图论与网络优化

N vi N vi
当D为简单图时，
N vi N vi
N (vi)、N+(vi)、N-(vi) 常简记为Ni、Ni+、Ni-。
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二、最短路问题
给定一个赋权有向图D＝ ( V，A ) ,对每一条
弧aij＝w (vi，vj)，相应地有权w (aij )= wij ，又有两 点vs、vt ∈V,设 r 是 D 中从vs 到vt 的一条路，路 r 的权是 r 中所有弧的权之和 , 记为 w(r) ．最短路问 题就是求从vs 到vt 的路中一条权最小的路 r*:
而且经常被作为一个基本工具，用于解决其它优化
问题。许多优化问题往往可转化为求图上的最短路， 这方面的研究工作已取得了十分丰富的成果，迄今 为止，求解的算法已不下数十种。
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如下图所示的单行线交通网，每个弧旁边的 数字表示这条单行线的长度。现在有一个人要从v1 出发，经过这个交通网到达v6，要寻求总路程最短 的线路。
6
下面介绍树的一些重要性质：
【定理5】 p个顶点的树含p–1条边。
定理 5-1 设图 G= （ V ， E ）是一个树 p(G) 2 ，那么 图G中至少有两个悬挂点。 定理5-2 图G=（V，E）是一个树的充要条件是G不含 圈，并且有且仅有p–1条边。 定理5-3 图G=（V，E）是一个树的充要条件是G是连 通图，并且有且仅有 p–1 条边。
于是，可能的状态仅有10种。
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以每个状态作为顶点，构造相应的图（如图5-8所 示），其中，边的连接原则为：
若状态甲经一次渡河可变为乙，则连一条边。 从而，渡河问题就归结为求MWSV→Φ的最短路。 (船上必须要有人)
MWSV MWS
（算法形式化方面的内容）
MWV MSV
MS
WV
W
S 图5-8
V
Φ
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则称 T * 为图G的一棵最小支撑树。
14
b 2 a 3 f 2
4 4 5
c
5
2 6 e d
最小 树
比如，城市间交 通线的建造等，可以 归结为这一类问题。
再如前面例3，在已知的几个城市之间联结电话 线网，要求总长度最短和总建设费用最少，这类问
题的解决都可以归结为最小树问题。
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2．最小树的求法 【定理7】树T*是图G中最小树的充分必要条件是： 对T*外的每一条边eij，有下列不等式成立：
其中，当i = j时，若设 w ij 0，则与实际背景不 符，若< 0，则出现负回路，故须定义为0。由 Bellman最优化原理易知：从v1到vj的最短路长rj*必 满足 rj * mi n ri * wij ,反之亦然。
例如，按照第一个线路，总长度是3+6+3=12单位，
按照第二个路线，总长度是3+1+1+6=11单位。
因此，如何选择路线，使得总长度最短，便是本部分要 26 讨论的问题。
一、有向图
【定义10】 从点u到v的有向线段称为弧，记作： a=(u, v)，其中，u与v分别称为弧a的始点与终点， 图中所有弧的集合则记作 A 。弧(vi, vj) 也常记作 aij 。 【定义 11】 非空点集 V 及其相应的非空弧集 A 之 二元组称为有向图，记作D=(V, A)。
a
v4
【定理6】一个图G有支撑树的充要条件是G是连通图。
证明：充分性: 设图G是连通的，若G不含圈，则按照
定义，G是一个树，从而G是自身的一个支撑树。若G含 圈，则任取G的一个圈，从该圈中任意去掉一条边，得 到图G的一支撑子图G1。若G1不含圈，则G1是G的一 个支撑树。
若G1仍然含圈，则任取G1的一个圈，再从圈中任意去掉
3
如果用六个点 v1„v6 代表这六个城市，在任意两 个城市之间架设电话线，即在相应的两个点之间连一 条边。这样，六个城市的一个电话网就作成一个图。
v1 v3
v2
v5 v4 v6
4
表示任意两个城市之间均可以通话，这个图必须 是连通图。并且，这个图必须是无圈的。否则，从 圈上任意去掉一条边，剩下的图仍然是六个城市的
第五章 图论与网络优化
1
§5-1 引论 §5-2 图论基本概念 §5-3 树及其优化问题 §5-4 最短路问题 §5-5 最大流问题 §5-6 中国邮递员问题
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§5-3 树及其优化问题
一、树及其性质
在各种各样的图中，有一类图是十分简单又非常 具有应用价值的图，这就是树。 例5.3 已知有六个城市，它们之间要架设电话线，要 求任意两个城市均可以互相通话，并且电话线的总长 度最短。
定理5-4 图G是一个树的充分必要条件是任意两个顶 点之间有且仅有一条链。
7
从以上定理，不难得出以下结论：
（ 1 ）从一个树中任意去掉一条边，那么剩下的图
不是连通图，亦即，在点集合相同的图中，
树是含边数最少的连通图。 （ 2 ）在树中不相邻的两个点之间加上一条边，那 么恰好得到一个圈。
8
二、支撑树
v2 6 4 1 v3 v5
25
v4
3
v1 5 1 2 6
3
v6
v2 3 v1
6 4 1
v4 3 2 6 v5 : 从v1－> v2 －> v4 －> v6;
v3
或者从v1 －> v2 －> v3 －> v5 －> v6等等。 不同的路线，经过的总长度是不同的。
e1
v2 v4 e8 v5
v3
12
三、最小支撑树及其算法 定义8：设图G=（V，E），E中任意一条边eij上都对
应有一个数wij，称wij为eij的权重，权重的全体记作
W，称为G上的权重集，简称权。图G称为赋权图。
记作G=（V，E，W），G的总权重记作w（G），或 者w（E）。 今后，我们讨论的都是连通的赋权图。 1．最小支撑树 一个网络图可以有多个支撑树．记G 的所有支撑 树的集合为： T＝{ T | k＝1，2，…，L }
三、有向图最短路算法 1964年，Ford提出了可求解含负权的最短路问题 的递推标号法。 设赋权有向图D = (V, A, W)，V中含p个点，现要 求始点v1至终点vp的最短路Rp*及其路长rp*。假定D中 无负回路（其上总权为负数的回路），将原弧集A增
广为新弧集，以使V中任意两点间均有互为反向的两
v3 1
v8
5 v7
v0 2 3 4 2
v4
5 v5
v6
最小树，权为13
19
22
分别用两种方法求最小树
v2
1
3
5 v4 2 v5
v1
2 4
1
3
v3
§5-4 最短路问题
最短路问题是最重要的网络优化问题之一，它 不仅可以直接应用于解决生产实际中的许多问题， 如管道铺设、线路安排、厂区布局、设备更新等等，
定义7 设图K=( V , E1 )是图G=(V , E )的一个支撑 子图 ( 点相同并保持图的连通性 ) ，如果图 K=(V , E1)
是一个树,那么称K 是G 的一个支撑树。 例如 , 图5.10 b 是图5.10a 的一个支撑树
v3
v5
v3
v5
v1
v6
v1
v6 v2 b
v4
v2
显然,如果图K=(V,E1)是图G=(V,E)的一个支撑树,那 么K 的边数是p(G)–1，G中不属于支撑树K 的边数是 9 q(G)–p(G)+1。
一条边，得到图G的一支撑子图G2。依此类推，可以得
到图G的一个支撑子图GK，且不含圈，从而GK是一个支
撑树。
10
定理6充分性的证明，提供了一个寻找连通图支撑 树的方法叫做“破圈法”。 即：就是从图中任取一个圈，去掉一条边。再对剩
下的图重复以上步骤，直到不含圈时为止，这样就
得到一个支撑树。 例4 用破圈法求出下图的一个支撑树。
v3
v3 v1 v2 v1
v3
v5
v4 v5
v6
v2 v5
v6
v3 v1
v2
v3
v1
v4
v2
(2)破圈法：
① 在图中寻找一个圈。 若不存在圈，则已经 得到最短树或网络不 存在最短树； ② 去掉该圈中权数最 大的边； ③ 反复重复 ① ② 两 步，直到最小树。
v1 1
4 2 4 5
v2 1
1 3 4
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显然，给定一个有向图D，若去除弧上的方向，则
对应得到唯一的无向图G。此时的G 称为D的基础图；
反之，一个无向图G，由于可用不同的方式来标上
方向，故可伴生多个有向图。无向图中的许多概念与
术语（如链与圈等）可沿用于有向图中，但仍有一些 不同之处。将有向图与其基础图相对照，有下列对应 关系： D G 弧 边 路 链 回路 圈
k
13
定义9：图G的支撑树T中，总权最小的树称为最小 支撑树，简称最小树，记作T * ．
设 Tk ＝（V ， Ek ，Wk ）是图G ＝（ V ，E ， W ）的一棵
支撑树，则边集 Ek 中所有边的权数之和称为树 Tk 的
权数，记为：
w Tk
e Ek
w e
Tk T
若 T T ， 使 w T min w Tk
v2 e1 v1 e2 v3 e3 e4 e5 v4 e7 e8 e6
11
v5
取一个圈(v1 ,v2 ,v3 ,v1 )，在一个圈中去掉边e3 。 在剩下的图中，再取一个圈（v1 ,v2 ,v4 ,v3 ,v1 ），去掉边e4 。 再从圈（v3 ,v4 ,v5 ,v3 ）中去掉边e6 。 再从圈(v1 ,v2 ,v5 ,v4 ,v3 ,v1 ）中去掉边e7。 这样，剩下的图不含圈，于是得到一个支撑树，如图所示。 v2 e1 v1 e2 e3 e4 v4 e5 e7 e8 e6 v5 v1 e2 v3 e5