单纯形法解决无约束优化问题

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单纯形法的几种特殊情况

单纯形法的几种特殊情况单纯形法是一种线性规划的解法方法，用于寻找最优解。

在实际应用中，存在一些特殊情况，需要对单纯形法进行一些调整或者使用其他方法来解决。

下面将介绍几种特殊情况：1.无解情况（不可行解）：在一些情况下，约束条件可能是冲突的，导致不存在可行解。

例如，所有约束条件加在一起可能无法满足，或者一些约束条件是矛盾的，比如两个约束条件同时要求一些变量分别为正和负。

在这种情况下，单纯形法无法找到最优解，因为没有可行解。

解决方法：可以使用其他的线性规划求解方法，或者对约束条件进行调整，使其变为可行的。

例如，可以通过增加松弛变量或引入人工变量来处理不等式约束条件，在目标函数中增加人工变量的惩罚项，逐步通过单纯形法逼近可行解。

2.多个最优解：在一些情况下，线性规划问题可能存在多个最优解。

这种情况下，目标函数的值相同，但对应的解并不相同。

单纯形法只能找到一个最优解，无法得知是否存在其他最优解。

解决方法：需要使用其他算法或方法来找到额外的最优解。

例如，可以通过改变目标函数的系数或增加一些额外的约束条件，以影响单纯形法的方向，从而找到其他的最优解。

3.无界问题：在一些情况下，线性规划问题可能是无界的，即目标函数可以无限大地增加或无限小地减小。

这种情况下，单纯形法将无法找到有限的最优解。

解决方法：可以通过增加约束条件或调整目标函数的系数，使得问题变为有界的。

另外，也可以使用其他线性规划求解方法来处理无界问题。

4.退化情况：在单纯形法中，可能存在一些情况下的解陷入循环，无法继续优化。

这种情况下，称为退化。

解决方法：可以使用退化处理技术，例如人工变量法、卡工法、两阶段法等，来克服退化问题，并继续求解最优解。

5.基变量的选择：在单纯形法中，需要选择初始基变量，以便进行迭代求解。

但是，对于一些问题，选择合适的初始基变量可能非常困难，并且可能会影响最终的最优解。

解决方法：可以使用启发式的方法，例如字典法，以确定合适的初始基变量。

最优化方法大作业答案

1.用薄钢板制造一体积5m 3，长度不小于4m ，无上盖的货箱，要求钢板耗量最小。

确定货箱的长x 1、宽x 2和高x 3。

试列出问题的数学模型。

解：min 32312122x x x x x x z ++= s.t 5321=x x x 41≥x 0,,321≥x x x2.将下面的线性规划问题表示为标准型并用单纯形法求解max f=x 1+2x 2+x 3s ．t ．2x 1+x 2-x 3≤2 -2x 1+x 2-5x 3≥-6 4x 1+x 2+x 3≤6 x i ≥0 i=1，2，3 解：先化标准形：Min 321x x x z -+=224321=+-+x x x x 6525321=++-x x x x646321=+++x x x x列成表格：121610011460105122001112-----可见此表已具备1°，2°，3°三个特点，可采用单纯形法。

首先从底行中选元素-1，由2/2,6/2,6/4最小者决定选第一行第一列的元素2，标以记号，迭代一次得121210231040116201002121211--------再从底行中选元素-2/3，和第二列正元素1/2，迭代一次得12123230210231040116201002121211-------再从底行中选元素-3，和第二列正元素2，迭代一次得4233410120280114042001112---再迭代一次得1023021062210231010213000421021013--选取最优解：01=x 42=x 23=x3. 试用DFP 变尺度法求解下列无约束优化问题。

min f （X ）=4（x 1-5）2+（x 2-6）2取初始点X=（8，9）T ，梯度精度ε=0.01。

解：取IH=0,初始点()TX 9,8=2221)6()5(4)(-+-=x x x f⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=∇122408)(21x x x f⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∇624)()0(xfTx f d )6,24()()0()0(--=-∇=)0(0)0()1(dxxα+=T)69,248(00αα--=])669()5248(4min[)(min 2020)0(0)0(--+--⨯=+αααdxf 0)6()63(2)24()2458(8)(00)0(0)0(=-⨯-+-⨯--=+ααααd d xdf13077.0130170≈=α⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⨯+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21538.886153.462413077.098)1(x⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=∇43077.410784.1)()1(xf进行第二次迭代：⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-=78463.013848.31)0()1(xxδ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=∇-∇=56924.110783.25)()(1)0()1(xf xf γ101011011101γγγγγδδδH HH H H TTTT-+=03172.8011=γδT86614.6321101==γγγγH T⎥⎦⎤⎢⎣⎡=61561.046249.246249.285005.911Tδδ⎥⎦⎤⎢⎣⎡==46249.240022.3940022.3940363.630110110TTHH γγγγ所以：⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=0038.103149.003149.012695.01H⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⨯⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=∇-=43076.410784.10038.103149.003149.012695.0)()1(1)1(xf H d⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=48248.428018.0令 )1(1)1()2(dx x α+=利用)()1()1(=+ααd dxdf ，求得49423.01=α，所以⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+=21538.213848.021538.886152.449423.0)1()1()2(dxx⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=65因)()2(=∇xf ，于是停，)2(x 即为最优解。

运筹学_北京科技大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年

运筹学_北京科技大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年1.将产销不平衡运输问题化为平衡运输问题，可虚设一产地和一销地，并令其相应运价为（）参考答案:2.单纯形法需要解决的三个问题不包括（）参考答案:遍历所有顶点3.标准形中不需要必须满足的条件是（）参考答案:目标函数求最大4.互为对偶的两个线性规划的解存在关系（）参考答案:原问题具有无界解，则对偶问题无可行解5.以下关于目标规划模型的说法是否正确：要求不超过目标值的目标函数是【图片】参考答案:错误6.在产销平衡运输问题中，设产地为m个，销地为n个，则利用表上作业法求解时最优解中基变量个数为（）参考答案:m+n-17.割平面法中，引入松弛变量前，必须（）参考答案:将约束条件各变量前的系数和右端项化为整数8.单纯形表的检验数行通常不含有（）参考答案:目标函数值9.图解法的求解过程不包括（）参考答案:计算目标函数在各可行点处的值10.运输问题的求解结果中不可能出现（）参考答案:无可行解11.以下说法是否正确：目标规划单纯形法中优先因子【图片】可理解为负常数。

参考答案:错误12.闭回路的边都是（）参考答案:水平或垂直13.表上作业法的初始方案均为（）参考答案:可行解14.以下说法是否正确：背包问题可建模成整数规划问题。

参考答案:正确15.以下说法是否正确：投资分配问题只能用动态规划方法求解。

参考答案:错误16.在表上作业法求解运输问题过程中，非基变量的检验数（）参考答案:以上三种均有可能17.以下关于二次函数的共轭梯度法的说法，错误的是（）参考答案:共轭梯度法的相邻两次迭代的搜索方向相互垂直.18.设Q是n阶对称正定矩阵，以下关于Q共轭方向的表述，正确的是（）参考答案:共轭方向法具有二次终止性.19.以下关于最速下降法的表述，错误的是（）参考答案:最速下降法是求解无约束优化问题的最快的方法.20.单纯形法中的最小非负比是指（）参考答案:右端常数项和进基列正数比的最小值21.标准形的矩阵形式中，A表示（）参考答案:约束条件中的系数矩阵22.已知线性规划标准形中的系数矩阵A为【图片】，对应的变量分别为x1,x2,...,x5，则基矩阵【图片】对应的基变量是（）参考答案:x2,x323.已知线性规划标准形中的系数矩阵A为【图片】，对应的变量分别为x1,x2,...,x5，则下面解中一定不是基本可行解的是（）参考答案:(1, 1, -2, 0, 0)24.单纯形法中，基变量的检验数（）参考答案:等于025.将线性规划的数学模型化为标准形的主要目的是（）参考答案:使用单纯形法求解26.两阶段法中第二阶段的初始单纯形表如何得到（）参考答案:删除第一阶段最优表中的人工列_用公式补充各变量的检验数_删除第一阶段最优表中的检验数行27.线性规划极小化问题达到最优解时（）参考答案:所有检验数都非负28.求解总产量小于总销量的运输问题，为构造产销平衡表，其正确的做法是（）参考答案:虚设一产地29.用分枝定界法求解整数规划问题，如果某分枝伴随规划的最优解是整数解，则（）参考答案:该分枝不需要再分枝30.判断该说法是否正确：若算法具有二次终止性，则算法必经有限步迭代收敛于目标函数的最优解。

Matlab中的最优化问题求解方法

Matlab中的最优化问题求解方法近年来，最优化问题在各个领域中都扮演着重要的角色。

无论是在工程、经济学还是科学研究中，我们都需要找到最优解来满足特定的需求。

而Matlab作为一种强大的数值计算软件，在解决最优化问题方面有着广泛的应用。

本文将介绍一些Matlab中常用的最优化问题求解方法，并探讨其优缺点以及适用范围。

一. 无约束问题求解方法1. 最速下降法最速下降法是最简单且直观的无约束问题求解方法之一。

其基本思想是沿着梯度的反方向迭代求解，直到达到所需的精度要求。

然而，最速下降法的收敛速度通常很慢，特别是在局部极小值点附近。

2. 共轭梯度法共轭梯度法是一种改进的最速下降法。

它利用了无约束问题的二次函数特性，通过选择一组相互共轭的搜索方向来提高收敛速度。

相比于最速下降法，共轭梯度法的收敛速度更快，尤其适用于大规模优化问题。

3. 牛顿法牛顿法是一种基于二阶导数信息的优化方法。

它通过构建并求解特定的二次逼近模型来求解无约束问题。

然而，牛顿法在高维问题中的计算复杂度较高，并且需要矩阵求逆运算，可能导致数值不稳定。

二. 线性规划问题求解方法1. 单纯形法单纯形法是一种经典的线性规划问题求解方法。

它通过在可行域内进行边界移动来寻找最优解。

然而，当问题规模较大时，单纯形法的计算复杂度会大幅增加，导致求解效率低下。

2. 内点法内点法是一种改进的线性规划问题求解方法。

与单纯形法不同，内点法通过将问题转化为一系列等价的非线性问题来求解。

内点法的优势在于其计算复杂度相对较低，尤其适用于大规模线性规划问题。

三. 非线性规划问题求解方法1. 信赖域算法信赖域算法是一种常用的非线性规划问题求解方法。

它通过构建局部模型，并通过逐步调整信赖域半径来寻找最优解。

信赖域算法既考虑了收敛速度，又保持了数值稳定性。

2. 遗传算法遗传算法是一种基于自然进化过程的优化算法。

它模拟遗传操作，并通过选择、交叉和变异等操作来搜索最优解。

遗传算法的优势在于其适用于复杂的非线性规划问题，但可能需要较长的计算时间。

用Matlab实现非线性无约束优化的几种方法比较

用Matlab实现非线性无约束优化的几种方法比较王娜;朱逸夫【摘要】在实际规划问题的求解过程中,优化解的真值具有不可预知性,为了寻找可用的稳定解,往往需要用不同的算法进行试算,并对所有计算结果进行甄别,这需要应用者具备良好的经验.为此,利用Matlab工具箱中的fminunc和fminsearch命令格式,并根据牛顿法、拟牛顿法、最速下降法、阻尼牛顿法和修正牛顿法等方法,分别编程实现在经典算例中求解无约束非线性优化问题,并对计算结果进行了比较和分析.【期刊名称】《长春工程学院学报（自然科学版）》【年(卷),期】2018(019)004【总页数】5页(P95-99)【关键词】非线性规划;Matlab;无约束优化;一维搜索;搜索方向【作者】王娜;朱逸夫【作者单位】长春工程学院教务处 ,长春 130012;长春工程学院计算机技术与工程学院 ,长春 130012【正文语种】中文【中图分类】TP3910 引言非线性无约束最优化技术是一门实践性很强的方法，应用者往往要在实践中不断地总结[1-4]。

对有些应用者来说，不必要浪费了大量的时间和精力，系统而深入地学习优化算法及公式，他们只希望能够快速地找到有效的解法、合适的优化软件，并能在计算机上尽快地求出问题的解[5]。

为此本文针对非线性无约束优化模型，利用几种不同的Matlab求解非线性无约束优化问题的调用格式，或根据无约束优化的算法编程进行求解，并进行解的比较和分析，提高非线性规划模型的应用效果和能力。

1 非线性无约束优化的基本理论设无约束非线性规划的模型为minf(x)，x=(x1，x2，…，xn)T∈Rn，(1)求解无约束优化问题的主要思想是下降算法：每一步都要求函数值有所下降，其迭代格式为x(k+1)=x(k)+αkd(k)，即对应于点列{xk}上的函数值列{f(xk)}必须是逐渐减小的，或者至少是不增加的，因而有f(x0)≥f(x1)≥…≥f(xk)≥f(xk+1)≥…(2)我们还要求这些点列收敛于全局最优解。

第三讲无约束优化(多维无约束优化方法)

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1. 梯度法（最速下降法）
（2）迭代公式： X (k 1) X (k) k S (k) X k f X k
或
X (k1) X (k) k
f f
X k X k
f
X k

f ，f x1 x2
X (2) 1
S (1)
S为S（2）的共轭方向。
S即为S(1)的共轭方向。
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（2）共轭梯度法的基本原理
2）共轭方向的构造
S k1 f X k1 k S k
上式的意义是以新的负梯度方向 f X k1 ，加上原
负梯度的一部分k S k 来构造 S k1 。
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1. 梯度法（最速下降法）
数值迭代格式
X (k 1) X (k ) k S (k )
从数值迭代格式可以看出，构造一种算法的关键是如何确定一个有利的搜索方向。
梯度方向是函数值上升最快的方向，负梯度方向是函数值下降最快的方向。
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以负梯度方向作为搜索方向
4）牛顿法不能保证函数值稳定下降，严重时还会造成点列发散导致迭代失败。
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3. 多维牛顿法（阻尼牛顿法）
问题的提出
因函数不一定是二次函数，基本牛顿法的步长因子恒为1，有时会导致迭代发散而失效。
改进方法
仍取牛顿方向，但改用最优步长因子：
X (k1) X (k ) k [H ( X (k ) )]1f ( X (k) ) 一维搜索求最优步长
'X 0

最优化基础理论与方法分析

最优化基础理论与方法分析在当今的科技与工程领域，最优化问题无处不在。

从资源分配到生产流程优化，从物流路径规划到金融投资策略制定，我们都在追求某种意义上的“最优解”。

那么，什么是最优化？简单来说，就是在一定的约束条件下，找到使目标函数达到最大值或最小值的变量取值。

为了实现这一目标，人们发展出了一系列的最优化基础理论与方法。

最优化问题可以大致分为两类：无约束优化问题和约束优化问题。

无约束优化问题相对简单，只需要在整个变量空间中寻找目标函数的极值点。

而约束优化问题则要复杂得多，因为我们不仅要考虑目标函数的值，还要满足给定的约束条件。

让我们先来看看一些常见的最优化基础理论。

首先是梯度下降法，这是一种求解无约束优化问题的经典方法。

它的基本思想是沿着目标函数的负梯度方向不断迭代，逐步逼近最小值点。

想象一下你在一个山坡上，想要走到山底，你会选择朝着最陡峭的下坡方向前进，这就是梯度下降法的直观理解。

与梯度下降法相对应的是牛顿法。

牛顿法利用了目标函数的二阶导数信息，能够更快地收敛到极值点。

但它的计算复杂度较高，对初始点的选择也比较敏感。

在约束优化问题中，拉格朗日乘子法是一个重要的理论工具。

通过引入拉格朗日乘子，将约束条件融入到目标函数中，从而将约束优化问题转化为无约束优化问题。

除了这些理论，还有一些常见的最优化方法。

比如，线性规划是一种特殊的约束优化问题，其目标函数和约束条件都是线性的。

单纯形法是求解线性规划问题的有效方法，通过不断调整可行解的顶点，找到最优解。

而对于非线性规划问题，常用的方法有惩罚函数法和序列二次规划法等。

惩罚函数法通过对违反约束条件的解施加惩罚，将约束问题转化为一系列无约束问题来求解。

序列二次规划法则是将非线性规划问题在当前点进行线性近似，然后通过求解一系列二次规划子问题来逐步逼近最优解。

在实际应用中，选择合适的最优化方法至关重要。

这需要考虑问题的规模、性质、计算资源等多方面因素。

比如，对于大规模的优化问题，可能需要采用分布式计算或者近似算法来提高计算效率。

线性规划中的单纯形法优化思路

线性规划中的单纯形法优化思路线性规划是一种优化问题的数学建模工具，通过数学模型的建立和求解，寻找使目标函数取得最大或最小值的变量取值。

而在线性规划中，单纯形法是一种经典的解法，通过迭代比较线性规划问题的可行解，逐步接近最优解的方法。

在本文中，将详细介绍单纯形法的优化思路。

1. 线性规划问题概述在介绍单纯形法之前，先了解线性规划问题的基本概念和常见形式。

线性规划问题由目标函数和约束条件构成，其中目标函数是一个线性函数，约束条件也是一组线性不等式或等式。

线性规划问题的求解目标是找到满足所有约束条件下使目标函数取得最优值的变量取值。

2. 单纯形法的基本思路单纯形法是一种通过不断迭代改进可行解来求解线性规划问题的方法。

其基本思路是从一个初等可行解开始，通过不断地迭代，每次选取一个更优的可行解，最终达到最优解。

3. 单纯形法的步骤3.1 初等可行解的选取单纯形法的第一步是选取一个初等可行解，该可行解必须满足所有约束条件，并且可以通过线性规划问题的约束条件和目标函数来确定。

3.2 进行单纯形表的构造单纯形表是单纯形法中的一种重要表格，通过将线性规划问题的约束条件和目标函数进行整理，能够更清晰地观察问题的结构和计算过程。

3.3 计算单纯形表中的优化函数值在单纯形表的基础上，通过计算表中各行最右侧的数值，可以得出当前目标函数的值，并判断是否满足最优解的条件。

3.4 确定进入变量和离开变量单纯形法中，每一次迭代都需要选择一个进入变量和一个离开变量来进行优化。

进入变量被选取为能够提高目标函数值最多的变量，而离开变量则是根据约束条件限制来确定的。

3.5 更新单纯形表通过选择好进入变量和离开变量后，需要对单纯形表进行更新，以得出下一次迭代的最优解。

3.6 终止条件的判断在每一次迭代过程中，都需要判断是否满足终止条件，即最优解的判断。

如果不满足终止条件，则继续进行下一次迭代，直到达到最优解。

4. 单纯形法的优化思路单纯形法的优化思路在于不断地找到使目标函数值更优的可行解，通过迭代的方式逐步接近最优解。

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分数: ___________任课教师签字：___________
课程作业
学年学期：2017——2018学年第二学期
课程名称：优化理论
作业名称：作业三
学生姓名：
学号：
提交时间：
一、问题重述
形如的min (x),x R n f ∈问题称为无约束优化问题，常用下降算法来解决这类问题。

下降算法的关键在于步长和搜索方向的选取。

步长的求取可以借助前面作业中提到的一维搜索等方法求取，而搜索方向算法可以分为两大类，解析法和直接法。

解析法借助了目标函数的导数进行搜索，这类算法搜索速度快、效率高，但是对目标函数的要求更为严格。

常用的方法有最速下降法、Newton 法、共轭梯度法、拟Newton 法等。

直接法不使用导数，也不需要得到目标函数的明确解析式，只需要能够得到某些函数上的点即可。

因此直接法的适用范围更广，但相应的收敛速度会较慢，计算量也会随着问题维数的增加而迅速增大。

常用的方法有单纯形法、Powell 方向加速法以及Powell 改进算法。

本作业以直接法的Powell 法为例，解决具体的无约束优化问题，并对将Powell 方向加速法和Powell 改进算法解决结果进行对比。

二、算法原理
对于n 维正定二次函数(x)0.5T T f x Gx b x c =++，设011,,...(k n)k p p p -<关于G 共轭，0x 与1x 为任意不同点。

分别从0x 与1x 出发，依次沿011,,...k p p p -作一维搜索。

如果最后找到两个互不相同的极小点x a 与x b ，则x b a x -与011,,...k p p p -关于G 共轭。

Powell 方向加速法正是基于这一原理，每次迭代过程作n+1次一维搜索。

第一次沿给定的n 个线性无关的方向011,,...n p p p -依次作一维搜索，之后沿由这一阶段的起点到第n 次搜索所得到的点的方向P 再做一次一维搜索，并把这次所得点作为下一阶段的起点，下一阶段的n 个搜索方向为011,,...,n p p p p -。

以此直到找到最优解。

此算法是在迭代中逐次生成共轭方向，而共轭方向又是较好的搜索方向，所以称之为方向加速法。

但是，此算法产生的n 个向量可能线性或近似线性相关，这时张不成n 维空间，可能得不到真正的极小点。

因此，Powell 原始算法存在一定的缺陷。

Powell 改进算法虽然不再具有二次终止性，但克服了搜索方向的线性相关的不利情形，是解决无约束优化问题较有效的直接法之一。

本次作业一维搜索的过程是利用函数求导，求得最小值。

经过试验发现，α是允许为负数的。

否则最终寻优得到的极值点与实际结果存在很大的偏差，
而且寻优的效率特别低下。

三、算法流程
Powell算法流程图：
图1 Powell算法流程图
Powell改进算法流程图：
图2 Powell 改进算法流程图
四、实验验证
1、设目标函数421122(x)x (1x )f x x =++++，收敛精度为0.001，初始点（-2,2）。

利用Matlab 自带的函数求二元函数极值点函数fminsearch ，求得极值点为(-0.630,-1.500)，最小值为-1.722。

以此为标准，检验Powell 方向加速法和Powell 改进算法的寻优结果。

Powell 方向加速法经过2次迭代，求得极值点（-0.630,-1.500），对应的最小值-1.722；Powell 改进方向加速法经过2次迭代，求得极值点（-0.630,-1.500），对应的最小值1.722。

2、设目标函数42112212(x)x (1x )f x x x x =+++++，收敛精度为0.001，初始点（-2,2）。

利用Matlab 自带的函数求二元函数极值点函数fminsearch ，求得极值点为(0.5827,-1.7913)，最小值为-1.5109。