· 4分∴ 5x =±． ··························································································· 6分 21． 本小题满分8分解：∵ 随机闭合开关1S 、2S 、3S 中的两个，共有3种情况：12S S ，13S S ，23S S ． 能让灯泡发光的有13S S 、23S S 两种情况． ··························································· 4分 ∴ 能让灯泡发光的概率为23． ··································································· 8分 22． 本小题满分8分解：从图中可以看出，在室内厚为a cm 的墙面、宽为4cm 的门框及开成120°的门之间构成了一 个直角三角形，且其中有一个角为60°． ········ 3分 从而 a =4×tan60° ······································· 6分.9(cm)． ····························· 8分即室内露出的墙的厚度约为6.9cm ． 23． 本小题满分10分 解：（1）一次函数． ······················································································· 2分 （2）设y kx b =+． ·················································································· 3分由题意，得22162819k b k b =+⎧⎨=+⎩，．········································································· 5分解得210k b =⎧⎨=-⎩，． ······················································································· 7分∴210y x =-．（x 是一些不连续的值．一般情况下，x 取16、16.5、17、17.5、 (26)26.5、27等） ······················································································· 8分 说明：只要求对k 、b 的值，不写最后一步不扣分．（3）44y =时，27x =． 答：此人的鞋长为27cm ． ········································································ 10分 说明：只要求对x =27cm ，不答不扣分． 四、解答题（二）：本大题共5小题，共50分 (不含附加4分) ． 24． 本小题满分8分 解：（1）如图：···················· 4分（2）∵ 参加足球运动项目的学生占所有运动项目学生的比例为15=1050， ··········· 6分 ∴ 扇形统计图中表示“足球”项目扇形圆心角的度数为1360725⨯=． ··············· 8分 25． 本小题满分10分解法1：设第一天捐款x 人，则第二天捐款（x +50）人， ········································ 1分由题意列方程x4800=506000+x ．······························································· 5分 解得 x =200． ·························································································· 7分检验：当x =200时，x （x +50）≠0， ∴ x =200是原方程的解． ··········································································· 8分 两天捐款人数x +（x +50）=450， 人均捐款x4800=24（元）． 答：两天共参加捐款的有450人，人均捐款24元． ······································· 10分 说明：只要求对两天捐款人数为450， 人均捐款为24元，不答不扣分． 解法2：设人均捐款x 元， ··············································································· 1分由题意列方程6000x －4800x＝50 ． ························································· 5分 解得 x =24． ···························································································· 7分以下略．26． 本小题满分10分解：（1）如图，过A 作AO ⊥AC ，过B 作BO ⊥BD ，AO 与BO 相交于O ，O 即圆心． ··················································· 3分说明：若不写作法，必须保留作图痕迹．其它作法略． （2）∵ AO 、BO 都是圆弧AmB 的半径，O 是其圆心， ∴ ∠OBA =∠OAB =150°-90°=60°． ······························· 5分 ∴ △AOB 为等边三角形．∴ AO =BO =AB =180． ·············· 7分 ∴ π6018060π180AB ⨯⨯== (m)．O∴ A 到B 这段弧形公路的长为60πm ． ························································· 10分 27． 本小题满分10分证明:（1） ∵ ACB ECD ∠=∠，∴ ACE ACD BCD ACD ∠+∠=∠+∠．即 ACE BCD ∠=∠． ········································ 2分∵ EC DC AC BC ==,， ∴ △ACE ≌△BCD ． ··········································· 4分 （2）∵ ACB ∆是等腰直角三角形，∴ ︒=∠=∠45BAC B ． ······································ 5分 ∵ △ACE ≌△BCD ， ∴ ︒=∠=∠45CAE B ． ······· 6分 ∴ ︒=︒+︒=∠+∠=∠904545BAC CAE DAE ． ····································· 7分 ∴ 222DE AE AD =+． ······································································ 9分 由（1）知AE =DB ，∴ 222AD DB DE +=． ····································································· 10分 28．本小题满分16分(含附加4分) 解：（1）3k =-， ························································· 1分A （-1，0）， ····················································· 2分B （3，0）． ······················································ 3分 （2）如图14（1），抛物线的顶点为M （1，-4），连结OM ． ····························································· 4分则 △AOC 的面积=23，△MOC 的面积=23， △MOB 的面积=6，·············································· 5分 ∴ 四边形 ABMC 的面积=△AOC 的面积+△MOC 的面积+△MOB 的面积=9． ··································· 6分 说明：也可过点M 作抛物线的对称轴，将四边形ABMC 的面积转化为求1个梯形与2个直角三角形面积的和．（3）如图14（2），设D （m ，322--m m ），连结OD ． 则 0＜m ＜3，322--m m ＜0． 且 △AOC 的面积=23，△DOC 的面积=m 23， △DOB 的面积=-23（322--m m ）， ···················································· 8分∴ 四边形 ABDC 的面积=△AOC 的面积+△DOC 的面积+△DOB 的面积=629232++-m m =875)23(232+--m ．········································································ 9分∴ 存在点D 315()24-，，使四边形ABDC 的面积最大为875． ························· 10分 （4）有两种情况：图14（１）图14（2）图14（3） 图14（4）A DB CE如图14（3），过点B 作BQ 1⊥BC ，交抛物线于点Q 1、交y 轴于点E ，连接Q 1C ． ∵ ∠CBO =45°，∴∠EBO =45°，BO =OE =3． ∴ 点E 的坐标为（0，3）．∴ 直线BE 的解析式为3y x =-+． ·························································· 12分由2323y x y x x =-+⎧⎨=--⎩， 解得1125x y ，；ì=-ïïíï=ïî 2230.x y ，ì=ïïíï=ïî ∴ 点Q 1的坐标为（-2，5）． ··································································· 13分如图14（4），过点C 作CF ⊥CB ，交抛物线于点Q 2、交x 轴于点F ，连接BQ 2． ∵ ∠CBO =45°，∴∠CFB =45°，OF =OC =3． ∴ 点F 的坐标为（-3，0）．∴ 直线CF 的解析式为3y x =--． ·························································· 14分由2323y x y x x =--⎧⎨=--⎩， 解得1103x y ，；ì=ïïíï=-ïî 2214x y ，．ì=ïïíï=-ïî ∴点Q 2的坐标为（1，-4）． ····································································· 15分 综上，在抛物线上存在点Q 1（-2，5）、Q 2（1，-4），使△BCQ 1、△BCQ 2是以BC 为直角边的直角三角形． ··············································································· 16分 说明：如图14（4），点Q 2即抛物线顶点M ，直接证明△BCM 为直角三角形同样得2分．附加题：如果你的全卷得分不足150分，则本题与28题附加的4分的得分将记入总分，但记入总分后全卷得分不得超过150分，超过按150分算． 29． 本小题满分7分解：学生可能写出不同程度的一般的结论，由一般化程度不同得不同分．若m 、n 是任意正整数，且m ＞n ，则11n n m m +<+． ·········································· 4分 若m 、n 是任意正实数，且m ＞n ，则11n n m m +<+． ·········································· 5分若m 、n 、r 是任意正整数，且m ＞n ；或m 、n 是任意正整数，r 是任意正实数，且m ＞n ，则n n rm m r+<+． ······················································································· 6分 若m 、n 是任意正实数，r 是任意正整数，且m ＞n ；或m 、n 、r 是任意正实数，且m ＞n ，则n n rm m r+<+． ·············································································· 7分。