苏教版数学必修五：3.3.3简单的线性规划问题-作业纸
苏教版必修5第3章第三节 二元一次不等式组与简单的线性规划问题3 简单的线性规划问题(习题+解析)
苏教版必修5第3章第三节二元一次不等式组与简单的线性规划问题 3 简单的线性规划问题（习题+解析）值；（2）求x y 的取值范围；（3）求x 2＋y 2的取值范围。
**8. 已知实数x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≤≥m y x x y y 12,1，若目标函数z ＝x －y 的最小值的取值范围是[－2，－1]，求目标函数的最大值的取值范围。
***9. 某家具厂有方木料90 m 3，木工板600 m 3，准备加工成书桌和书橱出售，已知生产每张书桌需要方木料0.1 m 3，木工板2 m 3；生产每个书橱需要方木料0.2 m 3，木工板1 m 3，出售一张书桌可以获利80元，出售一张书橱可以获利120元。
问：怎样安排生产可以获利最大？1. [4，8]解析：作出满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤≤≤≤122010x y y x 的可行域（如图所示）。
作直线2y －2x ＝0，并将其平移，由图象可知当直线经过点A （0，2）时，z max ＝2×2－2×0＋4＝8；当直线经过点B （1，1）时，z min ＝2×1－2×1＋4＝4。
所以z 的取值范围是[4，8]。
2. 16解析：设票面8角的买x 套，票面2元的买y 套。
由题意得：⎪⎩⎪⎨⎧≤⨯+⨯∈≥∈≥504258.0,2,2**y x N y y N x x 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈≤+≥≥*,,2542,2,2N y x y x y x画出如图平面区域得y ＝2时，x ＝2，3，4，5，6，7，8；y ＝3时，x ＝2，3，4，5，6；y ＝4时，x ＝2，3，4；y ＝5时，x ＝2。
共有7＋5＋3＋1＝16种买法。
3. （－1，－2）解析：不等式组表示的平面区域如图所示： ∵平面区域不包括边界，∴平面区域内的整点共有（－1，－1），（－1，－2），（－2，－1）三个。
代入检验知，整点为（－1，－2）时，x ＋2y 取得最小值。
苏教版必修5高中数学3.3.3简单的线性规划问题课时作业一
简单的线性规划问题(一)课时目标 1. 认识线性规划的意义.2. 会求一些简单的线性规划问题．线性规划中的基本观点名称意义拘束条件由变量 x， y 构成的不等式或方程线性拘束条件由 x， y 的一次不等式(或方程)构成的不等式组目标函数欲求最大值或最小值所波及的变量x， y 的函数分析式线性目标函数对于 x， y 的一次分析式可行解知足线性拘束条件的解 ( x，y)可行域拘束条件表示的平面地区最优解使目标函数获得最大值或最小值的可行解求线性目标函数在 __________条件下的最大值或最小值线性规划问题问题一、填空题x＋3y－3≥0，．若实数x ，y知足不等式组2x－y－3≤0，则x＋y的最大值为________．1x－ y＋1≥0，x＋ y≤4，．已知点，的坐标知足条件 y≥，则2＋2的最大值为．P( x y)x y________ 2x≥1，x＋ y≥3，3．设变量x， y 知足拘束条件x－ y≥－1，则目标函数z＝2x＋3y 的最小值为2x－y≤3.________．4．已知－ 1<x＋y<4 且 2<x－y<3，则z＝ 2x－ 3y的取值范围是 ________． ( 答案用区间表示 )x＋2y－5≤0，5．已知实数x，y知足x≥1，yy≥0，则x的最大值为 ____________．x＋2 －3≥0，yx－ y＋2≥0，．设变量x ，知足拘束条件x－5y＋10≤0，则目标函数z＝－4y的最大值和6y3xx＋ y－8≤0，最小值分别为 ________和________．y≥07．在座标平面上有两个地区和，此中地区＝x ，y|y≤ x，地区M N My≤2－ xN＝{( x， y)|t ≤x≤ t ＋1,0≤ t ≤1}，地区 M和 N公共部分的面积用函数 f ( t )表示，则f ( t )的表达式为________．x≥1，8．设不等式组x－2y＋3≥0，所表示的平面地区是Ω 1，平面地区Ω2与Ω1对于y≥ x直线 3x－ 4y－ 9＝ 0 对称．对于Ω1中的随意点 A与Ω2中的随意点 B，则 AB的最小值为________．二、解答题x ＋3 ≥12y．线性拘束条件x＋ y≤10下，求z ＝2x－y的最大值和最小值．93 ＋≥12x y2x＋y－5≥02210．已知3x－y－5≤0，求x＋y的最小值和最大值．能力提高x－ y＋6x＋ y－6≥011．已知实数x， y 知足，求x2＋y2－2的取值范围．1≤x≤42x＋y－2≥0y＋112．已知实数x、 y 知足x－2y＋4≥0，试求z＝x＋1的最大值和最小值．3x－y－3≤01．作不等式组表示的可行域时，注意标出相应的直线方程，还要给可行域的各极点标上字母，平移直线时，要注意线性目标函数的斜率与可行域中界限直线的斜率进行比较，确立最优解．2．在解决与线性规划有关的问题时，第一考虑目标函数的几何意义，利用数形联合方法可快速解决有关问题．3． 3.3简单的线性规划问题( 一 )答案知识梳理线性拘束作业设计1． 9分析画出可行域如图：当直线 y＝－ x＋ z 过点 A时， z 最大．2 －－ 3＝0，x y得 A(4,5)，∴ z＝ 4＋5＝ 9.由maxx－y＋1＝02. 10分析画出不等式组对应的可行域以下列图所示：易得 A (1,1) ， | OA | ＝ 2， B (2,2) ，| OB | ＝2 2，C (1,3) ， | OC | ＝ 10.2 2)22∴ ( x ＋ y＝|OC| ＝(10) ＝ 10.max3． 7分析 作出可行域以下图．由图可知， z ＝ 2x ＋ 3y 经过点 A (2,1) 时， z 有最小值， z 的最小值为 7. 4． (3,8)－ 1<x ＋ y <4，分析 由得平面地区如图暗影部分所示．2<x － y <3由x ＋ y ＝－ 1，x － y ＝ 3得x ＝ 1，y ＝－ 2.由x ＋ y ＝ 4，x－ y ＝ 2得x ＝ 3，y ＝ 1.∴ 2×3－3×1< z ＝ 2x － 3y <2×1－3×( － 2) ， 即 3<z <8，故 z ＝ 2x － 3y 的取值范围是 (3,8) ． 5． 2x ＋ 2y －5≤0，x ≥1，y y － 0分析画出不等式组y ≥0，对应的平面地区 Ω， x ＝ x － 0表示平面区x ＋2 －3≥0y域 Ω 上的点 P ( x ， y ) 与原点的连线的斜率．yA (1,2) ，B (3,0) ，∴ 0≤ x ≤2.6．3－11分析作出可行域如图暗影部分所示，由图可知z＝3x－4y 经过点过点 B时 z 有最大值．易求 A(3,5)，B(5,3)．∴ z 最大＝3×5－4×3＝＝－ 11.A 时 z 有最小值，经3，z最小＝3×3－4×52 17．f ( t ) ＝－t＋t＋2分析y≥0作出不等式组y≤ x所表示的平面地区．y≤2－ x由 t ≤x≤ t ＋1,0≤ t ≤1，得△ OEF△AOD△ BFC1 2 1221f ( t )＝S － S － S＝ 1－2t－2(1 －t ) ＝－t＋t＋2.8． 4分析以下图．由拘束条件作出可行域，得D(1,1)， E(1,2)， C(3,3)．要求 ( AB) min，可经过求D、E、C三点到直线3x－4y－9＝0距离最小值的 2 倍来求．经剖析， D(1,1)到直线|3 ×1－4×1－ 9|3x－ 4y－ 9＝ 0 的距离d＝5＝2 最小，∴ ( AB) min＝ 4.9．解如图作出线性拘束条件x＋3y≥12x＋ y≤10下的可行域，包括界限：此中三条直线中x＋3y＝12与3x＋ y＝12交3x＋y≥12于点 A(3,3)，x＋＝10与x＋3 ＝12交于点 (9,1)，y y Bx＋ y＝10与 3x＋y＝ 12交于点 C(1,9)，作一组与直线2x－y＝ 0 平行的直线l： 2x－y＝z，即 y＝2x－ z，而后平行挪动直线 l ，直线 l 在 y 轴上的截距为－ z，当 l 经过点 B时，－ z 取最小值，此时 z 最大，即 z max＝2×9－1＝17；当 l 经过点 C时，－ z 取最大值，此时 z 最小，即 z min＝2×1－9＝－7.∴z max＝17，z min＝－7.10．解作出不等式组2x＋y－5≥03x－y－5≤0的可行域以下图，x－2y＋5≥0x－2y＋5＝0由，得 A(1,3)，2x＋y－ 5＝0x－2y＋5＝0由，得 B(3,4)，3x－y－ 5＝03x － y － 5＝0，得 C (2,1) ，由2x ＋ y － 5＝0设 z ＝x 2＋ y 2，则它表示可行域内的点到原点的距离的平方，联合图形知，原点到点 B的距离最大，注意到OC ⊥AC ，∴原点到点 C 的距离最小．故 z max ＝ | OB | 2＝ 25，z min＝ | | 2＝5.OC11．解 作出可行域如图，由 x 2＋ y 2＝( x － 0) 2＋( y － 0) 2，能够看作地区内的点与原点的距离的平方， 最小值为原点到直线x ＋y － 6＝ 0 的距离的平方，22即 OP ，最大值为 OA ，此中 A (4,10) ，OP ＝ |0 ＋0－ 6| ＝62， 2 2 ＝ 3 1 ＋ 1 2OA ＝ 42＋ 102＝ 116，∴ ( x 2＋ y 2－2) min ＝ (3 2) 2－ 2＝ 18－2＝ 16， ( x 2＋ y 2－ 2) max ＝( 116) 2 －2＝ 116－2＝ 114， ∴ 16≤ x 2＋ y 2－2≤114.即 x 2＋ y 2－2 的取值范围为 16≤ x 2＋ y 2－2≤114.y ＋ 1 y －－ 112．解因为 z ＝ x ＋ 1＝ x － － 1 ，所以 z 的几何意义是点 ( x ， y ) 与点 M ( － 1，－ 1) 连线的斜率，所以y ＋1的最值就是点 ( x ， y ) 与点 M ( － 1，－ 1) 连线的斜率的最值，x ＋ 1联合图可知，直线 MB 的斜率最大，直线 MC 的斜率最小，即z max ＝ k MB ＝ 3，此时 x ＝ 0，y ＝ 2；1z min ＝ k MC ＝ 2，此时 x ＝ 1，y ＝ 0.1∴ z 的最大值为3，最小值为 2.。
3.3.3简单的线性规划问题(1)
∴tan α2>tan α1>0；tan α3<tan α4<0.
∴k3<k4<0<k1<k2.
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(二)线性目标函数的最值
问题 2 若 x≥0，y≥—1，且 x＋y≤1，则目标函数 z＝x＋2y 的最大值是 ;最小值是 。
精讲点拨
x＋3y≥12， 例 线性约束条件 x＋y≤10， 3x＋y≥12 和最小值． 下，求 z＝2x－y 的最大值
8 的最大值为________．
则 z＝2x＋4y
解析 由不等式组表示的可行域知， 目标函数 z 在点(0,2)处取得最大值 8.
归纳延伸
1．用图解法求线性目标函数的最值时，要搞清楚 z 的含义， z 总是与直线在 y 轴上的截距有关． 2．作不等式组表示的可行域时，注意标出相应的直线方程， 还要给可行域的各顶点标上字母，平移直线时，要注意线性 目标函数的斜率与可行域中边界直线的斜率进行比较，确定 最优解．
探究展示
(一)直线的倾斜角与斜率的关系
问题 1 直线 l1，l2，l3，l4 的图象如图所示， α1，α2，α3，α4 依次是它们的倾斜角．k1， k2，k3，k4 分别是 l1，l2，l3，l4 的斜率． 试按从小到大的顺序排列 k1，k2，k3，k4.
π π 解 ∵0<α1<α2< ； <α3<α4<ห้องสมุดไป่ตู้. 2 2
x＋y≥3， 1.设变量 x，y 满足约束条件 x－y≥－1， 2x－y≤3， z＝2x＋3y 的最小值为 A．6 B．7 C．8 D．23 则目标函数 ( B )
解析 作出可行域如图所示：
由图可知，z＝2x＋3y 经 过点 A(2,1)时，z 的最小 值为 7.
高中数学(苏教版,必修五) 第3章 不等式 3.3.3(一) 课时作业(含答案)
3.3.3 简单的线性规划问题(一)课时目标 1.了解线性规划的意义.2.会求一些简单的线性规划问题．问题一、填空题1．若实数x ，y 满足不等式组⎩⎨⎧x ＋3y －3≥0，2x －y －3≤0，x －y ＋1≥0，则x ＋y 的最大值为________．2．已知点P (x ，y )的坐标满足条件⎩⎨⎧x ＋y ≤4，y ≥x ，x ≥1，则x 2＋y 2的最大值为________．3．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥3，x －y ≥－1，2x －y ≤3.则目标函数z ＝2x ＋3y 的最小值为________．4．已知－1<x ＋y <4且2<x －y <3，则z ＝2x －3y 的取值范围是________．(答案用区间表示)5．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≤0，x ≥1，y ≥0，x ＋2y －3≥0，则yx的最大值为____________． 6．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ＋2≥0，x －5y ＋10≤0，x ＋y －8≤0，则目标函数z ＝3x －4y 的最大值和最小值分别为________和________．7．在坐标平面上有两个区域M 和N ，其中区域M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0y ≤x y ≤2－x ，区域N ＝{(x ，y )|t ≤x ≤t ＋1,0≤t ≤1}，区域M 和N 公共部分的面积用函数f (t )表示，则f (t )的表达式为________．8．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －2y ＋3≥0y ≥x，所表示的平面区域是Ω1，平面区域Ω2与Ω1关于直线3x －4y －9＝0对称．对于Ω1中的任意点A 与Ω2中的任意点B ，则AB 的最小值为________．二、解答题9．线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ≥12x ＋y ≤103x ＋y ≥12下，求z ＝2x －y 的最大值和最小值．10．已知⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －5≥03x －y －5≤0x －2y ＋5≥0，求x 2＋y 2的最小值和最大值．能力提升11．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧(x －y ＋6)(x ＋y －6)≥01≤x ≤4，求x 2＋y 2－2的取值范围．12．已知实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0x －2y ＋4≥03x －y －3≤0，试求z ＝y ＋1x ＋1的最大值和最小值．1．作不等式组表示的可行域时，注意标出相应的直线方程，还要给可行域的各顶点标上字母，平移直线时，要注意线性目标函数的斜率与可行域中边界直线的斜率进行比较，确定最优解．2．在解决与线性规划相关的问题时，首先考虑目标函数的几何意义，利用数形结合方法可迅速解决相关问题．3．3.3 简单的线性规划问题(一)答案知识梳理 线性约束 作业设计 1．9解析 画出可行域如图：当直线y ＝－x ＋z 过点A 时，z 最大．由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －3＝0，x －y ＋1＝0得A (4,5)，∴z max ＝4＋5＝9. 2. 10解析 画出不等式组对应的可行域如下图所示：易得A (1,1)，|OA |＝2，B (2,2)， |OB |＝22，C (1,3)，|OC |＝10.∴(x 2＋y 2)max ＝|OC |2＝(10)2＝10. 3．7解析 作出可行域如图所示．由图可知，z ＝2x ＋3y 经过点A (2,1)时，z 有最小值，z 的最小值为7. 4．(3,8)解析 由⎩⎪⎨⎪⎧－1<x ＋y <4，2<x －y <3得平面区域如图阴影部分所示．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝－1，x －y ＝3得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝－2.由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝4，x －y ＝2得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1. ∴2×3－3×1<z ＝2x －3y <2×1－3×(－2)，即3<z <8，故z ＝2x －3y 的取值范围是(3,8)． 5．2解析 画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≤0，x ≥1，y ≥0，x ＋2y －3≥0对应的平面区域Ω，y x ＝y －0x －0表示平面区域Ω上的点P (x ，y )与原点的连线的斜率． A (1,2)，B (3,0)，∴0≤yx≤2.6．3 －11解析 作出可行域如图阴影部分所示，由图可知z ＝3x －4y 经过点A 时z 有最小值，经过点B 时z 有最大值．易求A (3,5)，B (5,3)．∴z 最大＝3×5－4×3＝3，z 最小＝3×3－4×5＝－11.7．f (t )＝－t 2＋t ＋12解析作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0y ≤xy ≤2－x所表示的平面区域．由t ≤x ≤t ＋1,0≤t ≤1，得f (t )＝S △OEF －S △AOD －S △BFC ＝1－12t 2－12(1－t )2＝－t 2＋t ＋12.8．4解析 如图所示．由约束条件作出可行域，得D (1,1)，E (1,2)，C (3,3)．要求(AB )min ，可通过求D 、E 、C 三点到直线3x －4y －9＝0距离最小值的2倍来求． 经分析，D (1,1)到直线3x －4y －9＝0的距离d ＝|3×1－4×1－9|5＝2最小，∴(AB )min ＝4.9．解 如图作出线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ≥12x ＋y ≤103x ＋y ≥12下的可行域，包含边界：其中三条直线中x ＋3y ＝12与3x ＋y ＝12交于点A (3,3)，x ＋y ＝10与x ＋3y ＝12交于点B (9,1)， x ＋y ＝10与3x ＋y ＝12交于点C (1,9)，作一组与直线2x －y ＝0平行的直线l ：2x －y ＝z ，即y ＝2x －z ，然后平行移动直线l ，直线l 在y 轴上的截距为－z ，当l 经过点B 时， －z 取最小值，此时z 最大，即z max ＝2×9－1＝17；当l 经过点C 时，－z 取最大值，此时z 最小，即z min ＝2×1－9＝－7. ∴z max ＝17，z min ＝－7. 10．解 作出不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －5≥03x －y －5≤0x －2y ＋5≥0的可行域如图所示，由⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋5＝02x ＋y －5＝0，得A (1,3)， 由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋5＝03x －y －5＝0，得B (3,4)，由⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －5＝02x ＋y －5＝0，得C (2,1)， 设z ＝x 2＋y 2，则它表示可行域内的点到原点的距离的平方，结合图形知，原点到点B 的距离最大，注意到OC ⊥AC ，∴原点到点C 的距离最小．故z max ＝|OB |2＝25， z min ＝|OC |2＝5.11．解 作出可行域如图，由x 2＋y 2＝(x －0)2＋(y －0)2，可以看作区域内的点与原点的距离的平方，最小值为原点到直线x ＋y －6＝0的距离的平方， 即OP 2，最大值为OA 2，其中A (4,10)，OP ＝|0＋0－6|12＋12＝62＝32，OA ＝42＋102＝116，∴(x 2＋y 2－2)min ＝(32)2－2＝18－2＝16， (x 2＋y 2－2)max ＝(116)2－2＝116－2＝114， ∴16≤x 2＋y 2－2≤114.即x 2＋y 2－2的取值范围为16≤x 2＋y 2－2≤114. 12．解 由于z ＝y ＋1x ＋1＝y －(－1)x －(－1)，所以z 的几何意义是点(x ，y )与点M (－1，－1)连线的斜率， 因此y ＋1x ＋1的最值就是点(x ，y )与点M (－1，－1)连线的斜率的最值，结合图可知，直线MB 的斜率最大，直线MC 的斜率最小，即 z max ＝k MB ＝3，此时x ＝0，y ＝2； z min ＝k MC ＝12，此时x ＝1，y ＝0.∴z 的最大值为3，最小值为12.。
2018版高中数学苏教版必修五学案3.3.3 简单的线性规划问题(一)
．简单的线性规划问题(一)
学习目标.了解线性规划的意义.理解约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念.掌握线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题．
引例已知，满足条件①
该不等式组所表示的平面区域如图，求＋②
的最大值．
以此为例，试通过下列问题理解有关概念．
知识点一线性约束条件
在上述问题中，不等式组①是一组对变量、的约束条件，这组约束条件都是关于、的次不等式，故又称线性约束条件．
知识点二目标函数
在上述问题中，②是要研究的目标，称为目标函数．因为它是关于变量、的次解析式，这样的目标函数称为线性目标函数．
知识点三线性规划问题
一般地，在线性约束条件下求的最大值或最小值问题，通常称为线性规划问题．
知识点四可行解、可行域和最优解
满足线性约束条件的解(，)叫．作出约束条件所表示的平面区域，这一区域称为可行域．其中，使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解．在上述问题的图中，阴影部分叫，阴影区域中的每一个点对应的坐标都是一个，其中能使②式取最大值的可行解称为．
类型一最优解问题
命题角度问题存在唯一最优解
例已知，满足约束条件
该不等式组所表示的平面区域如图，
求＋的最大值．。
高中数学 3.3.3 简单的线性规划问题(1)学案(无答案)苏教版必修5(2021年整理)
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3.3。
3简单的线性规划问题（1）【学习目标】1．了解线性规划的意义、了解可行域的意义；2．掌握简单的二元线性规划问题的解法．【学习重点】二元线性规划问题的解法的掌握．【学习难点】求非线性目标函数的最值．【学习过程】一、引入某工厂生产甲、乙两种产品，生产1t甲种产品需要A种原料4t、B种原料12t，产生的利润为2万元;生产1t乙种产品需要A种原料1t、B种原料9t,产生的利润为1万元．现有库存A种原料10t，B种原料60t，问如何安排才能使利润最大？二、新授内容：1、目标函数、线性目标函数：诸如上述问题中，不等式组是一组对变量x，y的约束条件，由于这组约束条件都是关于x，y的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件．y=2是欲达到最大值或最小值所涉及的P+x变量x,y的解析式，我们把它称为目标函数．由于y=2又是关于x，y的一次解析式，所xP+以又可叫做线性目标函数．注意:线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示．2、线性规划问题:一般地，求______________在______________下的________________的问题，统称为线性规划问题．3、可行解、可行域、最优解：满足线性约束条件的解(x ，y ）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域(类似函数的定义域)．在问题中，可行域就是约束条件所表示的平面区域．其中可行解0011(,),(,)A x y B x y (一般是区域的顶点）分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解．线性规划是一种重要的优化模型，生产实际中有许多问题都可以归结为线性规划问题．4、线性规划问题一般用图解法，其步骤如下：（1)根据题意，设出变量x 、y ；（2)找出线性约束条件；(3）确定线性目标函数z =f （x ，y ）；（4）画出可行域（即各约束条件所示区域的公共区域)；(5）利用线性目标函数作平行直线系f （x ,y ）=t （t 为参数）；（6)观察图形，找到直线f （x ,y )=t 在可行域上使t 取得欲求最值的位置，以确定最优解；（7）将最优解带入目标函数，求出最值．例1．若已知y x ,满足4335251x y x y x -≤-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，，．求y x z +=2的最大值和最小值．【变式拓展】画出以A（3，－1）、B（－1，1）、C（1，3）为顶点的△A BC的区域(包括各边)，写出该区域所表示的二元一次不等式组，并求以该区域为可行域的目标函数z=3x－2y的最大值和最小值．例2．已知yx,满足不等式组230236035150x yx yx y-->⎧⎪+-<⎨⎪--<⎩，，．求使yx+取最大值的整数yx,的值．例3．设实数x，y满足错误!则错误!的最大值为________．【变式拓展】设实数x,y满足错误!则22x y+的最大值是___________．三、课堂反馈:1．判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”)（1)线性目标函数的最优解可能是不唯一的．（ ） （2)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上．（ ) (3)目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)中，z 的几何意义是直线ax ＋by －z ＝0在y 轴上的截距． （ ）2．若0,0x y ≥≥,且1x y +≤,则z x y =-的最大值为___________．3．设,z x y =-其中,x y 满足条件30,20,x y x y +-≥⎧⎨-≥⎩则 z 的最小值为___________．4．已知点(,)P x y 在不等式组20,10,220,x y x y -≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩所表示的平面区域内运动,则z x y =-的取值范围是_________________．5。
苏教版高中数学必修5-3.3典型例题：简单的线性规划问题
典型例题
【例1】求不等式｜x－1｜+｜y－1｜≤2表示的平面区域的面积.
【例2】某矿山车队有4辆载重量为10 t的甲型卡车和7辆载重量为6 t的乙型卡车，有9名驾驶员此车队每天至少要运360 t矿石至冶炼厂.已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次甲型卡车每辆每天的成本费为252元，乙型卡车每辆每天的成本费为160元.问每天派出甲型车与乙型车各多少辆，车队所花成本费最低?
参考答案
例1：
【分析】依据条件画出所表达的区域，再根据区域的特点求其面积.
【解】｜x－1｜+｜y－1｜≤2可化为
或或或
其平面区域如图：
∴面积S=×4×4=8
【点拨】画平面区域时作图要尽量准确，要注意边界.
例2：
【分析】弄清题意，明确与运输成本有关的变量的各型车的辆数，找出它们的约束条件，列出目标函数，用图解法求其整数最优解.
【解】设每天派出甲型车x辆、乙型车y辆，车队所花成本费为z元，那么
z=252x+160y，
作出不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图
作出直线l0：252x+160y=0，把直线l向右上方平移，使其经过可行域上的整点，且使在y轴上的截距最小.
观察图形，可见当直线252x+160y=t经过点（2，5）时，满足上述要求.
此时，z=252x+160y取得最小值，即x=2，y=5时，
zmin=252×2+160×5=1304.
答：每天派出甲型车2辆，乙型车5辆，车队所用成本费最低.
【点拨】用图解法解线性规划题时，求整数最优解是个难点，对作图精度要求较高，平行直线系f（x，y）=t的斜率要画准，可行域内的整点要找准，最好使用“网点法”先作出可行域中的各整点.。
高中数学苏教版必修5 3.3.3 简单的线性规划问题 作业 Word版含解析
[学业水平训练]一、填空题1．给出下列命题：①线性规划中的最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的变量x 和y 的值； ②线性规划中的最优解指的是目标函数的最大值或最小值；③线性规划中的最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行域； ④线性规划中的最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行解． 其中正确的命题是________．(写出所有正确命题的序号) 答案：①④2．已知1≤a ≤2，－1≤b ≤3，则2a ＋b 的取值范围是________．解析：在平面直角坐标aOb 中画出可行域(图略)，可得目标函数z ＝2a ＋b 的最小值和最大值分别为1与7，故2a ＋b 的取值范围是[1，7]．答案：[1，7]3．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≥2，y ≥3x －6，则目标函数z ＝2x ＋y 的最小值为________．解析：因为变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≥2，y ≥3x －6，在坐标系中画出可行域△ABC ，A (2，0)，B (1，1)，C (3，3)，则使目标函数z ＝2x ＋y 取最小值的点是B 点，代入即可得z min ＝3.答案：34．满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤5，2x ＋y ≤6，x ≥0，y ≥0，并使目标函数z ＝6x ＋8y 取得最大值的点的坐标是________．解析：可行域(如图所示)是四边形OABC 及其内部的区域．作出l 0：6x ＋8y ＝0即3x ＋4y ＝0，平移直线l 0到l 的位置，由图形知，当l 过点C (0，5)时，z 取得最大值．答案：(0，5)5．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2，目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1，0)处取得最小值，则a 的取值范围是________．解析：作出可行域如图所示，直线ax ＋2y ＝z 仅在点(1，0)处取得最小值，由图象可知－1<－a2<2，即－4<a <2.答案：(－4，2)6．(2014·浙江省嘉兴一中月考)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1x －y ＋1≤02x －y －2≤0，则x 2＋y 2的最小值是________．解析：画出满足条件的可行域(如图)，根据x 2＋y 2表示可行域内一点到原点的距离，可知x 2＋y 2的最小值是|AO |2.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1x －y ＋1＝0得A (1，2)，所以|AO |2＝5.答案：57．配制A ，B 两种药剂，需要甲、乙两种原料，已知配一剂A 种药需甲料3mg 、乙料5mg ；配一剂B 种药需甲料5mg 、乙料4mg.今有甲料20mg 、乙料25mg ，若A ，B 两种药至少各配一剂，则不同的配制方法的种数是________．解析：设A ，B 两种药分别配x ，y 剂．则⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≥1，3x ＋5y ≤20，作出可行域（如图）.5x ＋4y ≤25，x ，y ∈N .上述不等式组的解集是可行域中的整点．运用画网格的方法，可得这个区域内的整点为：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，所以在至少各配一剂的情况下，共有8种不同的配制方法．答案：8 二、解答题8．在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0y ≥0x ＋y ≤s y ＋2x ≤4下，当3≤s ≤5时，求目标函数z ＝3x ＋2y 的最大值的变化范围．解：如图，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝s y ＋2x ＝4，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－sy ＝2s －4，交点为B (4－s ，2s －4)，其他各交点分别为A (2，0)，C (0，s )，C ′(0，4)． (1)当3≤s ＜4时，可行域是四边形OABC ，此时7≤z max ＜8； (2)当4≤s ≤5时，可行域是△OAC ′，此时z max ＝8.由(1)，(2)可知目标函数z ＝3x ＋2y 的最大值的变化范围是[7，8]．9．一个农民有田2亩，根据他的经验，若种水稻，则每亩每期产量为400千克；若种花生，则每亩每期产量为100千克，但水稻成本较高，每亩每期需240元，而花生只要80元，且花生每千克可卖5元，稻米每千克只卖3元，现在他只能凑足400元，问这位农民对两种作物各种多少亩，才能得到最大利润？解：设水稻种x 亩，花生种y 亩，得到的利润为P ，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，240x ＋80y ≤400，x ≥0，y ≥0.而利润P ＝(3×400－240)x ＋(5×100－80)y＝960x ＋420y (目标函数)，可行域如图所示，可联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，240x ＋80y ＝400，得交点B (1.5，0.5)．故当x ＝1.5，y ＝0.5时，P max ＝960×1.5＋420×0.5＝1650，即水稻种1.5亩，花生种0.5亩时所得到的利润最大．[高考水平训练]一、填空题1．某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 需满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧5x －11y ≥－222x ＋3y ≥92x ≤11，则z＝10x ＋10y 的最大值是________．解析：先画出满足约束条件的可行域，如图中阴影部分所示．由⎩⎪⎨⎪⎧5x －11y ＝－22，2x ＝11，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5.5，y ＝4.5，但x ∈N *，y ∈N *，结合图知当x ＝5，y ＝4时，z max ＝90. 答案：902．(2014·湖北省襄阳四中期中考试)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0y ≥a0≤x ≤2表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是________．解析：作出满足条件的可行域(如图)，当y ＝a 过点A (0，5)时表示的平面区域为△ABC ；当5<a <7时表示的平面区域均为三角形．综上，5≤a <7.答案：5≤a <7 二、解答题3．某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产甲种产品1t ，需矿石4t 、煤3t ，生产乙种产品1t ，需矿石5t 、煤10t ，每1t 甲种产品的利润是7万元，每1t 乙种产品的利润是12万元，工厂在生产这两种产品的计划中，要求消耗矿石不超过200t ，煤不超过300t ，问：甲、乙两种产品应各生产多少，能使利润总额达到最大？解：设生产甲、乙两种产品分别为x t 、y t ，利润总额为z 万元，则z ＝7x ＋12y ，且⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ≤200，3x ＋10y ≤300，x ≥0，y ≥0，作出不等式组所表示的平面区域，如图所示．由⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ＝200，3x ＋10y ＝300，得P (20，24)． ∴当x ＝20，y ＝24时，z 取得最大值．所以应生产甲种产品20t ，乙种产品24t ，能使利润总额达到最大．4．某工厂在甲、乙两地的两个分厂各生产某种机器12台和6台，现销售给A 地10台、B 地8台．已知从甲地调运1台至A 地、B 地的运费分别为400元和800元，从乙地调运1台至A 地、B 地的运费分别为300元和500元．请你设计调运方案，使总运费不超过9000元．解：设从甲地调x 台给A 地，则给B 地(12－x )台；从乙地调y 台给A 地，则给B 地(6－y )台．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝10，400x ＋800（12－x ）＋300y ＋500（6－y ）≤9000，0≤x ≤12，0≤y ≤6，x ，y ∈N ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝10，2x ＋y ≥18，0≤x ≤12，0≤y ≤6，x ，y ∈N .作出可行域如图所示．由图知，符合条件的x ，y 为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝10，y ＝0.所以为使运费不超过9000元，可有三种调运方案．方案1从甲地调8台给A地、4台给B地；再从乙地调2台给A地、4台给B地．方案2从甲地调9台给A地、3台给B地；再从乙地调1台给A地、5台给B地．方案3从甲地调10台给A地，2台给B地，再从乙地调6台给B地．。
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§3.3.3 简单的线性规划问题 第 课时
班级___________
姓名______________
1．若1223x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩
，则能使x ＋y 取得最大值的整点是____________．
2．两直线2x －3y+1=0,3x －2y －1=0的交点坐标是 ______________．
3．设P(x ，y)满足x ，y ∈N ，且x + y ≤4，x －y 的最小值为___________．
4． 满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧-≥≤+≤11y y x x y ，且能使z=2x +y 的最大值点（x ，y ）是______________．
5．非负实数x 、y 满足y x y x y x 3,030
42+⎩
⎨⎧≤-+≤-+则的最大值为 ．
6．若x ，y 满足条件3
2x y y x +≤⎧⎨≤⎩
,则z = 3x + 4y 的最大值是 ．
7．已知⎪⎩
⎪
⎨⎧≥-≤-≤+1349
2x y x y x , 则z = 3x + y 最大值为______________．
8．x ，y 满足不等式组 2438x y x y ≤≤⎧⎪
≥⎨⎪+≤⎩
,则目标函数y x k 23-=的最大值为_____________．
9．已知x ，y 满足约束条件 则的最小值为_____________． 10．已知x 、y 满足不等式，则z ＝3x+y 的最小值为_____________．
50,
0,
3.x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩
y x z -=4⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≥≥+≥+0y ,0x 1y x 22y 2x
11．已知x 、y 满足不等式组，试求z ＝300x+900y 取最大值时的整点的坐标，及相
应的z 的最大值．
12．要将甲、乙两种长短不同的钢管截成A 、B 、C 三种规格，每根钢管可同时截得三种规格的短钢管的根数如下表所示：
今需A 、B 、C 三种规格的钢管各13、16、18根，问各截这两种钢管多少根可得所需三种规格钢管，且使所用钢管根数最少。
13．已知甲、乙两煤矿每年的产量分别为200万吨和300万吨，需经过东车站和西车站两个车站
⎪⎪⎩
⎪⎪
⎨⎧≥≥≤+≤+0y 0x 250
y 2x 300y x 2
运往外地。
东车站每年最多能运280万吨煤，西车站每年最多能运360万吨煤，甲煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为1元/吨和1.5元/吨，乙煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为0.8元/吨和1.6元/吨。
煤矿应怎样编制调运方案，能使总运费最少?
三、作业错误分析及订正：
1．填空题错误分析：[错误类型分四类：①审题错误；②计算错误；③规范错误；④知识错误；
只有“知识性错误”需要写出相应的知识点.]
2．填空题具体订正：
___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ 3．解答题订正：。