直线和圆中的最值问题
圆上的点到直线的最大值和最小值证明
圆上的点到直线的最大值和最小值证明在几何的世界里，我们常常会遇到一个有趣的问题，就是圆上的点到直线的最大值和最小值。
说白了，就是想知道，圆上的一个点到某条直线最远和最近的距离有多远。
听起来有点复杂，但其实想清楚了也不难。
来，我们一步步搞清楚，咱们的思维要灵活一点，别被那些公式吓到了。
要知道，圆上的点其实可以说是从圆心到圆上任意一个点的距离。
这个距离就是圆的半径。
假设我们有一个圆，圆心叫做O，半径是r。
然后有一条直线，我们叫它L，这条直线可以与圆相交，也可以完全不相交。
这个问题的关键就是：这条直线和圆心的关系到底怎样。
如果你仔细想想，就会发现，如果这条直线离圆心非常近，那圆上的点和这条直线的距离就比较小；如果这条直线离圆心比较远，圆上的点和直线的距离自然就比较大。
这个道理其实挺简单，跟咱们日常的距离感一样。
就像你站在一个大圈子中间，如果你站得越近，伸出去的手碰到的物体自然就更近；站得越远，手碰到的物体当然也就更远。
咱们要说的最大值和最小值就和这距离关系密切相关。
让我们从最小值说起。
圆上的点到直线的最小值，实际上就是圆心到直线的垂直距离。
如果这条直线正好和圆心相距最短，那这个距离就是最小的。
想象一下，你把一根直尺垂直地放到圆心上，它与圆的交点就给了你最小的那个距离。
怎么理解呢？嗯，就像你站在一个池塘边，最短的路就是直接走过去，而不是绕着池塘转一圈。
说完最小值，我们再来谈谈最大值。
圆上的点到直线的最大值，肯定是圆上最远的点到直线的距离了。
你可以把它想象成是站在圆心的对面，然后把这条直线和你站的位置连成一条线。
这个时候，圆上那个最远的点到直线的距离，就是圆心到直线的距离加上圆的半径。
它就像你站在某个大圈的边缘，背对着最近的那条直线，这时候你跟直线的距离最大。
说白了，最大值就像你站在圆的最远一端，伸手去摸直线，那个时候的手臂就最远了。
有趣的是，这个问题背后其实隐藏着很多我们日常生活中的小窍门。
比如说，当你站在一个圆圈的边缘，伸手去碰某个物体，最短和最远的距离不就是你最关心的事吗？所以这个问题，虽然听起来数学很高深，但仔细一想，和生活中的很多感知是一样的。
借助几何性质解决圆中的最值问题
类型四 利用“数形结合方法”解决直线与圆的问题
例4 已知圆C：(x＋2)2＋y2＝1，P(x，y)为圆C上任一点. (1)求xy－－21的最大、最小值； 解 法一 设 k＝xy－－21， 则 y－2＝kx－k，即 kx－y＋2－k＝0. ∵P(x，y)为圆 C 上任一点， ∴圆心(－2，0)到直线 kx－y＋2－k＝0 的距离 d＝|－2k1＋＋2k－2 k|＝|21－＋3kk2|≤1，
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∴3t＋＋1t＝－12.∴t＝－73， ∵CA＝ 1＋4＝ 5， ∴直线 l 被圆 C 截得的弦长的最小值为 2 9－5＝4.
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思维升华
当直线与圆相交时，弦长最短，需使弦心距最大，然后根据垂径定理由垂直 得中点，进而利用弦长的一半，圆的半径及弦心距构造直角三角形，利用勾 股定理解决问题.
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借助几何性质解决圆中的最值问题
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高中数学中，在研究圆的相关问题时，最值问题又是研究的重点和热点，现把 常见的与圆相关的最值问题总结如下.希望对学生有些启发.
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类型一 “圆上一点到直线距离的最值”问题
例 1 已知圆 C 经过(2，5)，(－2，1)两点，并且圆心 C 在直线 y＝21x 上. (1)求圆 C 的方程； 解 点(2，5)与点(－2，1)连线的中点为(0，3)，中垂线方程为 y＝－x＋3，
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即|2－3k|≤ 1＋k2， 平方得 8k2－12k＋3≤0， 解得3－4 3≤k≤3＋4 3， 故xy－－21的最大值为3＋4 3，最小值为3－4 3；
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(2)求x－2y的最大、最小值.
解 设b＝x－2y，即x－2y－b＝0. ∵P(x，y)为圆C上任一点， ∴圆心(－2，0)到直线的距离 d＝ 12|＋－（2－－b2| ）2＝|b＋52|≤1，即|b＋2|≤ 5， 则－2－ 5≤b≤ 5－2，
高二数学直线与圆中的范围,最值问题
高二数学直线与圆中的范围，最值问题全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：高二数学是学生学习数学的重要阶段，其中直线与圆的范围、最值问题是一个重要的知识点。
直线与圆是几何学中常见的基本图形，通过研究它们的范围和最值问题，可以帮助我们更好地理解几何学知识和提高数学解题能力。
一、直线与圆的范围问题在高二数学中，直线与圆的范围问题是一个常见的题型。
在这类问题中，我们需要根据给定的条件，求解直线和圆的交点、直线与圆的位置关系等。
通过分析这些问题，可以帮助我们锻炼逻辑思维能力和几何推理能力。
我们常见的一个问题是求解一条直线与一个圆的交点。
在这种情况下，我们可以通过联立直线方程和圆方程，求解得到交点的坐标。
我们也可以通过图形的几何性质，利用角度和面积关系来求解交点的坐标。
这种方法不仅可以帮助我们更直观地理解直线与圆的位置关系，同时也可以提高我们的几何思维能力。
除了交点问题，直线与圆的位置关系问题也是直线与圆范围问题的重要内容。
在这种情况下，我们需要判断一条直线与一个圆的位置关系，例如直线是否相交、相切或相离等。
通过分析直线与圆的几何性质，我们可以利用距离公式或者向量运算等方法，快速求解出直线与圆的位置关系，从而解决相应的问题。
我们常见的一个问题是求解一个圆与一条直线的最大交点数。
在这种情况下，我们可以通过分析直线与圆的几何性质，确定交点的位置关系，进而求解出最大交点数。
我们也可以利用微积分法，对交点函数进行求导，求得最大值或最小值，从而得出最大交点数。
在实际问题中，直线与圆的最值问题也具有广泛的应用。
在工程设计中，我们常常需要通过求解直线与圆的最值问题，确定构建物体的最优位置、最短路径等。
通过研究直线与圆的最值问题，我们可以应用数学原理，解决实际问题，提高实际工作效率。
第二篇示例：高中数学中，直线与圆是一个重要的内容，其中涉及到了许多范围和最值的问题。
在解决这些问题时，我们需要深入理解直线与圆的性质，并灵活运用数学知识来解决这些问题。
直线与圆经典题型
直线与圆经典题型题型一：对称性求最值例题：已知点M （3，5），在直线l ：x ﹣2y +2=0和y 轴上各找一点P 和Q ，使△MPQ 的周长最小．解：由点M （3，5）及直线l ，可求得点M 关于l 的对称点M 1（5，1）．同样容易求得点M 关于y 轴的对称点M 2（﹣3，5）．据M 1及M 2两点可得到直线M 1M 2的方程为x +2y ﹣7=0．得交点P （，）．令x=0，得到M 1M 2与y 轴的交点Q （0，）．解方程组x +2y ﹣7=0，x ﹣2y +2=0，故点P （，）、Q （0，）即为所求．1221M M PQ Q M P M PQ MQ MP C MPQ ≥++=++=∆题型二：反射光线问题已知光线经过已知直线l1：3x﹣y+7=0和l2：2x+y+3=0的交点M，且射到x轴上一点N（1，0）后被x轴反射．（1）求点M关于x轴的对称点P的坐标；（2）求反射光线所在的直线l3的方程．（3）求与l3距离为的直线方程．【分析】（1）联立方程组，求出M的坐标，从而求出P的坐标即可；（2）法一：求出直线的斜率，从而求出直线方程即可；法二：求出直线PN的方程，根据对称性求出直线方程即可；（3）设出与l3平行的直线方程，根据平行线的距离公式求出即可．【解答】解：（1）由得，∴M（﹣2，1）．所以点M关于x轴的对称点P的坐标（﹣2，﹣1）．…（4分）（2）因为入射角等于反射角，所以∠1=∠2．直线MN的倾斜角为α，则直线l3的斜斜角为180°﹣α.，所以直线l3的斜率．故反射光线所在的直线l3的方程为：．即．…（9分）解法二：因为入射角等于反射角，所以∠1=∠2．根据对称性∠1=∠3，∴∠2=∠3．所以反射光线所在的直线l3的方程就是直线PN的方程．直线PN的方程为：，整理得：．故反射光线所在的直线l3的方程为．…（9分）（3）设与l3平行的直线为，根据两平行线之间的距离公式得：，解得b=3，或，所以与l3为：，或．…（13分）题型三：直线恒过点问题已知直线方程为（2+m）x+（1﹣2m）y+4﹣3m=0．（Ⅰ）证明：直线恒过定点M；（Ⅱ）若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A，B两点，求△AOB面积的最小值及此时直线的方程．【分析】（Ⅰ）直线方程按m集项，方程恒成立，得到方程组，求出点的坐标，即可证明：直线恒过定点M；（Ⅱ）若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A，B两点，说明直线的斜率小于0，设出斜率根据直线过的定点，写出直线方程，求出△AOB面积的表达式，利用基本不等式求出面积的最小值，即可得到面积最小值的直线的方程．【解答】（Ⅰ）证明：（2+m）x+（1﹣2m）y+4﹣3m=0化为（x﹣2y﹣3）m=﹣2x ﹣y﹣4．（3分）得∴直线必过定点（﹣1，﹣2）．（6分）（Ⅱ）解：设直线的斜率为k（k＜0），则其方程为y+2=k（x+1），∴OA=|﹣1|，OB=|k﹣2|，（8分）S△AOB=•OA•OB=|（﹣1）（k﹣2）|=|﹣|..（10分）∵k＜0，∴﹣k＞0，∴S=[﹣]=[4+（﹣）+（﹣k）]≥4．△AOB当且仅当﹣=﹣k，即k=﹣2时取等号．（13分）∴△AOB的面积最小值是4，（14分）直线的方程为y+2=﹣2（x+1），即y+2x+4=0．（15分）2.已知直线l的方程为2x+（1+m）y+2m=0，m∈R，点P的坐标为（﹣1，0）．（1）求证：直线l恒过定点，并求出定点坐标；（2）求点P到直线l的距离的最大值．【分析】（1）把直线方程变形得，2x+y+m（y+2）=0，联立方程组，求得方程组的解即为直线l恒过的定点．（2）设点P在直线l上的射影为点M，由题意可得|PM|≤|PQ|，再由两点间的距离公式求得点P到直线l的距离的最大值【解答】（1）证明：由2x+（1+m）y+2m=0，得2x+y+m（y+2）=0，∴直线l恒过直线2x+y=0与直线y+2=0的交点Q，解方程组，得Q（1，﹣2），∴直线l恒过定点，且定点为Q（1，﹣2）．（2）解：设点P在直线l上的射影为点M，则|PM|≤|PQ|，当且仅当直线l与PQ垂直时，等号成立，∴点P到直线l的距离的最大值即为线段PQ的长度，等于=2．题型四：动直线问题已知点A（1，2）、B（5，﹣1），（1）若A，B两点到直线l的距离都为2，求直线l的方程；（2）若A，B两点到直线l的距离都为m（m＞0），试根据m的取值讨论直线l 存在的条数，不需写出直线方程．【分析】（1）要分为两类来研究，一类是直线L与点A（1，2）和点B（5，﹣1）两点的连线平行，一类是线L过两点A（1，2）和点B（5，﹣1）中点，分类解出直线的方程即可；（2）根据A，B两点与直线l的位置关系以及m与两点间距离5的一半比较，得到满足条件的直线．【解答】解：∵|AB|==5，|AB|＞2，∴A与B可能在直线l的同侧，也可能直线l过线段AB中点，①当直线l平行直线AB时：k AB=，可设直线l的方程为y=﹣x+b依题意得：=2，解得：b=或b=，故直线l的方程为：3x+4y﹣1=0或3+4y﹣21=0；②当直线l过线段AB中点时：AB的中点为（3，），可设直线l的方程为y﹣=k （x﹣3）依题意得：=2，解得：k=，故直线l的方程为：x﹣2y﹣=0；（2）A，B两点到直线l的距离都为m（m＞0），AB平行的直线，满足题意得一定有2条，经过AB中点的直线，若2m＜|AB|，则有2条；若2m=|AB|，则有1条；若2m＞|AB|，则有0条，题型五：斜率取值范围已知点A（1，1），B（﹣2，2），直线l过点P（﹣1，﹣1）且与线段AB始终有交点，则直线l的斜率k的取值范围为k≤﹣3，或k≥1．【分析】由题意画出图形，数形结合得答案．【解答】解：如图，∵A（1，1），B（﹣2，2），直线l过点P（﹣1，﹣1），又，∴直线l的斜率k的取值范围为k≤﹣3，或k≥1．故答案为：k≤﹣3，或k≥1．题型六：对称问题已知直线l：y=3x+3求（1）点P（4，5）关于l的对称点坐标；（2）直线y=x﹣2关于l对称的直线的方程．【分析】（1）设点P（4，5）关于直线y=3x+3对称点P′的坐标为（m，n），得到关于m，n的方程组，求得m、n的值，可得P′的坐标；（2）求出交点坐标，在直线y=x﹣2上任取点（2，0），得到对称点坐标，求出直线方程即可．【解答】解：（1）设点P（4，5）关于直线y=3x+3对称点P′的坐标为（m，n），则由，求得m=﹣2，n=7，故P′（﹣2，7）．（2）由，解得：交点为，在直线y=x﹣2上任取点（2，0），得到对称点为，所以得到对称的直线方程为7x+y+22=0题型七：截线段长问题已知直线l经过点P（3，1），且被两平行直线l1；x+y+1=0和l2：x+y+6=0截得的线段之长为5，求直线l的方程．【分析】法一如图，若直线l的斜率不存在，直线l的斜率存在，利用点斜式方程，分别与l1、l2联立，求得两交点A、B的坐标（用k表示），再利用|AB|=5可求出k的值，从而求得l的方程．法二：求出平行线之间的距离，结合|AB|=5，设直线l与直线l1的夹角为θ，求出直线l的倾斜角为0°或90°，然后得到直线方程．就是用l1、l2之间的距离及l 与l1夹角的关系求解．法三：设直线l1、l2与l分别相交于A（x1，y1），B（x2，y2），则通过求出y1﹣y2，x1﹣x2的值确定直线l的斜率（或倾斜角），从而求得直线l 的方程．【解答】解：解法一：若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x=3，此时与l1、l2的交点分别为A′（3，﹣4）或B′（3，﹣9），截得的线段AB的长|AB|=|﹣4+9|=5，符合题意．若直线l的斜率存在，则设直线l的方程为y=k（x﹣3）+1．解方程组得A（，﹣）．解方程组得B（，﹣）．由|AB|=5．得（﹣）2+（﹣+）2=52．解之，得k=0，直线方程为y=1．综上可知，所求l的方程为x=3或y=1．题型八：直线夹角问题已知直线l：5x+2y+3=0，直线l′经过点P（2，1）且与l的夹角等于45，求直线l'的一般方程．【分析】设出直线l′的斜率为k′，通过直线的夹角公式求出直线的斜率，然后求出直线的方程．【解答】解：设直线l′的斜率为k′，则，…（7分），…（10分）直线l′：7x﹣3y﹣11=0和3x+7y﹣13=0；…（13分）本题是基础题，考查直线方程的求法，夹角公式的应用，注意夹角公式与到角公式的区别，考查计算能力．。
专题17 直线与圆及相关的最值问题(练)【原卷版】
第一篇 热点、难点突破篇专题17直线与圆及相关的最值问题（练）【对点演练】一、单选题1．（2023秋·江苏·高三统考期末）已知点Q 在圆C ：22430x x y -++=上，点P 在直线y x =上，则PQ 的最小值为（ ）A 1B ．1CD ．22．（2023秋·广东深圳·高三统考期末）圆221:460O x y y +--=与圆222:680x y O x y +-+=公共弦长为（ ）A BC ．D ．3．（2023·安徽·校联考模拟预测）抛物线2:4C y x =的准线被圆225x y +=所截得的弦长为（ ）A ．1 BC ．D ．44．（2022秋·浙江宁波·高三校联考期末）若过点()0,4A 的直线l 与曲线22(2)1x y +-=有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为（ ）A ．(),-∞⋃+∞B ．⎡⎣C ．⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎦⎣⎭D ．⎣⎦5．（2023秋·北京朝阳·高三统考期末）过直线2y kx =-上任意一点，总存在直线与圆221x y +=相切，则k 的最大值为（ ）AB C ．1 D 6．（2022·四川成都·成都市第二十中学校校考一模）在平面内，,A B 是两个定点，C 是动点，若CA CB AB +=，则点C 的轨迹为（ ）A ．圆B ．椭圆C ．抛物线D ．直线7．（2023秋·湖南株洲·高三校联考期末）已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，动点M 在C 上，圆M 的半径为1，过点F 的直线与圆M 相切于点N ，则FM FN ⋅的最小值为（ ）A ．-1B ．0C ．1D ．2二、多选题8．（2023秋·山西吕梁·高三统考期末）已知直线:50l x y -+=，过直线上任意一点M 作圆22:(3)4C x y -+=的两条切线，切点分别为,A B ，则有（ ） A．MA 长度的最小值为2B ．不存在点M 使得AMB ∠为60C ．当MC AB ⋅最小时，直线AB 的方程为210x y --=D ．若圆C 与x 轴交点为,P Q ，则MP MQ ⋅的最小值为28三、填空题9．（2023·北京顺义·统考一模）已知圆22:280M x y x +--=，点A 、B 在圆M 上，且(0,2)P 为AB 的中点，则直线AB 的方程为_____________．10．（2023·江西景德镇·统考模拟预测）已知圆C ：229x y +=，直线l ：y kx =+k 的值发生变化时，直线被圆C 所截的弦长的最小值为________.【冲刺提升】一、单选题1．（2023秋·江苏南通·高三统考期末）在平面直角坐标系xOy 中，已知点()0,0O ，点()0,8A ，点M 满足MA =，又点M 在曲线y MO =（ ）A B ．C ．D2．（2022秋·安徽芜湖·高三统考期末）已知D ：222210x y ax a +---=，点()3,0P -，若D 上总存在M ，N 两点使得PMN 为等边三角形，则a 的取值范围是（ ）A ．()5,11,3⎡⎫--⋃-+∞⎪⎢⎣⎭B ．[)5,1,3⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦ C ．(][) ,21,-∞-⋃+∞ D ．[)()2,11,---+∞ 3．（2022秋·江苏扬州·高三期末）已知圆C ：()()22114x y -+-=，直线:220,l x y M ++=为直线l 上的动点，过点M 作圆C 的切线,MA MB ，切点为A ，B ，则CM AB ⋅最小值为（ ）A ．5B ．6C ．8D ．44．（2022秋·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）如图，已知直线:20l x y m ++=与圆22:2O x y +=相离，点P 在直线l 上运动且位于第一象限，过P 作圆O 的两条切线，切点分别是,M N ，直线MN 与x 轴､y 轴分别交于,R T 两点，且ORT 面积的最小值为1625，则m 的值为（ ）A ．4-B ．9-C ．6-D ．5-二、多选题5．（2023秋·山西·高三校联考阶段练习）过点()0,1P 的直线l 与圆()22:19C x y -+=交于,A B两点，,M N 是圆C 上的两点，且MN = ）A ．AB 的最小值为B ．ABC 面积的最大值为92C ．+PM PN 的最小值为2D．PM PN ⋅的最大值为56．（2022·安徽黄山·统考一模）数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.在平面直角坐标系中，曲线22:22C x y x y +=+就是一条形状优美的曲线，则（ ）A ．曲线C 围成的图形的周长是B ．曲线C 上的任意两点间的距离不超过4C ．曲线C 围成的图形的面积是4(π2)+D．若(,)P m n 是曲线C 上任意一点，则4317m n --的最小值是10-7．（2023秋·江苏·高三统考期末）过直线:25l x y +=上一点P 作圆22:1O x y +=的切线,切点分别为,A B ,则（ ）A ．若直线AB l ∥,则ABB ．cos APB ∠的最小值为35C ．直线AB 过定点21,55⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．线段AB 的中点D 三、填空题 8．（2023秋·山西·高三校联考阶段练习）已知圆C 经过两点()0,5A ，()3,6B ，且圆心在直线270x y +-=上，则圆C 的方程为______.9．（2023秋·湖北武汉·高三统考期末）若圆2260x y x ++=与圆2222160x y my m +-+-=外离，则实数m 的取值范围是______.10．（2023秋·山东济南·高三统考期末）已知函数2()e e x x f x -=-，所有满足()()0f a f b +=的点(,)a b 中，有且只有一个在圆C 上，则圆C 的标准方程可以是_______.（写出一个满足条件的圆的标准方程即可）11．（2023秋·江苏南通·高三统考期末）经过坐标原点的圆C 与圆22:220P x y x y +++=相外切，则圆C 的标准方程可以是__________.(写出一个满足题意的方程即可)四、解答题12．（2021·全国·统考高考真题）已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F ，且F 与圆22:(4)1M x y ++=上点的距离的最小值为4．（1）求p ；（2）若点P 在M 上，,PA PB 是C 的两条切线，,A B 是切点，求PAB 面积的最大值．。
3直线和圆中的最值问题
3直线和圆中的最值问题3直线和圆中的最值问题直线和圆中的最值问题1、直线与原的焦点问题总是转化成圆心到直线的距离和半径间的比较，或者利用方程有解的问题；2、圆上一点到直线距离的最值问题总是转化成求圆心到定直线的距离；3、有些最值问题要注意向函数问题转化；4、抓住式子的几何意义。
一、到圆心距离的最值问题例1：已知P 是直线3x +4y +8=0上的动点，PA , PB 是圆x 2+y 2-2x -2y +1=0的两条切线, A , B 是切点，C 是圆心，求四边形PACB 面积的最小值。
二、到圆上一点距离的最值问题例2：已知P 是圆x 2+y 2=1上一点，Q 是直线l :x +2y -5=0上一点，求PQ 的最小值。
三、与圆上一点的坐标有关的最值问题例3：已知定点A (-1,0), B (1,0)和圆(x -3)+(y -4)=4上的动点P ，求使PA +PB 最值时点P 的坐标。
P , ⎪时, x 2+y 2最大为100 ⎪55⎪练习1：求实数x , y 满足x 2+(y -1) 2=1, 求下列各式的最值：（）13x +4y （2）x +y （3x +1(1)最大值为9，最小值为-1,(2)最大值为4，最小值为0,(3)小值为，无最大值四、与圆半径有关的最值问题例4：设x ，y 满足⎪y ≥x 求(x -1)+(y -3)25⎪4x +3y ≤12练习2：已知圆C ：x 2+y 2+2x -4y +3=0(1). 若圆C 的切线在x 轴和y 轴上截距相等，求切线的方程；(2). 从圆C 外一点P (x , y )向圆引切线PM ，M 为切点，O 为坐标原点，且PM求使PM 最小的点P 的坐标。
y =2±x , x +y +1=0或x +y -3=0，P -, ⎪(练习3：已知∆ABC 三个顶点坐标A (0,0), B (4,0), C (0,3)，点P 是它的内切圆上一点，求以PA , PB , PC 为直径的三个圆面积之和的最大值和最小值。
直线和圆中的最值求解方法
直线和圆中的最值求解方法作者：赵建勋来源：《中学生理科应试》2014年第04期直线和圆是解析几何的重要内容，而最值问题是其重要题型，解这类题不仅要灵活用到直线和圆的有关知识，而且还要用到求最值的各种方法，解法相当灵活，现举例方法说明，供同学们复习时参考.一、建立二次函数用顶点法例1在直线L∶y=2x上求一点P，使P点到两定点A（3，0）、B（0，4）的距离的平方和为最小.解设P（x,2x)，则有|PA|2+|PB|2=(x-3)2+(2x)2+x2+(2x-4)2=10x2-22x+25∵a=10>0,∴抛物线开口向上，∴函数在顶点处取得最小值.∴当x=-b2a=--222×10=1110时，|PA|2+|PB|2取最小值，故P点坐标为（1110，115）.点评二次函数求最值一般用配方法，本题只求x的值，所以用顶点法要简单.二、设角为自变量用三角法例2过点P（2，1）作直线l交x轴、y轴的正向于A、B两点，求|PA|·|PB|最小时的直线l 的方程.分析此直线过已知点，求出斜率即可，若直接设斜率为k，求|PA|·|PB|的最小值很繁.设角为自变量即可转化为三角函数求最值，易求斜率.图1解如图1，过P做PC⊥x轴于C，PD⊥y轴于D，设∠BAO=θ，则∠BPD=θ,则|PA|=1sinθ,|PB|=2cosθ,于是|PA|·|PB|=1sinθ·2cosθ=2sinθcosθ=42sinθcosθ=4sin2θ.要使|PA|·|PB|最小，只需sin2θ最大，即sin2θ=1,2θ=90°,∠BAO=θ=45°，∴kAB=kl=tan135°=-1.故直线l的方程为y-1=-(x-2)，即x+y-3=0.三、建立一元二次方程用判别式法例3已知直线l1∶y=4x，和点P（6，4），在直线l1上求一点Q，使过P、Q的直线与l1以及x轴在第一象限内所围成的三角形面积最小.图2解如图2，设Q（x1,4x1)，则直线PQ的方程y-44x1-4=x-6x1-6.令y=0，得x=5x1x1-1,故点A的坐标为（5x1x1-1,0).∴S=12·4x1·5x1x1-1=10x21x1-1.即10x21-Sx1+S=0(1)∵x1为实数，∴Δ=S2-40S≥0,∵S>0,∴S≥40，将S=40代入（1）得x21-4x1+4=0.解方程得x1=2,y1=4x1=4×2=8.故点Q（2，8）.点评问题转化为函数后为分式函数，可考虑用判别式法求最值.四、注意变元为正，用均值不等式法例4过已知点P（1，4）引一条直线，要使它在两坐标轴上的截距都为正，且它们的和为最小，求这条直线的方程.解设在两个坐标轴上的截距分别为a、b，则所求直线方程为xa+yb=1.(1)将P（1，4）代入方程（1）得1a+4b=1，解得a=bb-4,∵a>0,b>0,∴b>4.设截距之和为L，则L=a+b=bb-4+b=b-4+4b-4+b-4+4=1+4b-4+(b-4)+4=5+(b-4)+4b-4≥5+2(b-4)·4b-4=5+24=5+4=9.当且仅当b-4=4b-4时取等号，即b=6或b=2.此时a=3或a=-1.又a>0,b>0,∴a=-1舍去.故所求直线方程是x3+y6=1，即2x+y-6=0.点评构造变元积为定值，求和的最小值.关键是作b=b-4+4的技巧性的变形.五、注意转化，巧用函数的单调性图3例5如图3，在平面直角坐标系中，在y轴正半轴上（坐标原点除外）给定两点A、B，C点在x轴正半轴上移动，问C点在何处时∠ACB最大，并求最大值.分析要求角的最值，先取一个函数，求函数的最值，关键是用函数的单调性.解设A（0，a)、B（0，b),00.令∠ACB=α，于是tanα=kBC-kAC1+kBCkAC=-bx+ax1+abx2=a-bx+abx=a-bab(xab+abx)记y=xab+abx≥2,当且仅当x=ab时，y取最小值2.因此，当x=ab时，tanα取最大值a-b2ab.∵在(0,π2)内y=tanα是增函数，∴C点在（ab,0)时，α取最大值arctana-b2ab.即C点在（ab,0）时，∠ACB取最大值，这个最大值为arctana-b2ab.点评此题是求角的最大值，形式新颖，解法灵活、技巧性强，值得一学.六、注意数形结合，巧用对称法例6已知圆C：（x-3)2+(y-1)2=4和直线l:x-y-5=0，在C上求两点，使它们和l的距离分别是最近和最远.解已知圆的圆心为C（3，1），过C点作直线l′⊥l于D，且l′交圆C于A1、A2，又圆是中心对称图形，所以A1、A2是与l的距离分别是最近和最远的点.离垂足近者为最近距离点，离垂足远者为最远距离点.∵直线l的方程为y=x-5,∴kl=1,则kl′=-1.故直线l′的方程为y-1=-(x-3),即y=-x+3+1,解方程组y=-x+3+1(x-3)2+(y-1)2=4①②把①代入②后，化简整理，得2（x-3)2=4,即(x-3)2=2,∴x-3=±2,x=3±2，代入①得y1=1-2,y2=1+2.故所求两点是（3+2,1-2),(3-2,1+2).七、注意转化，巧用公式a2+b2≥2ab法例7设满足：（1）截y轴所得弦长为2；（2）被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1.在满足条件（1）、（2）的所有圆中，求圆心到直线l:x-2y=0的距离最小的圆的方程.解设圆的圆心为P（a,b)，半径为r，则点P到x轴、y轴的距离分别为|b|、|a|.由题设知圆P截x轴所得劣弧的圆心角为90°，知圆截x轴所得弦长为2r，故r2=2b2.又圆P截y轴所得长为2,所以有r2=a2+1.从而2b2-a2=1.又点P（a,b)到直线x-2y=0的距离为d=|a-2b|5.所以5d2=|a-2b|2=(a-2b)2=a2-4ab+4b2=a2+4b2-4ab≥a2+4b2-2(a2+b2)=a2+4b2-2a2-2b2=2b2-a2=1.当且仅当a=b时，上式等号成立，此时5d2=1，从而d有最小值.此时a=b2b2-a2=1,解方程组得a=1b=1,或a=-1b=-1.由于r2=2b2=2,∴r=2.于是所求圆的方程是（x-1)2+(y-1)2=2,或（x+1)2+(y+1)2=2.八、巧变形，用一次函数的单调性法例8在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分 别为a、b、c，且c=10,cosAcosB=ba=43,P 为△ABC内切圆上的动点，求点P到顶点A、B、C的距离的平方和的最大值和最小值.解由cosAcosB=ba，根据正弦定理，有cosAcosB=sinBsinA,sinAcosA=sinBcosB,sin2A=sin2B.∵A≠B,2A≠2B,∴A+B=π2,故△ABC是直角三角形.由c=10，ba=43,a2+b2=102及a>0,b>0,得a=6,b=8.图4如图4，设△ABC内切圆的圆心为O′，切点为D、E、F，内切圆半径为r，则2r=a+b-c=6+8-10=4,∴r=2.建立如图4的直角坐标系，则内切圆方程为（x-2)2+(y-2)2=4.设圆上动点P的坐标为（x,y),则P点到A、B、C的距离的平方和为W=|PA|2+|PB|2+|PC|2=（x-8)2+y2+x2+(6-y)2+x2+y2=3［(x-2)2+(y-2)2］-4x+76=88-4x∵P点在内切圆上，故必有0≤x≤4.∴W最大值=88；W最小值=72.点评解此题的关键是证明△ABC为直角三角形，写出内切圆方程（x-2)2+(y-2)2=4,在建立函数式中凑出（x-2)2+(y-2)2=4，整体代入4，为用一次函数单调性创造条件，方法灵活、技巧性强，值得一学.(收稿日期：2013-06-15)。
高中数学 直线与圆相关的最值问题
直线与圆相关的最值问题常用的处理方法圆的轨迹问题在江苏高考中是常考的内容之一，常常与向量、直线相结合考查，有一定的难度，题型从填空题到解答题不固定。
【母题】（2018年苏州市第一中学高二上期中考试）平面直角坐标系xOy 中，若直线032:=+--k y kx l 上存在点P ，使得过点P 可作一条射线与圆1:22=+y x O 依次交于B A 、，满足AB PA =，则k 的取值范围为 .一、与圆相关的最值问题的联系点1.1 与距离有关的最值问题在运动变化中，动点到直线、圆的距离会发生变化，在变化过程中，就会出现一些最值问题，如距离最小，最大等.这些问题常常联系到平面几何知识，利用数形结合思想可直接得到相关结论，解题时便可利用这些结论直接确定最值问题.常见的结论有：（1）圆外一点A 到圆上距离最近为AO r -，最远为AO r +；（2）过圆内一点的弦最长为圆的直径，最短为该点为中点的弦；（3）直线与圆相离，则圆上点到直线的最短距离为圆心到直线的距离d r +，最近为d r -； （4）过两定点的所有圆中，面积最小的是以这两个定点为直径端点的圆的面积. （5）直线外一点与直线上的点的距离中，最短的是点到直线的距离；（6）两个动点分别在两条平行线上运动，这两个动点间的最短距离为两条平行线间的距离.【例1】 已知圆C 的方程为：)0()2()3(222>=-+-r r y x ，若直线33=+y x 上存在一点P ，在圆C 上总存在不同的两点N M ,，使得点M 是线段PN 的中点，则圆C 的半径r 的取值范围为 .【变式1】（2015届淮安高三三模第14题）在平面直角坐标系中，圆，圆．若圆上存在一点，使得过点可作一条射线与圆依次交于点，，满足，则半径的取值范围是_______.【变式2】 过点()1,2M 的直线l 与圆C ：()()223425x y -+-=交于,A B 两点，C 为圆心，当ACB ∠最小时，直线l 的方程是 ．【变式3】（2015江苏高考第10题）在平面直角坐标系xOy 中，以点)0,1(为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 。
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Байду номын сангаас
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