复旦固体物理讲义-16空晶格模型—_能带概念
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《固体物理能带理论》课件
探索禁带宽度
禁带宽度的影响
深入探究禁带宽度对材料性质的 影响，介绍如何利用禁带宽度调 控材料性质。
直接/间接带隙
介绍直接带隙和间接带隙的概念 和特点，以及如何通过调控禁带 宽度实现它们之间的转换。
量子点
了解量子点的概念及其在光伏、 光催化、发光等方面的应用。
电子在周期势场中的行为
布拉歇特条件
探究布拉歇特条件的作用和意义，以及如何通过布拉歇特条件来理解材料导电性。
电子自旋
介绍电子自旋的概念和特点，以及在磁性材料中的重要作用。
量子霍尔效应
了解量子霍尔效应的概念和特点，以及其在电子学、自旋测量等方面的应用。
应用能带理论
1
太阳能电池
探究太阳能电池的原理和构造，以及如
半导体激光器
2
何利用能带理论来提高太阳能电池的性 能。
介绍半导体激光器的原理和构造，以及
如何通过能带理论来优化激光器的性能。
《固体物理能带理论》 PPT课件
通过本PPT了解固体物理能带理论，理解能带的概念和特点，并探究能带理论 在实际应用中的应用。
什么是固体物理能带理论？
晶体的电子结构
介绍晶体的基本结构和存在能带 的原因，以及能带分布的规律。
能带、狄拉克相对论
进一步探究能带的特点及其与材 料导电性的关系，介绍狄拉克相 对论的意义。
Bloch定理和能带图
介绍Bloch定理的作用，以及如何 通过能带图来描绘材料的电子结 构。
深入理解价带和导带
价带的物理意义
介绍价带中电子的特征和性 质，并探讨不同能级之间的 关系。
导带的物理意义
深入剖析导带中的电子行为， 介绍电子元件中导带的作用。
轻重空穴带
固体物理(第16课)紧束缚近似
ζ ：捷塔
被积函数中 ( Rs )和i ( )表示相距为Rs的 两个原子的s态波函数,当它们有一定重叠时, 积分值才不为0,当Rs 0时,波函数重叠最大, 对此用 J 0 i ( ) [U ( ) V ( )]d
2
其次Rs意味着6个近邻原子
(a,0,0),(0,a,0),(0,0,a), (-a,0,0),(0,-a,0),(0,0,-a), 对于S态，波函数是球对称的，因而J(Rs)仅取决于原子 间距Rs，而与Rs的方向无关。因此， J(Rs)对六个Rs有相 同的值，以Jl表示。 这样，能量函数可写成：
X点： k=(0,0,/a) E(X)=Ei -J0-2J1
R
ky
R点： k=(/a, /a, /a) E(R)=Ei -J0+6J1
因为J1大于0， 点和R点分别对应于带底和带顶。
J0
12J1
近邻原子重叠越多，能带就越宽
Ek
Ei-J0+6J1 Ei-J0-2J1
X
Ei -J0-6J1 R
6.3 紧束缚近似
若电子所处原子势场的作用比其它原子势场作用大得
多，或晶体中原子间距较大时，就不能用近自由电子近 似。 这时电子的共有化运动状态和原子的束缚态之间有直 接关系，这就是紧束缚近似。
6.3.1 原子波函数线性组合
第m个孤立原子位矢 Rm=m1a1+m2a2+m3a3 附近运动电子的束缚态为 i(r-Rm)，该波函数满 足方程:
例 半导体的能带模型
能带和能级 原子能级：电子分层绕核运动，各层轨道上运动 的电子具有一定能量，这些能量不连续，只能取 某些固定数值，称为能级。
n=3
Si +14
复旦固体物理讲义-17解读能带
* 第一布里渊区的高对称点都有一 些约定的特殊符号
http://10.107.0.68/~jgche/ 解读能带
2 a 2 a 2 a 2 a 2 a 2 a
1,1, 0 , 2 1, 1 ,0
a 1 ,1,0 , 2 1 , 1 ,0 a 1, 0 ,1, 2 1 , 0 ,1 a 1 ,0 ,1, 2 1 ,0 , 1 a 0 , 1 ,1, 2 0 ,1,1 a 0 , 1 , 1 , 2 020 ,1, 1 a
解读能带
8
2、能带填充有多少不等价状态？
• 能带理论最成功的地方就是解释了 什么是金属，什么是绝缘体，什么 是半导体 • 而金属、绝缘体、半导体的性质与 费米能级附近的能带结构有关 • 费米能级是零温时，电子最高的占 据能级 • 所以，要从能带结构解释金属、导 体之前，先要看电子如何填充能带 中有多少状态可供电子占据，即要 在知道了如何确定费米能级后才会 知道
• 此外，3D时，第一布里渊区形状也比较复杂
http://10.107.0.68/~jgche/ 解读能带
19
bcc结构的第一布里渊区
• 体心立方的倒格子是面心立方
* 最近邻倒格点有十二个 * 它们的中垂面围成十二面体，正 好是倒格子原胞的体积
• 如何选取第一B区的k点来表示 能带结构？ • 反映能带结构特征需要取到重 要的高对称点；因此，一般总 是沿着这些高对称轴展示能带
http://10.107.0.68/~jgche/
解读能带
17
对任何k，En(k)<En+1(k) 都成立吗？
• 前面讨论金属、绝缘体和半导体性质都由电子 填充决定。电子总是由低到高地填充一条条能 带。因此，如何填充还需对En的能级次序作出 一个判断 • 一维能带结构比较简单，容易判断，因为En(k) 都是按n由低到高顺序排列 • 二维、三维时，En还是按n大小由低到高地排 列吗？或者问：对任何k，En(k)<En+1(k) 都成 立吗？ • 二维和三维时能带会有什么变化？为什么？
http://10.107.0.68/~jgche/ 解读能带
2 a 2 a 2 a 2 a 2 a 2 a
1,1, 0 , 2 1, 1 ,0
a 1 ,1,0 , 2 1 , 1 ,0 a 1, 0 ,1, 2 1 , 0 ,1 a 1 ,0 ,1, 2 1 ,0 , 1 a 0 , 1 ,1, 2 0 ,1,1 a 0 , 1 , 1 , 2 020 ,1, 1 a
解读能带
8
2、能带填充有多少不等价状态？
• 能带理论最成功的地方就是解释了 什么是金属，什么是绝缘体，什么 是半导体 • 而金属、绝缘体、半导体的性质与 费米能级附近的能带结构有关 • 费米能级是零温时，电子最高的占 据能级 • 所以，要从能带结构解释金属、导 体之前，先要看电子如何填充能带 中有多少状态可供电子占据，即要 在知道了如何确定费米能级后才会 知道
• 此外，3D时，第一布里渊区形状也比较复杂
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19
bcc结构的第一布里渊区
• 体心立方的倒格子是面心立方
* 最近邻倒格点有十二个 * 它们的中垂面围成十二面体，正 好是倒格子原胞的体积
• 如何选取第一B区的k点来表示 能带结构？ • 反映能带结构特征需要取到重 要的高对称点；因此，一般总 是沿着这些高对称轴展示能带
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解读能带
17
对任何k，En(k)<En+1(k) 都成立吗？
• 前面讨论金属、绝缘体和半导体性质都由电子 填充决定。电子总是由低到高地填充一条条能 带。因此，如何填充还需对En的能级次序作出 一个判断 • 一维能带结构比较简单，容易判断，因为En(k) 都是按n由低到高顺序排列 • 二维、三维时，En还是按n大小由低到高地排 列吗？或者问：对任何k，En(k)<En+1(k) 都成 立吗？ • 二维和三维时能带会有什么变化？为什么？
复旦固体物理讲义-15Bloch定理和能带概念
l k R l k R m R p m p
l
l
• 注意：这里α必须是实数，所以k是实数！
* 否则，模不等于1 * 所以不衰减
• 注意：矢量k现在还只是一常矢量因子，还未 与波矢相联系
* 后面会看到，它就是波矢，一个描写状态的物理量
• 于是
10.107.0.68/~jgche/
1 fn 11 12 1 R l , R l ,..., R l 0, R l ,..., 0 n2 f n n2 n21 n22 ... ... R Rl R R l l l n , n ,..., n 0, 0,..., n f n fn fn fn 1 fn 2 l l l l
0 0 ˆ ˆ (H el H el-N ) (r, {R J }) E (r, {R J })
e 1, 1,2m 1
2
[ V (r )] n (r ) En n (r )
2
平移算符
V (r R ) V (r )
ˆ :r r R T R
H与T对 易，有共 同本征解
• 电子平均自由程过小估计？？
* 可比性会不会也是如此即能被离子散射的电子 数被过多估计，导致电子与离子的散射过于频繁？ 就是试图用只有费米能级附近电子能被离子散射 来解释电子几乎不受离子实散射这个事实
• Sommerfeld还局限在这个思路上，错失良机
真是成也费米分布，败也费米分布
10.107.0.68/~jgche/ Bloch定理和能带概念
10.107.0.68/~jgche/ Bloch定理和能带概念
2
第15讲、Bloch定理和能带概念
固体物理课件第四章：能带理论能带理论(1)
填充的部分（允带）和禁止填充的部分（禁带）相间组成 的能带，所以这种理论称为能带论。
需要指出的是：
在固体物理中，能带论是从周期性势场中推导出来的，这 是由于人们对固体性质的研究首先是从晶态固体开始的。而周 期性势场的引入也使问题得以简化，从而使理论研究工作容易 进行。所以，晶态固体一直是固体物理的主要研究对象。然而，
系统的哈密顿量可以简化为NZ个电子哈密顿量之和：
N 2 1 Ze2 ˆ H i2 ue (ri ) i 1 2m n 1 4 0 ri Rm NZ
因此可以用分离变量法对单个电子独立求解（单电子近似）。 单电子所受的势场为：
T T f r
TT－ T T 晶格周期性：
2 2 T Hf r T r U r f r 2m 2 2 r a U r a f r a 2m
{
H r E r
其中 是平移算符 T 的本征值。为了确定平移算符的本征 值，引入周期性边界条件。
设晶体为一平行六面体，其棱边沿三个基矢方向，N1，N2和N3 分别是沿a1，a2和a3方向的原胞数，即晶体的总原胞数为 N ＝N1N2N3 。
周期性边界条件：
r r N a
i k Rn k r Rn e k r
它表明在不同原胞的对应点上，波函数只相差一个相位因子
e
i k Rn
，它不影响波函数的大小，所以电子出现在不同原胞的
对应点上几率是相同的。这是晶体周期性的反映。
Bloch 定理：
周期势场中 的电子波函 数必定是按 晶格周期函 数调幅的平 面波。
需要指出的是：
在固体物理中，能带论是从周期性势场中推导出来的，这 是由于人们对固体性质的研究首先是从晶态固体开始的。而周 期性势场的引入也使问题得以简化，从而使理论研究工作容易 进行。所以，晶态固体一直是固体物理的主要研究对象。然而，
系统的哈密顿量可以简化为NZ个电子哈密顿量之和：
N 2 1 Ze2 ˆ H i2 ue (ri ) i 1 2m n 1 4 0 ri Rm NZ
因此可以用分离变量法对单个电子独立求解（单电子近似）。 单电子所受的势场为：
T T f r
TT－ T T 晶格周期性：
2 2 T Hf r T r U r f r 2m 2 2 r a U r a f r a 2m
{
H r E r
其中 是平移算符 T 的本征值。为了确定平移算符的本征 值，引入周期性边界条件。
设晶体为一平行六面体，其棱边沿三个基矢方向，N1，N2和N3 分别是沿a1，a2和a3方向的原胞数，即晶体的总原胞数为 N ＝N1N2N3 。
周期性边界条件：
r r N a
i k Rn k r Rn e k r
它表明在不同原胞的对应点上，波函数只相差一个相位因子
e
i k Rn
，它不影响波函数的大小，所以电子出现在不同原胞的
对应点上几率是相同的。这是晶体周期性的反映。
Bloch 定理：
周期势场中 的电子波函 数必定是按 晶格周期函 数调幅的平 面波。
固体物理学中的布拉维晶格与能带
固体物理学中的布拉维晶格与能带在固体物理学领域中，布拉维晶格和能带是两个重要的概念。
布拉维晶格描述了固体内部的结构排列，而能带则描述了固体中电子的能量分布情况。
本文将深入探讨这两个概念，并介绍它们在研究固体材料特性方面的重要应用。
布拉维晶格是固体内部原子排列的周期性结构。
在三维空间中，布拉维晶格可以用一组基矢来描述，这组基矢可以通过平移操作生成整个布拉维晶格。
具体来说，三维布拉维晶格可以由三个互不平行的矢量a1、a2和a3构成。
这些矢量称为布拉维格矢。
通过不同的布拉维格矢，我们可以描述不同类型的晶体结构，如立方晶系、正交晶系等。
布拉维晶格的性质对一些固体性质的研究至关重要。
能带理论是描述固体中电子能量分布的理论。
能带理论基于量子力学，将固体中的电子视为波动粒子，具有特定的波长和能量。
在固体中，电子受到电子间相互作用和晶格势场的影响，形成特定能量范围内的能带。
能带的形状取决于固体的晶体结构，不同晶体结构会对电子的行为产生不同的影响。
在能带理论中，最重要的是价带和导带。
价带是指在固体中电子能量低于外壳不被激发的能带。
而导带则是指电子能量高于最高价带使电子能够参与导电的能带。
能带理论为我们理解固体导电性、光学性质等提供了重要参考。
布拉维晶格和能带之间存在着密切的关系。
布拉维晶格的周期性结构为能带的形成提供了基础。
能带理论中的能带结构可以用布拉维晶格来解释。
例如，在一维周期性晶格中，电子只能在布拉维晶格矢量的相位中运动。
这种周期性边界条件导致了禁止带的形成，即电子在某个能带范围内是无法存在的。
而在二维和三维布拉维晶格中，电子在更复杂的周期性结构下运动，可以形成能带。
能带的宽度和形态与布拉维晶格的参数有关，因此对布拉维晶格的研究有助于理解能带结构的形成过程和性质。
布拉维晶格和能带的研究对于材料科学和纳米科技非常重要。
通过改变布拉维晶格的参数，如晶格常数和晶体结构，我们可以调控材料的电学、光学、磁性等性质。
孙会元固体物理基础第三章能带论课件3.5 能带结构的图示和空晶格模型
2 2 n
其他曲线我们不再分析,有兴趣的同学可参考 可参考黄昆的书PP178-184 。 总之,沿 轴时,找出倒空间和 轴()平行的线 段上的最近邻、次近邻…等倒格点，并计算出相 应的 , 依抛物线形式画出即可。 沿其它轴的画法一样，注意平移线段的长度应 为倒格矢. 由上面的分析可知,在空晶格近似中,由于对称 性,许多状态是高度简并的,在计入周期场起伏的 微扰作用后,某些简并性要消失(不会全部消失), 详细情况可参阅谢希德等人编著的《固体物理学 中的群论》。
的解为：
nk (r ) e
ik r
unk (r ) 且
unk (r ) e
iGh r
2 2 相应的能量本征值为： n (k ) (k Gh ) 2m
面心立方格子的倒格子为体心立方。第一布 里渊区为倒格子空间中的WS原胞，由于共有8个 近邻，所以，形状为截角八面体。
轴
如 2 (k ) 曲线：
Fcc的倒格子为bcc, 所以原点 在体心.
M
kz
N
2 2 2 n (k ) / ( ) 2m a
ky
kx 2 (k ) 曲线对应最近邻倒格点M： 2 2 2 M 点： k ( , , ) a a a 移入第一布里渊区后对应点 ; 2 2 N点： k ( , 0, ) a a
在讨论金属和 半导体的能带 结构时，常以 空晶格近似作 为参照。如图 所示为面心立 方金属铝的能 带计算结果(实 线),虚线为空晶 格近似的能带 结构，可见， 两者非常接近。 除布里渊边界 处以及晶格 周期场使某些简并解除导致偏离以外。
つづき
图的得到可参考黄昆的书PP178-184
其他曲线我们不再分析,有兴趣的同学可参考 可参考黄昆的书PP178-184 。 总之,沿 轴时,找出倒空间和 轴()平行的线 段上的最近邻、次近邻…等倒格点，并计算出相 应的 , 依抛物线形式画出即可。 沿其它轴的画法一样，注意平移线段的长度应 为倒格矢. 由上面的分析可知,在空晶格近似中,由于对称 性,许多状态是高度简并的,在计入周期场起伏的 微扰作用后,某些简并性要消失(不会全部消失), 详细情况可参阅谢希德等人编著的《固体物理学 中的群论》。
的解为：
nk (r ) e
ik r
unk (r ) 且
unk (r ) e
iGh r
2 2 相应的能量本征值为： n (k ) (k Gh ) 2m
面心立方格子的倒格子为体心立方。第一布 里渊区为倒格子空间中的WS原胞，由于共有8个 近邻，所以，形状为截角八面体。
轴
如 2 (k ) 曲线：
Fcc的倒格子为bcc, 所以原点 在体心.
M
kz
N
2 2 2 n (k ) / ( ) 2m a
ky
kx 2 (k ) 曲线对应最近邻倒格点M： 2 2 2 M 点： k ( , , ) a a a 移入第一布里渊区后对应点 ; 2 2 N点： k ( , 0, ) a a
在讨论金属和 半导体的能带 结构时，常以 空晶格近似作 为参照。如图 所示为面心立 方金属铝的能 带计算结果(实 线),虚线为空晶 格近似的能带 结构，可见， 两者非常接近。 除布里渊边界 处以及晶格 周期场使某些简并解除导致偏离以外。
つづき
图的得到可参考黄昆的书PP178-184
第六章 能带理论 中国科技大学研究生课程《固体物理》讲义ppt 教学课件
束缚在某个原子周围，因此，其波函数就具有 eikruk r
的形式。周期函数 u k r 反映了电子与晶格相互作用的
强弱。
Bloch函数中，行进波因子 e i k r 描述晶体中电子
的共有化运动，即电子可以在整个晶体中运动；而周期
函数因子 u k r 则描述电子的原子内运动，取决于原
子内电子的势场。
kN h11b1N h22b2N h33b3 ❖ 简约波矢：k限制在简约区中取值； ❖ 广延波矢：k在整个k空间中取值。 每一个量子态k在k空间中所占的体积:
N 11b1N 12b2N 13b3 Nb
在k空间中，波矢k的分布密度：
k Nb N8va38V 3
vab 83
V Nva
在简约区中，波矢k的取值总数为
kreikrukr
波矢量k是对应于平移算符本征值的量子数，其物 理意义表示不同原胞间电子波函数的位相变化。
r a 1 1r e ik a 1 r
不同的波矢量k表示原胞间的位相差不同，即描述 晶体中电子不同的运动状态。
如果两个波矢量k和k’相差一个倒格矢Gn，这两个 波矢所对应的平移算符本征值相同。
Trr+ar ＝1, 2, 3
：平移算符T的本征值。 引入周期性边界条件：
设N是晶体沿基矢a（＝1，2，3）方向的原胞数， 晶体的总原胞数：N＝N1N2N3
周期性边界条件： rrN a
r N a T N r N r r
N
1ei2h
h＝整数， ＝1, 2, 3
expi
❖ 如果电子只有原子内运动（孤立原子情况），电子 的能量取分立的能级；
❖ 若电子只有共有化运动（自由电子情况），电子的 能量连续取值（严格讲电子能量应是准连续的）。
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10.107.0.68/~jgche/
空晶格模型 能带概念
4
1、空晶格模型
• 假定
V (r R ) V (r )
• 即仍然具有周期性势，但
V 0
• 思考：与自由电子气有无关系、异同？
2 n (k , r ) En k n (k , r ), 仍用原子单位
——方程的解是否相同？ ——边界条件是否相同？
10.107.0.68/~jgche/
空晶格模型 能带概念
m k a
7
广延区图
E (k ) k
2
空晶格布里渊区？
4
3
2 1
a
2
3
4
10.107.0.68/~jgche/ 空晶格模型 能带概念
a
8
4
4
2 k m k a
2 En k E m k a
* 简并打开 * 打开的宽度，定量计算（微扰法）
a
13
4
3
2 1
10.107.0.68/~jgche/ 空晶格模型 能带概念
a
微扰法能隙
• 空晶格零级近似能带
* 微扰
芯区外电子受 Z d 到势 ~ r
• 回顾Sommerfeld模型
* 把价电子处理成自由电子气，如何 处理离子实？ 正电背景：均匀分布保持电中性
2 2
动能
24
10.107.0.68/~jgche/
空晶格模型 能带概念
令 0
E Tn V ( n )
n k E Tn V ( n ) a n k' E Tn V ( n ) a
简并态出现 能量分裂！
能隙宽度
Eg 2 V (n)
能隙？没有解的能量区域，电子不可能具有这 个能量——禁止出现如果在整个布里渊区某 个能量区域都禁止出现——禁带 一维简并打开即能隙（禁带）的概念 25 10.107.0.68/~jgche/ 空晶格模型 能带概念 设问：二维、三维呢？
• 空晶格的解与微扰将H分成两部分
ˆ H ˆ H ˆ' H 0
空晶格
2 2 d ˆ H 0 2m dx 2
微扰
ˆ ' V ( x) H
V ( x) V ( x na )
空晶格模型 能带概念
15
10.107.0.68/~jgche/
空晶格的零级解
• 能量
2 2 k 0 Ek 2m
2 2 2 2
n k a
1st Brillouin zone k -/a 0 /a
n 2 a
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2a sin n
空晶格模型 能带概念
22
Bragg 反射加强条件！
如果
k n / a k ' n / a
用简并微扰
两态能量相同
简并
• 波函数
1 exp(ikx) L
0 k
L=Na
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空晶格模型 能带概念
16
微扰部分
V ( x) V ( x na )
• 周期性势场，可作Fourier展开
2 V ( x ) V (0) V ( n) exp(i nx ) a n0
• 通过空晶格模型来理解什么是能带？
* 空晶格模型可以解析得到能带结构 能带？ 能隙（禁带）？ † 能隙的物理原因？
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空晶格模型 能带概念
3
第16讲、空晶格模型能带概念
1. 空晶格模型 2. 能级简并（在布里渊区边界） 3. 确定能隙宽度 (微扰法)？ 4. 能隙的物理原因？
微扰的Fourier展开
2 ˆ H ' V (0) V (n) exp(i nx) a n0
V ( 0) 0 或常数，等于能量零点作平移 E E V (0)
2 2 零级解能量 E 0 k k 2m
1 零级波函数 L exp(ikx)
0 k
L=Na
18
10.107.0.68/~jgche/
* 不同能带未截然分开
4
3
2 1
简 12 并？
• V=0(空晶格)简并，如V≠0
* 会发生什么变化？
10.107.0.68/~jgche/ 空晶格模型 能带概念
a
a
B区边界会发生什么变化？
• 可以想象，如果晶格势很小（弱周期性 势场），那么能带的大部分区域没有明 显的变化 • 但是，布里渊区边界处能级的简并会发 生变化 • 怎么变化？
2 ˆ H ' V (0) V (n) exp(i nx) 19 a n0 空晶格模型 能带概念
能量修正
| V ( n ) |2 2k 2 Ek 2 2 2 2m n 0 k 2 k 2n / a 2m 2m
' H 0 0 kk ' ( ) x 波函数修正 k k k' 0 0 k '( k ) E k E k ' 2n * V (n) exp(i x) a k0 1 2 2 2 n 0 k (k 2n ) 2 a 2m 2m
3 2
3
2
a
1
a
9
10.107.0.68/~jgche/
空晶格模型 能带概念
周期区图
4 4
简约区图
n=4
n=3
3 2
10.107.0.68/~jgche/
3
n=2
2
a
1
n=1
a
a
10
空晶格模型 能带概念
a
现可理解E是k的多值函数: En(k)，n=1, 2, …
2 E k m k • 所以，对于 n a
, ] a a
2 l N N , l [k ] 2 2 a N
E (k ) k
10.107.0.68/~jgche/
2
空晶格模型 能带概念
2 E k m k En k a
6
2
• Bloch函数： e ikx 周期函数 • 代入
• 为何离子周期性势场能被忽略？
* 在芯区外，受核与屏蔽电子的联合作 用势——非常弱，因此可Байду номын сангаас似看成自 核电荷+Z 由电子 * 与真实的差别用微扰法来解决 * 空晶格模型+微扰
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芯电子-d
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3、确定能隙宽度——微扰法
2 2 d ˆ H ( x) V ( x) ( x) E ( x) 2 2m dx
n k (1 ) a 为小量 n k' (1 ) a
零级波函数为两波函数的 线性组合
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A B
0 0 k
0 k'
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0 k
, dx
0 k'
0 ( E E k ) A V (n)B 0 * 0 V ( n ) A ( E E k ' ) B 0
上讲回顾
• Bloch定理（绝热、单电子、周期性势场）
* 周期性势场中运动的电子，平移一个格矢Rl，其 波函数增加一个eik.Rl的相因子 电子属于整个晶体共有共有电子； 电子受周期性势场相干散射，没有阻尼机制
•
两个重要推论
1. 坐标空间：周期性调幅的平面波 可在原胞内解Schroedinger方程 2. 动量空间： k与k+Kh等价（Kh=倒格矢） 可在第一布里渊区内解Schroedinger方程 共有N个不等价的状态，如果N是原胞总数
2 k m k a
• 得到 e i k x
i 2a e
mx
周期函数
• 方括号内的仍是周期函数：u(x)=u(x+na) • 在第一Brillouin区外的状态k，可以通过把k改 变2π/a的整数倍，移入第一Brillouin区内 • 这样，第一B区中的每个[k]，对应一系列不同 2 的能量 2
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非简并情况远离布里渊区边界
Ek Ek0 Ek(1) Ek( 2 )
E
(1) k 0* H k ( x) H ' k0 dx 0 ' kk 0 L
E
L
( 2) k
0 0 E E k '( k ) k k'
2
H
' 2 kk '
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2、能级简并（在B区边界）
2 En k m k a
2
• 虽然空晶格模型V=0，但仍是周期性势， 满足Bloch定理，因此波函数是Bloch函数 • 因k与k+K等价，能量是周期函数，当k 限定在第一B区，必须区分n多值函数 • E是k的多值函数n=j和j+1的两条能带， 在Brillouin边界，即在k=nπ/a ，n=0， ±1， ± 2，…处是简并的!!!
0 d 2 2m 2 2 [ E V ( x)] 0 dx