现代控制理论知识点归纳

第一章

1、输入-输出描述:通过建立系统输入输出间的数学关系来描述系统特性。含：传递函数、微分方程（外部描述）

2、状态空间描述通过建立状态（能够完善描述系统行为的内部变量）和系统输入输出间的数学关系来描述系统行为。

3、limg ij (s)=c,真有理分式c ≠0的常数，严格真有理分式c=0，非真有理分式c=∞

4、输入输出描述局限性：a 、非零初始条件无法使用，b 、不能揭示全部内部行为。

5、状态变量的选取：a 、n 个线性无关的量，b 、不唯一，c 、输出量可作状态变量，d 、输入量不允许做状态变量，e 、有时不可测量，f 、必须是时间域的。

6、求状态空间描述的传递函数矩阵：G(s)=C(sI-A)-1

B+D

7、输入-输出描述——>状态空间描述（中间变量法）

8、化对角规范形的条件：系统矩阵A 的n 个特征值λ1，λ2，…, λn 两两互异，或当系统矩阵A 的n 个特征向量线性无关。

9、*x =Ax+Bu *x =A x +B u A =P -1AP B =P -1B *x =P -1*

x x =P -1x u =u 10、代数重数σi ：同为λi 的特征值的个数，也为所有属于 λi 的约当小块的阶数之和。几何重数αi ：λi 对应的约当小块个数，也是λi 对应线性相关特征向量个数。

11、组合系统状态空间描述：

a 、并联：]*1111*222211212200[]x x B A u A x B x x y C C D D u x ⎧⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎪⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎪⎢⎥⎣⎦⎪⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎨⎪⎡⎤⎪⎡=++⎢⎥⎣⎪⎣⎦⎩

，1()()N i i G s G s ==∑

b 、串联：]()*1111*221221212122120x A x B u A B C x B D x x y D C C D D u x ⎧⎡⎤⎡⎡⎤⎡⎤⎤⎪⎢⎥=+⎢⎢⎥⎢⎥⎥⎪⎢⎥⎦⎪⎣⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎨⎪⎡⎤⎪⎡=+⎢⎥⎣⎪⎣⎦⎩

，11()()()...()N N G s G s G s G s -=

c 、反馈：1121()()[()()]G s G s I G s G s -=+

第二章

1、求e At :a 、化对角线线规范形法，b 、拉普拉斯法

2、由

*

x =Ax+Bu y=Cx+Du 求 x(t)=e At x 0+∫e A(t-τ)Bu(τ) d τ,(t ≥0) 第三章

1、能控性：如果存在一个不受约束的控制作用u(t)在有限时间间隔t0-tf 内，能使系统从任意初

始状态x(t0)转移到任意预期的终端状态x(tf)，则称状态x(t0)是能控的，若系统的所有状态x(t0)都是能控的，则称系统是状态完全能控的。

2、能观性：如果在有限时间间隔t0-tf内取得的输出y(t)的量测值，能够确定系统的初始状态x(t0)的每一个分量，则称t0时刻的初始状态x(to)是能观测的，若系统任意t0时刻的初始状态均能观，则x(t)完全能观测。

3、系统的动态方程与传递函数想必有何优越？系统动态方程和传递函数都是控制系统两种经常使用的数学模型，动态方程不但体现了系统输入输出的关系，而且还清楚地表达了系统内部状态变量的关系。两者相比传递函数只体现了系统输入输出的关系。

4、能控性判据：a、秩判据b、对角线规范形判据c、约当规范形判据

a、秩判据：线性定常系统完全能控的充分必要条件是rank[B| AB|…|A n-1B]=n，n为系统阶次，Q c=[B| AB|…|A n-1B]为系统的能控性判别矩阵

b、对角线规范形判据：

c、约当规范形判据：

5、能控性指数u： n/p≤u≤min(n,n-p+1) n为A的阶次，p为B的列数，n为A的最小多项式次数，p=rankB

6、对偶性原理：线性事变系统∑完全能控=其对偶系统∑d完全能观测，线性事变系统∑完全能观测=其对偶系统∑d完全能控。

第四章

1、实现：对G(s)，有G(s)= C(sI-A)-1B+D,则｛A,B,C,D｝为G(s)的一个实现。

2、最小实现：矩阵A的阶次最低的实现。

第五章

1、内部稳定：线性系统外界输入u=0的情况下，lim

t→∞

Φ(t;t0，x0，0)=0(Φ(t;t0，x0，0)=0为零输入响应)，则系统为内部稳定（即渐进稳定）

2、外部稳定:系统初始条件为零的情况下，p维输入u(t)有界，则q维输出y（t）也有界，则系统为外部稳定（即BIBO稳定）

3、若线性定常系统内部稳定，则其必是BIBO稳定的。如果线性定常系统是能控BIBO稳定，则不能保证系统是渐进稳定（内部稳定）的。

4、如果系统能控且能观，则其内部稳定和外部稳定必是等价的。

5、平衡状态：x e使

*

e

x =f(x e,t)=0,则为平衡状态

6、大范围渐进稳定：由状态空间的任意有限非零初始状态x0引起零输入响应 (t;t0，x0，0)都是有界且 (t;t0，x0，0)=x e则称x e是大范围渐进稳定的

7、定常系统大范围渐进稳定判别：存在一个连续一阶偏导数的标量函数V(x),V(0)=0,满足：a、

任意x≠0,V(x)>0；b、任意x≠0,*

V（x,t）<0；c、||x||->∞，V(x)-> ∞。

8、特征值判据：对线性定常系统，系统矩阵所有特征值均具有非真（负或零）实部，且具有零实部的特征值为A的最小多项式的单根。

9、李亚普诺夫判据：对线性定常系统，平衡状态x e=0为渐进稳定的充要条件是：对任意正定对称矩阵Q有A T P+PA=-Q有唯一正定对称解矩阵P n×n

第六章

1、输入反馈不改变系统能控性

2、输入反馈的作用：可以使闭环系统的极点配置在期望的位置上，从而改善系统的稳定性、动态性能和稳态精度。

3、单输入线性定常系统n个极点可任意配置的充要条件是系统完全能控。