22估计与估算
对三年级学生进行估算教学后的一点感悟重点
对三年级学生进行估算教学后的一点感悟[关键词]：生活情境感知估算数感估算本质估算方法评价[摘要]：要培养三年级学生的估算能力，首先要让他们感知估算的意义，正确理解估算的本质，利用学生的数感，促进估算策略的形成，掌握估算方法，采取有效合理的估算评价策略。
[正文]：我在新课程改革的几年里，我在如何培养学生的估算意识，使学生形成初步的估算技能，进行了一些探索和尝试，下面结合三年级的教学实践，谈一谈自己的感受。
先说说《数学课程标准》的要求，《数学课程标准》中规定了估算的教学内容和估算意识、技能培养的要求。
具体目标是：“能结合具体情境进行估算，并解释估算的过程。
”又在教学建议指出：“在本学段教学中，教师要不失时机地培养学生的估算意识和初步的估算技能。
”通过几年的实践下来，老师们也明白：估算是生活中的一项必备技能和数学学习的一项必要技巧，培养学生的估算意识，发展学生的估算能力，应成为教学上的一大重要任务。
但在实际的课堂教学中我们的学生面对估算却感到茫然、无所适从，感受不到它的魅力，体会不到它的价值。
觉得估算太累，太遥远，太牵强，对估算陷入了深深的困惑。
老师们则普遍反映估算“教师难教，学生难学”，“试题难出，正误难判”。
通过观察、思考和总结后发现：在当前的课堂中，学生的在估算中主要存在以下几种不良现象：一、认为“大约”= “估算”小学数学教材三年级上册有一道练习题：一条蚕大约吐丝1500米，小红养了6条蚕，大约吐丝多少米？不少学生的算式是：1500×6≈1000×6=6000（米）或者1500×6≈2000×6=12000（米）。
老师问：1500×6=9000（米）不是挺好的吗？为什么要把1500米约等于1000米或2000米呢？他们异口同声：这里有“大约”。
类似的例子还有很多。
二、“懒得估”。
“懒得估”、缺乏对估算的兴趣，这是一个最普遍的现象。
拿到一道题目后，学生首先想到的是精算而极少有人会想到估算，除非题目规定。
小学数学中的估算
小学数学中的估算估算作为一种重要的数学能力，近年来逐渐受到国际数学教育界的重视。
在《美国学校数学教育的原则和标准》中对估算提出了明确的要求：“学前期至十二年级的数学教育，应该使所有的学生都能够熟练地计算并进行合理的估算。
”荷兰、英国、法国等国家的正式课程中，也包括估算内容的教学。
我国《课程标准》对估算教学提出了明确的目标和要求：“在小学第一学段要求学生能结合具体情境进行估算，并解释估算的过程；第二学段要求学生在解决具体问题的过程中，能选择合适的估算方法，养成估算的习惯。
”估算是估计的一个方面。
小学数学中的估计大体有三种：估算、估量和估数。
国内关于估算教学的研究并不多，由于缺乏相关的理论指导，教师对估算内容的教学存在着困惑，必然导致处理不当等现象的发生。
一、估算的作用估算是一种生活技能，在日常生活中，我们经常会用到估算。
如：有足够多的现金来支付这些书款吗?粉刷房间需要多少涂料?体育馆能容纳多少名观众?……类似的问题有很多，回答这些问题都需要用到估算。
据统计，平时应用估算与精确计算的比例为3∶1。
因此，熟练地掌握估算技巧可以方便我们的生活。
除此之外，估算还有以下几个方面的作用：1.估算有利于培养学生的数感。
2.估算有助于培养学生的思维能力。
3.估算可以使学生及时发现错误。
4.估算有助于调动学生学习的积极性。
二、对估算的理解Smart把估算定义为：为了一定的目的，对大小、数量、数给出一个足够精确的判断。
即按照一定的要求对初始数据进行心算，给出结果，并且结果落在某个指定的范围内。
我们经常遇到这样的情况，在让学生估算时，学生往往不进行估算，而是直接进行精确计算或近似计算。
估算不同于精确计算和近似计算，估算通常是一个心理操作活动，而近似计算或精确计算都要借助计算器或纸、笔进行。
如估算4÷21的值，可以这样估算：4÷21＜4÷20=0.2，4÷21＞4÷25=0.16，所以4÷21的值介于0.16和0.2之间，这个结果的范围是估计出来的。
2022版新课标核心素养关键词解读——”运算能力“主题研讨与教学分享
方法三：22×18≈20×18=360，22估成20，估小了，360＞350，一定能坐下。
方法四：22×18=396≈400，准确数算出来了，再取整就多余了。 教师再引导学生：比较方法二与方法四，笔算得到的准确数验证了一个因数估大，一个因数估小， 误差较小。 将方法一与方法三联系起来看，得出22×18的取值范围：360<22×18<440。
运算能力培养的教学建议
二、关注计算方式的选择 面临实际计算问题时，首先应该考虑要近似答案还是精确答案：
如果一个近似答案就足够了，那就估算；如果需要精确答案，那就还 要一次选择能够口算、笔算，是否用计算器算。
选择计算方法，应在确定了计算方式之后进行。
王老师要买190本《数学小词典》，每本3.80元。她带了800元， 够吗？应找回（或再付）多少元？
运算能力培养的教学建议
四、估算以解决实际问题为主，适当引导，加深认知
基于理论研究的实践告诉我们：1. 估算宜以解决实际问题为主，但也不排斥用于单纯计算 的检验与估计；2. 估算教学要以学生实际出发，但也不能处处迁就学生。
方法一：22×18≈22×20=440，18估成20 ，估大了，实际座位没有440个，不能肯定坐得下。
02 教学建议
运算能力培养的教学建议
一、传承有效的教学策略 （一）重视数与运算的概念教学，将算法归结为基本概念、基 本原理
例如：5个3加3个3等于8个3，5个3 减2个3等于3个3 。 这是浅显的数学事实，但却是乘法分配律归结为乘法运
算意义的具体化算理解释，用以理解。
运算能力培养的教学建议
乘法估算三年级乘法估算的方法
乘法估算三年级乘法估算的方法1．使学生掌握乘法估算的方法，会进行两位数的乘法估算．2．培养学生估算的意识，归纳概括、迁移类推的能力，以及应用所学知识灵活解决实际问题的能力．3．养学生学习数学的兴趣，自主探索、勇于尝试的勇气，感受数学与生活的紧密联系，激发学生热爱数学、学好数学的情感．教学重点掌握估算的方法，会进行两位数的乘法估算．教学难点正确进行估算，培养学生的估算意识．教学过程一、生活引入：1．小明的家离学校大约十分钟的路程，学校组织活动，要求8点钟集合，小明几点钟从家出发合适？（在学生讨论发言的基础上，应该明确：他至少7点50分从家出发，实际上，为了不迟到，他应该提前几分钟，7点45从家出发比较合适．）2．这个时间你是怎样得到的？用自己的话说说什么叫估算？（在估计的基础上进行推算，这就是估算．）3．请你举例说明，你在生活中见到过什么时候什么地方用到过估算？二、尝试讨论1．在学生举例的基础上，教师出示下面题目：a．一所学校的阶梯教室有22排，每排有18个座位．这个阶梯教室大约能坐多少人？b．一份稿件，平均每行有29个字，共有31行，这份稿件大约有多少个字？c．小明和奶奶在健身区散步，小明每分钟大约走39米，他绕健身区一周走了12分钟，这个健身区一周长大约有多少米？2．读题，你有什么发现？（解决这些问题，都要用到估算）你有什么好办法吗？3．同学之间进行小组合作学习，教师巡视指导．三、交流归纳：1．以小组为单位进行汇报，并说出你们是怎样想的？a 22≈20，18≈20，20×20＝400（人）b 29≈30，31≈30，30×30＝900（个）c 39≈40，12≈10，40×10＝400（米）2．观察这几道题目有什么共同的特点？（乘数是两位数，都是用乘法．）3．根据自己解答过程中的体会和同学的汇报，试着说一说怎样进行乘数是两位数的乘法估算？（根据学生的发言，对估算的方法进行、归纳：分别取近似数，再用两个近似数相乘．）四、巩固练习1．一本书有50页，每页排23行，每行26个字．这本书大约有多少万字？2．小丽每分钟步行52米，1小时大约走多少千米？3．一个粮店平均每天大约卖切面790千克，一个月大约卖切面多少千克？4．一个苗圃有育苗地4块，每块地有91行，每行种89棵树苗．这个苗圃大约培育多少棵树苗？5．一块长方形地，长98米，正好是宽的2倍．这块地的面积大约是多少？6．说出下面哪些内容是估算？（1）全世界的人口有52亿．（2）在跳绳比赛中，东东跳了98个．（3）这辆公共汽车上大概有40人．（4）我们班有45名同学．（5）小红三分钟能写85个字．7．用估算的方法，检验下面各题算得对吗？47×52＝341469×51＝29928．估算：（1）10分钟你的脉搏大约跳动多少下？（2）全校大约有多少学生？五、质疑提高1．这节课学习的是什么内容？2．怎样进行两位数乘法的估算？请你举例说明．3．还有什么问题？学生质疑并解疑．六、板书设计探究活动估一估活动目的1．让学生经历估算的全过程，学会估算的方法．2．让学生体会估算在日常生活中的作用，养成估算意识．活动准备天平、尺子、黄豆、纸活动过程1．学生每6人为一组，每组发给一袋黄豆和一打纸．2．教师提问：每组有500克黄豆，大约有多少粒？这一打纸大约有多少张？请大家估算一下．3．讨论出估算步骤再操作，需要工具可以来领取．4．动手操作时合理分工协作．5．填写估算表，检查计算是否正确，并做好汇报的准备．参考1：黄豆粒数估算报告估算步骤先数出10克的黄豆有56粒，再算整袋黄豆500克有50个10克，也就是有50个56．所用工具天平估算结果共有50×56=2800（粒）参考2：纸的张数估算报告估算步骤先量出1毫米有10张纸，再量出整打纸有4厘米1毫米，也就是有41个10．所用工具尺子估算结果共有41×10=410（张）拼摆算式活动目的1．使学生能熟练进行加、减、乘、除的口算．2．增强学生的小组合作精神，提高学生的动手、表达能力．活动准备写有数字3、＋、—、×、÷、（）等符号的纸牌．活动过程1．教师出示题目：下面有5个算式，请你在这5个算式中，添上适当的＋、—、×、÷、（）等符号，使它们的得数都等于100．其中，每一个算式中的3，可以任意分组，例如3，33，333，……3 3 3 3 3＝1003 3 3 3 3 3 3＝1003 3 3 3 3 3 3 3＝1003 3 3 3 3 3 3 3 3＝1003 3 3 3 3 3 3 3 3 3＝1002．学生分成若干小组，每组发给一组纸牌进行拼摆．数一数算一算活动目的训练学生进一步熟悉乘法口算．活动过程1．教师出示题目：开学初，学校要给同学们订做校服，每套服装是300元．。
估计与估算
绝密★启用前 估计与估算 小学阶段 考试时间：100分钟；命题人：王宇 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题) 认真答题，仔细检查！ 一、选择题 1．平均每小时有36至45人乘坐游览车，那么3小时中有 人乘坐游览车。
A ．少于100 B ．100与150之间 C ．150与200之间 D ．200与250之间 2．一本书有394页，21本这样的书大约有（ ）页． A ．6500 B ．8000 C ．9000 第II 卷（非选择题) 认真答题，仔细检查！ 二、解答题 3．学校组织若干人参加夏令营。
先乘车，每个人都要有座位，这样需要每辆有60个座位的汽车至少4辆。
而后乘船，需要定员为70人的船至少3条。
到达营地后分组活动，分的组数跟每组的人数恰好相等。
这个学校参加夏令营的人有多少？ 4．在1，12，13，……199，1100中选出若干个数，使得它们的和大于3，至少要选多少个数？5．小明的两个衣服口袋中各有13张卡片，每张卡片上分别写着1，2，3，…，13。
从这两个口袋中各拿出1张卡片并计算2张卡片上的数的乘积，可以得到许多不相等的乘积。
那么，其中能被6整除的乘积共有多少个？ 6．如果两个四位数的差等于8921，就说这两个四位数组成一个数对，那么这样的数对共有多少个？…………外…………○…………装…线………※※请※※不※※要…………内…………○…………装…线………数都不是11的倍数？ 8．A=12345678910111213÷31211101987654321，求 A 的小数点后前3位数字． 9．下面的算式里，每个方框代表一个数字。
问：这6个方框中的数字的总和是多少？ 10．将自然数按如下顺序排列： 1 2 6 7 15 16 … 3 5 8 14 17 …4 9 13 …10 12 …11 …在这样的排列下，数字3排在第2行第1列，数字13排在第3行第3列。
2023年人教版数学三年级上册估算教案(优选3篇)
人教版数学三年级上册估算教案（优选３篇）〖人教版数学三年级上册估算教案第【1】篇〗教学目标(一)知识与技能使学生在具体的情境中，简单的两位数除以一位数(被除数是几十几的数)，能正确地进行计算。
(二)过程与方法通过观察、操作、讨论的活动，使学生经历探索口算除法的全过程。
渗透转化和迁移类推的数学思想，加深对口算除法的理解，发展数感。
(三)情感态度和价值观让学生感受数学与日常生活的联系，在探索的过程中获得成功的体验。
教学重难点教学重点掌握口算两位数除以一位数，被除数是几十几的计算方法。
教学难点理解口算两位数除以一位数，被除数是几十几除法的算理。
教学工具ppt课件教学过程(一)复习1.口算练习60÷3= 360÷9= 80÷4=300÷6= 2400÷6= 4000÷5=2、想一想，填一填(1)84里有( )个十，( )个一。
(2)46里有( )个十，( )个一。
(3)62里有( )个十，( )个一。
(二)探究新知今天我们继续学习一位数除两位数的口算,来我们一起看看这道题。
1.动手操作，理解算法(1)出示例题:把66张彩色手工纸平均分给3人,每人得到多少张(2)读题，你知道了哪些信息要求什么呢生：要把66张彩色手工纸平均分成3份，求每份是多少。
(3)理解题意并列式板书：66÷3=3.学生自己试着做一做并说明理由，可以借助小棒图。
4.全班交流，说说你的想法。
预设：生1：66就是6捆和6根小棒，平均分给3个人，每人得到2捆和2根小棒，就是22根小棒。
生2:我是这样想的：把6个十平均分成3份，每份是2个十，6个一平均分成3份,每份是2个一,和起来就是22。
师用多媒体演示分一分5.借助，理解算理出示1：60÷3=206÷3=220+2=22小结：两位数除以一位数的口算方法是:先用十位上的数除以一位数，再用个位的数去除以一位数,最后把两部分合起来就是商。
人教版数学三年级上册估算优秀教案推荐(3)篇
人教版数学三年级上册估算优秀教案推荐（３）篇〖人教版数学三年级上册估算优秀教案第【1】篇〗教学目标1、使学生掌握运用估算解决实际问题的方法。
2、使学生学会从多角度思考来解决问题，培养学生灵活运用各种方法解决问题的能力。
教学重难点教学重点：掌握基本的除法估算的方法，正确地进行除法的估算。
会根据具体情况选择合理的估算方法。
教学难点：训练学生多角度思考问题，发展学生的求异思维。
教学工具多媒体课件教学过程一、回顾旧知，激活基础1、口算下面各题。
640÷8= 500÷5=60÷3= 200÷4=4200÷6= 1200÷2=36÷3= 360÷9=80÷4= 300÷6=2400÷6= 42÷2=2、先判断商是几位数，再计算。
576÷3= 386÷4=二、学习新知，探究规律课件出示主题图。
师：节假日，小丽一家三口出去游玩，要在宾馆住三天，他们遇到了一些问题，仔细观察主题图，你能帮帮他们吗生：能!1、初步学习估算师：从图中，你知道了哪些信息，要解决什么问题生1：我知道了住宿3天一共花了267元，求每天的住宿费是多少。
师：你真会读题目!仔细观察这个问题你们有什么发现吗生1：问我们“大约”多少钱。
师：观察的真仔细!那么“大约”是什么意思呢生：大概、差不多、估计…….师：所以我们是不需要算出准确结果的!谁会列式生1：267÷3师：为什么要用除法呢生1：把267平均分成3份，求每份是多少，所以用除法。
师：会估算吗生：会!师：请你们在课堂练习本上尝试算一算，算完后同桌交流算法。
学生独立完成、小组交流，教师巡视。
师：谁能把你的算法分享给大家(指名学生回答，教师板书计算方法)生1：把267看作与它接近的整百数300，267÷3≈100(元)生2：把267看作与它接近的几百几十数270，267÷3≈90(元) 生3：……….(方法合理均可)师小结：通过分析，我们发现以上几种方法均正确，事实上估算方法具有多样性(师板书)。
2022年《估算》教案
会到估算的本质和目的，从而驾驭估算。计算题的估算精确范围 比较宽松，一般状况下正负误差均可。这正是熬炼学生创新意识 的好时机，因此，我在教学过程中打破常规，除了教学书本上的 方法外，还激励全体学生充分发挥自己的想象力，找出与书本不 同的方法。 《估算》教案 3
第五单元 两位数乘位数 教材分析： 本单元是在学生能够比较娴熟地口算整十、整百数乘一位数， 两位数乘一位数（每位乘积不满十），并且驾驭了多位数乘一位数 的计算方法的基础上进行教学的。本单元主要内容有：口算乘法、 笔算乘法。 本单元的口算乘法主要包括两项内容，第一项内容是整十、 整百数乘整十数。它是在口算整十、整百数乘一位数的基础上进 行教学的。其次项内容是估算，即两位数乘两位数的估算。它是 在学生学过两、三位数乘一位数的估算和驾驭了乘法的基本口算 方法的基础上教学的。口算是笔算的基础，也是估算的基础。教 材先支配口算，在扩高校生的口算范围的同时，为学生学习新的 估算和两位数乘两位数笔算方法做好必要的打算。并且，在估算 和笔算教学活动中，又可以进一步巩固口算。这样，有利计算，只要估一估就可以了，大家想 应什么方法估算？以四人为一小组进行探讨。
（2）汇报：要推断 350 名学生能否坐得下，必需估算出多媒 体教室大约有多少个座位。
方法一：18≈20 22≈20 20×20=400（个）所以 350 名学生 能坐下。 方法二：18≈20 22×20=440（个）所以，350 名学生 能坐下。 方法三：22≈20 18×20=360（个）所以，350 名学生 能坐下。
（示 292），200+300=500， 200 300 （板书：200+300=500） 我们就说 206+292 大约就是 500 元。（板：206+292 500 元） 师：（假如学生出现了第一种）比较这两种估计的方法，你觉
考点22 估算无理数的大小
考点二十二估算无理数的大小1．（2019•南通）小明学了在数轴上画出表示无理数的点的方法后，进行练习：首先画数轴，原点为O，在数轴上找到表示数2的点A，然后过点A作AB⊥OA，使AB＝3（如图）．以O为圆心，OB长为半径作弧，交数轴正半轴于点P，则点P所表示的数介于（）A．1和2之间B．2和3之间C．3和4之间D．4和5之间2．（2019•资阳）设x=√15，则x的取值范围是（）A．2＜x＜3B．3＜x＜4C．4＜x＜5D．无法确定3．（2019•白银）下列整数中，与√10最接近的整数是（）A．3B．4C．5D．64．（2019•南京）下列整数中，与10−√13最接近的是（）A．4B．5C．6D．75．（2019•天津）估计√33的值在（）A．2和3之间B．3和4之间C．4和5之间D．5和6之间6．（2019•重庆）估计√5+√2×√10的值应在（）A．5和6之间B．6和7之间C．7和8之间D．8和9之间7．（2019•重庆）估计（2√3+6√2）×√13的值应在（）A．4和5之间B．5和6之间C．6和7之间D．7和8之间8．（2019•辽阳）6−√3的整数部分是．9．（2019•宁波）请写出一个小于4的无理数：．参考答案1．解：由勾股定理得，OB=√22+32=√13，∵9＜13＜16，∴3＜√13＜4，∴该点位置大致在数轴上3和4之间．故选：C．2．解：∵9＜15＜16，∴3＜√15＜4，故选：B．3．解：∵32＝9，42＝16，∴3＜√10＜4，10与9的距离小于16与10的距离，∴与√10最接近的是3．故选：A．4．解：∵9＜13＜16，∴3＜√13＜4，∵3.62＝12.96，3.72＝13.69，∴3.6＜√13＜3.7，∴﹣3.7＜−√13＜−3.6，∴10﹣3.7＜10−√13＜10﹣3.6，∴6.3＜10−√13＜6.4，∴与10−√13最接近的是6．故选：C．5．解：∵25＜33＜36，∴√25＜√33＜√36，∴5＜√33＜6．故选：D．6．解：√5+√2×√10=√5+2√5=3√5，∵3√5=√45，6＜√45＜7，故选：B．7．解：（2√3+6√2）×√1 3，＝2+6√2 3，＝2+√36×2 3，＝2+√24，∵4＜√24＜5，∴6＜2+√24＜7，故选：C．8．解：∵1＜√3＜2，∴6−√3的整数部分是6﹣2＝4．故答案为：4．9．解：∵15＜16，∴√15＜4，即√15为小于4的无理数．故答案为√15．。
北师大版八年级上册第二章 24 估 算 教案
2.4估算教学目标知识与技能：1.能通过估算检验计算结果的合理性.2.能估计一个无理数的大致范围.3.通过估算比较两个数的大小.过程与方法：通过教学过程的参与,培养学生学习数学的主动性,发展数感.情感态度与价值观：掌握估算的方法,形成估算的意识,发展数感.教学重难点重点：估计一个无理数的大致范围.难点：通过估算比较两个数的大小.教学准备教师准备：梯子模型.学生准备：复习开平方和开立方及比较数的大小的方法.教学过程一、导入新课导入一:某地开辟了一块长方形的荒地,新建一个环保主题公园,已知这块荒地的长是宽的2倍,它的面积为400000平方米,如图所示.如果要求结果误差小于10米,那么它的宽在什么范围内呢?导入二:自从“第一次数学危机”,即古希腊人希伯索斯发现了无理数以来,人们对无理数的探究就从来没有停止过,而比较两个无理数的大小,对无理数的估算,则是其中重要内容之一.无理数是无限不循环小数,所以无法写出某个无理数,人们想到了用符号准确地表示一个无理数,如π,等,但这给它们的大小比较和估算带来了一定的困难,那么如何通过估算来比较两个无理数的大小呢?这节课我们就来研究它们.(板书:估算)导入三:“神舟”九号、“神舟”十号顺利升空.你知道火箭要把飞船送入太空绕地球飞行所需要的速度吗?要使飞船能绕地球运转,就必须克服地球引力,事实上,只要飞船的速度超过一定值时,就能做到这一点,我们把这个速度称为第一宇宙速度,其计算公式是v=,g为重力加速度,取g=9.8(米/秒2),R是地球半径,R=6370000米,请你估计出第一宇宙速度的值为.【提示】v=≈7901(米/秒),7901米/秒≈7.9千米/秒.二、构建新知（1）引例探究[过渡语]通过前面的学习,知道无理数是无限不循环的小数,那我们如何估计结果呢?某地开辟了一块长方形的荒地用来建一个环保主题公园.已知这块荒地的长是宽的2倍,它的面积为400000平方米.此时公园的宽是多少?长是多少?解:设公园的宽为x米,则它的长为2x米,由题意得x·2x =400000,2x2=400000,x=.那么=?【问题】(1)如果要求结果精确到10米,它的宽大约是多少?与同伴进行交流.(2)该公园中心有一个圆形花圃,它的面积是800平方米,如何估计它的半径?(结果精确到1米)【问题解决】(1)我们可以把这个长方形看做是由两个正方形拼接成的,那么,每个正方形的面积为202100平方米,大家估计一下,哪个数的平方是202100?100的平方为10000,1000的平方为1000000,所以公园的宽大约几百米,没有1000米宽,精确到10米,我们可以计算一下450的平方.(2)圆形花圃的面积是800平方米,800除以3.14约等于255,大约为16的平方,所以圆形花圃的半径大约是16米.[设计意图]从现实情境引入,一方面让学生初步建立数感,另一方面让学生体会生活中的数学,从而激发学习的积极性.学生通过与生活紧密联系的问题情境初步感受到估算的实用价值.[过渡语]我们如何估算一个无理数的结果呢?方法是什么呢?【问题】(1)下列结果正确吗?你是怎样判断的?与同伴进行交流.①≈0.066;②≈96;③≈60.4.(2)怎样估算一个无理数的范围呢?你能估计的大小吗?( 结果精确到1)【问题解决】(1)这些结果都不正确.(2) ≈10.[设计意图]同伴间进行交流,教师适时引导.在解决问题的同时引导学生对解法进行总结,和学生一起归纳出估算的方法.让学生从被动学习到主动探究,激发学生的学习热情,培养学生自主学习数学的能力.通过简单无理数大致范围的估计,初步积累一些解决问题的经验,为接下来的实际应用做好准备.（2）例题讲解[过渡语]学会了估算的方法,如何来解决实际问题呢?例题：生活经验表明,靠墙摆放梯子时,若梯子底端离墙的距离约为梯子长度的,则梯子比较稳定.现有一长度为6 m的梯子,当梯子稳定摆放时,它的顶端能达到5.6 m高的墙头吗?〔解析〕梯子能否达到5.6 m高的墙头,作示意图如右上图,梯子和墙面、地面构成了一个直角三角形,假设梯子稳定摆放时的高度为x m,利用勾股定理,可以求出梯子的顶端能达到的最大高度,从而得出结果.解:设梯子稳定摆放时的高度为x m,此时梯子底端离墙的距离恰好为梯子长度的,根据勾股定理,有x2+=62,即,x2=32,x=, 因为5.62=31.36<32,所以>5.6,因此,当梯子稳定摆放时,它的顶端能达到5.6 m高的墙头.（3）比较无理数的大小【问题】比较与的大小.【问题解决】与的分母相同,只要比较它们的分子就可以了.因为5>4,即()2>22,所以>2,所以-1>1,所以.[知识拓展]1.确定无理数近似值的方法(估算法).(1)当被开方数在1~1000以内时,可利用乘方与开方为互逆运算来确定无理数的整数部分,然后根据所要求的误差大小确定小数部分.例如:估算的值(误差小于1),因为192<385<202,所以19<<20,所以的整数部分是19,由于误差小于1,所以的估算值是19或20,即约等于19或20.若要确定十分位上的数字,则可以采用试验值方法,即19.12=364.81,19.22=368.64,…,19.52=380.25,19.62=384.16,19.72= 388.09,于是19.62<385<19.72,所以19.6<<19.7.(2)当被开方数是正的纯小数或比1000大时,利用方根与被开方数的小数点之间的规律,移动小数点的位置,将其转化到被开方数在1~1000以内进行估算,即平方根中的被开方数的小数点向左(或向右)每移动2n(n是正整数)位,其结果的小数点相应地向左(或向右)移动n位;立方根中的被开方数的小数点向左(或向右)每移动3n(n是正整数)位,其结果的小数点相应地向左(或向右)移动n位.例如:要确定的整数部分,因为≈1.111,把中的被开方数的小数点向右移动4位,得,其算术平方根1.111的小数点相应地向右移动两位,得111.1,所以的整数部分是111.2.比较无理数大小的方法.(1)估算法.例如:比较与的大小,因为3<<4,所以0<-3<1,所以.(2)作差法.若->0,则;若-<0,则.例如:比较与的大小,也可以这样解:因为-<0,所以.(3)平方法.把含有根号的两个无理数同时平方,根据平方后的数的大小进行比较.例如:比较2和3的大小,因为=24,=27,所以2<3.(4)移动因式法.当a>0,b>0时,若a>b,则,因此可以把根号外的因式移到根号内进行比较大小.另外还有倒数法、作商法.比较两个无理数的大小,要根据它们的特点灵活选用上述方法.例如:比较和的大小,因为分子都是,所以只需比较分母的大小,因为3>2,所以.也就是说,对于两个正无理数,分子相同,分母大的反而小.三、课堂总结1.确定无理数近似值的方法——估算法.2.比较无理数大小的方法:(1)估算法;(2)作差法;(3)平方法;(4)移动因式法;(5)倒数法;(6)作商法.四、课堂练习1.已知的整数部分为a,小数部分为b,求代数式a2-a-b的值.解:因为9<13<16,所以3<<4,所以a=3,b=-3,所以原式=9-3-(-3)=6-+3=9-.2.比较-1与1.5的大小.解:用作差法可得-1-1.5=-2.5<0,所以-1<1.5.五、板书设计2.4估算1.引例探究.2.例题讲解.3.比较无理数的大小.六、布置作业一、教材作业【必做题】教材第34页随堂练习第1,2题.【选做题】教材第34页习题2.6第1,3题.二、课后作业【基础巩固】1.下列结果正确吗?请说明理由.(1)≈60.4;(2)≈351;(3)≈35.1;(4)≈10.6.2.通过估算,比较下面各组数的大小.(1) 与;(2)与3.1.【能力提升】3.已知长方形的长与宽的比为3∶2,对角线长为 cm,求这个长方形的长与宽(结果精确到0.01 cm).4.某开发区是一个长为宽的三倍的长方形,它的面积为120210000 m2.(1)开发区的宽大约是多少米?它有10000 m吗?(2)如果要求误差小于100 m,它的宽大约是多少米?(3)开发区内有一个正方形的地块将用来建管理中心,它的规划面积是8500 m2,你能估计一下它的边长吗?(误差小于1 m)5.设a =,b =,c =2,则a,b,c之间的大小关系是 ()A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.c>b>a6.观察下列一组等式,然后解答后面的问题.(+1)(-1)=1,()(-)=1,()(-)=1,()(-)=1……(1)根据上面的规律,计算下列式子.+…+·(+1).(2)利用上面的规律,试比较-与-的大小.【拓展探究】7.先填写下表,通过观察后再回答问题.a…0.000001 0.00010.011 100 100001000000………(1)被开方数a 的小数点位置移动和它的算术平方根的小数点位置移动有无规律?(2)已知=1800,-=-1.8,你能求出a的值吗?(3)试比较与a的大小.【答案与解析】1.解:(1)错误.因为显然小于60. (2)错误.因为显然小于100. (3)正确.因为35.12=1232.01. (4)正确.因为10.63≈1191,10.73≈1225,所以≈10.6.2.解:(1) 因为3<<3.2, 所以1<<1.1,而1>,所以.(2)因为3.13=29.791,而30>29.791,所以>3.1.3.解:设长方形的长为3x cm,宽为2x cm,由题意得(2x)2+(3x)2=,即4x2+9x2=39,13x2=39,x2=3,x=.所以长为3x=3≈5.20(cm),宽为2x=2≈3.46(cm).4.解:(1)设开发区的宽为x m,则长为3x m,由题意得3x2=120210000,x2=40000000,x=×1000.因为<10,可见开发区的宽约为几千米,没有10000 m. (2)因为≈6.3,所以开发区的宽大约为6.3×103 m. (3)设正方形的边长为y m,由题意得y2=8500,y=×10,因为81<85<100,所以,即9<<10,所以的整数部分为9,又因为84.64<85<86.49,所以9.2<<9.3,所以92<<93.即管理中心的边长约为92 m或93 m.5.D(解析:∵a2=2021+2,b2=2021+2,c2=4004=2021+2×1002,1003×997=1000000-9=999991,1001×999=1000000-1=999999,10022=1004004,∴c>b>a.故选D.)6.解:(1)由上面的规律可直接写出-,则+…+·(+1)=[(-1)+(-)+(-)+…+(-)]·(+1)=(-1)(+1)=2021.(2)∵,,又,∴,∴--.7.解:依次填:0.001,0.01,0.1,1,10,100,1000.(1)有规律,当被开方数a的小数点每向左(或向右)移动两位时,算术平方根的小数点相应地向左(或向右)移动1位. (2)观察1.8和1800,小数点向右移动了3位,则3.24的小数点向右移动6位,即a=3240000. (3)当0<a<1时,>a;当a=1或0时,=a;当a>1时,<a.教学反思这节课的内容是让学生掌握估算的方法,训练他们的估算能力.由于学生在生活中接触用估算解决实际问题的情况比较少,所以比较陌生,学习起来难度就比较大,因此在教学中选取学生熟悉的问题情境引入,激发学生的学习兴趣.比如,本节课的教学中选取了“新建环保公园”的问题情境引入,与学生平时的生活密切联系,容易把学生的积极性调动起来.由于误差的原因,不少学生对自己的估计结果产生了怀疑,所以提前明确精确度,让学生掌握估算的方法,找到解决问题的信心.在教学过程中一定要让学生体会估算的实用价值,了解到“数学既来源于生活,又回归到生活,为生活服务”.作为教师,一定要尊重学生的个体差异,满足多样化的学习需要,鼓励探究方式、表达方式和解题方法的多样化.设计一些误差影响较小的题目,或者估算前明确精确度,并举例说明.教材习题答案随堂练习(教材第34页)1.解:(1)≈3.7. (2)≈9.2.解:因为6<6.25,所以,而=2.5,所以<2.5.习题2.6(教材第34页)1.提示:(1)≈6. (2)≈5.1.2.解:(1)因为<2,所以-1<1,所以. (2)因为3.852=14.8225<15,所以>3.85.3.提示:要比较与的大小,只要比较4(-1)与5的大小即可,即4与9的大小,而(4)2=80<92,所以4<9,所以.4.解:(1)不正确.因为显然大于10. (2)不正确.因为显然小于100.5.提示:约为4 m.6.解:有5 m,可以设梯子长为x m,则有x2=+4.82,解得x=>5.素材例1：估计+1的值在()A.2到3之间B.3到4之间C.4到5之间D.5到6之间〔解析〕利用“夹逼法”得出的取值范围,继而便可得出+1的取值范围.因为22<<32,所以2<<3,所以3<+1<4.故选B.例2：已知a,b为两个连续整数,且a<<b,则a+b=. 〔解析〕因为4<<5,所以a=4,b=5,所以a+b=9.故填9.。
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第22讲 估计与估算A 卷1.有若干个小朋友,他们的年龄各不相同.将他们的年龄分别填入下式的□中,都能使不等式成立.这些小朋友最多有 个.21<543.2.10000000009999999999100099910099109+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++的整数部分是 . 3.10971939719297199719⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯+=A ,与A 最接近的整数是 . 4.有24个偶数的平均数,如果保留一位小数的得数是15.9,那么保留两位小数的得数是 .5.1995003这个数,最多可以拆成 个不同的自然数相加的和.6.有一列数,第一个数是105,第二个数是85,从第三个数开始,每个数都是它前面两个数的平均数.那么第19个数的整数部分是 .7.有一长3米的线段,第一次把这条线段三等分后去掉中间一部分,第二次再把剩下的两线段中的每一段都三等分后都去掉中间一部分,第三次再把剩下的所有线段的每一段都三等分后都去掉中间一部分.继续这一过程,这样至少连续 次后,才使剩下的所有线段的长度的和小于0.4米. 8.已知199711982119811198011+⋅⋅⋅+++=S ,那么S 的整数部分是 .9.1009987654321⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯⨯与101相比较,较大的哪个数是 . 10.某工厂有三个车间,共有75人报名参加冬季长跑,其中第一车间人数最多,第三车间人数最少.如果第一车间报名人数是第三车间报名人数的212倍,那么第二车间报名人数是第三车间报名人数的 倍.11.除式12345678910111213÷31211101987654321计算结果的小数点后前三位数字是_____? 12.已知1006915681467136612651170156914681367126611⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=a ,问a 的整数部分是 .13.四个连续自然数的倒数之和等于2019,求这四个自然数的两两乘积之和. 14.用四舍五入的方法计算三个分数的和,得近似值为35.1875≈++cb a ,试求c b a ,,的值.(c b a ,,是三个自然数)15.国际象棋比赛的奖金总数为10000元,发给前五名.每一名的奖金都不一样,名次在前的钱数要比名次在后的钱数多.每份奖金钱数都是100元的整数倍.现在规定,第一名的钱数是第二、第三名两人之和,第二名的钱数是第四、第五名两人之和,那么第三名最多能得多少元?16．计算:234101----1(12)(12)(123)(123)(1234)(129)(12910)-⨯++⨯++++⨯+++++⨯++++ B 卷1. 将六个分数215,94,12011,451,83,358分成三组,使每组的两个分数的和相等,那么与451分在同一组的那个分数是 .A ．8/35B .5/21 C.3/8 D.4/9 2. 满足下式的n 最小等于 .)1(1431321211+⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯n n >19981949. A.30 B.40 C.50 D.60 3. 已知1101011102103101102100101+⋅⋅⋅+++=A ,则A 的整数部分是 . A.65 B.66 C.67 D.684. 小明计算17个自然数的平均数所得的近似值是31.3,老师指出小明少取了一位有效数字,则老师要求的平均数应该是 .A.31.27B.31.28C.31.29D.31.31 5.有三十个数:,302964.1,,30364.1,30264.1,30164.1,64.1+⋅⋅⋅+++如果取每个数的整数部分,并将这些整数相加,那么其和是 .A.49B.47C.41D.396. 数151311197535232129171551719212321357911131÷的十分位到十万分位的数字为 __.7.将奇数1,3,5,7,…,由小到大按第n 组有2n -1个奇数进行分组 (1), (3,5,7), (9,11,13,15,17), … 第一组 第二组 第三组 那么1999位于第 组的第 个数.8. 22.103.823.102.824.101.8⨯+⨯+⨯的整数部分是 . 9. 数23232⨯⋅⋅⋅⨯⨯写成小数时的前两位小数是 .10. 有甲、乙、丙、丁四个同学去林中采蘑菇.平均每人采得的蘑菇的个数的整数部分是一个十位数为3的两位数.又知甲采的数量是乙的54,乙采的数量是丙的23倍.丁比甲多采3个蘑菇.那么,丁采蘑菇 个.11. 数1/（1/10+1/11+1/12+……+1/19）的整数部分是_____？12.两个连续自然数的平方之和等于365,又有三个连续自然数的平方之和也等于365.试找出这两个连续自然数和那三个连续自然数.13.如图所示,方格表包括A 行B 列(横向为行,纵向为列),其中依次填写了自然数1至B A ⨯ ,现知20在第3行,41在第5行,103在最后一行,试求A 和B .14.求分数16154321++⋅⋅⋅++++=A 的整数部分. 15.甲、乙、丙三个班向希望工程捐赠图书.已知甲班1人捐6册,有2人各捐7册,其余人各捐11册;乙班有1人捐6册,3人各捐8册,其余人各捐10册;丙班有2人各捐4册,6人各捐7册,其余人各捐9册.已知甲班捐书总数比乙班多28册,乙班比丙班多101册.各班捐书总数都在400册与550册之间.问:每班各有多少人?16．有8个数，0.51，23,59,0.51,2413,4725是其中6个，如果按从小到大的顺序排列时，第4个数是0.51，那么按从大到小排列时，第4个数是哪一个数?C 卷9 99 999 99999999991、— + —— + —— +… + —————— 的整数部分是 。
10 100 1000 10000000000A.8B.9C.10D.1119 19 19 192、A=— + — ×2+ —×3+…+ — ×10，与A 最接近的整数是 。
97 97 97 97A.10B.11C.12D.134． 如果两个四位数的差等于8921，就说这两个四位数组成一个数对，那么这样的数对共有多少个，A.78B.79C.80D.81 5、满足下式的n 最小等于 。
1 1 1 1 1949 —— + —— + —— +…+ ———— > ——— 1×2 2×3 3×4 n×(n+1) 1998A1949. B1948. C . 1947 D. 1946 10 10 10 106、已知A=1—— +2—— +3—— +…+11——，则A 的整数部分是 。
100 101 102 110A .66 B.67 C .68 D.697、有24个偶数的平均数，如果保留一位小数的得数是15.9，那么保留两位小数的得数是 。
8、七位数175□62□的未位数字是几时，不管千位上是0～9中的哪一个数字，这个七位数都不是11的倍数？9、小明的两个衣服口袋中各有13张卡片，每张卡片上分别写着1，2，3，…，13从这两个口袋中各拿出1张卡片并计算2张卡片上的数的乘积，可以得到许多不相等的乘积。
那么，其中能被6整除的乘积共有_______个。
10、请把656/657，52/53，2679/2680，8/9这4个数从大到小排列 111、数1/（1/10+1/11+1/12+……+1/19）的整数部分是 __12. 比较22221111891064++++ 与18的大小．13.计算：1+3（1/6）+5（1/12）+7（1/20）+9（1/30）+11（1/42）+13（1/56）+15（1/72）+17（1/90）。
14 . ⑴比较以下小数，找到最大的数：1.121∙∙，1.121， 1.12∙∙，1.12121，1.12⑵比较以下5个数，排列大小：1 ，0.42∙∙，37，51.6673， .15. 从所有分母小于10的真分数中，找出一个最接近0.618的分数。
16 .（1+1/2）×（1-1/2）×（1+1/3）×（1-1/3）×……×（1+1/99）×（1-1/99）。
答案、提示或解法A 卷1.32.93.114.15.92 5.19976.917.58.1109.101 10.761或1631 11.395 12.101. 13. 设这四个连续自然数分别为a ,a +1,a +2, a +3,则20193121111=++++++a a a a , 所以 31211112019++++++=a a a a <a a a a a 41111=+++, a <1944. 易知a =1,2,4均不合题意,故a =3,这四个自然数为3,4,5,6,其两两乘积之和为:119656454635343=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯. 14. 依题意,得 1.345≤875cb a ++<1.355, 所以 376.6≤56a +40b +35c <379.4又a ,b ,c 为自然数,因此, 56a +40b +35c =377 ① 或56a +40b +35c =378 ② 或56a +40b +35c =379 ③考虑不定方程①,由奇偶分析,知c 为奇数,所以40b +35c 的个位为5, 因此56a 的个位为2,a 的个位为2或7. 又a <5643656379=,故a =2, 因此8b +7c =53,易知b =4, c =3.同法可知不定方程②无解,方程③的解为a =4, b =3, c =1. 15. 设第i 名的奖金为100ai 元(i =1,2,3,4,5). 依题意,得1000010010010010010054321=++++a a a a a ,且542321,a a a a a a +=+=,整理 1002332=+a a ①所以 3223100a a +=<222523a a a =+,故2a >20,由①易知2a 必为偶数,所以2a ≥22. 故 ()23310021a a -=≤()1722310021=⨯-. 即第三名最多能得1700元. 16. 211=1(12)3-⨯+2311-=1(12)(12)(123)6-⨯++⨯++234111(12)(12)(123)(123)(1234)10---=⨯++⨯++++⨯+++发现1+2=3，1+2+3=6，1+2+3+4=10，…，也就是说当作为最后一个减数分母的最后一个乘数为多少，作为最终结果的单位分数的分母就是多少．所以，原题中最后一个减数分母的最后一个乘数为1+2+3+4+…+9+10=55，所以最终计算结果为155。