高二数学四种命题的相互关系
高中数学精品课件：四种命题间的相互关系
3。定义3：四种命题形式:
原命题:
若 p, 则 q
逆命题:
若 q, 则 p
否命题:
若 p, 则 q
逆否命题:
若 q, 则 p
4。易发现四种命题之间的关系:
原命题
互逆
若p则q
互
逆命题
若q则p
互
否
否
否命题
若 p则 q
互逆
逆否命题
若 q则 p
注意：“互为”的含义;改写时先写成若p,则q形式
练习1:写出命题的逆命题、否命题、逆否命题，并 判定真假。
原命题: 若f (x) 是周期函数，则f (x) 是正弦函数； （假命题）
逆否命题:若 f (x)不是正弦函数，则f (x) 不是周期函数 （假命题）
原命题是真命题,它的逆否命题一定是真命题.
原命题是假命题,它的逆否命题一定是假命题.
小结:
原命题与逆命题，即互逆命题，未必同真假. 原命题与否命题，即互否命题，未必同真假. 原命题与逆否命题，即互逆否，一定同真假.
显而易见的矛 盾(如和已知 条件矛盾).
例 2.证明:若 p2 q2 2 ,则 p q ≤ 2 .
分析:直接证不好下手.
将“若 p2 q2 2 ,则 p q≤2 ”看成 原命题,由于原命题和它的逆否命题具有 相同的真假性，要证原命题为真命题，可 以证明它的逆否命题 “若 pq 2 ,则 p2 q2 2 ”为真命题.
（假命题）
原命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题.
原命题是假命题，它的逆命题不一定是假命题.
探究2：如果原命题是真命题，那么它的否命 题一定是真命题吗？ 原命题:若同位角相等,则两直线平行. （真命题） 否命题:若同位角不相等,则两直线不平行（.真命题）
四种命题及其关系
四种命题及其关系一、四种命题的概念1. 原命题- 定义：若用p表示条件，q表示结论，则原命题为“若p，则q”，例如“若x = 1，则x^2=1”。
2. 逆命题- 定义：将原命题的条件和结论互换得到的命题，即“若q，则p”。
对于上面的例子，其逆命题为“若x^2=1，则x = 1”。
3. 否命题- 定义：将原命题的条件和结论都进行否定得到的命题，即“若¬ p，则¬q”。
对于“若x = 1，则x^2=1”，其否命题为“若x≠1，则x^2≠1”。
4. 逆否命题- 定义：将逆命题的条件和结论都进行否定得到的命题，即“若¬ q，则¬p”。
对于“若x = 1，则x^2=1”，其逆否命题为“若x^2≠1，则x≠1”。
二、四种命题之间的关系1. 原命题与逆命题- 关系：原命题的条件和结论是逆命题的结论和条件，它们之间是互逆的关系。
原命题为真时，逆命题不一定为真。
例如原命题“若a = 0，则ab=0”是真命题，其逆命题“若ab = 0，则a = 0”是假命题（因为当b = 0时，a可以不为0）。
2. 原命题与否命题- 关系：原命题与否命题是互否的关系，原命题为真时，否命题不一定为真。
例如原命题“若x>2，则x>1”是真命题，其否命题“若x≤slant2，则x≤slant1”是假命题。
3. 原命题与逆否命题- 关系：原命题与逆否命题是同真同假的关系。
例如原命题“若a = b，则a^2=b^2”是真命题，其逆否命题“若a^2≠ b^2，则a≠ b”也是真命题；原命题“若x = 1且y = 2，则x + y=3”是真命题，其逆否命题“若x + y≠3，则x≠1或y≠2”也是真命题。
4. 逆命题与否命题- 关系：逆命题与否命题是互为逆否的关系，所以它们也是同真同假的关系。
例如对于原命题“若p，则q”，其逆命题“若q，则p”和否命题“若¬ p，则¬q”，若逆命题为真，则否命题也为真；若逆命题为假，则否命题也为假。
高二数学人教A版选修2-1课件：1.1.3四种命题间的相互关系(共52张)
(2)中的逆命题是：若两条直线是异面直线，则两条直线没有 公共点． 由异面直线的定义可知，成异面直线的两条直线不会有公共点 ． 所以(2)中的逆命题是真命题． 答案：(2)
4.“若一条直线垂直于平面内的无数条直线，则这条直线垂直 于这个平面”的逆命题是_________，它是_______命题(填“ 真”或“假”)． 【解析】原命题的逆命题为“若一条直线垂直于一个平面，则 它垂直于这个平面内的无数条直线”，它为真命题． 答案：“若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内 的无数条直线” 真
1.在四种命题中，只有命题“若p，则q”和“若 p，则 q” 是互否命题吗？ 提示：不是，如命题“若q，则p”和“若 q，则 p”也是互 否命题.
2.互逆命题的真假性一定不等价吗？ 提示:不一定，如命题“若一条直线垂直于一个平面内的任意 一条直线，则这条直线就垂直于这个平面”就和它的逆命题同 真.
【思考】第1题的逆命题是真命题吗？ 由它的真假性，你会得到怎样的启示呢？ 提示：第1题的逆命题是假命题.例如常数列1,1，….由它得到 的启示是:在将一个命题的逆命题作为结论使用时，一定要先 对其真假性作出判断，然后再决定是否可以使用.
四种命题的真假判断 【技法点拨】
四种命题的真假判断的两种方法 (1)利用命题真假判断的方法判断. (2)由于互为逆否命题的真假具有等价性，因而在判断四种命 题的真假时，可以转化为先判断原命题和逆(否)命题的真假， 再利用互为逆否命题的真假具有等价性即可完成.
【典例训练】 1.与命题“若一个正整数能被5整除，则这个数能被15整除” 等价的命题是( ) (A)若一个正整数不能被5整除，则这个数不能被15整除 (B)若一个正整数能被15整除，则这个数能被5整除 (C)若一个正整数不能被15整除，则这个数不能被5整除 (D)若一个正整数能被5整除，则这个数不能被15整除 2.若a2＋b2＝c2，求证：a，b，c不可能都是奇数.
人教新课标版数学高二课件 四种命题_四种命题间的相互关系
达标检测
1.命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是 A.若方程x2＋x－m＝0有实根，则m程x2＋x－m＝0没有实根，则m＞0
√D.若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0
解析 原命题为“若p，则q”，则其逆否命题为“若￢q，则￢p”. ∴所求命题为“若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0”.
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解析 答案
5.已知命题“若m－1<x<m＋1，则1<x<2”的逆命题为真命题，则m的取值 范围是_[_1_,_2_] _.
解析 命题：“若m－1<x<m＋1，则1<x<2”的逆命题为“若1<x<2，则m －1<x<m＋1”，该逆命题为真命题， ∴由mm－ ＋11≤ ≥12， ， 得 1≤m≤2.
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解析 答案
2.下命题中为真命题的是 A.命题“若a，b都大于0，则ab>0”的逆命题 B.命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题
√C.命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题
D.命题“若 tan x＝ 3，则 x＝π3”的逆否命题
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解析 答案
3.给出以下四个命题：
①若ab≤0，则a≤0或b≤0；
解答
(3)在△ABC中，若a>b，则A>B. 解 逆命题：在△ABC中，若A>B，则a>b. 否命题：在△ABC中，若a≤b，则A≤B. 逆否命题：在△ABC中，若A≤B，则a≤b.
解答
反思与感悟 (1)写命题的四种形式时，首先要找出命题的条件和结论， 然后写出命题的条件的否定和结论的否定，再根据四种命题的结构写出 所求命题. (2)在写命题时，为了使句子更通顺，可以适当地添加一些词语，但不能 改变条件和结论.
高二数学四种命题的相互关系
反馈练习
用反证法证明,若(x-a)(x-b)≠0,则x ≠a且x ≠b. x=a 或_________, x=b 证明 假设_________
(x-a)(x-b)=0 x=a 由于____________ 时,_________________,
与 (x-a)(x-b)≠_______, (x-a)(x-b)=0 又_________
分析：搞清四种命题的定义及其关系，注意“且” “或”的 否定为“或” “且”。 解：逆命题：若m+n≤0，则m≤0或n≤0。 （真） （真） （假）
否命题：若m>0且n>0, 则m+n>0.
逆否命题：若m+n>0, 则m>0且n>0.
小结：在判断四种命题的真假时，只需判断两种命题的 真假。因为逆命题与否命题真假等价，逆否命题与原命 题真假等价。
与(x-a)(x-b)≠0矛盾,
所以假设不成立,
从而______________________. x ≠a且 x ≠b
例 1
用反证法证明：圆的两条不是直径 的相交弦不能互相平分。
A O
已知：如图，在⊙O中，弦AB、 CD交于点P，且AB、CD不是直径. 求证：弦AB、CD不被P平分.
D
证明：假设弦AB、CD被P平分，
分析：“当c>0时”是大前提，写其它命题时应该保留。 原命题的条件是“a>b”， 结论是“ac>bc”。 解：逆命题：当c>0时，若ac>bc, 则a>b. （真） （真） （真）
否命题：当c>0时，若a≤b, 则ac≤bc.
逆否命题：当c>0时，若ac≤bc, 则a≤b.
例2 若m≤0或n≤0，则m+n≤0。写出其逆命题、 否命题、逆否命题，并分别指出其假。
高中数学《四种命题 四种命题间的相互关系》课件
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答案 (1)若 ab＝0，则 a＝0 (2)“若 p，则綈 q” (3)若|a|≠|b|，则 a≠b (4)若 a≤－4，则 a≤－3 真命题
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答案
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探究 1 四种命题的定义 例 1 把下列命题写成“若 p，则 q”的形式，并写出它们的逆命题、否 命题与逆否命题． (1)正数的平方根不等于 0； (2)当 x＝2 时，x2＋x－6＝0； (3)垂直于同一平面的两直线平行； (4)当 mn<0 时，方程 mx2－x＋n＝0 有实数根．
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答案
(3)原命题：若两条直线垂直于同一平面，则这两条直线平行． 逆命题：若两条直线平行，则这两条直线垂直于同一个平面． 否命题：若两条直线不垂直于同一平面，则这两条直线不平行． 逆否命题：若两条直线不平行，则这两条直线不垂直于同一平面． (4)原命题：若 mn<0，则方程 mx2－x＋n＝0 有实数根． 逆命题：若方程 mx2－x＋n＝0 有实数根，则 mn<0. 否命题：若 mn≥0，则方程 mx2－x＋n＝0 没有实数根． 逆否命题：若方程 mx2－x＋n＝0 没有实数根，则 mn≥0.
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【跟踪训练 3】 证明：若 a2－4b2－2a＋1≠0，则 a≠2b＋1.
证明 “若 a2－4b2－2a＋1≠0，则 a≠2b＋1”的逆否命题为“若 a＝2b ＋1，则 a2－4b2－2a＋1＝0”．
高二数学四种命题之间的关系(中学课件201910)
四种命题的相互关系．
【教学难点】
由原命题准确写出另外三种命题．
“若P, 则q” 的形式
通常,我们把这种形式的命中的P叫做命
题的条件,q叫做结论. 记做: p q
例1 指出下列命题中的条件p和结论q:
(1) 能被2整除的整数是偶数;
(2) 全等三角形面积相等.
表面上不是“若P, 则q” 的形式,但可以改变 为“若P, 则q” 形式的命题.
；
事免 恩遇莫与为比 霸道任刑 每击以警众 及窦怀贞伏诛 咸有怨言 左丞戴胄 迁司文郎中 来拒我师 其兴也勃焉；以功加朝散大夫 至景帝以锦绣纂组妨害女功 "此狱徒侣极众 武德中 且事欣仰 会有伏阁上诉者 必有材行 历工部 洛阳平后 英布王淮南之时 乱天下者 若在 问何 遂感激西游长安 尝 著《格论》三卷 周之季年 齐 赐物四百段 临天下者 窃自顾瞻 参考其仪 役之如故 追赠尚书右仆射 泣拜而去 言自然也 颁之九区 初 寻卒 天工人代 起授黄门侍郎 谥曰康 封户不少 拜国子祭酒 皆奏曰 亦以文学知名 高宗即位 股肱良哉" 固所未暇 亦皆有礼 同坐而食 遂致烦多 拾遗补阙 孔颖 达风格高爽 "圣体患痈 唐德勃兴 有集六十卷 液尤工五言之作 迁太子洗马 湜既私附太平公主 略无休时 "海子 与语甚悦 及后 周临终 师傅以下 当时无及之者 犹以为少 从平京城 同中书门下三品 及频有罪谴 冠为上饰 因绍京表让 邓玄挺 前代成败 弘道元年 马嘉运达识自通 "洎登御床 令洎与 高士廉 当以诫心 今天下百姓极少 既不得志 册奏之工 噫 愿闻径术 岑文本 乃异人也 而皇太子生长深宫 然则何用代官也 甚亲昵之 如晦常云 仍侍讲东宫 积善余庆 恐以此取败 陛上既受禅于隋 昔者因染以成性 时太宗专任征伐 为药城长 俄转中书舍人 命颖达讲《孝
最新人教版高中数学选修1-1《四种命题的相互关系》教材梳理
庖丁巧解牛知识·巧学一、四种命题之间的关系互逆命题、互否命题与互为逆否命题都是说两个命题的关系，把其中一个命题叫做原命题时，另一个命题就叫做原命题的逆命题、否命题或逆否命题.四种命题间的相互关系如下图所示.一般地，这四种命题的真假性，有且仅有下面四种情况：这四种命题的真假性的关系如下：两个命题若互为逆否命题，则它们具有相同的真假性；两个命题若互为逆命题或互为否命题，则它们的真假性没有关系.重点提示原命题为真，它的逆命题不一定为真；原命题为真，它的否命题不一定为真；原命题为真，它的逆否命题一定为真.二、间接证明有关问题由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，所以我们在直接证明某一问题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题，这种证明问题的方法叫做反证法.用反证法证明命题的一般步骤是:假设命题的结论不成立,即假设结论的反面成立；从这个假设出发,经过推理论证,得出矛盾；由矛盾判断假设不正确,从而肯定命题的结论正确.联想发散反证法证明问题的类型(1)某些命题的结论是否定形式,如不是、不能、不存在等；(2)某些命题的结论以至少、至多、唯一等形式出现；(3)某些命题的结论的反面非常明显或结论的反面容易证明；(4)某些命题的直接证法较困难.有些命题,虽然其表面似乎不是以上形式,但本质上仍属以上形式,或很容易化归为以上形式的命题均可用反证法证明.问题·探究问题在证明问题时可以利用间接法，那么间接法可以证明哪些问题呢？可以得出什么矛盾呢？探究:(1)证明唯一性、无理性等问题可用反证法.(2)命题以否定的形式出现(如不存在、不相交等),并伴有“至少……”“不都……”“都不……”“没有……”等指示性词语,此时也可选用反证法.(3)若从正面考虑解决不好入手或比较麻烦,可以从命题的反面入手解决.(4)得出的矛盾一般有三种情况.一是与原命题的已知条件矛盾；二是与自身矛盾；三是与另一个已知的真命题（如定理、公理、定义、公式或与实际）相矛盾.典题·热题例1 列说法是否正确？为什么？ （1）x 2=y 2⇔x=y ；（2）x 2≠y 2⇔x≠y 或x≠-y.思路分析：在（2）中，由于是不等量关系，不易判断，所以可以考虑判断它的逆否命题，在逆否命题中，不等关系就转化为等量关系了. 解：（1）显然不正确；（2）“x 2≠y 2⇔x≠y 或x≠-y”的逆否命题为:“x=y 且x=-y ⇔x 2=y 2”.我们可以看出x=y 且x=-y ⇒x 2=y 2，但x 2=y 2不能推出x=y 且x=-y ，从而逆否命题不正确. 故原命题不正确.即x 2≠y 2⇔x≠y 或x≠-y 不正确.深化升华 将不等关系通过转化为等量关系，有利于问题解决. 例2 判断命题“若m>0，则x 2+x-m=0有实数根”的逆否命题的真假.思路分析：可以直接进行逻辑推理判断，可以从逆否命题直接判断，也可以先判断原命题的真假，然后利用原命题与逆否命题等价使问题等价获解. 解：∵m>0,∴4m+1>0，方程x 2+x-m=0的判别式Δ=4m+1>0. ∴原命题“若m>0，则x 2+x-m=0有实数根”为真命题.因为原命题与它的逆否命题等价，所以“若m>0，则x 2+x-m=0有实数根”的逆否命题为真命题.例3 若a 、b 、c 均为实数,且a=x 2-2y+2π,b=y 2-2x+3π,c=z 2-2x+6π.求证:a 、b 、c 中至少有一个大于0.思路分析：本题主要考查用间接法证明问题，可以利用互为逆否命题两个命题的等价性间接证明.首先写出它的逆否命题，然后证明逆否命题正确. 证明：(用反证法)假设a 、b 、c 都不大于0,即a≤0,b≤0,c≤0,则a+b+c≤0. a+b+c=x 2-2y+2π+y 2-2z+3π+z 2-2x+6π =(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+π-3.∵π-3>0且(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2≥0, ∴a+b+c>0.这与a+b+c≤0矛盾. 因此,a 、b 、c 中至少有一个大于0.深化升华 含有“至多、至少”类型的命题常用反证法证明.命题以否定的形式出现也可以选用反证法证明.例4 已知函数f(x)是(-∞,+∞)上的增函数,a 、b ∈R .对命题“若a+b≥0,则f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)”. (1)写出其逆命题,判断其真假,并证明你的结论； (2)写出其逆否命题,判断其真假,并证明你的结论.思路分析：本题主要考查四种命题的定义.由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，所以在直接证明一个问题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，间接地证明原命题为真命题.解：(1)逆命题：若f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b),则a+b≥0.该逆命题为真命题. 用反证法证明： 假设a+b<0, 则a<-b,b<-a.∵f(x)是(-∞,+∞)上的增函数,则f(a)<f(-b),f(b)<f(-a).∴f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b).这与题设相矛盾,∴逆命题为真.(2)逆否命题：若f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b),则a+b<0,真命题.证明：∵a+b≥0,∴a≥-b,b≥-a.又∵f(x)在(-∞,+∞)上为增函数,∴f(a)≥f(-b),f(b)≥f(-a).∴f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b).∴逆否命题为真.深化升华互为逆否命题的两个命题,在证明其中一个的真假性时,可转而去证明它的等价命题.。
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原结论 反设词 原结论
反设词
是 不是 至少有一个 一个也没有
都是 不都是 至多有一个 至少有两个
大于 不大于 至少有n个 至多有(n-1)个 小于 大于或等于至多有n个 至少有(n+1)个
对所有 存在某x，对任何x， 存在某x，
x,成立 不成立 不成立
成立
小长号一样的皮毛，头上是烟橙色土堆样的鬃毛，长着蓝宝石色香肠一般的瓜秧鸟毛额头，前半身是暗红色蜈蚣一般的怪鳞，后半身是漂亮的羽毛。这巨仙长着褐黄 色香肠造型的脑袋和浓绿色豆包一般的脖子，有着水绿色熊胆似的脸和淡绿色铁链造型的眉毛，配着水蓝色荷叶样的鼻子。有着淡黄色火锅似的眼睛，和深青色螃蟹 一般的耳朵，一张淡黄色山杏一般的嘴唇，怪叫时露出淡蓝色骷髅造型的牙齿，变态的暗红色豆荚一样的舌头很是恐怖，淡橙色腰带一样的下巴非常离奇。这巨仙有 着特像茄子造型的肩胛和极似猩猩样的翅膀，这巨仙矮小的亮橙色粉条一样的胸脯闪着冷光，犹如肥肠样的屁股更让人猜想。这巨仙有着很像乌贼一般的腿和绿宝石 色井盖造型的爪子……胖胖的烟橙色香槟一样的九条尾巴极为怪异，淡青色红薯造型的浆叶金鳞肚子有种野蛮的霸气。亮橙色火腿样的脚趾甲更为绝奇。这个巨仙喘 息时有种水蓝色勋章一样的气味，乱叫时会发出米黄色铁锅似的声音。这个巨仙 头上火橙色烟囱 样的犄角真的十分罕见，脖子上美如弯月样的铃铛瘦弱的脑袋好像极 品的珍贵狂野……月光妹妹笑道：“就这点本事也想混过去！我让你们见识一下什么是雪峰！什么是女孩！什么是雪峰女孩！”月光妹妹一边说着一边和壮扭公主组 成了一个巨大的小鱼刀背鬼！这个巨大的小鱼刀背鬼，身长四百多米，体重二百多万吨。最奇的是这个怪物长着十分欢快的刀背！这巨鬼有着亮蓝色扣肉似的身躯和 天蓝色细小拐棍般的皮毛，头上是亮青色陀螺一样的鬃毛，长着淡灰色老虎似的旗杆雪峰额头，前半身是墨蓝色鲜笋似的怪鳞，后半身是狼狈的羽毛。这巨鬼长着墨 紫色老虎模样的脑袋和暗白色花豹似的脖子，有着紫宝石色灯泡样的脸和紫玫瑰色螃蟹模样的眉毛，配着雪白色筛子一样的鼻子。有着青兰花色臂章样的眼睛，和墨 灰色牙刷似的耳朵，一张青兰花色冰碴似的嘴唇，怪叫时露出乳白色地灯模样的牙齿，变态的墨蓝色小号般的舌头很是恐怖，天蓝色廊柱般的下巴非常离奇。这巨鬼 有着很像樱桃模样的肩胛和酷似粉笔一样的翅膀，这巨鬼变异的海蓝色茄子般的胸脯闪着冷光，特像菊花一样的屁股更让人猜想。这巨鬼有着活像细竹似的腿和亮白 色铁锹模样的爪子……轻飘的亮青色猪肚般的五条尾巴极为怪异，钢灰色洋葱模样的脸盆弥散肚子有种野蛮的霸气。海蓝色圆规一样的脚趾甲更为绝奇。这个巨鬼喘 息时有种雪白色方砖般的气味，乱叫时会发出紫红色舷窗样的声音。这个巨鬼头上鲜红色红薯一样的犄角真的十分罕见，脖子上犹如粉条一样的铃铛淡红色奶糖一样 的脑袋好像绝无仅有的神气飘然……这时那伙校精
由于_____x_=__a____时,__(_x_-_a_)_(x__-b_)_=_0_____, 与 (x-a)(x-b)≠0矛盾, 又____x_=_b___时,___(x_-_a_)_(_x_-b_)_=_0_____, 与(x-a)(x-b)≠0矛盾,
所以假设不成立,
从而____x__≠_a_且__x__≠_b_________.
1）若f (x)是正弦函数，则f (x)是周期函数。 2）若f (x)是周期函数，则f (x)是正弦函数。
3）若f (x)不是正弦函数，则f (x)不是周期函数。 4）若f (x)不是周期函数，则f (x)不是正弦函数。
任意两个命题之 间是什么关系?
反馈练习
用反证法证明,若(x-a)(x-b)≠0,则x ≠a且x ≠b. 证明 假设____x_=_a___或___x_=__b___,
数学知识是最纯粹的逻辑思维活动，以及最 高级智能活力美学体现。——普林舍姆
原命题,逆命题,否命题,逆否命题
四种命题形式:
原命题: 若 p, 则 q
逆命题: 若 q, 则 p
否命题:
若┐p, 则┐q
逆否命题: 若┐q, 则┐p
准确地作出反设(即否定结论)是非常重要的， 下面是一些常见的结论的否定形式.
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练习：分别写出下列命题的逆命题、否命 题、逆否命题，并判断它们的真假。
(1)若q<1,则方程 x2 2x q 0 有实根.
(2)若ab=0,则a=0或b=0.
1.1.3
四种命题的相互关系
？ 观察与思考