中学物理竞赛讲义电势
高中物理竞赛初级讲义 电学电势及电势能
半径为R、电荷为q的均匀带电球壳内外，距球心r处的电势：
【例1】试求电偶极子周围的电势分布．
【例2】试求均匀带电圆环轴线上电势和电场分布。设圆环半径为R，电荷线密度为η。
【例3】半径为R的半球形薄壳，其表面均匀分布面电荷密度为σ的电荷，求该球开口处圆面上任一点的电势．
【例7】如图所示，AB=2l，OCD是以B为中心，l为半径的半圆。A点有正点电荷q，B点有负点电荷-q。
（1）把单位正电荷从O点沿OCD移到D点，电场力对它作了多少功？
（2） 把单位负电荷从D点沿AB的延长线移到无穷远，电场力对它作了多少功？
（3）电荷q均匀分布在半球面ACB上，球面半径为R，CD为通过半球顶点C和球心O的轴线，如图所示．P、Q为CD轴线上相对O点对称的两点，已知P点的电势为φP，试求Q点的电势φQ．
【例6】有人设想了一种静电场：电场的方向都垂直于纸面并指向纸里，电场强度的大小自左向右逐渐增大，如图所示．这种分布的静电场是否可能存在？试述理由．
电势差：电场中两点电势的差值叫电势差。
匀强电场中，沿场强方向两点间的电势差：
2.等势面
等势面：静电场中电势相同的点组成的面叫等势面。
判断电势高低的方法：
等量异种点电荷和等量同种点电荷连线上与中垂线上场强及电势的变化规律
3.电势的计算
（1）由定义 ，B点为电势零点，一般为无穷远处
（2）点电荷的电势： ，其中r是场点到电荷q的距离。
电磁学第3讲电势及电势能
一、电势能
1.静电场的环路定理
静电场力是保守力，静电场是保守场。
静电场的环路定理：静电场中场强沿场力对电荷所做功等于电荷电势能的改变量：
《电势》 讲义
《电势》讲义一、什么是电势在物理学中，电势是一个非常重要的概念。
简单来说，电势就像是一个“势能的高度”，用来描述电场中某一点所具有的能量性质。
想象一下，在一个山坡上，位置越高的地方，物体所具有的重力势能就越大。
类似地，在电场中，某一点的电势越高，电荷在这一点所具有的电势能就越大。
为了更形象地理解电势，我们可以把电场比作是一个高低不平的“势能场地”。
电荷在这个场地中移动时，其电势能会发生变化，而电势就是用来衡量这个场地中不同位置的势能高低的。
二、电势的定义电势的定义是：把单位正电荷从电场中的某一点移动到参考点（通常取为无穷远处或者大地）时，电场力所做的功。
这个定义可能听起来有点抽象，我们来举个例子。
假设有一个电场，我们要计算其中某一点 A 的电势。
我们把一个单位正电荷从 A 点移动到无穷远处，如果电场力对这个电荷做了 10 焦耳的功，那么 A 点的电势就是 10 伏特。
需要注意的是，电势是一个相对的概念，就像高度一样。
我们说一个地方的高度是多少，总是相对于某个基准面而言的。
在电势中，参考点就是这个基准。
三、电势的单位电势的国际单位是伏特（V），它是以意大利物理学家亚历山德罗·伏特的名字命名的。
1 伏特等于 1 焦耳/库仑。
这意味着，如果在电场中移动 1 库仑的电荷，电场力做了 1 焦耳的功，那么这个位置的电势就是 1 伏特。
除了伏特，在一些特定的情况下，还可能会用到毫伏（mV）、千伏（kV）等单位。
四、电势差电势差是指电场中两点之间电势的差值。
它也被称为电压。
比如说，A 点的电势是 10 伏特，B 点的电势是 5 伏特，那么 A、B 两点之间的电势差就是 5 伏特。
电势差是非常重要的概念，在电路中，电流的产生就是由于存在电势差，电荷在电势差的作用下定向移动，从而形成电流。
五、等势面在电场中，电势相等的点所组成的面叫做等势面。
等势面有一些重要的性质。
首先，等势面与电场线垂直。
这是因为如果不垂直，电场力就会在等势面上做功，这与等势面的定义矛盾。
2020高中物理竞赛名校冲刺讲义—第五章 静电场：第三节 电势 教案设计
2020高中物理竞赛江苏省苏州高级中学竞赛讲义第五章静电场第二次课：2学时1 题目：§5.3 电势§5.4 电容静电场的能量2 目的：1）会计算几种典型的带电体的电势2）建立电场能量的概念一、引入课题本章从功能角度研究静电场的性质。
二、讲授新课§5.3 电势一、静电场力所做的功在点电荷q的电场中，把另一点电荷q0由a点→b点(沿路径L) 过程中，电场力作的功1b 00d d d cosA q E l q E lθ=⋅=⋅⋅vv00cosA q E dl q Edlθ==⎰⎰u r rg式中结论:功仅与 的始末位置有关，与路径无关。
静电场力是保守力。
静电场是保守场，又称势场。
2 任意电荷的电场（视为点电荷的组合） 在点电荷系q 1、q 2、…的电场中，移动q 0，有 根据电场的叠加原理 则结论：电荷在静电场中移动时，电场力所作的功与该电荷及其在电场中的起始和终了位置有关，而与电荷所经历的路径无关。
对连续带电体的场强同样可得此结论静电力作功与路径无关，静电场是保守场。
二、静电场的环路定理（安培环路定理） 在静电场中，沿闭合路径积分 即可知，静电场是保守场。
在静电场中，电场场强沿任意闭合路径的线积分等于零。
这一规律称为静电场的安培环路定理。
讨论：d 0LE l ⋅=⎰v v Ñd cos d l rθ=204 πq E r ε=0020011d ()44b ar r a bq q q q A r r r r πεπε==-⎰q iiE E =∑v v0d lA q E l =⋅⎰vv 0d i l iq E l=⋅∑⎰vv baL 21212000()()00()()0baL a L b bbL a L aA q E dlq E dl q E dl q E dl q E dl=•=•+•=•-•=⎰⎰⎰⎰⎰rr rr r r r r r r Ñ1) 环路定理是静电场的另一重要定理，可用环路定理检验一个电场是不是静电场。
中学物理竞赛讲义-11.2电势
11.2电势一、电势叠加原理某点的总电势等于各场源电荷在该点产生的电势的标量和。
二、几种常见电场的电势1、距离点电荷 r 处的电势（微元法证明）rkQ =ϕ2、半径为R 的均匀带电薄球壳壳外：r kQ =ϕ 壳内：RkQ=ϕ例1、（1）解释：接触起电中电量均分定理的适用条件为两个小球完全相同。
（2）解释：不规则导体，尖的部位电荷面密度较大。
244kQ k R k R R Rσπϕπσ===例2、求带电量为Q ，半径为R 的均匀带电细环在圆心处的电势kQ Rϕ=例3、半径为R 2的导体球壳包围半径为R 1的金属球，金属球具有电势U 1。
如果让球壳接地。
那么金属球的电势变为多少？例4、一个半径为a 的孤立带电金属丝环，其中心处电势为U 0，将此球靠近圆心为O 1、半径为b 的接地的导体球，只有球中心O 位于球面上，如图所示，试求球上感应电荷的电量。
例5、如图所示，两个同心导体球，内球半径为R 1，外球是个球壳，内半径为R 2，外半径R 3.在下列各种情况下求内外球壳的电势差以及壳内空腔和壳外空间的电势分布规律.（1）内球带q +，外球壳带Q +. （2）内球带q +，外球壳不带电.（3）内球带q +，外球壳不带电且接地.（4）内球通过外壳小孔接地，外球壳带Q +.【解析】如错误!未找到引用源。
所示，根据叠加原理:(1)R 1处有均匀的+q ，R 2必有均匀的-q ，R 3处当然有+(Q+q)电荷，因此：内球1123q q Q qU k k k R R R +=-+外球233()()q q k Q q k Q q U kk r r R R ++=-+= 上式中23R r R << 电势差121212q qU U U k k R R =-=- 腔内23()q q k Q q U kk r R R +=-+内 (R 1<r<R 2) 壳外33()()q q k Q q k Q q U k k r r R R ++=-+=外 (r>R 3)(2)R 1处有+q ，R 2处有-q ，R 3处有+q ，因此：内球1123q q qU k kk R R R =-+ 外球233q q q qU k k k k r r R R =-+=上式中23R r R << 电势差121212q qU U U kk R R =-=- b aO O 1腔内23q q kq U kk r R R =-+内 (R 1<r<R 2) 壳外q q kq kqU k k r r r r=-+=外 (r>R3)（3）R 1处有+q ，R 2处有-q ，外球壳接地，外球壳U 2=0，R 3处无电荷.内球112q q U k k R R =- 电势差121212q qU U U k k R R =-=-腔内2q qU k k r R =-内 (R 1<r<R 2)壳外0q qU k k r r=-=外 （r ＞R 3） （4）内球接地电势为零，内球带'q -，R 2处有'q +，R 3处有()Q q '+-，先求q ′，因为:123''(')0q q k Q q k k R R R --++= 解得:12122313QR R q R R R R R R '=+-内球:10U =外球:2223'''q q Q q U k k k R R R -=-++ 21122313()kQ R R R R R R R R -=+- 21U =腔内:23'inside q q Q q U k k kr R R ''-=-++ 21122313(1)kQR RR R R R R R r=-+- (R 1<r<R 2) 壳外:3'outside q q Q q U kk k r r R ''-=-++ 321122313()()kQR R R R R R R R R r-=+- （r ＞R 3）例6、如图所示，O 为半径等于R 的原来不带电的导体球的球心，O 1、O 2、O 3为位于球内的三个半径皆为r 的球形空腔的球心，它们与O 共面，已知2321ROO OO OO ===．在OO 1、OO 2的连线上距O 1、O 2为2r的P 1、P 2点处分别放置带电量为q 1和q 2的线度很小的导体（视为点电荷），在O 3处放置一带电量为q 3的点电荷，设法使q 1、q 2和q 3固定不动．在导体球外的P 点放一个电量为Q 的点电荷，P 点与O 1、O 2、O 3共面，位于O O 3的延长线上，到O 的距离R OP 2=． 1．求q 3的电势能．2．将带有电量q 1、q 2的小导体释放，当重新达到静电平衡时，各表面上的电荷分布有何变化？ 此时q 3的电势能为多少？1．由静电感应知空腔1、2及3的表面分别出现电量为1q -、2q -和3q -的面电荷，由电荷守恒定律可知，在导体球的外表面呈现出电量321q q q ++．由静电屏蔽可知，点电荷q 1及感应电荷（1q -）在空腔外产生的电场为零；点电荷q 2及感应电荷（2q -）在空腔外产生的电场为零；点电荷q 3及感应电荷（3q -）在空腔外产生的电场为零．因此，在导体球外没有电荷时，球表面的电量321q q q ++作球对称分布．当球外P 点处放置电荷Q 后，由于静电感应，球面上的总电量仍为()321q q q ++，但这些电荷在球面上不再均匀分布，由球外的Q 和重新分布在球面上的电荷在导体球内各点产生的合场强为零．O 3处的电势由位于P 点处的Q 、导体球表面的电荷()321q q q ++及空腔3表面的感应电荷（3q -）共同产生．无论()321q q q ++在球面上如何分布，球面上的面电荷到O 点的距离都是R ，因而在O 点产生的电势为R q q q k321++， Q 在O 点产生的电势为RQk 2，这两部分电荷在O 3点产生的电势U '与它们在O 点产生的电势相等，即有⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++='R q q q Q k R Q R q q q k U 22222321321（1）因q 3放在空腔3的中心处，其感应电荷3q -在空腔3壁上均匀分布．这些电荷在O 3点产生的电势为rq kU 3-='' (2)根据电势叠加定理，O 3点的电势为⎪⎭⎫⎝⎛-+++=''+'=r q R q q q Q k U U U 33212222(3)故q 3的电势能⎪⎭⎫⎝⎛-+++==r q R q q q Q kq U q W 3321332222(4)2． 由于静电屏蔽，空腔1外所有电荷在空腔1内产生的合电场为零，空腔1内的电荷q 1仅受到腔内壁感应电荷1q -的静电力作用，因q 1不在空腔1的中心O 1点，所以感应电荷1q -在空腔表面分布不均匀，与q 1相距较近的区域电荷面密度较大，对q 1的吸力较大，在空腔表面感应电荷的静电力作用下，q 1最后到达空腔1表面，与感应电荷1q -中和．同理，空腔2中q 2也将在空腔表面感应电荷2q -的静电力作用下到达空腔2的表面与感应电荷2q -中和．达到平衡后，腔1、2表面上无电荷分布，腔3表面和导体球外表面的电荷分布没有变化．O 3的电势仍由球外的电荷Q 和导体球外表面的电量()321q q q ++及空腔3内壁的电荷3q -共同产生，故O 3处的电势U 与q 3的电势能W 仍如(3)式与(4)式所示．二、电像法比较等量异种点电荷周围的电场和点电荷与接地导体板周围的电场。
高二物理竞赛课件：电介质和电势
电感应强度的法向分量不变。
8
在上述两种介质分界面处作一矩形回路ABCDA， 使两长边(长度为l )分别处于两种介质中，并与 界面平行，短边很小，取界面的切向单位矢量 t 的方向沿界面向上。由静电场的环路定理得
即
或
E1t = E2 t
上式表示，从一种介质过渡到另一种介质， 电场强度的切向分量不变。
9
电介质分界面处，作一扁平的柱状 高斯面, 使其上、
r1
2
D2
r2
下底面 (S ) 分别处于两种介质中，并与界面平行，
柱面的高很小, 运用高斯定理，得
S DdS D1 (nΔS) D2 (nΔS) 0
即
n D2 D1 0
或
D1n = D2n
上式表示，从一种介质过渡到另一种介质，
高斯定理的微分形式： D 0
5
利用电介质存在时的高斯定理，可以 避开极化电荷的影响而方便的处理具有 一定对称性的静电场问题。
解决问题的一般思路为：
D E P q
6
7
在两种不同的电介质分界面两侧， D和E一般要发生突变，但必须遵循
D1 1
一定的边界条件。
h
在两种相对电容率分别为 r1和 r2的
在外表面，r = R2 ， n沿径向向外，所以
11
电介质整体是电中性的，所以电介质球壳内、外 表面上的负、正极化电荷量必相定等 , 在内表面 上的负极化电荷总量为
在外表面上的正极化电荷的总量为
12
例：平行板电容器充满两层厚度
+
为 d1 和 d2 的电介质(d=d1+d2 )，
相对电容率分别为 r1 和 r2 。
S1
求：1.电介质中的电场 ；2.电容量。
高二物理竞赛课件：电势的梯度求电场强度
dx
F
dF
q Edq
Q
al Q
a 40 x2
dx
棒上所有电荷的电势能
al Q
Ep a
dx
4 0 x
40a(a l )
Q
Q a l
（2）球在 x 处电势 V 4 0 x
ln 40 a
2
自己做本章小结：
概念 E U
场性质 有源场 无旋场
规律 高斯定理 环路定理
方法
E ,U ,F ,W 的计算
l
F
q
q
F E
故偶极子不平动。 合力矩：
M 的方向
M
M
2F
P
l 2
sin qEl
E
M使 p
sin
转向
E
pE
sin
2
电荷在外电场中的静电势能 任何电荷在静电场中都具有势能，叫的静电势能。
1、点电荷在外电场中的静电势能
设 q0 在静电场中a、b两点的静电势能分别为Epa、Epb， 将q0 由 a b 电场力（保守力）所作的功为：
E p qiVi
i1
2
连续带电体在外电场中的静电势能
dE p dq V
Ep
dE p
Vdq
q
注意：
标量积分。
dqq
E
10 Ep有正、负之分.
20 点电荷在外电场中的静电势能是属于该电荷与场源电 荷这个电荷系所共有的。（是相对量）
30 Ep的单位：J（常用单位还有“eV”）1eV 1.60 1019 J
例10、求电子在原子核电场中的电势能（电子距核r）。
解：电子处在电位为 V Ze 的位置，
Ep
2023-2024学年高二下学期物理竞赛课件：静电场的环路定理和电势
四、电势差
Q Aab qo
bv v a E dl Wa Wb
电势差：
b
E dl
Wa
Wb
a
qo b qvo v
Uab Va Vb
E dl
a
结论：静电场中a,b两点的电势差，在数值上等于 将单位正电荷从a点移至b点电场力所作的功。
Aab W Wa Wb qo (Va Vb )
二、电势能（W）
Wa q0
Wb
保守力作功等于势能的减少 a
b
b
Aab qo a E dl Wa Wb W
Wa,Wb的量值是相对的量；与零势能参考点的选取 有关，而势能的增量 W与零势能点选取无关是绝对
的量.
1、对有限的带电体选无限远处作为电势能零点，
Aa
qo
a
E dl
Wa W
1) rib
电场力是保守力
qi ria
qn a
qo
3、若q0在电场中沿L运动一周
A lqo E dl 0
q0
静电场的环路定理：
l
静电场中电场强度 E的环流为零。
l E dl 0
结论：一定量的电荷在静电场中移动时，电场力所作 的功只与电荷的起点和终点的位置有关，而与路径无 关。即电场力是保守力。静电场是保守场。
致冷系数：
Q2 Q2
A Q1 Q2
K‘系观察者测得相对他静止的棒的长度为：
l0 x2 ' x1 ' l0 称为固有长度
问：在K系中观察者（相对棒运动的观察者）测得
的棒的长度为多少？
他测得棒两端的坐标为x1和x2, t1=t2=t（同时测）
则棒长 l= x2-x1
高中物理奥林匹克竞赛——电势(共55张PPT)
1) 点电荷的电势 (选无穷远为电势零点)
Ua
E dl
a
r
q
4 0r
2
r0
dl
q
q
dr
r 4 0r 2
4 0r
q﹥0, U﹥0; 距 q 越近U 越高
q﹤0, U﹤0; 距 q 越近U 越低
2) 点电荷系的电势 (选无穷远为电势零点)
Ua
a
E
dl
a
(
E1
★ 说明：
E 只与U 的空间变化率有关，与 U 值本身无关！
例： Uoo 0 -
Eo 0
Uoo 0
Eo 0
22
三、场强与电势的关系应用举例
场强与电势的关系：
(1) 积分关系：
Ua a E dl
(U 0 )
(2) 微分关系：
E
U
dU dn
n0
1. 点电荷的 U 和 E
U q
3. 讨论：
❖ 电势能是属于q0 和产生电场的源电荷系统所共有； ❖ 电势能的大小是相对的，电势能差才有绝对意义.
❖ W 为标量. 单位: J或 eV.
5
❖ 当电场源分布在W有a限范q围0内a选WEd0l
例：点电荷q0 在点电荷q 的电场中某点的电势能
W
q0
标 a
E
dl＝q0
E dl
● 结论: 静电力是保守力, 静电场是保守力场.
二、静电场的环流定理
b
在静电场中，沿闭合路径移动 q0，电场力作功：
A
F dl q b
0 a ( L1 )
q b 0 a ( L1 )
E
E
q0 E dl
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11.2电势
一、电势叠加原理
某点的总电势等于各场源电荷在该点产生的电势的标量和。
二、几种常见电场的电势
1、距离点电荷 r 处的电势（微元法证明）
r
kQ =
ϕ
2、半径为R 的均匀带电薄球壳
壳外：r kQ =
ϕ 壳内：R
kQ
=ϕ
例1、（1）解释：接触起电中电量均分定理的适用条件为两个小球完全相同。
（2）解释：不规则导体，尖的部位电荷面密度较大。
2
44kQ k R k R R R
σπϕπσ===
例2、求带电量为Q ，半径为R 的均匀带电细环在圆心处的电势
kQ R
ϕ=
例3、半径为R 2的导体球壳包围半径为R 1的金属球，金属球具有电势U 1。
如果让球
壳接地。
那么金属球的电势变为多少？
例4、一个半径为a 的孤立带电金属丝环，其中心处电势为U 0，将此球靠近圆心为O 1、半径为b 的接地的导体球，只有球中心O 位于球面上，如图所示，试求
球上感应电荷的电量。
b
a
O
O
1
例5、如图所示，两个同心导体球，内球半径为R 1，外球是个球壳，内半径为R 2，外半径R 3.在下列各种情况下求内外球壳的电势差以及壳内空腔和壳外空间的电势分
布规律.
（1）内球带q +，外球壳带Q +. （2）内球带q +，外球壳不带电.
（3）内球带q +，外球壳不带电且接地.
（4）内球通过外壳小孔接地，外球壳带Q +.
【解析】如错误！未找到引用源。
所示，根据叠加原理:
(1)R 1处有均匀的+q ，R 2必有均匀的-q ，R 3处当然有+(Q+q)电荷，因此：
内球1123q q Q q
U k k k R R R +=-+
外球233
()()q q k Q q k Q q U k
k r r R R ++=-+= 上式中23R r R << 电势差121212
q q
U U U k k R R =-=- 腔内23
()
q q k Q q U k k r R R +=-+内 (R 1<r<R 2) 壳外33
()()q q k Q q k Q q U k
k r r R R ++=-+=外 (r>R 3) (2)R 1处有+q ，R 2处有-q ，R 3处有+q ，因此：
内球1123
q q q U k k k R R R =-+ 外球233
q q q q U k
k k k r r R R =-+= 上式中23R r R << 电势差121212
q q
U U U k k R R =-=- 腔内23
q q kq
U k k r R R =-+内 (R 1<r<R 2) 壳外q q kq kq
U k
k r r r r
=-+=外 (r>R3) （3）R 1处有+q ，R 2处有-q ，外球壳接地，外球壳U 2=0，R 3处无电荷. 内球112q q
U k k R R =-
电势差121212
q q
U U U k k R R =-=- 腔内2
q q
U k k r R =-内 (R 1<r<R 2) 壳外0q q
U k
k r r
=-=外 （r ＞R 3） （4）内球接地电势为零，内球带'q -，R 2处有'q +，R 3处有()Q q '+-，先求q ′，因为:
123
''(')0q q k Q q k k R R R --++=
解得:12
122313
QR R q R R R R R R '=
+-
内球:10U =
外球:2223
'''q q Q q U k k k R R R -=-++ 21122313()
kQ R R R R R R R R -=
+-
21U =
腔内:23
'inside q q Q q U k k k r R R ''
-=-++
21122313(1)kQR R
R R R R R R r =-+- (R 1<r<R 2) 壳外:
3
'outside q q Q q U k k k r r R ''
-=-++
321122313()()kQR R R R R R R R R r -=+- （r ＞R 3）
例6、如图所示，O 为半径等于R 的原来不带电的导体球的球心，O 1、O 2、O 3为位于球内的三个半径皆为r 的球形空腔的球心，它们与O 共面，已知2
321R OO OO OO =
==．在OO 1、OO 2的连线上距O 1、O 2为2r 的
P 1、P 2点处分别放置带电量为q 1和q 2的线度很小的导体（视为点电荷），在O 3处放置一带电量为q 3的点电荷，设法使q 1、q 2和q 3固定不动．在导体球外的P 点放一个电量为Q 的点电荷，P 点与O 1、O 2、O 3共面，位于O O 3的延长线上，到O 的距离R OP 2=． 1．求q 3的电势能．
2．将带有电量q 1、q 2的小导体释放，当重新达
到静电平衡时，
各表面上的电荷分布有何变化？ 此时q 3的电势能为多少？
量为1q -、2q -1．由静电感应知空腔1、2及3的表面分别出现电和3q -的面电荷，由电荷守恒定律可知，在导体球的外表面呈现出电量321q q q ++．由静电屏蔽可知，点电荷q 1
及感应电荷
（1q -）在空腔外产生的电场为零；点电荷q 2及感应电荷（2q -）在空腔外产生的电场为零；点电荷q 3及感应电荷（3q -）在空腔外产生的电场为零．因此，在导体球外没有电荷时，球表面的电量321q q q ++作球对称分布．
当球外P 点处放置电荷Q 后，由于静电感应，球面上的总电量仍为()321q q q ++，但这些电荷在球面上不再均匀分布，由球外的Q 和重新分布在球面上的电荷在导体球内各点产生的合场强为零．
O 3处的电势由位于P 点处的Q 、导体球表面的电荷()321q q q ++及空腔3表面的感应电荷（3q -）共
同产生．无论()321q q q ++在球面上如何分布，球面上的面电荷到O 点的距离都是R ，因而在O 点产生的电势为R q q q k
321++， Q 在O 点产生的电势为R
Q
k 2，这两部分电荷在O 3点产生的电势U '与它们在O 点产生的电势相等，即有
⎪⎭
⎫
⎝⎛+++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++='R q q q Q k R Q R q q q k U 222223
21321 （1） 因q 3放在空腔3的中心处，其感应电荷3q -在空腔3壁上均匀分布．这些电荷在O 3点产生的电势为
r
q k
U 3
-='' (2)
根据电势叠加定理，O 3点的电势为
⎪⎭⎫
⎝⎛-+++=''+'=r q R q q q Q k U U U 33212222
(3)
故q 3的电势能
⎪⎭⎫
⎝
⎛-+++==r q R q q q Q kq U q W 3321332222
(4)
2． 由于静电屏蔽，空腔1外所有电荷在空腔1内产生的合电场为零，空腔1内的电荷q 1仅受到腔内壁感应电荷1q -的静电力作用，因q 1不在空腔1的中心O 1点，所以感应电荷1q -在空腔表面分布不均匀，与q 1相距较近的区域电荷面密度较大，对q 1的吸力较大，在空腔表面感应电荷的静电力作用下，q 1最后到达空腔1表面，与感应电荷1q -中和．同理，空腔2中q 2也将在空腔表面感应电荷2q -的静电力作用下到达空腔2的表面与感应电荷2q -中和．达到平衡后，腔1、2表面上无电荷分布，腔3表面和导体球外表面的电荷分布没有变化．O 3的电势仍由球外的电荷Q 和导体球外表面的电量()321q q q ++及空腔3内壁的电荷
3q -共同产生，故O 3处的电势U 与q 3的电势能W 仍如(3)式与(4)式所示．
二、电像法
比较等量异种点电荷周围的电场和点电荷与接地导体板周围的电场。
*电像法的原理：原电荷和像电荷在导体平板处产生的电势刚好和原电场在平板处的电势相同。
则可以证明，由原电荷和像电荷产生的电场与原电场在原电荷一侧其他位置的电场也完全相同（*唯一性定理）。
因此可以用原电荷和像电荷产生的电场等效替代原来的复杂电场。
电像法的解题方法：找出与导体板表面对称的像电荷-q ，用q 、- q 的电场，代替q 与无限大导体板产生的电场。
注意：电像法只能求原电荷一侧的电场。
例7、两块互成直角的接地的薄金属板间有一距板面较近的电荷q ，q 距两板的距
离均为a ，求电荷q 所受的力。
例8、质量为m 、带电量为Q 的粒子放在离无限大导电板L 处．现释放该粒子，求它经过多长时间飞到板上．重力不计．
电像法求接地导体球与点电荷周围的电场
例9、半径R 的接地导体球外距离球心d 处有一点电荷q 1，求证其关于
2R x d
=
导体球的像电荷离球心的距离x 和电量q 2满足：21R q q d
=-，。