广州市执信中学2021届高三数学第二次月考
广东省广州市执信中学2021届高三数学2月月考试题 理(含解析).doc
广东省广州市执信中学2021届高三数学2月月考试题 理（含解析）一、选择题（共12题，每题5分，共60分，每道题有且只有一个选项是正确的） 1.设集合{}2|log 2,A x x =≤{5,3,2,4,6}B =--，则A B =（ ）A. {2,4}B. {2}C. {2,4,6}D.{5,3,2,4}--【答案】A 【解析】 【分析】计算出集合A ，再根据交集的定义计算可得. 【详解】解：{}2|log 2A x x =≤，{}|04A x x ∴=<≤，{5,3,2,4,6}B =--，{}2,4A B ∴=.故选：A .【点睛】本题考查对数不等式以及交集的运算，属于基础题. 2.若复数z 满足()12z i i +=，其中i 为虚数单位，则z =（ ） A. 1i -B. 1i +C. 1i -+D. 1i --【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的除法，求出复数z 即可. 【详解】复数z 满足()12z i i +=，211iz i i∴==++， 故本题选B.【点睛】本题考查复数的四则运算，要求掌握复数的除法运算，比较基础.3.《张丘建算经》卷上有题为“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈”，其意思为：现一善于织布的女子，从第2天开始，每天比前一天多织相同量的步（不变的常量），第1天织了五尺，一个月（按30天计算）共织九匹三丈（一匹=四丈，一丈=十尺），则该女子第30天比第1天多织布的尺数为（ ） A. 16 B. 17C. 19D. 21【答案】A 【解析】 【分析】设该女子第一天织布为1a ，利用等差数列即可得到结论.【详解】记该女子一个月中的第n 天所织布的尺数为n a ，则1303030()3902a a S +==，13026a a +=，则3021a =，30116a a -=.故选：A ．【点睛】本题主要考查等差数列计算，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用，属于基础题．4.已知圆22(7)(4)9x y -++=与圆22(5)(6)9x y ++-=关于直线l 对称 ，则直线l 的方程是（ ）A. 56110x y +-=B. 6510x y --=C. 65110x y +-=D. 5610x y -+=【答案】B 【解析】 【分析】根据两圆的圆心距大于两圆的半径之和，可得两圆外离，把两个圆的方程相减可得对称轴l 的方程.【详解】∵两圆22(7)(4)9x y -++=与圆22(5)(6)9x y ++-=关于直线l 对称，且两圆的6=>，∴两圆外离，将两个圆的方程相减可得242040x y --=，即6510x y --=. 故直线l 的方程为6510x y --=. 故选：B.【点睛】本题考查两圆关于直线对称的性质，把两个圆的方程相减可得此直线的方程，属于基础题.5.如图，一个半圆柱内部截去某几何体后得到一个新几何体，其三视图如图所示，则该新几何体的体积为（ ）正视图 侧视图 俯视图A. 1683π-B. 1643π-C. 84π-D. 843π+【答案】A 【解析】 【分析】由三视图知，该几何体是一个半圆柱挖去一个三棱锥得到，利用体积公式即得解.【详解】由三视图知，该几何体是一个半圆柱挖去一个三棱锥得到，211124424232V π=⨯⨯-⨯⨯⨯⨯16=83π-故选：A【点睛】本题考查了组合体的三视图以及空间几何体的体积，考查了学生空间想象，数学运算的能力，属于中档题.6.若61()ax x-的展开式中常数项等于20-，则a =（ ）A.12B. 12-C. 1D. 1-【答案】C 【解析】 【分析】在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于0，求出r 的值，即可求得常数项，再根据常数项等于20-，求得实数a 的值．【详解】解：∵61()ax x-的展开式中的通项公式为6616(1)rr r r r r T C a x ---+=-6626(1)r r r r C a x --=-，令620r -=得3r =，可得常数项为333361C ()2020ax a x ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭，得1a =，故选：C ．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．7.已知函数()y f x =的图象如图所示，则该函数可能是（ ）A. sin xy x=B. cos xy x=C. cos xy x=D.sin x y x=【答案】B 【解析】 【分析】由图象关于原点对称知函数为奇函数，A 、C 中函数为偶函数排除，B 、D 选项中函数为奇函数，再根据函数的单调性确定可能的函数.【详解】由图象可知，该图象关于原点对称，故函数()y f x =为奇函数.A 选项，()()()sin sin x xf x f x xx--===-，且定义域为()(),00,-∞+∞，∴该函数为偶函数，不符合题意，A 错误.B 选项，()()()cos cos x xf x f x xx--==-=--，且定义域为()(),00,-∞+∞，∴该函数为奇函数.易知当π02x <<时，()0f x >； 当π3π22x <<时，()0f x <； 当3π2π2x <<时，()0f x >，符合题意，B 正确. C 选项，()()()cos cos x xf x f x xx--===-，且定义域为()(),00,-∞+∞，∴该函数为偶函数，不符合题意，C 错误.D 选项，()()()sin sin x x f x f x xx--==-=--，且定义域()(),00,-∞+∞，∴该函数为奇函数.易知当0x >时，()0f x ≥；当0x <时，()0f x ≤，不符合题意，D 错误. 故选：B .【点睛】本题考查函数图象的辨析，考查函数的基本性质，涉及三角函数的单调性，属于中档题.8.已知函数()ln af x x x=+，直线3y x =-+与曲线()y f x =相切，则a =（ ） A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】 【分析】设切点为()00,x y ,利用导数的几何意义与()00,x y 在()ln af x x x=+与3y x =-+上联立求解即可.【详解】设切点为()00,x y ,则()21'af x x x=-,又直线3y x =-+与曲线()y f x =相切故20000000113ln a x x y x a y x x ⎧-=-⎪⎪⎪=-+⎨⎪⎪=+⎪⎩,消去0y 有0000003ln 3ln a a x x x x x x -+=+⇒=-+-,代入第一个式子有 ()0000013ln 2ln 20x x x x x --+-=-⇒+-=.易得01x =.代入20011ax x -=-有2a =.故选：B【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的运用,需要根据在某点处导函数的值等于在该点处切线的斜率以及切点在切线方程与函数式上联立求解即可.属于中等题型.9.某同学用“随机模拟方法”计算曲线ln y x =与直线,0x e y ==所围成的曲边三角形的面积时，用计算机分别产生了10个在区间[1，e ]上的均匀随机数x i 和10个在区间[0，1]上的均匀随机数(*1i y i N ∈，10)i ≤≤，其数据如下表的前两行．由此可得这个曲边三角形面积的一个近似值为（ ） A. 3(1)5e - B.4(1)5e - C.1(1)2e - D.2(1)3e - 【答案】A 【解析】 【分析】根据“随机模拟方法”，有序数对(,)i i x y 落在曲线ln y x =与直线,0x e y ==所围成的曲边三角形的内部的个数与总个数的比值约等于曲边三角形面积与直线,1,0,1x e x y y ====所围成的矩形的面积之比.【详解】用计算机分别产生在区间[1，e ]上均匀随机数x i ，在区间[0，1]上的均匀随机数i y ，形成有序数对(,)i i x y 所在区域为直线,1,0,1x e x y y ====所围成的矩形及其内部区域，如图所示，面积1e -， 作图：随机产生的十个点，当ln i i y x <时，该点落在曲边三角形内部，共有6个， 设曲边三角形面积为S ，则6110S e ≈-， 所以3(1)5e S -≈. 故选：A【点睛】此题考查用“随机模拟方法”解决不规则多边形面积问题，关键在于弄清这种模拟方式，两个区域面积之比近似等于落在该区域点的个数之比.10.在ABC 中，6AB =，8BC =，AB BC ⊥，M 是ABC 外接圆上一动点，若AM AB AC λμ=+，则λμ+的最大值是（ ）A. 1B.54C.43D. 2【答案】C 【解析】 【分析】以AC 的中点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设M 的坐标为(5cos ,5sin )θθ， 由1824(5cos 5,5sin )(,)(10,0)55AM AB AC λμθθλμ=+∴+=+， 51+=sin()62λμθφ∴++可得利用正弦函数的图像及性质即得解.【详解】以AC 的中点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设M 的坐标为(5cos ,5sin )θθ，过点B 作 BD x ⊥轴42418sin ,6sin ,cos 555A AB BD AB A AD AB A ==∴====7724(,)555OD AO AD B ∴=-=∴-又1824(5,0),(5,0)(,),(10,0),(5cos 5,5sin )55A B AB AC AP θθ-∴===+1824(5cos 5,5sin )(,)(10,0)55AM AB AC λμθθλμ=+∴+=+13125=cos sin ,sin 28224μθθλθ∴-+=12151+=cos +sin =sin()23262λμθθθφ∴+++当sin()=1θφ+时，max 514(+)623λμ=+= 故选：C【点睛】本题考查了向量的坐标运算和向量的数乘运算和正弦函数的图像和性质，以及直角三角形问题，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于较难题.11.已知函数()x xf x xe e =-，函数()g x mx m =-（0m >），若对任意的1[22]x ∈-，，总存在2[22]x ∈-，使得12()()f x g x =，则实数m 的取值范围是（） A. 21[3,]3e -- B. 2[,)e +∞C. 21[,]3eD. 1[,)3+∞【答案】B 【解析】 【分析】由题意，可得()f x 在[2,2]-的值域包含于函数()g x 的值域，运用导数和函数的单调性和值域，即可求解.【详解】由题意，函数()(1)x f x e x =-的导数为()xf x xe '=，当0x >时，()0f x '>，则函数()f x 为单调递增； 当0x <时，()0f x '<，则函数()f x 为单调递减， 即当0x =时，函数()f x 取得极小值，且为最小值1-，又由()2223,(2)f e f e --=-=，可得函数()f x 在[2,2]-的值域2[1,]e -，由函数()(0)g x mx m m =->在[2,2]-递增，可得()g x 的值域[3,]m m -， 由对于任意的1[2,2]x ∈-，总存在2[2,2]x ∈-，使得12()()f x g x =， 可得2[1,][3,]e m m -⊆-，即为231m m e-≤-⎧⎨≥⎩，解得2m e ≥，故选B. 【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，以及导数在函数中的应用，其中解答中转化为()f x 在[2,2]-的值域包含于函数()g x 的值域，运用导数和函数的单调性和值域是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试题.12.已知双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的左，右焦点分别为1F ，2F ，点A 为双曲线右支上一点，线段1AF 交左支于点B .若22AF BF ⊥，且1213BF AF =，则该双曲线的离心率为（ ）D. 3【答案】B 【解析】 【分析】 设121BF AF 3==m,由定义得2BF m 2a,AB 2m 2a,=+=+在三角形AB 2F 中由勾股定理，求得m=2a3，在B 12F F 中运用余弦定理即可求解. 【详解】设121BF AF 3==m,，由双曲线定义得2BF m 2a =+，又A 12F AF 2a,-=所以AB=2m+2a,22AF BF ⊥,∴22222AB BF AF =+,即()()()2222m 2a m 2a 3m +=++，解m=22222122a 8a 4c BF 2433a,cos ABF cos F BF ,2a 8a 3AB 5233∠∠⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴===-=-⨯⨯解得故选B.【点睛】本题考查双曲线定义，简单几何性质，熟记双曲线定义，熟练解三角形正确运算是关键，是难题.二、填空题（共4题，每题5分，共20分）13.已知(1,2)a =，(4,)b k =，若0a b ⋅=，则k =________． 【答案】-2 【解析】 【分析】由数量积的坐标运算即得解.【详解】由(1,2)a =，(4,)b k =，4202a b k k ∴⋅=+=∴=- 故答案为：-2【点睛】本题考查了向量数量积的坐标运算，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.14.由方程||||2x y +=确定曲线所围成的区域的面积是________． 【答案】8 【解析】 【分析】在平面直角坐标系下画出||||2x y +=的图象，为边长为22的正方形，即得解.【详解】在平面直角坐标系下画出||||2x y +=的图象，如图所示，为边长为22的正方形， 故2(22)8S == 故答案为：8【点睛】本题考查方程的曲线围成的面积，考查了学生数形结合，数学运算的能力，属于基础题.15.在《九章算术》中，将底面为直角三角形，侧棱垂直于底面的三棱柱称之为堑堵，如图，在堑堵111ABC A B C -中，AB BC =，1A A AB >，堑堵的顶点1C 到直线1A C 的距离为m ，1C 到平面1A BC 的距离为n ，则mn的取值范围是________. 【答案】23(2)3. 【解析】 【分析】设1AB =，1AA a =，利用等面积法和等体积法求出m ，n 关于a 的不等式，根据a 的范围得出mn的值． 【详解】设1AB BC ==，1(1)AA a a =>，则2AC =212AC a =+，211A B a =+B 到平面11ACC A 的距离为22． 1112122AC CC a m AC a ⋅∴==+，1211122A BCa S A B BC +=⨯⨯=， 1112113C A BCA BC a V S n -+∴=⋅=， 又1111111211223326C A BC B A C C A C C aV V S a --===⨯=， 21n a ∴=+，222222222m a n a a +∴==-++1a >，2422232a ∴<-<+， 232mn∴<<． 故答案为：23,23⎛⎫ ⎪ ⎪⎝．【点睛】本题考查了空间距离的计算，棱锥的体积公式，属于中档题．16.有一些正整数排成的倒三角，从第二行起，每个数字等于“两肩”数的和，最后一行只有一个数M ，那么M =________．【答案】2816 【解析】 【分析】从第一行为1，2和1，2，3和1，2，3，4入手，结合图形归纳出结果，即得解. 【详解】若第一行为1，2，则()223212M -==+⨯；若第一行为1，2，3，则()328312M -==+⨯；若第一行为1，2，3，4，则()4220412M -==+⨯；…归纳可得：若第一行为1，2，3，4，…，n ，则()212n M n -=+⨯．当10n =时，“金字数”81122816M =⨯=．【点睛】本题考查了推理与证明中的归纳推理，考查了学生逻辑推理，数学运算能力，属于中档题.三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） （一）必考题：共60分．17.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知cos sin b a C A =，点M 是BC 的中点. （Ⅰ）求A 的值；（Ⅱ）若a =AM 的最大值.【答案】（Ⅰ）3A π=； （Ⅱ）32. 【解析】 【分析】（1）由正弦定理，已知条件等式化边为角，结合两角和的正弦公式，可求解；（2）根据余弦定理求出,b c 边的不等量关系，再用余弦定理把AM 用,b c 表示，即可求解；或用向量关系把AM 用,AB AC 表示，转化为求||AM 的最值.【详解】（Ⅰ）由已知及正弦定理得sin sin cos sin B A C C A =+. 又()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，且sin 0C ≠，∴tan A A π=<<，即3A π=.（Ⅱ）方法一：在ABC ∆中，由余弦定理得223b c bc +-=，∵222b c bc +≤，当且仅当b c =时取等号，∴226b c +≤.∵AM 是BC 边上的中线，∴在ABM ∆和ACM ∆中，由余弦定理得，2232cos 4c AM AM AMB =+-∠，①2232cos 4b AM AM AMC =+-∠.② 由①②，得22239244b c AM +=-≤，当且仅当b c ==AM 取最大值32. 方法二：在ABC ∆中，由余弦定理得223b c bc +-=，∵222b c bc +≤，当且仅当b c =时取等号，∴226b c +≤.∵AM 是BC 边上的中线，∴2AB ACAM +=，两边平方得 ()22214AM b c bc =++，∴22239244b c AM +=-≤，当且仅当3b c ==时，AM 取最大值32. 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理在三角形中应用，考查基本不等式和向量的模长公式的灵活运用，是一道综合题.18.如图，三棱柱111ABC A B C -中，AB ⊥侧面11BB C C ，已知13BCC π∠=，1BC =，12AB C C ==，点E 是棱1C C 的中点．（1）求证：1C B ⊥平面ABC ；（2）在棱CA 上是否存在一点M ，使得EM 与平面11A B E 所成角的正弦值为21111，若存在，求出CMCA的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）存在，13CM CA =或523CM CA = 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理解得13BC 结合勾股定理得到1BC BC ⊥，证得AB ⊥侧面11BB C C ， 1AB BC ⊥，继而可证1C B ⊥平面ABC ；（2）以B 为原点，分别以BC ，1BC 和BA 的方向为x ，y 和z 轴的正方向建立空间直角坐标系，假设存在点M ，设(),,M x y z ，由EM 与平面11A B E 所成角的正弦值为211，可求解. 【详解】（1）由题意，因为1BC =，12CC =，13BCC π∠=，利用余弦定理2221112cos 60BC BC CC BC CC =+-⨯︒，解得13BC =，又22211BC BC CC ∴+=，1BC BC ∴⊥，AB ⊥侧面11BB C C ，1AB BC ∴⊥．又AB BC B ⋂=，AB ，BC ⊂平面ABC ，∴直线1C B ⊥平面ABC ．（2）以B 为原点，分别以BC ，1BC 和BA 的方向为x ，y 和z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则有(0,0,2)A ，1(13,0)B -，132E ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，1(13,2)A -，设平面11A B E 的一个法向量为(,,)m x y z =，11(0,0,2)A B =-，133,22A E ⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭， 11100m A B m A E ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，2033202z x y z -=⎧⎪∴⎨-=⎪⎩，令3y =1x =，(1,3,0)m ∴=， 假设存在点M ，设(),,M x y z ，CM CA λ=，[0,1]λ∈，(1,,)(1,0,2)x y z λ∴-=-，(1,0,2)M λλ∴-，13,22EM λλ⎛⎫∴=- ⎪ ⎪⎝⎭利用平面11A B E 的一个法向量为(1,3,0)m =，221321122132424λλλ--∴=⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，得2693850λλ-+=．即(31)(235)0λλ--=，13λ∴=或523λ=，13CM CA ∴=或523CM CA =． 【点睛】本题考查了空间向量和立体几何综合问题，考查了学生逻辑推理，空间向量和数学运算能力，属于中档题.19.椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>经过点(2,0)A -,且离心率为22.（Ⅰ）求椭圆E 的方程； （Ⅱ）过点任作一条直线与椭圆C 交于不同的两点,M N .在轴上是否存在点，使得？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（I ）22142x y +=（II ）存在点(1,0)Q ，使得180PQM PQN ∠∠+=.【解析】试题分析：（1）由椭圆的标准方程和几何性质，即可求解,a b 的值，得到椭圆的标准方程； （2）若存在点(,0)Q m ，由题意，当直线QM 和QN 的斜率存在,分别设为1k ,2k ， 等价于120k k +=，直线l 的斜率存在，故设直线l 的方程为(4)y k x =-.由22(4){142y k x x y =-+= ，得2222(21)163240k x k x k +-+-=，得1212,x x x x +，由120k k +=，即可求得m 的值．试题解析：（I ）22142x y +=（II ）若存在点(),0Q m ，使得180PQM PQN ∠∠+=︒， 则直线QM 和QN 的斜率存在,分别设为1k ,2k . 等价于120k k +=.依题意，直线l 的斜率存在，故设直线l 的方程为()4y k x =-.由()224{142y k x x y =-+=，得()222221163240k x k x k +-+-=.因为直线l 与椭圆C 有两个交点，所以0∆>. 即()()()2222164213240k k k -+->，解得216k <. 设()11,M x y ，()22,N x y ,则21221621k x x k +=+，212232421k x x k -=+，()()11224,4,y k x y k x =-=-令1212120y y k k x m x m+=+=--， ()()12210,x m y x m y -+-=当时，()()12122480x x m x x m -+++=，化简得，()281021m k -=+，所以1m =. 当0k =时，也成立.所以存在点()1,0Q ，使得180PQM PQN ∠∠+=.点睛：本题主要考查了直线与椭圆的位置关系的综合问题，其中解答总涉及到椭圆的几何性质及其应用，直线与椭圆的位置关系的综合应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，推理与运算能力，此类问题的解答中，把直线方程代入椭圆的方程，转化为方程的根与系数的关系及韦达定理的应用是解答的关键．20.山东省2021年高考将实施新的高考改革方案.考生的高考总成绩将由3门统一高考科目成绩和自主选择的3门普通高中学业水平等级考试科目成绩组成，总分为750分.其中，统一高考科目为语文、数学、外语，自主选择的3门普通高中学业水平等级考试科目是从物理、化学、生物、历史、政治、地理6科中选择3门作为选考科目，语、数、外三科各占150分，选考科目成绩采用“赋分制”，即原始分数不直接用，而是按照学生分数在本科目考试的排名来划分等级并以此打分得到最后得分.根据高考综合改革方案，将每门等级考试科目中考生的原始成绩从高到低分为A 、B +、B 、C +、C 、D +、D 、E 共8个等级．参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%、7%、16%、24%、24%、16%、7%、3%.等级考试科目成绩计入考生总成绩时，将A 至E 等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到91-100、81-90、71-80，61-70、51-60、41-50、31-40、21-30八个分数区间，得到考生的等级成绩. 举例说明.某同学化学学科原始分为65分，该学科C +等级的原始分分布区间为58～69，则该同学化学学科的原始成绩属C +等级.而C +等级的转换分区间为61～70，那么该同学化学学科的转换分为：设该同学化学科的转换等级分为x ，696570655861xx --=--，求得66.73x ≈.四舍五入后该同学化学学科赋分成绩为67.（1）某校高一年级共2000人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中物理考试原始成绩基本服从正态分布2(60,12)N ξ.（i ）若小明同学在这次考试中物理原始分为84分，等级为B +，其所在原始分分布区间为82～93，求小明转换后的物理成绩； （ii ）求物理原始分在区间(72,84)的人数；（2）按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取4人，记X 表示这4人中等级成绩在区间[61,80]的人数，求X 的分布列和数学期望.（附：若随机变量2(,)N ξμσ，则()0.682P μσξμσ-<<+=，()220.954P μσξμσ-<<+=，()330.997P μσξμσ-<<+=）【答案】(1)（i ）83.;（ii ）272.(2)见解析. 【解析】 【分析】（1）根据原始分数分布区间及转换分区间，结合所给示例，即可求得小明转换后的物理成绩；根据正态分布满足()260,12N ，结合正态分布的对称性即可求得()72,84内的概率，根据总人数即可求得在该区间的人数．（2）根据各等级人数所占比例可知在区间[]61,80内的概率为25，由二项分布即可求得X 的分布列及各情况下的概率，结合数学期望的公式即可求解． 【详解】（1）（i ）设小明转换后的物理等级分为x ，938490848281xx --=--，求得82.64x ≈.小明转换后的物理成绩为83分；（ii ）因为物理考试原始分基本服从正态分布()260,12N ，所以(7284)(6084)(6072)P P P ξξξ<<=<<-<<11(3684)(4872)22P P ξξ=<<-<< ()10.9540.6822=- 0.136=.所以物理原始分在区间()72,84的人数为20000.136272⨯=（人）； （2）由题意得，随机抽取1人，其等级成绩在区间[]61,80内的概率为25， 随机抽取4人，则2~4,5X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭. ()438105625P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()31423216155625P X C ⎛⎫==⋅⋅=⎪⎝⎭， ()222423216255625P X C ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()31342396355625P X C ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()421645625P X ⎛⎫===⎪⎝⎭.X 的分布列为数学期望()28455E X =⨯=. 【点睛】本题考查了统计的综合应用，正态分布下求某区间概率的方法，分布列及数学期望的求法，文字多，数据多，需要细心的分析和理解，属于中档题． 21.已知函数()()1xf x alnx x e =--，其中a 为非零常数．()1讨论()f x 的极值点个数，并说明理由；()2若a e >，()i 证明：()f x 在区间()1,+∞内有且仅有1个零点；()ii 设0x 为()f x 的极值点，1x 为()f x 的零点且11x >，求证：0012x lnx x +>． 【答案】（1）见解析；（2）（i ）证明见解析；（ii ）证明见解析. 【解析】 【分析】()1先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系，对a 进行分类讨论即可求解函数的单调性，进而可确定极值，()()2i 转化为证明()'0f x =只有一个零点，结合函数与导数知识可证；()ii 由题意可得，()()0100f x f x ⎧=⎪⎨='⎪⎩，代入可得，()012011010x x a x e alnx x e ⎧-=⎪⎨--=⎪⎩，结合函数的性质可证． 【详解】解：()1解：由已知，()f x 的定义域为()0,+∞，()2x xa a x e f x xe x x-=-='， ①当0a <时，20x a x e -<，从而()'0f x <，所以()f x 在()0,+∞内单调递减，无极值点；②当0a >时，令()2xg x a x e =-， 则由于()g x 在[)0,+∞上单调递减，()00g a =>，(10ga a =-=-<，所以存在唯一的()00,x ∈+∞，使得()00g x =， 所以当()00,x x ∈时，()0g x >，即()'0f x >；当()0,x x ∈+∞时，()0g x <，即()'0f x <， 所以当0a >时，()f x 在()0,+∞上有且仅有一个极值点.综上所述，当0a <时，函数()f x 无极值点；当0a >时，函数()f x 只有一个极值点；()2证明：()i 由()1知()2xa x e f x x-'=． 令()2xg x a x e =-，由a e >得()10g a e =->， 所以()0g x =在()1,+∞内有唯一解，从而()'0f x =在()0,+∞内有唯一解，不妨设为0x ，则()f x 在()01,x 上单调递增，在()0,x +∞上单调递减，所以0x 是()f x 的唯一极值点．令()1h x lnx x =-+，则当1x >时，()1'10h x x =-<， 故()h x 在()1,+∞内单调递减，从而当1x >时，()()10h x h <=，所以1lnx x <-．从而当a e >时，1lna >，且()()()()()1110lna f lna aln lna lna ea lna lna a =--<---=又因为()10f =，故()f x 在()1,+∞内有唯一的零点．()ii 由题意，()()0100f x f x ⎧=⎪⎨='⎪⎩即()012011010x x a x e alnx x e ⎧-=⎪⎨--=⎪⎩， 从而()0120111x x x e lnx x e =-，即1011201x x x lnx e x --=． 因为当11x >时，111lnx x <-，又101x x >>，故10112011x x x e x x --<-，即1020x x e x -<， 两边取对数，得1020x x lne lnx -<，于是1002x x lnx -<，整理得0012x lnx x +>．【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值问题，体现了转化的思想方法，还综合考查了函数与导数的综合应用，属于难题．（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22.已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点O 处，极轴与x 轴的正半轴重合，且长度单位相同，曲线C的方程是)4πρθ=-，直线l 的参数方程为1cos 2sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数，0απ≤<），设(1,2)P ，直线l 与曲线C 交于A ，B 两点. （1）当0α=时，求AB 的长度；（2）求22PA PB +的取值范围.【答案】（1）2；（2）(]6,14.【解析】分析：（1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，当0α=时，直线:2l y =，代入曲线C 可得11x +=±，解得0x =或2-，从而可得2AB =；（2）将12x tcos y tsin αα=+⎧⎨=+⎩代入到()()22112x y ++-=得，()24cos 2sin 30t t αα+++=，利用韦达定理，结合直线参数方程的几何意义，利用辅助角公式以及三角函数的有界性可得结果.详解：（1）曲线C的方程是4πρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭，化为2ρθθ⎫=⎪⎪⎝⎭ 化为22sin 2cos )ρρθρθ=-，∴2222x y y x +=-曲线C 的方程为()()22112x y ++-=当0α=时，直线:2l y =代入曲线C 可得11x +=±，解得0x =或2- ∴2AB =.（2）将12x tcos y tsin αα=+⎧⎨=+⎩代入到()()22112x y ++-=得， ()24cos 2sin 30t t αα+++=由0∆>，得()24cos 2sin 120αα+-> 化简得()23sin 15αφ<+≤（其中tan 2φ=）， ∴()12124cos 2sin ,3t t t t αα+=-++= ∴()22222121212||2PA PB t t t t t t +=+=+- ()()224cos 2sin 620sin 6αααφ=+-=+- ∴22||PA PB + (]6,14∈. 点睛：参数方程主要通过代入法或者已知恒等式（如22cos sin 1αα+=等三角恒等式）消去参数化为普通方程，通过选取相应的参数可以把普通方程化为参数方程，利用关系式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，222tan x y y xρθ⎧+=⎪⎨=⎪⎩等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化，这类问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题．23.已知函数()2f x x a a =-+，()1g x x =+.（Ⅰ）当1a =时，解不等式()()3f x g x -≤；（Ⅱ）当x ∈R 时，()()4f x g x +≥恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（Ⅰ）1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭；（Ⅱ）[)1,+∞. 【解析】【分析】（Ⅰ）把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求.（Ⅱ）利用绝对值三角不等式求得()()f x g x +的最小值为12a a ++，()()4f x g x +≥等价于124a a ++≥，分类讨论，求得a 的取值范围.【详解】（Ⅰ）当1a =时，不等式()()3f x g x -≤，等价于111x x --+≤；当1x ≤-时，不等式化为()()111x x --++≤，即21≤，解集为∅；当11x -<<时，不等式化为()()111x x ---+≤，解得112x -≤<； 当1x ≥时，不等式化为()()111x x --+≤，即21-≤，解得1x ≥； 综上，不等式的解集为1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭. （Ⅱ）当x ∈R 时，()()2112f x g x x a a x x a x a +=-+++≥---+12a a =++， ()()4f x g x +≥等价于124a a ++≥，若1a <-，则()124a a -++≥，∴a ∈∅；若1a ≥-，则124a a ++≥，∴1a ≥.综上，实数a 的取值范围为[)1,+∞.【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，函数恒成立问题，体现了转化、分类讨论的数学思想.。
2022年 新执信中学高三数学上学期第二次月考模拟练习理配套精选
2021届高三第一学期第二次月考理科数学试题一、选择题〔本大题共12小题，每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的〕1.集合M={x|0≤x≤6}，N={x|2x≤32}，那么M∪N=〔〕A．〔﹣∞，6] B．〔﹣∞，5] C．[0，6] D．[0，5]2.复数=〔〕A.﹣1+i +i ﹣i D.﹣1﹣i3.设x，y∈R，那么“|x|≤1且|y|≤1“是“x2+y2≤2“的〔〕A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4.，那么的值是〔〕A．B．C．D．5.假设实数满足，那么的最小值为〔〕A. B. C． D．6.{a n}为等差数列，S n为其前n项和，假设a3+7=2a5，那么S13=〔〕A．49 B．91 C．98 D．1827.随机变量服从正态分布, 且, 那么〔〕A．B． C．D．8.某几何体的三视图如下图，那么该几何体的体积为〔〕A. B. C. D.9.函数y=xcosx﹣sinx的局部图象大致为〔〕A． B．C． D．10. 设P是双曲线上的点，是其焦点，且，假设的面积是1, 且，那么双曲线的离心率为〔〕A..B.C.D.11.函数，满足，且对任意，都有，那么以下结论正确的选项是〔〕A． B． C. D．12.设函数存在零点，且，那么实数的取值范围是〔〕A． B．C. D．二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分)13..14. 假设，那么=____________.15. 等比数列的第项是二项式展开式中的常数项，那么的值为 .16．假设函数的图象上存在不同的两点，，其中使得的最大值为0，那么称函数是“柯西函数〞．给出以下函数：①；②；③；④.其中是“柯西函数〞的为〔填上所有．．正确答案的序号〕三、解答题〔解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤〕17.(此题总分值12分)在△ABC中，a=7，b=8，cosB=﹣．〔1〕求∠A；〔2〕求AC边上的高．18. (此题总分值12分)如图，菱形ABCD与正三角形BCE的边长均为2，它们所在平面互相垂直，FD⊥平面ABCD，且FD=．〔1〕求证：EF∥平面ABCD；〔2〕假设∠CBA=60°，求直线AF与平面BEF所成角的正弦值．19. (此题总分值12分)电子商务在我国开展迅猛，网上购物成为很多人的选择.某购物网站组织了一次促销活动，在网页的界面上打出：高级口香糖，10元钱三瓶，有8种口味供你选择〔其中有一种为草莓口味〕.小王点击进入网页一看，只见有很多包装完全相同的瓶装口香糖排在一起，看不见具体口味，由购置者随机点击进行选择〔各种口味的高级口香糖均超过3瓶，且各种口味的瓶数相同，每点击选择一瓶后，网页自动补充相应的口香糖〕. 〔1〕小王花10元钱买三瓶，请问小王共有多少种不同组合选择方式？〔2〕小王花10元钱买三瓶，由小王随机点击三瓶，请列出有小王喜欢的草莓味口香糖瓶数的分布列，并计算其数学期望和方差.20. (此题总分值12分) 椭圆C的中心在原点，其中一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，点〔1，〕在椭圆C上．〔1〕求椭圆C的标准方程；〔2〕假设直线：y=kx+m〔k≠0〕与椭圆C交于不同的两点M，N，且线段MN的垂直平分线过定点G〔〕，求实数k的取值范围．21. (此题总分值12分)函数有最大值，，且是的导数.〔1〕求的值；〔2〕证明：当，时，.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，那么按所做的第一题计分。
广东省执信中学2021届高三数学9月考试试题 文(1)
2021-2021学年度第一学期执信中学高三级数学科（文科）9月月考试卷参考公式： 样本数据12,,,nx x x 的标准差222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-++-，其中x 表示样本均值．一、选择题：本大题共10个小题；每题5分，共50分．在每题给出的四个选项中，有且只有一项为哪一项符合题目要求的．1．设全集,{|(3)0},{|1},U R A x x x B x x ==+<=<-那么右图中阴影部份表示的集合为 （ ）A ．}13|{-<<-x xB ．}03|{<<-x xC ．{|0}x x >D ．}1|{-<x x2. 假设复数i ai216++-是纯虚数(i 是虚数单位)，那么实数a 的值为（ ）A. 6B. -6 C ．3 D. -33. 由123，，三个数字组成的无重复数字的两位数中,任取一个数,恰为偶数的概率是（ ） A ．16 B ．13 C ．12D ．234．已知α、β是不同的平面，m 、n 是不同的直线，那么以下命题不正确的选项是（ ） A ．假设m m ,α⊥∥,,β⊂n n 则βα⊥. B ．假设m ∥,,n =βαα 则m ∥n C ．假设m ∥n ，α⊥m ，那么α⊥n . D ．假设m m ,α⊥,β⊥则α∥β. 5． 11x -<是2log 1x <成立的 （ ）A ．充分没必要要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6.已知向量(4,3)=a , (2,1)=-b ，若是向量λ+a b 与b 垂直，那么|2|λ-a b 的值为 A ．1 B ．5 C.5 D ．557. 函数)718.2(62)(≈-+=e x e x f x的零点属于区间))(1,(Z n n n ∈+，那么n =( )A 0B 1C 2D 38.已知函数()y f x =，将()f x 的图象上的每一点的纵坐标维持不变，横坐标扩大到原先的2倍，然后把所得的图象沿着x 轴向左平移2π个单位，如此取得的是1sin 2y x=的图象，那么函数()y f x =的解析式是 A.1()sin 222x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ B. 1()sin 222f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ C.1()sin 222x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ D. 1()sin 222f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 9.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，假设105:1:2S S =，那么155:S S ＝( )A ．3:4B ．2:3C ．1:2D ．1:310.已知P 为抛物线221x y =上的动点，点P 在x 轴上的射影为M ，点A 的坐标是)217,6(，那么PM PA +的最小值是（ ）A ． 8B ．219C ． 10D ．221二、填空题：本大题共5小题，每题5分，总分值20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分． (一)必做题（11～13题）11.设α是第三象限角，tan α5=12，那么cos α= ．12．P x y (，)是以41A()，，16B --()，，32C -()，为极点的三角形及其内部上的任一点，那么43x y -的最大值为 ．13.已知函数y =[0,)+∞，那么实数m 的取值范围是（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只选做其中一题，两题全答的，只计前一题的得分。
广东省广州市执信中学2021届高三上学期第二次月考数学试卷含解析
广州市执信中学2021届高三年级第二次月考数 学（考试时间：120分钟 满分：150分）一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分，其中第1题至第10题为单项选择题，在给出的四个选项中，只有一项符合要求；第11题和第12题为多项选择题，在给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分）1．设集合}221|{<<−=x x A ，}1|{2≤=x x B ，则B A =( ) A ．}21|{<≤−x x B ．}121|{≤<−x x C ．}2|{<x xD ．}21|{<≤x x 2．复数i311−的虚部是( )A ．103−B ．101− C ．101D ．1033．命题“对任意R x ∈都有12≥x ”的否定是( )A ．对任意R x ∈，都有12<xB ．存在R x ∈0，使得120<x C ．存在R x ∈0，使得120≥xD ．不存在R x ∈，使得12<x4．己知双曲线)0,0(1:2222>>=−b a b y a x C 的离心率为25，则C 的渐近线方程为( )A ．x y 41±= B ．x y 31±= C ．x y 21±=D ．x y ±=5．函数xx x f ||ln )(=的图象大致形状是( )6．己知数列}{n a 满足34,0321−==++a a a n n ，则}{n a 的前10项和等于( ) A ．)31(610−−−B ．)31(9110−− C ．)31(310−−D ．)31(310−+7．设R x ∈，则“052<−x x ”是“1|1|<−x ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．42)1)(21(x x ++的展开式中3x 的系数为( )A ．12B ．16C ．20D ．249．414=a ，12log 5=b ，91log 31=c ，则( ) A ．c a b <<B ．b c a <<C ．c b a <<D ．b a c <<10．函数)(x f 的定义域为R ，且)3()(−=x f x f ，当02<≤−x 时，2)1()(+=x x f ；当10<≤x 时，12)(+−=x x f ，则)2021()3()2()1(f f f f ++++ =( ) A ．671B ．673C ．1345D ．134711．（多选）己知函数x x x x f cos sin )(−=，现给出如下结论，其中正确结论个数为( )A ．)(x f 是奇函数B ．0是)(x f 的极值点C ．)(x f 在区间)2,2(ππ−上有且仅有三个零点D ．)(x f 的值域为R12．（多选）如图，在正方体1111D C B A ABCD −中，⊥H A 1平面11D AB ，垂足为H ，则下面结论正确的是( )A ．直线H A 1与该正方体各棱所成角相等B ．直线H A 1与该正方体各面所成角相等C ．垂直于直线H A 1的平面截该正方体，所得截面可能为五边形D ．过直线H A 1的平面截该正方体所得截面为平行四边形二、填空题（本大题4小题，每小题5分，共20分）13．己知向量b a ,满足5||=a ，6||=b ，6−=⋅b a ，则>+<b a a ,cos = .14．若函数)(x f 是定义R 上的周期为2的奇函数，当10<<x 时，xx f 4)(=，则)2()25(f f +−= .15．己知α为锐角，且31)6cos(=+πα，则αcos = . 16．己知⎪⎩⎪⎨⎧>≤=ax x ax x x f ,,)(23，若存在实数b ，使函数b x f x g −=)()(有两个零点，则a 的取值范围是 .三、解答题（本大题6小题，共70分） 17．（本小题10分）在ABC ∆中，11=+b a ，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求：(1)a 的值：(2)C sin 和ABC ∆的面积.条件①：;71cos ,7−==A c 条件②：.169cos ,81cos ==B A 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．18．（本小题12分）在公比为2的等比数列}{n a 中，4,,432−a a a 成等差数列． (1)求数列}{n a 的通项公式； (2)若n n a n b 2log )1(+=，求数列⎪⎪⎭⎫⎝⎛+224n b n 的前n 项和n T . 19．（本题满分12分）如图，在四棱锥ABCD P −中，平面⊥PAD 平面ABCD ，PD PA ⊥，PD PA =，AD AB ⊥，1=AB ，2=AD ，.5==CD AC(1)求证：⊥PD 平面PAB ；(2)求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值.20．（本小题满分12分）如图，己知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的一个顶点为)1,0(B ，离心率为23.(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l 与椭圆C 交于N M ,两点，直线BM 与线BN 的斜率之积为21，证明：直线l 过定点并且求出该定点坐标．21．（本小题满分12分）计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量X （年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米）都在40以上. 其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年. 将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立．(1)求未来4年中，至多1年的年入流量超过120的概率；(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X 限制，并有如下关系：年入流量X 40<X <8080≤X ≤120X >120 发电机最多可运行台数123若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？ 22．（本小题满分12分）己知函数).0(1ln)(2>+−=a x ax xx f (1)若)(x f 是定义域上的单调函数，求a 的取值范围；(2)若)(x f 在定义域上有两个极值点21x x 、，证明：.2ln 23)()(21−>+x f x f数学参考答案一、选择题二、填空题13．【答案】3519 14．【答案】-215．【答案】6223+16．【答案】).,1()0,(∞+−∞三、解答题（本大题6小题，共70分） 17．（本小题10分） 【解析】选择条件①(1)11,71cos ,7=+−==b a A c ， )71(7)11(27)11(cos 2222222−⋅⋅−−+−=∴−+=a a a A bc c b a ，8=∴a(2)71cos −=A ，734cos 1sin ),,0(2=−=∴∈A A A π，由正弦定理得：23sin ,sin 77348,sin sin =∴=∴=C C C c A a ，36238)811(21sin 21=⨯⨯−==C ba S ，选择条件②(1)),0(,,169cos ,81cos π∈==B A B A ， 873cos 1sin 2=−=∴A A ，1675cos 1sin 2=−=B B ，由正弦定理得：6167511873sin sin =∴−=∴=a aa Bb A a ，，. (2)47811675169873cos sin cos sin )sin(sin =⨯+⨯=+=+=A B B A B A C ， 4715476)611(21sin 21=⨯⨯−==C ba S .18．【解】(1)因为4,,432−a a a 成等差数列，所以42423−+=a a a ， 所以4828111−+=a a a ，解得21=a ，所以.2n n a =(2)因为n n a 2=，所以)1(2log )1(log )1(22+=+=+=n n n a n b n n n ， 所以⎪⎪⎭⎫⎝⎛+−=++=+22222)1(112)1()12(224n n n n n b n n ， 所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+−++⎪⎭⎫ ⎝⎛−+⎪⎭⎫ ⎝⎛−=22222)1(112312122112n nT n ， .)1(22)1(112)1(11312121122222222+−=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+−=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+−++−+−=n n n n19．(1)因为平面⊥PAD 平面ABCD ，AD AB ⊥，所以⊥AB 平面PAD ，所以PD AB ⊥，又因为PD PA ⊥，所以⊥PD 平面PAB .(2)取AD 的中点O ，连结,,CO PO因为PD PA =，所以AD PO ⊥.又因为⊂PO 平面PAD ，平面⊥PAD 平面ABCD ， 所以⊥PO 平面ABCD .因为⊂CO 平面ABCD ，所以CO PO ⊥. 因为CD AC =，所以AD CO ⊥.如图建立空间直角坐标系xyz O −，由题意得，)1,0,0(),0,1,0(),0,0,2(),0,1,1(),0,1,0(P D C B A −.设平面PCD 的法向量为),,(z y x n =，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅,0,0PC n PD n 即⎩⎨⎧=−=−−,02,0z x z y 令2=z ，则.2,1−==y x 所以).2,2,1(−=n又)1,1,1(−=PB ，所以.33,cos −=>=<PBn PB n 所以直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值为.3320．(1)因为一个顶点为)1,0(B ，故1=b ，又离心为23，故23=a c 即2312=−a a ，所以2=a ，故椭圆方程为：.1422=+y x(2)若直线l 的斜率不存在，则设),,(),,(n m N n m M −此时41411112222m mm n m n m n k k BNBM =−=−−⨯−=，与题设条件矛盾，故直线l 斜率必存在. 设m kx y MN +=:，),(),,(2211y x N y x M ，联立,4422⎩⎨⎧=++=y x mkx y 化为,0448)41(222=−+++m kmx x k0)14(1622>+−=∆m k ，221418k km x x +−=+∴，22214144k m x x +−=⋅∴. 2111212121122211=−−+=−⋅−=⋅x x x x y x y x x y x y k k BN BM ， 0)1())(1(21221212=−++−+⎪⎭⎫ ⎝⎛−∴m x x m k x x k ，0)1(418)1(41442122222=−++−−++−⎪⎭⎫ ⎝⎛−∴m k km m k k m k ， 化为0322=−+m m ，解得3−=m 或1=m （舍去）．即直线过定点)3,0(−21．解：(I)依题意，2.05010)8040(1==<<=X P P ， 7.05035)12080(2==≤≤=X P P ，1.0505)120(3==>=X P P ， 由二项分布，在未来4年中至多有1年入流量超过120的概率为：.9477.0101)109(4)109()1()1(34333144304=⨯⨯+=−+−=P P C P C P(II)记水电站年总利润为Y （单位：万元）①安装1台发电机的情形.由于水库年入流量总大于40，所以一台发电机运行的概率为1， 对应的年利润5000=Y ，.500015000=⨯=EY ②安装2台发电机．当8040<<X 时，一台发电机运行，此时42008005000=−=Y ，因此2.0)8040()4200(1==<<==P X P y P ，当80≥X 时，两台发电机运行，此时1000025000=⨯=Y ，因此8.0)80()10000(21=+=≥==P P X P Y P ．由此得Y 的分布列如下：所以14200+⨯=EY ③安装3台发电机．依题意，当8040<<X 时，一台发电机运行，此时340016005000=−=Y ， 因此2.0)8040()3400(1==<<==P X P Y P ；当12080≤≤X 时，两台发电机运行，此时920080025000=−⨯=Y ， 此时,7.0)12080()9200(2==≤≤==P X P Y P当120>X 时，三台发电机运行，此时1500035000=⨯=y ， 因此1.0)120()15000(3==>==P X P Y P ， 由此得Y 的分布列如下：所以3400⨯=EY综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台．22．解：(I)x ax x x f +−−=2ln )(，xx ax ax x x f 12121)('2+−−=+−−=，………2分令a 81−=∆．当81≥a 时，0≤∆，0)('≤x f ，)(x f 在),0(∞+单调递减．………4分 当810<<a 时，0>∆，方程0122=+−x ax 有两个不相等的正根21,x x ，不妨设21x x <， 则当),(),0(21∞+∈x x x 时，0)('<x f ，当),(21x x x ∈时，0)('>x f ，这时)(x f 不是单调函数.综上，a 的取值范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+,81. ………………………6分(II)由(I)知，当且仅当⎪⎭⎫⎝⎛∈81,0a 时，)(x f 有极小值点1x 和极大值点2x ，且.21,212121ax x a x x ==+ 2222121121ln ln )()(x ax x x ax x x f x f +−−+−−=+.141)2ln(1)(21)ln(2121++=+++−=aa x x x x …………………9分令141)2ln()(++=a a a g ，⎪⎭⎫⎝⎛∈81,0a ， 则当⎪⎭⎫ ⎝⎛∈81,0a 时，)(,0414411)('22a g a a a a a g <−=−=在⎪⎭⎫⎝⎛81,0单调递减， 所以2ln 23)81()(−=>g a g ，即.2ln 23)()(21−>+x f x f ………………………12分。
广东省广州市执信中学2023-2024学年高三上学期第二次月考数学试题及答案
广州市执信中学2024届高三上学期第二次月考数 学注意事项：1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答 题卡和答卷密封线内相应的位置上，用2B 铅笔将自己的学号填涂在答题卡 上。
2、选择题每小题选出答案后，有2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑； 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上。
3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答卷纸上作答，答案必须写在答 卷纸各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动， 先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以 上要求作答的答案无效。
4、考生必须保持答题卡的整洁和平整。
第一部分 选择题（共60分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．己知集合}3,2,1,0,1{−=A ，}032|{2>−+=x x x B ，则B A =( ) A ．}1,0{B ．}3,2{C ．}1,0,1{−D ．}2,1,0,1{−2．在复数范围内方程022=+x 的解为( ) A ．2−=xB ．i x 2=C ．i x 2±=D ．∅3．己知函数)1(+x f 的图象关于点(1，1)对称，则下列函数是奇函数的是( ) A ．1)(+=x f y B ．1)2(++=x f y C ．1)(−=x f yD ．1)2(−+=x f y4．两个单位向量1e 与2e 满足021=⋅e e ，则向量1e −与2e 的夹角为( ) A ．30° B ．60° C ．120° D ．150°5．若6log 3=a ，2=b ，125.0log 25.0=c ，则( )A ．c a b >>B ．a c b >>C ．c b a >>D ．b c a >>6．某企业在生产中位倡导绿色环保的理念，购入污水过滤系统对污水进行过滤处理，已知 在过滤过程中污水的剩余污染物数量N (mg/L )与时间t (h )的关系为kteN N −=0,其中N 0为初始污染物的数量，k 为常数．若在某次过滤过程中，前2个小时过滤掉了污染物的30%， 则可计算前6小时共能过滤掉污染物的( )A ．%9.72B ．%7.65C ．%51D ．%49 7．设}{n a 为等比数列，则“对于任意的*N n ∈，n n a a <+2”是}{n a 为递减数列”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．若41<<m ，椭圆1:22=+y m x C 与双曲线14:22=−−my m x D 的离心率分别为e 1，e 2，则( )A ．21e e的最大值为21B ．21e e的最大值为23C ．21e e 的最小值为21D ．21e e的最小值为23二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的4个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．己知一组样本数据)(,,,,1032110321x x x x x x x x <<<< 中，5x 与样本平均数相等， 06=x ，则去掉以下哪个数据以后，新的样本数据的方差一定比原来的样本数据的方差 小？( ) A ．1xB ．5xC ．6xD ．10x10．在下列底面为平行四边形的四棱锥中，A ，B ，C ，M ，N 是四棱锥的顶点或棱的中点， 则MN ∥平面ABC 的有( )11．质点P 和Q 在以坐标原点O 为圆心，半径为1的O Θ上逆时针作匀速圆周运动，同时 出发．P 的角速度大小为s ,起点为O Θ与x 轴正半轴的交点；Q 的角速度大小为 s rad /5,起点为射线)0≥=x y 与O Θ的交点，则当Q 与P 重合时，Q 的坐标可以为( )A ．)92sin ,92(cos ππ B ．)95sin ,95cos (ππ−−C ．)9sin ,9(cosππ−D ．)9sin,9cos(ππ−12．若)(x f 图象上存在两点A ，B 关于原点对称，则点对[A ，B ]称为函数)(x f 的“友情点 对”（点对[A ，B ]与[B ，A ]视为同一个“友情点对”）若 <>=0,0,)(23x ax x e x x f x恰有两个“友 情点对”，则实数a 的值可以是( )A ．0B ．20201−C ．e1−D ．20231−第二部分 非选择题（共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．己知直线02=++y x 与圆222r y x =+相切，则半径r = . 14．己知函数)32cos()(2ϕπ+−=x x x f ,).,0(πϕ∈是奇函数，则ϕ= .15．将A ，B ，C ，D ，E 这5名同学从左至右排成一排，则A 与B 相邻且A 与C 之间恰好 有1名同学的排法有 种． 16．若函数x x f cos )(=，],2(ππ∈a ，则函数)(x f 在],2[a π上平均变化率的取值范围为 .四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分） 记数列}{n a 的前n 项和为S n ，对任意正整数n ，有).1)(2(2−+=n n a n S (1)证明：数列}11{++n a n 为常数列； (2)求数列}1{1+n n a a 的前n 项和T n 18．（本小题满分12分）己知锐角三角形ABC 中，53)sin(=+B A ,51)sin(=−B A (1)求证：B A tan 2tan =；(2)设3=AB ,求CD 边上的高. 19．（本小题满分12分）中国茶文化博大精深，饮茶深受大众喜爱，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，某数学建模小组为了获得茶水温度y （单位：℃）关于时间x(单位：min)的回归方程模型，通过实验收集在25℃室温，用同一温度的水冲泡的条件下，茶水温度随时间变化的7组数据，并对数据做初步处理得到如图所示散点图以及如表所示数据.表中：)25ln(−=i i y w ,⋅=∑=i i w w 7171(1)根据散点图判断，①bx a y +=与②25+⋅=x c d y 哪一个更适宜作为该茶水温度y 关于时间x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）请根据你的判断结果及表中数据建立该茶水温度y 关于时间x 的回归方程；(2)己知该茶水温度降至60℃口感最佳，根据(1)中的回归方程，求在相同条件下冲泡的茶水，大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？附：(1)对于一组数据),(),,(2211y x y x ，……),(n n y x ，其回归直线x ay βˆˆ+=的斜率和截距的最小二乘估计分别为211)())((ˆx x y yx x ini iini −−−=∑∑==β，;ˆˆx y βα−= (2)参考数据：92.008.0≈−e，6009.4≈e ，9.17ln ≈，1.13ln ≈，7.02ln ≈20．（本小题满分12分）如图1，在平行四边形ABCD 中，AC AB ⊥，,1=AB 2=BC ，将ACD ∆沿AC 折起，使得点D 到点P 的位置，如图2，经过直线PB 且与直线AC 平行的平面为α，平面 α平面 m PAC =,平面 α平面.n ABC = (1)证明：n m // (2)若6=PB ，求直线BC 与平面ABP 所成角的正弦值．21．（本小题满分12分）平面直角坐标系xOy 中，己知双曲线1:2222=−bx a y C （0,0>>b a ）的离心率为2，实轴长为4．(1)求C 的方程；(2)如图，点A 为双曲线的下顶点，直线l 过点P (0，t )且垂直于y 轴(P 位于原点与上顶点之间)，过P 的直线交C 于G ，H 两点，直线AG ，AH 分别与l 交于M ，N 两点，若1=⋅OM AN k k 求点P 的坐标．22．（本小题满分12分）己知函数a ae x f x ln )(+=,1)1ln()(++=x x g （其中a 为常数，e 是自然对数的底数）． (1)若1=a ,求函数)(x f 在点))0(,0(f 处的切线方程； (2)若)()(x g x f >恒成立，求a 的取值范围.数学参考答案选择题：填空题： 13．214．;40−15．20：16．]2,1(π−−选择填空部分解析6、解析：由己知keN N 200%70−=,可得7.02=−ke，则6个小时后剩余污染物数量为00332060%3.34)7.0()(N N e N e N k k ===−−，故前6小时共能过滤掉污染物的%7.65%3.341=−7、解析：由题意n a 不变号，所以公比q >0n n n n n n a a q a q a a a <⇔<−⇔<−⇔<∴++1220)1(0)1( 8、解析：由题意m m a ce 1111−==，ma c e −==42222 ）（m m m m m e e 4521)4)(1(2121+−=−−=∴，当且仅当2=m 时，21e e 取得最大值219、解析：根据方差的意义，可知去掉最大值和最小值都可以使样本数据的方差变小，故AD 正确；去掉x 5，样本平均数不变，则根据方差公式可知方差变大，故B 错误；去掉x 6样本方差的变化情况无法确定，也不符合条件，故C 错误。
广东省广州市2021届新高考数学二模试卷含解析
广东省广州市2021届新高考数学二模试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知点P是双曲线2222:1(0,0,x y C a b c a b-=>>=上一点，若点P 到双曲线C 的两条渐近线的距离之积为214c ，则双曲线C 的离心率为（ ） ABCD ．2【答案】A 【解析】 【分析】设点P 的坐标为(,)m n ，代入椭圆方程可得222222b m a n a b -=，然后分别求出点P 到两条渐近线的距离，由距离之积为214c ，并结合222222b m a n a b -=，可得到,,a b c 的齐次方程，进而可求出离心率的值. 【详解】设点P 的坐标为(,)m n ，有22221m n a b-=，得222222b m a n a b -=.双曲线的两条渐近线方程为0bx ay -=和0bx ay +=，则点P 到双曲线C的两条渐近线的距离之积为222222222b m a n a b a b c-==+， 所以222214a b c c =，则22244()a c a c -=，即()22220c a -=，故2220c a -=，即2222c e a ==，所以e =故选：A. 【点睛】本题考查双曲线的离心率，构造,,a b c 的齐次方程是解决本题的关键，属于中档题.2．如图，已知平面αβ⊥，l αβ⋂=，A 、B 是直线l 上的两点，C 、D 是平面β内的两点，且DA l ⊥，CB l ⊥，3AD =，6AB =，6CB =．P 是平面α上的一动点，且直线PD ，PC 与平面α所成角相等，则二面角P BC D --的余弦值的最小值是（ ）A ．5 B ．3 C ．12D ．1【答案】B 【解析】 【分析】PBA ∠为所求的二面角的平面角，由DAP CPB ~n n 得出PAPB，求出P 在α内的轨迹，根据轨迹的特点求出PBA ∠的最大值对应的余弦值 【详解】DA l ⊥Q ，αβ⊥，l αβ⋂=，AD β⊂ AD α∴⊥，同理BC α⊥DPA ∴∠为直线PD 与平面α所成的角，CPB ∠为直线PC 与平面α所成的角DPA CPB ∴∠=∠，又90DAP CBP ∠=∠=︒DAP CPB ∴~n n ，12PA DA PB BC == 在平面α内，以AB 为x 轴，以AB 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系则()()3030A B -，，，，设()()0P x y y >， ()()2222233x y x y ∴++=-+()22516x y ++=P ∴在α内的轨迹为()50M -，为圆心，以4为半径的上半圆 Q 平面PBC ⋂平面BC β=，PB BC ⊥，AB BC ⊥PBA ∴∠为二面角P BC D --的平面角，∴当PB 与圆相切时，PBA ∠最大，cos PBA ∠取得最小值此时48PM MB MP PB PB ==⊥=，，，cos 82PB PBA MB ∠===故选B 【点睛】本题主要考查了二面角的平面角及其求法，方法有：定义法、三垂线定理及其逆定理、找公垂面法、射影公式、向量法等，依据题目选择方法求出结果．3． “完全数”是一些特殊的自然数，它所有的真因子（即除了自身以外的约数）的和恰好等于它本身.古希腊数学家毕达哥拉斯公元前六世纪发现了第一、二个“完全数”6和28，进一步研究发现后续三个完全数”分别为496，8128，33550336，现将这五个“完全数”随机分为两组，一组2个，另一组3个，则6和28不在同一组的概率为（ ） A ．15B ．25C ．35D ．45【答案】C 【解析】 【分析】先求出五个“完全数”随机分为两组，一组2个，另一组3个的基本事件总数为2510C =，再求出6和28恰好在同一组包含的基本事件个数，根据即可求出6和28不在同一组的概率. 【详解】解：根据题意，将五个“完全数”随机分为两组，一组2个，另一组3个，则基本事件总数为2510C =，则6和28恰好在同一组包含的基本事件个数21234C C +=， ∴6和28不在同一组的概率1043105P -==. 故选：C. 【点睛】本题考查古典概型的概率的求法，涉及实际问题中组合数的应用.4．函数()231f x x x =-+在[]2,1-上的最大值和最小值分别为（ ） A ．23，-2 B ．23-，-9 C ．-2，-9 D ．2，-2【答案】B 【解析】 【分析】由函数解析式中含绝对值，所以去绝对值并画出函数图象，结合图象即可求得在[]2,1-上的最大值和最小值. 【详解】依题意，()151,2323111,13x x f x x x x x ⎧+-≤<-⎪⎪=-+=⎨⎪---≤≤⎪⎩，作出函数()f x 的图象如下所示；由函数图像可知，当13x =-时，()f x 有最大值23-， 当2x =-时，()f x 有最小值9-. 故选：B. 【点睛】本题考查了绝对值函数图象的画法，由函数图象求函数的最值，属于基础题. 5．若5(1)(1)ax x ++的展开式中23,x x 的系数之和为10-，则实数a 的值为（ ） A ．3- B ．2- C ．1-D ．1【答案】B 【解析】 【分析】由555(1)(1)(1)(1)ax x x ax x ++=+++，进而分别求出展开式中2x 的系数及展开式中3x 的系数，令二者之和等于10-，可求出实数a 的值. 【详解】由555(1)(1)(1)(1)ax x x ax x ++=+++，则展开式中2x 的系数为1255105C aC a +=+，展开式中3x 的系数为32551010C aC a +=+，二者的系数之和为(105)(1010)152010a a a +++=+=-，得2a =-.【点睛】本题考查二项式定理的应用，考查学生的计算求解能力，属于基础题. 6．已知函数2(0x y a a -=>且1a ≠的图象恒过定点P ，则函数1mx y x n+=+图象以点P 为对称中心的充要条件是( ) A ．1,2m n ==- B ．1,2m n =-= C ．1,2m n == D ．1,2m n =-=-【答案】A 【解析】 【分析】由题可得出P 的坐标为(2,1)，再利用点对称的性质，即可求出m 和n . 【详解】 根据题意，201x y -=⎧⎨=⎩，所以点P 的坐标为(2,1)，又1()1mx m x n mn y m x n x n +++-===+++ 1mnx n-+， 所以1,2m n ==-. 故选：A. 【点睛】本题考查指数函数过定点问题和函数对称性的应用，属于基础题.7．已知F 是双曲线22:4||C kx y k +=（k 为常数）的一个焦点，则点F 到双曲线C 的一条渐近线的距离为（ ） A ．2k B ．4k C ．4 D ．2【答案】D 【解析】 【分析】分析可得k 0<,再去绝对值化简成标准形式,进而根据双曲线的性质求解即可. 【详解】当0k ≥时,等式224||kx y k +=不是双曲线的方程；当k 0<时,224||4kx y k k +==-,可化为22144y x k -=-,可得虚半轴长2b =,所以点F 到双曲线C 的一条渐近线的距离为2. 故选：D本题考查双曲线的方程与点到直线的距离.属于基础题. 8．已知函数()()1xf x k xe =-，若对任意x ∈R ，都有()1f x <成立，则实数k 的取值范围是（ ）A ．(),1e -∞-B ．()1,e -+∞C ．(],0e -D ．(]1,1e -【答案】D 【解析】 【分析】先将所求问题转化为()11e x k x -<对任意x ∈R恒成立，即1xy e =得图象恒在函数 (1)y k x =-图象的上方，再利用数形结合即可解决.【详解】 由()1f x <得()11e x k x -<，由题意函数1xy e =得图象恒在函数(1)y k x =-图象的上方，作出函数的图象如图所示过原点作函数1xy e =的切线，设切点为(,)a b ，则1e e aa b a a --==，解得1a =-，所以切线斜率为e -，所以e 10k -<-≤，解得1e 1k -<≤. 故选：D. 【点睛】本题考查导数在不等式恒成立中的应用，考查了学生转化与化归思想以及数形结合的思想，是一道中档题. 9．执行如图所示的程序框图后，输出的值为5，则P 的取值范围是（ ）.A ．37,48⎛⎤⎥⎝⎦B ．59,610⎛⎤⎥⎝⎦C ．715,816⎛⎤⎥⎝⎦D ．1531,1632⎛⎤⎥⎝⎦ 【答案】C 【解析】 【分析】框图的功能是求等比数列的和，直到和不满足给定的值时，退出循环，输出n. 【详解】第一次循环：1,22S n ==；第二次循环：2113,3224S n =+==；第三次循环：231117,42228S n =++==；第四次循环：234111115,5222216S n =+++==； 此时满足输出结果，故715816P <≤. 故选：C. 【点睛】本题考查程序框图的应用，建议数据比较小时，可以一步一步的书写，防止错误，是一道容易题. 10．如图，棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段1AB 的中点，,M N 分别为线段1AC 和 棱11B C 上任意一点，则22PM MN 的最小值为（ ）A ．22B ．2C ．3D ．2【答案】D 【解析】 【分析】取AC 中点E ，过M 作MF ⊥面1111D C B A ，可得MFN ∆为等腰直角三角形，由APM AEM ∆≅∆，可得PM EM =，当11MN B C ⊥时， MN 最小，由 22MF MN =，故()122222222PM MN PM MN EM MF AA ⎛⎫+=+=+≥= ⎪ ⎪⎝⎭，即可求解.【详解】取AC 中点E ，过M 作MF ⊥面1111D C B A ，如图：则APM AEM ∆≅∆，故PM EM =，而对固定的点M ，当11MN B C ⊥时， MN 最小．此时由MF ⊥面1111D C B A ，可知MFN ∆为等腰直角三角形，2MF =， 故()122222222PM MN PM MN EM MF AA ⎛⎫=+=+≥= ⎪ ⎪⎝⎭. 故选：D【点睛】本题考查了空间几何体中的线面垂直、考查了学生的空间想象能力，属于中档题.11．定义在上的函数满足，且为奇函数，则的图象可能是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】根据为奇函数，得到函数关于中心对称，排除，计算排除，得到答案.【详解】为奇函数，即，函数关于中心对称，排除.，排除.故选：.【点睛】本题考查了函数图像的识别，确定函数关于中心对称是解题的关键.12．某校在高一年级进行了数学竞赛（总分100分），下表为高一·一班40名同学的数学竞赛成绩：55 57 59 61 68 64 62 59 80 8898 95 60 73 88 74 86 77 79 9497 100 99 97 89 81 80 60 79 6082 95 90 93 90 85 80 77 99 68如图的算法框图中输入的i a为上表中的学生的数学竞赛成绩，运行相应的程序，输出m，n的值，则-=（）m nA ．6B ．8C ．10D ．12【答案】D 【解析】 【分析】根据程序框图判断出,n m 的意义，由此求得,m n 的值，进而求得m n -的值. 【详解】由题意可得n 的取值为成绩大于等于90的人数，m 的取值为成绩大于等于60且小于90的人数，故24m =，12n =，所以241212m n -=-=.故选：D 【点睛】本小题考查利用程序框图计算统计量等基础知识；考查运算求解能力，逻辑推理能力和数学应用意识. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
广东省广州市执信中学2022-2023学年高三上学期第二次月考数学试卷(含答案)
广州市执信中学2023届高三年级第二次月考数 学第一部分 选择题（共60分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合i x z R x A 2|{+=∈=的实部为0}，}|,|[{A x x y y B ∈==，}3|||{<∈=m Z m C ，i 为虚数单位，则B C C 为( )A ．}2,1,1,2{--B ．}1,1,2{--C.}1,1{-D ．}2,2{-2．己知抛物线)0(22>=p px y 的准线与圆07622=--+x y x 相切，则p 的值为( )A ．21B ．1C ．2D ．43．己知集合}012|{≤+-=x x x A ，A x ∈一个必要条件是a x ≥，则实数a 的取值范围为( ) A ．0<aB ．1-≤aC ．2≥aD ．1-≥a4．已知各顶点都在一个球面上的正四棱锥的高为3，体积为6，则这个球的表面积为( )A ．π16B ．πC ．π24D ．π325．小桦班的数学老师昨天组织了一次小测，老师给了小桦满分100分，但实际上小桦有一处表述错误，告诉了小岍和小江，这一处错误需要扣4分，这一处错误小桦自己不会告诉老师，小岍有32的可能告诉老师，小江有41的可能告诉老师，他们都不会告诉其他同学，老师知道后就会把分扣下来，则最后小桦的听写本上的得分期望=)(X E ( ) A ．3298 B ．98 C ．3289D ．976．若32125cos =-）（απ，则αα2sin 2cos 3-的值为( ) A ．95B ．95-C ．910 D ．910- 7．设正实数z y x 、、满足03422=-+-z y xy x ，则zxy 的最大值为( )A ．0B ．1C ．2D ．38．在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ，，，若A B C sin sin 32sin =，a b λ=，则实数λ的最小值是( ) A ．323 B ．323+C ．32-D ．32+二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的不得分． 9．下列命题中，真命题的是( )A ．若回归方程6.045.0ˆ+-=x y，则变量y 与x 正相关 B ．线性回归分析中相关指数2R 用来刻画回归效果，若2R 值越小，则模型的拟合效果越好C ．若样本数据1021,,,x x x 的方差为2，则数据12,,12,121021---x x x 方差为8D ．一个人连续射击三次，则事件“至少击中两次”的对立事件是“至多击中一次” 10．已知n m ,是空间中两条不同的直线，βα,为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题不．正确．．的是( ) A ．若α⊂m ，则β⊥mB ．若α⊂m ，β⊂n ，则n m ⊥C ．若α⊂/m ，β⊥m ，则α//mD ．若m =βα ，m n ⊥，则α⊥n11．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的一条渐近线方程为02=-y x ，双曲线的左焦点在直线05=++y x 上，B A 、分别是双曲线的左、右顶点，点P 为双曲线右支上位于第一象限的动点，PB PA ，的斜率分别为21k k ，，则21k k +的取值可能为( ) A ．43 B ．1 C ．34 D ．212．若)(x f 图象上存在两点B A ，关于原点对称，则点对],[B A 称为函数)(x f 的“友情点对”（点对],[B A 与],[A B 视为同一个“友情点对”）若⎪⎩⎪⎨⎧<>=0,0,)(23x ax x e x x f x 恰有两个“友情点对”，则实数a 的值可以是( ) A ．0B ．20201-C ．e1-D ．20231-第二部分 非选择题（共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．不等式xx 1>的解集为 ． 14．已知向量b a ，满足1||=a ，2||=b ，)2,3(=-b a ，则|2|b a -等于 ．15．已知21P P ，是曲线|ln |2:x y C =上的两点，分别以21,P P 为切点作曲线C 的切线,,21l l且21l l ⊥，切线1l 交y 轴于A 点，切线2l 交y 轴于B 点，则线段AB 的长度为 ． 16．对于集合A ，B ，定义集合}|{B x A x x B A ∉∈=-且.己知等差数列}{n a 和正项等比数列}{n b 满足41=a ，21=b ，n n n b b b 212+=++，233+=b a 。
2021届广东省广州市执信中学高三上学期第二次月考数学试题(解析版)
2021届广东省广州市执信中学高三上学期第二次月考数学试题一、单选题1．设集合122A x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭，{}21B x x =≤，则A B =（ ）A ．{}12x x -≤< B ．112x x ⎧⎫-<≤⎨⎬⎩⎭C ．{}2x x < D ．{}12x x ≤<【答案】A【解析】先解不等式，化简集合B ，再由并集的概念，即可得出结果. 【详解】因为{}{}2111B x x x x =≤=-≤≤，122A x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭， 所以{}12A B x x ⋃=-≤<. 故选：A. 【点睛】本题主要考查求集合的并集，涉及一元二次不等式的解法，属于基础题型. 2．复数113i-的虚部是（ ） A ．310-B ．110-C ．110D ．310【答案】D【解析】利用复数的除法运算求出z 即可. 【详解】 因为1131313(13)(13)1010i z i i i i +===+--+， 所以复数113z i =-的虚部为310. 故选：D. 【点晴】本题主要考查复数的除法运算，涉及到复数的虚部的定义，是一道基础题.3．命题“对任意x R ∈都有21x ≥”的否定是（ ） A ．对任意x R ∈，都有21x <B ．不存在x R ∈，使得21x <C ．存在0x R ∈，使得201x ≥D ．存在0x R ∈，使得201x <【答案】D【解析】试题分析：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“对任意x R ∈都有21x ≥”的否定是：存在0x R ∈，使得．故D 正确．【考点】全程命题.4．已知双曲线C ：22221x y a b-=（0,0a b >>）的离心率为5，则C 的渐近线方程为（ ） A ．14y x =±B ．13y x =±C ．12y x =±D ．y x =±【答案】C【解析】根据离心率求出,a b 关系，求出ba即可得出结果. 【详解】由题知，5c a =，即54=22c a=222a b a+， ∴22b a =14，∴b a =12，∴C 的渐近线方程为12y x =±. 故选：C. 【点睛】本题考查了求双曲线的渐近线问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义，考查了分析能力和计算能力，属于基础题. 5．函数()ln xf x x=的图象大致形状是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B【解析】首先利用()f x 是奇函数可排除A 、C 选项，然后利用当x →+∞时，()0f x >可排除D 选项. 【详解】因为()f x 的定义域是{}0x x ≠，()()ln ln x xf x f x x x--===--- 所以()f x 是奇函数，其图象关于原点对称，故A 、C 答案不满足 当x →+∞时，()0f x >，所以D 答案不满足 故选：B 【点睛】解决本类题时，通常是利用函数的单调性、奇偶性、函数值等排除选项. 6．已知数列{}n a 满足130n n a a ++=，243a =-，则{}n a 的前10项和等于（ ） A ．106(13)---B ．101(13)9-- C ．103(13)-- D ．103(13)-+【答案】C【解析】试题分析：设由题设可知数列是公比为,首项是的等比数列.故其前项和为,应选C.【考点】等比数列的定义及前项和的运用.7．设x ∈R ，则“250x x -<”是“|1|1x -<”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】分别求出两不等式的解集，根据两解集的包含关系确定. 【详解】化简不等式，可知 05x <<推不出11x -<； 由11x -<能推出05x <<，故“250x x -<”是“|1|1x -<”的必要不充分条件， 故选B ． 【点睛】本题考查充分必要条件，解题关键是化简不等式，由集合的关系来判断条件． 8．（1+2x 2 ）（1+x ）4的展开式中x 3的系数为 A ．12 B ．16 C ．20 D ．24【答案】A【解析】本题利用二项展开式通项公式求展开式指定项的系数． 【详解】由题意得x 3的系数为314424812C C +=+=，故选A ．【点睛】本题主要考查二项式定理，利用展开式通项公式求展开式指定项的系数． 9．若144a =，5log 12b =，131log 9c =，则（ ）A ．b a c <<B ．a b c <<C ．a c b <<D ．c a b <<【答案】B【解析】易知2c =，a =32125>，可得53log 122>，从而可推出53log 1222<<，即可选出答案. 【详解】 由题意，131log 29c ==，114242a ==因为32125>=3255log 12log 5>，即53log 122>，又55log 12log 252b =<=53log 1222<<，即a b c <<. 故选：B. 【点睛】本题考查几个数的大小比较，考查对数函数单调性的应用，考查学生的推理能力，属于中档题.10．函数()f x 的定义域为R ，且()(3)f x f x =-，当20x -≤<时，2()(1)f x x =+；当01x ≤<时，()21f x x =-+，则(1)(2)(3)(2021)f f f f ++++=（ ）A ．671B ．673C ．1345D ．1347【答案】D【解析】根据函数周期的定义先求出()f x 的周期为3，进而可求得(1)(2)(3)f f f ++的值，[](1)(2)(3)(2021)673(1)(2)(3)(1)(2)f f f f f f f f f ++++=⨯++++，即可求解. 【详解】因为()(3)f x f x =-，所以()f x 的周期为3，当20x -≤<时，2()(1)f x x =+；所以2(2)(1)12f -=-=+，2(1)(1)01f -=-=+， 当01x ≤<时，()21f x x =-+，所以(0)2011f =-⨯+=， 又因为()f x 的周期为3，所以(1)(2)1f f =-=，(2)(1)0f f =-=，(3))1(0f f ==， 所以(1)(2)(3)2f f f ++=， 所以[](1)(2)(3)(2021)673(1)(2)(3)(1)(2)f f f f f f f f f ++++=⨯++++6732101347=⨯++=，故选：D 【点睛】本题主要考查了函数的周期性的应用，以及函数值的计算，属于中档题.二、多选题11．己知函数()sin cos f x x x x =-，现给出如下结论，其中正确结论个数为（ ） A ．()f x 是奇函数 B ．0是()f x 的极值点C ．()f x 在区间(,)22ππ-上有且仅有三个零点 D ．()f x 的值域为R【答案】AD【解析】根据函数的奇偶性的定义和三角函数的奇偶性，可判定A 项正确；利用导数求得函数在区间(,)22ππ-上的单调性和(0)0f =，可判B 、C 不正确，根据函数的解析式和三角函数的性质，可判定D 正确的. 【详解】由题意，函数()sin cos f x x x x =-的定义域为R 关于原点对称， 又由()sin()cos()(sin cos )()f x x x x x x f x -=-+-=--=-， 所以函数()f x 为奇函数，所以A 项正确； 又由()cos cos sin sin f x x x x x x x '=-+= 当(,0)2x π∈-时，()0f x '>，函数()f x 单调递增；(0,)2x π∈时，()0f x '>，函数()f x 单调递增，所以0不是函数()f x 的极值点，所以B 不正确； 又由(0)0f =，所以函数()f x 在区间(,)22ππ-上有且仅有一个零点，所以C 不正确； 例如当2x k =π时，可得(2)2f k k ππ=-，当k →+∞且k Z ∈，()f x →-∞， 当2x k ππ=+时，可得(2)2f k k πππ+=，当k →+∞且k Z ∈，()f x →-∞， 由函数()sin cos f x x x x =-，，当k →+∞，()f x →∞， 由此可得函数的值域为R ，所以D 是正确的. 所以正确的选项为AD. 故选：AD. 【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质，以及利用导数研究函数的单调性与极值、最值的应用，着重考查推理与运算能力，属于中档试题.12．（多选）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，1A H ⊥平面11AB D ，垂足为H ，则下面结论正确的是（ ）A ．直线1A H 与该正方体各棱所成角相等B ．直线1A H 与该正方体各面所成角相等C ．垂直于直线1A H 的平面截该正方体，所得截面可能为五边形D ．过直线1A H 的平面截该正方体所得截面为平行四边形 【答案】ABD【解析】连接1A C ，1A C ⊥平面11AB D ，所以直线1A H 与直线1A C 重合，再利用体对角线1A C 与正方体的面棱的关系以及截面图形即可逐一判断四个选项的正误. 【详解】连接1A C ，根据正方体的体对角线与面对角线垂直，可得11A C AB ⊥，11A C AD ⊥ 即1A C ⊥平面11AB D ，所以直线1A H 与直线1A C 重合，对于选项A ：直线1A C 与该正方体各棱所成角相等，均为，所以直线1A H 与该正方体各棱所成角相等，故选项A 正确；对于选项B ：因为直线1A C 与该正方体各面所成角相等，均为arctan 2，即直线1A H 与该正方体各面所成角相等，故选项B 正确；对于选项C ：垂直于直线1A H 的平面与平面11AB D 平行，截正方体1111ABCD A B C D -所得截面为三角形或六边形，故选项C 不正确；对于选项D ：过直线1A C 的平面截该正方体所得截面为11A ACC 为矩形，即过直线1A H 的平面截该正方体所得截面为平行四边形，故选项D 正确. 故选：ABD 【点睛】本题主要考查了线线角、线面角，考查了截面截几何体所得的截面形状，属于中档题.三、填空题13．己知向量,a b 满足||5a =，||6b =，6a b ⋅=-，则,cos a a b +=_______. 【答案】1935【解析】由题意利用两个向量的数量积的定义，求出a 与a b +的夹角余弦值．【详解】向量,a b 满足||5a =，||6b =，6a b ⋅=-，()225619a a b a a b ∴⋅+=+⋅=-=，()22227a b a b a b a b +=+=++⋅=，()1919,5735a ab cos a a b a a b⋅+∴+===⨯+. 故答案为：1935【点睛】本题考查了平面向量数量积的运算及向量的模，向量夹角的余弦值，属于基础题. 14．若函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数，当01x <<时，()4xf x =，则()522f f ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭________. 【答案】2-【解析】根据函数奇偶性与周期性，直接求出结果. 【详解】∵()f x 是定义在R 上的奇函数，∴()00f =， 又()f x 在R 上的周期为2， ∴()()200f f ==.又1251142222f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ∴()5222f f ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭. 故答案为：2-. 【点睛】本题主要考查由函数奇偶性与周期性求函数值，属于基础题型. 15．已知α为锐角，且1cos 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos α=_______． 【解析】利用同角三角函数的基本关系可得sin 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，再由cos 66ππαα⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，利用两角差的余弦公式即可求解.【详解】由α为锐角，且1cos 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以sin 63πα⎛⎫+==⎪⎝⎭， 所以cos cos cos cos sin sin 666666ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦11332=⨯=故答案为：6【点睛】本题考查了两角差的余弦公式、同角三角函数的基本关系，需熟记公式，属于基础题．16．已知()32,,x x a f x x x a⎧≤=⎨>⎩，若存在实数b ，使函数()()g x f x b =-有两个零点，则a 的取值范围是________．【答案】()(),01,-∞⋃+∞【解析】由()()g x f x b =-有两个零点可得()f x b =有两个零点，即()y f x =与y b =的图象有两个交点，则函数在定义域内不能是单调函数，结合函数图象可求a 的范围 【详解】()()g x f x b =-有两个零点，()f x b ∴=有两个零点，即()y f x =与y b =的图象有两个交点，由32x x =可得，0x =或1x =①当1a >时，函数()f x 的图象如图所示，此时存在b ，满足题意，故1a >满足题意②当1a =时，由于函数()f x 在定义域R 上单调递增，故不符合题意 ③当01a <<时，函数()f x 单调递增，故不符合题意④0a =时，()f x 单调递增，故不符合题意⑤当0a <时，函数()y f x =的图象如图所示，此时存在b 使得，()y f x =与y b =有两个交点综上可得，0a <或1a > 故答案为：()(),01,-∞⋃+∞【点睛】本题考察了函数的零点问题，渗透了转化思想，数形结合、分类讨论的数学思想．四、解答题17．在ABC 中，11a b +=，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求：（Ⅰ）a 的值：（Ⅱ）sin C 和ABC 的面积．条件①：17,cos 7c A ==-； 条件②：19cos ,cos 816A B ==．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 【答案】选择条件①（Ⅰ）8（Ⅱ）sin 2C =, S = 选择条件②（Ⅰ）6（Ⅱ）sin C =, S =. 【解析】选择条件①（Ⅰ）根据余弦定理直接求解，（Ⅱ）先根据三角函数同角关系求得sin A ,再根据正弦定理求sin C ,最后根据三角形面积公式求结果；选择条件②（Ⅰ）先根据三角函数同角关系求得sin ,sin A B ，再根据正弦定理求结果，（Ⅱ）根据两角和正弦公式求sin C ，再根据三角形面积公式求结果. 【详解】 选择条件①（Ⅰ）17,cos 7c A ==-，11a b +=22222212cos (11)72(11)7()7a b c bc A a a a =+-∴=-+--⋅⋅-8a ∴=（Ⅱ）1cos (0,)sin 7A A A π=-∈∴==，由正弦定理得：7sin sin sin sin 7a c C A C C ==∴=11sin (118)822S ba C ==-⨯=选择条件②（Ⅰ）19cos ,cos ,(0,)816A B A B π==∈，sin,sin816A B∴====由正弦定理得：6sin sina baA B===（Ⅱ）91 sin sin()sin cos sin cos8161684C A B A B B A=+=+=+⨯=11sin(116)62244S ba C==-⨯⨯=【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理，三角形面积公式，考查基本分析求解能力，属中档题. 18．在公比为2的等比数列{}n a中,234,,4a a a-成等差数列.（1）求数列{}n a的通项公式；（2）若2(1)logn nb n a=+,求数列242nnb⎛⎫+⎪⎝⎭的前n项和n T.【答案】（1）2nna=（2）222(1)n-+【解析】（1）列用2a,3a,44a-成等差数列,和公比为2,求出首项12a=,最后代入公式即可求得通项公式.（2）由（1）得2nna=,从而得(1)nb n n=+,代入22242112(1)nnb n n⎛⎫+=-⎪+⎝⎭,最后通过裂项相消求和.【详解】解：（1）因为2a,3a,44a-成等差数列,所以32442aa a=+-,所以1118284a a a=+-,解得12a=,所以2nna=.（2）因为2nna=,所以22(1)log(1)log2(1)nn nb n a n n n=+=+=+,所以22222422(21)112(1)(1)nn nb n n n n⎛⎫++==-⎪++⎝⎭,所以22222111112122223(1)n T n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭222221*********(1)n n ⎛⎫=-+-++- ⎪+⎝⎭. 2121(1)n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭222(1)n =-+.【点睛】本题考查数列的通项公式的求法,考查裂项相消求和,是基础题.19．如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD ⊥，PA PD =，AB AD ⊥，1AB =，2AD =，5AC CD ==.（Ⅰ）求证：PD ⊥平面PAB ；（Ⅱ）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值. 【答案】（Ⅰ）见解析；3【解析】【详解】分析：（1）先证明AB PD ⊥，PA PD ⊥，再证明PD ⊥平面PAB .(2)利用向量方法求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值.详解：（Ⅰ）因为，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB AD ⊥，所以AB ⊥平面PAD ，所以AB PD ⊥， 又因为PA PD ⊥，所以PD ⊥平面PAB ； （Ⅱ）取AD 的中点O ，连结PO ，CO ，因为PA PD =，所以PO AD ⊥.又因为PO ⊂平面PAD ，平面PAD ⊥平面ABCD ， 所以PO ⊥平面ABCD .因为CO ⊂平面ABCD ，所以PO CO ⊥. 因为AC CD =，所以CO AD ⊥.如图建立空间直角坐标系O xyz -，由题意得，()0,1,0A ，()1,1,0B ，()2,0,0C ，()0,1,0D -，()0,0,1P .设平面PCD 的法向量为(),,n x y z =，则00n PD n PC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即020y z x z --=⎧⎨-=⎩， 令2z =，则1x =，2y =-. 所以()1,2,2n =-.又()1,1,1PB =-，所以3cos ,n PB n PB n PB⋅==-. 所以直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值为33.点睛：（1）本题主要考查线面位置关系的证明，考查直线和平面所成的角的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象转化能力.(2) 直线和平面所成的角的求法方法一：（几何法）找→作（定义法）→证（定义）→指→求（解三角形），其关键是找到直线在,平面内的射影作出直线和平面所成的角和解三角形.方法二：（向量法）•sinAB nAB nα=，其中AB是直线l的方向向量，n是平面的法向量，α是直线和平面所成的角.20．如图，己知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的一个顶点为(0,1)B，离心率为3.（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l与椭圆C交于,M N两点，直线BM与线BN的斜率之积为12，证明：直线l过定点并且求出该定点坐标．【答案】（1）2214xy+=；（2）证明见解析，定点(0,3)-.【解析】（1）由已知条件中的顶点坐标和离心率代入即可求出椭圆方程；（2）分类讨论直线斜率不存在和存在两种情况，联立直线方程和椭圆方程得到根与系数之间关系，再结合已知条件进行求解，得到直线恒过定点.【详解】（1）因为一个顶点为(0,1)B，故1b=，又离心率为32，故32ca=213a-=所以2a=，故椭圆方程为：22 1.4xy+=（2）若直线l的斜率不存在，则设(,),(,),M m n N m n-此时22221111144BM BNmn n nk km m m m----=⨯==，与题设条件矛盾，故直线l斜率必存在.设:MN y kx m=+，1122(,),(,)M x y N x y，联立22{,44y kx mx y=++=化为222(14)8440,k x kmx m+++-=2216(41)0k m ∆=-+>，122814km x x k -∴+=+，21224414m x x k-∴⋅=+. 12121112BM BN y y k k x x --⋅=⋅=，计算可得 2212121(1)()(1)02k x x k m x x m ⎛⎫-+-++-= ⎪⎝⎭， 222221448(1)(1)021414m km k k m m k k --⎛⎫∴-+-+-= ⎪++⎝⎭， 化为2230m m +-=，解得3m =-或1m =（舍去）．即直线过定点(0,3)- 【点睛】本题考查了求椭圆方程，以及直线和椭圆的位置关系，求解直线恒过定点问题，在求解过程中需要注意分类讨论直线斜率是否存在，本题有一定的计算量.21．计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和.单位：亿立方米）都在40以上.其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立.（1）求未来4年中，至多1年的年入流量超过120的概率；（2）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量限制，并有如下关系: 年入流量发电量最多可运行台数 123若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？ 【答案】（1）0.9477；（2）8620, 2.【解析】【详解】试题分析：（1）先求1(4080)P P X =<<，2(80120)P P X =≤≤，3(120)P P X =>，再利用二项分布求解；（2）记水电站年总利润为Y （单位：万元）①安装1台发电机的情形.②安装2台发电机.③安装3台发电机，分别求出EY ，比较大小，再确定应安装发电机台数. （1）依题意，110(4080)0.250P P X =<<==， 235(80120)0.750P P X =≤≤==，35(120)0.150P P X =>==， 由二项分布，在未来4年中至多有1年入流量找过120的概率为：()()434301434339911140.9477101010P C P C P P ⎛⎫⎛⎫=-+-=+⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（2）记水电站年总利润为Y （单位：万元） ①安装1台发电机的情形.由于水库年入流量总大于40，所以一台发电机运行的概率为1， 对应的年利润5000Y =，500015000EY =⨯=. ②安装2台发电机.当4080X <<时，一台发电机运行，此时50008004200Y =-=， 因此1(4200)(4080)0.2P y P X P ==<<==，当80X ≥时，两台发电机运行，此时5000210000Y =⨯=， 因此12(10000)(80)0.8P Y P X P P ==≥=+=.由此得的分布列如下： 4200 100000.20.8所以420011000028840EY =⨯+⨯=. ③安装3台发电机.依题意，当4080X <<时，一台发电机运行，此时500016003400Y =-=， 因此1(3400)(4080)0.2P Y P X P ==<<==；当80120X ≤≤时，两台发电机运行，此时500028009200Y =⨯-=， 此时2(9200)(80120)0.7P Y P X P ==≤≤==，当120X >时，三台发电机运行，此时5000315000y =⨯=， 因此3(15000)(120)0.1P Y P X P ==>==，由此得的分布列如下：34 9200 150000.20.80.1所以34000.292000.7150000.18620EY =⨯+⨯+⨯=. 综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台. 【考点】二项分布，随机变量的均值.22．已知函数()21ln(0).f x ax x a x=-+> （1）若()f x 是定义域上的单调函数，求a 的取值范围；（2）若()f x 在定义域上有两个极值点12,x x ，证明：()()1232ln2.f x f x +>- 【答案】（1）1,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭（2） 证明见解析【解析】（1）先求得导函数，根据()f x 在定义域内单调，分类讨论即可求得a 的取值范围．（2）根据（1）可知，只有在10,8a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时存在极大值与极小值，根据韦达定理即可得到12,x x 的关系；进而代入解析式得()()12f x f x +的表达式，转化为关于a 的表达式()()1ln 214g a a a=++，再通过求导判断()g a 的单调性，求其最小值即可证明． 【详解】（1）()2ln f x x ax x =--+()212121ax x f x ax x x-+==-'--+ 则18a ∆=-当18a ≥时()0,0f x '∆≤≤ ，此时f(x)在()0,∞+单调递减 当108a <<时0∆≤ ，方程2210ax x -+= 有两个不等的正根12,x x不妨设12x x <则当()()120,,x x x ∈⋃+∞时()0f x '< 当()12,x x x ∈时，()0f x '> 这时f(x)不是单调函数综上，a 的取值范围为1,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭（2）由（1）可知当且仅当10,8a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，f(x)有极小值点1x 和极大值点2x且1212x x a +=，1212x x a= ()()12f x f x +22111222ln ln x ax x x ax x =--+--+()()()()12121211ln ln 1122x x x x x x =-+----++ ()()12121ln 12x x x x =-+++ ()1ln 214a a=++ 令()()1ln 214g a a a =++ ，10,8a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦则当10,8a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()221141044a g a a a a -=-=<' 则()()1ln 214g a a a =++在10,8a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时单调递减 所以()132ln28g a g ⎛⎫>=- ⎪⎝⎭即()()1232ln2f x f x +>- 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，函数极值应用，构造函数证明不等式，是高考的重点和难点，属于难题．。
高2018级2020年10月广东省广州市执信中学高三上学期第二次月考数学试题参考答案
数学参考答案一、选择题二、填空题13.【参考答案】3519 14.【参考答案】-215.【参考答案】6223+16.【参考答案】).,1()0,(∞+-∞三、解答题(本大题6小题,共70分) 17.(本小题10分)【解析】选择条件①(1)11,71cos ,7=+-==b a A c , )71(7)11(27)11(cos 2222222-⋅⋅--+-=∴-+=a a a A bc c b a ,8=∴a(2)71cos -=A ,734cos 1sin ),,0(2=-=∴∈A A A π,由正弦定理得：23sin ,sin 77348,sin sin =∴=∴=C C C c A a ,36238)811(21sin 21=⨯⨯-==C ba S ,选择条件②(1)),0(,,169cos ,81cos π∈==B A B A , 873cos 1sin 2=-=∴A A ,1675cos 1sin 2=-=B B , 由正弦定理得：6167511873sin sin =∴-=∴=a aa Bb A a ，，.(2)47811675169873cos sin cos sin )sin(sin =⨯+⨯=+=+=A B B A B A C , 4715476)611(21sin 21=⨯⨯-==C ba S .18.【解】(1)因为4,,432-a a a 成等差数列,所以42423-+=a a a ,所以4828111-+=a a a ,解得21=a ,所以.2nn a =(2)因为n n a 2=,所以)1(2log )1(log )1(22+=+=+=n n n a n b nn n ,所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=++=+22222)1(112)1()12(224n n n n n b n n , 所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=22222)1(112312122112n n T n , .)1(22)1(112)1(11312121122222222+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++-+-=n n n n19.(1)因为平面⊥PAD 平面ABCD ,AD AB ⊥,所以⊥AB 平面PAD ,所以PD AB ⊥,又因为PD PA ⊥,所以⊥PD 平面PAB .(2)取AD 的中点O ,连结,,CO PO因为PD PA =,所以AD PO ⊥.又因为⊂PO 平面PAD ,平面⊥PAD 平面ABCD , 所以⊥PO 平面ABCD .因为⊂CO 平面ABCD ,所以CO PO ⊥. 因为CD AC =,所以AD CO ⊥.如图建立空间直角坐标系xyz O -,由题意得,)1,0,0(),0,1,0(),0,0,2(),0,1,1(),0,1,0(P D C B A -.设平面PCD 的法向量为),,(z y x n =,则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅,0,0PC n PD n 即⎩⎨⎧=-=--,02,0z x z y 令2=z ,则.2,1-==y x 所以).2,2,1(-=n又)1,1,1(-=PB ,所以.33,cos -=<PBn PB n 所以直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值为.3320.(1)因为一个顶点为)1,0(B ,故1=b ,又离心为23,故23=ac 即2312=-a a ,所以2=a ,故椭圆方程为：.1422=+y x(2)若直线l 的斜率不存在,则设),,(),,(n m N n m M -此时41411112222m mm n m n m n k k BNBM =-=--⨯-=,与题设条件矛盾,故直线l 斜率必存在. 设m kx y MN +=:,),(),,(2211y x N y x M ,联立,4422⎩⎨⎧=++=y x mkx y 化为,0448)41(222=-+++m kmx x k0)14(1622>+-=∆m k ,221418k kmx x +-=+∴,22214144k m x x +-=⋅∴.2111212121122211=--+=-⋅-=⋅x x x x y x y x x y x y k k BN BM , 0)1())(1(21221212=-++-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-∴m x x m k x x k ,0)1(418)1(41442122222=-++--++-⎪⎭⎫ ⎝⎛-∴m k km m k k m k , 化为0322=-+m m ,解得3-=m 或1=m (舍去).即直线过定点)3,0(-21.解：(I)依题意,2.05010)8040(1==<<=X P P , 7.05035)12080(2==≤≤=X P P ,1.0505)120(3==>=X P P ,由二项分布,在未来4年中至多有1年入流量超过120的概率为：.9477.0101)109(4)109()1()1(34333144304=⨯⨯+=-+-=P P C P C P(II)记水电站年总利润为Y (单位：万元)①安装1台发电机的情形.由于水库年入流量总大于40,所以一台发电机运行的概率为1, 对应的年利润5000=Y ,.500015000=⨯=EY ②安装2台发电机.当8040<<X 时,一台发电机运行,此时42008005000=-=Y ,因此2.0)8040()4200(1==<<==P X P y P ,当80≥X 时,两台发电机运行,此时1000025000=⨯=Y ,因此8.0)80()10000(21=+=≥==P P X P Y P .由此得Y 的分布列如下：所以14200+⨯=EY ③安装3台发电机.依题意,当8040<<X 时,一台发电机运行,此时340016005000=-=Y , 因此2.0)8040()3400(1==<<==P X P Y P ;当12080≤≤X 时,两台发电机运行,此时920080025000=-⨯=Y , 此时,7.0)12080()9200(2==≤≤==P X P Y P 当120>X 时,三台发电机运行,此时1500035000=⨯=y , 因此1.0)120()15000(3==>==P X P Y P , 由此得Y 的分布列如下：所以3400⨯=EY 综上,欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机2台.22.解：(I)x ax x x f +--=2ln )(,xx ax ax x x f 12121)('2+--=+--=,………2分令a 81-=∆.当81≥a 时,0≤∆,0)('≤x f ,)(x f 在),0(∞+单调递减.………4分 当810<<a 时,0>∆,方程0122=+-x ax 有两个不相等的正根21,x x ,不妨设21x x <, 则当),(),0(21∞+∈x x x 时,0)('<x f ,当),(21x x x ∈时,0)('>x f ,这时)(x f 不是单调函数.综上,a 的取值范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+,81. ………………………6分(II)由(I)知,当且仅当⎪⎭⎫⎝⎛∈81,0a 时,)(x f 有极小值点1x 和极大值点2x ,且.21,212121ax x a x x ==+ 2222121121ln ln )()(x ax x x ax x x f x f +--+--=+.141)2ln(1)(21)ln(2121++=+++-=aa x x x x …………………9分令141)2ln()(++=a a a g ,⎪⎭⎫⎝⎛∈81,0a , 则当⎪⎭⎫ ⎝⎛∈81,0a 时,)(,0414411)('22a g a a a a a g <-=-=在⎪⎭⎫⎝⎛81,0单调递减, 所以2ln 23)81()(-=>g a g ,即.2ln 23)()(21->+x f x f ………………………12分。
广东省广州市执信中学2022届高三下学期二月月考数学试题及答案
广东省广州市执信中学2022届高三下学期二月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．设集合(){}2log 11A x x =-≤，1122x B x -⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭，则A B =（ ）A ．(],2-∞B ．[]1,2C ．(]1,2D ．(]1,32．已知(0)αβπ∈、,且1tan ,cos 2αβ==αβ+=（ ）A ．4π B ．34π C ．56π D ．54π3．已知某种垃圾的分解率为v ，与时间t （月）满足函数关系式t v ab =（其中a ，b 为非零常数），若经过12个月，这种垃圾的分解率为10%，经过24个月，这种垃圾的分解率为20%，那么这种垃圾完全分解，至少需要经过（ ）（参考数据：lg 20.3≈） A ．48个月 B ．52个月C ．64个月D ．120个月4．函数()cos xf x xπ=在区间[]4,4-上的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．5．已知函数()sin()f x x πϕ=+某个周期的图象如图所示，A ，B 分别是()f x 图象的最高点与最低点，C 是()f x 图象与x 轴的交点，则tan∠BAC ＝（ ）A ．12B ．47C D6．已知直线l ：()20ax y a R -+=∈与圆M ：22430x y y +-+=的交点为A ，B ，点C 是圆M 上一动点，设点()0,1P -，则PA PB PC ++的最大值为（ ）A ．9B ．10C ．11D ．127．已知矩形ABCD ，AB ＝2，BC =∠ABD 沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻折，在翻折过程中，（ ）A ．存在某个位置，使得直线BD 与直线AC 垂直B ．存在某个位置，使得直线AB 与直线CD 垂直C ．存在某个位置，使得直线BC 与直线AD 垂直D ．对任意位置，三对直线“AC 与BD ”“CD 与AB ”“AD 与BC ”均不垂直 8．已知函数()41sin 122x x f x e e x π+-=-++实数a ，b 满足不等式()()312f a b f a ++-<，则下列不等式成立的是（ ）A ．43a b +>-B ．43a b +<-C ．21a b +>-D ．21a b +<-二、多选题9．已知复数i z a b =+（,a b ∈R 且0b ≠），z 是z 的共扼复数，则下列命题中的真命题是（ ） A ．z z +∈RB ．z z -∈RC ．z z ⋅∈RD ．zz∈R10．某市组织2022年度高中校园足球比赛，共有10支球队报名参赛.比赛开始前将这10支球队分成两个小组，每小组5支球队，其中获得2021年度冠、亚军的两支球队分别在第一小组和第二小组，剩余8支球队抽签分组.已知这8支球队中包含甲、乙两队，记“甲队分在第一小组”为事件1M ，“乙队分在第一小组”为事件2M ，“甲、乙两队分在同一小组”为事件3M ，则（ ） A ．()112P M =B ．()337P M =C ．()()()123P M P M P M +=D ．事件1M 与事件3M 相互独立11．已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，点()11,A x y ，()22,B x y 在C 上，则下列说法正确的是（ ）A．若点()2,1P ，则PAF △的周长的最小值为3B ．若点(),2P m 是C 上的一点，且AF BF FP +=，则AF ，FP ，BF 成等差数列 C ．若A ，F ，B 三点共线，则122y y =-D ．若8AB =，则AB 的中点到y 轴距离的最小值为312．在数学课堂上，教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.将数列1,2进行构造，第1次得到数列1,3,2；第2次得到数列1,4,3,5,2；…；第()*n n ∈N 次得到数列1，123,,,,k x x x x ，2；…记1212n k a x x x =+++++，数列{}n a 的前n 项为n S ，则（ ）A ．12n k +=B ．133n n a a +=-C ．()2332n a n n =+D ．()133234n n S n +=+- 三、填空题13．722x ⎛ ⎝的展开式中，常数项为___________．14．已知()e 1x f x =-（e 为自然对数的底数），()ln 1g x x =+，则()f x 与()g x 的公切线条数为_______．15．如图，从某个角度观察篮球，可以得到一个对称的平面图形，篮球的外形轮廓为圆O ，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆O 的交点将圆O 的周长八等分，AB BC CD ==，设该双曲线的中心在原点，实轴在y 轴上，则该双曲线的渐近线方程为___________.四、双空题16．在侧棱长为2的正三棱锥D ABC -中，DA ，DB ，DC 两两垂直，M ､E 分别为AC ､AB 的中点，则三棱锥D ACE -的外接球的表面积为___________，若P 为DM 上的动点，Q 是平面ECD 上的动点，则AP PQ +的最小值是___________.五、解答题17．在数列{}n a 中，11a =且1,2,n n a n a 成等差数列. (1)求234,,a a a ； (2)求2462n a a a a ++++的和.18．如图，在ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知3b =，6c =，sin2sin C B =，且AD 为BC 边上的中线，AE 为BAC ∠的角平分线．(1)求cos C 及线段BC 的长； (2)求ADE 的面积．19．如图1，在矩形ABCD 中，AB = 4，AD =2，E 是CD 的中点，将△ADE 沿AE 折起，得到如图2所示的四棱锥D 1﹣ABCE ，其中平面D 1AE ∠平面ABCE .（1）设F 为CD 1的中点，试在AB 上找一点M ，使得MF ∠平面D 1AE ； （2）求直线BD 1与平面CD 1E 所成角的正弦值.20．2021年5月12日，2022北京冬奥会和冬残奥会吉祥物冰墩墩、雪容融亮相上海展览中心．为了庆祝吉祥物在上海的亮相，某商场举办了一场赢取吉祥物挂件的“双人对战”游戏，游戏规则如下：参与对战的双方每次从装有3个白球和2个黑球（这5个球的大小、质量均相同，仅颜色不同）的盒子中轮流不放回地摸出1球，摸到最后1个黑球或能判断出哪一方获得最后1个黑球时游戏结束，得到最后1个黑球的一方获胜．设游戏结束时对战双方摸球的总次数为X ． (1)求随机变量X 的概率分布；(2)求先摸球的一方获胜的概率，并判断这场游戏是否公平．21．已知椭圆2222:1x y C a b+=12，过椭圆左焦点1F 作不与x 轴重合的直线与椭圆C 相交于M ，N 两点，直线m 的方程为：2x a =-，过点M 作ME 垂直于直线m 交直线m 于点E ．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)∠求证线段EN 必过定点P ，并求定点P 的坐标； ∠点O 为坐标原点，求OEN 面积的最大值． 22．设函数()ln af x x x=+（a R ∈）.(1)求函数()f x 的单调区间；(2)若()f x 有两个零点1x ，2x ，求a 的取值范围，并证明：1221a x x <+<.参考答案：1．C 【解析】 【分析】解指数不等式和对数不等式得集合,A B ，然后由交集定义计算． 【详解】由题意(){}2log 11{13}A x x x =-≤=<≤，112{|2}2x B x x x -⎧⎫=≥=≤⎨⎬⎩⎭，所以{|12}A B x x =<≤． 故选：C ． 2．B 【解析】 【分析】由题意可得α为锐角，β为钝角，分析可得3,22ππαβ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，由cos β=sin tan 3cos βββ==-，再计算tan tan tan()11tan tan αβαβαβ++==--，结合αβ+的范围，即得解 【详解】因(),0,αβπ∈且1tan 2α=，cos β=α为锐角，β为钝角， 故sin 0β>，sin β==sin tan 3cos βββ==-，(0,),(,)22ππαβπ∴∈∈3,22ππαβ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，1(3)tan tan 2tan()111tan tan 1(3)2αβαβαβ+-+∴+===---⨯-， 所以34αβπ+=． 故选：B 3．B 【解析】 【分析】根据已知条件，利用待定系数法求出函数关系式，然后再代入数值计算即可. 【详解】由题意可得12240.10.2ab ab ⎧=⎨=⎩，解得1121202a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩， 所以121220tv =⋅，这种垃圾完全分解，即当1v =时，有1211220t=⋅，即12220t =， 解得122221lg 2log 2012log 202412log 5241252lg 2t -===+=+⨯=. 故选：B 4．C 【解析】 【分析】先判断函数奇偶性排除A ，再结合特殊值法和零点个数可选出正确答案. 【详解】 易知函数cos ()xf x xπ=是奇函数，图象关于原点对称，可以排除A ；在原点右侧附近，函数()f x 值大于0，排除D ；函数cos ()x f x x π=在区间[4,4]-上有零点1357,,,2222±±±±，共计8个，排除B.仅有C 符合上述要求. 故选：C. 5．B 【解析】 【分析】过A 作AD 垂直于x 轴于点D ，AB 与x 轴交于E ，设C （a ，0），可得32CD =，11,2AD DE ==，3tan 2CD CAD AD ∠==，1tan 2ED EAD AD ∠==，再利用tan tan()BAC CAD EAD ∠=∠-∠计算即可.【详解】过A 作AD 垂直于x 轴于点D ，AB 与x 轴交于E ，由题可得周期为2，设(,0)C a ，则1(,1)2B a +-，3(,1)2A a +，所以32CD =，11,2AD DE ==，3tan 2CD CAD AD ∠==，1tan 2ED EAD AD ∠== 所以tan tan tan tan()1tan tan CAD EADBAC CAD EAD CAD EAD∠-∠∠=∠-∠=+∠⋅∠31422317122-==+⨯. 故选：B【点睛】本题主要考查两角差的正切公式，涉及到正弦型函数图象等知识，考查学生数学运算能力，是一道中档题. 6．B 【解析】 【分析】先把圆的一般方程转化为标准方程可得()0,2M ，可得直线l 恒过圆心()0,2M ，即2PA PB PM +=，利用向量加法的三角不等式22PA PB PC PM PC PM PC ++=+≤+，分析即得解 【详解】圆M ：22430x y y +-+=化成22(2)1x y +-=， 故点()0,1P -，()0,2M ，直线l ：()20ax y a R -+=∈恒过圆心()0,2M ， 所以2PA PB PM +=，所以2266110PA PB PC PMPC PM PC PC PM ++=+≤+=+≤++=，当且仅当PM和PC同向共线，且C点为圆上最高点时，等号成立故选：B7．B【解析】【分析】结合线面垂直、线线垂直的知识对选项进行分析，由此确定正确选项.【详解】矩形在翻折前和翻折后的图形如图(1)(2)所示.在图(1)中，过点A作AE∠BD，垂足为E，过点C作CF∠BD，垂足为F，由边AB，BC不相等可知点E，F不重合；在图(2)中，连接CE.对于选项A，若AC∠BD，又知BD∠AE，AE∩AC＝A，所以BD∠平面ACE，所以BD∠CE，与点E，F不重合相矛盾，故选项A错误；对于选项B，若AB∠CD，又知AB∠AD，AD∩CD＝D，所以AB∠平面ADC，所以AB∠AC，由AB<BC可知存在这样的等腰直角三角形，使得直线AB与直线CD垂直，故选项B正确；对于选项C，若AD∠BC，又知DC∠BC，AD∩DC＝D，所以BC∠平面ADC，所以BC∠AC，已知AB＝2，BC BC>AB，所以不存在这样的直角三角形，故选项C错误；由以上可知选项D错误.故选：B8．B 【解析】 【分析】 设41()e e sin 22x x g x x π+-=-+,则()()1f x g x =+,研究()g x 的对称性和单调性即可.【详解】 设41()ee sin 22x x g x x π+-=-+，则()()1f x g x =+.(3)(1)2f a b f a ++-<即(3)(1)0g a b g a ++-<. 因为4411(4)e e sin 2e e sin ()2222x x x x g x x x g x πππ-+-+⎛⎫--=-+--=--=- ⎪⎝⎭.即函数()g x 关于(2,0)-对称.442111()e e cos 2e e cos 2e cos 0424242x x x g x x x x ππππππ+-+'=++⋅=+>所以()g x 是增函数, 因为(3)(1)0g a b g a ++-<. 所以(3)(1)(3)g a b g a g a +<--=--. 则33a b a +<--,得43a b +<- 故选：B 【点睛】关键点点睛:根据条件判断函数的对称性和单调性是解决本题的关键. 9．AC 【解析】 【分析】由题知i z a b =-，进而根据复数的加减乘除运算依次讨论各选项即可得答案.解：对于A 选项，i z a b =+，i z a b =-，所以2z z a +=∈R ，故正确； 对于B 选项，i z a b =+，i z a b =-，2i z z b -=∉R ，故错误； 对于C 选项，i z a b =+，i z a b =-，22z z a b ⋅=+∈R ，故正确；对于D 选项，i z a b =+，i z a b =-，()22222222i i i i z a b ab z a a b a b a b b a b --===+-+-+， 所以当0a =时，z z∈R ，当0a ≠时，zz ∉R ，故错误.故选：AC 10．ABD 【解析】 【分析】A 选项可以直接得到答案；B 选项利用组合知识分别求出分组的所有情况和事件3M 包含的情况，从而求出相应的概率；C 选项，分别求出()1P M ，()2P M ，验证是否等于()3P M ；D 选项利用若()()()P AB P A P B =，则事件A 与B 相互独立来验证事件1M 与事件3M 是否相互独立. 【详解】对于A ，因为甲队分在第一小组和第二小组的概率相等，且两种情况等可能，所以()112P M =，故A 正确；对于B ，8支球队抽签分组共有4870C =种不同方法，甲、乙两队分在同小组共有226230C A ⨯=种不同方法，所以甲、乙两队分在同一小组的概率()3303707P M ==，故B 正确；对于C ，因为()()1212P M P M ==，所以()()()1231P M P M P M +=≠，故C 错误； 对于D ，因为()261348314C P M M C ==，()()131332714P M P M ⋅=⨯=，所以()()()1313P M M P M P M =⋅，所以事件1M 与事件3M 相互独立，故D 正确.故选：ABD. 11．ABD【分析】对于A ，过A 作C 的准线的垂线，垂足为A '，则PA AF PF PA AA ++='+，结合图形可求得结果，对于B ，将点P 的坐标代入抛物线方程中求出m 的值，然后由AF BF FP +=可得122x x +=，从而可进行判断，对于C ，由题意设直线AB 的方程为1x my =+，代入抛物线方程中化简结合根与系数的关系可得结果，对于D ，由8AF BF AB +≥=，即1228x x ++≥，从而可得结论【详解】过A 作C 的准线的垂线，垂足为A '，则PA AF PF PA AA ++='+PA AA +'的最小值即为点P 到C 的准线的距离，所以PAF △周长的最小值为3故A 正确；因为点(),2P m 是C 上一点，所以44m =，解得1m =，则()111,AF x y =--，()0,2FP =，()221,BF x y =--，因为AF BF FP +=，则12110x x -+-=，可得122x x +=，则12242AF BF x x FP +=++==.故B 正确；若A ，F ，B 三点共线，则直线AB 不可能与x 轴重合，设直线AB 的方程为1x my =+，联立24,1,y x x my ⎧=⎨=+⎩整理可得2440y my --=，2Δ16160m =+>，由韦达定理可得124y y =-，故C 错误；由8AF BF AB +≥=，即1228x x ++≥，即126x x +≥，所以AB 的中点到y 轴距离1232x x d +=≥，当且仅当A ，F ，B 三点共线时，等号成立，故D 正确. 故选：ABD. 12．ABD 【解析】 【分析】根据数列的构造方法先写出前面几次数列的结果，寻找规律，再进行推理运算即可. 【详解】由题意可知，第1次得到数列1,3,2，此时1k = 第2次得到数列1,4,3,5,2，此时3k =第3次得到数列1, 5,4,7,3,8,5,7,2，此时 7k =第4次得到数列1,6,5,9,4,11,7,10,3,11,8,13,5,12,7,9,2，此时15k = 第n 次得到数列1，123,,,,k x x x x ，2 此时21n k =-所以12n k +=，故A 项正确；结合A 项中列出的数列可得： 123433339339273392781a a a a =+⎧⎪=++⎪⎨=+++⎪⎪=++++⎩ 123333(*)n n a n N ⇒=++++∈用等比数列求和可得()33132n n a -=+则 ()121331333322n n n a +++--=+=+23322n +=+ 又 ()3313333392n n a ⎡⎤-⎢⎥-=+-=⎢⎥⎣⎦22393332222n n +++--=+ 所以 133n n a a +=-，故B 项正确；由B 项分析可知()()331333122n nn a -=+=+即()2332n a n n ≠+，故C 项错误.123n n S a a a a =++++23133332222n n+⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭()231331322n n--=+ 2339424n n +=+-()133234n n +=+-，故D 项正确. 故选：ABD. 【点睛】本题需要根据数列的构造方法先写出前面几次数列的结果，寻找规律，对于复杂问题，著名数学家华罗庚指出:善于“退”，足够的“退”，退到最原始而不失重要的地方,是学好数学的一个诀窍.所以对于复杂问题我们应该先足够的退到我们最容易看清楚的地方,认透了,钻深了,然后再上去，这就是以退为进的思想.13．14 【解析】 【分析】根据二项式展开式的通项公式，直接求解即可. 【详解】由题意可得：二项式展开式的通项公式为：71477317622()((1)2rr r r r r r r T C C xx ---+==- ，0,1,2,,7r = ,令7140,63rr -== ， 故722x ⎛ ⎝的展开式中，常数项为667(1)214C -⨯⨯= ， 故答案为：14 14．2 【解析】 【分析】设直线l 与()e 1x f x =-相切于点(,e 1)m m -，与()g x 相切于点(,ln 1)n n +，利用导数求出切线l 在两切点处的方程，利用斜率相等且截距相等列式求解． 【详解】根据题意，设直线l 与()e 1x f x =-相切于点(,e 1)m m -，与()g x 相切于点(,ln 1)n n +，对于()e 1x f x =-，其导数为()e x f x '=， 则有()e m k f m ='=，则直线l 的方程为1e e ()m m y x m +-=-，即e e (1)1m m y x m =+--， 对于()ln 2g x x =+，其导数为1()g x x'=， 则有1()k g n n='=，则直线l 的方程为1(ln 1)()y n x n n-+=-，即1ln y x n n=+， 直线l 是()f x 与()g x 的公切线，则1e (1)e 1ln m m n m n⎧=⎪⎨⎪--=⎩，可得(1)(e 1)0m m --=， 则0m =或1m =，故直线l 的方程为y x =或e 1y x =-； 则()f x 与()g x 的公切线条数是2条． 故答案为：2． 15．y = 【解析】 【分析】设出双曲线方程，通过做标准品和双曲线与圆O 的交点将圆的周长八等分，且AB BC CD ==，推出点⎫⎪⎭在双曲线上，然后求出渐近线方程即可. 【详解】解：根据题意，设双曲线的方程为22221y x a b-=()0,0a b >>，则OC a =，因为AB BC CD ==，所以2CD OC =，所以33OD OC a ==， 因为坐标轴和双曲线与圆O 的交点将圆O 的周长八等分，所以⎫⎪⎭在双曲线上， 代入22221y x a b -=可得2299122a b -=，解得2297b a=，所以双曲线的渐近线方程为a y x b =±=故答案为：y x =16． 8π 【解析】 【分析】由三角形ADC 与AEC 为直角三角形，可得斜边AC 中点M 即为三棱锥D ACE -的外接球球心，从而即可求解；当AP PQ +最小时，PQ ⊥平面CDE ，则Q 在线段DG 上，将三角形ADM 沿DM 翻折，使之与三角形GDM 共面，从而即可计算最短距离. 【详解】解：因为DA ，DB ，DC 两两垂直，2DA DB DC ===，所以AB AC BC ===M ，E 分别为AC 、AB 的中点， 所以CE AB ⊥，所以MA MC MD ME ====M 为三棱锥D ACE -的外接球球心，所以三棱锥D ACE -的外接球的表面积22448S R πππ==⨯=； 在正三棱锥D ABC -中，E 为AB 中点，,AB DE AB CE ∴⊥⊥，AB ∴⊥平面CDE ， 设CE 中点为G ，连接MG ，M 为AC 中点，//MG AE ∴且M G =12A E ， MG ∴⊥平面CDE ，∠DG 即为DM 在平面CDE 上的射影，当AP PQ +最小时，PQ ⊥平面CDE ，故Q 在线段DG 上. 如图，将三角形ADM 沿DM 翻折，使之与三角形GDM 共面， 此时，AP PQ +的最小值，即为点A 到DG 的距离， 过点A 作AQ DG ⊥于点Q ，又DM =1sin ,30,2MG MDG MDG MD ∴∠==∴∠=︒ 45ADM ∠=︒，()sin sin()sin 4530ADQ ADM MDG ∴∠=∠+∠=︒+︒=，sin 2AQ AD ADQ ∴=⋅∠==故答案为：8π. 17．(1)23a =，35a =，47a = (2)22n n + 【解析】 【分析】（1）根据1,2,n n a n a 成等差数列列方程，结合1a 求得234,,a a a . （2）判断出{}2n a 成等差数列，由此求得2462n a a a a ++++的和.(1)由于1,2,n n a n a 成等差数列，所以14n n a a n ++=， 14n n a n a +=-，所以2132443,85,1257a a a a a =-==-==-=. (2)14n n a a n ++=∠，1241n na a n ∠，两式相减得24n n a a +-=，所以数列{}2n a 是首项为23a =，公差为4的等差数列. 所以 24621371141342nn n a a a a n n22n n =+ 18．(1)1cos 4C =，6BC =【解析】 【分析】（1）先求出1cos 4C =，再在ABC 中，利用余弦定理计算BC ； （2）根据角平分线定理得2AB BEAC CE==，所以13AECABCS S =，再由中线的性质得到12ADC ABCSS =，得到16ADEABCSS =即可．(1) 解：sin2sin C B =，2sin cos sin C C B ∴=，2cos c C b ∴=，1cos 4C ∴=，在ABC 中，由余弦定理得22221cos 264936a b c a C ab a -=+-=+=，解得6a =（负值舍去），即6BC =．(2)解：1cos 4C =，(0,)C π∈，∴sin C =∴1sin 2ABCSCA CB C =⋅ AE ∵平分BAC ∠，∴2AB BEAC CE==，所以13AECABCS S =，AD 为BC 边的中线，∴12ADCABCSS =，∴1166ADEADCAECABCSSSS =-==⨯=19．（1）AM =14AB ；（2【解析】 【分析】（1）取D 1E 的中点N ，连AN 、NF ，当AM =1=时，可通过证明AMFN 是平行四边形，得到AN ∠MF ，进而可得线面平行；（2）分别取AE 、AB 、BC 的中点O 、G 、K ，连OD 1、OM 、OK 、EG ，以O 为坐标原点，OM 、OK 、OD 1分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解直线BD 1与平面CD 1E 所成角即可. 【详解】（1）取D 1E 的中点N ，连AN 、NF ，则12NE EC =，//NE EC ∠122EC AB ==，当AM =114AB =时，12AM EC =，//AM EC则NF AM =且//NF AM ，则AMFN 是平行四边形，AN ∠MF . 又MF ⊄平面D 1AE ，AN ⊂平面D 1AE ，则MF ∠平面D 1AE .（2）分别取AE 、AB 、BC 的中点O 、G 、K ，连OD 1、OM 、OK 、EG ， ∠AD 1=ED 1=2，∠OD 1∠AE ，又平面D 1AE ∠平面ABCE 且交于AE ， ∠OD 1∠平面ABCE .易知OK ∠AB ，OM ∠EG ∠BC ，又AB ∠BC ，∠OM ∠OK ， 故如图建系O ﹣xyz .设平面CD 1E 的法向量n =（x ， y ， z ）， ∠EC ∠y 轴，∠()0,2,0EC =，∠112OD AE = ∠D 1为（0， 0，又E 为（﹣1， 1， 0），则(11,D E =-，由1200EC n y D E n x y ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩0y x =⎧⎪⇒⎨=⎪⎩，取1z =，则n =（ 0， 1）. 又B 为（1， 3， 0），则(11,BD =--， 记直线BD 1与平面CD 1E 所成角的大小为ϕ，则112sin 3BD n BD nϕ⋅==⋅20．(1)答案见解析 (2)不公平 【解析】 【分析】（1）首先列出随机变量X 的所有可能取值，再按照相互独立事件的概率计算公式计算出对应概率，即可得分布列；（2）分析出先摸球的一方获胜的情形，即可求得先摸球的一方获胜的概率，进而可判断该游戏是否公平． (1)（1）由题可得，X 的所有可能取值为2，3，4， 且()21125410P X ==⨯=，()2313213213354354354310P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，()()()341235P X P X P X ==-=-==，X 的分布列为(2)（2）先摸球的一方获胜，包括以下几种情况：双方共摸3次球，出现白黑黑、黑白黑、白白白这三种情况，即()3310P X ==，双方共摸4次球，出现的恰好是三白一黑且前三次必定出现一次黑球的情形， 概率为232132213221354325432543210⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=，所以先摸球的一方获胜的概率为33310105+=． 因为3152>，所以这场游戏是不公平的．21．(1)22143x y +=(2)∠证明见解析；5(,0)2P - ；∠154【解析】 【分析】（1）椭圆2222:1x y C a b+=，离心率为12，列出方程，求解a ，b ，得到椭圆的标准方程．（2）∠设直线MN 方程：1x my =-，1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，1(4,)E y -，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理求解直线EN 方程，然后得到定点坐标．∠由（1）中2144(1)0m ∆=+>，利用弦长公式，求解三角形的面积表达式，然后求解最大值即可． (1)由题意可得：12c a ⎨=⎪⎩，所以2a =，b = 故椭圆的标准方程为22143x y +=． (2) 证明：∠由题意知， (1,0)F -，设直线MN 方程：1x my =-，1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，1(4,)E y -，联立方程221143x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(34)690m y my +--=，所以122634m y y m +=+，122934y y m -=+，所以121223()my y y y -=+， 又2124ENy y k x -=+，所以直线EN 方程为：2112(4)4y y y y x x --=++， 令0y =，则12121212121213()(4)3352444422y y y x my y y x y y y y y y ++=--=--=-+=+---=---．所以直线EN 过定点5(,0)2P -．∠由（1）中()214410m =+>，所以m R ∈，又12||y y -所以1215||||24OENS OP y y ∆=-==令t =1t ，则15()13f t t t=+，令2221131()3,()3t g t t g t t t t -'=+=-=，当1t ≥时，()0g t '≥ ， 故1()3g t t t=+在[1，)∞+上单调递增，则15()13f t t t=+在[1，)∞+上单调递减， 即215151313OENt St t t==++在[1，)∞+上单调递减，所以1t =时，()154OEN maxS =． 22．(1)当0a ≤时，()f x 在0,上单调递增；当0a >时，()f x 在()0,a 单调递减，在(),+∞a 单调递增(2)证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间即可；（2）由（1）可得()f x 的极小值点为x a =，则不妨设120x a x <<<，证明122x x a +>，即证：()()()1122f a x f x f x -<=，构造函数()()()()l 2ln 22n a ag x f a x f x a x a x xx =--=-+---，证明()0g x <即可，设21x tx =，1t >，则()()12ln 1ln ln 1t t x x t t t ⎛⎫++=- ⎪-⎝⎭，设()ln 1t h t t =-，判断单调性可得()ln 1ln 1t t t t +<-，进而得证. (1)解：（1）由()ln a f x x x =+，0x >，可得()221a x a f x x x x'-=-=，0x >.当0a ≤时，0f x，所以()f x 在0,上单调递增；当0a >时，令()20x a f x x '-=>，得x a >，令()20x af x x -'=<，得0x a <<， 所以()f x 在()0,a 单调递减，在(),+∞a 单调递增； (2)证明：（2）因为函数()ln af x x x=+有两个零点，由（1）得0a >，此时()f x 的递增区间为(),+∞a ，递减区间为()0,a ，()f x 有极小值()ln 1f a a =+. 所以()n 10l a f a =+<，可得1e a <.所以10ea <<.由（1）可得()f x 的极小值点为x a =，则不妨设120x a x <<<. 设()()()()l 2ln 22n a ag x f a x f x a x a x xx =--=-+---，()0,∈x a ， 可得()()()()222224110222a x a a ag x a x x x a x x a x ---'=--+=>---，()0,∈x a ， 所以()g x 在()0,a 上单调递增，所以()()0g x g a <=， 即()()20f a x f x --<，则()()2f a x f x -<，()0,∈x a ， 所以当120x a x <<<时，12a x a ->，且()()()1122f a x f x f x -<=. 因为当(),∈+∞x a 时，()f x 单调递增，所以122a x x -<，即122x x a +>. 设21x tx =，1t >，则1122ln 0,ln 0,a x x a x x ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，则1221ln ln x x t x x ==，即()1211ln ln ln ln ln x t x t tx t x t ===+.所以1ln ln 1t tx t =--，所以()()()()()1211ln 1ln ln ln ln 1ln ln 1ln 111t t tt x x x t x t t t t t t +⎛⎫+=+=++=-++=- ⎪--⎝⎭. 设()ln 1th t t =-，则()()211ln 01t t h t t --'=<-，所以()h t 在1,上单调递减，所以()ln 1ln 1t t tt +<-，所以()12ln 0x x +<，即12 1.x x +< 综上，1221a x x <+<. 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．。