2020届安徽合肥市五十中天鹅湖教育集团九年级下学期毕业班第一次质量检测数学试卷
安徽省合肥五十中天鹅湖教育集团2020年中考数学一模试卷(含解析)
2020年安徽省合肥五十中天鹅湖教育集团中考数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是正确的，1．（4分）四个有理数﹣2，5，0，﹣4，其中最小的是（）A．﹣2B．5C．0D．﹣42．（4分）以下运算正确的是（）A．2a+3b＝5ab B．（2m2﹣m）+m＝2mC．x3•x4＝x12D．（3x）2＝9x23．（4分）由4个完全相同的小正方体组成的立体图形如图所示，则该立体图形的俯视图是（）A．B．C．D．4．（4分）纳米（nm）是种非常小的长度单位，1nm＝10﹣9m，如果某冠状病毒的直径为110nm，那么用科学记数法表示该冠状病毒的直径为（）A．1.1×10﹣7m B．1.1×10﹣8m C．110×10﹣9m D．1.1×1011m 5．（4分）如图，已知AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，EG平分∠BEF，若∠1＝48°，则∠2的度数是（）A．64°B．65°C．66°D．67°6．（4分）为执行“均衡教育“政策，某区2017年投入教育经费2500万元，预计到2019年底三年累计投入1.2亿元，若每年投入教育经费的年平均增长百分率为x，则下列方程正确的是（）A．2500（1+2x）＝12000B．2500（1+x）2＝1200C．2500+2500（1+x）+2500（1+2x）＝12000D．2500+2500（1+x）+2500（1+x）2＝120007．（4分）如表是某班体育考试跳绳项目模拟考试时10名同学的测试成绩（单位：个/分钟）成绩（个/分钟）140160169170177180人数111232则关于这10名同学每分钟跳绳的测试成绩，下列说法错误的是（）A．众数是177B．平均数是170C．中位数是173.5D．方差是1358．（4分）关于x的一元二次方程4x2﹣ax﹣50＝0，下列结论一定正确的是（）A．该方程没有实数根B．该方程有两个不相等的实数根C．该方程有两个相等的实数根D．无法确定9．（4分）甲、乙两人在一条长为600m的笔直马路上进行跑步，速度分别为4m/s和6m/s，起跑前乙在起点，甲在乙前面50m处，若两人同时起跑，则从起跑出发到其中一人先到达终点的过程中，两人之间的距离y（m）与时间t（s）的函数图象是（）A．B．C．D．10．（4分）如图，在边长为的正方形ABCD中，点E，F是对角线AC的三等分点，点P在正方形的边上，则满足PE+PF＝5的点P的个数是（）A．0B．4C．8D．16二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11．（5分）因式分解：x3﹣9x＝．12．（5分）不等式组的解集是．13．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝，AB＝2，以点A为圆心，以AC为半径画弧，交AB于D，则扇形CAD的周长是（结果保留π）．14．（5分）对于实数a，b，定义新运算“⊗”：a⊗b＝；若关于x的方程（2x+1）⊗（x﹣1）＝t恰好有两个不相等的实根，则t的值为．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15．（8分）计算：+（）﹣1﹣4cos45°﹣（）0．16．（8分）如图所示，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点A，B，C在格点（网格线的交点）上．（1）将△ABC绕点B逆时针旋转90°，得到△A1BC1，画出△A1BC1；（2）以点A为位似中心放大△ABC，得到△AB2C2，使△AB2C2与△ABC的位似比为2：1，请你在网格内画出△AB2C2．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．（8分）古籍《算法统宗》里有这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗中后两句的译文为：如果每间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每间客房都住9人，那么就空出一间房．则该店有客房几间，房客几人？请解答上述问题．18．（8分）如图，正方形ABCD内部有若干个点，则用这些点以及正方形ABCD的顶点A、B、C、D把原正方形分割成一些三角形（互相不重叠）：1234…n 正方形ABCD内点的个数分割成三角形的个数46…（1）填写下表：（2）原正方形能否被分割成2021个三角形？若能，求此时正方形ABCD内部有多少个点？若不能，请说明理由．五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19．（10分）很多交通事故是由于超速行驶导致的，为集中治理超速现象，高速交警在距离高速路40米的地方设置了一个测速观察点，现测得测速点A的西北方向有一辆小型轿车从B处沿西向正东方向行驶，2秒钟后到达测速点A北偏东60°的方向上的C处，如图．（1）求该小型轿车在测速过程中的平均行驶速度约是多少千米/时（精确到1千米/时）？（参考数据：≈1.4，≈1.7）（2）我国交通法规定：小轿车在高速路行驶，时速超过限定速度10%以上不到50%的处200元罚款，扣3分：时速超过限定速度50%以上不到70%的处1500元罚款，扣12分；时速超过限定时速70%以上的处1500元罚款，扣12分．若该高速路段限速120千米/时，你认为该小轿车驾驶员会受到怎样的处罚．20．（10分）如图，反比例函数y1＝和一次函数y2＝mx+n相交于点A（1，3），B（﹣3，a），（1）求一次函数和反比例函数解析式；（2）连接OA，试问在x轴上是否存在点P，使得△OAP为以OA为腰的等腰三角形，若存在，直接写出满足题意的点P的坐标；若不存在，说明理由．六、（本题满分12分）21．（12分）张老师把微信运动里“好友计步榜”排名前20的好友一天行走的步数做了整理，绘制了如下不完整的统计图表：组别步数分组频率A x＜6000 0.1B6000≤x＜7000 0.5C7000≤x＜8000 mD x≥8000 n合计1根据信息解答下列问题：（1）填空：m＝，n＝，并补全条形统计图；（2）这20名朋友一天行走步数中位数落在组；（填组别）（3）张老师准备随机给排名前4名的甲、乙、丙、丁中的两位点赞，请求出甲、乙被同时点赞的概率．七、（本题满分12分）22．（12分）某市政府为了扶贫，鼓励当地农民养殖小龙虾，如图：张叔叔顺着圩梗AN、AM（AN＝3m，AM＝10m，∠MAN＝45°），用8m长的渔网搭建了一个养殖水域（即四边形ABCD），圩梗边不需要渔网，AB∥CD，∠C＝90°．设BC＝xm，四边形ABCD 面积为S（m2）．（1）求出S关于x的函数表达式及x的取值范围；（2）x为何值时，围成的养殖水域面积最大？最大面积是多少？八、（本题满分14分）23．（14分）如图，在△ABC中，AB＜AC，点D、F分别为BC、AC的中点，E点在边AC 上，连接DE，过点B作DE的垂线交AC于点G，垂足为点H，且△CDE与四边形ABDE 的周长相等，设AC＝b，AB＝c．（1）求线段CE的长度；（2）求证：DF＝EF；（3）若S△BDH＝S△EGH，求的值．2020年安徽省合肥五十中天鹅湖教育集团中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是正确的，1．【解答】解：根据题意得：﹣4＜﹣2＜0＜5，则最小的数是﹣4．故选：D．2．【解答】解：A．2a与3b不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；B．（2m2﹣m）+m＝2m2，故本选项不合题意；C．x3•x4＝x7，故本选项不合题意；D．（3x）2＝9x2，正确．故选：D．3．【解答】解：根据题意，从上面看原图形可得到在水平面上有一个由两个小正方形和两个小长方形组成的长方形．故选：B．4．【解答】解：因为1nm＝10﹣9m，所以110nm＝110×10﹣9m＝1.1×10﹣7m．故选：A．5．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠BEF＝180°﹣∠1＝180°﹣48°＝132°，∵EG平分∠BEF，∴∠BEG＝132°÷2＝66°，∴∠2＝∠BEG＝66°．故选：C．6．【解答】解：设每年投入教育经费的年平均增长百分率为x，由题意得，2500+2500×（1+x）+2500（1+x）2＝12000．故选：D．7．【解答】解：A、这组数据中177出现次数最多，即众数为177，此选项正确；B、这组数据的平均数是：（140+160+169+170×2+177×3+180×2）÷10＝170，此选项正确；C、∵共有10个数，∴中位数是第5个和6个数的平均数，∴中位数是（170+177）÷2＝173.5；此选项正确；D、方差＝[（140﹣170）2+（160﹣170）2+（169﹣170）2+2×（170﹣170）2+3×（177﹣170）2+2×（180﹣170）2]＝134.8；此选项错误；故选：D．8．【解答】解：∵△＝（﹣a）2﹣4×4×（﹣50）＝a2+800＞0，∴该方程有两个不相等的实数根．故选：B．9．【解答】解：甲在乙前面50m处，若两人同时起跑，在经过＝25秒，乙追上甲，则相距是0千米，故A、B错误；相遇以后乙在前边，相距的距离每秒增加2米，乙全程用的时间是＝100秒，故B、D错误．则相遇以后两人之间的最大距离是：2（100﹣25）＝150米．故选：C．10．【解答】解：作点F关于BC的对称点M，连接CM，连接EM交BC于点P，如图所示：则PE+PF的值最小＝EM；∵点E，F将对角线AC三等分，且边长为，∴AC＝15，∴EC＝10，FC＝5＝AE，∵点M与点F关于BC对称，∴CF＝CM＝5，∠ACB＝∠BCM＝45°，∴∠ACM＝90°，∴EM＝，同理：在线段AB，AD，CD上都存在1个点P，使PE+PF＝5；∴满足PE+PF＝5的点P的个数是4个；故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11．【解答】解：x3﹣9x，＝x（x2﹣9），＝x（x+3）（x﹣3）．12．【解答】解：由不等式2﹣x≥3可得x≤﹣1；由不等式可得x＞﹣7；故不等式组的解集是﹣7＜x≤﹣1故答案为：﹣7＜x≤﹣1．13．【解答】解：∵∠ACB＝90°，BC＝，AB＝2，∴sin A＝＝，∴∠A＝60°，∴AC＝AB＝1，∴的长为＝，∴扇形CAD的周长是+2，故答案为：+2．14．【解答】解：当2x+1≤x﹣1，即x≤﹣2时，x的方程（2x+1）⊗（x﹣1）＝t化为（2x+1）2﹣（2x+1）（x﹣1）＝t，整理得2x2+5x+2＝t，当2x+1＞x﹣1，即x＞﹣2时，x的方程（2x+1）⊗（x﹣1）＝t化为（x﹣1）2﹣（2x+1）（x﹣1）＝t，整理得﹣x2﹣x+2＝t令y＝（2x+1）⊗（x﹣1），则y＝，当x≤﹣2时，y＝2（x+）2﹣；当x＞﹣2时，y＝﹣（x+）2+，画出两函数图象，如图，当t＝0或t＝时，直线y＝t与y＝（2x+1）⊗（x﹣1）有两个不相同的交点，所以t的值为0或．故答案为0或．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15．【解答】解：原式＝2+2﹣4×﹣1，＝2+2﹣2﹣1，＝1．故答案为：1．16．【解答】解：（1）如图，△A1BC1为所作；（2）如图，△AB2C2为所作．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．【解答】解：设有客房x间，房客y人，由题意得：解得故该店有客房8间，房客63人．18．【解答】解：（1）如图：正方形ABCD内点的个1234…n 数分割成三角形的个数46810…2（n+1）（2）不能．设点数为n，则2（n+1）＝2021，解得n ＝，∵n不是整数，∴不能被分割成2021个三角形．五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19．【解答】解：（1）过A作AD⊥BC于D，由题意得，AD＝40m，∠BAD＝45°，∠CAD＝60°，∴BD＝AD＝40，CD ＝AD＝40，∴BC＝BD+CD＝40+40，∴小型轿车在测速过程中的平均行驶速度约是≈197km/h；（2）＝64%，∵50%＜64%＜70%，∴处1500元罚款，扣12分．20．【解答】解：（1）∵点A（1，3）在反比例函数y1＝的图象上，∴k＝1×3＝3，∴反比例函数的解析式为y1＝，∵点B（﹣3，a）在反比例函数y1＝的图象上，∴﹣3a＝3，∴a＝﹣1，∴B（﹣3，﹣1），∵点A（1，3），B（﹣3，﹣1）在一次函数y2＝mx+n的图象上，∴，∴，∴一次函数的解析式为y2＝x+2；（2）如图，∵△OAP为以OA为腰的等腰三角形，∴①当OA＝OP时，∵A（1，3），∴OA＝，∵OP＝，∵点P在x轴上，∴P（﹣，0）或（，0），②当OA＝AP时，则点A是线段OP的垂直平分线上，∵A（1，3），∴P（2，0），即：在x轴上存在点P，使得△OAP为以OA为腰的等腰三角形，此时，点P的坐标为（﹣，0）或（2，0）或（，0）．六、（本题满分12分）21．【解答】解：（1）C组人数为20﹣（2+10+2）＝6，则m＝6÷20＝0.3，n＝2÷20＝0.1，故答案为0.3；0.1；（2）∵C，D组共有6+2＝8人，∴这20名朋友一天行走步数的中位数落在B组；故答案为B；（3）画树状图如下：共有12种等可能的结果数，其中甲、乙被同时点赞的结果数为2，∴P（甲、乙被同时点赞）＝＝．七、（本题满分12分）22．【解答】解：（1）过D作DE⊥AB于E，∵BC＝x，∴DE＝x，∵∠A＝45°，∴AE＝x，∴S＝S△AED+S矩形DEBC＝x2+（8﹣x）•x＝﹣x2+8x，∵AB＝AE+EB＝x+（8﹣x）＝8，∴B点为定点，∴DE最大为3，∴0＜x≤3；（2）∵S＝﹣x2+8x＝﹣（x﹣8）2+32，∴当x＜8时，S随x的增大而增大，∵0＜x≤3，∴当x＝3时，S取得最大值，S最大＝﹣×（3﹣8）2+32＝，答：当x＝3时时，围成的养殖水域面积最大，最大面积是．八、（本题满分14分）23．【解答】（1）解：∵点D为BC的中点，∴BD＝CD，∵△CDE与四边形ABDE的周长相等，∴CD+DE+CE＝AB+BD+DE+AE，∴CE＝AB+AE＝AB+（AC﹣EC），∴2CE＝AC+AB＝b+c，∴CE＝（b+c）；（2）证明：∵点D、F分别为BC、AC的中点，∴DF是△CAB的中位线，∴DF＝AB＝c，AF＝AC＝b，由（1）知：CE＝（b+c），∴AE＝b﹣CE＝b﹣（b+c）＝（b﹣c），∴EF＝AF﹣AE＝b﹣（b﹣c）＝c，∴DF＝EF；（3）解：连接BE、DG，如图所示：∵S△BDH＝S△EGH，∴S△BDG＝S△DEG，∴BE∥DG，∵DF是△CAB的中位线，∴DF∥AB，＝，∴△ABE∽△FDG，∴＝＝，∴FG＝AE＝×（b﹣c）＝（b﹣c），过点A作AP⊥BG于P，∵DF∥AB，∴∠DFC＝∠BAC，∵∠DFC＝∠DEF+∠EDF，EF＝DF，∴∠DEF＝∠EDF，∴∠BAP+∠P AC＝2∠DEF，∵ED⊥BG，AP⊥BG，∴DE∥AP，∴∠P AC＝∠DEF，∴∠BAP＝∠DEF＝∠P AC，∵AP⊥BG，∴AB＝AG＝c，∴CG＝b﹣c，∴CF＝b＝FG+CG＝（b﹣c）+（b﹣c），∴3b＝5c，∴＝．。
2021-2022学年安徽省合肥五十中天鹅湖教育集团九年级(上)期中数学试卷(解析版)
2021-2022学年安徽省合肥五十中天鹅湖教育集团九年级第一学期期中数学试卷注意事项：1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效．3．作图可先使用2B 铅笔画出，确定后必须用0.5 毫米黑色墨水签字笔描黑．一、选择题（共10小题）.1．抛物线y＝﹣（x﹣3）2+2的顶点坐标是（）A．（2，3）B．（﹣3，2）C．（3，2）D．（﹣3，﹣2）2．已知2x＝3y（y≠0），则下面结论成立的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝3．若反比例函数y＝的图象经过点（﹣1，4），则这个函数的图象一定经过点（）A．（﹣4，﹣1）B．（﹣，4）C．（4，﹣1）D．（，4）4．如图，D是△ABC边AB上一点，添加一个条件后，仍然不能使△ACD∽△ABC的是（）A．∠ACB＝∠ADC B．∠ACD＝∠ABC C．D．5．将抛物线y＝x2向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（）A．y＝（x+3）2﹣2B．y＝（x﹣3）2+2C．y＝（x+3）2+2D．y＝（x﹣3）2﹣2 6．若一个三角形能够分成两个与原三角形都相似的三角形，就把这样的三角形称为和谐三角形，则下列选项中属于和谐三角形的是（）A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰三角形或直角三角形7．已知二次函数y＝ax2+bx+c，如果a＞b＞c，且a+b+c＝0，则它的图象可能是图所示的（）A．B．C．D．8．如图，A是反比例函数y＝图象上一点，过点A作x轴的平行线交反比例函数y＝﹣的图象于点B，点C在x轴上，且S△ABC＝2，则k的值为（）A．7B．﹣7C．﹣5D．59．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D点在边BC上，＝，E为AB边上一点，当EC＝ED时，的值为（）A．B．C．D．10．如图，直线m∥n，AB⊥m，AB＝2，点P是AB中点，点C、D分别是直线m，n上两个动点（不与点A、B重合），且满足PC⊥PD，设AC＝x，BD＝y，y与x的函数图象是（）A．B．C．D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）11．请写出一个开口向下，顶点在x轴上的二次函数解析式．12．若线段AB＝2，点C是AB的黄金分割点且线段BC＜AC，则线段AC ＝．13．如图，在平面直角坐标系中，函数y＝（x＞0）与y＝x﹣1的图象交于点P（a，b），则代数式的值为．14．如图，有一张矩形纸片ABCD，点E在边AD上，将△ABE沿BE翻折，使点A落在矩形对角线BD上，点A的对应点为点F，连接CF，若DE＝2，请探究下列问题：（1）当点F恰好为BD中点时，∠ABE＝°．（2）当点C、E、F在同一直线上时，AE＝．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15．已知＝＝，且3a﹣2b+c＝9，求2a+4b﹣3c的值．16．抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣1），且与y轴交点的纵坐标为﹣3，求此抛物线的解析式．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．已知y＝y1﹣y2，y1与x成反比例，y2与x﹣2成正比例，并且当x＝2时，y＝5；当x＝1时，y＝﹣1，当x＝﹣1时，求y的值．18．已知二次函数y＝x2﹣2x+．（1）求出抛物线的顶点坐标；（2）在所给的平面直角坐标系中，画出它的图象．五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19．已知二次函数y＝2x2﹣4x﹣6，（1）求证：该抛物线与x轴一定有两个交点；（2）若该抛物线与x轴的两个交点分别为A、B，且它的顶点为P，求△ABP的面积．20．如图，锐角三角形ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，垂足为D，E．（1）证明：△ACD∽△ABE．（2）若将D，E连接起来，则△AED与△ABC能相似吗？说说你的理由．六、（本题满分12分）21．已知A（﹣4，2）、B（n，﹣4）两点是一次函数y＝kx+b和反比例函数y＝图象的两个交点．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）求△AOB的面积；（3）观察图象，直接写出不等式kx+b﹣＞0的解集．七、（本题满分12分）22．如图，现有一块木板余料ABCED，它可以看作是缺了一个角的矩形，∠A＝∠B＝∠D ＝90°，AB＝6dm，AD＝10dm，BC＝4dm，ED＝2m，小天同学准备从这块余料中裁出一个矩形AFPQ（P为线段CE上一动点），设AF＝xdm，矩形AFPQ的面积为ydm2．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）小天认为矩形AFPQ的最大面积不会超过28dm2，请通过计算说明小天的想法是否正确？八、（本题满分14分）23．如图，直线y＝x﹣1与抛物线y＝ax2+x+c交于点A、B两点，点A在y轴上，点B 的横坐标为6，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C．（1）求此抛物线的表达式．（2）若直线PQ∥y轴，与抛物线、直线AB、x轴分别交于点P、Q、D，且点D位于线段OC之间，求线段PQ长度的最大值．（3）连接BP、CQ，当四边形PQCB是平行四边形时，求点D的坐标．参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1．抛物线y＝﹣（x﹣3）2+2的顶点坐标是（）A．（2，3）B．（﹣3，2）C．（3，2）D．（﹣3，﹣2）【分析】已知抛物线解析式为顶点式，根据顶点式的坐标特点直接写出顶点坐标．解：∵y＝﹣（x﹣3）2+2为抛物线的顶点式，∴抛物线的顶点坐标为（3，2）．故选：C．2．已知2x＝3y（y≠0），则下面结论成立的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝【分析】根据等式的性质，可得答案．解：A、因为2x＝3y，两边都除以2y，得＝，故A符合题意；B、两边除以不同的整式，故B不符合题意；C、因为2x＝3y，两边都除以2y，得＝，故C不符合题意；D、两边除以不同的整式，故D不符合题意；故选：A．3．若反比例函数y＝的图象经过点（﹣1，4），则这个函数的图象一定经过点（）A．（﹣4，﹣1）B．（﹣，4）C．（4，﹣1）D．（，4）【分析】根据反比例函数y＝的图象经过点（﹣1，4）求出k的值，再对各选项进行逐一分析即可．解：∵反比例函数y＝的图象经过点（﹣1，4），∴k＝（﹣1）×4＝﹣4．A、∵﹣4×（﹣1）＝4≠﹣4，∴函数图象不过此点，故本选项错误；B、∵﹣×4＝﹣2≠﹣4，∴函数图象不经过此点，故本选项错误；C、∵4×（﹣1）＝﹣4，∴函数图象经过此点，故本选项正确；D、∵＝2≠﹣4，∴，函数图象不过此点，故本选项错误．故选：C．4．如图，D是△ABC边AB上一点，添加一个条件后，仍然不能使△ACD∽△ABC的是（）A．∠ACB＝∠ADC B．∠ACD＝∠ABC C．D．【分析】直接利用相似三角形的判定方法分别分析得出答案．解：A、当∠ACB＝∠ADC时，再由∠A＝∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此选项不合题意；B、当∠ACD＝∠ABC时，再由∠A＝∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此选项不合题意；C、当＝时，再由∠A＝∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此选项不合题意；D、当＝时，无法得出△ACD∽△ABC，故此选项符合题意；故选：D．5．将抛物线y＝x2向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（）A．y＝（x+3）2﹣2B．y＝（x﹣3）2+2C．y＝（x+3）2+2D．y＝（x﹣3）2﹣2【分析】根据二次函数变化规律：左加右减，上加下减，进而得出变化后解析式．解：∵抛物线y＝x2向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，∴平移后的解析式为：y＝（x﹣3）2+2．故选：B．6．若一个三角形能够分成两个与原三角形都相似的三角形，就把这样的三角形称为和谐三角形，则下列选项中属于和谐三角形的是（）A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰三角形或直角三角形【分析】根据相似三角形的性质得到∠ADB＝∠BDC，求得∠ADB＝∠BDC＝×180°＝90°，于是得到∠ABC＝∠ADB＝∠BDC＝90°，推出△ABC为直角三角形．解：∵△ABD∽△CBD，∴∠ADB＝∠BDC又∵∠ADB+∠BDC＝180°，∴∠ADB＝∠BDC＝×180°＝90°，∵△ADB∽△ABC，△ABC∽△BDC，∴∠ABC＝∠ADB＝∠BDC＝90°，∴△ABC为直角三角形．故选：C．7．已知二次函数y＝ax2+bx+c，如果a＞b＞c，且a+b+c＝0，则它的图象可能是图所示的（）A．B．C．D．【分析】由a＞b＞c，且a+b+c＝0，确定a＞0，c＜0，与x轴交点一个是（1，0），采取排除法即可选出所选答案．解：∵a+b+c＝0，即当x＝1时a+b+c＝0，∵a＞b＞c，∴定a＞0，c＜0，故D选项正确．故选：D．8．如图，A是反比例函数y＝图象上一点，过点A作x轴的平行线交反比例函数y＝﹣的图象于点B，点C在x轴上，且S△ABC＝2，则k的值为（）A．7B．﹣7C．﹣5D．5【分析】根据反比例函数系数k的几何意义可得S△BOM＝|﹣3|＝，S△AOM＝|k|，根据平行线的性质和三角形的面积公式可得S△OAB＝S△CAB＝2，根据S△AOM﹣S△BOM＝2，求出k的值即可．解：如图，连接OA、OB，延长AB交y轴于M，则S△BOM＝|﹣3|＝，S△AOM＝|k|，∵AB∥x轴，∴S△OAB＝S△CAB＝2，即S△AOM﹣S△BOM＝2，∴|k|﹣＝2，∵k＜0，∴k＝﹣7，故选：B．9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D点在边BC上，＝，E为AB边上一点，当EC＝ED时，的值为（）A．B．C．D．【分析】过点E作EF⊥BC于F，根据比例的性质得＝，再由EF∥AC即可得出答案．解：过点E作EF⊥BC于F，∵EC＝ED，EF⊥CD，∴CF＝DF，∵＝，∴＝，∵EF⊥BC，AC⊥BC，∴EF∥AC，∴＝故选：A．10．如图，直线m∥n，AB⊥m，AB＝2，点P是AB中点，点C、D分别是直线m，n上两个动点（不与点A、B重合），且满足PC⊥PD，设AC＝x，BD＝y，y与x的函数图象是（）A．B．C．D．【分析】先证得△ACP∽△BPD，得出＝，即可求得答案．解：∵直线m∥n，AB⊥m，PC⊥PD，∴∠PAC＝∠PBD＝∠CPD＝90°，∴∠APC+∠BPD＝∠APC+∠ACP＝90°，∴∠ACP＝∠BPD，∴△ACP∽△BPD，∴＝，∵点P是AB中点，∴AP＝BP＝AB＝1，∴＝，∴y＝，故选：B．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）11．请写出一个开口向下，顶点在x轴上的二次函数解析式y＝﹣2（x+1）2．【分析】开口向下，顶点在x轴上的函数是y＝a（x﹣h）2（a＜0）的形式，举一例即可．解：开口向下，即a＜0，顶点在x轴上时，顶点纵坐标为0，即k＝0，例如y＝﹣2（x+1）2．（答案不唯一）故答案为y＝﹣2（x+1）2．12．若线段AB＝2，点C是AB的黄金分割点且线段BC＜AC，则线段AC＝．【分析】根据黄金分割点的定义和黄金比值计算即可．解：∵点C是AB的黄金分割点，AC＜BC，∴BC＝AB＝＝﹣1，故答案为﹣1．13．如图，在平面直角坐标系中，函数y＝（x＞0）与y＝x﹣1的图象交于点P（a，b），则代数式的值为﹣．【分析】由题意得，函数y＝（x＞0）与y＝x﹣1的图象交于点P（a，b），则ab＝﹣4，b＝a﹣1，进而求解．解：函数y＝（x＞0）与y＝x﹣1的图象交于点P（a，b），∴ab＝4，b＝a﹣1，∴b﹣a＝﹣1，∴＝＝﹣．故答案为﹣．14．如图，有一张矩形纸片ABCD，点E在边AD上，将△ABE沿BE翻折，使点A落在矩形对角线BD上，点A的对应点为点F，连接CF，若DE＝2，请探究下列问题：（1）当点F恰好为BD中点时，∠ABE＝30°．（2）当点C、E、F在同一直线上时，AE＝．【分析】（1）当点F恰好为BD中点时，由折叠的性质得EF⊥BD，即可求证∠ABE＝∠DBE＝∠ADB＝30°；（2）当点C、E、F在同一直线上时，易知BF＝BA＝CD，∠BCF＝∠DEC，∠BFC＝∠CDE＝90°，可求证△BFC≌△CDE（AAS），再根据△DEF∽△CED的相似比求解即可．解：（1）当点F恰好为BD中点时，由折叠的性质得EF⊥BD，∴EB＝ED，∴∠EBD＝∠EDB，由折叠的性质得∠ABE＝∠EBD，∴∠ABE＝∠DBE＝∠ADB，又∵∠ABE+∠DBE+∠ADB＝90°，∴∠ABE＝30°，故答案为：30；（2）当点C、E、F在同一直线上时，根据翻折的性质可知：BF＝BA＝CD，∠BCF＝∠DEC，∠BFC＝∠CDE＝90°，∴△BFC≌△CDE（AAS），∴FC＝DE＝2，设AE＝x，可得EF＝x，∵∠DEF＝∠CED，∠EFD＝∠EDC，∴△DEF∽△CED，∴DE2＝EF•EC，∴22＝x（x+1），解得：x＝或x＝（舍去负值），∴AE＝．故答案为：．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15．已知＝＝，且3a﹣2b+c＝9，求2a+4b﹣3c的值．【分析】设比值为k，然后用k表示出a、b、c，再代入等式求出k的值，从而得到a、b、c的值，然后代入代数式进行计算即可得解．解：设＝＝＝k（k≠0），则a＝5k，b＝7k，c＝8k，代入3a﹣2b+c＝9得，15k﹣14k+8k＝9，解得k＝1，所以，a＝5，b＝7，c＝8，所以，2a+4b﹣3c＝2×5+4×7﹣3×8＝10+28﹣24＝14．16．抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣1），且与y轴交点的纵坐标为﹣3，求此抛物线的解析式．【分析】根据顶点坐标设抛物线顶点式解析式，然后把经过的点的坐标代入解析式求解即可．解：∵抛物线的顶点坐标是（﹣1，﹣1），∴设抛物线解析式为y＝a（x+1）2﹣1，∵抛物线图象经过（0，﹣3），∴a（0+1）2﹣1＝﹣3，解得a＝﹣2，所以，此抛物线解析式为y＝﹣2（x+1）2﹣1．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．已知y＝y1﹣y2，y1与x成反比例，y2与x﹣2成正比例，并且当x＝2时，y＝5；当x＝1时，y＝﹣1，当x＝﹣1时，求y的值．【分析】设y1＝，y2＝m（x﹣2），将x＝2，y＝5；x＝1，y＝﹣1代入求出y的解析式求解．解：设y1＝，y2＝m（x﹣2），∴y＝﹣m（x﹣2），将x＝2，y＝5；x＝1，y＝﹣1代入解析式可得：，解得，∴y＝，当x＝﹣1时，y＝﹣10﹣11﹣22＝﹣43．18．已知二次函数y＝x2﹣2x+．（1）求出抛物线的顶点坐标；（2）在所给的平面直角坐标系中，画出它的图象．【分析】（1）将题目中的函数解析式化为顶点式，即可得到该抛物线的顶点坐标；（2）根据题目中的函数解析式，写出该函数经过的五个点，即可画出该函数的函数图象．解：（1）∵二次函数y＝x2﹣2x+＝，∴该抛物线的顶点坐标是（2，﹣）；（2）∵二次函数y＝x2﹣2x+，∴当y＝0时，x1＝1，x2＝3，当x＝0时，y＝，当x＝4时，y＝，该函数的图象如右图所示．五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19．已知二次函数y＝2x2﹣4x﹣6，（1）求证：该抛物线与x轴一定有两个交点；（2）若该抛物线与x轴的两个交点分别为A、B，且它的顶点为P，求△ABP的面积．【分析】（1）根据b2﹣4ac与0的关系即可判断出二次函数y＝2x2﹣4x﹣6的图象与x 轴交点的个数；（2）在二次函数图象中，底边在x轴的三角形，底边上的两顶点关于直线x＝﹣对称，且底边上的高就在这条直线上．解：（1）令y＝0，则2x2﹣4x﹣6＝0．则Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×2×（﹣6）＝64∵Δ＞0，∴该抛物线一定与x轴有两个交点．（2）根据题意，得2x2﹣4x﹣6＝0 ①解①得x1＝﹣1，x2＝3即A（﹣1，0），B（3，0），∴在△ABP中，AB＝4，∵PC＝|＝|＝8，∴在△ABP中，S△ABP＝＝＝16∴三角形ABP的面积是16．20．如图，锐角三角形ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，垂足为D，E．（1）证明：△ACD∽△ABE．（2）若将D，E连接起来，则△AED与△ABC能相似吗？说说你的理由．【分析】（1）根据已知利用有两个角相等的三角形相似判定即可；（2）根据第一问可得到AD：AE＝AC：AB，有一组公共角∠A，则可根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似进行判定．【解答】证明：（1）∵CD，BE分别是AB，AC边上的高，∴∠ADC＝∠AEB＝90°．∵∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABE．（2）连接DE，∵△ACD∽△ABE，∴AD：AE＝AC：AB，∴AD：AC＝AE：AB，∵∠A＝∠A，∴△AED∽△ABC．六、（本题满分12分）21．已知A（﹣4，2）、B（n，﹣4）两点是一次函数y＝kx+b和反比例函数y＝图象的两个交点．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）求△AOB的面积；（3）观察图象，直接写出不等式kx+b﹣＞0的解集．【分析】（1）先把点A的坐标代入反比例函数解析式，即可得到m＝﹣8，再把点B的坐标代入反比例函数解析式，即可求出n＝2，然后利用待定系数法确定一次函数的解析式；（2）先求出直线y＝﹣x﹣2与x轴交点C的坐标，然后利用S△AOB＝S△AOC+S△BOC进行计算；（3）观察函数图象得到当x＜﹣4或0＜x＜2时，一次函数的图象在反比例函数图象上方，据此可得不等式的解集．解：（1）把A（﹣4，2）代入y＝，得m＝2×（﹣4）＝﹣8，所以反比例函数解析式为y＝﹣，把B（n，﹣4）代入y＝﹣，得﹣4n＝﹣8，解得n＝2，把A（﹣4，2）和B（2，﹣4）代入y＝kx+b，得，解得，所以一次函数的解析式为y＝﹣x﹣2；（2）y＝﹣x﹣2中，令y＝0，则x＝﹣2，即直线y＝﹣x﹣2与x轴交于点C（﹣2，0），∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝×2×2+×2×4＝6；（3）由图可得，不等式kx+b﹣＞0的解集为：x＜﹣4或0＜x＜2．七、（本题满分12分）22．如图，现有一块木板余料ABCED，它可以看作是缺了一个角的矩形，∠A＝∠B＝∠D ＝90°，AB＝6dm，AD＝10dm，BC＝4dm，ED＝2m，小天同学准备从这块余料中裁出一个矩形AFPQ（P为线段CE上一动点），设AF＝xdm，矩形AFPQ的面积为ydm2．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）小天认为矩形AFPQ的最大面积不会超过28dm2，请通过计算说明小天的想法是否正确？【分析】（1）分别延长DE，FP，与BC的延长线相交于G，H，由AF＝x知CH＝x﹣4，根据＝，可得z＝，利用矩形的面积公式即可得出解析式；（2）将（1）中所得解析式配方成顶点式，利用二次函数的性质解答可得．解：（1）分别延长DE，FP，与BC的延长线相交于G，H，∵AF＝x，∴CH＝x﹣4，设AQ＝z，PH＝BQ＝6﹣z，∵PH∥EG，∴＝，即＝，化简得z＝，∴y＝•x＝﹣x2+x（4≤x≤10）；（2）y＝﹣x2+x＝﹣（x﹣）2+，当x＝dm时，y取最大值，最大值是＝28＞28，∵矩形AFPQ的最大面积超过28dm2．∴小天的想法不正确．八、（本题满分14分）23．如图，直线y＝x﹣1与抛物线y＝ax2+x+c交于点A、B两点，点A在y轴上，点B 的横坐标为6，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C．（1）求此抛物线的表达式．（2）若直线PQ∥y轴，与抛物线、直线AB、x轴分别交于点P、Q、D，且点D位于线段OC之间，求线段PQ长度的最大值．（3）连接BP、CQ，当四边形PQCB是平行四边形时，求点D的坐标．【分析】（1）把x＝0和x＝6代入直线解析式求出点A，B坐标，再将两点坐标代入抛物线解析式求解．（2）设点P坐标为（m，﹣m2+m﹣1），用含m代数式表示PQ长度，通过配方求解．（3）根据平行四边形的性质可得PQ＝BC，进而求解．解：（1）把x＝0代入y＝x﹣1得y＝﹣1，∴点A坐标为（0，﹣1），把x＝6代入y＝x﹣1得y＝3﹣1＝2，∴点B坐标为（6，2），把（0，﹣1），（6，2）代入y＝ax2+x+c得，解得，∴y＝﹣x2+x﹣1．（2）设点P坐标为（m，﹣m2+m﹣1），∵PQ∥y轴，∴点Q横坐标为m，把x＝m代入y＝x﹣1得y＝m﹣1，∴点Q坐标为（m，m﹣1），∴PQ＝﹣m2+m﹣1﹣（m﹣1）＝﹣m2+3m＝﹣（m﹣3）2+，∴m＝3时，PQ长度有最大值为．（3）∵BC⊥x轴，∴BC∥PQ，且BC＝2，当PQ＝BC＝2时，四边形PQCB是平行四边形，即﹣m2+3m＝2，解得m＝3+或m＝3﹣，∴点D坐标为（3+，0）或（3﹣，0）．。
2020年合肥50中教育集团九年级中考数学一模
3.如图所示的几何体是由一个正方体切去一个角，则它的俯视图是4.下列运算错误的是A.m 的值为28%B.平均数为5次C.众数为6次D.中位数为5次9.如上右图,菱形ABCD 的边长是4厘米,∠B=60°,动点P 以1厘米秒的速度自A 点出发沿AB 方向运动至B 点停止,动点Q 以2厘米/秒的速度自B 点出发沿折线BCD 运动至D 点停止。
若点P 、Q 同时出发运动了t 秒,记△BPQ 的面积为S 厘米2,下面图象中能表示S 与t 之间的函数关系的是A. B. C. D.10.已知函数2142+-+-=a ax x y ，若函数在10≤≤x 上的最大值是2，则a 的值为 A.-2 B.-6 C.-2或3 D.-6或310二、填空题11.因式分解：=-a a 4312.如下左图，将边长相等的正六边形和正五边形拼接在一起，则∠ABC 的度数为°13.如上中图，在平面直角坐标系中，ΔOAB 的顶点A 在x 轴负半轴上，OC 是ΔOAB 的中线，点B 、C 在反比例函数)0(<=k xky 的图象上，若ΔOAB 的面积等于6，则k 的值为 14.如上右图，在矩形ABCD 中，AB=3，BC=5，点E 为射线CD 上一动点，将ΔBCE 沿BE 折叠，得到ΔBFE ，若∠FDE=90°时，则CE 的长为 15.计算：82245cos 2)1(2020+-+--︒16.《算法统宗》中有如下问题：“哑子来买肉,难言钱数目,一斤少三十,八两多十八,试问能算者,合与多少肉”,其大意是一个哑子来买肉,说不出钱的数目,买一斤(16两)还差30文钱，买八两多十八文钱，求肉数和肉价，则该问题中，肉价是每两多少文？17.观察下列等式：①211=；②2231=+；③23531=++；④247531=+++；…… 请解答下列问题： （1）请写出第⑤个等式： （2）请写出第n 个等式：（3）根据上述规律，求=++++++202020197531Λ18.如图，由小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，线段AB 在格点上，请选择适当的格点，用无刻度的直尺在网格中完成下列画图，保留连线的痕迹，不要求说明理由。
2021年安徽合肥市五十中天鹅湖教育集团九年级下学期毕业班第一次质量检测数学试题
步数分组
频率
A
x＜6000
0.1
B
6000≤x＜7000
0.5
C
7000≤x＜8000
m
D
x≥8000
n
合计
1
根据信息解答下列问题：
（1）填空：m＝，n＝；并补全条形统计图；
（2）这20名朋友一天行走步数的中位数落在组；（填组别）
（3）张老师准备随机给排名前4名的甲、乙、丙、丁中的两位点赞，请求出甲、乙被同时点赞的概率．
18．如图，正方形ABCD内部有若干个点，则用这些点以及正方形ABCD的顶点A、B、C、D把原正方形分割成一些三角形（互相不重叠）：
（1）填写下表：
正方形ABCD内点的个数
1
2
3
4
．．．
n
分割成三角形的个数
4
6
_____
_____
．．．
_____
（2）原正方形能否被分割成2021个三角形？若能，求此时正方形ABCD内部有多少个点？若不能，请说明理由．
2021年安徽合肥市五十中天鹅湖教育集团九年级下学期毕业班第一次质量检测数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．四个有理数﹣2，5，0，﹣4，其中最小的是（ ）
A．﹣2B．5C．0D．﹣4
2．以下运算正确的是（）
19．很多交通事故是由于超速行驶导致的，为集中治理超速现象，高速交警在距离高速路40米的地方设置了一个测速观察点，现测得测速点的西北方向有一辆小型轿车从B处沿西向正东方向行驶，2秒钟后到达测速点北偏东 的方向上的C处，如图．
安徽省合肥市2019-2020学年中考数学第一次调研试卷含解析
安徽省合肥市2019-2020学年中考数学第一次调研试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．下列运算正确的（ ）A ．（b 2）3=b 5B ．x 3÷x 3=xC ．5y 3•3y 2=15y 5D ．a+a 2=a 32．我国古代数学著作《孙子算经》中有“多人共车”问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？其大意是：每车坐3人，两车空出来；每车坐2人，多出9人无车坐. 问人数和车数各多少？设车x 辆，根据题意，可列出的方程是 ( )．A ．3229x x -=+B ．3(2)29x x -=+C ．2932x x +=-D ．3(2)2(9)x x -=+ 3．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A,B,C 都在格点上，则∠ABC 的正切值是（ ）A ．12B ．2C ．55D ．2554．如图，点A 为∠α边上任意一点，作AC ⊥BC 于点C ，CD ⊥AB 于点D ，下列用线段比表示cosα的值，错误的是（ ）A ．CD ACB ．BC AB C ．BD BC D ．AD AC5．下列图形中，属于中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．6．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，连接AC ，若∠CAB=22.5°，CD=8cm ，则⊙O 的半径为（ ）A ．8cmB ．4cmC ．42cmD ．5cm 7．在一张考卷上，小华写下如下结论，记正确的个数是m ，错误的个数是n ，你认为m n (-= ) ①有公共顶点且相等的两个角是对顶角 40.00041 4.110--=-⨯②2525⋅=③④若12390∠∠∠++=o ，则它们互余 A ．4 B ．14C ．3-D ．13 8．下列各式：①33+3=63；②177=1；③2+6=8=22；④243=22；其中错误的有（ ）． A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．0个9．估计32﹣16÷2的运算结果在哪两个整数之间（ ）A ．0和1B ．1和2C ．2和3D ．3和410．如图，在△ABC 中，cosB ＝22，sinC ＝35，AC ＝5，则△ABC 的面积是( )A ． 212B ．12C ．14D ．2111．已知二次函数y=ax 2+2ax+3a 2+3（其中x 是自变量），当x≥2时，y 随x 的增大而增大，且−2≤x≤1时，y 的最大值为9，则a 的值为A ．1或−2B ．−或C ．D ．1 12．如果k ＜0，b ＞0，那么一次函数y=kx+b 的图象经过( )A ．第一、二、三象限B ．第二、三、四象限C ．第一、三、四象限D ．第一、二、四象限二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．若式子x 1x+有意义，则x 的取值范围是 ．14．地球上的海洋面积约为361000000km1，则科学记数法可表示为_______km1．15．如图，已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，且BP＝BC，则∠ACP度数是_____度．16．如果一个三角形两边为3cm，7cm，且第三边为奇数，则三角形的周长是_________．17．数学的美无处不在．数学家们研究发现，弹拨琴弦发出声音的音调高低，取决于弦的长度，绷得一样紧的几根弦，如果长度的比能够表示成整数的比，发出的声音就比较和谐．例如，三根弦长度之比是15：12：10，把它们绷得一样紧，用同样的力弹拨，它们将分别发出很调和的乐声do、mi、so，研究15、12、10这三个数的倒数发现：111112151012-=-．我们称15、12、10这三个数为一组调和数．现有一组调和数：x，5，3（x＞5），则x的值是．18．阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：小亮的作法如下：老师说：“小亮的作法正确”请回答：小亮的作图依据是______．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）如图，一次函数y=﹣x+的图象与反比例函数y=（k＞0）的图象交于A，B两点，过A点作x轴的垂线，垂足为M，△AOM面积为1．（1）求反比例函数的解析式；（2）在y轴上求一点P，使PA+PB的值最小，并求出其最小值和P点坐标．20．（6分）太阳能光伏建筑是现代绿色环保建筑之一，老张准备把自家屋顶改建成光伏瓦面，改建前屋顶截面△ABC如图2所示，BC=10米，∠ABC=∠ACB=36°，改建后顶点D在BA的延长线上，且∠BDC=90°，求改建后南屋面边沿增加部分AD的长．（结果精确到0.1米）21．（6分）如图，已知直线AB与轴交于点C，与双曲线交于A（3，）、B（-5，）两点.AD⊥轴于点D，BE∥轴且与轴交于点E.求点B的坐标及直线AB的解析式；判断四边形CBED的形状，并说明理由.22．（8分）2019年1月，温州轨道交通1S线正式运营，1S线有以下4种购票方式：A．二维码过闸B．现金购票C．市名卡过闸D．银联闪付某兴趣小组为了解最受欢迎的购票方式，随机调查了某区的若干居民，得到如图所示的统计图，已知选择方式D的有200人，求选择方式A的人数.小博和小雅对A，B，C三种购票方式的喜爱程度相同，随机选取一种方式购票，求他们选择同一种购票方式的概率.（要求列表或画树状图）. 23．（8分）已知：如图，□ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F. 求证：BE=DF.24．（10分）计算22214244x x x x x x x x +--⎛⎫-÷ ⎪--+⎝⎭25．（10分）如图，已知正方形ABCD 的边长为4，点P 是AB 边上的一个动点，连接CP ，过点P 作PC的垂线交AD 于点E ，以 PE 为边作正方形PEFG ，顶点G 在线段PC 上，对角线EG 、PF 相交于点O ．（1）若AP=1，则AE= ；（2）①求证：点O 一定在△APE 的外接圆上；②当点P 从点A 运动到点B 时，点O 也随之运动，求点O 经过的路径长；（3）在点P 从点A 到点B 的运动过程中，△APE 的外接圆的圆心也随之运动，求该圆心到AB 边的距离的最大值．26．（12分）如图,在△ABC 中,点D 是AB 边的中点,点E 是CD 边的中点,过点C 作CF ∥AB 交AE 的延长线于点F,连接BF.求证:DB=CF ；(2)如果AC=BC,试判断四边形BDCF 的形状,并证明你的结论.27．（12分）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，M 是BC 的中点，延长AM 到点D ，AE ＝AD ，∠EAD ＝90°，CE 交AB 于点F ，CD ＝DF ．（1）∠CAD ＝______度；（2）求∠CDF 的度数；（3）用等式表示线段CD 和CE 之间的数量关系，并证明．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．C【解析】分析：直接利用幂的乘方运算法则以及同底数幂的除法运算法则、单项式乘以单项式和合并同类项法则．详解：A、（b2）3=b6，故此选项错误；B、x3÷x3=1，故此选项错误；C、5y3•3y2=15y5，正确；D、a+a2，无法计算，故此选项错误．故选C．点睛：此题主要考查了幂的乘方运算以及同底数幂的除法运算、单项式乘以单项式和合并同类项，正确掌握相关运算法则是解题关键．2．B【解析】【分析】根据题意，表示出两种方式的总人数，然后根据人数不变列方程即可.【详解】根据题意可得：每车坐3人，两车空出来，可得人数为3（x-2）人；每车坐2人，多出9人无车坐，可得人数为（2x+9）人，所以所列方程为：3（x-2）=2x+9.故选B.【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是找到问题中的等量关系：总人数不变，列出相应的方程即可. 3．A【解析】分析：连接AC，根据勾股定理求出AC、BC、AB的长，根据勾股定理的逆定理得到△ABC是直角三角形，根据正切的定义计算即可．详解：连接AC，由网格特点和勾股定理可知，2,22,10AB BC==AC2+AB2=10，BC2=10，∴AC2+AB2=BC2，∴△ABC是直角三角形，∴tan∠ABC=21222ACAB==.点睛：考查的是锐角三角函数的定义、勾股定理及其逆定理的应用，熟记锐角三角函数的定义、掌握如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键．4．D【解析】【分析】根据锐角三角函数的定义，余弦是邻边比斜边，可得答案．【详解】cosα=BD BC CD BC AB AC==.故选D.【点睛】熟悉掌握锐角三角函数的定义是关键.5．B【解析】【分析】A、将此图形绕任意点旋转180度都不能与原图重合，所以这个图形不是中心对称图形. 【详解】A、将此图形绕任意点旋转180度都不能与原图重合，所以这个图形不是中心对称图形;B、将此图形绕中心点旋转180度与原图重合，所以这个图形是中心对称图形;C、将此图形绕任意点旋转180度都不能与原图重合，所以这个图形不是中心对称图形;D、将此图形绕任意点旋转180度都不能与原图重合，所以这个图形不是中心对称图形．故选B.【点睛】本题考查了轴对称与中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合.6．C【解析】【分析】连接OC，如图所示，由直径AB垂直于CD，利用垂径定理得到E为CD的中点，即CE=DE，由OA=OC，利用等边对等角得到一对角相等，确定出三角形COE为等腰直角三角形，求出OC的长，即为圆的半径．【详解】解：连接OC，如图所示：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴14cm2CE DE CD===，∵OA=OC，∴∠A=∠OCA=22.5°，∵∠COE为△AOC的外角，∴∠COE=45°，∴△COE为等腰直角三角形，∴242cmOC CE==，故选：C．【点睛】此题考查了垂径定理，等腰直角三角形的性质，以及圆周角定理，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．7．D【解析】【分析】首先判断出四个结论的错误个数和正确个数，进而可得m、n的值，再计算出mn-即可．【详解】解：①有公共顶点且相等的两个角是对顶角，错误；40.00041 4.110--=-⨯②，正确；2525=③④若12390∠∠∠++=o ，则它们互余，错误；则m 1=，n 3=，m 1n 3-=， 故选D ．【点睛】此题主要考查了二次根式的乘除、对顶角、科学记数法、余角和负整数指数幂，关键是正确确定m 、n 的值．8．A【解析】17 =1不能计算；，正确. 故选A.9．D【解析】【分析】2的大小，从而得到问题的答案． 【详解】25＜32＜31，∴51．原式2÷2，∴3÷2＜2． 故选D ．【点睛】键．10．A【解析】【分析】根据已知作出三角形的高线AD ，进而得出AD ，BD ，CD ，的长，即可得出三角形的面积．【详解】解：过点A 作AD ⊥BC ，∵△ABC中，cosB=22，sinC=35，AC=5，∴cosB=22=BDAB，∴∠B=45°，∵sinC=35=ADAC=5AD，∴AD=3，∴CD=2253=4，∴BD=3，则△ABC的面积是：12×AD×BC=12×3×（3+4）=212．故选：A．【点睛】此题主要考查了解直角三角形的知识，作出AD⊥BC，进而得出相关线段的长度是解决问题的关键．11．D【解析】【分析】先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性得出抛物线开口向上a＞0，然后由-2≤x≤1时，y的最大值为9，可得x=1时，y=9，即可求出a．【详解】∵二次函数y=ax2+2ax+3a2+3（其中x是自变量），∴对称轴是直线x=-=-1，∵当x≥2时，y随x的增大而增大，∴a＞0，∵-2≤x≤1时，y的最大值为9，∴x=1时，y=a+2a+3a2+3=9，∴3a2+3a-6=0，∴a=1，或a=-2（不合题意舍去）．故选D．本题考查了二次函数的性质，二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的顶点坐标是（-，），对称轴直线x=-，二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象具有如下性质：①当a ＞0时，抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）的开口向上，x ＜-时，y 随x 的增大而减小；x ＞-时，y 随x 的增大而增大；x=-时，y 取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．②当a ＜0时，抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）的开口向下，x ＜-时，y 随x 的增大而增大；x ＞-时，y 随x 的增大而减小；x=-时，y 取得最大值，即顶点是抛物线的最高点． 12．D【解析】【分析】根据k 、b 的符号来求确定一次函数y=kx+b 的图象所经过的象限．【详解】∵k ＜0，∴一次函数y=kx+b 的图象经过第二、四象限．又∵b ＞0时，∴一次函数y=kx+b 的图象与y 轴交与正半轴．综上所述，该一次函数图象经过第一、二、四象限．故选D ．【点睛】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k 、b 的关系．解答本题注意理解：直线y=kx+b 所在的位置与k 、b 的符号有直接的关系．k ＞0时，直线必经过一、三象限．k ＜0时，直线必经过二、四象限．b ＞0时，直线与y 轴正半轴相交．b=0时，直线过原点；b ＜0时，直线与y 轴负半轴相交．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．x 1≥-且x 0≠【解析】【详解】 1x +在实数范围内有意义， ∴x+1≥0，且x≠0，解得：x≥-1且x≠0.故答案为x≥-1且x≠0.【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【详解】将361 000 000用科学记数法表示为3.61×2．故答案为3.61×2．15．22.5【解析】∵ABCD是正方形，∴∠DBC=∠BCA=45°，∵BP=BC，∴∠BCP=∠BPC=12（180°-45°）=67.5°，∴∠ACP度数是67.5°-45°=22.5°16．15cm、17cm、19cm．【解析】试题解析：设三角形的第三边长为xcm，由题意得：7-3＜x＜7+3，即4＜x＜10，则x=5，7，9，三角形的周长：3+7+5=15（cm），3+7+7=17（cm），3+7+9=19（cm）．考点：三角形三边关系．17．1．【解析】依据调和数的意义，有15－1x＝13－15，解得x＝1.18．两点确定一条直线；同圆或等圆中半径相等【解析】【分析】根据尺规作图的方法,两点之间确定一条直线的原理即可解题.【详解】解：∵两点之间确定一条直线,CD和AB都是圆的半径,∴AB=CD,依据是两点确定一条直线；同圆或等圆中半径相等.【点睛】本题考查了尺规作图：一条线段等于已知线段,属于简单题,熟悉尺规作图方法是解题关键.三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（1）（2）（0，）【解析】【分析】（1）根据反比例函数比例系数k的几何意义得出|k|=1，进而得到反比例函数的解析式；（2）作点A关于y轴的对称点A′，连接A′B，交y轴于点P，得到PA+PB最小时，点P的位置，根据两点间的距离公式求出最小值A′B的长；利用待定系数法求出直线A′B的解析式，得到它与y轴的交点，即点P的坐标．【详解】（1）∵反比例函数y= =（k＞0）的图象过点A，过 A 点作x 轴的垂线，垂足为M，∴|k|=1，∵k＞0，∴k=2，故反比例函数的解析式为：y=；(2)作点A 关于y 轴的对称点A′，连接A′B，交y 轴于点P，则PA+PB 最小．由，解得，或，∴A（1，2），B（4，），∴A′（﹣1，2），最小值A′B==，设直线A′B 的解析式为y=mx+n，则，解得，∴直线A′B 的解析式为y=，∴x=0 时，y=，∴P 点坐标为（0，）．【点睛】本题考查的是反比例函数图象与一次函数图象的交点问题以及最短路线问题，解题的关键是确定PA+PB最小时，点P的位置，灵活运用数形结合思想求出有关点的坐标和图象的解析式是解题的关键．20．1.9米【解析】试题分析：在直角三角形BCD中，由BC与sinB的值，利用锐角三角函数定义求出CD的长，在直角三角形ACD中，由∠ACD度数，以及CD的长，利用锐角三角函数定义求出AD的长即可．试题解析：∵∠BDC=90°，BC=10，sinB=，∴CD=BC•sinB=10×0.2=5.9，∵在Rt△BCD中，∠BCD=90°﹣∠B=90°﹣36°=54°，∴∠ACD=∠BCD﹣∠ACB=54°﹣36°=18°，∴在Rt△ACD中，tan∠ACD=，∴AD=CD•tan∠ACD=5.9×0.32=1.888≈1.9（米），则改建后南屋面边沿增加部分AD的长约为1.9米．考点：解直角三角形的应用21．（1）点B的坐标是（-5，-4）；直线AB的解析式为：（2）四边形CBED是菱形.理由见解析【解析】【分析】（1）根据反比例函数图象上点的坐标特征，将点A代入双曲线方程求得k值，即利用待定系数法求得双曲线方程；然后将B点代入其中，从而求得a值；设直线AB的解析式为y=mx+n，将A、B两点的坐标代入，利用待定系数法解答；（2）由点C、D的坐标、已知条件“BE∥x轴”及两点间的距离公式求得，CD=5，BE=5，且BE∥CD，从而可以证明四边形CBED是平行四边形；然后在Rt△OED中根据勾股定理求得ED=5，所以ED=CD，从而证明四边形CBED是菱形．【详解】解：（1）∵双曲线过A（3，），∴.把B（-5，）代入,得. ∴点B的坐标是（-5，-4）设直线AB的解析式为，将A（3，）、B（-5，-4）代入得，，解得：.∴直线AB的解析式为：（2）四边形CBED是菱形.理由如下:点D的坐标是（3,0），点C的坐标是（-2,0）.∵ BE∥轴，∴点E的坐标是（0,-4）.而CD =5，BE=5，且BE∥CD.∴四边形CBED是平行四边形在Rt△OED中，ED2＝OE2＋OD2，∴ ED＝＝5，∴ED＝CD.∴□CBED是菱形22．(1)600人（2）1 3【解析】【分析】（1）计算方式A的扇形圆心角占D的圆心角的分率，然后用方式D的人数乘这个分数即为方式A的人数；（2）列出表格或树状图分别求出所有情况以及两名同学恰好选中同一种购票方式的情况后，利用概率公式即可求出两名同学恰好选中同一种购票方式的概率．【详解】（1）120200600(36090110)⨯=--（人），∴最喜欢方式A的有600人（2）列表法：A B CA A，A A，B A，CB B，A B，B B，CC C，A C，B C，C 树状法：∴P（同一种购票方式）1 3【点睛】本题考查扇形统计图的运用和列表法或画树状图求概率的运用，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．23．（1）证明：∵ABCD是平行四边形∴AB=CDAB∥CD∴∠ABE=∠CDF又∵AE⊥BD，CF⊥BD∴∠AEB=∠CFD=∴△ABE≌△CDF∴BE=DF【解析】证明:在□ABCD中∵AB∥CD∴∠ABE=∠CDF…………………………………………………………4分∵AE⊥BD CF⊥BD∴∠AEB=∠CFD=900……………………………………………………5分∵AB=CD∴△ABE≌△CDF…………………………………………………………6分∴BE=DF24．21(2)x - 【解析】【分析】先把括号内通分，再把除法运算化为乘法运算，然后把分子分母因式分解后约分即可．【详解】原式=()()221[]?242x x x x x x x +-----， =()()()()2221•42x x x x x x x x +-----， =()24•42x x x x x ---， =()212x -.【点睛】本题考查了分式的混合运算：分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的；最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．25．（1）；（2）①证明见解析；②；（3）． 【解析】试题分析：（1）由正方形的性质得出∠A=∠B=∠EPG=90°，PF ⊥EG ，AB=BC=4，∠OEP=45°，由角的互余关系证出∠AEP=∠PBC ，得出△APE ∽△BCP ，得出对应边成比例即可求出AE 的长；（2）①A 、P 、O 、E 四点共圆，即可得出结论；②连接OA 、AC ，由勾股定理求出AC=，由圆周角定理得出∠OAP=∠OEP=45°，周长点O 在AC 上，当P 运动到点B 时，O 为AC 的中点，即可得出答案；（3）设△APE 的外接圆的圆心为M ，作MN ⊥AB 于N ，由三角形中位线定理得出MN=AE ，设AP=x ，则BP=4﹣x ，由相似三角形的对应边成比例求出AE 的表达式，由二次函数的最大值求出AE 的最大值为1，得出MN 的最大值=即可．试题解析：（1）∵四边形ABCD 、四边形PEFG 是正方形，∴∠A=∠B=∠EPG=90°，PF⊥EG，AB=BC=4，∠OEP=45°，∴∠AEP+∠APE=90°，∠BPC+∠APE=90°，∴∠AEP=∠PBC，∴△APE∽△BCP，∴，即，解得：AE=，故答案为：；（2）①∵PF⊥EG，∴∠EOF=90°，∴∠EOF+∠A=180°，∴A、P、O、E四点共圆，∴点O一定在△APE的外接圆上；②连接OA、AC，如图1所示：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=90°，∠BAC=45°，∴AC==，∵A、P、O、E四点共圆，∴∠OAP=∠OEP=45°，∴点O在AC上，当P运动到点B时，O为AC的中点，OA=AC=，即点O经过的路径长为；（3）设△APE的外接圆的圆心为M，作MN⊥AB于N，如图2所示：则MN∥AE，∵ME=MP，∴AN=PN，∴MN=AE，设AP=x，则BP=4﹣x，由（1）得：△APE∽△BCP，∴，即，解得：AE==，∴x=2时，AE的最大值为1，此时MN的值最大=×1=，即△APE的圆心到AB边的距离的最大值为．【点睛】本题考查圆、二次函数的最值等，正确地添加辅助线，根据已知证明△APE∽△BCP是解题的关键.26．(1)证明见解析；（2）四边形BDCF是矩形，理由见解析.【解析】(1)证明：∵CF∥AB，∴∠DAE＝∠CFE．又∵DE＝CE，∠AED＝∠FEC，∴△ADE≌△FCE，∴AD＝CF．∵AD＝DB，∴DB＝CF．(2)四边形BDCF是矩形．证明：由(1)知DB＝CF，又DB∥CF，∴四边形BDCF为平行四边形．∵AC＝BC，AD＝DB，∴CD⊥AB．∴四边形BDCF是矩形．27．（1）45;（2）90°;（3）见解析.【解析】【分析】（1）根据等腰三角形三线合一可得结论；（2）连接DB，先证明△BAD≌△CAD，得BD＝CD＝DF，则∠DBA＝∠DFB＝∠DCA，根据四边形内角和与平角的定义可得∠BAC+∠CDF＝180°，所以∠CDF＝90°；（3）证明△EAF≌△DAF，得DF＝EF，由②可知，2可得结论．CF CD【详解】（1）解：∵AB＝AC，M是BC的中点，∴AM⊥BC，∠BAD＝∠CAD，∵∠BAC＝90°，∴∠CAD＝45°，故答案为：45（2）解：如图，连接DB．∵AB＝AC，∠BAC＝90°，M是BC的中点，∴∠BAD ＝∠CAD ＝45°．∴△BAD ≌△CAD ．∴∠DBA ＝∠DCA ，BD ＝CD ．∵CD ＝DF ，∴BD ＝DF ．∴∠DBA ＝∠DFB ＝∠DCA ．∵∠DFB ＋∠DFA ＝180°，∴∠DCA ＋∠DFA ＝180°．∴∠BAC ＋∠CDF ＝180°．∴∠CDF ＝90°．（3）()21CE CD =+． 证明：∵∠EAD ＝90°，∴∠EAF ＝∠DAF ＝45°．∵AD ＝AE ，∴△EAF ≌△DAF ．∴DF ＝EF ．由②可知，2CF CD =．∴()21CE EF CF DF CF CD CF CD =+=+=+=+．【点睛】此题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，解题关键在于掌握判定定理及性质.。
安徽省合肥市蜀山区2020届中考一模数学试题含答案
2020年九年级质量调研检测数学试卷温馨提示：1.你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟.2.本试卷包括“试卷”和“答题卷”两部分.“试卷”共6页，“答题卷”共6页.3.请务必在“答题卷”上答题，在“试卷”上答题是无效的.4.考试结束后，请将“答题卷”交回.一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A 、B 、C 、D 四个选项，其中只有一个是正确的）1.2020-的倒数是（ ）A .2020B .2020-C .12020-D .120202.下列运算正确的是（ ）A .23()a a a -⋅= B .21a a -= C .0(2)1-= D .2139-=-3.2019年，全国实行地区生产总值统一核算改革，某城区GDP 约为1004.2亿元，第一次进入千亿城区，将数据1004.2亿用科学记数法表示为（ ）A .111.004210⨯B .121.004210⨯C .71.004210⨯D .1110.04210⨯ 4.如图是由大小相同的5个小正方体组成的几何体，该几何体的俯视图是（ ）A .B .C .D .5.一位射击运动员在一次训练效果测试中射击了10次，成绩如图所示，对于这10次射击的成绩有如下结论，其中不正确的是（ ）A .众数是8B .中位数是8C .平均数是8D .方差是16.如图，在矩形ABCD 中放置了一个直角三角形EFG ，EFG ∠被AD 平分，若35CEF ∠=°，则EHF ∠的度数为（ ）A .55°B .125°C .130°D .135° 7.关于方程2(2)10x --=根的情况，下列判断正确的是（ ） A .有两个不相等的实数根 B .有两个相等的实数根 C .只有一个实数根 D .没有实数根8.“半日走遍江准大地，安徽风景尽在微园”，位于省会合肥的徽园景点某年三月共接待游客加万人，四月比三月旅游人数增加了15%，五月比四月游客人数增加了%a ，已知三月至五月微园的游客人数平均月增长率为20%，则可列方程为（ ）A .(115%)(1%)120%2a ++=+⨯B .(115%)(120%)2(1%)a ++=+C .(115%)(120%)1%2a ++=+⨯D .2(115%)(1%)(120%)a ++=+ 9.如图，O ⊙是ABC ∆的外接圆，O ⊙的半径=2r ，4tan 3A =，则弦BC 的长为（ ）A .2.4B .3.2C .3D .5 10.二次函数2y x px q =++，当01x ≤≤时，此函数最大值与最小值的差（ ） A .与p 、q 的值都有关 B .与p 无关，但与q 有关 C .与p 、q 的值都无关 D .与p 有关，但与q 无关二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）11.化简；242a a -=- . 12.某中学为了了解八年级女生的体能情况，随机抽取了部分女生进行了跳绳测试，按成绩分为优秀、良好、合格与不合格四个等级，绘制了如下的统计图，则不合格人数在扇形统计图中对应的圆心角为 度.13.如图所示，南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中出现的三角形状的数阵，又称为“杨辉三角形”.该三角形中的数据排列有着一定的规律，按此规律排列下去，第100行的左边第3个数是 .14.如图，已知Rt ABC ∆中，90C ∠=°，6AC =，8BC =，点E ，F 分别是AC ，BC 上的动点，且//EF AB ，点C 关于EF 的对称点D 恰好落在ABC ∆的内角平分线上，则CD 长为 .三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15.解不等式：2(1)40x -+>16.《九章算术》是中国传统数学最重要的著作之一，其中《均输》卷记载了一道有趣的数学问题：“今有凫（注释：野鸭）起南海，九日至北海；雁起北海，六日至南海.今凫雁俱起，问何日相逢？”译文：“野鸭从南海起飞，9天飞到北海；大雁从北海起飞，6天飞到南海.现野鸭与大雁分别从南海和北海同时起飞，问经过多少天相遇？请列方程解答上面问题.四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的1212⨯的网格中，已知点O ，A ，B 均为格点. （1）在给定的网格中，以点O 为位似中心将线段AB 放大为原来的2倍，得到线段''A B （点A ，点B 的对应点分别为点'A ，点'B ），画出线段''A B ；（2）以线段''A B 为一边，作一个格点四边形''A B CD ，使得格点四边形''A B CD 是轴对称图形. （作出一个格点四边形即可）18.为了考查学生的综合素质，某市决定：九年级毕业生统一参加中考实验操作考试，根据今年的实际情况，中考实验操作考试科目为：P （物理）、C （化学）、B （生物），每科试题各为2道，考生随机抽取其中1道进行考试.小明和小丽是某校九年级学生，需参加实验考试. （1）小明抽到化学实验的概率为 ；（2）若只从考试科目考虑，小明和小丽抽到不同科目的概率为多少？五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19.某校数学兴趣小组假期实地测量南淝河两岸互相平行的一段东西走向的河的宽度，在河的南岸边点A 处，测得河的北岸边点C 在其东北方向，然后向南走20米到达点B 处，测得点C 在点B 的北偏东30︒方向上. （1）求ACB ∠的度数；（2）求出这段河的宽度.（结果精确到1 1.41≈ 1.73≈）20.如图，已知反比例函数(0)ky k x=≠的图象与一次函数y x b =-+的图象在第一象限交于A ，B 两点，BC x ⊥轴于点C ，若OBC ∆的面积为2，且A 点的纵坐标为4，B 点的纵坐标为1.（1）求反比例函数、一次函数的表达式及直线AB 与x 轴交点E 的坐标；（2）已知点D (,0)t (0)t >，过点D 作垂直于x 轴的直线，在第一象限内与一次函数y x b =-+的图象交于点P ，与反比例函数ky x=上的图象交于点Q ，若点P 位于点Q 的上方，请结合函数图象直接写出此时t 的取值范围.六、（本大题满分12分）21.如图，四边形ABCD 内接于O ⊙，AC 为直径，点D 为ACB 的中点，过点D 的切线与BC 的延长线交于点E .（1）用尺规作图作出圆心O ；（保留作图痕迹，不写作法） （2）求证：DE BC ⊥；（3）若24OC CE ==，求图中阴影部分面积.七、（本大题满分12分）22.某水果连锁店销售某种热带水果，其进价为20元/千克.销售一段时间后发现：该水果的日销量y （千克）与售价x （元/千克）的函数关系如图所示： （1）求y 关于x 的函数解析式；（2）当售价为多少元/千克时，当日销售利润最大，最大利润为多少元？（3）由于某种原因，该水果进价提高了m 元/千克（0m >），物价局规定该水果的售价不得超过40元/千克，该连锁店在今后的销售中，日销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系.若日销售最大利润是1280元，请直接写出m 的值.八、（本大题满分14分）23.如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=°，AC BC =，CD 是AB 边上的中线，点E 为线段CD 上一点（不与点C 、点D 重合），连接BE ，作EF BE ⊥与AC 的延长线交于点F ，与BC 交于点G ，连接BF . （1）求证：CFG EBG ∆∆∽； （2）求EFB ∠的度数； （3）求DECF的值.2020年九年级质量调研检测数学试卷答案一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A 、B 、C 、D 四个选项，其中只有一个是正确的）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）11. 2a + ； 12. 18 ； 13. 4851 ； 14. 3或83（答对1个给2分，有错误答案不给分）三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15.解：2240x -+>22x >- 1x >-16.解：设经过x 天相遇依题意得：196x x+=， 解得：185x =答：经过185天相遇四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17.解：（1）如图所示，线段''A B 即为所求（2）如图所示，格点四边形''A B CD 即为所求，（答案不唯一，作出的格点四边形满足题目要求即可）18.解：（1）13； （1）画树状图如下：（通过举例、列表等方法说明均可）由树状图得，共有9种等可能的结果，其中满足题意的结果有6种， ∴P （不同科目）6293== 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19.解：（1）如图，延长BA 交CE 于点D ， 由题意得：45CAD ∠=︒，30B ∠=︒， ∴15ACB CAD B ∠=∠-∠=︒（2）设河的宽度为xm ，则AD CD xm ==， 在Rt BCD ∆中，30B ∠=︒，(20)BD x m =+∴tan CDB BD=，即20x x =+解得20270.73x ==≈（米） 答：这段河的宽度约为27米 20.解：（1）∵122OBC S OC BC ∆=⋅=，1BC = ∴4OC =，∴(4,1)B 把(4,1)B 代入ky x=中，得4k =， ∴4y x=将(4,1)B 代入y x b =-+中，得5b = ∴5y x =-+∵当0y =时，5x =， ∴(5,0)E （2）14t <<六、（本大题满分12分）21.（1）圆心O 如图所示：（2）连接DO 并延长AB 于点F ， ∵DE 是O ⊙的切线，∴90EDF ∠=︒， ∵AC 是O ⊙的直径，∴90B ∠=︒， ∵D 是优弧AB 的中点，∴DF AB ⊥， ∴90DFB ∠=︒，∴四边形DEBF 为矩形 ∴90DEB ∠=︒，∴DE BE ⊥（3）过点C 作CG DO ⊥于点G ，则四边形DECG 是矩形， ∴2DG CE ==∴422OG OD DG OC DG =-=-=-=， ∴CG 垂直平分OD ， ∴CD OC OD ==， ∴CDO ∆是等边三角形 ∴60COD ∠=︒∴260418436023CODCOD S S S ππ∆⨯=-=-⨯⨯=-阴影扇形七、本大题满分12分22.（1）由图象可知y 是x 的一次函数： 设y kx b =+，则2511030100k b k b +=⎧⎨+=⎩解得2160k b =-⎧⎨=⎩，∴2160y x =-+（2）设售价为x 元/千克时，日销售利润为w 元， ∴(20)(2160)w x x =-⋅-+，22220032002(50)1800x x x =-+-=--+∵20-<，抛物线开口向下，对称轴为直线50x =， ∴当50x =时，=1800w 最大值（元）答：售价为50元/千克时，使得当日获得的利润w 最大是1800元 （3）4m =八、本大题满分14分23.（1）证明：∵90ACB ∠=︒，EF BE ⊥， ∴90FCG BEG ∠=∠=︒ 又∵CGF EGB ∠=∠ ∴CFG EBG ∆∆∽（2）解：由（1）得CFG EBG ∆∆∽， ∴CG FG EG BG =，∴CG EGFG BG=， 又∵CGE FGB ∠=∠ ∴CGE FGB ∆∆∽ ∴1452EFB ECG ACB ∠=∠=∠=︒ （3）解：过点F 作FH CD ⊥交DC 的延长线于点H ， 由（2）知，BEF ∆是等腰直角三角形，∴EF BE =∵90FEH DEB ∠=∠=︒，90EBD DEB ∠+∠=︒， ∴FEH EBD ∠=∠在FEH ∆和EBD ∆中，90FEH EBD EHF BDE EF BE ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴()FEH EBD AAS ∆∆≌，∴FH ED =∵45FCH ACD ∠=∠=︒，90CHF ∠=︒， ∴45CFH FCH ∠=∠=︒，∴CH FH =在Rt CFH ∆中，CF =，∴CF =，∴DE CF =.。
2020年安徽省合肥五十中西校中考数学评测试卷(2)
2020年安徽省合肥五十中西校中考数学评测试卷（2）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）1. −64的立方根为（）A.4B.−4C.−8D.不存在【答案】B【考点】立方根的性质【解析】根据立方根定义得出即可．【解答】−64的立方根是−4，2. 如图是一个几何体的主视图和俯视图，则这个几何体是()A.三棱柱B.正方体C.三棱锥D.长方体【答案】A【考点】由三视图判断几何体【解析】根据三视图得出几何体为三棱柱即可．【解答】解：由题目可得几何体为三棱柱.故选A.3. 2020年3月11日晚，安徽省统计局、国家统计局安徽调查总队联合发布，安徽省全年生产总值(GDP)37114亿元，居全国第11位；按可比价格计算，比上年增长7.5%，居全国第7位，其中数字37114亿用科学记数法表示为（）A.3.7114×104B.0.37114×105C.3.7114×1012D.3.7114×1011【答案】C【考点】科学记数法–表示较大的数【解析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．【解答】37114亿＝3711400000000＝3.7114×1012．4. 下列计算正确的是（）A.√5+√2=√7B.(−x)2−x3＝−x5C.(−2x+y)(−2x−y)＝4x2−y2D.(x−2y)2＝x2−4y2【答案】C【考点】二次根式的加减混合运算合并同类项完全平方公式平方差公式【解析】直接利用二次根式的加减运算以及完全平方公式和平方差公式分别化简得出答案．【解答】A、√5+√2，无法计算，故此选项错误；B、(−x)2−x3，无法计算，故此选项错误；C、(−2x+y)(−2x−y)＝4x2−y2，正确；D、(x−2y)2＝x2−4ax+4y2，故此选项错误；5. 2018年第一季度，合肥高新区某企业营收入比2017年同期增长12%，2019年第一季度营收入比2018年同期增长10%，设2018年和2019年第一季度营收入的平均增长率为x，则可列方程（）A.2x＝12%+10%B.(1+x)2＝1+12%+10%C.1+2x＝(1+12%)(1+10%)D.(1+x)2＝(1+12%)(1+10%)【答案】D【考点】由实际问题抽象出一元二次方程【解析】根据增长率的意义列方程即可得．【解答】设2018年和2019年第一季度营收入的平均增长率为x，则可列方程(1+x)2＝(1+12%)(1+10%)，6. 如图，在△ABC中，AB＝AC，CD平分∠ACB交AB于点D，AE // DC交BC的延长线于点E，已知∠BAC＝32∘，求∠E的度数为（）A.48∘B.42∘C.37∘D.32∘【答案】C【考点】等腰三角形的性质平行线的性质【解析】首先根据等腰三角形的性质求得∠ACD的度数，然后求得其一半的度数，从而利用平行线的性质求得答案即可．【解答】∵AB＝AC，∠BAC＝32∘，∴∠B＝∠ACB＝74∘，∵CD平分∠ACB，∴∠BCD=12∠ACB＝37∘，∵AE // DC，∴∠E＝∠BCD＝37∘．7. 三个正方形方格在扇形中的位置如图所示，点O为扇形的圆心，格点A，B，C分别在扇形的两条半径和弧上，已知每个方格的边长为1，则扇形EOF的面积为（）A.5 4πB.98π C.π D.32π【答案】A【考点】扇形面积的计算【解析】连接OC，先求出OC长和∠EOB的度数，再根据扇形的面积公式求出即可．【解答】连接OC，由勾股定理得：OC=√12+32=√10，由正方形的性质得：∠EOB＝45∘，所以扇形EOF的面积为：45π×(√10)2360=54π，8. 我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的三角形，如图所示，已知∠A=90∘，BD=4，CF=6，则正方形ADOF的边长是( )A.√2B.2C.√3D.4 【答案】B【考点】解一元二次方程-因式分解法正方形的性质勾股定理全等三角形的性质【解析】设正方形ADOF 的边长为x ，在直角三角形ACB 中，利用勾股定理可建立关于x 的方程，解方程即可．【解答】解：设正方形ADOF 的边长为x ，由题意得：BE =BD =4，CE =CF =6，∴ BC =BE +CE =BD +CF =10，在Rt △ABC 中，AC 2+AB 2=BC 2，即(6+x)2+(x +4)2=102，整理得，x 2+10x −24=0，解得：x =2，或x =−12（舍去），∴ x =2，即正方形ADOF 的边长是2.故选B .9. 若将直线y ＝−4x +10向下平移m 个单位长度与双曲线y =4x 恰好只有一个公共点，则m 的值为（ ）A.2B.18C.−2或18D.2或18【答案】D【考点】反比例函数与一次函数的综合【解析】由于将直线y ＝−4x +10向下平移m 个单位长度得直线解析式为y ＝−4x +10−m ，则直线y ＝−4x +10−m 与反比例函数有且只有一个公共点，即方程组，只有一组解，然后消去y 得到关于x 的二次函数，再根据判别式的意义得到关于m 的方程，最后解方程求出m 的值．【解答】将直线y ＝−4x +10向下平移m 个单位长度得直线解析式为y ＝−4x +10−m ，根据题意方程组{y =4x y =−4x +10−m只有一组解， 消去y 得4x =−4x +10−m ，整理得4x 2−(m −10)x +4＝0，△＝(m−10)2−4×4×4＝0，解得m＝2或m＝18，10. 如图，等边△ABC的边长为4，点D是边AC上的一动点，连接BD，以BD为斜边向上作等腰Rt△BDE，连接AE，则AE的最小值为（）A.1B.√2C.2D.2√2−1【答案】B【考点】旋转的性质等边三角形的性质等腰直角三角形【解析】过点B作BH⊥AC于H点，作射线HE，可证点B，点D，点H，点E四点共圆，可得∠BHE＝∠BDE＝45∘，则点E在∠AHB的角平分线上运动，即当AE⊥EH时，AE的长度有最小值，由直角三角形的性质可求解．【解答】如图，过点B作BH⊥AC于H点，作射线HE，∵△ABC是等边三角形，BH⊥AC，∴AH＝2＝CH，∵∠BED＝∠BHD＝90∘，∴点B，点D，点H，点E四点共圆，∴∠BHE＝∠BDE＝45∘，∴点E在∠AHB的角平分线上运动，∴当AE⊥EH时，AE的长度有最小值，∵∠AHE＝45∘，∴AH=√2AE＝2，∴AE的最小值为√2，二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，满分16分）>2−x的解集为________．不等式x−22【答案】x>2【考点】解一元一次不等式根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、移项、合并同类项、系数化为1可得．【解答】x−2>4−2x，x+2x>4+2，3x>6，x>2，如图，点A在双曲线y=6x 上，点B在双曲线y=kx(k≠0)上，AB // x轴，过点A作AD⊥x轴于D，连接OB，与AD相交于点C，若AC＝2CD，则k的值为________．【答案】18【考点】反比例函数图象上点的坐标特征【解析】过点B作BE⊥x轴于E，延长线段BA，交y轴于F，得出四边形AFOD是矩形，四边形OEBF是矩形，得出S矩形AFOD＝6，S矩形OEBF＝k，根据平行线分线段成比例定理证得AB＝2OD，即OE＝3OD，即可求得矩形OEBF的面积，根据反比例函数系数k的几何意义即可求得k的值．【解答】过点B作BE⊥x轴于E，延长线段BA，交y轴于F，∵AB // x轴，∴AF⊥y轴，∴四边形AFOD是矩形，四边形OEBF是矩形，∴AF＝OD，BF＝OE，∴AB＝DE，∵点A在双曲线y=6x上，∴S矩形AFOD＝6，同理S矩形OEBF＝k，∵AB // OD，∴ODAB =CDAC=12，∴AB＝2OD，∴DE＝2OD，∴S矩形OEBF＝3S矩形AFOD＝18，如图，若点D 为等边△ABC 的边BC 的中点，点E ，F 分别在AB ，AC 边上，且∠EDF ＝90∘，当BE ＝2，CF ＝1时，EF 的长度为________．【答案】 √7【考点】全等三角形的性质与判定等边三角形的性质【解析】作辅助线EM ⊥BC 于点M ，作FN ⊥BC 于点N ，然后根据特殊角的三角函数值可以得到EM 、BM 、FN 、CN 的值，再根据三角形相似可以求得DM 和DN 的值，由∠EDF ＝90∘，根据勾股定理可以得到EF 的长度．【解答】作EM ⊥BC 于点M ，作FN ⊥BC 于点N ，则∠EMB ＝∠EMD ＝90∘，∠FNC ＝∠FND ＝90∘，∵ △ABC 是等边三角形，BE ＝2，CF ＝1，∴ ∠B ＝∠C ＝60∘，∴ BM ＝1，EM =√3，CN =12，FN =√32， ∵ ∠EDF ＝90∘，∠EDM +∠DEM ＝90∘，∴ ∠EDM +∠FDN ＝90∘，∴ ∠DEM ＝∠FDN ，∴ △EDM ∽△DFN ，EM DN =DM FN ，∵ 点D 为BC 的中点，设BD ＝a ，则DM ＝a −1，DN ＝a −12，∴ √3a−12=√32，解得，a 1=−12（舍去），a 2＝2，∴ DM ＝1，DN =32，∵ ∠EMD ＝90∘，∠FND ＝90∘，∴ DE =√EM 2+DM 2=√(√3)2+12=2，DF =√DN 2+FN 2=(32)(√32)=√3，又∵ ∠EDF ＝90∘，∴ EF =√DE 2+DF 2=√22+(√3)2=√7，已知a−b＝2，ab+2b−c2+2c＝0，当b≥0，−2≤c<1时，整数a的值是________．【答案】2或3【考点】解一元二次方程-配方法【解析】由a−b＝2，得出a＝b+2，进一步代入ab+2b−c2+2c＝0，进一步利用完全平方公式得到(b+2)2−(c−1)2−3＝0，再根据已知条件得到b的值，进一步求得整数a 的值即可．【解答】∵a−b＝2，∴a＝b+2，∴ab+2b−c2+2c＝b(b+2)+2b−c2+2c＝b2+4b−(c2−2c)＝(b+2)2−(c−1)2−3＝0，∵b≥0，−2≤c<1，∴4≤(b+2)2≤12，∵a是整数，∴b＝0或1，∴a＝2或3．三、解答题（本大题共7小题，共54分）)−1−20200−|1−√3|计算：2sin60∘+(−12【答案】−2−1−(√3−1)，原式＝2×√32=√3−2−1−√3+1，＝−2．【考点】零指数幂、负整数指数幂零指数幂特殊角的三角函数值实数的运算【解析】本题涉及零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值、二次根式化简五个考点．针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【解答】−2−1−(√3−1)，原式＝2×√32=√3−2−1−√3+1，＝−2．解方程：2x2−4=xx−2−1．【答案】去分母得：2＝x2+2x−x2+4，解得：x＝−1，经检验x＝−1是分式方程的解．【考点】解分式方程【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】去分母得：2＝x2+2x−x2+4，解得：x＝−1，经检验x＝−1是分式方程的解．如图，已知矩形ABCD中，点E，F分别是AD，AB上的点，EF⊥EC，且AE＝CD．（1）求证：AF＝DE；（2）若DE=25AD，求tan∠AFE．【答案】证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠D＝90∘，∵EF⊥CE，∴∠FEC＝90∘，∴∠AFE+∠AEF＝∠AEF+∠DEC＝90∘，∴∠AFE＝∠DEC，在△AEF与△DCE中，{∠A=∠D∠AFE=∠DEC AE=CD，∴△AEF≅△DCE(AAS)，∴AF＝DE；∵DE=25AD，∴AE=32DE，∵AF＝DE，∴tan∠AFE=32DEDE =32．【考点】全等三角形的性质与判定解直角三角形矩形的性质【解析】（1）根据矩形的性质得到∠A＝∠D＝90∘，由垂直的定义得到∠FEC＝90∘，根据余角的性质得到∠AFE＝∠DEC，根据全等三角形的判定和性质即可得到结论；（2）由已知条件得到AE=32DE，由AF＝DE，根据三角函数的定义即可得到结论．【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠D＝90∘，∵EF⊥CE，∴∠FEC＝90∘，∴∠AFE+∠AEF＝∠AEF+∠DEC＝90∘，∴∠AFE＝∠DEC，在△AEF与△DCE中，{∠A=∠D∠AFE=∠DEC AE=CD，∴△AEF≅△DCE(AAS)，∴AF＝DE；∵DE=25AD，∴AE=32DE，∵AF＝DE，∴tan∠AFE=32DEDE =32．如图，某数学兴趣小组为测量一颗古树BH和教学楼CG的高，先在A处用高1.5米的测角仪AF测得古树顶端H的仰角∠HFE为45∘，此时教学楼顶端G恰好在视线FH上，再向前走10米到达B处，又测得教学楼顶端G的仰角∠GED为60∘，点A，B，C三点在同一水平线上．(1)求古树BH的高；(2)求教学楼CG的高．（参考数据：√2=1.4，√3=1.7）【答案】解：(1)在Rt△EFH中，∠HEF=90∘，∠HFE=45∘，∴HE=EF=10，∴BH=BE+HE=1.5+10=11.5，∴古树的高为11.5米；(2)在Rt△EDG中，∠GED=60∘，∴DG=DEtan60∘=√3DE，设DE=x米，则DG=√3x米，在Rt△GFD中，∠GDF=90∘，∠GFD=45∘，∴GD=DF=EF+DE，∴√3x=10+x，解得：x=5√3+5，∴CG=DG+DC=√3x+1.5=√3(5√3+5)+1.5=16.5+5√3≈25，答：教学楼CG的高约为25米．【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题【解析】（1）由∠HFE＝45∘知HE＝EF＝10，据此得BH＝BE+HE＝1.5+10＝11.5；（2）设DE＝x米，则DG=√3x米，由∠GFD＝45∘知GD＝DF＝EF+DE，据此得√3x ＝10+x，解之求得x的值，代入CG＝DG+DC=√3x+1.5计算可得．【解答】解：(1)在Rt△EFH中，∠HEF=90∘，∠HFE=45∘，∴HE=EF=10，∴BH=BE+HE=1.5+10=11.5，∴古树的高为11.5米；(2)在Rt△EDG中，∠GED=60∘，∴DG=DEtan60∘=√3DE，设DE=x米，则DG=√3x米，在Rt△GFD中，∠GDF=90∘，∠GFD=45∘，∴GD=DF=EF+DE，∴√3x=10+x，解得：x=5√3+5，∴CG=DG+DC=√3x+1.5=√3(5√3+5)+1.5=16.5+5√3≈25，答：教学楼CG的高约为25米．小昕的口袋中有5把相似的钥匙，其中2把钥匙（记为A1，A2）能打开教室前门锁，而剩余的3把钥匙（记为B1，B2，B3）不能打开教室前门锁．（1）小昕从口袋中随便摸出一把钥匙就能打开教室前门锁的概率是________；（2）请用树状图或列表等方法，求出小昕从口袋中第一次随机摸出的一把钥匙不能打开教室前门锁（摸出的钥匙不再放回），而第二次随机摸出的一把钥匙正好能打开教室前门锁的概率．【答案】25画树状图得：∵共有20种等可能的结果，第一次随机摸出的一把钥匙不能打开教室前门锁（摸出的钥匙不再放回），而第二次随机摸出的一把钥匙正好能打开教室前门锁的有6种可能，∴第一次随机摸出的一把钥匙不能打开教室前门锁（摸出的钥匙不再放回），而第二次随机摸出的一把钥匙正好能打开教室前门锁的概率=620=310．【考点】列表法与树状图法概率公式【解析】（1）直接利用概率公式求解即可求得答案；（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与第一次随机摸出的一把钥匙不能打开教室前门锁（摸出的钥匙不再放回），而第二次随机摸出的一把钥匙正好能打开教室前门锁的情况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】∵一个口袋中装有5把不同的钥匙，分别为A1，A2，B1，B2，B3，∴P（取出一个A1或A2）=25；画树状图得：∵共有20种等可能的结果，第一次随机摸出的一把钥匙不能打开教室前门锁（摸出的钥匙不再放回），而第二次随机摸出的一把钥匙正好能打开教室前门锁的有6种可能，∴第一次随机摸出的一把钥匙不能打开教室前门锁（摸出的钥匙不再放回），而第二次随机摸出的一把钥匙正好能打开教室前门锁的概率=620=310．如图1，抛物线y＝x2+(m+2)x+4的顶点C在x轴正半轴上，直线y＝x+2与抛物线交于A，B两点（点A在点B的左侧）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点P 是抛物线上一点，若S △PAB ＝2S △ABC ，求点P 的坐标；（3）如图2，若点M 是位于直线AB 下方抛物线上一动点，以MA 、MB 为邻边作平行四边形MANB ，当平行四边形MANB 的面积最大时，请直接写出平行四边形MANB 的面积S 及点M 的坐标．【答案】∵ 抛物线y ＝x 2+(m +2)x +4的顶点C 在x 轴正半轴上，∴ △＝(m +2)2−4＝0，且−m+22>0解得m ＝−6．∴ 抛物线的函数表达式是y ＝x 2−4x +4；如图1，过点C 作CE // AB 交y 轴于点E ，设直线AB 交y 轴于点H ．由直线AB:y ＝x +2，得点H(0, 2)．设直线CE:y ＝x +b ．∵ y ＝x 2−4x +4＝(x −2)2，∴ C(2, 0)．∴ 2+b ＝0，则b ＝−2．∴ HE ＝4．由S △PAB ＝2S △ABC ，可在y 轴上且点H 上方取一点F ，使FH ＝2HE ，则F(0, 10)．过点F 作FP // AB 交抛物线于点P 1、P 2．此时满足S △PAB ＝2S △ABC ，设直线P 1、P 2的函数解析式为：y ＝x +k ．∵ F(0, 10)在直线P 1、P 2上，∴ k ＝10．∴ 直线P 1、P 2的函数解析式为：y ＝x +10．联立{y =x +10y =x 2−4x +4． 解得{x 1=−1y 1=9 ，{x 2=6y 2=16 ， 综上，满足条件的点P 的坐标是P 1(−1, 9)，P 2(6, 16)；∵ 直线y ＝x +2与抛物线交于A ，B 两点，∴ x +2＝x 2−4x +4，∴ x 2−5x +2＝0，∴ x =5±√172， ∴ |x B −x A |=√17设点M(n, n 2−4n +4)，则E(n, n +2)∴ EM ＝n +2−(n 2−4n +4)＝−(n −52)2+174，∴ S △MAB =12×√17×[−(n −52)2+174]∵ 平行四边形MANB ＝4×S △MAB ，∴ 当S △MAB 的值最大时，平行四边形MANB 的面积最大，∴ 当n =52时，平行四边形MANB 的最大面积=17√172， 此时，点M(52, 14)．【考点】二次函数综合题【解析】（1）根据题意知，抛物线与x 轴只有一个交点，且对称轴在y 轴的右侧，由此求得m 的值即可；（2）点P 在与直线AB 平行的直线l 上，且直线AB 与直线l 间的距离是2倍的点C 到直线AB 的距离，据此解答；（3）过点M 在作ME ⊥x 轴，交AB 于点E ，先求出S △MAB 的值，由平行四边形MANB ＝4×S △MAB ，可得当S △MAB 的值最大时，平行四边形MANB 的面积最大，即可求解．【解答】∵ 抛物线y ＝x 2+(m +2)x +4的顶点C 在x 轴正半轴上，∴ △＝(m +2)2−4＝0，且−m+22>0解得m ＝−6．∴ 抛物线的函数表达式是y ＝x 2−4x +4；如图1，过点C 作CE // AB 交y 轴于点E ，设直线AB 交y 轴于点H ．由直线AB:y ＝x +2，得点H(0, 2)．设直线CE:y ＝x +b ．∵ y ＝x 2−4x +4＝(x −2)2，∴ C(2, 0)．∴ 2+b ＝0，则b ＝−2．∴ HE ＝4．由S △PAB ＝2S △ABC ，可在y 轴上且点H 上方取一点F ，使FH ＝2HE ，则F(0, 10)．过点F 作FP // AB 交抛物线于点P 1、P 2．此时满足S △PAB ＝2S △ABC ，设直线P 1、P 2的函数解析式为：y ＝x +k ．∵ F(0, 10)在直线P 1、P 2上，∴ k ＝10．∴ 直线P 1、P 2的函数解析式为：y ＝x +10．联立{y =x +10y =x 2−4x +4． 解得{x 1=−1y 1=9 ，{x 2=6y 2=16， 综上，满足条件的点P 的坐标是P 1(−1, 9)，P 2(6, 16)；如图2，过点M 在作ME ⊥x 轴，交AB 于点E ，∵ 直线y ＝x +2与抛物线交于A ，B 两点，∴ x +2＝x 2−4x +4，∴ x 2−5x +2＝0，∴ x =5±√172， ∴ |x −x |=√17∴ EM ＝n +2−(n 2−4n +4)＝−(n −52)2+174，∴ S △MAB =12×√17×[−(n −52)2+174]∵ 平行四边形MANB ＝4×S △MAB ，∴ 当S △MAB 的值最大时，平行四边形MANB 的面积最大，∴ 当n =52时，平行四边形MANB 的最大面积=17√172， 此时，点M(52, 14)．如图1，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D ，E 分别是边BC ，AC 上的点，且∠ADE ＝∠B ．（1）求证：AB ⋅CE ＝BD ⋅CD ；（2）若AB ＝5，BC ＝6，求AE 的最小值；（3）如图2，若△ABC 为等边三角形，AD ⊥DE ，BE ⊥DE ，点C 在线段DE 上，AD ＝3，BE ＝4，求DE 的长．【答案】证明：∵ AB ＝AC ，∴ ∠B ＝∠C ，∵ ∠ADC 为△ABD 的外角，∴ ∠ADE +∠EDC ＝∠B +∠DAB ，∵ ∠ADE ＝∠B ，∴ ∠BAD ＝∠CDE ，又∠B ＝∠C ，∴ △ABD ∽△DCE ，∴ AB CD =BD CE ，∴ AB ⋅CE ＝BD ⋅CD ；设BD ＝x ，AE ＝y ，由（1）得，5×(5−y)＝x ×(6−x)，整理得，y =15x 2−65x +5=15(x −3)2+165，∴ AE 的最小值为165；作AF ⊥BE 于F ，则四边形ADEF 为矩形，则AF＝DE＝x+y，由勾股定理得，AD2+CD2＝AC2，CE2+BE2＝BC2，AF2+BF2＝AB2，∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC＝BC，∴32+x2＝AC2，y2+42＝BC2，(x+y)2+12＝AC2，∴x2−y2＝7，y2+2xy＝8，解得，x=5√33，y=2√33，∴DE＝x+y=7√33．【考点】相似形综合题【解析】（1）证明△ABD∽△DCE，根据相似三角形的性质列出比例式，证明结论；（2）根据（1）的结论列出二次函数解析式，根据二次根式的性质解答；（3）作AF⊥BE于F，根据等边三角形的性质得到AB＝AC＝BC，根据勾股定理用x、y表示出AB、AC、BC，解方程组得到答案．【解答】证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠ADC为△ABD的外角，∴∠ADE+∠EDC＝∠B+∠DAB，∵∠ADE＝∠B，∴∠BAD＝∠CDE，又∠B＝∠C，∴△ABD∽△DCE，∴ABCD =BDCE，∴AB⋅CE＝BD⋅CD；设BD＝x，AE＝y，由（1）得，5×(5−y)＝x×(6−x)，整理得，y=15x2−65x+5=15(x−3)2+165，∴AE的最小值为165；作AF⊥BE于F，则四边形ADEF为矩形，则AF＝DE＝x+y，由勾股定理得，AD2+CD2＝AC2，CE2+BE2＝BC2，AF2+BF2＝AB2，∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC＝BC，∴32+x2＝AC2，y2+42＝BC2，(x+y)2+12＝AC2，∴x2−y2＝7，y2+2xy＝8，解得，x=5√33，y=2√33，∴DE＝x+y=7√33．。
2023-2024学年安徽省合肥市第五十中学东校九年级(上)第一次质检数学试卷(含解析)
2023-2024学年安徽省合肥五十中东校九年级（上）第一次质检数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1．（4分）二次函数y＝﹣（x+2）2+3图象的顶点所在的象限是（ ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（4分）将抛物线y＝x2+1向下平移2个单位，所得抛物线的表达式为（ ）A．y＝x2+3B．y＝x2﹣1C．y＝（x+2）2+1D．y＝（x﹣2）2+13．（4分）某种蓄电池的电压U（单位：V）为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系．当R＝6时，I＝8，则当R＝12时，I的值是（ ）A．4B．9C．32D．04．（4分）根据下列表格中二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为常数）的自变量x与函数值y的对应值，判断方程ax2+bx+c＝0的一个解x的范围是（ ）x﹣1.26﹣1.25﹣1.24﹣1.23y＝ax2+bx+c﹣0.04﹣0.020.010.04A．﹣1.27＜x＜﹣1.26B．﹣1.26＜x＜﹣1.25C．﹣1.25＜x＜﹣1.24D．﹣1.24＜x＜﹣1.235．（4分）若点A（x1，﹣1），B（x2，2），C（x3，3）都在反比例函数y＝﹣的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是（ ）A．x3＜x2＜x1B．x2＜x1＜x3C．x1＜x3＜x2D．x2＜x3＜x1 6．（4分）下列函数中，y的值随x值的增大而减小的是（ ）A．y＝x2﹣2B．y＝﹣x2+2C．y＝2x﹣2D．y＝﹣2x+2 7．（4分）小勇、小冠、小明、小天四人共同探究函数y＝x2﹣2x+3的值的情况，各自通报探究的结论，其中错误的是（ ）A．小勇认为只有当x＝1时，函数值为2B．小冠认为找不到实数x，使函数值为0C．小明认为抛物线开口向上D．小天认为抛物线与x轴有两个交点8．（4分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝a （x ﹣2）2+k 与x 轴交于（m ，0），（n ，0）两点，其中m ＜n ．将此抛物线向下平移，与x 轴交于（p ，0），（q ，0）两点，其中p ＜q ，下面结论正确的是（ ）A ．当a ＞0时，m +n ＝p +q ，n ﹣m ＞q ﹣p B ．当a ＞0时，m +n ＞p +q ，n ﹣m ＝q ﹣p C ．当a ＜0时，m +n ＝p +q ，n ﹣m ＞q ﹣p D ．当a ＜0时，m +n ＞p +q ，n ﹣m ＝q ﹣p9．（4分）如图，正方形对称中心在原点O ，四个顶点分别位于两个反比例函数y ＝和y ＝的图象的四个分支上，则实数k 的值为（ ）A ．﹣4B ．C．D ．410．（4分）已知二次函数y ＝ax 2+（b +1）x +c 的图象如图所示，则二次函数y ＝ax 2+bx +c 与正比例函数y ＝﹣x 的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）414111．（5分）抛物线y＝x2﹣4x+3与y轴的交点坐标是 ．12．（5分）一名学生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是y＝﹣（x﹣10）（x+2），则该学生推铅球的水平距离为 m．13．（5分）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，矩形OABC（OC＜OA）交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点D，E．点D的坐标为（1，k）．连接OD，OE，DE．若OD＝DE，∠ODE＝90°，则k的值为 ．14．（5分）定义：平面直角坐标系xOy中，点P（a，b），点Q（c，d），若c＝ka，d＝﹣kb，其中k为常数，且k≠0，则称点Q是点P的“k级变换点”．例如，点（﹣2，4）是点（1，2）的“﹣2级变换点”．（1）若函数y＝﹣的图象上存在点（1，2）的“k级变换点”，则k的值为 ；（2）若关于x的二次函数y＝nx2﹣4nx﹣5n（x≥0）的图象上恰有两个点，这两个点的“1级变换点”都在直线y＝﹣x+5上，则n的取值范围是 ．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15．（8分）已知二次函数y＝a（x+2）（x﹣2）的图象经过点（1，﹣3），求这个二次函数的表达式．16．（8分）已知抛物线y＝x2﹣（m﹣3）x﹣m．求证：无论m为何值时，抛物线与x轴总有两个交点．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．（8分）如图在平面直角坐标系中，直线y＝x+1分别交x轴、y轴于点A，B，形状相同的抛物线∁n：y＝﹣x2+bx+c（n＝1，2，3，4，…）的顶点在直线AB上，其对称轴与x轴交点的横坐标依次是2，3，5，8，13，…，根据上述规律解决以下问题：（1）抛物线C6的顶点坐标是 ；（2）求抛物线C2：y＝﹣x2+bx+c中b，c的值．18．（8分）已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示：x…﹣3﹣2﹣101…y…0﹣3﹣4﹣30…（1）求这个二次函数的解析式；（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；（3）当﹣2＜x＜2时，y的取值范围为 ．五、（本大题共5小题，每小题10分，满分58分）19．（10分）跨学科整合学习中为研究某种化学试剂的挥发情况，某研究小组在两种不同的场景下做对比实验，收集了该试剂挥发过程中剩余质量y（克）随时间x（分钟）变化的数据（0≤x≤20），并分别绘制在平面直角坐标系中，如图所示．别模拟两种场景下y随x变化的函数关系，并求出相应的函数表达式；（2）查阅文献可知，该化学试剂发挥作用的最低质量为3克，在上述实验中，该化学试剂在哪种场景下发挥作用的时间更长？20．（10分）小明在“生活中的数学”探究活动中，经过市场调查，研究了某种商品的售价、销量、利润之间的变化关系．小明整理出该商品的相关数据如下表所示．时间x（天）1≤x＜3030≤x≤50售价（元/件）x+4070每天销量（件）100﹣2x已知该商品的进价为每件10元，设销售该商品的每天利润为y元．（1）求y与x的函数关系式；（2）销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？21．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+b与y轴交于点A（0，2），与x 轴交于点B（﹣4，0），与反比例函数y＝在第三象限内的图象交于点C（﹣6，a）．（1）求反比例函数的表达式；（2）当kx+b＞时，求x的取值范围；（3）当点P在y轴上，△ABP的面积为6时，直接写出点P的坐标．22．（12分）鹰眼技术助力杭州亚运，提升球迷观赛体验．如图分别为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面（如图1）和截面示意图（如图2），攻球员位于点O，守门员位于点A，OA的延长线与球门线交于点B，且点A，B均在足球轨迹正下方，足球的飞行轨迹可看成抛物线．已知OB＝28m，AB＝8m，足球飞行的水平速度为15m/s，水平距离s （水平距离＝水平速度×时间）与离地高度h的鹰眼数据如表：s/m…912151821…h/m… 4.2 4.85 4.8 4.2…（1）根据表中数据预测足球落地时，s＝ m；（2）求h关于s的函数解析式；（3）守门员在攻球员射门瞬间就作出防守反应，当守门员位于足球正下方时，足球离地高度不大于守门员的最大防守高度视为防守成功．一次防守中守门员面对足球后退，已知后退过程中守门员速度为2.5m/s，最大防守高度为2.6m．①求守门员后退到足球正下方所需时间；②这次守门员能否防守成功？试通过计算说明．23．（14分）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a，c为常数，a≠0）过点Q（2，2），顶点为点P．（1）当a＝﹣1时，求此抛物线顶点P的坐标；（2）当a＜0时，若△OPQ的面积为4，求此抛物线的解析式；（3）将抛物线y＝ax2﹣2ax+c向左平移2个单位，向下平移（a+1）个单位（a＞0），得到新抛物线的顶点为A，与y轴交点为B，点M在直线x＝1上，点N在直线y＝﹣5上，当四边形ABMN的周长最小时，恰好有MN∥AB，求a的值．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1．（4分）二次函数y＝﹣（x+2）2+3图象的顶点所在的象限是（ ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵y＝﹣（x+2）2+3，∴顶点坐标为（﹣2，3），∴顶点在第二象限．故选：B．2．（4分）将抛物线y＝x2+1向下平移2个单位，所得抛物线的表达式为（ ）A．y＝x2+3B．y＝x2﹣1C．y＝（x+2）2+1D．y＝（x﹣2）2+1【解答】解：抛物线y＝x2的顶点坐标为（0，0），点（0，1）向下平移2个单位得到对应点的坐标为（0，﹣1），所以平移后的抛物线的解析式为y＝x2﹣1．故选：B．3．（4分）某种蓄电池的电压U（单位：V）为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系．当R＝6时，I＝8，则当R＝12时，I的值是（ ）A．4B．9C．32D．0【解答】解：由题意知，I＝，∴U＝IR＝6×8＝48（V），∴当R＝12时，I＝＝4（A），故选：A．4．（4分）根据下列表格中二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为常数）的自变量x与函数值y的对应值，判断方程ax2+bx+c＝0的一个解x的范围是（ ）x﹣1.26﹣1.25﹣1.24﹣1.23y＝ax2+bx+c﹣0.04﹣0.020.010.04A．﹣1.27＜x＜﹣1.26B．﹣1.26＜x＜﹣1.25C．﹣1.25＜x＜﹣1.24D．﹣1.24＜x＜﹣1.23【解答】解：由表格可得，当x＝﹣1.25时，y＝﹣0.02＜0；当x＝﹣1.24时，y＝0.01＞0；∴方程ax2+bx+c＝0的一个解x的范围是﹣1.25＜x＜﹣1.24，故选：C．5．（4分）若点A（x1，﹣1），B（x2，2），C（x3，3）都在反比例函数y＝﹣的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是（ ）A．x3＜x2＜x1B．x2＜x1＜x3C．x1＜x3＜x2D．x2＜x3＜x1【解答】解：∵k＝﹣3＜0，∴反比例函数的图象在二、四象限，且在每个象限内，y随x的增大而增大，∵点A（x1，﹣1），B（x2，2），C（x3，3）都在反比例函数y＝﹣的图象上，∴点A（x1，﹣1）在第四象限，B（x2，2），C（x3，3）在第二象限，∴x1＞0，x2＜x3＜0，∴x2＜x3＜x1，故选：D．6．（4分）下列函数中，y的值随x值的增大而减小的是（ ）A．y＝x2﹣2B．y＝﹣x2+2C．y＝2x﹣2D．y＝﹣2x+2【解答】解：选项A中，函数y＝x2﹣2，x＜0时，y随x的增大而减小，x＞0时，y随x 的增大而增大，故A不符合题意；选项B中，函数y＝﹣x2+2，x＞0时，y随x的增大而减小，x＜0时，y随x的增大而增大，故B不符合题意；选项C中，函数y＝2x﹣2，y随x的增大而增大，故C不符合题意；选项D中，函数y＝﹣2x+2，y随x的增大而减小．故D符合题意；故选：D．7．（4分）小勇、小冠、小明、小天四人共同探究函数y＝x2﹣2x+3的值的情况，各自通报探究的结论，其中错误的是（ ）A．小勇认为只有当x＝1时，函数值为2B．小冠认为找不到实数x，使函数值为0C．小明认为抛物线开口向上D．小天认为抛物线与x轴有两个交点【解答】解：由2＝x2﹣2x+3，解得x＝1，得只有当x＝1时，函数值为2；由0＝x2﹣2x+3，解得x无解，得找不到实数x，使函数值为0，抛物线与x轴无交点；由a＝1＞0，得抛物线开口向上；故选：D．8．（4分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝a（x﹣2）2+k与x轴交于（m，0），（n，0）两点，其中m＜n．将此抛物线向下平移，与x轴交于（p，0），（q，0）两点，其中p ＜q，下面结论正确的是（ ）A．当a＞0时，m+n＝p+q，n﹣m＞q﹣pB．当a＞0时，m+n＞p+q，n﹣m＝q﹣pC．当a＜0时，m+n＝p+q，n﹣m＞q﹣pD．当a＜0时，m+n＞p+q，n﹣m＝q﹣p【解答】解：当a＞0时，如图所示：∵抛物线的对称轴为直线x＝2，∴m+n＝p+q＝4，且n﹣m＜p﹣q；当a＜0时，如图所示：∵抛物线的对称轴为直线x ＝2，∴m +n ＝p +q ＝4，且n ﹣m ＞p ﹣q ．故选：C ．9．（4分）如图，正方形对称中心在原点O ，四个顶点分别位于两个反比例函数y ＝和y ＝的图象的四个分支上，则实数k 的值为（ ）A ．﹣4B ．C．D ．4【解答】解：连接正方形的对角线，过点A ，B 分别作x 轴的垂线，垂足分别为C 、D ，∵四边形是正方形，点B 在反比例函数y ＝上，∴AO ＝BO ，∠AOB ＝∠BDO ＝∠ACO ＝90°，∴∠CAO ＝90°﹣∠AOC ＝∠BOD ，∴△AOC ≌△BOD （AAS ），∴S △AOC ＝S △BOD ，∴＝，∵点A 在第二象限，∴k ＝﹣4，故选：A ．414110．（4分）已知二次函数y＝ax2+（b+1）x+c的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+bx+c与正比例函数y＝﹣x的图象大致为（ ）A．B．C．D．【解答】解：由二次函数y＝ax2+（b+1）x+c的图象可知，a＞0，c＜0，二次函数y＝ax2+（b+1）x+c与x轴的交点坐标为（﹣1，0）和（3，0），∴二次函数y＝ax2+bx+c的开口向上，与y轴交于负半轴，且二次函数y＝ax2+bx+c与正比例函数y＝﹣x的交点的横坐标为﹣1，3，故B正确．故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11．（5分）抛物线y＝x2﹣4x+3与y轴的交点坐标是 （0，3） ．【解答】解：令x＝0，得y＝3，∴抛物线y＝x2﹣4x+3与y轴的交点坐标是（0，3），故答案为：（0，3）．12．（5分）一名学生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是y＝﹣（x﹣10）（x+2），则该学生推铅球的水平距离为 10 m．【解答】解：当y＝0时，﹣（x﹣10）（x+2）＝0，解得：x1＝﹣2（舍），x2＝10，∴他将铅球推出的距离是10m．故答案为：10．13．（5分）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，矩形OABC（OC＜OA）交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点D，E．点D的坐标为（1，k）．连接OD，OE，DE．若OD＝DE，∠ODE＝90°，则k的值为 ．【解答】解：∵点D的坐标为（1，k），∴CD＝1，OC＝k，∵∠ODE＝90°，∴∠ODC+∠BDE＝90°，∵矩形OABC中，∠OCD＝∠B＝90°，∴∠ODC+∠COD＝90°，∴∠BDE＝∠COD，在△COD和△BDE中，，∴△COD≌△BDE（AAS），∴BD＝OC＝k，BE＝CD＝1，∴E（k+1，k﹣1），∵反比例函数y＝（x＞0）的图象过点E，∴k＝（k+1）（k﹣1），解得k＝或k＝，∵在第一象限，∴k＝，故答案为：．14．（5分）定义：平面直角坐标系xOy中，点P（a，b），点Q（c，d），若c＝ka，d＝﹣kb，其中k为常数，且k≠0，则称点Q是点P的“k级变换点”．例如，点（﹣2，4）是点（1，2）的“﹣2级变换点”．（1）若函数y＝﹣的图象上存在点（1，2）的“k级变换点”，则k的值为 或﹣ ；（2）若关于x的二次函数y＝nx2﹣4nx﹣5n（x≥0）的图象上恰有两个点，这两个点的“1级变换点”都在直线y＝﹣x+5上，则n的取值范围是 0＜n≤1且n≠ ．【解答】解：（1）由题意得，（1，2）的“k级变换点”为：（k，﹣2k），将（k，﹣2k）代入反比例函数表达式得：﹣4＝k（﹣2k），解得：k＝±；故答案为：或﹣；（2）设在二次函数上的点为点A、B，设点A（s，t），则其“1级变换点”坐标为：（s，﹣t），将（s，﹣t）代入y＝﹣x+5得：﹣t＝﹣s+5，则t＝s﹣5，即点A在直线y＝x﹣5上，同理可得，点B在直线y＝x﹣5上，即点A、B所在的直线为y＝x﹣5；由抛物线的表达式知，其和x轴的交点为：（﹣1，0）、（5，0），其对称轴为x＝2，当n＞0时，抛物线和直线AB的大致图象如下：直线和抛物线均过点（5，0），则点A、B必然有一个点为（5，0），设该点为点B，另外一个点为点A，如图，联立直线AB和抛物线的表达式得：y＝nx2﹣4nx﹣5n＝x﹣5，设点A的横坐标为x，则x+5＝，∵x≥0，则﹣5≥0，解得：n≤1，此外，直线AB和抛物线在x≥0时有两个交点，故Δ＝（﹣4n﹣1）2﹣4n（5﹣5n）＝（6n﹣1）2＞0，故n≠，即0＜n≤1且n≠；当n＜0时，当x≥0时，直线AB不可能和抛物线在x≥0时有两个交点，故该情况不存在，综上，0＜n≤1且n≠．故答案为：0＜n≤1且n≠．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15．（8分）已知二次函数y＝a（x+2）（x﹣2）的图象经过点（1，﹣3），求这个二次函数的表达式．【解答】解：将点（1，﹣3）代入y＝a（x+2）（x﹣2），解得：a＝1，故二次函数的表达式为：y＝（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4．16．（8分）已知抛物线y＝x2﹣（m﹣3）x﹣m．求证：无论m为何值时，抛物线与x轴总有两个交点．【解答】证明：a＝1，b＝﹣（m﹣3），c＝﹣m．Δ＝b2﹣4ac＝（m﹣3）2+4m＝m2﹣2m+9＝（m﹣1）2+8．∵（m﹣1）2≥0，8≥0．则Δ＞0，∴无论m为何值时，抛物线与x轴总有两个交点．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．（8分）如图在平面直角坐标系中，直线y＝x+1分别交x轴、y轴于点A，B，形状相同的抛物线∁n：y＝﹣x2+bx+c（n＝1，2，3，4，…）的顶点在直线AB上，其对称轴与x 轴交点的横坐标依次是2，3，5，8，13，…，根据上述规律解决以下问题：（1）抛物线C6的顶点坐标是 （21，8） ；（2）求抛物线C2：y＝﹣x2+bx+c中b，c的值．【解答】解：（1）∵其对称轴与x轴交点的横坐标依次是2，3，5，8，13，…∴抛物线C6的顶点横坐标是21，代入，则y＝8，∴抛物线C6的顶点坐标是（21，8），故答案为：（21，8）；（2），当x＝3时，y＝2抛物线C2的顶点坐标是（3，2），由顶点式得：y＝﹣（x﹣3）2+2，展开得y＝﹣x2+6x﹣7．∴b＝6，c＝﹣7．18．（8分）已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示：x…﹣3﹣2﹣101…y…0﹣3﹣4﹣30…（1）求这个二次函数的解析式；（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；（3）当﹣2＜x＜2时，y的取值范围为 ﹣4≤y＜5 ．【解答】解：（1）由题意可得二次函数的顶点坐标为（﹣1，﹣4），设二次函数的顶点式为：y＝a（x+1）2﹣4，把点（0，﹣3）代入y＝a（x+1）2﹣4得﹣3＝a﹣4，解得a＝1，∴抛物线解析式为y＝（x+1）2﹣4，即y＝x2+2x﹣3；（2）如图所示：（3）∵﹣2＜x＜2，由函数图象可得：当x＝﹣1时，函数最小值为y＝﹣4，当x＝2时，函数最大值为y＝5，∴﹣4≤y＜5．五、（本大题共5小题，每小题10分，满分58分）19．（10分）跨学科整合学习中为研究某种化学试剂的挥发情况，某研究小组在两种不同的场景下做对比实验，收集了该试剂挥发过程中剩余质量y（克）随时间x（分钟）变化的数据（0≤x≤20），并分别绘制在平面直角坐标系中，如图所示．别模拟两种场景下y随x变化的函数关系，并求出相应的函数表达式；（2）查阅文献可知，该化学试剂发挥作用的最低质量为3克，在上述实验中，该化学试剂在哪种场景下发挥作用的时间更长？【解答】解：（1）观察两种场景可知，场景A为y＝﹣0.04x2+bx+c，场景B为y＝ax+c（a≠0），把（10，16），（0，21）代入y＝﹣0.04x2+bx+c得：，解得，∴y＝﹣0.04x2﹣0.1x+21，把（5，16），（0，21）代入y＝ax+c得：5a+21＝16，解得a＝﹣1，∴y＝﹣x+21；场景A的函数表达式为y＝﹣0.04x2﹣0.1x+21，场景B的函数表达式为y＝﹣x+21；（2）当y＝3时，场景A中，x＝20，场景B中，3＝﹣x+21，解得x＝18，20＞18，化学试剂在场景A下发挥作用的时间更长．20．（10分）小明在“生活中的数学”探究活动中，经过市场调查，研究了某种商品的售价、销量、利润之间的变化关系．小明整理出该商品的相关数据如下表所示．时间x（天）1≤x＜3030≤x≤50售价（元/件）x+4070每天销量（件）100﹣2x已知该商品的进价为每件10元，设销售该商品的每天利润为y元．（1）求y与x的函数关系式；（2）销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？【解答】解：（1）当1≤x＜30时，y＝（100﹣2x）（x+40﹣10）＝﹣2x2+40x+3000，当30≤x≤50时，y＝（100﹣2x）（70﹣10）＝﹣120x+6000，综上所述：y与x的函数关系式为y＝；（2）当1≤x＜30时，二次函数y＝﹣2x2+40x+3000＝﹣2（x﹣10）2+3200，∵﹣2＜0，∴当x＝10时，y最大＝3200，当30≤x≤50时，y＝﹣120x+6000中y随x的增大而减小，∴当x＝30时，y最大＝2400，综上所述，该商品第10天时，当天销售利润最大，最大利润是3200元．21．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+b与y轴交于点A（0，2），与x 轴交于点B（﹣4，0），与反比例函数y＝在第三象限内的图象交于点C（﹣6，a）．（1）求反比例函数的表达式；（2）当kx+b＞时，求x的取值范围；（3）当点P在y轴上，△ABP的面积为6时，直接写出点P的坐标．【解答】解：（1）∵直线y＝kx+b与y轴交于点A（0，2），与x轴交于点B（﹣4，0），∴，解得：，∴一次函数的表达式为：y＝x+2，将点C（﹣6，a）代入y＝x+2，得a＝×（﹣6）+2＝﹣1，∴点C的坐标为（﹣6，﹣1），∵点C在比例函数y＝的图象上，∴m＝﹣6×（﹣1）＝6，∴反比例函数的表达式为：y＝；（2）解方程组，得，，∴一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝m/x交于点C（﹣6，﹣1），D（2，3），如图1所示：由函数的图象可知：当kx+b＞时，求x的取值范围是：﹣6＜x＜0或x＞2；（3）∵点A（0，2），B（﹣4，0），∴OB＝4，∵点P在y轴上，设点P的坐标为（0，t），则PA＝|t﹣2|，∴△ABP的面积为6，∴PA•OB＝6，即×4×|t﹣2|＝6，整理得：|t﹣2|＝3，∴t﹣2＝3或t﹣2＝﹣3，由t﹣2＝3，解得：t＝5，由t﹣2＝﹣3，解得：t＝﹣1，∴点P的坐标为（0，5）或（0，﹣1），如图2所示．22．（12分）鹰眼技术助力杭州亚运，提升球迷观赛体验．如图分别为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面（如图1）和截面示意图（如图2），攻球员位于点O，守门员位于点A，OA的延长线与球门线交于点B，且点A，B均在足球轨迹正下方，足球的飞行轨迹可看成抛物线．已知OB＝28m，AB＝8m，足球飞行的水平速度为15m/s，水平距离s （水平距离＝水平速度×时间）与离地高度h的鹰眼数据如表：s/m…912151821…h/m… 4.2 4.85 4.8 4.2…（1）根据表中数据预测足球落地时，s＝ 30 m；（2）求h关于s的函数解析式；（3）守门员在攻球员射门瞬间就作出防守反应，当守门员位于足球正下方时，足球离地高度不大于守门员的最大防守高度视为防守成功．一次防守中守门员面对足球后退，已知后退过程中守门员速度为2.5m/s，最大防守高度为2.6m．①求守门员后退到足球正下方所需时间；②这次守门员能否防守成功？试通过计算说明．【解答】解：（1）∵当s＝12和s＝18时，h的值相等，∴抛物线的对称轴是直线x＝15．∵当s＝0时，h＝0，∴当s＝30时，h＝0．故答案为：30；（2）设h＝a（s﹣15）2+5．∵过点（0，0），∴225a+5＝0．解得：a＝﹣．∴h关于s的函数解析式为：h＝﹣（s﹣15）2+5；（3）①设守门员后退到足球正下方所需时间为t秒．∴15t＝28﹣（8﹣2.5t）．解得：t＝1.6．答：守门员后退到足球正下方所需时间为1.6秒；②守门员后退到足球正下方距离原点为：15×1.6＝24m．当s＝24时，h＝﹣（24﹣15）2+5＝﹣1.8+5＝3.2m．∵最大防守高度为2.6m，∴这次守门员不会防守成功．23．（14分）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a，c为常数，a≠0）过点Q（2，2），顶点为点P．（1）当a＝﹣1时，求此抛物线顶点P的坐标；（2）当a＜0时，若△OPQ的面积为4，求此抛物线的解析式；（3）将抛物线y＝ax2﹣2ax+c向左平移2个单位，向下平移（a+1）个单位（a＞0），得到新抛物线的顶点为A，与y轴交点为B，点M在直线x＝1上，点N在直线y＝﹣5上，当四边形ABMN的周长最小时，恰好有MN∥AB，求a的值．【解答】解：（1）将a＝﹣1，Q（2，2）代入抛物线y＝ax2﹣2ax+c，得2＝﹣4+4+c，解得c＝2，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+2＝﹣（x﹣1）2+3，∴P（1，3）；（2）如图，y＝ax2﹣2ax+c的对称轴为直线，顶点P坐标为（1，c﹣a），而a＜0，过P作PC∥y轴交OQ于C，设直线OQ的解析式为y＝kx，将Q（2，2）代入y＝kx，∴k＝1，∴直线OQ的解析式为y＝x，∴C（1，1），将Q（2，2）代入y＝ax2﹣2ax+c，得c＝2，∴P（1，2﹣a），∴PC＝2﹣a﹣1＝1﹣a，解得a＝﹣3，∴抛物线的解析式为y＝﹣3x2+6x+2；（3）如图，∵抛物线为y＝ax2﹣2ax+c＝a（x﹣1）2+c﹣a，而c＝2，则y＝ax2﹣2ax+2＝a（x﹣1）2+2﹣a，∴平移后的抛物线y＝a（x+1）2+1﹣2a∴A（﹣1，1﹣2a），B（0，1﹣a），如图，作B点关于x＝1的对称点B′（2，1﹣a），作A点关于y＝﹣5的对称点A′（﹣1，2a﹣11），连接A′B′交x＝1、y＝﹣5于点M、N，此时四边形ABMN的周长最小，设直线AB的解析式为y＝kx+b，将A（﹣1，1﹣2a），B（0，1﹣a）代入可得，解得，∴直线AB的解析式为y＝ax+1﹣a，设直线A′B′的解析式为y＝k′x+b′，将A′（﹣1，2a﹣11），B′（2，1﹣a）代入可得解得，∴直线A′B′的解析式为y＝（4﹣a）x+（a﹣7），∵AB∥MN，∴a＝4﹣a，解得a＝2．。
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数学试卷
温馨提示：本试卷共8大题，计23小题，满分150分，考试时间120分钟.
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A 、B 、C 、D 四个选项，其中只有一个是正确的，请把正确选项的代号写在答题卷的答题框中，不选、选错或多选的（不论是否写在括号内）一律得0分.
1.四个有理数—2，5，0，— 4，其中最小的是（ ） A.2- B.5 C.0
D.4-
2.以下运算正确的是（ ） A.ab b a 532=+ B.(
)
m m m m 222
=+-
C.1243x x x =⋅
D.()2
2
93x x =
3.由4个完全相同的小正方形组成的立体图形如图所示，则该立体图形的俯视图是（ ）
A.
B.
C.
D.
4.纳米（nm ）是种非常小的长度单位，1nm=910-m ，如果某冠状病毒的直径为110nm ，那么用科学记数法表示该冠状病毒的直径为（ ） A.m 7101.1-⨯
B.m 8101.1-⨯
C.m 910110-⨯
D.m 11101.1⨯
5.如图，已知AB//CD ，直线EF 分别交AB ，CD 于点E ，F ，EG 平分BEF ∠，若︒=∠481，则2∠的度数是（ ） A.︒64 B.︒65 C.︒66 D.︒67
6.为大力贯彻推进“均衡教育”政策，某区2018投入教育经费2500万元，预计到2020年底三年累计投入1.2亿元，若每年投入教育经费的年平均增长百分率为x ，则下列方程正确的是（ ） A.()12000212500=+x
B.()1200125002
=+x
C.()()12000212500125002500=++++x x
D.()()12000125001250025002
=++++x x
7.下表是某班体育考试跳绳项目模拟考试时10名同学的测试成绩（单位：个/分钟）
成绩（个/分钟）140 160 169 170 177 180 人数 1 1 1 2 3 2
则关于这10名同学每分钟跳绳的测试成绩，下列说法错误的是（）
A.方差是135
B.平均数是170
C.中位数是173.5
D.众数是177
8.关于x的一元二次方程0
50
42=
-
-ax
x，下列结论一定正确的是（）
A.该方程没有实数根
B.该方程有两个不相等的实数根
C.该方程有两个相等的实数根
D.无法确定
9.甲、乙两人在一条长为600m的笔直道路上均匀地跑步，速度分别为s
m/
4和s
m/
6，起跑前乙在起点，甲在乙前面50m处，若两人同时起跑，则从起跑出发到其中一人先到达终点的过程中，两人之间的距离y(m)与时间t(s)的函数图象是（）
A B C D
10.如图，在边长为2
2
15
的正方形ABCD中，点E，F是对角线AC的三等分点，点P在正方形的边上，则满足PE+PF=5
5的点P的个数是（）
A.0
B.4
C.8
D.16
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11.因式分解：=
-x
x9
3_______________.
12.不等式组
2
5
1
2
3
3
2
-
>
+
≥
-
x
x
x
的解集是_________________.
13.如图，在ABC
Rt∆中，︒
=
∠90
ACB，3
=
BC，2
=
AB，以点A为圆心，以AC为半径画弧，交AB于D，则扇形CAD的周长是_____________（结果保留π）.
14. 对于实数a,b,定义新运算“⊗”：a ⊗b=
()()
b a ab b b a ab a >-≤-2
2;若关于x 的方程()()t x x =-⊗+112恰好有两
个不相等的实根，则t 的值为_________________. 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算：(
)
.345cos 42180
1
π--
︒-⎪⎭
⎫
⎝⎛+-
16. 如图所示，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，ABC ∆的顶点A ，B ，C 在格点（网格线的交点）上.
（1）将ABC ∆绕点B 逆时针旋转︒90，得到11BC A ∆，画出11BC A ∆；
（2）以点A 为位似中心放大ABC ∆，得到22C AB ∆，使22C AB ∆与ABC ∆的位似比为2：1，请你在网格内画出22C AB ∆.
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17.《算法统宗》里有一首诗：
我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空.
诗中后两句的译文为：如果每间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每间客房都住9人，那么就空出一间房，则该店有客房几间，房客几人？ 请解答上述问题.
18.如图，正方形ABCD 内部有若干个点，则用这些点以及正方形ABCD 的顶点A 、B 、C 、D 把原正方形分割成一些三角形（互相不重叠）：
（1）填写下表：
（2）原正方形能否被分割成2021个三角形？若能，求此时正方形ABCD 内部有多少个点？若不能，请说明理由. 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19.很多交通事故是由于超速行驶导致的，为集中治理超速现象，高速交警在距离高速路40米的地方设置了一个测速观察点，现测得测速点的西北方向有一辆小型轿车从B 处沿西向正东方向行驶，2秒钟后到达测速点北偏东︒60的方向上的C 处，如图.
（1）求该小型轿车在测速过程中的平均行驶速度约是多少千米/时（精确到1千米/时）？ （参考数据： 1.731.42≈≈，）
（2）我国交通法规定：小轿车在高速路行驶，时速超过限定速度10%以上不到50%的处200元罚款，扣3分：时速超过限定速度50%以上不到70%的处1500元罚款，扣12分；时速超过限定时速70%以上的处1500元罚款，扣12分.若该高速路段限速120千米/时，你认为该小轿车驾驶员会受到怎样的处罚.
20. 如图，反比例函数x
k
y =
1和一次函数n mx y +=2相交于点()3,1A ，()a B ,3-. （1）求一次函数和反比例函数解析式；
（2）连接OA ，试问在x 轴上是否存在点P ，使得OAP ∆为以OA 为腰的等腰三角形，若存在，直接写出满足题意的点P 的坐标；若不存在，说明理由.
六、（本题满分12分）
21、张老师把微信运动里“好友计步榜”排名前20的好友一天行走的步数做了整理，绘制了如下不完整的统计图表： 组别 步数分组
频率 A 6000<x
0.1 B 70006000<≤x 0.5 C 80007000<≤x m D 8000≥x
n 合计
1
根据信息解答下列问题：
（1）填空：m=_______________，n=_____________，并补全条形统计图； （2）这20名朋友一天行走步数中位数落在________组；（填组别）
（3）张老师准备随机给排名前4名的甲、乙、丙、丁中的两位点赞，请求出甲、乙被同时点赞的概率.
七、（本题满分12分）
22.为了贯彻精准扶贫战略，某地方政府鼓励当地农民养殖小龙虾，如图，王叔叔顺着堤岸AN ，AM （︒=∠==45,10,23MAN m AM m AN ），用8m 长的渔网搭建了一个养殖水域（即四边形ABCD ），堤岸边不需要渔网，且AB//CD ，︒=∠90C .设BC=xm ，四边形ABCD 面积为()
.2
m S （1）求出S 关于x 的函数关系式及x 的取值范围；
（2）x 为何值时，围成的养殖水域面积最大？最大面积是多少？
八、（本题满分14分）
23.如图，在ABC ∆中，AB<AC ，点D 、F 分别为BC 、AC 的中点，E 点在边AC 上，连接DE ，过点B 作DE 的垂线交AC 于点G ，垂足为点H ，且CDE ∆与四边形ABDE 的周长相等，设AC=b ，AB=c. （1）求线段CE 的长度； （2）求证：DF=EF ； （3）若EGH BDH S S ∆∆=，求c
b
的值.。