第二章 模糊集合论基础
合集下载
模糊集合基础
A = [ µ A ( x1 ) µ A ( x2 ) L µ A ( xn )]
模糊集合基础
在由整数1， ， 组成的论域中， 在由整数 ， 2， ……10组成的论域中 ， 即 U={1， 组成的论域中 ， 2，……，10}，讨论”几个”这一模糊概念，用模糊集 ， ， ，讨论”几个”这一模糊概念，用模糊集A 可表示。根据经验，可以定量地给出它们的隶属函数， 可表示。根据经验，可以定量地给出它们的隶属函数，模糊 集A可表示为 可表示为
µ (u, w) = ∨ ( µ Q (u , v) ∧ µ R (v, w))
Qo R
v∈V
祖父母—父母相像关系
父 祖父 祖母 0.2 0.6 母 0 0
父母---子女相像关系
子 父 母 0.4 0.5 女 0.6 0.3
祖父母—子女相像关系
0.2 0 0.4 0.6 0.2 0.2 S = QoR = o 0.5 0.3 = 0.4 0.6 0.6 0
4．Sigmoid型隶 ． 型隶 属函数
5．一般的钟型 ． 隶属函数
1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 a=2 a=1
1 a=2 a=-2
1
0.8
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0
2
4
6
8
10
0
0
2
4
6
8
10
0
0
2
4
6
8
10
f ( x) = e
−
( x − c )2 a2
f ( x) =
模糊集合基础
模糊关系
是两个非空集合， 设X，Y是两个非空集合，则直集 ， 是两个非空集合
第二章模糊控制理论基础
u U u U
经典集合论中任意一个元素与任意一个集合之间的 关系，只是“属于”或“不属于”两种，两者必居其一 而且只居其一。它描述的是有明确分界线的元素的组合。
用经典集合来处理模糊性概念时，就不行。
对于诸如“速度的快慢”、“年龄的大小”、 “温度的高低”等模糊概念没有明确的界限。
经典集合对事物只用"1"、"0"简单地表示“属于” 或“不属于”的分类；而模糊集合则用“隶属度 (Degree of membership)”来描述元素的隶属程度， 隶属度是0到1之间连续变化的值。
四种方法： 1、模糊统计法
基本思想：论域U上的一个确定的元素v0是否属于一个可变动的清 晰集合A*作出清晰的判断。
对于不同的实验者，清晰集合A*可以有不同的边界。但它们都对 应于同一个模糊集A。
模糊集A 年轻人
v0
清晰集A1* 清晰集A2*
论
17-30岁 20-35岁
域 U
所有人
计隶算属步度骤函：数在确每立次的统方计法中：，v0是固定的（如某一年龄）， A*的值是可变的，作n次试验,则
示。
uU表示元素（个体）u在集合论域（全体） U内。
集合表示法(经典集合)：
(1)列举法：将集合的元素全部列出的方法。 (2)定义法：用集合中元素的共性来描述集合的方法。
(3)归纳法：通过一个递推公式来描述一个集合的方法。 (4)特征函数表示法：利用经典集合论非此即彼的明晰性 来表示集合。因为某一集合中的元素要么属于这个集合， 要么就不属于这个集合。
定义2-8 设A,B F(U),则定义代数运算： (1)A与B的代数积记作A • B，运算规则由下式确定：
A • B(u)= A(u)B(u)
第2章模糊数学基础
A A A a A , a A , , a , 12 r 1 1 2 2 rA r
由两个集合X和Y，各自的元素xX，yY构成序偶（x，y） 的集合称为集合X和Y的直积。 X Y
x 1 y X Y 1 x n
2019/2/16
பைடு நூலகம்
xy xy 11 1 2 xy 2 1 xy 2 2 y m xy n 1 xy n 2
[例2－2] 用序偶法在论域U＝1，2，3，4，5，6，7，8， 9，10中讨论“几个”这一模糊概念。 [解]
F ( 1 , 0 ) , ( 2 , 0 ) , 3 , 0 . 2 , 4 , 0 . 7 , 5 , 1 , 6 , 1 , 7 , 0 . 7 , 8 , 0 . 3 , 9 , 0 , ( 1 0 , 0 )
S 3 , 0 . 2 , 4 , 0 . 7 , 5 , 1 , 6 , 1 , 7 , 0 . 7 , 8 , 0 . 3
20
2019/2/16
3）向量表示法 将论域U中的隶属度F(ui)用来表示模糊集合F，则：
F F u , F u ,, F u 1 2 n
F u F u F u 1 2 n F u u u 1 2 n
用扎德法在论域U＝1，2，3，4，5，6，7，8，9， [例2－1] 10中讨论“几个”这一模糊概念。
0 0 0 . 2 0 . 7 1 1 0 . 7 0 . 3 0 0 [解] F 1 23 45 67 89 1 0
2019/2/16
11
（3）关系矩阵 二元关系R可用二维关系矩阵表示 设X = x ,,, x , Y y ,,, y , 1 2 x n 1 2 y m R是由X到Y的关系，则关系矩阵R的第i行第j列上的元素 rij定义为
模糊逻辑理论基础
（1）描述法，（2）列举法，（3）特征函数法
2.1 引言
Fuzzy: “模糊”，“不分明”等含义。 日常生活中许多事物都有Fuzzy性。
如： “大与小”“高与矮”，“快与慢”，“冷 与热” “远与近”，“美与丑”，“成年人” 等。 客观事物的不分明性，没有明确的外延。
1965年美国加州大学查德（L.A.ZADEH） 在其论文《Fuzzy Logical Set》中首次提到 用“隶属函数”概念来定量描述事物的 Fuzzy性集合理论，奠定了模糊数学的基础。
第二章 模糊逻辑理论基础
2.1 引言 2.2 模糊集合 2.3 隶属函数的确定方法 2.4 模糊关系与模糊矩阵 2.5 模糊逻辑 2.6 模糊语言 2.7 模糊推理句 2.8 模糊推理方法
经典集合
19世纪末，德国数学家康托创立的集合论，已成为现 代数学的基础。
1.集合的描述：集合与元素
2.集合的表示方法：
如: “老年人”集合，“胖子”集合 没有明确的外延概念。
查德1965年提出模糊集合概念 程度取值[0，1]。
论域：所有元素的全体，或研究事物的范围 {ui}U,i 1, 2, , n 电压：150v-220v
集合：给定论域，其中具有某种相同属性元素 组成的全体 A={x|x是正数}，A={x|x=a}={a} 单点集
若论域U={u1,u2,u3……un} ,则U上的模糊子集A表
示为：
A
n
u( ) Ai
u i1
i
u 其中
(
A
i) (i=1,2,3,……n)——隶属度
如：学习成绩好的模糊子集：
A
0.95 张三
0.9 李四
0.85 王五
又如: 设室温的论域： U={0，10，20，30，40} 单位：摄氏度
2.1 引言
Fuzzy: “模糊”，“不分明”等含义。 日常生活中许多事物都有Fuzzy性。
如： “大与小”“高与矮”，“快与慢”，“冷 与热” “远与近”，“美与丑”，“成年人” 等。 客观事物的不分明性，没有明确的外延。
1965年美国加州大学查德（L.A.ZADEH） 在其论文《Fuzzy Logical Set》中首次提到 用“隶属函数”概念来定量描述事物的 Fuzzy性集合理论，奠定了模糊数学的基础。
第二章 模糊逻辑理论基础
2.1 引言 2.2 模糊集合 2.3 隶属函数的确定方法 2.4 模糊关系与模糊矩阵 2.5 模糊逻辑 2.6 模糊语言 2.7 模糊推理句 2.8 模糊推理方法
经典集合
19世纪末，德国数学家康托创立的集合论，已成为现 代数学的基础。
1.集合的描述：集合与元素
2.集合的表示方法：
如: “老年人”集合，“胖子”集合 没有明确的外延概念。
查德1965年提出模糊集合概念 程度取值[0，1]。
论域：所有元素的全体，或研究事物的范围 {ui}U,i 1, 2, , n 电压：150v-220v
集合：给定论域，其中具有某种相同属性元素 组成的全体 A={x|x是正数}，A={x|x=a}={a} 单点集
若论域U={u1,u2,u3……un} ,则U上的模糊子集A表
示为：
A
n
u( ) Ai
u i1
i
u 其中
(
A
i) (i=1,2,3,……n)——隶属度
如：学习成绩好的模糊子集：
A
0.95 张三
0.9 李四
0.85 王五
又如: 设室温的论域： U={0，10，20，30，40} 单位：摄氏度
教案_第2章_模糊集合的基本理论
F (U) = {A | A: U → [0, 1]}
则称 F (U ) 为 U 的模糊幂集。显然，F (U ) 是一个经典集合，且有：P (U ) ⊆ F (U )。 2.1.2 模糊集合的表示
(2.2)
表示论域 U 上的模糊集合 A，原则上只需指明 U 中的每个元素 x 及其对应的隶属度 A(x)，并将它们用 一定的形式构造在一起。当然，模糊集本质上是论域到 [0, 1] 上映射，用隶属函数来表示模糊集是最基本 的方法。除此以外，人们还给出了三种常用的模糊集合的表示方法：Zadeh 表示法，序偶表示法和向量表 示法。 1. Zadeh 表示法 设 U 为论域，A 为 U 上的模糊集，即 A∈F (U )。 则模糊集 A 可表示为 (1) 若论域 U 为有限集或可列集，即 U = {x1, x2, …, xn} 或 U = {x1, x2, …, xn, …}，
-3-
数学系 • 张运杰 • 模糊数学课程教案
第 2 章 • 模糊集合的基本理论
相应的隶属函数示意图如图 5 所示。 上面的例子说明：① 因为模糊概念的特征(外延)是模糊的，其描述是不精确的，因而同一个模糊概 念可以用不同的模糊集(隶属函数)来刻画；② 但是，模糊集与隶属函数则是一一对应的，一个模糊集必 有一个独一无二的隶属函数与之对应，反之亦然；③ 模糊现象虽是模糊的，但表征其性质的隶属函数却 是精确的数学函数，一个模糊概念一旦用隶属函数表征出来，其固有的模糊性就被消除了；④ 隶属函数 可能是连续的，也可能是离散的，这取决于论域的情形。 由定义 1 不难看出：对于论域 U 上的某个模糊集 A，如果隶属函数 A(x) 仅取 0 和 1 两个数值，则 A 就 蜕化为经典集合，也就是说，经典集合是模糊集合的特殊形态。特别地，如果 A(x) ≡ 0，则 A 为空集 ∅； 如果 A(x) ≡ 1，则 A 为全集(论域)U。 在给定的论域 U 上可以定义多个模糊集。记 U 的模糊子集全体为 F (U )，即
第2章 数学基础-模糊集合与模糊关系
2 模糊集合与模糊关系2.1 经典集合的特征函数定义：经典集合的特征函数记为f A （x ），定义为1()0()A x A f x x A x A ∈⎧⎨∉∉⎩当当或 2.2模糊集合与隶属函数定义：论域U 上的模糊集合A 是用一个从U 到实区间[0，1]上的函数Αμ 来刻画的，Αμ 叫做模糊集合A 的隶属函数，函数值Αμ （x ）代表元素x 对集合A 的隶属度。
定义（严格的）：论域U 到实区间[0，1]的任一映射 Αμ：U →[0，1] ∀x ∈U ，x →Αμ （x ） 都确定U 上的一个模糊集合A ，Αμ 叫做A 的隶属函数，Αμ （x ）叫做x 对A 的隶属度。
2.3模糊关系：普通关系讨论的是每对元素是否存在关系R ，模糊关系讨论的是每对元素具有关系R 的程度。
定义：所谓从集合U 到集合V 的模糊关系R ，系指直积U*V 上的一个模糊集合R ，由隶属函数R μ 来刻画，函数值R μ （x ，y ）代表有序偶（x ，y ）具有关系R 的程度。
例 设V={v 1，v 2，v 3，v 4 } U={u 1，u 2，u 3 }Vμ v 1 v 2 v 3 v 4Uu 1 0.86 0.84 0 0u 20 0 0.95 0u 3 0.78 0 0 0.66则可用模糊矩阵表示如下：0.860.8400000.9500.78000.66R ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦2.4 模糊矩阵与布尔矩阵一般关系的关系矩阵是布尔矩阵只取1，0两个值，例如110000111001R ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦定义：一个矩阵是模糊矩阵，当且仅当矩阵的所有元素r ij 都满足条件：0 ≤ r ij ≤ 1，i=1，2，……n ；j= 1，2，……m 。
特别的，当r ij 只取0和1两种数值时称为布尔矩阵。
2.5 模糊矩阵的运算2.5.1 相等：当且仅当两个模糊矩阵的一切元素两两相等时称两个模糊矩阵相等。
A =B 〈=〉 a ij =b ij i=1，2，……n ；j= 1，2，……m 。
模糊数学第二章
(A∩B)∩C=A∩(B∩C); （4）吸收律：A∩(A∪B)= A, A∪(A∩B)=A; （5）分配律: (A∪B)∩C=( A∩C)∪(B∩C), (A∩B)∪C= ( A∪C)∩(B∪C);
模糊集合运算性质
（6）0-1律：A∪Φ＝A, A∩Φ＝Φ;
U∪A=U,U∩A=A; （7）还原律：(Ac)c=A; （8）对偶律：(A∪B)c= Ac∩Bc, (A∩B)c= Ac∪Bc. 互余律不成立！！ 注意 Ac∪A≠ U, A∩Ac ≠ Φ
第二章 模糊子集
本章内容
模糊子集的定义 模糊子集的运算
分解定理扩张定理
模糊性度量
隶属函数的确定
精确数学vs模糊数学
精确数学：基础——经典集合论；一个对象和一个
集合的关系只有两种可能：属于、不属于；
模糊数学：基础——模糊集合论；一个对象和一个
模糊集合的关系：对象隶属于该模糊集合的程度 （隶属度）。
且 (b; a, b) 1 ；当 x b 时单调递增；当 x b 时单调递减。
模糊集合的表示法1－zadeh表示法
论域U是有限集｛x1, x2, …, xn｝,U的任一模糊子集 A，其隶属函数为μi =μA(xi) 模糊子集A记作 A = ∑i=1n μi / xi 注意 ―∑i=1n μi / xi‖不是分式求和，只是一 符 号而已。
1. 模糊子集的定义
设给定论域U，U到[0, 1]的任一映射μA ：U [0, 1]
都确定U的一个模糊子集A
μA叫做A的隶属函数，
μA(u) （ u∈U ）表示 u隶属于模糊子集A的程度，
称之为u对A的隶属度
模糊集合的例子
设论域U＝[0, 100]表示人的年龄，“年轻Y‖与“年老
模糊数学讲义第二章
则称T是一个t 模.
常见的t-模：
(1)Tmin ( x, y ) min( x, y ) x y; (2) TL ( x, y) max(0, x y 1);
x (3) T0 ( x, y ) y 0
(4) T ( x, y ) xy.
y 1 x 1 其它
随着x增加，Y (x)减小
Y (25) 1, Y (30) 0.5 Y (60) 0.02
1
0 .5 25 30 60
注记：
• 普通集合是模糊集的特例，特征函数即为隶属函数
• 空集 的隶属函数为 ( x) 0 • 全集 X 的隶属函数为 X ( x) 1 • 模糊集的定义与上下文有关 • 表示法 (i) 论域无限时由隶属函数表出; (ii) 论域有限时表出方法如下：
不小 Ac , 不大 Bc , 不小也不大 Ac Bc c c c c A (1) 1 A(1) 0, A (2) 0.2, A (3) 0.4, A (4) 0.6 Ac (5) 0.8, Ac (6) Ac (7) Ac (8) Ac (9) Ac (10) 1
(5) 分配律(distributivity)
A ( B C ) ( A B) ( A C ) A ( B C ) ( A B) ( A C )
(6) 存在 0-1元 A A
A
A X X A X A
(7) 复原律(involution) c c (A ) A
若A B且A , A B, 则称A真包含 于B, 记为A B.
A 时， A B x X , A( x) B( x)且 x源自 X , A( x) B( x).
常见的t-模：
(1)Tmin ( x, y ) min( x, y ) x y; (2) TL ( x, y) max(0, x y 1);
x (3) T0 ( x, y ) y 0
(4) T ( x, y ) xy.
y 1 x 1 其它
随着x增加，Y (x)减小
Y (25) 1, Y (30) 0.5 Y (60) 0.02
1
0 .5 25 30 60
注记：
• 普通集合是模糊集的特例，特征函数即为隶属函数
• 空集 的隶属函数为 ( x) 0 • 全集 X 的隶属函数为 X ( x) 1 • 模糊集的定义与上下文有关 • 表示法 (i) 论域无限时由隶属函数表出; (ii) 论域有限时表出方法如下：
不小 Ac , 不大 Bc , 不小也不大 Ac Bc c c c c A (1) 1 A(1) 0, A (2) 0.2, A (3) 0.4, A (4) 0.6 Ac (5) 0.8, Ac (6) Ac (7) Ac (8) Ac (9) Ac (10) 1
(5) 分配律(distributivity)
A ( B C ) ( A B) ( A C ) A ( B C ) ( A B) ( A C )
(6) 存在 0-1元 A A
A
A X X A X A
(7) 复原律(involution) c c (A ) A
若A B且A , A B, 则称A真包含 于B, 记为A B.
A 时， A B x X , A( x) B( x)且 x源自 X , A( x) B( x).
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
+
3、模糊与概率的差别： 口极渴的人饮用哪杯液体？
C
A
属于可饮液体的隶属度为0.9 属于可饮液体的隶属度为0.9
有可饮液体的概率0.9 有可饮液体的概率
概率是事件发生的可能性大小的度量，表示事件 结果的不确定性 隶属函数表示事件多大程度属于某个分类的度量
4、模糊集合的几个子集： 支集 支集( A) = {x | µ A ( x) > 0}
α
α
交叉点
核 α截集 支集
核
核( A) = {x | µ A ( x ) = 1}
交叉点（A） {x | µ A ( x) = 0.5} =
µ A ( x) = 1 的单点支集
α 截集 α 截集（A） {x | µ A ( x ) ≥ α } =
交叉点 模糊单点
隶 函 数 0.5 年龄 45 90 属 1.0
x≤a a≤ x≤b b≤ x≤c c≤ x≤ d d ≤ x
高斯形隶属函数
g ( x; c, σ ) =
1 x −c 2 − ( ) 2 σ e
c代表MF的中心；σ 决定MF的宽度。 1 一般钟形隶属函数 bell ( x; a, b, c) = x − c 2b 1+ a
隶属函数的参数化：
以钟形函数为例， bell ( x; a, b, c) =
1）表示隶属度函数的模糊集合必须是凸模糊集合 ）
凸模糊集合
非凸模糊集合
µ
0
x
速度适中 = 0/30+0.5/40+1/50+0.5/60+0/70 速度适中 = 0.9/30+0.5/40+1/50+0.5/60+0/70
2）变量所取隶属度函数通常是对称和平衡的。 3）隶属度函数要符合人们的语言顺序避免不恰当的重叠 µ
5、常见的模糊分布 三角形隶属函数 trig ( x ; x c−b 0
x≤a a≤ x≤b b≤ x≤c c≤ x
梯形隶属函数
0 x−a b−a Trap ( x , a , b , c , d ) = 1 d−x d −c 0
适中 高
很高
1.0
适中
0
速度 /(km ⋅ h −1 )
32
图2－4
交叉越界的隶属度函数示意图
Trig(x;20,60,80)
Trap(x;10,20,60,90)
g(x;50,20)
bell(x:20,4,50)
1 1+
x − c 2b a
a,b,c,的几何意义如图所示。
斜率=-b/2a
c c+a c-a 改变a,b,c,即可改变隶属函数的形状。
6、模糊子集的运算 包含或子集： A ⊆ B ↔ µ A ( x) ≤ µ B ( x) 并（析取） 交（合取） 补（负）
C = A∪ B
µC = max(µ A ( x), µ B ( x)) = µ A ( x) ∨ µ B ( x)
C = A∩ B
µ C = min( µ A ( x ), µ B ( x )) = µ A ∧ µ B
A , − A 或非 A µ A ( x) = 1 − µ A ( x)
定理1－1模糊集运算的基本定律：设U为论域，A，B，C为U 中的任意模糊子集,则下列等式成立： (2 − 9) A∩ A = A , A∪ A = A （1）幂等律 A ∩ ( B ∩ C ) = ( A ∩ B) ∩ C , A ∪ ( B ∪ C ) = ( A ∪ B) ∪ C; (2 − 10） （2）结合律 A ∩ B = B ∩ A , A ∪ B = B ∪ A ; (2 − 11) （3）交换律 ∩(B∪C) = (A∩ B) ∪(A∩C) , A∪(B∩C) = (A∪ B) ∩(A∪C);(2 −12) A （4）分配律 A ∩ U = A , A ∪ φ = A ; (2 − 13) （5）同一律 A ∩ φ = φ , A ∪ U = U ; (2 − 14) （6）零一律 A ∩ ( A ∪ B) = A , A ∪ ( A ∩ B) = A ; (2 − 15) （7）吸收律 ( A ∩ B) = A ∪ B , ( A ∪ B) = A ∩ B (2 − 16) （8）德•摩根律 A = A (2 − 17) （9）双重否认律 模糊集与经典集的集合运算的基本性质完全相同，只是模糊 集运算不满足互补律，即 A ∪ A ≠ U A∩ A ≠ φ 上面定义的模糊集合运算是采用Zadeh算子 来进行的。 Zadeh算子的优点是计算简单，除不满足互补律外与经典集合 的运算性质十分相似。人们根据具体情况又定义多种不同的
∧、 ∨
7、隶属度函数的建立 、
模糊集合是用隶属函数描述的。隶属度函数在模糊集 合论中占有极其重要的地位。模糊集合中特征函数 也就是隶属度函数的取值范围在[0,1]区间。 如何确定隶属度函为一个关键问题。鉴于模糊集 理论研究对象的特殊性，没有一个统一的隶属度计 算方法。但隶属度函数实质上反映的是事物的渐变 性，因此，它仍然应遵守一些基本原则。
注意: ∑ 和 ∫ 并非求和和积分符号. : .
上述三个例子分别可写为 C = 0.8 /上海+0.9 /北京 +0.7 /天津 +0.6 /西安 C = 0.1/0+0.3/1+0.7/2+1.0/4+0.3/5+0.1/6 1 B = ∫ /x / 不是除法运算 x − 50 4 R 1+ ( ) 10
模糊集合： 如果X 是对象x的集合，则X的模糊集合A ：
A = {( x, µ A ( x)) | x ∈ X } µ A ( x ) 称为模糊集合 A的隶属函数（简写为 MF )
X 称为论域
隶属函数的性质： a) 定义为有序对； b) 隶属函数值在0和1之间； c) 其值的确定具有主观性和个人的偏好。 论域的二种形式： 1 1）离散形式（有序或无序）： 举例：X={上海 北京 天津 西安}为城市的集合。 模糊集合 C = “希望居住的城市”可以表示为： C = {(上海,0.8),(北京,0.9), (天津,0.7),(西安,0.6)}
第二章 模糊集合论基础
重点：1 模糊集合概念 重点： 2 隶属函数 难点： 难点： 模糊集合的运算
1. 模糊概念
天气冷热
雨的大小
风的强弱
人的胖瘦
个子高低
2 模糊集合 常用术语
① 模糊集合和隶属函数 精确集合（非此即彼）： A={X|X>6} 精确集合的隶属函数： 如果 X ∈ A 1 µA = 如果 X ∉ A 0
又：X = {0 1 2 3 4 5 6}为一个家庭可拥有自行车数目的集合 模糊集合 C = “合适的可拥有的自行车数目” C = {(0,0.1),(1,0.3),(2,0.7),(3,1.0),(4,0.7),(5,0.3),(6,0.1)}
2) 连续形式: 令X = [0, 200] 为人类年龄的集合, 模糊集合 B = “年龄在50岁左右”则表示为:
B = {x, µ B ( x) | x ∈ X } 式中： 1 µ B ( x) = x − 50 4 1+ ( ) 10
模糊集合的公式表示
∑ x ∈X µ A ( xi ) / xi X为离散对象集合 i A = µ (x ) / x X为连续空间（通常为实 轴） ∫ A i X
3、模糊与概率的差别： 口极渴的人饮用哪杯液体？
C
A
属于可饮液体的隶属度为0.9 属于可饮液体的隶属度为0.9
有可饮液体的概率0.9 有可饮液体的概率
概率是事件发生的可能性大小的度量，表示事件 结果的不确定性 隶属函数表示事件多大程度属于某个分类的度量
4、模糊集合的几个子集： 支集 支集( A) = {x | µ A ( x) > 0}
α
α
交叉点
核 α截集 支集
核
核( A) = {x | µ A ( x ) = 1}
交叉点（A） {x | µ A ( x) = 0.5} =
µ A ( x) = 1 的单点支集
α 截集 α 截集（A） {x | µ A ( x ) ≥ α } =
交叉点 模糊单点
隶 函 数 0.5 年龄 45 90 属 1.0
x≤a a≤ x≤b b≤ x≤c c≤ x≤ d d ≤ x
高斯形隶属函数
g ( x; c, σ ) =
1 x −c 2 − ( ) 2 σ e
c代表MF的中心；σ 决定MF的宽度。 1 一般钟形隶属函数 bell ( x; a, b, c) = x − c 2b 1+ a
隶属函数的参数化：
以钟形函数为例， bell ( x; a, b, c) =
1）表示隶属度函数的模糊集合必须是凸模糊集合 ）
凸模糊集合
非凸模糊集合
µ
0
x
速度适中 = 0/30+0.5/40+1/50+0.5/60+0/70 速度适中 = 0.9/30+0.5/40+1/50+0.5/60+0/70
2）变量所取隶属度函数通常是对称和平衡的。 3）隶属度函数要符合人们的语言顺序避免不恰当的重叠 µ
5、常见的模糊分布 三角形隶属函数 trig ( x ; x c−b 0
x≤a a≤ x≤b b≤ x≤c c≤ x
梯形隶属函数
0 x−a b−a Trap ( x , a , b , c , d ) = 1 d−x d −c 0
适中 高
很高
1.0
适中
0
速度 /(km ⋅ h −1 )
32
图2－4
交叉越界的隶属度函数示意图
Trig(x;20,60,80)
Trap(x;10,20,60,90)
g(x;50,20)
bell(x:20,4,50)
1 1+
x − c 2b a
a,b,c,的几何意义如图所示。
斜率=-b/2a
c c+a c-a 改变a,b,c,即可改变隶属函数的形状。
6、模糊子集的运算 包含或子集： A ⊆ B ↔ µ A ( x) ≤ µ B ( x) 并（析取） 交（合取） 补（负）
C = A∪ B
µC = max(µ A ( x), µ B ( x)) = µ A ( x) ∨ µ B ( x)
C = A∩ B
µ C = min( µ A ( x ), µ B ( x )) = µ A ∧ µ B
A , − A 或非 A µ A ( x) = 1 − µ A ( x)
定理1－1模糊集运算的基本定律：设U为论域，A，B，C为U 中的任意模糊子集,则下列等式成立： (2 − 9) A∩ A = A , A∪ A = A （1）幂等律 A ∩ ( B ∩ C ) = ( A ∩ B) ∩ C , A ∪ ( B ∪ C ) = ( A ∪ B) ∪ C; (2 − 10） （2）结合律 A ∩ B = B ∩ A , A ∪ B = B ∪ A ; (2 − 11) （3）交换律 ∩(B∪C) = (A∩ B) ∪(A∩C) , A∪(B∩C) = (A∪ B) ∩(A∪C);(2 −12) A （4）分配律 A ∩ U = A , A ∪ φ = A ; (2 − 13) （5）同一律 A ∩ φ = φ , A ∪ U = U ; (2 − 14) （6）零一律 A ∩ ( A ∪ B) = A , A ∪ ( A ∩ B) = A ; (2 − 15) （7）吸收律 ( A ∩ B) = A ∪ B , ( A ∪ B) = A ∩ B (2 − 16) （8）德•摩根律 A = A (2 − 17) （9）双重否认律 模糊集与经典集的集合运算的基本性质完全相同，只是模糊 集运算不满足互补律，即 A ∪ A ≠ U A∩ A ≠ φ 上面定义的模糊集合运算是采用Zadeh算子 来进行的。 Zadeh算子的优点是计算简单，除不满足互补律外与经典集合 的运算性质十分相似。人们根据具体情况又定义多种不同的
∧、 ∨
7、隶属度函数的建立 、
模糊集合是用隶属函数描述的。隶属度函数在模糊集 合论中占有极其重要的地位。模糊集合中特征函数 也就是隶属度函数的取值范围在[0,1]区间。 如何确定隶属度函为一个关键问题。鉴于模糊集 理论研究对象的特殊性，没有一个统一的隶属度计 算方法。但隶属度函数实质上反映的是事物的渐变 性，因此，它仍然应遵守一些基本原则。
注意: ∑ 和 ∫ 并非求和和积分符号. : .
上述三个例子分别可写为 C = 0.8 /上海+0.9 /北京 +0.7 /天津 +0.6 /西安 C = 0.1/0+0.3/1+0.7/2+1.0/4+0.3/5+0.1/6 1 B = ∫ /x / 不是除法运算 x − 50 4 R 1+ ( ) 10
模糊集合： 如果X 是对象x的集合，则X的模糊集合A ：
A = {( x, µ A ( x)) | x ∈ X } µ A ( x ) 称为模糊集合 A的隶属函数（简写为 MF )
X 称为论域
隶属函数的性质： a) 定义为有序对； b) 隶属函数值在0和1之间； c) 其值的确定具有主观性和个人的偏好。 论域的二种形式： 1 1）离散形式（有序或无序）： 举例：X={上海 北京 天津 西安}为城市的集合。 模糊集合 C = “希望居住的城市”可以表示为： C = {(上海,0.8),(北京,0.9), (天津,0.7),(西安,0.6)}
第二章 模糊集合论基础
重点：1 模糊集合概念 重点： 2 隶属函数 难点： 难点： 模糊集合的运算
1. 模糊概念
天气冷热
雨的大小
风的强弱
人的胖瘦
个子高低
2 模糊集合 常用术语
① 模糊集合和隶属函数 精确集合（非此即彼）： A={X|X>6} 精确集合的隶属函数： 如果 X ∈ A 1 µA = 如果 X ∉ A 0
又：X = {0 1 2 3 4 5 6}为一个家庭可拥有自行车数目的集合 模糊集合 C = “合适的可拥有的自行车数目” C = {(0,0.1),(1,0.3),(2,0.7),(3,1.0),(4,0.7),(5,0.3),(6,0.1)}
2) 连续形式: 令X = [0, 200] 为人类年龄的集合, 模糊集合 B = “年龄在50岁左右”则表示为:
B = {x, µ B ( x) | x ∈ X } 式中： 1 µ B ( x) = x − 50 4 1+ ( ) 10
模糊集合的公式表示
∑ x ∈X µ A ( xi ) / xi X为离散对象集合 i A = µ (x ) / x X为连续空间（通常为实 轴） ∫ A i X