1、与直线和圆有关的最值问题理(解析版)详解
问题8.1 与圆有关的最值问题-2017届高三数学跨越一本线(解析版)
2017届高三数学跨越一本线精品问题一 与圆有关的最值问题通过对近几年的高考试题的分析比较发现,高考对直线与圆的考查,呈现逐年加重的趋势,与圆有关的最值问题,更是高考的热点问题.由于圆既能与平面几何相联系,又能与圆锥曲线相结合,命题方式比较灵活,故与圆相关的最值问题备受命题者的青睐.本文就此问题从内容和处理方法上进行归纳,以帮助同学们攻克这个难点.一、与圆相关的最值问题的联系点 1.1 与直线的倾斜角或斜率的最值问题利用公式k ＝tan α(α≠90°)将直线的斜率与倾斜角紧密联系到一起,通过正切函数的图象可以解决已知斜率的范围探求倾斜角的最值,或者已经倾斜角的范围探求斜率的最值.处理方法：直线倾斜角的范围是[0,π),而这个区间不是正切函数的单调区间,因此根据斜率求倾斜角的范围时,要分⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2与⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π两种情况讨论．由正切函数图象可以看出,当α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2时,斜率k ∈[0,＋∞)；当α＝π2时,斜率不存在；当α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时,斜率k ∈(－∞,0)．【例1】坐标平面内有相异两点2(cos ,sin ),(0,1)A B θθ,经过两点的直线的的倾斜角的取值范围是( ). A ．,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．30,,44πππ⎛⎤⎡⎫ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭ C ．30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭ D ．3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 【答案】C【点评】由斜率取值范围确定直线倾斜角的范围要利用正切函数y ＝tan x 的图象,特别要注意倾斜角取值范围的限制；求解直线的倾斜角与斜率问题要善于利用数形结合的思想,要注意直线的倾斜角由锐角变到直角及由直角变到钝角时,需依据正切函数y ＝tan x 的单调性求k 的范围．【小试牛刀】【2017届山东菏泽一中宏志部高三上学期月考】若过点()2P --，的直线与圆224x y +=有公共点,则该直线的倾斜角的取值范围是（ ）A ．0 6π⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．0 3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦， C. 0 6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦， D ．0 3π⎛⎤ ⎥⎝⎦， 【答案】B【解析】当过点(2)P --的直线与圆224x y += 相切时,设斜率为k ,则此直线方程为+2=k(y x +,即k 20x y -+-=.2=,求得0k =或k =故直线的倾斜角的取值范围是[0,]3π,所以B 选项是正确的.1.2 与距离有关的最值问题在运动变化中,动点到直线、圆的距离会发生变化,在变化过程中,就会出现一些最值问题,如距离最小,最大等.这些问题常常联系到平面几何知识,利用数形结合思想可直接得到相关结论,解题时便可利用这些结论直接确定最值问题.常见的结论有：（1）圆外一点A 到圆上距离最近为AO r -,最远为AO r +； （2）过圆内一点的弦最长为圆的直径,最短为该点为中点的弦；（3）直线与圆相离,则圆上点到直线的最短距离为圆心到直线的距离d r +,最近为d r -； （4）过两定点的所有圆中,面积最小的是以这两个定点为直径端点的圆的面积. （5）直线外一点与直线上的点的距离中,最短的是点到直线的距离；（6）两个动点分别在两条平行线上运动,这两个动点间的最短距离为两条平行线间的距离.【例2】 过点()1,2M 的直线l 与圆C ：()()223425x y -+-=交于,A B 两点,C 为圆心,当ACB ∠最小时,直线l 的方程是 ． 答案: 30x y +-=解析：要使ACB ∠最小,由余弦定理可知,需弦长AB 最短.要使得弦长最短,借助结论可知当()1,2M 为弦的中点时最短.因圆心和()1,2M 所在直线的42131k -==-,则所求的直线斜率为1-,由点斜式可得1(2)30y x x y -=--⇒+-=.【点评】与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义,利用圆的几何性质数形结合求解．此题通过两次转化,最终转化为求过定点的弦长最短的问题.【例3】【2016-2017学年湖北大冶市实验中学高二上学期月考】若圆C ：222430x y x y ++-+=关于直线260ax by ++=对称,则由点(,)a b 向圆C 所作的切线长的最小值是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．6 【答案】C【点评】与切线长有关的问题及与切线有关的夹角问题,解题时应注意圆心与切点连线与切线垂直,从而得出一个直角三角形．【小试牛刀】【2016届河北省武邑中学高三上学期测试】在平面直角坐标系x y O 中,圆1C :()()221625x y ++-=,圆2C :()()2221730x y r -+-=．若圆2C 上存在一点P ,使得过点P 可作一条射线与圆1C 依次交于点A ,B ,满足2PA =AB ,则半径r 的取值范围是（ ） A ．[]5,55 B ．[]5,50 C ．[]10,50 D ．[]10,55 【答案】A【解析】由题,知圆1C 的圆心为(1,6)-,半径为5,圆2C 的圆心为(17,30),半径为r ,两圆圆心距为30=,如图,可知当AB 为圆1C 的直径时取得最大值,所以当点P 位于点1P 所在位置时r 取得最小值,当点P 位于点2P 所在位置时r 取得最大值．因为max ||10AB =,||2||PA AB =,所以min 5r =,max 55r =,故选A ．1.3 与面积相关的最值问题与圆的面积的最值问题,一般转化为寻求圆的半径相关的函数关系或者几何图形的关系,借助函数求最值的方法,如配方法,基本不等式法等求解,有时可以通过转化思想,利用数形结合思想求解. 【例4】 在平面直角坐标系中,,A B 分别是x 轴和y 轴上的动点,若以AB 为直径的圆C 与直线240x y +-=相切,则圆C 面积的最小值为（ ）A.45πB.34πC.(6π-D.54π 【答案】A【解析】设直线l ：240x y +-=.因为1||||2C l OC AB d -==,所以圆心C 的轨迹为以O 为焦点, l 为准线的抛物线.圆C半径最小值为1122O l d -==圆C面积的最小值为24.5ππ=选A. 【例5】动圆C 经过点(1,0)F ,并且与直线1x =-相切,若动圆C与直线1y x =+总有公共点,则圆C 的面积（ ）A ．有最大值8πB ．有最小值2πC ．有最小值3πD ．有最小值4π 【答案】D【解析】设圆心为(,)a b ,半径为r ,|||1|r CF a ==+,即222(1)(1)a b a -+=+,即214a b =,∴圆心为21(,)4b b ,2114r b =+,圆心到直线1y x =+的距离为214b d =≤+,∴3)b ≤-+或2b ≥,当2b =时,min 14124r =⨯+=,∴2min 4S r ππ==.【小试牛刀】【2016-2017学年广东潮阳黄图盛中学高二上期中】已知点A (2,0)-,B (0,2),点P 是圆22(1)1x y -+=上任意一点,则PAB ∆面积的最大值是（ ）A.3B.23+C.23-D.6 【答案】B二、与圆相关的最值问题的常用的处理方法 2.1 数形结合法处理与圆有关的最值问题,应充分考虑圆的几何性质,并根据代数式的几何意义,借助数形结合思想求解. 【例6】已知实数x ,y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0,求： (1)yx的最大值和最小值； (2)y －x 的最大值和最小值； (3)x 2＋y 2的最大值和最小值．【分析】(1)利用斜率模型；(2)利用截距模型；(3)利用距离模型【解析】原方程变形为(x －2)2＋y 2＝3,表示以(2,0)为圆心,半径r ＝3的圆．(1)设y x＝k ,即y ＝kx ,由题知,直线y ＝kx 与圆恒有公共点,则圆心到直线的距离小于等于半径 3. ∴|2k －0|k 2＋1≤3.∴k 2≤3,即－3≤k ≤3,∴y x 的最大值为3,最小值为－ 3.(2)设y －x ＝b ,则当直线y －x ＝b 与圆相切时,b 取最值,由|2－0＋b |2＝3,得b ＝－2±6,∴y －x 的最大值为6－2,最小值为－2－ 6. (3)令d ＝x 2＋y 2表示原点与点(x ,y )的距离,∵原点与圆心(2,0)的距离为2,∴d max ＝2＋3,d min ＝2－ 3.∴x 2＋y 2的最大值为(2＋3)2＝7＋43,最小值为(2－3)2＝7－4 3.【点评】研究与圆有关的最值问题时,可借助图形的性质,利用数形结合求解．常见的最值问题有以下几种类型：①形如μ＝y －bx －a形式的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题；②形如t ＝ax ＋by 形式的最值问题,可转化为动直线截距的最值问题；③形如(x －a )2＋(y －b )2形式的最值问题,可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．【小试牛刀】【2017届河北武邑中学高三周考】已知直线:60l x y +-=和曲线22:2220M x y x y +---=,点A 在直线l 上,若直线AC 与曲线M 至少有一个公共点C ,且030MAC ∠=,则点A 的横坐标的取值范围是（ ）A ．()0,5B ．[]1,5C ．[]1,3D ．(]0,3 【答案】B【解析】设()00,6A x x -,依题意有圆心到直线的距离sin 302d AM =≤,即()()22001516x x -+-≤,解得[]01,5x ∈.2.2 建立函数关系求最值根据题目条件列出关于所求目标函数的关系式,然后根据关系的特点选用参数法、配方法、判别式法等进行求解.【例7】设Q P ,分别为()2622=-+y x 和椭圆11022=+y x 上的点,则Q P ,两点间的最大距离是（ ） A.25 B.246+ C.27+ D.26 【答案】D【解析】依题意Q P ,两点间的最大距离可以转化为圆心到椭圆上的点的最大距离再加上;.设(,)Q x y .圆心到椭圆的最大距离d ===≤.所以Q P ,两点间的最大距离是26.故选D. 2.3 利用基本不等式求解最值如果所求的表达式是满足基本不等式的结构特征,如a b ⋅或者a b +的表达式求最值,常常利用题设条件建立两个变量的等量关系,进而求解最值.同时需要注意,“一正二定三相等”的验证.【例8】 设m R ∈,过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ,则||||PA PB ⋅的最大值是 .【分析】根据222||||||10PA PB AB +==,可用均值不等式求最值【解析】易得(0,0),(1,3)A B .设(,)P x y ,则消去m 得：2230x y x y +--=,所以点P 在以AB 为直径的圆上,PA PB ⊥,所以222||||||10PA PB AB +==,2||||||52AB PA PB ⨯≤=.【小试牛刀】【2017届河北武邑中学高三周考】设,m n R ∈,若直线()()1120m x n y +++-=与圆()()22111x y -+-=相切,则m n +的取值范围是（ ）A．1⎡+⎣B．(),113,⎡-∞++∞⎣C．22⎡-+⎣D ．(),2222,⎡-∞-++∞⎣【答案】D【解析】直线与圆相切,圆心到直线的距离等于半径,1=,化简得2mn m n =++,由基本不等式得222m n m n mn +⎛⎫++=≤ ⎪⎝⎭,令t m n =+,则2480tt --≥,解得(),2222,t ⎡∈-∞-++∞⎣.【迁移运用】1．【2017河北卓越联盟上学期月考】由直线y ＝x ＋1上的一点向圆(x －3)2＋y 2＝1引切线,则切线长的最小值为（ ）A.1B.D.3 【答案】C【解析】圆的圆心为()3,0，r=1,圆心到直线10x y -+=的距离为d ,所以由勾股定理可=2．【2017福建福州外国语上期末模】已知平面上两点()()(),0,,00A a B a a ->,若圆()()22344x y -+-=上存在点P ,使得90APB ∠=︒,则a 的取值范围是（ ） A ．[]3,6 B ．[]3,7 C. []4,6D ．[]0,7 【答案】C3．【2017届河南中原名校豫南九校高三上学期质检四】如果直线()70 0ax by a b +=>>，和函数()()1log 0 1m f x x m m =+>≠，的图象恒过同一个定点,且该定点始终落在圆()()221125x b y a +-++-=的内部或圆上,那么ba的取值范围是（ ） A ．34 43⎡⎤⎢⎥⎣⎦， B ．340 43⎛⎤⎡⎫+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭，， C.4 3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭， D ．30 4⎛⎤ ⎥⎝⎦， 【答案】A【解析】根据指数函数的性质,可知函数()()1log 0 1m f x x m m =+>≠，，恒过定点()1 1，,将点()1 1，代入7ax by +=,可得7a b +=,由于()1 1，始终落在所给圆的内部或圆上,所以2225a b +≤,由22725a b a b +=⎧⎨+=⎩,解得34a b =⎧⎨=⎩或43a b =⎧⎨=⎩,这说明点() a b ，在以()3 4，和()4 3，为端点的线段上运动,所以ba 的取值范围是34 43⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.选A.4．【2017届湖南师大附中高三上学期月考四】设直线l ：340x y a ++=,圆C ：22(2)2x y -+=,若在圆C 上存在两点P ,Q ,在直线l 上存在一点M ,使得90PMQ ∠=︒,则a 的取值范围是（ ）A ．[]18,6- B．6⎡-+⎣C ．[]16,4- D．66⎡---+⎣【答案】C【解析】圆C从直线上的点向圆上的点连线成角,当且仅当两条线均为切线时,所成的角最大,此时四边形MPOQ 为正方形,,所以对角线2OM =,故圆心C 到直线l 的距离2d ≤,所以有,求出164a -≤≤,选C. 5．【2017湖北宜昌葛洲坝中学上期中】若圆C ：x 2＋y 2－x－y －12＝0上有四个不同的点到直线l ：x －y ＋c ＝0的距离为2,则c 的取值范围是（ ） A ．[－2,2] B ．[－22,22] C ． （－2,2） D ．（－22,22） 【答案】D【解析】圆C ：x 2＋y 2－－y －12＝0,配方为：((2216x y -+-=,∵圆上有四个不同的点到直线l ：x-y+c=0的距离为2, ∴圆心到直线l的距离2d ,解得c -<<6．【2017届重庆市一中高三上学期期中】设B A ,在圆122=+y x 上运动,且3=AB ,点P 在直线01243=-+y x 上运动,）A ．3B ．4C ．517D ．519【答案】D7．【2017届四川省高三高考适应性测试】已知圆的方程为2260x y x +-=,过点()1 2，的该圆的所有弦中,最短的弦长为（ ） A.12B.1C.2D.4 【答案】C【解析】222260(3)9x y x x y +-=⇒-+=,最短的弦长为2=,选C.8．【2017重庆万州二中上期中】已知圆22:8150C x y x +-+=,直线 2y kx =+上至少存在一点P ,使得以点P 为圆心,半径为1的圆与圆C 有公共点,则k 的最小值是（ ）A.43-B.54- C.35- D.53-【答案】A【解析】因为圆C 的方程为228150x y x +-+=,整理得22(4)1x y -+=,所以圆心为(4,0)C ,半径为1r =,又因为直线2y kx =+上至少存在一点P ,使得以点P 为圆心,半径为1的圆与圆C 有公共点,所以点C 到直线2y kx =+的距离小于或等于2,2,化简2340k k +≤,解得403k -≤≤,所以k 的最小值是43-,故选A.9．【2016学年四川省雅安中学期中】已知点P （t,t ）,t∈R,点m 是圆221(1)4x y +-=上的动点,点N 是圆221(2)4x y -+=上的动点,则PN PM -的最大值是（ ）B ．2C ．3D ．【答案】B 【解析】如图：圆 221(1)4x y +-=的圆心E （0,1）,圆的圆心 F （2,0）,这两个圆的半径都是21 要使|PN||-|PM|最大,需|PN|最大,且|PM|最小,由图可得,|PN|最大值为|PF|+21,PM|的最小值为|PE|-21PN PM -=|PF|-|PE|+1,点P （t,t ）在直线 y=x 上,E （0,1）关于y=x 的对称点E′（1,0）,直线FE′与y=x 的交点为原点O,则|PF|-|PE|=|PF|-|PE′|≤|E′F|=1,故|PF|-|PE|+1的最大值为1+1=2,故答案为B ．10．【2016届浙江省临海市台州中学高三上第三次统练】已知(,)P x y 是直线)0(04>=++k y kx 上一动点,PA PB 、是圆C ：0222=-+y y x 的两条切线,A B 、是切点,若四边形PACB 的最小面积是2,则k 的值为（ ）A ．3B ．212 C ．22 D ．2 【答案】D【解析】圆C 的方程可化为22()11x y +-=,因为四边形PACB 的最小面积是2,且此时切线长为2,故圆心()0,1到直线40kx y ++==解得2k =±,又0k >,所以2k =．11．【2016湖北宜昌一中高二上学期期中】．直线 ),(13R b a by ax ∈=+与圆2:221=+y x O 相交于A,B 两点,且△AOB 是直角三角形（O 是坐标原点）,则点P （a,b ）与点（0,1）之间距离的最大值是 A ．错误！未找到引用源。
与圆有关的最值范围问题(九种题型) Word版含解析【KS5U 高考】
与圆有关的最值范围问题一．基础知识回顾1、圆上的点到定点的距离最值问题一般都是转化为点到圆心的距离处理，加半径为最大值，减半径为最小值 已知圆及圆外一定点，设圆的半径为则圆上点到点距离的最小值为，最大值为 即连结并延长，为与圆的交点，为延长线与圆的交点.2、圆上的点到直线的距离最值问题已知圆和圆外的一条直线，则圆上点到直线距离的最小值为，距离的最大值为（过圆心作的垂线，垂足为，与圆交于，其反向延长线交圆于3、切线长度最值问题1、代数法：直接利用勾股定理求出切线长，把切线长中的变量统一成一个，转化成函数求最值；2、几何法：把切线长最值问题转化成圆心到直线的距离问题．已知圆和圆外的一条直线，则过直线上的点作圆的切线，切线长的最小值为.4、过圆内定点的弦长最值已知圆及圆内一定点，则过点的所有弦中最长的为直径，最短的为与该直径垂直的弦.C PC r P PM PC r =-PN PC r =+PC M PC N PC C lC l PM d r -=-C l PN d r -=+C l P CP C M C N C l l PM lCPMC P P MN5、利用代数法的几何意义求最值（1）形如ax by --=μ的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题． （2）形如by ax t +=的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．（3）形如22)()(b y a x m -+-=的最值问题，可转化为曲线上的点到点（a ，b ）的距离平方的最值问题二．题型分类1.圆上动点到定点2.圆上两动点3.圆上动点到直线距离最值4.切线长最值5.圆内定点弦长最值6.面积最值7.代数式几何化最值—截距型 8.代数式几何化最值—斜率型 9.代数式几何化最值—距离型三．常用方法策略 1.数形结合 2.转化到圆心问题 3.三角换元 四．例题解析1.圆上动点到定点例1.若点M 在曲线2264120x y x y +--+=上，O 为坐标原点，则OM 的取值范围是______．曲线2264120x y x y +--+=，即()()22321x y -+-=，表示圆心()3,2C ，半径1r =的圆，则223213OC =+因为点M 在曲线2264120x y x y +--+=上，所以OC r OM OC r -≤≤+，131131OM ≤≤，即13131OM ⎡⎤∈⎣⎦； 故答案为：13131⎡⎤⎣⎦例2.在圆()()22232x y -++=上与点(0,5)-距离最大的点的坐标是______．()()22025382-+-+=>，∴点(0,5)-在圆外∴圆上与点(0,5)-距离最远的点，在圆心与点(0,5)-连线上，且与点(0,5)-分别在圆心两侧， 令直线解析式：y kx b =+，由于直线通过点(2,3)-和(0,5)-，可得直线解析式：5y x =-， 与圆的方程联立，可得()()22222x x -+-=，3x ∴=或1x =∴交点坐标为(3,2)-和(1,4)-，其中距离点(0,5)-较大的一个点为(3,2)-.2.圆上两动点例1.已知直线1:0l kx y +=()k R ∈与直线2:220l x ky k -+-=相交于点A ，点B 是圆22(2)(3)2x y +++=上的动点，则||AB 的最大值为（ ）A ．32B ．52C ．522+D ．322+【答案】C【解析】由0220kx y x ky k +=⎧⎨-+-=⎩，消去参数k 得22(1(1)2x y -+-=），所以A 在以(1,1)C 2又点B 是圆22(2)(3)2x y +++=上的动点，此圆圆心为(2,3)D --222(12))(13)5CD =+++=，∴AB 的最大值为22522CD =+ C.例2.设圆221:104250C x y x y +-++=与圆222:142250C x y x y +-++=，点A ，B 分别是1C ，2C 上的动点，M 为直线y x =上的动点，则||||MA MB +的最小值为( ) A ．3157- B ．3137- C ．524- D ．534- 【答案】B【解析】根据题意，圆221:104250C x y x y +-++=，即22(5)(2)4x y -++=，其圆1C 的圆心(5,2)-，2r =，圆222:142250C x y x y +-++=，即22(7)(1)25x y -++=， 其圆2C 的圆心(7,1)-，5R =，如图所示：对于直线y x =上的任一点M ，有1212||||||||||||7MA MB MC MC R r MC MC ++--=+-， 求||||MA MB +的最小值即求12||||7MC MC +-的最小值，即可看作直线y x =上一点到两定点1C 、2C 距离之和的最小值减去7， 由平面几何的知识易知当1C 关于直线y x =对称的点为(2,5)C -， 与M 、2C 共线时，12||||MC MC +的最小值，其最小值为2||313CC =， 故||||MA MB +的最小值为3137-；故选：B ．3.圆上动点到直线距离最值例1.点P 为圆22(1)2x y -+=上一动点，点P 到直线3yx的最短距离为（ ）A 2B ．1C 2D ．2【答案】C【解析】圆22(1)2x y -+=的圆心为(1,0)，半径2r =则圆心(2,0)到直线30x y -+=的距离为22103221(1)d -++-所以直线与圆相离， 则点P 到直线3yx的最短距离为圆心到直线的距离再减去半径．所以点P 到直线20l x y -+=:的最短距离为2222=C ． 例2.直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆()2222x y -+=上，则ABP△面积的取值范围为（ ）A ．[]2,6B ．[]4,8C ．[]28,D ．[]4,6 【答案】A【解析】圆心()2,0到直线20x y ++=距离202222d ++==所以点P 到AB 距离即高h 的范围2,32⎡⎣，又可求得22AB = 所以ABP △面积12S AB h =⋅的取值范围为[]2,6.故选：A.4.切线长最值例1.直线1y x =-上一点向圆()2231x y -+=引切线长的最小值为（ ）A ．22B ．1C 7D ．3 【答案】B【解析】圆()2231x y -+=的圆心为()3,0，半径为1，圆心到直线10x y --=212=>. ()22211-=，故选：B例2.已知圆O ：223x y +=，l 为过2M 的圆的切线，A 为l 上任一点，过A 作圆N ：()2224x y ++=的切线，则切线长的最小值是__________.39【解析】由题，直线OM 2l 的斜率为2 故l 的方程为)221y x -，即230x y -=. 又N 到l 的距离22203312d -+-==+，251339433⎛⎫-== ⎪⎝⎭5. 圆内定点弦长最值例1.已知圆O ：2210x y +=，已知直线l ：()2,ax by a b a b +=-∈R 与圆O 的交点分别M ，N ，当直线l 被圆O 截得的弦长最小时，MN =（ ） A 35B 55C ．25D ．35 【答案】C【解析】直线l ：()2,ax by a b a b +=-∈R ，即()()210a x b y -++=，所以直线过定点()2,1A -，()22||215OA =+-=O 半径10r =点A 在圆O 内，所以当直线与OA 垂直的时候，||MN 最短， 此时22||2||25MN r OA =-=C ．例2.当圆22:4630C x y x y +-+-=的圆心到直线:10l mx y m ++-=的距离最大时，m =（ ）A ．34B ．43C ．34-D ．43- 【答案】C【解析】因为圆22:4630C x y x y +-+-=的圆心为(2,3)C -,半径4R =，又因为直线:10l mx y m ++-=过定点A(-1,1), 故当CA 与直线l 垂直时，圆心到直线的距离最大， 此时有1AC l k k =-，即4()13m ，解得34m =-.故选：C.6. 面积最值例1.点P 是直线2100++=x y 上的动点，P A ，PB 与圆224+=x y 分别相切于A ，B 两点，则四边形P AOB 面积的最小值为________． 【答案】8【解析】如图所示，因为S 四边形P AOB ＝2S △POA .又OA ⊥AP ， 所以222122242=⨯=-=-四边形PAOB S OA PA OP OA OP 为使四边形P AOB 面积最小，当且仅当|OP |达到最小，即为点O 到直线2100++=x y 的距离：min 22521==+OP 故所求最小值为()222548-=.7. 代数式几何化最值—截距型例1．（2022·全国·高三专题练习）已知点(,)P x y 是圆2264120x y x y +--+=上的动点，则x y +的最大值为（ ） A ．52B ．52C ．6D ．5【答案】A【解析】由22(3)(2)1x y -+-=，令3cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩，则52)4x y πθ+=+，所以当sin()14πθ+=时，x y +的最大值为52．故选：A例2．（2022·全国·高三开学考试（文））已知点(),P x y 是圆C ：()()2230x a y a -+=>上的一动点，若圆C 经过点(2A ，则y x -的最大值与最小值之和为（ ） A ．4 B ．26C ．4- D ．26-【答案】C【解析】因为圆C ：()()2230x a y a -+=>经过点(2A ， 2(1)23a -+=．又0a >，所以2a =，y x -可看成是直线y x b =+在y 轴上的截距．如图所示，当直线y x b =+与圆相切时，纵截距b 2032b-+=26b =-±所以y x -的最大值为26-26-y x -的最大值与最小值之和为4-． 故选：C ．8.代数式几何化最值—斜率型例1.（多选题）（2022·山东泰安·三模）已知实数x ，y 满足方程224240x y x y +--+=，则下列说法正确的是（ ） A ．yx 的最大值为43B ．yx的最小值为0 C ．22x y +51 D ．x y ＋的最大值为32【答案】ABD【解析】由实数x ，y 满足方程224240x y x y +--+=可得点(,)x y 在圆()()22211x y -+-=上，作其图象如下，因为yx表示点(,)x y 与坐标原点连线的斜率， 设过坐标原点的圆的切线方程为y kx =22111k k -=+，解得：0k =或43k =，40,3y x ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦，max 43y x ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，min0y x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，A ，B 正确； 22x y +表示圆上的点(,)x y 到坐标原点的距离的平方，圆上的点(,)x y 到坐标原点的距离的最大值为+1OC ， 所以22x y +最大值为()21OC +，又2221OC + 所以22xy +的最大值为625+C 错，因为224240x y x y +--+=可化为()()22211x y -+-=， 故可设2cos x θ=+，1sin y θ=+，所以2cos 1sin 324x y πθθθ⎛⎫=+++=+ ⎪⎝⎭＋，所以当=4πθ时，即2221x y ==x y ＋取最大值，最大值为32，D 对， 故选：ABD ．9.代数式几何化最值—距离型例1.设(,)P x y 是圆22(2)1C x y -+=上任意一点，则22(5)(4)x y -++的最大值为()A ．6B ．25C ．26D ．36 【答案】【解析】22(5)(4)x y -++表示圆C 上的点到点(5,4)-的距离的平方，圆22(2)1C x y -+=的圆心(2,0)C ，半径为1， 圆心C 到点(5,4)-的距离为22(25)45-+=，22(5)(4)x y ∴-++的最大值是2(51)36+=．故选：D ．例2.若平面内两定点A ，B 间的距离为2，动点P 满足||||PA PB 312（|P A |2＋|PB |2）的最大值为（ ） A ．33B ．7＋3C ．8＋3D ．16＋3【答案】C【解析】以线段AB的中点为原点，AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系．不妨令A（－1，0），则B（1，0），设P（x，y）．由||||PAPB32222(1)3(1)x yx y++=-+（x－2）2＋y2＝3为P的轨迹方程．∴22222222||||(1)(1)1 22PA PB x y x yx y ++++-+==++，其中x2＋y2可以看作圆（x－2）2＋y2＝3上的点（x，y）到点（0，0）的距离的平方，∴x2＋y2的最大值为（232＝7＋3∴x2＋y2＋1的最大值为8＋322||||2PA PB+的最大值为8＋3。
直线与圆的最值问题-讲义
直线与圆的最值问题1 最值模型(1)三点共线模型(三角形三边的关系)(i)点A、B在直线l同侧，点P在直线l上，则(AP+BP)min=AB′(当点A、P、B′共线时取到)，点B′是点B关于直线l的对称点.(ii)点A、B在直线l同侧，点P在直线l上，则|AP−BP|max=AB(当点A、P、B共线时取到).(iii)点A、B在直线l异侧，点P在直线l上，则|AP−BP|max=AB′(当点A、P、B共线时取到)，点B′是点B关于直线l的对称点.(2)某点M到圆⊙O上点N的距离(i)若点M在圆内，则MN min=MN1=r−OM，MN max=MN2=r+OM；(ii)若点M在圆外，则MN min=MN1=OM−r，MN max=MN2=r+OM；(3)圆上一点到圆外一定直线的距离最值若直线l与圆⊙O相离，圆上一点P到直线l的距离为PE，d为圆心O到直线l的距离，r为圆半径，则PE min=P1F=d−r，PE max=P2F=d+r.2 圆的参数方程圆的标准方程(x −a )2+(y −b )2=r 2，圆心为(a ,b)，半径为r ，它对应的圆的参数方程：{x =rcosθ+a y =rsinθ+b(θ是参数). 理解：如图，易得rcosθ=有向线段HM =x −a ⇒x =rcosθ+a ，rsinθ=有向线段HP =y −b ⇒y =rsinθ+b .Eg 圆(x +1)2+(y −2)2=9的参数方程为{x =3cosθ−1y =3sinθ+2.【题型一】几何法处理最值问题情况1 三点共线模型【例题1】P 是直线L ：3x −y −1=0上一点，求(1)P 到A(4 ,1)和B(0 ,4)的距离之差的最大值；(2)P 到A(4 ,1)和C(3 ,5)的距离之和的最小值．情况2 斜率型最值【例题1】如果实数x ,y 满足条件：(x −2)2+y 2=3，那么y x 的最大值是 .情况3 两点距离型最值【例题1】已知点M(a ,b)在直线l ：3x +4y =25上，则a 2+b 2的最小值为 ．【例题2】已知点P， Q分别在直线l1：x+y+2=0与直线l2：x+y−1=0上，且PQ⊥l1，点A(−3 ,−3)，B(32 ,12)，则|AP|+|PQ|+|QB|的最小值为.情况4 圆外一定点到圆上点距离最值【例题1】已知x、y满足(x−1)2+y2=1，则S=x2+y2+2x−2y+2的最小值是.【例题2】已知点P(7 ,3)，圆M：x2+y2−2x−10y+25=0，点Q为在圆M上一点，点S 在x轴上，则|SP|+|SQ|的最小值为.情况5 圆上一点到圆外一定直线的距离最值【例题1】已知两点A(−1,0)、B(0,2)，若点P是圆(x−1)2+y2=1上的动点，则△ABP面积的最大值和最小值之和为．课堂练习1 已知x2+y2=1，则y−1的取值范围是．x+22 已知点P(x ,y)在圆x2+y2=1上，则√(x−1)2+(y−1)2的最大值为．3 已知圆x2+(y−2)2=1上一动点A，定点B(6 ,1)；x轴上一点W，则|AW|+|BW|的最小值等于．4 已知两个同心圆的半径分别为3和4，圆心为O．点P、Q分别是大圆、小圆上的任意一点，线段PQ的中垂线为l．若光线从点O射出，经直线l(入射光线与直线l的公共点为A)反射后经过点Q，则|OA|−|AQ|的取值范围是．5 已知点A(−2 ,0) ,B(0 ,2)，若点P在圆(x−3)2+(y+1)2=2上运动，则△ABP面积的最小值为．6 过动点P作圆：(x−3)2+(y−4)2=1的切线PQ，其中Q为切点，若|PQ|=|PO|(O为坐标原点)，则|PQ|的最小值是．7 已知直线l：x−y+4=0与x轴相交于点A，过直线l上的动点P作圆x2+y2=4的两条切线，切点分别为C，D两点，记M是CD的中点，则|AM|的最小值为．8 已知圆(x−a)2+(y−b)2=1经过原点，则圆上的点到直线y=x+2距离的最大值为．9如图，设圆C1：(x−5)2+(y+2)2=4，圆C2：(x−7)2+(y+1)2=25，点A、B分别是圆C1，C2上的动点，P为直线y=x上的动点，则|PA|+|PB|的最小值为．【题型二】代数法处理最值问题【例题1】 已知圆C 的圆心在直线x −2y =0上，且经过点M(0 ,−1)，N(1 ,6)．(1)求圆C 的方程；(2)已知点A(1 ,1)，B(7 ,4)，若P 为圆C 上的一动点，求|PA |2+|PB |2的取值范围．【例题2】 已知直线l ：y =x ，圆C ：x 2+y 2−4x +3=0，在l 上任意取一点A ，向圆C 作切线，切点分别为M ,N ，则原点O 到直线MN 的距离d 的最大值为 ．【例题3】 已知实数x 、y 满足方程x 2+y 2−4x +1=0．(1)求y −x 的最大值和最小值；(2)求x 2+y 2的最大值和最小值；(3)求y x+1的取值范围．【例题4】 如图，在平面直角坐标系xOy 中，正方形OABC 的边长为4，E(0 ,1)，点F 是正方形边OC 上的一个动点，点O 关于直线EF 的对称点为G 点，当|GA ⃗⃗⃗⃗⃗ +3GB ⃗⃗⃗⃗⃗ |取得最小值时，直线GF 的方程为 .课堂练习1 若实数x ,y 满足x 2+y 2+4x －2y －4=0，则√x 2+y 2的最大值是( )A ．√5+3B ．6√5+14C ．−√5+3D ．－6√5+14 2 [多选题]若实数x ,y 满足条件x 2+y 2=1，则下列判断正确的是( )A ．x +y 的范围是[0 ,√2]B ．x 2－4x +y 2的范围是[－3 ,5]C ．xy 的最大值为1D ．y−2x+1的范围是(−∞ ,−34] 3 [多选题]已知点P(2 ,4)，若过点Q(4 ,0)的直线l 交圆C ：(x −6)2+y 2=9于A ,B 两点，R 是圆C 上动点，则( )A ．|AB|的最小值为2√5B ．P 到l 的距离的最大值为2√5C ．PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙PR⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为12－2√5 D ．|PR|的最大值为4√2+3 4 已知点A(1 ,1) ,B(2 ,2)，点P 在直线y =12x 上，求|PA |2+|PB |2取得最小值时P 点的坐标．5 在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x −2)2+y 2=1，M 为圆C 的圆心，过原点O 的直线l 与圆C 相交于A ,B 两点(A ,B 两点均不在x 轴上)．求△ABM 面积的最大值．6 已知直线l 过定点P(−2 ,1)，且交x 轴负半轴于点A 、交y 轴正半轴于点B ，点O 为坐标原点．(1)若△AOB 的面积为4，求直线l 的方程；(2)求|OA|+|OB|的最小值，并求此时直线l 的方程；(3)求|PA|⋅|PB|的最小值，并求此时直线l的方程．7 在平面直角坐标系xOy中．已知圆C经过A(0 ,2)， O(0 ,0) ， D(t ,0)(t>0)三点，M是线段AD上的动点，l1 ,l2是过点B(1 ,0)且互相垂直的两条直线，其中l1交y轴于点E，l2交圆C于P ,Q两点．(1)若t=PQ=6，求直线l2的方程；(2)若t是使AM≤2BM恒成立的最小正整数，求△EPQ的面积的最小值．。
3直线和圆中的最值问题
3直线和圆中的最值问题直线和圆中的最值问题1、直线与原的焦点问题总是转化成圆心到直线的距离和半径间的比较，或者利用方程有解的问题；2、圆上一点至直线距离的最值问题总是转化成谋圆心到定直线的距离；3、有些最值问题必须特别注意向函数问题转变；4、把握住式子的几何意义。
一、至圆心距离的最值问题例1：已知p是直线3x+4y+8=0上的动点，pa,pb是圆x2+y2-2x-2y+1=0的两条切线,a,b是切点，c是圆心，求四边形pacb面积的最小值。
二、至圆上一点距离的最值问题例2：已知p是圆x2+y2=1上一点，q是直线l:x+2y-5=0上一点，求pq的最小值。
三、与圆上一点的坐标有关的最值问题基准3：未知定点a(-1,0),b(1,0)和圆(x-3)+(y-4)=4上的动点p，谋并使pa+pb最值时点p的座标。
p,⎪时,x2+y2最大为100⎪55⎪练1：谋实数x,y满足用户x2+(y-1)2=1,谋以下各式的最值：（）13x+4y（2）x+y（3x+1(1)最大值为9，最小值为-1,(2)最大值为4，最小值为0,(3)小值为，并无最大值四、与圆半径有关的最值问题基准4：设x，y满足用户⎪y≥x谋(x-1)+(y-3)25⎪4x+3y≤12练2：未知圆c：x2+y2+2x-4y+3=0(1).若圆c的切线在x轴和y轴上截距相等，求切线的方程；(2).从圆c外一点p(x,y)向圆引切线pm，m为切点，o为座标原点，且pm求使pm最小的点p的坐标。
y=2±x,x+y+1=0或x+y-3=0，p-,⎪(练习3：已知∆abc三个顶点坐标a(0,0),b(4,0),c(0,3)，点p是它的内切圆上一点，求以pa,pb,pc为直径的三个圆面积之和的最大值和最小值。
解：∆abc的三边长分别为3,4,5∴∆abc是以a为直角顶点的rt∆∴内切圆的圆心(1,1)，半径r=1∴内切圆的方程为(x-1)+(y-1)=1即x+y-2x-2y+1=0设p点坐标为(x,y)pa+pb+pcx+y2+(x-4)+y2+x2+(y-3)⎪=(11-x)0≤x≤2∴当x=0时，smax=119π；当x=2时，smin=π22练4：设圆满足用户：(1)封盖y轴税金弦长为2；(2)被x轴分为两圆弧，其弧长比为3:1。
直线与圆的综合问题
此时|2k— 0| :k2+1全国名校高考数学复习优质学案考点专题汇编（附详解）a直线与圆的综合问题考点一与圆有关的最值问题考法（一）斜率型最值问题［典例］已知实数x,y满足方程x2 + y2— 4x+ 1= 0,求#的最大值和最小值.入2 2［解］原方程可化为（x— 2） + y = 3,表示以（2,0）为圆心，，3为半径的圆.$的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率,所以设x= k,即y= kx.入当直线y= kx与圆相切时（如图），斜率k取得最大值或最小值,解得k= 土, 3.所以x的最大值为一 3,最小值为—一 3.入［解题技法］形如尸y—b型的最值问题，可转化过定点（a, b）的动直线斜率的最值问题x — a求解.如本题y= y~0表示过坐标原点的直线的斜率.x x— 0全国名校高考数学复习优质学案考点专题汇编(附详解)考法（二）截距型最值问题［典例］已知实数x, y满足方程x2 + y2— 4x+ 1 = 0,求y— x的最大值和最小值.全国名校高考数学复习优质学案考点专题汇编(附详解)2)2 + y 2= 3,故可令x — 2= 3cos 0, y= . 3si n 0,X =A /3COS 0+ 2即彳厂y= . 3sin 0,从而 y — 3sin 0—.3cos ［解］y —x 可看作是直线y=x+ b 在y 轴上的截距，如图 所示，当直线y= x+ b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值或 最小值，此时|2—0^b| = 解得b= — 2±6.所以y —x 的 最大值为—2+ .6,最小值为—2— 6.［解题技法］形如 尸ax+ by 型的最值问题，常转化为动直线截距的最值问题求解. 如本 题可令b= y — x ，即y=x+ b ，从而将y — x 的最值转化为求直线y=x+ b 的截距 的最值问题.另外，此类问题也常用三角代换求解.由于圆的方程可整理为 (x —0-2 = (6S in 〔0—寸―2,进而求出y — x 的最大值和最小值.考法(三)距离型最值问题［典例］已知实数x, y 满足方程x 2 + y 2 — 4x+ 1 = 0,求x 2 + y 2的最大值和最 小值. ［解］如图所示，x 2 + y 2表示圆上的一点与原点距离的平 方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点 处取得最大值和最小值.又圆心到原点的距离为 -2— 0 2+ 0 — 0 2= 2,所以x 2 + y 2的最大值是(2 + ,3)2= 7 + 4 3, x 2 + y 2 的最小值是(2 — . 3)2 = 7 — 4 3. ［解题技法］形如 尸(x — a)2+ (y — b)2型的最值问题，可转化为动点(x, y)与定点(a, b) 的距离的平方求最值.如本题中x 2 + y 2 = (x — 0)2 + (y — 0)2，从而转化为动点(x,—2k — 0— k+ 2|. ----- =1解得k=3 土;y — 2 x — 1的最大值为3+^・ y)与坐标原点的距离的平方.［专题训练］1.已知圆C: (x+ 2)2 + /= 1, P(x, y)为圆上任意一点，贝U 匕2的最大值为X — 1解析：设匚2 = k,即 kx — y — k+ 2= 0,x- 1圆心 C(—2,0), r = 1.当直线与圆相切时，k 有最值,答案：节2. ____________________ 设点 P(x, y)是圆：x 2+ (y — 3)2= 1 上的动点，定点 A(2,0), B( — 2,0)，则 貳—B 的最大值为 .解析：由题意，知工A = (2 — x, — y), "PB = (— 2—x, — y),所以"PY R 宜= x 2 + y 2 — 4,由于点P(x, y)是圆上的点，故其坐标满足方程x 2 + (y — 3)2= 1,故x 2=— (y — 3)2 + 1,所以"P1? = — (y — 3)2 + 1 + y 2 — 4 = 6y — 12易知 2<y<4,--- A -- A所以，当y= 4时，PA -B 的值最大，最大值为6X 4— 12= 12.答案：12 考点二直线与圆的综合问题［典例］已知直线1: 4x+ ay — 5= 0与直线I': x — 2y= 0相互垂直，圆C 的圆心与点(2,1)关于直线I 对称，且圆C 过点M(— 1,— 1).(1)求直线l 与圆C 的方程.n—•—2 =—1,m= 0,解得］.-0(0,0).n = 0,(2)过点M作两条直线分别与圆C交于P, Q两点，若直线MP，MQ的斜率满足k MP+ k MQ = 0,求证：直线P Q的斜率为1.［解］⑴•••直线1: 4x+ ay— 5 = 0与直线I' : x— 2y= 0相互垂直，•'4X 1 — 2a = 0,解得 a = 2.•••直线I的方程为4x+ 2y— 5 = 0.设圆C的圆心C的坐标为(m, n).•••圆心C(m, n)与点(2,1)关于直线I对称，m+2 n+1.4 X 2~ + 2 X ~2~ — 5 = 0,•••圆C 的半径 r = |CM|= 2.•••圆C的方程为x2 + y2= 2.(2)证明：设过点M的直线MP的斜率为k,则过点M的直线MQ的斜率为—k,直线MP的方程为y+ 1 = k(x+ 1).•••直线MP与圆C相交,y+1 = k(x+1,•联立得方程组(2 2lx2+y2=2,2 2 2消去 y 并整理，得(1 + k )x + 2k(k— 1)x+ k — 2k— 1 = 0.•••圆C 过点 M(— 1,— 1),2 2 k — 2k— 1 2k+ 1 — km—2同理，将k替换成—k,可得X Q =2—k2— 2k+1-xP•— 1)= 2 ，• xP= 21 + k 1+ k所以圆心C到直线x+y+ 2= 0的距离为|2+ 2|2 2,y Q — y p — k(X Q + 1)—1 — k(x p+ 1)+ 1 — k(X Q + X P厂 2k •'k pQ = = = = 1.X Q — X P X Q — X P X Q— X P[解题技法]直线与圆的综合问题的求解策略(1)利用解析几何的基本思想方法(即几何问题代数化)，把它转化为代数问题，通过代数的计算，使问题得到解决.(2)直线与圆和平面几何联系十分紧密，可充分考虑平面几何知识的运用，如在直线与圆相交的有关线段长度计算中，要把圆的半径、圆心到直线的距离、直线被圆截得的线段长度放到一起综合考虑.[专题训练]1.(优质试题全国卷川)直线X+ y+ 2 = 0分别与X轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(X — 2)2 + y2 = 2上，则△ ABP 面积的取值范围是( )A. [2,6] B . [4,8]C. L.2, 3 2]D. [2 2, 3 2]解析：选A 设圆(x— 2)2+ y2 = 2的圆心为C,半径为r，点P到直线x + y+ 2= 0的距离为d，则圆心 C(2,0)，r = .2,可得 d max= 2讥+ r = 3灵 ,d min = 2.2 — r = 2.由已知条件可得AB|= 2 2,1所以△ABP面积的最大值为2AB| d max= 6,1△XBP面积的最小值为2AB|d min = 2.综上，MBP面积的取值范围是[2,6].则圆心C到直线I的距离d= |2— 0+ m| |2+ m|2 = 22 2 CM2匸 d2 + 哆2,所以4=“ 2(2+ m)2 + 2,2.(优质试题湖北八校联考)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆 C: x2 + y2— 4x= 0及点 A( — 1,0), B(1,2).(1)若直线I平行于AB,与圆C相交于M , N两点，|MN| =AB|，求直线I的方程；2 2(2)在圆C上是否存在点P,使得|FA |+|PB匸12?若存在，求出点P的个数; 若不存在，说明理由.解：⑴因为圆C的标准方程为(x— 2)2+ y2 = 4,所以圆心C(2,0)，半径为2.因为 I /AB, A(— 1,0), B(1,2),2— 0所以直线1的斜率为C=1,设直线I的方程为x — y+ m= 0,因为 |MN匸 |AB|= 22+ 22 = 2 2,解得m= 0或m= — 4,故直线I的方程为x — y= 0或x— y— 4= 0.(2)假设圆 C 上存在点 P,设 P(x, y)，则(x— 2)2 + y2 = 4, |PA|2 + |PB|2= (x+1)2 + (y— 0)2 + (x— 1)2+ (y— 2)2= 12, 即卩 x2 + y2— 2y — 3 = 0, 即卩 x2+ (y — 1)2 =4, 因为 |2- 2|v ] 2— 02+ 0— 1 2< 2+ 2,所以圆(x— 2)2 + y2 = 4 与圆 x2+ (y— 1)2= 4 相交，所以存在点P,使得|PA|2 + |PBf= 12,点P的个数为2.即卫手宰、r.由基本不等式，得 严a 2r 三翕=近，当且仅当a 4= 1，即a =±时取 ［课时跟踪检测］1. 已知圆 C: x 2 + y 2 — 2x — 2my+ m 2— 3= 0 关于直线 I: x — y+ 1 = 0 对称， 则直线x=—1与圆C 的位置关系是()A .相切B .相交 C.相离D .不能确定解析：选A 由已知得C: (x — 1)2+ (y — m)2 = 4,即圆心C(1, m)，半径r =2,因为圆C 关于直线I: x — y+ 1 = 0对称，所以圆心(1, m)在直线I: x — y+ 1= 0上，所以 m= 2.由圆心C(1,2)到直线x= — 1的距离d= 1 + 1 = 2= r 知，直 线x= — 1与圆C 相切.故选A.2. 直线ax+ zy+ 2 = 0与圆x 2 + y 2= r 2相切，则圆的半径最大时，a 的值是a()A. 1 B . — 1C. ±D. a 可为任意非零实数一 1解析：选C 由题意得，圆心(0,0)到直线ax+ -y+ 2 = 0的距离等于半径r ，a等号.故选C.3. 与圆x 2 + y 2 + 2 2y+ 1 = 0相切，且在两坐标轴上截距相等的直线的条数为()A. 2B. 3C. 4D. 6解析：选B圆的标准方程为x 2 + (y+ ,2)2= 1，设切线方程为y= kx+ m ，B. ,21 "T则詈1,整理得(2+ m)2= k 2+ 1,又因为切线在两坐标轴上的截距相等,；k +1mf(>/2+ m k + 1，0,所以m 二—m ，联立方程得m解得或ki m — m,戶±k =—1, 、 、、 、所以切线方程为y=或y= — x —2 2,切线共有3条.m= — 2 2, 4.已知点P(x, y)是直线kx+ y+4 = 0(k>0)上一动点，PA, PB 是圆C: x 2+ y 2 — 2y= 0的两条切线，A, B 是切点，若四边形FACB 的最小面积是2,则k 的值为()A. 3 C. 2 .2解析：选D 圆C: x 2 + y 2— 2y= 0的圆心为(0,1)，半径r = 1.由圆的性质， 知S 四边形PACB = 2S PBC .T 四边形PACB 的最小面积是2, /S ZPBC 的最小值为1,则1 rd min = 1(d 是切线长)，「d min = 2. v 圆心到直线kx+ y+ 4= 0的距离就是PC 的最小 值，.•.|PC|min = 2= d +1 = 5.・.k>0,.°k = 2故选 D.W + k 25.(优质试题 赣州七校联考)已知圆C: x 2 + y 2— 2ax — 2by+ a 2 + b 2— 1= 0(av 0)的圆心在直线-3x —y+ 3= 0上，且圆C 上的点到直线 3x+ y= 0的距离的最大值为1+ .3,则a 2+ b 2的值为()1解析：直线l 的方程可变形为y=3ax+ 4,所以直线I 过定点 (0,4)，且该点在圆M 上.圆的方程可变形为x 2+ (y — 2)2 = 4,所以A. 1 B . 2C. 3D. 4解析：选C易知圆的标准方程为(x— a)2 + (y— b)2= 1,所以圆心为(a, b),由圆心在直线，3x— y+. 3= 0上，可得• 3a— b+ 3= 0,即b= . 3(a+ 1) ①.厂M3a+ b| 厂圆C上的点到直线3x+ y= 0的距离的最大值 d max= 1 + 2 =』3+ 1,3得|.3a+ b匸2 3 ②.由①②得|2a+ 1|= 2,又av0,所以a=—㊁，a2 +2 2a2 + 3(a+ 1)2= 3.6.已知实数x, y满足(x+ 5)2 + (y — 12)2= 25,那么x2+ y2的最小值为解析：由题意得寸x2+ y2= p(x- 0$+( y-0$表示点P(x, y)到原点的距离，所以-‘X + y的最小值表示圆(x+ 5) + (y — 12) = 25上一点到原点距离的最小值.又圆心(—5,12 )到原点的距离为 J — 5 2+ 122= 13,所以［X2 + y2的最小值为 13 — 5 = 8.答案：82 27.已知P(x, y)为圆(x— 2) + y = 1上的动点，贝U |3x + 4y — 3|的最大值为2 1解析：设 t= 3x + 4y— 3, 即卩 3x+ 4y — 3 — t = 0.由圆心(2,0)到直线 3x+ 4y— 3|6- 3—1|—1= 0 的距离 d= —21,\/32+ 42解得—2 w tw 8所以 |3x+4y— 3| max= 8.答案：88.(优质试题贵阳适应性考试)已知直线I: ax— 3y+ 12= 0与圆M : x2 + y2n圆心为M(0,2),半径为2•如图，因为/AMB = 3,所以△AMB是等边三角形，且边长为2,高为.3,即圆心M至U直线I的距离为•. 3,所以2= .3,解得ayj a + 9=± 3.答案：±_ 39.已知曲线C上任一点M(x, y)到点E - 1, 和直线a： y=—扌的距离相等，圆 D: (x—1)2 + Jy — *)= r2(r>0).(1)求曲线C的方程；(2)过点A( — 2,1)作曲线C的切线b,并与圆D相切，求半径r.解: (1)由题意得、(x+ 1 J + Jy—1J = y+ 4 .两边平方并整理，得y= (x+1)2.•••曲线C的方程为y= (x+ 1)2.2(2)由 y= (x+ 1)，得 y' = 2(x+ 1).•••点A( — 2,1)在抛物线C 上,•••切线b的斜率为y' |x=-2= — 2.•••切线b 的方程为 y— 1 = — 2(x+ 2),即卩 2x+y+ 3= 0.又直线b与圆D相切,•••圆心D 1, 2到直线b的距离等于半径,| 1, n—4y= 0相交于A, B两点，且/ AMB = 3,则实数a = ________________ .Y1+2 + 3I =诬V5 = 10 .10.已知过点A(1,0)且斜率为k的直线I与圆C:(x— 2)2+ (y— 3)2= 1交于M, N两点.(1)求 k的取值范围;2k 2+ 6k+ 129k 2 1 + k 2.(2) 1OM ON = 12,其中0为坐标原点，求|MN|.解：(1)设过点A(1,0)的直线与圆C 相切，显然当直线的斜率不存在时，直 线x= 1与圆C 相切.当直线的斜率存在时，设切线方程为 y= k o (x-1)，即k o x-y — k o = 0. •••圆C 的半径r= 1，|k o — 3|4•••圆心C(2,3)到切线的距离为.2— = 1,解得k o =3.屮0+13 •••过点A 且斜率为k 的直线I 与圆C 有两个交点，44••k >3，即k 的取值范围为3，+.2 2 2(2)将直线I 的方程y= k(x — 1)代入圆C 的方程，得(1 + k)x — (2k + 6k+ 4)x2+ k + 6k+ 12 = o.设 M(X 1，y 1)，N(X 2，y 2)，则22k 2 + 6k+ 4X 1 + x 2 =2 —，1 + k2 2•°y 1y 2= k (X 1 — 1)(x 2 — 1) = k (X 1X 2 — X 1 — X 2 + 1)=2—>—>1ok 2 + 6k+ 12•OM ON = X 1X 2 + y 1y 2=2= 12，解得 k= 3 或 k= o(舍去).1 + k•直线I 的方程为3x — y — 3= o.故圆心(2,3)在直线I上，•|MN|= 2r = 2.B级1.已知圆 M: (x—2)2 + (y — 2)2 = 2，圆 N: x2+ (y— 8)2 = 4o,经过原点的两直线l1，I2满足11丄12,且l1交圆M于不同两点A，B，I2交圆N于不同两点C，所以k的取值范围为2- 3,于D,记l i的斜率为k.(1)求 k的取值范围;(2)若四边形ABCD为梯形，求k的值.1 解：(1)显然 20,所以可设11的方程为y= kx,则12的方程为y=—只.|2k- 2| 厂依题意得点M到直线l1的距离d1= ------------------ 产 2.A/1 + k3 42整理，得 k — 4k + iv0,解得 2- .3v kv 2+ ,3.①同理，点N到直线12的距离d2= r8k^=2v 2屮0,■\/1 + k2解得-乎kv于②由①②可得2- 3v kv^5.3 2X1 X2 X4 X3 X1 + X2X3 + X4X2 X1 X3 X4 ' X1X2 X3X4 '全国名校高考数学复习优质学案考点专题汇编(附详解)所以X3 + X4=-抚，24k 2X 3X 4=2.将直线12的方程代入圆(2)设 A(x i , y i ), B(x 2, y 2), C(x 3, y 3), D(X 4, y 4).将直线l i 的方程代入圆M 的方程，得(1 + k 2)x 2-4(1 + k)x+ 6= 0,~ .4(1+ k)6所以 x 1 + X 2=2 , X 1X 2=2.1 + k1 + kN 的方程，得(1 + k 2)x 2 + 16kx+ 24k 2 = 0,由四边形ABCD 为梯形可得X = X 6,X 2 X 3所以—+ + 2 = —+ + 2,所以 =全国名校高考数学复习优质学案考点专题汇编(附详解)2 , 「2— 2 ,x— 2)+( y+4)y E — y F k X E— 1 — 3 + k X F— 1 + 3 X E—X F X E — X F —2k+ k X E + X FX E — X F13,故直线EF的斜率所以(1 + k)2= 4,解得k= 1或k= — 3(舍去).故k的值为1.2.(优质试题成都双流中学模拟)已知曲线C上任意一点到点A(1,— 2)的距离与到点B(2,— 4)的距离之比均为*.(1)求曲线C的方程;(2)设点P(1,— 3),过点P作两条相异的直线分别与曲线 C相交于E, F两点，且直线PE和直线PF的倾斜角互补，求线段 EF的最大值.■- i x— 1 + y + 2 2解：⑴设曲线C上的任意一点为Q(x,y),由题意得2整理得x2 + y2= 10,故曲线C(2)由题意知，直线PE和直线PF的斜率存在，且互为相反数，因为P(1,—3),故可设直线PE的方程为y+ 3— k(x— 1),联立方程得节3；" 7 ' 消[x2 + y2— 10,去 y 得(1 + k2)x2— 2k(k+ 3)x+ k2 + 6k— 1— 0,因为 P(1,— 3)在圆上，所以 x— 12 2k + 6k— 1 k — 6k— 1一定是该方程的解，故可得 x E— 2 —，同理可得 X F —厂，所以 k EF1 + k 1 + k7 1为定值一3设直线EF的方程为y——§x+ b,则圆C的圆心(0,0)到直线EF的全国名校高考数学复习优质学案考点专题汇编(附详解)所以当b — 0时，线段EF 取得最大值，最大值为2.10. 、基础知识距离d —平生，所以|EF 寸1 + 9 2 10-9b 2 辿 3 v b <10 3，1.直线与圆的位置关系(半径为r，圆心到直线的距离为d)2.圆与圆的位置关系(两圆半径为r i, r2, d= |O i O2|)二、常用结论(1)圆的切线方程常用结论①过圆x2 + y2 = r2上一点P(x o, y o)的圆的切线方程为x o x+ y o y= r2.②过圆(x-a)2 + (y- b)2 = r2上一点P(x o, y o)的圆的切线方程为(x o — a)(x- a)2+ (y o-b)(y- b) = r .③过圆x2 + y2 =r2外一点M(x o, y o)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x o x+y o y= r2.(2)直线被圆截得的弦长1 2 2“、弦心距d、弦长I的一半2及圆的半径r构成一直角三角形，且有r = d + ?1 2考点一直线与圆的位置关系全国名校高考数学复习优质学案考点专题汇编(附详解)考法(一)直线与圆的位置关系的判断［典例］直线I: mx— y+ 1 — m= 0与圆C:x2+ (y— 1)2= 5的位置关系是( )A •相交B •相切C •相离D •不确定mx— y+ 1 — m= 0,［解析］法一：由2 2［x +(y-1)= 5,消去 y,整理得(1 + m2)x2— 2m2x+ m2— 5 = 0,因为△= 16m2 + 20>0,所以直线I与圆相交.法二：由题意知，圆心(0,1)到直线I的距离d=<1< , 5，故直线I与寸m2+ 1圆相交.2 2 法三：直线I: mx— y+ 1 — m= 0过定点(1,1),因为点(1,1)在圆x + (y— 1)=5的内部，所以直线I与圆相交.［答案］A［解题技法］判断直线与圆的位置关系的常见方法(1)几何法：利用d与r的关系.(2)代数法：联立方程组，消元得一元二次方程之后利用△判断.(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交.［提醒］上述方法中最常用的是几何法.考法(二)直线与圆相切的问题［典例］(1)过点P(2,4)作圆(x— 1)2+ (y— 1)2= 1的切线，则切线方程为()A.3x+ 4y — 4 = 0B.4x— 3y+ 4 = 0C.x= 2 或 4x— 3y+ 4= 0全国名校高考数学复习优质学案考点专题汇编(附详解)D. y=4 或 3x + 4y— 4= 0(2)(优质试题成都摸底)已知圆C: x2 + y2— 2x— 4y+ 1 = 0上存在两点关于直线I: x+ my+ 1 = 0对称，经过点M(m, m)作圆C的切线，切点为P,则|MP|=［解析］(1)当斜率不存在时，x= 2与圆相切；当斜率存在时，设切线方程为|k — 1 + 4 — 2k| 4y— 4= k(x—2),即 kx— y+4 — 2k= 0,则 ---------------- =1,解得 k= 3，则切线方彳k2+ 1 3程为4x— 3y+ 4= 0,故切线方程为x = 2或4x— 3y + 4 = 0.2 2⑵圆C: x + y — 2x— 4y+ 1= 0的圆心为C(1,2)，半径为2.因为圆上存在两点关于直线I: x+ my+ 1 = 0对称，所以直线l: x+ my+ 1 = 0 过点(1,2)，所以 1+ 2m+ 1= 0,解得 m=— 1,所以 |MCf= 13, |MP|= ：13-4 = 3.［答案］(1)C (2)3考法(三)弦长问题ax+ by+ c= 0 被圆 x2 + y2 = 1 所截［典例］⑴若a2+ b2 = 2C2(CM0)，则直线得的弦长为A*D. 2(2)(优质试题海口一中模拟)设直线y=x+ 2a与圆C: x2 + y2— 2ay— 2= 0相交于A，B两点，若AB| = 2 .3,则圆C的面积为( )B. 2nD. 22 n［解析］⑴因为圆心(0,0)到直线ax+ by+ C= 0的距离d= / |C|=刁乩=寸a2 + b2伽誓j=¥，所以-2，因此根据直角三角形的关系，弦长的一半就等于 1—全国名校高考数学复习优质学案考点专题汇编(附详解)弦长为2.(2)易知圆C: x8 9 + y2— 2ay-2= 0的圆心为(0, a)，半径为-''a2+ 2.圆心(0,lai 2 2a)到直线y= x+ 2a的距离d = ，由直线y= x+ 2a与圆C: x + y — 2ay— 2 = 02相交于A, B两点，|AB|= 2 .3,可得+ 3= a2 + 2,解得a2= 2,故圆C的半径为2,所以圆C的面积为4n故选A.［答案］⑴D (2)A［专题训练］1 •已知圆的方程是x2 + y2= 1,则经过圆上一点皿于，于的切线方程是解析：因为M于，2是圆x2 + y2= 1上的点，所以圆的切线的斜率为一1,则设切线方程为x+ y+ a= 0,所以今+今+ a = 0,得a=—.2,故切线方程为x+ y— 2 = 0.答案：x+ y—. 2= 09 若直线kx— y+ 2= 0与圆x2 + y2— 2x — 3= 0没有公共点，则实数k的取值范围是 __________ .解析：由题知，圆x2 + y2— 2x— 3 = 0可写成(x— 1)2+ y2 = 4,圆心(1,0)到直|k+ 2| 4线 kx— y+ 2 = 0 的距离 d>2,即，>2,解得 0vkv$.V k2+1 3答案：0，3解析：因为点A, B关于直线I: x+y= 0对称，所以直线y= kx+ 1的斜率k =1,即y=x+ 1.又圆心i— 1, m在直线I: x+ y= 0上，所以m= 2,则圆心的坐标为(—1,1),半径r = 2,所以圆心到直线y=x+ 1的距离d=¥，所以|AB|= 2 ；r2— d2= .6.答案：6考点二圆与圆的位置关系［典例］(优质试题山东高考)已知圆M : x2 + y2— 2ay= 0(a>0)截直线x+y 二0所得线段的长度是2.2,则圆M与圆N: (x— 1)2+ (y— 1)2= 1的位置关系是()A •内切B •相交C •外切D •相离x2 + y2— 2ay= 0,［解析］法一：由 x+ y= 0,得两交点为(0,0), (— a, a).•••圆M截直线所得线段长度为2 2,•'：；：.、：■：a + — a j = 2\:.2.2 2又 a>0,「a= 2. A圆M 的方程为 x + y — 4y= 0,即 x2+ (y — 2)2 = 4,圆心 M(0,2)，半径 r1 = 2.又圆 N: (x— 1)2+ (y— 1)2= 1,圆心 N(1,1),半径匕=1,JMN匸'0— 1 2 + 2— 1 2= 2.•.“一「2= 1, r1 + r2= 3,1<|MN|<3,A两圆相交.法二：由题知圆M : x2+ (y— a)2 = a2(a>0),圆心(0, a)到直线x+y= 0的距离d=；，所以2 a2—；二2 .2,解得a= 2•圆M，圆N的圆心距|MN|=・2, 两圆半径之差为1两圆半径之和为3,故两圆相交.［答案］B［变透练清］1. (优质试题太原模拟)若圆C i: x2 + 1与圆C2: x2 + y— 6x — 8y+ m= 0 外切，则m=()A. 21B. 19C. 9 D . — 11解析：选C 圆C1的圆心为C1(0,0)，半径「1 = 1,因为圆C2的方程可化为 (x— 3)2 + (y—4)2= 25— m,所以圆 C2 的圆心为 C2(3,4)，半径「2= 25— m(mv 25).从而 C1C2|=」32 + 42= 5•由两圆外切得 |C1C2|=「1 +「2,即卩 1+ 25— m= 5, 解得m= 9,故选C.2.(变结论若本例两圆的方程不变，则两圆的公共弦长为 ______________ .…一“、,、一fx2 + y2— 4y= 0,解析：联立两圆方程 2 2两式相减得，2x— 2y — 1 = 0,［(x—1) + ( y—1) = 1,I—1| y［2因为N(1,1), r = 1,则点N到直线2x — 2y— 1 = 0的距离d= 2一2=広，故公共弦长为2寸1 -乎f =学答案：―4［解题技法］几何法判断圆与圆的位置关系的 3步骤C. 3 解析：选B(1) 确定两圆的圆心坐标和半径长；(2) 利用平面内两点间的距离公式求出圆心距 d,求n +匕，『1 —匕|； ⑶比较d, r 1+ r 2,『1 —呵的大小，写出结论.［课时跟踪检测］1.若直线2x+ y+ a= 0与圆x 2 + y 2 + 2x — 4y= 0相切，则a 的值为()A. ± 5D. ±3圆的方程可化为(x+ 1)2+ (y — 2)2= 5,因为直线与圆相切，所以有曇=75，即 a= ±5.故选 B.2.与圆C i ： x 2 + y 2— 6x+ 4y+ 12= 0, C 2： x 2 + y 2— 14x — 2y+ 14= 0 都相切的直线有 C. 3条 解析：选A两圆分别化为标准形式为 C 1： (x — 3)2 + (y+ 2)2= 1, C 2： (x — 7)2+ (y — 1)2 = 36,则两圆圆心距|C 1C 2|=「7 — 3 2+ [1 —— 2 ]2= 5,等于两圆半 径差，故两圆内切.所以它们只有一条公切线.故选 A. 3.(优质试题 南宁、梧州联考)直线y= kx+ 3被圆(x — 2)2 + (y — 3)2 = 4截得 的弦长为2 3，则直线的倾斜角为()n. 5 nA ・6或石n-nB . — 3或 33. 设直线y= kx+ 1与圆x2 + y2 + 2x— my= 0相交于A, B两点，若点A, B 关于直线I: x+ y= 0对称，则AB| = ______________ .。
重难点突破：直线与圆中最值问题全梳理
3
例题 4： 点 M x, y 在曲线 C ： x2 4x y2 21 0 上运动，t x2 +y2 12x 12 y 150 a ，且 t 的最
大值为
b
，若
a,
b
R
，则
a
1
1
1 b
的最小值为（
）
当 ，即 P 1, 0 时等号成立.故选： D .
【小结】本题考查了向量的计算，建立直角坐标系利用坐标计算是解题的关键.
1
例题 2： 已知在平面直角坐标系 xOy 中， O 为坐标原点， A0, 2 ， OB 2 OA 2 20 ，若平面内点 P 满
足 PB
3PA ，则
PO
的最大值为（
【解析】 x2 y2 4x 2 y 1 0 ，即 x 22 y 12 4 ，圆心为 2, 1 ，半径为 2 .弦长为 4 ，则
直线过圆心，即 2a 2b 4 0 ，即 a b 2 . a2 b2 a b2 2ab a b2 a b2 2 ，当
2 a b 1 时等号成立.故选： B .
5
题型五 直线与圆与三角函数结合的最值问题
例题 6： 已知 A xA, yA 是圆心为坐标原点 O ，半径为 1 的圆上的任意一点，将射线 OA 绕点 O 逆时针旋转
2 到 OB 交圆于点 B
3
xB, yB
，则 2 yA yB 的最大值为（
）
A．3
B．2
C． 3
D． 5
【分析】设射线
OA
BM AB BF AB AF 1，从而可得结果.
【解析】因为 C : x 12 y2 4 的圆心 1, 0 ，所以，可得以 1, 0 为焦点的抛物线方程为 y2 4x ，
2024高考数学常考题型 第18讲 直线与圆常考6种题型总结(解析板)
第18讲直线与圆常考6种题型总结【考点分析】考点一：圆的定义：在平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆考点二：圆的标准方程设圆心的坐标()C a b ，，半径为r ，则圆的标准方程为：()()222x a y b r -+-=考点三：圆的一般方程圆的一般方程为220x y Dx Ey F ++++=，圆心坐标：()22D E --，，半径：r =注意：①对于F E D 、、的取值要求：2240D E F +->当2240D E F +-=时，方程只有实数解22D E x y =-=-，．它表示一个点()22D E--，当2240D E F +-<时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．②二元二次方程220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=，表示圆的充要条件是22040A C B D E AF =≠⎧⎪=⎨⎪+->⎩考点四：以1122()()A x y B x y ，，，为直径端点的圆的方程为1212()()()()0x x x x y y y y -⋅-+--=考点五：阿波罗尼斯圆设A B ，为平面上相异两定点，且||2(0)AB a a =>，P 为平面上异于A B ，一动点且||||PA PB λ=（0λ>且1λ≠）则P 点轨迹为圆.考点六：直线与圆的位置关系设圆心到直线的距离d ，圆的半径为r ，则直线与圆的位置关系几何意义代数意义公共点的个数①直线与圆相交r d <0>∆两个②直线与圆相切r d =0=∆一个③直线与圆相离r d >0<∆0个注：代数法：联立直线方程与圆方程，得到关于x 的一元二次方程2Ax Bx C ++=考点七：直线与圆相交的弦长问题法一：设圆心到直线的距离d ，圆的半径为r ，则弦长222d r AB -=法二：联立直线方程与圆方程，得到关于x 的一元二次方程20Ax Bx C ++=，利用韦达定理，弦长公式即可【题型目录】题型一：圆的方程题型二：直线与圆的位置关系题型三：直线与圆的弦长问题题型四：圆中的切线切线长和切点弦问题题型五：圆中最值问题题型六：圆与圆的位置关系问题【典型例题】题型一：圆的方程【例1】AOB 顶点坐标分别为()2,0A ，()0,4B ，()0,0O ．则AOB 外接圆的标准方程为______．【答案】()()22125x y -+-=【解析】设圆的标准方程为()()222x a y b r -+-=，因为过点()2,0A ，()0,4B ，()0,0O 所以()()()()()()222222222200400a b r a b r a b r ⎧-+-=⎪⎪-+-=⎨⎪-+-=⎪⎩解得2125a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩则圆的标准方程为()()22125x y -+-=故答案为：()()22125x y -+-=【例2】已知圆22(1)(2)4x y +++=关于直线()200,0ax by a b ++=>>对称，则12a b+的最小值为（）A ．52B ．92C ．4D ．8故选：B【例3】过点(1,1),(3,5)A B -，且圆心在直线220x y ++=上的圆的方程为_______．【例4】设甲：实数3a <；乙：方程2230x y x y a +-++=是圆，则甲是乙的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【例5】苏州有很多圆拱的悬索拱桥（如寒山桥），经测得某圆拱索桥（如图）的跨度100AB =米，拱高10OP =米，在建造圆拱桥时每隔5米需用一根支柱支撑，则与OP 相距30米的支柱MN 的高度是（）米.（注意：≈3.162）A ．6.48B ．5.48C ．4.48D ．3.48【答案】A【解析】以O 为原点,以AB 所在直线为x 轴,以OP 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系.设圆心坐标为（0，a ），则P (0,10),A (-50,0).可设圆拱所在圆的方程为()222x y a r +-=,由题意可得：()()222221050a r a r ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩解得：2120,16900a r =-=.所以所求圆的方程为()2212016900x y ++=.将x =-30代入圆方程,得:()290012016900y ++=,因为y >0,所以12040 3.162120 6.48y =≈⨯-=.故选：A.【例6】阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过这样一个命题：在平面内到两定点距离之比为常数(0,1)k k k >≠的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点A ，B 间的距离为2，动点P 满足||||PA PB =，则PAB △面积的最大值是（）AB ．2C．D ．4【答案】C【解析】设经过点A ，B 的直线为x 轴，AB的方向为x 轴正方向，线段AB 的垂直平分线为y 轴，线段AB 的中点O 为原点，建立平面直角坐标系.则()1,0A -，()10B ,．设(),P x y，∵PA PB==两边平方并整理得22610x y x +-+=，即()2238x y -+=．要使PAB △的面积最大，只需点P到AB （x 轴）的距离最大时，此时面积为122⨯⨯故选：C.【题型专练】1．设点M 在直线210x y +-=上，点(3,0)和(0,1)均在M 上，则M 的方程为______________．2.经过三个点00()(02)()0A B C -,,,,的圆的方程为（）A ．(()2212x y ++=B ．(()2212x y +-=C ．(()2214x y ++=D ．(()2214x y +-=中的三点的一个圆的方程为____________．【答案】22420x y x y +--=或22460x y x y +--=或22814033x y x y +--=或2216162055x y x y +---=（答案不唯一，填其中一个即可）【解析】设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=若圆过(0,0)，(4,0)，(4,2)三点，则0164020420F D F D E F =⎧⎪++=⎨⎪+++=⎩，解得420D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，故圆的方程为22420x y x y +--=；若圆过(0,0)，(4,0)，(1,1)-三点，则0164020F D F D E F =⎧⎪++=⎨⎪-++=⎩，解得460D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，故圆的方程为22460x y x y +--=；若圆过(0,0)，(1,1)-，(4,2)三点，则02020420F D E F D E F =⎧⎪-++=⎨⎪+++=⎩，解得831430D E F ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩，故圆的方程为22814033x y x y +--=；若圆过(4,0)，(1,1)-，(4,2)三点，则16402020420D F D E F D E F ++=⎧⎪-++=⎨⎪+++=⎩，解得1652165D E F ⎧=-⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎩，故圆的方程为2216162055x y x y +---=.4.已知“m t ≤”是“220x y m ++=”表示圆的必要不充分条件，则实数t 的取值范围是（）A ．()1,-+∞B ．[)1,+∞C ．(),1-∞D ．(),1-∞-5.若两定点()1,0A ，()4,0B ，动点M 满足2MA MB =，则动点M 的轨迹围成区域的面积为（）．A ．2πB ．5πC ．3πD ．4π6.古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两定点A ，B 的距离之比为定值λ（λ≠1）的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系xOy 中，A （－2，0），B （4，0），点P 满足PA PB＝12.设点P 的轨迹为C ，则下列结论正确的是（）A ．轨迹C 的方程为（x ＋4）2＋y 2＝9B ．在x 轴上存在异于A ，B 的两点D ，E 使得PD PE＝12C ．当A ，B ，P 三点不共线时，射线PO 是∠APB 的平分线D ．在C 上存在点M ，使得2MO MA =【答案】BC【分析】根据阿波罗尼斯圆的定义，结合两点间距离公式逐一判断即可.MA MO，则在O，A，M三点所能构成7．已知动点M与两个定点O（0，0），A（3，0）的距离满足2=的三角形中面积的最大值是（）A．1B．2C．3D．4易知90MBO ∠=︒时，MOA S △取得最大值3．故选：C ．题型二：直线与圆的位置关系【例1】直线:10l kx y k -+-=与圆223x y +=的位置关系是（）A ．相交B ．相离C ．相切D ．无法确定【例2】（黑龙江哈尔滨市）若过点()4,3A 的直线l 与曲线()()22231x y -+-=有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为（）A ．⎡⎣B ．(C ．,33⎡-⎢⎣⎦D ．,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】由题意知，直线的斜率存在，设直线的斜率为k ，则直线方程为()43-=-x k y ，即043=-+-k y kx ，圆心为()3,2，半径为1，所以圆心到直线得距离1211433222+≤-⇒≤+-+-=k k k kk d ，解得3333≤≤-k【例3】直线:20l kx y --=与曲线1C x -只有一个公共点，则实数k 范围是（）A ．(3,)(,3)+∞-∞- B ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．4(2,4]3⎧⎫⎨⎬D ．(-由图知，当24k <≤或故选：C【例4】已知直线2:0l ax by r +-=与圆222:C x y r +=，点(),A a b ，则下列说法正确的是（）A ．若点A 在圆C 上，则直线l 与圆C 相切B ．若点A 在圆C 内，则直线l 与圆C 相交C ．若点A 在圆C 外，则直线l 与圆C 相离D ．若点A 在直线l 上，则直线l 与圆C 相切【答案】AD【分析】根据直线与圆的位置关系相应条件判断即可．【题型专练】1.直线():120l kx y k k R -++=∈与圆22:5C x y+=的公共点个数为（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．1个或2个【答案】D【解析】将直线l 变形为()012=+-+y x k ，令⎩⎨⎧=+-=+0102y x ，解得⎩⎨⎧=-=12y x ，所以直线过定点()1,2-P ，因为()51222=+-，所以点P 在圆上，所以直线与圆相切或者相交2.已知关于x 的方程2(3)1k x ++有两个不同的实数根，则实数k 的范围______.当直线与半圆相切时，圆心O 到直线1l 的距离d 解得：13265k -=（舍），或13265k +=当直线过点(2,0)-时，可求得直线2l 的斜率2k =则利用图像得：实数k 的范围为3261,5⎡⎫+⎪⎢⎪⎣⎭故答案为：3261,5⎡⎫+⎪⎢⎪⎣⎭3.（2022全国新高考2卷）设点A (－2，3)，B (0(x ＋3)2＋(y ＋2)2＝1有公共点，则a 的取值范围为_______．【答案】13,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】()2,3A -关于y a =对称的点的坐标为()2,23A a '--，()0,B a 在直线y a =上，所以A B '所在直线即为直线l ，所以直线l 为32a y x a -=+-，即()3220a x y a -+-=；圆()()22:321C x y +++=，圆心()3,2C --，半径1r =，依题意圆心到直线l 的距离1d =≤，即()()2225532a a -≤-+，解得1332a ≤≤，即13,32a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦；故答案为：13,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦题型三：直线与圆的弦长问题【例1】已知圆C ：()()22210x y a a +-=>与直线l ：x -y -1=0相交于A ，B 两点，若△ABC 的面积为2，则圆C 的面积为（）A ．πB ．2πC ．4πD ．6π【答案】C 【解析】如图，由圆C 方程可知圆心()0,1C ，半径为a ，由点到直线的距离公式可知圆心C到直线l 的距离d =又△ABC 的面积为11222S AB d =⋅==，解得AB =2222a ⎛+= ⎝⎭，则a =2，即圆C 的半径为2.则圆C 的面积为24S a ππ==.故选：C.【例2】已知圆22:60M x y x +-=，过点()1,2的直线1l ，2l ，…，()*n l n ∈N 被该圆M 截得的弦长依次为1a ，2a ，…，n a ，若1a ，2a ，…，n a 是公差为13的等差数列，则n 的最大值是（）A ．10B ．11C ．12D ．13【答案】D【分析】求出弦长的最小和最大值，根据等差数列的关系即可求出n 的最大值此时，直线DE 的解析式为：3y x =-+直线BC 的解析式为：=+1y x 圆心到弦BC 所在直线的距离：AM 连接BM ,由勾股定理得，()22=322=1AB -x y+=交于,A B两点，过,A B分别作l的垂线与x轴交于【例3】已知直线:10l mx y+--=与圆2216,C D两点，则当AB最小时，CD=（）A．4B．C．8D．故选：D【例4】（多选题）若直线l 经过点0(3,1)P -，且被圆2282120x y x y +--+=截得的弦长为4，则l 的方程可能是（）A ．3x =B ．3y =C ．34130x y --=D ．43150x y --=【题型专练】1.直线:l y x m =+与圆224x y +=相交于A ，B 两点，若AB ≥m 的取值范围为（）A ．[]22-,B ．⎡⎣C ．[]1,1-D ．,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【解析】令圆224x y +=的圆心(0,0)O 到直线l 的距离为d ，而圆半径为2r =，弦AB 长满足AB ≥，则有1d =，又d =1≤，解得m ≤≤所以实数m 的取值范围为⎡⎣.故选：B2.在圆22420x y x y +-+=内，过点()1,0E 的最长弦和最短弦分别是AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】圆22420x y x y +-+=化简为22(2)(1)5x y -++=可得圆心为(2,1),r -=易知过点()1,0E 的最长弦为直径，即||AC =而最短弦为过()1,0E 与AC 垂直的弦，圆心(2,1)-到()1,0E 的距离：d ==所以弦||BD ==所以四边形ABCD 的面积：12S AC BD =⋅=故选：D.3.若直线1y kx =+与圆221x y +=相交于B A ,两点，且60AOB ∠= (其中O 为原点)，则k 的值为（）A ．3-或3B ．3C ．D 4.直线l ：()()2110m x m y -+-+=与圆C ：2260x x y -+=相交于A ，B 两点，则AB 的最小值是（）A ．B ．2C ．D ．4【答案】D【解析】分别取1,2m m ==，则1010x y -+=⎧⎨-+=⎩，得11x y =⎧⎨=⎩，即直线l 过定点(1,1)P ，将圆C 化为标准方程：22(3)9x y -+=，圆心为(3,0)，半径3r =.如图，因为AB =，所以当圆心到直线距离最大时AB 最小.当CP 不垂直直线l 时，总有d CP <，故当CP l ⊥时AB 最小，因为CP =所以AB的最小值为4=.故选：D题型四：圆中的切线切线长和切点弦问题【例1】直线l 过点(2,1)且与圆22:(1)9C x y ++=相切，则直线l 的方程为______________．【例2】已知圆C ：228240x y y +--+=，且圆外有一点()0,2P ，过点P 作圆C 的两条切线，且切点分别为A ，B ，则AB =______.【例3】点P 在圆C ：()()22334x y -+-=上，()2,0A ，()0,1B ，则PBA ∠最大时，PB =___________.【答案】3【分析】根据题意PBA ∠最大时，直线【详解】点P 在圆C ：()23x -+如图将BA 绕点B 沿逆时针方向旋转，当刚好与圆当旋转到与圆相切于点2P 时，∠【例4】过点()2,1P 作圆O ：221x y +=的切线，切点分别为,A B ，则下列说法正确的是（）A．PA B ．四边形PAOB 的外接圆方程为222x y x y +=+C ．直线AB 方程为21y x =-+D ．三角形PAB 的面积为85【题型专练】1.过点(0,2)作与圆2220x y x +-=相切的直线l ，则直线l 的方程为（）A ．3480x y -+=B ．3480x y +-=C ．0x =D ．1x =2.直线40x y +-=平分圆222:2250C x y bx by b +---+=的周长，过点()1,P b --作圆C 的一条切线，切点为Q ，则PQ =（）A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】B【详解】圆222:2250C x y bx by b +---+=的圆心为(,)C b b ，半径为r =因为直线40x y +-=平分圆222:2250C x y bx by b +---+=的周长，所以直线40x y +-=经过(,)C b b ，所以40b b +-=，故2b =，由已知()1,2P --，(2,2)C ，||PC ，圆的半径为3，所以4PQ =，故选：B.3.过点(2,2)P 作圆224x y +=的两条切线，切点分别为A 、B ，则直线AB 的方程为_______．【答案】2+-x y 0=【分析】由题知()0,2A 、()2,0B ，进而求解方程即可.【详解】解：方法1：由题知，圆224x y +=的圆心为()0,0，半径为2r =，所以过点(2,2)P 作圆224x y +=的两条切线，切点分别为()0,2A 、()2,0B ，所以1AB k =-，所以直线AB 的方程为2y x =-+，即2+-x y ；方法2：设()11,A x y ，()22,B x y ，则由2211111142.12x y y y x x ⎧+=⎪-⎨=-⎪-⎩，可得112x y +=，同理可得222x y +=，所以直线AB 的方程为2+-x y 0=.故答案为：2+-x y 题型五：圆中最值问题【例1】已知l ：4y x =+，分别交x ，y 轴于A ，B 两点，P 在圆C ：224x y +=上运动，则PAB △面积的最大值为（）A ．82-B ．1682-C ．842+D ．162+【答案】C 【解析】如图所示，以AB 为底边，则PAB △面积最大等价于点P 到l 距离最大，而点P 到l 距离最大值等于O 到l 的距离加半径看，O 到l 的距离422d =O 的半径2r =，()4,0A -，()0,4B ，则42AB =PAB △面积的最大值为()14222822⨯=+故选：C【例2】已知点P 是圆()()2241625x y -+-=上的点，点Q 是直线0x y -=上的点，点R 是直线125240x y -+=上的点，则PQ QR +的最小值为（）A ．7B ．335C ．6D ．295【答案】B【分析】设圆心()1,6C ，记点()6,1E ，作圆()()224:1625C x y -+-=关于直线0x y -=的对称圆()()224:6125E x y -+-=，计算出圆心E 到直线125240x y -+=的距离d ，结合对称性可得出PQ QR +的最小值为25d -，即可得解.【详解】设圆心()1,6C ，记点()6,1E ，作圆()()224:1625C x y -+-=关于直线0x y -=的对称圆()()224:6125E x y -+-=，由对称性可知CQ EQ =，点E 到直线125240x y -+=的距离为()221265247125d ⨯-+==+-，【例3】已知直线:320l x y ++=与x 、轴的交点分别为A 、B ，且直线1:310l mx y m --+=与直线2:310l x my m +--=相交于点P ，则PAB 面积的最大值是（）A ．103+B ．103+C D【例4】已知圆()()22:254C x y -+-=的圆心为C ，T 为直线220x y --=上的动点，过点T 作圆C 的切线，切点为M ，则TM TC ⋅的最小值为（）A ．10B ．16C ．18D ．20()2TM TC TC CM TC TC CM ⋅=+⋅=+ CM TM ⊥ ，CM CT CM CT ∴⋅=⋅ 24TM TC TC ∴⋅=- ，【例5】已知复数z 满足1i 1z +-=（i 为虚数单位），则z 的最大值为（）A ．2B 1C 1D ．1【答案】B【解析】令i z x y =+，x ，y ∈R ，则()1i 11i 1z x y +-=++-=，即()()22111x y ++-=，表示点(),x y 与点()1,1-距离为1的点集，此时，i z x y =-()()22111x y ++-=上点到原点距离，所以z 的最大值，即为圆上点到原点的距离的最大值，，且半径为1，1．故选：B ．【例6】若0x =，则2yx -的取值范围为【答案】11[,]22-【解析】因为0x +=x =-所以()2210x y x +=≤如图，此方程表示的是圆心在原点，半径为1的半圆,2yx -的几何意义是点(),x y 与点()2,0连线的斜率如图，()()0,1,0,1A B -，()2,0P101022PA k -==--，101022PB k --==-所以2y x -的取值范围为11[,]22-故选：D【例】AB 为⊙C ：(x －2)2＋(y －4)2＝25的一条弦，6AB =，若点P 为⊙C 上一动点，则PA PB ⋅的取值范围是（）A ．[0，100]B ．[－12，48]C ．[－9，64]D ．[－8，72]【答案】D 【解析】【分析】取AB 中点为Q ,利用数量积的运算性质可得2||9PA PB PQ ⋅=- ，再利用圆的性质可得||PQ 取值范围，即求.【详解】取AB 中点为Q ，连接PQ2PA PB PQ ∴+= ，PA PB BA -= 221()()4PA PB PA PB PA PB ⎡⎤∴⋅=+--⎣⎦ 2214||||4PQ BA ⎡⎤=-⎣⎦ ，又||6BA = ，4CQ =2||9PA PB PQ ∴⋅=-，∵点P 为⊙C 上一动点，∴max min ||9,|5|15PQ Q P C Q Q C =+=-==PA PB ∴⋅的取值范围[－8，72].故选：D.【题型专练】1．直线20x y +-=分别与x 轴，y 轴交于,A B 两点，点P 在圆22(2)2x y ++=上，则ABP 面积的取值范围是（）A ．[]2,6B ．[]4,8C ．D ．⎡⎣2.（多选题）已知点P 在圆O :224x y +=上,直线l :43120x y +-=分别与x 轴,轴交于,A B 两点,则（）A ．过点B 作圆O 的切线,则切线长为B ．满足0PA PB ⋅=的点P 有3个C ．点P 到直线l 距离的最大值为225D ．PA PB +的最小值是1【答案】ACD【分析】对于A,根据勾股定理求解即可;对于B,0PA PB ⋅=即PA PB ⊥,所以点P 在以AB 为直径的圆上,设AB 的中点为M ,写出圆M 的方程,根据两个圆的交点个数即可判断正误;对于C,根据圆上一点到直线的最大3．已知动点A ，B 分别在圆1C ：()2221x y ++=和圆2C ：()2244x y -+=上，动点P 在直线10x y -+=上，则PA PB +的最小值是_______【答案】3-##3-+如图，设点()10,2C -关于直线10x y -+=对称的点为()030,C x y ，所以，00002121022y x x y +⎧=-⎪⎪⎨-⎛⎫⎪-+= ⎪⎪⎝⎭⎩，解得003,1x y =-=，即()33,1C -，所以，3252C C =所以，32523PA B C P C r R --+=-≥，即PA PB +的最小值是523-.故答案为：523-4．过直线3450x y +-=上的一点P 向圆()()22344x y -+-=作两条切线12l l ，．设1l 与2l 的夹角为θ，则θ的最大值为______．【答案】π3##60︒【分析】由题可得圆心为()3,4C ，半径为2，设12l l ，与圆C 切于,A B ，根据圆的性质结合条件可得1sin sin22APC θ∠=≤，进而即得.【详解】由()()22344x y -+-=，可得圆心为()3,4C ，半径为2，设12l l ，与圆C 切于,A B ，则2APB APC θ=∠=∠，在Rt APC △中，2AC =，2sin sin 2CA APC CP CPθ∠===又()3,4C 到直线3450x y +-=的距离为223344534⨯+⨯-+所以4CP ≥，1sin sin22APC θ∠=≤，所以APC ∠的最大值为π6，即θ的最大值为π3.故答案为：π3.5．已知圆22:410,+--=M x y x (),P x y 是圆M 上的动点，则3t x =+的最大值为_________；22x y +的最小值为____________．6.18世纪末，挪威测量学家维塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如z OZ =，也即复数z 的模的几何意义为z 对应的点Z 到原点的距离．已知复数z 满足2z =，则34i z --的最大值为（）A ．3B ．5C ．7D ．9【答案】C【解析】2z = ，z ∴对应的点(),Z x y 的轨迹为圆224x y +=；34i z -- 的几何意义为点(),Z x y 到点()3,4的距离，max 34i 27z ∴--==.故选：C.题型六：圆与圆的位置关系问题【例1】已知圆221:1C x y +=与圆222:(3)(4)4C x y -+-=，则圆1C 与2C 的位置关系是（）A ．内含B ．相交C ．外切D ．相离【例2】已知点P 在圆O ：224x y +=上，点()30A -,，()0,4B ，满足AP BP ⊥的点P 的个数为（）A ．3B ．2C ．1D ．0【答案】B【解析】【分析】设(,)P x y ，轨迹AP BP ⊥ 可得点P 的轨迹方程，即可判断该轨迹与圆的交点个数.设点(,)P x y ，则224x y +=，且(3,)(,4)AP x y BP x y =+=- ，，由AP BP ⊥，得22(3)(4)340AP BP x x y y x y x y ⋅=++-=++-= ，即22325()(2)24x y ++-=，故点P 的轨迹为一个圆心为3(,2)2-、半径为52的圆，则两圆的圆心距为52，半径和为59222+=，半径差为51222-=，有159222<<，所以两圆相交，满足这样的点P 有2个.故选：B.【例3】圆221:22260O x y x y +---=与圆222:820O x y y +--=的公共弦长为（）A ．B ．C ．D ．【例4】已知圆C ：()()22681x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则m 的最大值为（）A ．12B ．11C ．10D ．9【答案】B【分析】由题意得P 点轨迹，转化为有交点问题【详解】90APB ∠=︒，记AB 中点为O ，则||OP m =，故P 点的轨迹是以原点为圆心，m 为半径的圆，又P 在圆C 上，所以两圆有交点，则|1|||1m OC m -≤≤+，而||10OC =，得911m ≤≤．故选：B【题型专练】1．写出与圆221x y +=和圆()2264x y -+=都相切的一条直线的方程______.2.（2022全国新高考1卷）写出与圆x 2＋y 2＝1和(x －3)2＋(y －4)2＝16都相切的一条直线的方程_______．【答案】3544y x =-+或7252424y x =-或1x =-【解析】【分析】先判断两圆位置关系，分情况讨论即可.【详解】圆221x y +=的圆心为()0,0O ，半径为1，圆22(3)(4)16x y -+-=的圆心1O 为(3,4)，半径为4，5=，等于两圆半径之和，故两圆外切，如图，当切线为l 时，因为143OO k =，所以34l k =-，设方程为3(0)4y x t t =-+>O 到l 的距离1d ==，解得54t =，所以l 的方程为3544y x =-+，当切线为m 时，设直线方程为0kx y p ++=，其中0p >，0k <，由题意14⎧=⎪⎪=，解得7242524k p ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，7252424y x =-当切线为n 时，易知切线方程为1x =-，故答案为：3544y x =-+或7252424y x =-或1x =-.3.（多选题）圆221:20x y x O +-=和圆222:240O x y x y ++-=的交点为A ，B ，则有（）A ．公共弦AB 所在直线的方程为0x y -=B ．公共弦AB 所在直线的方程为10x y +-=C ．公共弦ABD ．P 为圆1O 上一动点，则P 到直线AB 14.已知点()()2,3,5,1A B -，则满足点A 到直线l 的距离为1，点B 到直线l 距离为3的直线l 的条数有（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】【分析】以A 为圆心，1为半径，B 为圆心，3为半径分别画圆，将所求转化为求圆A 与圆B 的公切线条数，判断两圆的位置关系，从而得公切线条数.【详解】以A 为圆心，1为半径，B 为圆心，3为半径分别画圆，如图所示，由题意，满足点A 到直线l 的距离为1，点B 到直线l 距离为3的直线l 的条数即为圆A 与圆B 的公切线条数，因为513AB ==>+，所以两圆外离，所以两圆的公切线有4条，即满足条件的直线l 有4条.故选：D5.已知圆()()221:111C x y -++=，圆()()222:459C x y -+-=，点M 、N 分别是圆1C 、圆2C 上的动点，点P 为x 轴上的动点，则PN PM -的最大值是（）A ．4B ．9C ．7D ．2【答案】B【解析】【分析】分析可知()21max 4PN PM PC PC -=-+，设点()24,5C 关于x 轴的对称点为()24,5C '-，可得出22PC PC '=，求出21PC PC '-的最大值，即可得解.【详解】圆()()221:111C x y -++=的圆心为()11,1C -，半径为1，圆()()222:459C x y -+-=的圆心为()24,5C ，半径为3．()max min max PN PM PN PM -=- ，又2max 3PN PC =+，1min 1PMPC =-，()()()2121max 314PN PM PC PC PC PC ∴-=+--=-+．点()24,5C 关于x 轴的对称点为()24,5C '-，2121125PC PC PC PC C C ''-=-≤==，所以，()max 549PN PM -=+=，故选：B ．。
2.5直线与圆的位置关系(解析版)
2.5直线与圆的位置关系【推本溯源】1.回顾一下点与圆的位置关系，那么直线与圆有几种关系呢？点在圆内，点在圆上，点在圆外；直线与圆的位置关系：2.2.点与圆的位置关系我们是用点到圆心距离与半径比较，那直线与圆的位置关系怎么表示出来？设圆心到直线的距离为r当d ＜r 时，相交；当d=r 时，相切；当d ＞r 时，相离。
同样地，当相交时，d ＜r ；当相切时，d=r ；当相离时，d ＞r 。
3.如右图，经过圆O 的半径OD 外端点D ，作直线l ⊥OD ，直线l 的关系？∵l ⊥OD ∴OD=r ∴直线与l 相切因此，经过半径外端并且垂直与这条半径的直线是圆的切线。
注：①直线与圆有一个交点；②直线与过交点的半径垂直。
几何语言：∵l ⊥OD ，OD 是半径∴直线与l 相切4.如图，直线l 是圆O 的切线，切点为D ，直线l 与半径OD 有怎样（1）相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交．这时直线叫做圆的割线（如右图l 1）；（2）相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切．这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点；（如右图l 2）．（3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。
（如右图l 3）的关系？l ⊥OD用反证法；假设l 与OD 不垂直，过圆心O 作OD ′⊥l ，垂足为D ′∵直线l 是圆O 的切线∴点O 到直线l 的距离等于半径∵点D ′在圆上，这样切线会和圆有两个交点，与题目相切矛盾∴l ⊥OD因此，圆的切线垂直于经过切点的半径。
5.（1）做一个圆，使它与已知三角形的各边都相切？可得圆心O 是三个内角平分线得交点。
（2）画出右图▲ABC 里面最大的圆因此，与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.三角形的内心到三边的距离都相等.这个三角形是圆的外切三角形。
如图：▲ABC因此，三角形的面积等于三角形周长与内切圆半径之积的一半。
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圆锥曲线专题突破一：与直线和圆有关的最值问题题型一 有关定直线、定圆的最值问题例1 已知x ，y 满足x ＋2y －5＝0，则(x －1)2＋(y －1)2的最小值为________．破题切入点 直接用几何意义——距离的平方来解决，另外还可以将x ＋2y －5＝0改写成x ＝5－2y ，利用二次函数法来解决．解析 方法一 (x －1)2＋(y －1)2表示点P (x ，y )到点Q (1,1)的距离的平方．由已知可知点P 在直线l ：x ＋2y －5＝0上，所以PQ 的最小值为点Q 到直线l 的距离，即d ＝|1＋2×1－5|1＋22＝255，所以(x －1)2＋(y －1)2的最小值为d 2＝45. 方法二 由x ＋2y －5＝0，得x ＝5－2y ，代入(x －1)2＋(y －1)2并整理可得(5－2y －1)2＋(y －1)2＝4(y －2)2＋(y －1)2＝5y 2－18y ＋17＝5(y －95)2＋45，所以可得最小值为45.题型二 有关动点、动直线、动圆的最值问题例2 直线l 过点P (1,4)，分别交x 轴的正方向和y 轴的正方向于A 、B 两点．当OA ＋OB 最小时，O 为坐标原点，求l 的方程．破题切入点 设出直线方程，将OA ＋OB 表示出来，利用基本不等式求最值．解 依题意，l 的斜率存在，且斜率为负，设直线l 的斜率为k ，则y －4＝k (x －1)(k <0)．令y ＝0，可得A (1－4k，0)；令x ＝0，可得B (0,4－k )．OA ＋OB ＝(1－4k )＋(4－k )＝5－(k ＋4k )＝5＋(－k ＋4－k)≥5＋4＝9.所以，当且仅当－k ＝4－k 且k <0，即k ＝－2时，OA ＋OB 取最小值．这时l 的方程为2x ＋y －6＝0.题型三 综合性问题 (1)圆中有关元素的最值问题例3 由直线y ＝x ＋2上的点P 向圆C ：(x －4)2＋(y ＋2)2＝1引切线PT (T 为切点)，当PT 的长最小时，点P 的坐标是________．破题切入点 将PT 的长表示出来，结合圆的几何性质进行转化．解析 根据切线段长、圆的半径和圆心到点P 的距离的关系，可知PT ＝PC 2－1，故PT 最小时，即PC 最小，此时PC垂直于直线y ＝x ＋2，则直线PC 的方程为y ＋2＝－(x －4)，即y ＝－x ＋2，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋2，y ＝－x ＋2，解得点P 的坐标为(0,2)．(2)与其他知识相结合的范围问题例4 已知直线x ＋y －k ＝0(k >0)与圆x 2＋y 2＝4交于不同的两点A ，B ，O 是坐标原点，且有|OA →＋OB →|≥33|AB →|，那么k 的取值范围是________．破题切入点 结合图形分类讨论．解析 当|OA →＋OB →|＝33|AB →|时，O ，A ，B 三点为等腰三角形的三个顶点，其中OA ＝OB ，∠AOB ＝120°，从而圆心O 到直线x ＋y －k ＝0(k >0)的距离为1，此时k ＝2；当k >2时，|OA →＋OB →|>33|AB →|，又直线与圆x 2＋y 2＝4存在两交点，故k <22，综上，k 的取值范围是[2，22)． 【总结提高】 (1)主要类型：①圆外一点与圆上任一点间距离的最值． ②直线与圆相离，圆上的点到直线的距离的最值． ③过圆内一定点的直线被圆截得的弦长的最值．④直线与圆相离，过直线上一点作圆的切线，切线段长的最小值问题． ⑤两圆相离，两圆上点的距离的最值．⑥已知圆上的动点Q (x ，y )，求与点Q 的坐标有关的式子的最值，如求ax ＋by ，ax ＋bycx ＋dy等的最值，转化为直线与圆的位置关系． (2)解题思路：①数形结合法：一般结合待求距离或式子的几何意义，数形结合转化为直线与直线或直线与圆的位置关系求解． ②函数法：引入变量构建函数，转化为函数的最值求解． (3)注意事项：①准确理解待求量的几何意义，准确转化为直线与直线或直线与圆的相应的位置关系；②涉及切线段长的最值时，要注意切线，圆心与切点的连线及圆心与切线段另一端点的连线组成一个直角三角形．1．若动点A ，B 分别在直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0上移动，则AB 的中点M 到原点的距离的最小值为________． 解析 依题意知，AB 的中点M 的集合是与直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0距离都相等的直线，则M 到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离．设点M 所在直线的方程为l ：x ＋y ＋m ＝0，根据平行线间的距离公式得|m ＋7|2＝|m ＋5|2⇒|m ＋7|＝|m ＋5|⇒m ＝－6，即l ：x ＋y －6＝0，根据点到直线的距离公式， 得M 到原点的距离的最小值为|－6|2＝3 2.2．已知点M 是直线3x ＋4y －2＝0上的动点，点N 为圆(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1上的动点，则MN 的最小值是________．解析 圆心(－1，－1)到点M 的距离的最小值为点(－1，－1)到直线的距离d ＝|－3－4－2|5＝95，故点N 到点M 的距离的最小值为d －1＝45.3．已知P 是直线l ：3x －4y ＋11＝0上的动点，PA ，PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，C 是圆心，那么四边形PACB 面积的最小值是________．答案3解析 如图所示，圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心为C (1,1)，半径为r ＝1.根据对称性可知四边形PACB 面积等于2S △APC ＝2×12PA ·r ＝PA ，故PA 最小时，四边形PACB 的面积最小，由于PA ＝PC 2－1，故PC 最小时，PA 最小，此时，直线CP 垂直于直线l ：3x －4y ＋11＝0，故PC 的最小值为圆心C 到直线l ：3x －4y ＋11＝0的距离d ＝|3－4＋11|32＋42＝105＝2，所以PA ＝PC 2－1＝22－1＝ 3.故四边形PACB 面积的最小值为 3. 4．(2013·江西改编)过点(2，0)引直线l 与曲线y ＝1－x 2相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率为________．答案 －33解析 ∵S △AOB ＝12OA ·OB ·sin∠AOB ＝12sin∠AOB ≤12.当∠AOB ＝π2时，S △AOB 面积最大．此时O 到AB 的距离d ＝22.设AB 方程为y ＝k (x －2)(k <0)，即kx －y －2k ＝0.由d ＝|2k |k 2＋1＝22，得k ＝－33.5．过点P (1,1)的直线，将圆形区域{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为________．答案 x ＋y －2＝0解析 由题意知，当圆心与P 的连线和过点P 的直线垂直时，符合条件．圆心O 与P 点连线的斜率k ＝1， 所以直线OP 垂直于x ＋y －2＝0.6．已知Ω＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ，y )⎪⎪⎪⎩⎨⎧ y ≥0，y ≤4－x 2，直线y ＝mx ＋2m 和曲线y ＝4－x 2有两个不同的交点，它们围成的平面区域为M ，向区域Ω上随机投一点A ，点A 落在区域M 内的概率为P (M )，若P (M )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－22π，1，则实数m 的取值范围是________．答案 [0,1]解析 画出图形，不难发现直线恒过定点(－2,0)，圆是上半圆， 直线过(－2,0)，(0,2)时，向区域Ω上随机投一点A ， 点A 落在区域M 内的概率为P (M )，此时P (M )＝π－22π，当直线与x 轴重合时，P (M )＝1， 故直线的斜率范围是[0,1]．7．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是________．答案 43解析 可转化为圆C 的圆心到直线y ＝kx －2的距离不大于2. 圆C 的标准方程为(x －4)2＋y 2＝1，圆心为(4,0)． 由题意知(4,0)到kx －y －2＝0的距离应不大于2， 即|4k －2|k 2＋1≤2.整理，得3k 2－4k ≤0，解得0≤k ≤43.故k 的最大值是43.8．直线l 过点(0，－4)，从直线l 上的一点P 作圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0的切线PA ，PB (A ，B 为切点)，若四边形PACB 面积的最小值为2，则直线l 的斜率k 为________． 答案 ±2解析 易知圆的半径为1，因为四边形PACB 的最小面积是2，此时切线段长为2，圆心(0,1)到直线y ＝kx －4的距离为5，即51＋k 2＝5，解得k ＝±2. 9．若直线ax ＋by ＝1过点A (b ，a )，则以坐标原点O 为圆心，OA 长为半径的圆的面积的最小值是________． 答案 π解析 ∵直线ax ＋by ＝1过点A (b ，a )，∴ab ＋ab ＝1.∴ab ＝12.又OA ＝a 2＋b 2，∴以O 为圆心，OA 为半径的圆的面积为S ＝π·OA 2＝(a 2＋b 2)π≥2ab ·π＝π，∴面积的最小值为π.10．与直线x －y －4＝0和圆A ：x 2＋y 2＋2x －2y ＝0都相切的半径最小的圆C 的方程是________________________________________________________________________． 答案 (x －1)2＋(y ＋1)2＝2解析 易知所求圆C 的圆心在直线y ＝－x 上，故设其坐标为C (c ，－c )，又其直径为圆A 的圆心A (－1,1)到直线x －y －4＝0的距离减去圆A 的半径，即2r ＝62－2＝22⇒r ＝2，即圆心C 到直线x －y －4＝0的距离等于2，故有|2c －4|2＝2⇒c ＝3或c ＝1，结合图形当c ＝3时圆C 在直线x －y －4＝0下方，不符合题意，故所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2. 11．已知点P (x ，y )是圆(x ＋2)2＋y 2＝1上任意一点．(1)求点P 到直线3x ＋4y ＋12＝0的距离的最大值和最小值；(2)求y －2x －1的最大值和最小值．解 (1)圆心C (－2,0)到直线3x ＋4y ＋12＝0的距离为d ＝|3×(－2)＋4×0＋12|32＋42＝65. 所以点P 到直线3x ＋4y ＋12＝0的距离的最大值为d ＋r ＝65＋1＝115，最小值为d －r ＝65－1＝15.(2)设k ＝y －2x －1，则直线kx －y －k ＋2＝0与圆(x ＋2)2＋y 2＝1有公共点， ∴|－3k ＋2|k 2＋1≤1，∴3－34≤k ≤3＋34， ∴k max ＝3＋34，k min ＝3－34.即y －2x －1的最大值为3＋34，最小值为3－34. 12．(2014·苏州模拟)已知圆M 的方程为x 2＋y 2－2x －2y －6＝0，以坐标原点O 为圆心的圆O 与圆M 相切． (1)求圆O 的方程；(2)圆O 与x 轴交于E ，F 两点，圆O 内的动点D 使得DE ，DO ，DF 成等比数列，求DE →·DF →的取值范围． 解 (1)圆M 的方程可整理为(x －1)2＋(y －1)2＝8，故圆心M (1,1)，半径R ＝2 2.圆O 的圆心为O (0,0)，因为MO ＝2<22，所以点O 在圆M 内，故圆O 只能内切于圆M .设圆O 的半径为r ，因为圆O 内切于圆M ， 所以MO ＝R －r ，即2＝22－r ，解得r ＝ 2. 所以圆O 的方程为x 2＋y 2＝2. (2)不妨设E (m,0)，F (n,0)，且m <n . 故E (－2，0)，F (2，0)．设D (x ，y )，由DE ，DO ，DF 成等比数列， 得DE ×DF ＝DO 2，即(x ＋2)2＋y 2×(x －2)2＋y 2＝x 2＋y 2， 整理得x 2－y 2＝1.而DE →＝(－2－x ，－y )，DF →＝(2－x ，－y )， 所以DE →·DF →＝(－2－x )(2－x )＋(－y )(－y ) ＝x 2＋y 2－2＝2y 2－1.由于点D 在圆O 内，故有⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2<2，x 2－y 2＝1，得y 2<12，所以－1≤2y 2－1<0，即DE →·DF →∈[－1,0)．。