2019-2020学年安徽省淮北一中高一(上)期中数学试卷试题及答案(解析版)

2019-2020学年安徽省淮北一中高一（上）期中数学试卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． 1．若{6A =，7，8}，则集合A 的真子集共有( ) A ．3个 B ．5个

C ．7个

D ．8个

2．22log (4)y x =

--的定义域是( ) A ．(2-，0)(1?，2) B ．(2-，0](1,2)

C ．(2,0)

[1-，2) D ．[2-，0][1，2]

3．已知函数2()log 24f x x x =+-的零点所在的大致区间为( ) A ．(1,2)

B ．(2,3)

C ．(3,4)

D ．(4,5)

4．设4log 8a =，0.4log 8b =，0.42c =，则( ) A ．b c a <<

B ．c b a <<

C ．c a b <<

D ．b a c <<

5．已知集合2{|230}A x x x =--=，{|10}B x ax =-=，若B A ?，则实数a 的值构成的集合是( ) A ．{1-，0，1

}3

B ．{1-，0}

C ．{1-，1

}3

D ．1

{3

，0}

6．我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数2

()1ex

f x x =

-的图象大致是( ) A ． B ．

C ．

D ．

7．函数22()log (32)f x x x =-+的单调递增区间是( ) A ．3

(,)2

-∞

B ．3

(,)2

+∞

C ．(2,)+∞

D ．(,1)-∞

8．已知函数213

()log ()f x x ax a =--对任意两个不相等的实数121

,(,)2x x ∈-∞-，都满足不等

式

2121

()()

0f x f x x x ->-，则实数a 的取值范围是( )

A ．[1-，)+∞

B ．(-∞，1]-

C ．1

[1,]2-

D ．1

[1,)2

-

9．已知1()44x f x e x -=+-，若正实数a 满足3

(log )14

a f <，则a 的取值范围为( )

A ．34

a >

B ．304a <<

或43a > C ．3

04

a <<或1a > D ．1a > 10．已知函数12019()112019x x

a x

f x ln a x -+=+-+-，若定义在R 上的奇函数()

g x ，有g （1

）2(log 25)f f =+，则(1)(g -= )

A ．2

B ．0

C ．1-

D ．2-

11．如图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积2()m 与时间t （月)的关系：t y a =，有以下叙述：

①这个指数函数的底数是2；

②第5个月时，浮萍的面积就会超过230m ； ③浮萍从24m 蔓延到212m 需要经过1.5个月； ④浮萍每个月增加的面积都相等；

⑤若浮萍蔓延到22m 、23m 、26m 所经过的时间分别为1t 、2t 、3t ，则123t t t +=． 其中正确的是( )

A ．①②

B ．①②③④

C ．②③④⑤

D ．①②⑤

12．已知函数33

,1()3|(1)|,1

x x f x lg x x ?+?

=??->?…，若方程22()()03f x af x -+=有4个解时，实数a 的取

值范围为( ) A

．5

7

](,)3

3

+∞ B ．5

)3 C ．

5[,2)3

D ．5

](2,)3

+∞

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．若函数log (1)4a y x =-+的图象恒过定点P ，且点P 在幂函数()f x 的图象上，则f （3）

= ．

14．设2

2,0,

()log ,0x

x f x x x ??=?>??…则((1))f f -= ．

15．若函数()f x 对于任意实数x 恒有3()2()51f x f x x --=+，则()f x = ．

16．淮北一中为了加强学生数学核心素养的培养，锻炼学生自主探究学习的能力，他们以函数1()1x

f x l

g x

-=+为基本素材研究该函数的相关性质，某小组6位同学取得部分研究成果如下：

①同学甲发现：函数()f x 的零点为(0,0)； ②同学乙发现．函数()f x 是奇函数； ③同学丙发现：对于任意的(1,1)x ∈-都有22(

)2()1

x

f f x x =+； ④同学了发现：对于任意的a ，(1,1)b ∈-，都有()()()1a b

f a f b f ab

++=+；

⑤同学戊发现：对于函数()f x 定义域中任意的两个不同实数1x ，2x ，总满足1212

()()

0f x f x x x ->-；

⑥同学己发现．求使()0f x >的x 的取值范围是(0,1)． 其中正确成果的序号为 ．

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

17．计算： （1）25221

log 6.25(log (log 16)100

lg ln +++

； （2）2102

310.53

2

0.25

(22019)[(2)]10(2103-----??-+--?．

18．已知全集为R ，函数()(1)f x lg x =-的定义域为集合A ，集合{|(1)6}B x x x =->． （1）求()R A

B e；

（2）若{|12}C x m x m =-+<<，(())R C A B ??e，求实数m 的取值范围． 19．m 为何值时，函数2()234f x x mx m =+++． （1）在(1,3)-上有两个零点； （2）有两个零点且均比1-大．

20．“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v （单位：千克/年）是养殖密度x （单

位：尾/立方米）的函数．当x 不超过4（尾/立方米）时，v 的值为2（千克/年）；当420x 剟

时，v 是x 的一次函数；当x 达到20（尾/立方米）时，因缺氧等原因，v 的值为0（千克/年）．

（1）当020x <…时，求函数()v x 的表达式；

（2）当养殖密度x 为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）()()f x x v x =可以达到最大，并求出最大值．

21．若定义在D 上的函数()f x 满足：对任意x D ∈，存在常数0M >，都有()M f x M -剟成立，则称()f x 是D 上的有界函数，其中M 称为函数()f x 的上界．

（Ⅰ）判断函数2()22f x x x =-+，[0x ∈，2]是否是有界函数，请说明理由； （Ⅱ）若函数1

()124x x

a f x =++

，[0x ∈，)+∞是以3为上界的有界函数，求实数a 的取值范围．

22．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x …

时，2()log (21)1x f x x =++-． （Ⅰ）求函数()f x 在R 上的解析式；

（Ⅱ）若[1x ∈-，0]，函数()111

()()222

f x x

g x m m -=+-，是否存在实数m 使得()g x 的最小

值为1

4

，若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由．

2019-2020学年安徽省淮北一中高一（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． 1．若{6A =，7，8}，则集合A 的真子集共有( ) A ．3个

B ．5个

C ．7个

D ．8个

【解答】解：因为{6A =，7，8}共3个元素， 故集合{6A =，7，8}共有3217-=个真子集， 故选：C ． 2

．22log (4)y x =

--的定义域是( ) A ．(2-，0)(1?，2) B ．(2-，0](1,2)

C ．(2,0)

[1-，2) D ．[2-，0][1，2]

【解答】解：要使函数有意义，则21

0240

x x x -??

??->?…，即1022x x x

解得20x -<<或12x <…， 故选：C ．

3．已知函数2()log 24f x x x =+-的零点所在的大致区间为( ) A ．(1,2) B ．(2,3)

C ．(3,4)

D ．(4,5)

【解答】解：

f （1）2lo

g 121420=+?-=-<，

f （2）2lo

g 22240=+?->

又在(1,2)上函数2log 24y x x =+-的图象是连续不断的一条曲线， 所以函数2log 24y x x =+-在区间(1,2)上存在零点． 故选：A ．

4．设4log 8a =，0.4log 8b =，0.42c =，则( ) A ．b c a <<

B ．c b a <<

C ．c a b <<

D ．b a c <<

【解答】解：b 底大于0小于1而真数大于10b ∴<

43log 82

a ==

0.40.53

222

c =<=<

，a c b ∴>> 故选：A ．

5．已知集合2{|230}A x x x =--=，{|10}B x ax =-=，若B A ?，则实数a 的值构成的集合是( ) A ．{1-，0，1

}3

B ．{1-，0}

C ．{1-，1

}3

D ．1

{3

，0}

【解答】解：2{|230}{1A x x x =--==-，3}，

∴若B A ?，

则若0a =，即B =?时，满足条件B A ?． 若0a ≠，则1

{|10}{}B x ax a

=-==，

要使B A ?，则

11

13a a

=-=或， 解得1a =-，或1

3

a =．

综上0a =或1a =-或13

a =． 故选：A ．

6．我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数2

()1ex

f x x =

-的图象大致是( ) A ． B ．

C ．

D ．

【解答】解：函数2()1ex f x x =-的定义域为1x ≠±，1x >时，2

()01ex

f x x

=<-，排除选项B 、D ；

12

x =时，1122()012314e

e f =

=>-，对应点在第一象限，排除A ， 故选：C ．

7．函数22()log (32)f x x x =-+的单调递增区间是( ) A ．3

(,)2

-∞

B ．3

(,)2

+∞

C ．(2,)+∞

D ．(,1)-∞

【解答】解：由2320x x -+>可得1x <或2x >，

232u x x =-+在(2,)+∞单调递增，而2log y u =是增函数，

由复合函数的同增异减的法则可得，函数22()log (32)f x x x =-+的单调递增区间是(2,)+∞， 故选：C ．

8．已知函数213

()log ()f x x ax a =--对任意两个不相等的实数121

,(,)2x x ∈-∞-，都满足不等

式

2121

()()

0f x f x x x ->-，则实数a 的取值范围是( )

A ．[1-，)+∞

B ．(-∞，1]-

C ．1

[1,]2-

D ．1

[1,)2

-

【解答】解：由题意可知2u x ax a =--在1

(,)2-∞-上单调递减，

且20u x ax a =-->在1

(,)2

-∞-上恒成立，

所以212211()()022

a a a ?-????----??……， 解得1

12

a

-剟． 故选：C ．

9．已知1()44x f x e x -=+-，若正实数a 满足3

(log )14

a f <，则a 的取值范围为( )

A ．34

a >

B ．304a <<

或43a > C ．3

04

a <<或1a > D ．1a > 【解答】解：

1()44x f x e x -=+-，

1()40x f x e -∴'=+>恒成立，

()f x ∴在R 上单调递增，且f （1）1= 又3

(log )14

a f f <=（1），

则3

log 14

a

<， 当1a >时，可解得3

4

a >

，故1a > 当01a <<时，可解得304

a <<

综上可得，a 的取值范围为(0，3

)(14

?，)+∞

故选：C ．

10．已知函数12019()112019x x

a x

f x ln a x -+=+-+-，若定义在R 上的奇函数()

g x ，有g （1）

2(log 25)f f =+，则(1)(g -= )

A ．2

B ．0

C ．1-

D ．2-

【解答】解：根据题意，函数12019()112019x x

a x

f x ln a x -+=+-+-， 设

12019()()112019x x a x

h x f x ln

a x

-+=+=++-，则

1201912019

()()1201912019

x x

x x a x a x h x ln ln

h x a x a x -----+-=+=-=-+++-， 则()h x 是奇函数，

22222(1)(log 25)(2log 5)(2log 5)(2log 5)1(2log 5)12g f f f f h h =+=+-=-+--=-，

又()g x 是奇函数，则(1)g g -=-（1）2=． 故选：A ．

11．如图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积2()m 与时间t （月)的关系：t y a =，有以下叙述：

①这个指数函数的底数是2；

②第5个月时，浮萍的面积就会超过230m ； ③浮萍从24m 蔓延到212m 需要经过1.5个月； ④浮萍每个月增加的面积都相等；

⑤若浮萍蔓延到22m 、23m 、26m 所经过的时间分别为1t 、2t 、3t ，则123t t t +=．

其中正确的是( )

A ．①②

B ．①②③④

C ．②③④⑤

D ．①②⑤

【解答】解：点(1,2)在函数图象上， 122a a ∴=∴=，故①正确；

∴函数2t y =在R 上是增函数，且当5t =时，32y =故②正确，

4对应的2t =，经过1.5月后面积是 3.5212<，故③不正确； 如图所示，12-月增加22m ，23-月增加24m ，故④不正确． 对⑤由于：122x =，232x =，362x =，

11x ∴=，322log x =，6

32log x =，

又因为32323

6222221log log log log log ?+=+==，

∴若浮萍蔓延到22m 、23m 、26m 所经过的时间分别为1x ，2x ，3x ，则123x x x +=成立．

故选：D ．

12．已知函数33

,1()3|(1)|,1

x x f x lg x x ?+?

=??->?…，若方程22()()03f x af x -+=有4个解时，实数a 的取

值范围为( ) A

．5

7

](,)3

3

+∞ B ．5

)3 C ．5

[,2)3

D ．5

](2,)3

+∞

【解答】解：令()f x t =，0t =，()f x t =有一解，

01t <…，2t >，()f x t =有两解，

12t <…，()f x t =有3解，

所以230t at -+=有两不相等的实根1t ，212()t t t <， 且101t <…，22t >或10t <，21t …成立， 令22()3g t t at =-+，(0)0(1)0(2)0g g g >??

g g a

>?????<

>??…，

解得5

7

](,)33

+∞． 故选：A ．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．若函数log (1)4a y x =-+的图象恒过定点P ，且点P 在幂函数()f x 的图象上，则f （3）

= 9 ．

【解答】解：对于函数log (1)4a y x =-+，令11x -=，求得2x =，4y =，可得它的图象恒过定点(2,4)P ，

点P 在幂函数()f x 的图象上，设()f x x α=，则有42α=，2α∴=，即2()f x x =， f ∴（3）239==，

故答案为：9．

14．设2

2,0,

()log ,0x

x f x x x ??=?>??…则((1))f f -= 1- ．

【解答】解：

2

2,0,()log ,0x

x f x x x ??=?>??…

11

(1)22

f -∴-==

， 211

((1))()122

f f f lo

g -===-．

故答案为：1-．

15．若函数()f x 对于任意实数x 恒有3()2()51f x f x x --=+，则()f x = 1x + ． 【解答】解：因为3()2()51f x f x x --=+， 3()2()51f x f x x ∴--=-+，

联立解得，()1f x x =+． 故答案为：1x +．

16．淮北一中为了加强学生数学核心素养的培养，锻炼学生自主探究学习的能力，他们以函数1()1x

f x l

g x

-=+为基本素材研究该函数的相关性质，某小组6位同学取得部分研究成果如下：

①同学甲发现：函数()f x 的零点为(0,0)； ②同学乙发现．函数()f x 是奇函数； ③同学丙发现：对于任意的(1,1)x ∈-都有22(

)2()1

x

f f x x =+； ④同学了发现：对于任意的a ，(1,1)b ∈-，都有()()()1a b

f a f b f ab

++=+；

⑤同学戊发现：对于函数()f x 定义域中任意的两个不同实数1x ，2x ，总满足1212

()()

0f x f x x x ->-；

⑥同学己发现．求使()0f x >的x 的取值范围是(0,1)． 其中正确成果的序号为 ②③④ ．

【解答】解：对于①，由(0)10f lg ==，所以函数()f x 的零点是0，所以①说法错误； 对于②，令

101x

x

->+，解得11x -<<，所以()f x 的定义域是(1,1)-， 且11()()11x x

f x lg

lg f x x x

+--==-=--+，所以函数()f x 为奇函数，②正确； 对于③，对于任意(1,1)x ∈-，有2222222

21221(1)1()2121(1)11

x

x x x x x f lg lg lg x x x x x x -

-+-+===++++++； 又221(1)2()21(1)x x f x lg lg x x --==++，所以22()2()1

x

f f x x =+，③正确；

对于④，对于任意的a ，(1,1)b ∈-， 有f （a ）f +（b ）11111()11111a b a b a b ab

lg

lg lg lg

a b a b a b ab

------+=+=?=+++++++， 又111()1111a b

a b a b ab ab f lg lg a b ab a b ab ab

+-

+--++==++++++

+，所以f （a ）f +（b ）()1a b

f ab +=+，④正确；

对于⑤，对于函数()f x 的定义域中任意的两个不同实数1x ，2x ，总满足1212

()()

0f x f x x x ->-，

即说明()f x 是单调递增函数，但12

()(1)11x f x lg lg x x

-==-+++是减函数，所以⑤错误； 综上可知，其中正确命题序号为②③④．

故答案为：②③④．

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 17．计算： （1

）25221

log 6.25(log (log 16)100

lg ln +++； （2

）2102

310.53

2

0.25(22019)[(2)]10(2103-----??-+--?．

【

解答】解：（1

）

3

22

222522252137log 625(log (log 16)2510222210022

lg ln log lg lne log -+++=+++=-++=；

（2

）21023

10.53

2

0.25

(22019)[(2)]

10(2103-

-

---??-+--?

112

2

2

2

2

[(0.5)]

(21)(2)10103-

-=--??-+?

1

2410(24

=-?

+?+-

2120=-++-

21=．

18．已知全集为R ，函数()(1)f x lg x =-的定义域为集合A ，集合{|(1)6}B x x x =->． （1）求()R A

B e；

（2）若{|12}C x m x m =-+<<，(())R C A B ??e，求实数m 的取值范围．

【解答】解：（1）由10x ->得1x <，所以函数()(1)f x lg x =-的定义域为{|1}A x x =<； 由260x x -->，即(3)(2)0x x -+>，得{|3B x x =>或2}x <-； 所以{|23}R B x x =-剟e， 所以(){|21}R A

B x x =-<…e；

（2）由题意知，{|23}C x x ?-剟，且{|12}C x m x m =-+<<，

①当C =?时，满足要求，此时12m m -+…

，解得1m -…； ②当C ≠?时，要{|21}C x x ?-<…， 应满足121221m m

m m -+

-+-???

……，

解得112

m -<…

； 由①②得，实数m 的取值范围是12

m …

． 19．m 为何值时，函数2()234f x x mx m =+++． （1）在(1,3)-上有两个零点； （2）有两个零点且均比1-大．

【解答】解：（1）依题意得(1)0(3)0()013

f f f m m ->??>?

?-

解得11m -<<； （2）由(1)0

10f m ->??

->-??>?

，

解得51m -<<-．

20．“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v （单位：千克/年）是养殖密度x （单

位：尾/立方米）的函数．当x 不超过4（尾/立方米）时，v 的值为2（千克/年）；当420x 剟

时，v 是x 的一次函数；当x 达到20（尾/立方米）时，因缺氧等原因，v 的值为0（千克/年）．

（1）当020x <…时，求函数()v x 的表达式；

（2）当养殖密度x 为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）()()f x x v x =可以达到最大，并求出最大值．

【解答】解：（1）由题意：当04x <…时，()2v x =．?

当420x <…时，设()v x ax b =+，显然()v x ax b =+在[4，20]是减函数， 由已知得20042a b a b +=??+=?，

解得1852

a b ?=-?????=??

故函数**

2,04,()15,420,82x x N v x x x x N

?<∈?

=??-+<∈??…… （2）依题意并由（1），

得*

2*

2,04,()15,420,.

8

2x x x N f x x x x x N ?<∈?

=?-+<∈??……，? 当04x 剟

时，()f x 为增函数， 故()max f x f =（4）428=?=．?

当420x <…时，2221511100

()(20)(10)82888f x x x x x x =-+=--=--+，

()(10)12.5max f x f ==．?

所以，当020x <…时，()f x 的最大值为12.5． 当养殖密度为10尾/立方米时，

鱼的年生长量可以达到最大，最大值约为12.5千克/立方米．?

21．若定义在D 上的函数()f x 满足：对任意x D ∈，存在常数0M >，都有()M f x M -剟成立，则称()f x 是D 上的有界函数，其中M 称为函数()f x 的上界．

（Ⅰ）判断函数2()22f x x x =-+，[0x ∈，2]是否是有界函数，请说明理由； （Ⅱ）若函数1

()124

x x

a f x =++，[0x ∈，)+∞是以3为上界的有界函数，求实数a 的取值范围．

【解答】解：（Ⅰ）22()22(1)1f x x x x =-+=-+．

当02x 剟时，1()2f x 剟，则2()2f x -剟．

由有界函数定义可知2()22f x x x =-+，[0x ∈，2]是有界函数．

()II 由题意知对任意0x …，都有3()3f x -剟．

所以有1142424x x

x a

--

-

剟，即11422222x x

x x

a -?-?-剟在[0，)+∞上恒成立． 设2(1)x t t =…

， 设1

()4(1)h t t t t

=--…，()h t 在[1，)+∞上递减，()h t 在[1，)+∞上的最大值为h （1）5=-，

设1

()2(1)p t t t t

=-…，()p t 在[1，)+∞上递增，()p t 在[1，)+∞上的最小值为p （1）1=，

由题可得()()max min h t a p t 剟． 所以实数a 的取值范围为[5-，1]．

22．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x …

时，2()log (21)1x f x x =++-． （Ⅰ）求函数()f x 在R 上的解析式；

（Ⅱ）若[1x ∈-，0]，函数()111

()()222

f x x

g x m m -=+-，是否存在实数m 使得()g x 的最小

值为

1

4

，若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（Ⅰ）若0x <，则0x ->，

当0x …

时，2()log (21)1x f x x =++-．且()f x 是奇函数， ∴当0x ->时，2()log (21)1()x f x x f x --=-++-=-，

即当0x <时，2()log (21)1x f x x -=-++，

则22

(21)1,0()(21)1,0x

x

x log x f x x log x -?++-?=?-++

． （Ⅱ）若[1x ∈-，0]，()1log_2(21)1111

()()2()22222x f x x x x g x m m m m ---+=+-=+-

log_2(21)211111111

()22()[()1]2[()]()222222222

x x x x x x x x x m m m m m m -+=+-=++-=++-， 设1()2

x t =，

[1x ∈-，0]，[1t ∴∈，2]，

则()g x 等价为22()2(1)2h t t t mt m t m t m =++-=++-， 对称轴为12

m

t +=-， ①若112

m

t +=-

<，即3m >-时，()h t 在[1，2]上为增函数，此时当1t =时，最小， 即h （1）124m =-=，即7

4

m =成立， ②若122

m

t +=-

>，即5m <-时，()h t 在[1，2]上为减函数，此时当2t =时，最小， 即h （2）1

64

=≠，此时不成立， ③若1122m +-

剟，即53m --剟

时，()h t 在[1，2]上不单调，此时当12

m

t +=-时，最小，

即

2

2

111(5)

()()(1)()26 2224

m m m m

h m m

+++-+

-=-++--=+，

此时

2

(5)

6

4

m

y

-+

=+在53

m

--

剟时是减函数，当3

m=-时取得最小值为

1

165

4

y=-+=≠，

即此时不满足条件．

综上只有当

7

4

m=才满足条件．

即存在存在实数

7

4

m=使得()

g x的最小值为

1

4

．