2013年安徽高考理科数学压轴题

2013年安徽高考理科数学压轴题

（16）（本小题满分12分） 已知函数()4cos sin (0)4f x x x πϖϖϖ⎛⎫=⋅+

> ⎪⎝⎭的最小正周期为π。 （Ⅰ）求ϖ的值；

（Ⅱ）讨论()f x 在区间[]0,2上的单调性。

【答案】 （Ⅰ） 1

（Ⅱ） .]28[]8,

0[)(上单调递减，上单调递增；在在π

ππx f y = 【解析】 （Ⅰ）2)42sin(2)12cos 2(sin 2)cos (sin cos 22++

=++=+⇒πωωωωωωx x x x x x

122=⇒=⇒ωπωπ.所以1,2)42sin(2)(=++=ωπx x f （Ⅱ） ；解得，令时，当8242]4,4[)42(]2,0[π

πππππππ

==++∈+∈x x x x 所以.]28[]8,0[)(上单调递减，上单调递增；在在πππx f y =

（17）（本小题满分12分）

设函数22()(1)f x ax a x =-+，其中0a >，区间|()>0I x f x =

（Ⅰ）求的长度（注：区间(,)αβ的长度定义为βα-）；

（Ⅱ）给定常数(0,1)k ∈，当时，求l 长度的最小值。

【答案】 （Ⅰ） 21a

a +. （Ⅱ） 2)

1(11k k -+- 【解析】 （Ⅰ）)1,

0(0])1([)(22a a x x a a x x f +∈⇒>+-=.所以区间长度为21a a +. （Ⅱ） 由（Ⅰ）知，a a a a l 1112+=+=

恒成立令已知k k

k k k k a k k -1110-111.1-10),1,0(2>+∴>⇒>++≤≤<∈。

22)

1(11)1(1111)(k k k k l k a a a a g -+-=-+-≥⇒-=+=⇒这时时取最大值在 所以2

)1(111k k l k a -+--=取最小值

时，当.

（18）（本小题满分12分） 设椭圆22

22:11x y E a a

+=-的焦点在x 轴上 （Ⅰ）若椭圆E 的焦距为1，求椭圆E 的方程；

（Ⅱ）设12,F F 分别是椭圆的左、右焦点，P 为椭圆E 上的第一象限内的点，直线2F P 交y 轴与点Q ，并且11F P FQ ⊥，证明：当a 变化时，点p 在某定直线上。

【答案】 （Ⅰ） 13

8582

2=+x x . （Ⅱ） 01=-+y x

【解析】 （Ⅰ）

13858851,12,12

22

22222=+=⇒+-==->x x a c a a c a a ，椭圆方程为： . （Ⅱ） ),(),,),,0(),,(),0,(),0,(2221m c QF y c x P F m Q y x P c F c F -=-=-（则设.

由)1,0(),1,0()1,0(012

∈∈⇒∈⇒>-y x a a . ⎩

⎨⎧=++=-⊥=+=0)()(,//).,(),,(112211my c x c yc x c m F F QF F m c F y c x F 得：由 解得联立⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎨⎧+-==-=-+=-⇒=+-⇒22222222

222222111.))((c a a c y x a y a x c y x y c x c x y x y x y x y

x y y x x -=∴∈∈±=⇒=+-++-⇒1)1,0(),1,0(.)1(1121222222

222

所以动点P 过定直线01=-+y x .

（19）（本小题满分13分）

如图，圆锥顶点为p 。底面圆心为o ，其母线与底面所成的角为22.5°。AB 和CD 是底面圆O 上的两条平行的弦，轴OP 与平面PCD 所成的角为60°，

（Ⅰ）证明：平面PAB 与平面PCD 的交线平行于底面；

（Ⅱ）求cos COD ∠。

【答案】 （Ⅰ） 见下.

（Ⅱ） 212-17

【解析】 （Ⅰ） m AB PCD AB PCD CD CD AB m C 直线面面且直线面设面//////,D P PAB ⇒⇒⊂=⋂ ABCD m ABCD AB 面直线面//⇒⊂ .

所以,ABCD D P PAB

的公共交线平行底面与面面C .(证毕)

（Ⅱ） r

PO OPF F CD r =︒︒=∠5.22tan .60,由题知，则的中点为线段设底面半径为. ︒

-︒=︒∠==︒⋅︒⇒=︒5.22tan 15.22tan 245tan ,2cos 5.22tan 60tan 60tan ,2COD r OF PO OF . )223(3)],1-2(3[2

1cos ,1-25.22tan 12cos 2cos 22-==+∠=︒⇒-∠=∠COD COD COD 212-17cos .212-17cos =∠=∠COD COD 所以.(完)

（20）（本小题满分13分） 设函数22

222()1(,)23n n n x x x f x x x R n N n

=-+++++∈∈，证明： （Ⅰ）对每个n n N ∈，存在唯一的2

[,1]3n x ∈，满足()0n n f x =；

（Ⅱ）对任意n p N ∈，由（Ⅰ）中n x 构成的数列{}n x 满足10n n p x x n

+<-<。 【答案】 （Ⅰ） 见下.

（Ⅱ）见下.

【解析】 （Ⅰ）

224232224321)(0n

x x x x x x f n x y x n

n n ++++++-=∴=> 是单调递增的时，当是x 的单调递增函数,也是n 的单调递增函数. 011)1(,01)0(=+-≥<-=n n f f 且.

010)(],1,0(321>>>≥=∈⇒n n n n x x x x x f x ，且满足存在唯一

x x x x x x x x x x x x x f x n n n -⋅++-<--⋅++-=++++++-≤∈-114111412

2221)(,).1,0(2122242322 时当]1,3

2[0)23)(2(1141)(02∈⇒≤--⇒-⋅++-≤=⇒n n n n n n n n x x x x x x x f 综上，对每个n n N ∈，存在唯一的2

[,1]3

n x ∈，满足()0n n f x =；(证毕) （Ⅱ） 由题知04321)(,012242322=++++++-=>>≥+n

x x x x x x f x x n

n n n n

n n n p n n 0)()1(4321)(2212242322=++++++++++

+-=+++++++++++p n x n x n

x x x x x x f p n p n n p n n p n p n p n p n p n p n p n 上式相减：22122423222242322)()1(432432p n x n x n x x x x x n x x x x x p

n p n n p n n p n p n p n p n p n n n n n n n ++++++++++=++++++++++++++ ）

（）（2212244233222)()1(-4-3-2--p n x n x n x x x x x x x x x x p

n p n n p n n n n p n n p n n p n n

p n p n n +++++++++=+++++++++ n

x x n p n n p n n 1-111<⇒<+-=+.(证毕) （21）（本小题满分13分）

某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由李老师和张老师负责，已知该系共有n 位学生，每次活动均需该系k 位学生参加（n 和k 都是固定的正整数）。假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系k 位学生，且所发信息都能收到。记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为x

（Ⅰ）求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率；

（Ⅱ）求使()P X m =取得最大值的整数m 。

【答案】 （Ⅰ） 2)(2n

k n k -. （Ⅱ） .)(2

2-10取最大值时时，当m f k m n k =<<