直线与圆的最值问题讲课稿
新高考数学人教版必修2课件第2章 习题课 与圆有关的最值问题
内容索引
一、与距离有关的最值问题 二、与面积相关的最值问题 三、利用数学式的几何意义解圆的最值问题
随堂演练
课时对点练
一、与距离有关的最值问题
1.圆外一点到圆上任意一点距离的最小值＝ d－r ，最大 值＝ d＋r .
2.直线与圆相离，圆上任意一点到直线距离的最小值＝ d-r ，最大值＝ d＋r .
解析 圆C：x2＋y2－2y＝0的圆心为C(0,1)，半径r＝1， 由圆的性质可知，四边形的面积S＝2S△PBC， 又四边形PACB的最小面积是2， 则 S△PBC 的最小值为 S＝1＝12r|PB|min＝12|PB|min， 则|PB|min＝2，因为|PB|＝ |PC|2－r2＝ |PC|2－1，
解析 设点A(3,1)，易知圆心C(2,2)，半径r＝2. 当弦过点A(3,1)且与CA垂直时为最短弦， |CA|＝ 2－32＋2－12＝ 2. ∴半弦长＝ r2－|CA|2＝ 4－2＝ 2. ∴最短弦长为 2 2.
二、与面积相关的最值问题
例2 已知点O(0,0)，A(0,2)，点M是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，则
√C. (－∞，－ 3]∪[ 3，＋∞) D. [－ 3， 3]
解析 将yx看作圆上动点(x，y)与原点 O(0,0)连线的斜率， 如图，可得 k≥ 3或 k≤－ 3.
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4.已知圆C1：x2＋y2＋4x－4y＝0，动点P在圆C2：x2＋y2－4x－12＝0上， 则△PC1C2面积的最大值为_4___5_. 解析 因为C1(－2,2)，r1＝2，C2(2,0)，r2＝4， 所以|C1C2|＝ －2－22＋22＝2 5， 当 PC2⊥C1C2 时，△PC1C2 的面积最大，其最大值为12×2 5×4＝4 5.
《直线与圆的位置关系》说课稿(附教学设计)
《直线与圆的位置关系》说课稿一、教材的理解与处理本节课的内容是平面解析几何的基础知识，是对前面所学直线与圆的方程的进一步应用。
而解决问题的主要方法是解析法。
解析法不仅是定量判断直线与圆的位置关系的方法，更为后续研究直线与圆锥曲线的位置关系奠定思想基础，具有承上启下的作用。
本节课的教学目的是使学生掌握直线与圆的位置关系的判定方法，教材处理问题的方法主要是：用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离d后与圆的半径r比较作出判断；类比利用直线方法求两条直线交点的方法，联立直线与圆的方程，通过解方程组，根据方程组解的个数判断直线与圆的位置关系。
考虑到圆的性质的特殊性，以及渗透给学生解决问题尽力选择简捷途径，以及学生的认知结构特征，课堂上师生着力用第一种方法来解决直线与圆的位置关系，对于第二种方法主要留给学生自主探究，教师做适当的点拨总结。
二、教学目标确定说明学生在初中已经学习了直线与圆的位置关系，也知道可以利用直线与圆的交点的个数以及圆心与直线的距离d与半径r的大小比较两种方法判断直线与圆的位置关系，但是，在初中学习时，这两种方法都是以结论性的形式呈现，在高一学习了解析几何以后要求学生掌握用直线和圆的方程来判断直线与圆的位置关系，解决问题的主要方是解析法。
高中数学教学的重要目标之一是提高学生的数学思维能力，通过不同形式的探究活动，让学生亲身经历知识的发生和发展过程，从中领悟解决问题的思想方法，不断提高分析和解决问题的能力，使数学学习变成一种愉快的探究活动，从中体验成功的喜悦，不断增强探究知识的欲望和热情，养成一种良好的思维品质和习惯。
根据本节课的教学内容和我所教学生的实际，本节课的教学目标确定为以下三个方面：（1）知识与技能目标：①理解直线与圆三种位置关系。
②掌握用圆心到直线的距离d与圆的半径r比较，以及通过方程组解的个数判断直线与圆位置关系的方法。
（2）能力目标：①通过对直线与圆的位置关系的探究活动，经历知识的建构过程，培养学生独立思考，自主探究，动手实践，合作交流的学习方式。
【公开课课件】圆中线段长的最值问题
C
6.已知E、F是正方形ABCD的边AD上两个动点，
满足AE=DF．连接CF交BD于点G，连接BE交
AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长
度的最小值是
．
数学模型三：
一个点到圆上的各点中最小距离为3cm， 最大距离为8cm，则该圆的半径是（ ）.
7.点P在⊙O外，Q是⊙O上的动点，M是PQ 的中点，连接OP、OM．若⊙O的半径为2， OP=4，则OM长的最小值是（ ）．
12.已知△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=2， D为AB的中点，将△CAD绕点C按逆时针方向 旋转角n得到△CEF，AE与DF相交于点M，当n 从90°变化到180°时，求点M运动的路径长。
13.在平面直角坐标系 O 中，矩形AOBD的顶点A为
（0，6 3），顶点B为（6，0），取OB、BD边上
N
8.如图，定长弦CD在以AB为直径的⊙O上滑动
（点C、D与点A、B不重合），M是CD的中点，
过点C作CP⊥AB于点P，若CD=3，AB=8，则PM
的最大值是
．
数学模型四： 直径是最长的弦
9.半径为2.5的⊙O中，直径AB的异侧有定点C和 动点P，BC=4，CA=3，点P在⊙O 上运动，过点 C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q．求CQ 的最大值．
△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN， 连接A′C，求A′C长度的最小值．
15.已知A(-1，0),B(1，0),点P是以点C（1,4） 为圆心，1为半径的圆上一动点，求 PA2 PB2 的最大值
这节课解决问题的“工具” 是什么？
10.△ABC中，∠ABC=45°，BC=
，且BC>AC，
高考数学专题讲座 第11讲 直线与圆
高考数学专题讲座 第11讲 直线与圆考纲要求：(1)理解直线斜率的概念,掌握两点的直线的斜率,掌握直线方程的点斜式\两点式\一般式,并能根据条件熟练地求出直线方程.(2)掌握两条直线平行于垂直的条件,两条直线所成的角和点到直线的距离公式.能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系.(3)了解二元一次不等式表示平面区域. (4)了解线性规划的意义,并会简单应用. (5)了解解析几何的基本思想,了解坐标法.(6)掌握圆的标准方程和一般方程.理解圆的参数方程. 基础达标1．若直线l 的倾斜角为π＋arctan(－12)，且过点(1，0)，则直线l 的方程为________________．x ＋2y －1=02．已知定点A （0，1），点B 在直线x ＋y ＝0上运动，当线段AB 最短时，点B 的坐标是________________． （－12，12）3．已知两条直线l 1：y ＝x ，l 2：ax －y ＝0，其中a 为实数．当这两条直线的夹角在(0，π12)内变动时，a 的取值X 围是 ( C ) A ．(0，1)B ．(33，3)C ．(33，1)∪(1，3) D ．(1，3) 4．过点A （1，－1）、B （－1，1）且圆心在直线x ＋y －2＝0上的圆的方程是 ( C )A ．(x －3)2＋(y ＋1)2＝4B ．(x ＋3)2＋(y －1)2＝4C ．(x －1)2＋(y －1)2＝4D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝45．圆2x 2＋2y 2＝1与直线x sin θ＋y －1＝0(θ∈R ，θ≠π2＋k π，k ∈Z )的位置关系是 ( C )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定6．已知圆C ：(x －a )2＋(y －2)2＝4（a ＞0）及直线l ：x －y ＋3＝0．当直线l 被C 截得的弦长为23时，则a ＝ （ C ） A ． 2 B ．2－2C ．2－1 D ．2＋1 例题选讲例1．（1）过点M (2,1)作直线l 与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点．① 若△AOB 的面积取得最小值,求直线l 的方程，并求出面积的最小值；② 直线l 在两条坐标轴上截距之和的最小值；③若|MA |·|MB |为最小，求直线l 的方程．解：(1)①由于已知直线l 在坐标轴上的截距,故选用直线的截距方程:1=+bya x （i ） 由已知a ＞0,b ＞0.故S △AOB ＝21ab （ii ） 由已知,直线(i)经过点(2,1).故112=+b a ,就是a ＋2b ＝ab ,a ＝12-b b (∵b ≠1) (iii) ∵a ＞0, b ＞0, ∴a ＞1. 将(iii)代入(ii),得S ＝12-b b ＝1112-+-b b ＝b ＋1＋11-b ＝(b －1)＋11-b ＋2.当b ＞1时 S ≥211)1(-⋅-b b ＋2＝4. 等号当且仅当 b －1＝11-b 即b ＝2时成立.代入(iii)得a ＝4. ∴所求的直线方程为24yx +＝1,即x②解一：a ＋b ＝2b b －1＋b ＝2(b －1)＋2b －1＋b ＝ ＝ 2b －1＋b －1＋当b ＞1时 , a ＋b ≥2(2b －1)(b －1)等号当且仅当 b －1＝2b －1， 即解二：a ＋b ＝(a ＋b )×1＝(a ＋b )(2a ＋1b )＝3等号当且仅当2b a ＝a b ，即a 2＝2b 2③由于直线l 绕点M 运动,故可选∠OAB 2θsin M y ＝1sin θ, |MB |＝θcos M x ＝2cos θ,|MA |·|MB |＝1sin θ×2cos θ＝4s in2θ，∴当sin2θ＝1时，|MA |·|MB |有最小值4， 此时tan θ＝1，所求直线l 的方程为x ＋y －3＝0.（2）已知圆C ：(x ＋2)2＋y 2＝1，P （x ，y ）为圆上任意一点．①求y －22x －2的最大值、最小值；②求x －2y的最大值、最小值．解：（1）令k ＝y －2x －1，则k 表示经过P 点和A （1，2）两点的直线的斜率，故当k 取最大值或最小值时，直线P A ：kx －y ＋2－k ＝0和圆相切，此时d ＝|－2k ＋2－k |1＋k 2＝1，解得k ＝3±34，所以y －22x －2的最大值为3＋38，最小值为3－38；（2）方法一：令x －2y ＝t ，可视为一组平行线系，由题意，直线应与圆C 有公共点，且当t 取最大值或最小值时，直线x －2y －t ＝0和圆相切，则d ＝|－2－t |5＝1，解得t ＝－2±5，所以x －2y 的最大值为－2＋5，最小值为－2－5；方法二：因为P （x ，y ）为圆C ：(x ＋2)2＋y 2＝1上的点，令x ＝－2＋cos θ，y ＝sin θ，θ∈[0，2π)，所以x －2y ＝－2＋cos θ－2 sin θ＝－2＋5cos(θ＋φ)( φ＝arctan2)，当θ＋φ＝2π，即θ＝2π－arctan2时，cos(θ＋φ)＝1，x －2y 取到最大值为－2＋5，当θ＋φ＝π，即θ＝π－arctan2时，cos(θ＋φ)＝－1，x －2y 取到最大值为－2＋5；例2．已知圆满足：①截y 轴所得弦长为2；②被x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1；③圆心到直线l ：x －2y ＝0的距离为55．求该圆的方程． 解：设圆P 的圆心为P (a ，b )，半径为γ，则点P 到x 轴，y 轴的距离分别为|b |，|a |．由题设知圆P 截x 轴所得劣弧对的圆心角为90º，知圆P 截x 轴所得的弦长为r 2．故r 2=2b 2又圆P 被y 轴所截得的弦长为2，所以有 r 2＝a 2+1．从而得2b 2－a 2＝1．又因为P (a ，b )到直线x －2y =0的距离为55，所以5552b a d -=， 即有 a －2b ＝±1， 由此有⎩⎨⎧=-=-121222b a a b ⎩⎨⎧-=-=-121222b a a b 解方程组得⎩⎨⎧-=-=11b a ⎩⎨⎧==11b a 于是r 2=2b 2=2，所求圆的方程是(x +1)2+(y +1)2=2，或(x －1)2+(y －1)2=2．思考：求在满足条件①、②的所有圆中，圆心到直线l ：x －2y ＝0的距离最小的圆的方程．解法一:设圆的圆心为P (a ，b )，半径为r ，则点P 到x 轴，y 轴的距离分别为│b │， │a │． 由题设知圆P 截x 轴所得劣弧对的圆心角为90°，知圆P 截X 轴所得的弦长为r 2，故r 2=2b 2， 又圆P 截y 轴所得的弦长为2，所以有 r 2=a 2+1．从而得2b 2－a 2=1．又点P (a ，b )到直线x －2y =0的距离为52b a d -=，所以5d 2=│a －2b │2 =a 2+4b 2－4ab≥a 2+4b 2－2(a 2+b 2)=2b 2－a 2=1，当且仅当a =b 时上式等号成立，此时5d 2=1，从而d 取得最小值． 由此有⎩⎨⎧=-=12,22a b b a 解此方程组得⎩⎨⎧==;1,1b a 或⎩⎨⎧-=-=.1,1b a 由于r 2=2b 2知2=r ．于是，所求圆的方程是(x －1) 2+(y －1) 2=2，或(x +1) 2+(y +1) 2=2． 解法二:同解法一，得52b a d -=∴d b a 52±=-得2225544d bd b a +±= ①将a 2=2b 2－1代入①式，整理得01554222=++±d db b②把它看作b 的二次方程，由于方程有实根，故判别式非负，即△=8(5d 2－1)≥0，得 5d 2≥1．∴5d 2有最小值1，从而d 有最小值55． 将其代入②式得2b 2±4b +2=0．解得b =±1．将b =±1代入r 2=2b 2，得r 2=2．由r 2=a 2+1得a =±1． 综上a =±1，b =±1，r 2=2． 由b a 2-=1知a ，b 同号． 于是，所求圆的方程是(x －1) 2+(y －1) 2=2，或(x +1) 2+(y +1) 2=2．例3．在以O 为原点的直角坐标系中，点A （4，－3）为△OAB 的直角顶点.已知|AB |＝2|OA |，且点B 的纵坐标大于零．（1）求向量AB →的坐标；（2）求圆x 2－6x ＋y 2＋2y ＝0关于直线OB 对称的圆的方程；（3）是否存在实数a ，使抛物线y ＝ax 2－1上总有关于直线OB 对称的两个点？若不存在，说明理由：若存在，求a 的取值X 围．[解]（1）设⎩⎨⎧=-=+⎪⎩⎪⎨⎧=⋅==,034100,0||||||2||},,{22v u v u OA AB OA AB v u AB 即则由得 },3,4{.86,86-+=+=⎩⎨⎧-=-=⎩⎨⎧==v u AB OA OB v u v u 因为或 所以v －3>0,得v =8,故AB ={6，8}.（2）由OB ={10，5}，得B （10，5），于是直线OB 方程：.21x y =由条件可知圆的标准方程为：(x －3)2+y(y+1)2=10, 得圆心（3，－1），半径为10. 设圆心（3，－1）关于直线OB 的对称点为（x,y ）则,31,231021223⎩⎨⎧==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-+=-⋅-+y x x y y x 得故所求圆的方程为(x －1)2+(y －3)2=10. （3）设P (x 1,y 1), Q (x 2,y 2) 为抛物线上关于直线OB 对称两点，则.23,022544,02252,,2252,202222222212212121212121>>-⋅-=∆=-++⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=+⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=+-+a aa a a ax a x x x a a x x ax x x x yy y y x x 得于是由的两个相异实根为方程即得 故当23>a 时，抛物线y=ax 2－1上总有关于直线OB 对称的两点.4．已知⊙M ：x 2＋(y －2)2＝1，Q 是x 轴上的动点，QA ，QB 分别切⊙M 于A ，B 两点，（1）如果|AB |＝423，求直线MQ 的方程；（2）求动弦AB 的中点P 的轨迹方程． 解:（1）由324||=AB ，可得,31)322(1)2||(||||2222=-=-=AB MA MP 由射影定理，得 ,3|||,|||||2=⋅=MQ MQ MP MB 得 在Rt △MOQ 中，523||||||2222=-=-=MO MQ OQ ，故55-==a a 或， 所以直线AB 方程是;0525205252=+-=-+y x y x 或 （2）连接MB ，MQ ，设),0,(),,(a Q y x P 由点M ，P ，Q 在一直线上，得(*),22xy a -=-由射影定理得|,|||||2MQ MP MB ⋅= 即(**),14)2(222=+⋅-+a y x 把（*）及（**）消去a ，并注意到2<y ，可得).2(161)47(22≠=-+y y x说明：适时应用平面几何知识，这是快速解答本题的要害所在。
《直线和圆的方程》专题讲座
《直线和圆的方程》专题讲座一、 求最值问题若a i ＞0（i=1，2，…，n ），则有na a a n +++...21≥nn a a a ⋯⋯⋅21（1）当a 1+a 2+…+a n =s （常数）时，积a 1·a 2……a n 有最大值为(ns )n，当且仅当a 1=a 2=…=a n 时取得.（2）当a 1·a 2……a n =p （常数）时，和a 1+a 2+…+a n 有最小值有n n p ，当且仅当a 1=a 2=…=a n 时取得.利用此公式求最值，按大纲要求只需掌握n=2时的情形.同时在应用时需注意以下三点：（1）作和或作积的数必须都为正；（2）若求和的最小值，则它们的积必须是一个常数，而若求积的最大值，则它们的和必须是一个常数；（3）在允许范围内这几个数能达到相等。
【例1】求下列函数的最值. （1）y=432+x x； （2）y=434322+++-x x x x .分析 此类题一般用判别式求最值，其实，应用二元均值不等式也能予以解答。
解（1）当x=0时，y=0 ， 当x ≠0时，y =xx 43+=xx 43+≤43 ∴－43≤y ≤43 当且仅当x =x4( )，即x=±2时，等号成立. ∴y min =－43，y min =43 （2）易知函数的定义域是R.y=434322+++-x x x x =1－4362++x x .①当x ＞0时，1＞y=1－346++xx ≥1－3426+=71 即当x=2时，y=71； ②当x=0时，y=1； ③当x ＜0时，1＜y=1+3)(4)(6--+-x x≤3426+即当x=－2时，y=7. 综合以上知，y min =7，y min =71 说明 将函数解析式变形以出现“x+xa”是活用平均值不等式求最值的前提. 事实上，对于（2），若令x=2tan θ ，则有y=43143122+++-x x x x=θθ2sin 342sin 34+-. 由此确定这个三角函数的最值也很容易. 【例2】已知x ，y ∈R +，且2x+y=1，求证：x 1+y1的最小值为3+22. 分析 注意到条件中给出1+2x+y ，而所要求证的不等式左边x 1+y1中的也含有1，故可将已知条件作逆向代换，即把1换成2x+y ，可使问题得到巧妙的解决. 解∴x 1+y 1=x y x +2+ yy x +2 =2+x y +y x2+1 =2+x y +yx 2∵y ∈R + ∴x y +y x 2≥2yx x y 2⋅=22 ∴x 1+y 1≥3+22当且仅当x y =y x 2，即x=222-，y=2－1时取“=”.二、 判别式法的应用【例1】已知a ，b ，c ∈R ，a+b+c=0，求证：a ，b ，c 中至少有一个大于23. 证明：∵abc=1＞0∴a ，b ，c 要么同正，要么有两个数为负，另一个数为正。
3直线和圆中的最值问题
3直线和圆中的最值问题3直线和圆中的最值问题直线和圆中的最值问题1、直线与原的焦点问题总是转化成圆心到直线的距离和半径间的比较，或者利用方程有解的问题；2、圆上一点到直线距离的最值问题总是转化成求圆心到定直线的距离；3、有些最值问题要注意向函数问题转化；4、抓住式子的几何意义。
一、到圆心距离的最值问题例1：已知P 是直线3x +4y +8=0上的动点，PA , PB 是圆x 2+y 2-2x -2y +1=0的两条切线, A , B 是切点，C 是圆心，求四边形PACB 面积的最小值。
二、到圆上一点距离的最值问题例2：已知P 是圆x 2+y 2=1上一点，Q 是直线l :x +2y -5=0上一点，求PQ 的最小值。
三、与圆上一点的坐标有关的最值问题例3：已知定点A (-1,0), B (1,0)和圆(x -3)+(y -4)=4上的动点P ，求使PA +PB 最值时点P 的坐标。
P , ⎪时, x 2+y 2最大为100 ⎪55⎪练习1：求实数x , y 满足x 2+(y -1) 2=1, 求下列各式的最值：（）13x +4y （2）x +y （3x +1(1)最大值为9，最小值为-1,(2)最大值为4，最小值为0,(3)小值为，无最大值四、与圆半径有关的最值问题例4：设x ，y 满足⎪y ≥x 求(x -1)+(y -3)25⎪4x +3y ≤12练习2：已知圆C ：x 2+y 2+2x -4y +3=0(1). 若圆C 的切线在x 轴和y 轴上截距相等，求切线的方程；(2). 从圆C 外一点P (x , y )向圆引切线PM ，M 为切点，O 为坐标原点，且PM求使PM 最小的点P 的坐标。
y =2±x , x +y +1=0或x +y -3=0，P -, ⎪(练习3：已知∆ABC 三个顶点坐标A (0,0), B (4,0), C (0,3)，点P 是它的内切圆上一点，求以PA , PB , PC 为直径的三个圆面积之和的最大值和最小值。
直线与圆的位置关系说课稿
直线与圆的位置的关系尊敬的各位老师，大家上午/下午好,我是高中数学组XX号考生我抽到的说课题目是《直线与圆的位置关系》，接下来开始我的说课对于本节课我以教什么、怎样教、为什么这样教为思路从教材分析、学情分析、教学目标、教学过程等几个方面来加以说明。
(一）说教材首先教材分析是上好一堂课的重要前提，接下来谈一谈我对教材的理解，《直线与圆的位置关系》选自人教 A 版高中数学必修二。
本节课的主要内容是利用两种方法判断直线与圆的位置关系。
它是在学生已经学习了直线与圆的位置关系的基础上展开教学的，本节课的学习也为后面学习平面解析几何打下了坚实的基础，起到了承上启下的作用。
(二）说学情除了教材分析，合理地把控学情也是上好一节课的重要前提，接下来我来谈一谈学生的实际情况。
本阶段的学生已经具备了一定的知识基础，但是对于独立分析问题、解决问题的能力还是有所欠缺。
所以在教学过程中要注意深入浅出，适时引导。
(三)说教学目标基于以上对教材和学情的分析，考虑到学生已有的认知结构和心理特征以及高中核心素养的要求，我制定了如下教学目标:1.熟练运用直线与圆的方程去判断两者之间的位置关系2.培养探究能力以及分析问题、解决问题的能力。
3.激发好奇心和求知欲，培养学习数学的兴趣，感受学习数学的乐趣。
(四)教学难点基于以上对教材和学情的分析以及教学目标的制定，我确定本节课的教学重难点为:教学重点:掌握两种用直线与圆的方程去判断两者位置关系的方法。
教学难点:利用这两种方法去解决数学中的实际问题。
（五）教学方法为了更好地完成教学目标，突出重点，突破难点，本节课我将采用以讲授法、自主探究法、小组讨论法为主的教学方法。
(六）教学过程接下来我来重点说一下我的教学过程，为了更好地贯彻新课程标准以学生为主的教学理念，本节课我将从导入新课、新课讲授、巩固提高和小结作业这四个环节来展开我的教学。
[导入新课]首先是导入环节，我将采用温故导入的方式引出本节课的课题，上课之初我会带领学生回忆前面学习过的两种用直线和圆的方程判断两者位置关系的方法。
直线与圆的最值问题-讲义
直线与圆的最值问题1 最值模型(1)三点共线模型(三角形三边的关系)(i)点A、B在直线l同侧，点P在直线l上，则(AP+BP)min=AB′(当点A、P、B′共线时取到)，点B′是点B关于直线l的对称点.(ii)点A、B在直线l同侧，点P在直线l上，则|AP−BP|max=AB(当点A、P、B共线时取到).(iii)点A、B在直线l异侧，点P在直线l上，则|AP−BP|max=AB′(当点A、P、B共线时取到)，点B′是点B关于直线l的对称点.(2)某点M到圆⊙O上点N的距离(i)若点M在圆内，则MN min=MN1=r−OM，MN max=MN2=r+OM；(ii)若点M在圆外，则MN min=MN1=OM−r，MN max=MN2=r+OM；(3)圆上一点到圆外一定直线的距离最值若直线l与圆⊙O相离，圆上一点P到直线l的距离为PE，d为圆心O到直线l的距离，r为圆半径，则PE min=P1F=d−r，PE max=P2F=d+r.2 圆的参数方程圆的标准方程(x −a )2+(y −b )2=r 2，圆心为(a ,b)，半径为r ，它对应的圆的参数方程：{x =rcosθ+a y =rsinθ+b(θ是参数). 理解：如图，易得rcosθ=有向线段HM =x −a ⇒x =rcosθ+a ，rsinθ=有向线段HP =y −b ⇒y =rsinθ+b .Eg 圆(x +1)2+(y −2)2=9的参数方程为{x =3cosθ−1y =3sinθ+2.【题型一】几何法处理最值问题情况1 三点共线模型【例题1】P 是直线L ：3x −y −1=0上一点，求(1)P 到A(4 ,1)和B(0 ,4)的距离之差的最大值；(2)P 到A(4 ,1)和C(3 ,5)的距离之和的最小值．情况2 斜率型最值【例题1】如果实数x ,y 满足条件：(x −2)2+y 2=3，那么y x 的最大值是 .情况3 两点距离型最值【例题1】已知点M(a ,b)在直线l ：3x +4y =25上，则a 2+b 2的最小值为 ．【例题2】已知点P， Q分别在直线l1：x+y+2=0与直线l2：x+y−1=0上，且PQ⊥l1，点A(−3 ,−3)，B(32 ,12)，则|AP|+|PQ|+|QB|的最小值为.情况4 圆外一定点到圆上点距离最值【例题1】已知x、y满足(x−1)2+y2=1，则S=x2+y2+2x−2y+2的最小值是.【例题2】已知点P(7 ,3)，圆M：x2+y2−2x−10y+25=0，点Q为在圆M上一点，点S 在x轴上，则|SP|+|SQ|的最小值为.情况5 圆上一点到圆外一定直线的距离最值【例题1】已知两点A(−1,0)、B(0,2)，若点P是圆(x−1)2+y2=1上的动点，则△ABP面积的最大值和最小值之和为．课堂练习1 已知x2+y2=1，则y−1的取值范围是．x+22 已知点P(x ,y)在圆x2+y2=1上，则√(x−1)2+(y−1)2的最大值为．3 已知圆x2+(y−2)2=1上一动点A，定点B(6 ,1)；x轴上一点W，则|AW|+|BW|的最小值等于．4 已知两个同心圆的半径分别为3和4，圆心为O．点P、Q分别是大圆、小圆上的任意一点，线段PQ的中垂线为l．若光线从点O射出，经直线l(入射光线与直线l的公共点为A)反射后经过点Q，则|OA|−|AQ|的取值范围是．5 已知点A(−2 ,0) ,B(0 ,2)，若点P在圆(x−3)2+(y+1)2=2上运动，则△ABP面积的最小值为．6 过动点P作圆：(x−3)2+(y−4)2=1的切线PQ，其中Q为切点，若|PQ|=|PO|(O为坐标原点)，则|PQ|的最小值是．7 已知直线l：x−y+4=0与x轴相交于点A，过直线l上的动点P作圆x2+y2=4的两条切线，切点分别为C，D两点，记M是CD的中点，则|AM|的最小值为．8 已知圆(x−a)2+(y−b)2=1经过原点，则圆上的点到直线y=x+2距离的最大值为．9如图，设圆C1：(x−5)2+(y+2)2=4，圆C2：(x−7)2+(y+1)2=25，点A、B分别是圆C1，C2上的动点，P为直线y=x上的动点，则|PA|+|PB|的最小值为．【题型二】代数法处理最值问题【例题1】 已知圆C 的圆心在直线x −2y =0上，且经过点M(0 ,−1)，N(1 ,6)．(1)求圆C 的方程；(2)已知点A(1 ,1)，B(7 ,4)，若P 为圆C 上的一动点，求|PA |2+|PB |2的取值范围．【例题2】 已知直线l ：y =x ，圆C ：x 2+y 2−4x +3=0，在l 上任意取一点A ，向圆C 作切线，切点分别为M ,N ，则原点O 到直线MN 的距离d 的最大值为 ．【例题3】 已知实数x 、y 满足方程x 2+y 2−4x +1=0．(1)求y −x 的最大值和最小值；(2)求x 2+y 2的最大值和最小值；(3)求y x+1的取值范围．【例题4】 如图，在平面直角坐标系xOy 中，正方形OABC 的边长为4，E(0 ,1)，点F 是正方形边OC 上的一个动点，点O 关于直线EF 的对称点为G 点，当|GA ⃗⃗⃗⃗⃗ +3GB ⃗⃗⃗⃗⃗ |取得最小值时，直线GF 的方程为 .课堂练习1 若实数x ,y 满足x 2+y 2+4x －2y －4=0，则√x 2+y 2的最大值是( )A ．√5+3B ．6√5+14C ．−√5+3D ．－6√5+14 2 [多选题]若实数x ,y 满足条件x 2+y 2=1，则下列判断正确的是( )A ．x +y 的范围是[0 ,√2]B ．x 2－4x +y 2的范围是[－3 ,5]C ．xy 的最大值为1D ．y−2x+1的范围是(−∞ ,−34] 3 [多选题]已知点P(2 ,4)，若过点Q(4 ,0)的直线l 交圆C ：(x −6)2+y 2=9于A ,B 两点，R 是圆C 上动点，则( )A ．|AB|的最小值为2√5B ．P 到l 的距离的最大值为2√5C ．PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙PR⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为12－2√5 D ．|PR|的最大值为4√2+3 4 已知点A(1 ,1) ,B(2 ,2)，点P 在直线y =12x 上，求|PA |2+|PB |2取得最小值时P 点的坐标．5 在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x −2)2+y 2=1，M 为圆C 的圆心，过原点O 的直线l 与圆C 相交于A ,B 两点(A ,B 两点均不在x 轴上)．求△ABM 面积的最大值．6 已知直线l 过定点P(−2 ,1)，且交x 轴负半轴于点A 、交y 轴正半轴于点B ，点O 为坐标原点．(1)若△AOB 的面积为4，求直线l 的方程；(2)求|OA|+|OB|的最小值，并求此时直线l 的方程；(3)求|PA|⋅|PB|的最小值，并求此时直线l的方程．7 在平面直角坐标系xOy中．已知圆C经过A(0 ,2)， O(0 ,0) ， D(t ,0)(t>0)三点，M是线段AD上的动点，l1 ,l2是过点B(1 ,0)且互相垂直的两条直线，其中l1交y轴于点E，l2交圆C于P ,Q两点．(1)若t=PQ=6，求直线l2的方程；(2)若t是使AM≤2BM恒成立的最小正整数，求△EPQ的面积的最小值．。
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直线与圆的最值问题
题型一：过圆内一定点的直线被圆截得的弦长的最值．
例1：.圆x 2＋y 2－4x ＋6y －12＝0过点(－1,0)的最大弦长为
m ，最小弦长为n ，则m －n 等
于
解析圆的方程x 2＋y 2－4x ＋6y －12＝0化为标准方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝25. 所以圆心为(2，－3)，半径长为 5.
因为(－1－2)2＋(0＋3)2＝18＜25，
所以点(－1,0)在已知圆的内部，
则最大弦长即为圆的直径，即m ＝10.
当(－1,0)为弦的中点时，此时弦长最小
. 弦心距d ＝2＋12＋－3－02＝32，
所以最小弦长为
2r 2－d 2＝225－18＝27，所以m －n ＝10－27.
变式训练
1：1y kx 与圆C 2214x y 相交于,A B 两点，则AB 的最小值是多
少？解：直线1y kx 过定点1,0M ，当MC AB 时，AB 取最小值，由
2222l
d r ，可知，222d R l ，2MC d ，故2
2222d R l 变式训练
2：已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝25，直线l ：(2m ＋1)x ＋(m ＋1)y －7m －4＝
0(m ∈R). (1)求证不论m 取什么实数，直线l 与圆恒交于两点；
(2)求直线被圆C 截得的弦长最小时的
l 的方程. (1)证明因为l 的方程为(x ＋y －4)＋m(2x ＋y －7)＝0(m ∈R)，
所以2x ＋y －7＝0，
x ＋y －4＝0，解得x ＝3，y ＝1，
即l 恒过定点A(3,1).
因为圆心为C(1,2)，|AC|＝5<5(半径)，
所以点A 在圆C 内，
从而直线l 与圆C 恒交于两点.
(2)解由题意可知弦长最小时，l ⊥AC.
因为k AC ＝－12
，所以l 的斜率为 2. 又l 过点A(3,1)，所以l 的方程为2x －y －5＝0.
方法总结：过圆内一定点的直线被圆截得的弦长的最大值为圆的直径，最小值为垂直于直
径的弦.
题型二：圆外一点与圆上任一点间距离的最值
直线与圆相离，圆上的点到直线的距离的最值
．例2：求点
A ）（0,2到圆C 122y x 的距离的最大值和最小值？解：AC d 2，故距离的最大值为
3r d ，最小值为1r d 变式训练1：圆122y x 上的点到直线2x
y 的距离的最大值？解:圆心到直线的距离为222
d ，
则圆上的点到直线2x
y 的最大值为12r d 则圆上的点到直线2x y 的最小值为1-2-r
d 方法总结：圆外一点与圆上任一点间距离的最大值为r
d ，最小值为r d 直线与圆相离，圆上的点到直线的距离的最大值为r d ，最小值为r d
题型三：切线问题
例3由直线y ＝x ＋2上的点P 向圆C ：(x －4)2＋(y ＋2)2＝1引切线PT(T 为切点)，当PT 最小的时候P 的坐标？
解析根据切线段长、圆的半径和圆心到点P 的距离的关系，可知PT ＝PC 2－1，故PT 最小时，即PC
最小，此时
PC 垂直于直线y ＝x ＋2，则直线PC 的方程为y ＋2＝－(x －4)，即y ＝－x ＋2，联立方程
y ＝x ＋2，y ＝－x ＋2，解得点P 的坐标为(0,2)．
变式训练1：点P 是直线2x ＋y ＋10＝0上的动点，PA ，PB 与圆x 2＋y 2＝4分别相切于A ，B 两点，则四边形P AOB 面积的最小值为________．
解析：如图所示，因为S 四边形PAOB ＝2S △POA .又OA ⊥AP ，
所以S 四边形PAOB ＝2×1
2|OA|·|PA|
＝2|OP|2－|OA|2＝2|OP|2－4.
为使四边形PAOB 面积最小，当且仅当|OP|达到最小，即为点O 到直线2x ＋y ＋10＝0的距离：
|OP|min ＝10
22＋12＝2 5.故所求最小值为2252－4＝8.
题型五：两圆相离，两圆上点的距离的最值。