1、与直线和圆有关的最值问题理(解析版)详解

圆锥曲线专题突破一：与直线和圆有关的最值问题

题型一 有关定直线、定圆的最值问题

例1 已知x ，y 满足x ＋2y －5＝0，则(x －1)2

＋(y －1)2

的最小值为________．

破题切入点 直接用几何意义——距离的平方来解决，另外还可以将x ＋2y －5＝0改写成x ＝5－2y ，利用二次函数法来解决．

解析 方法一 (x －1)2＋(y －1)2

表示点P (x ，y )到点Q (1,1)的距离的平方．

由已知可知点P 在直线l ：x ＋2y －5＝0上，所以PQ 的最小值为点Q 到直线l 的距离，

即d ＝|1＋2×1－5|1＋22

＝255，所以(x －1)2＋(y －1)2的最小值为d 2

＝45. 方法二 由x ＋2y －5＝0，得x ＝5－2y ，代入(x －1)2

＋(y －1)2

并整理可得

(5－2y －1)2＋(y －1)2＝4(y －2)2＋(y －1)2＝5y 2

－18y ＋17＝5(y －95)2＋45，所以可得最小值为45.

题型二 有关动点、动直线、动圆的最值问题

例2 直线l 过点P (1,4)，分别交x 轴的正方向和y 轴的正方向于A 、B 两点．当OA ＋OB 最小时，O 为坐标原点，求l 的方程．

破题切入点 设出直线方程，将OA ＋OB 表示出来，利用基本不等式求最值．

解 依题意，l 的斜率存在，且斜率为负，设直线l 的斜率为k ，则y －4＝k (x －1)(k <0)．

令y ＝0，可得A (1－4

k

，0)；令x ＝0，可得B (0,4－k )．

OA ＋OB ＝(1－4k )＋(4－k )＝5－(k ＋4k )＝5＋(－k ＋4

－k

)≥5＋4＝9.

所以，当且仅当－k ＝4

－k 且k <0，即k ＝－2时，OA ＋OB 取最小值．这时l 的方程为2x ＋y －6＝0.

题型三 综合性问题 (1)圆中有关元素的最值问题

例3 由直线y ＝x ＋2上的点P 向圆C ：(x －4)2

＋(y ＋2)2

＝1引切线PT (T 为切点)，当PT 的长最小时，点P 的坐标是________．

破题切入点 将PT 的长表示出来，结合圆的几何性质进行转化．

解析 根据切线段长、圆的半径和圆心到点P 的距离的关系，可知PT ＝PC 2

－1，故PT 最小时，即PC 最小，此时PC

垂直于直线y ＝x ＋2，则直线PC 的方程为y ＋2＝－(x －4)，即y ＝－x ＋2，联立方程?

??

??

y ＝x ＋2，

y ＝－x ＋2，解得点P 的坐标

为(0,2)．

(2)与其他知识相结合的范围问题

例4 已知直线x ＋y －k ＝0(k >0)与圆x 2＋y 2

＝4交于不同的两点A ，B ，O 是坐标原点，且有|OA →＋OB →|≥33

|AB →|，那么

k 的取值范围是________．

破题切入点 结合图形分类讨论．

解析 当|OA →＋OB →

|＝33|AB →|时，O ，A ，B 三点为等腰三角形的三个顶点，其中OA ＝OB ，∠AOB ＝120°，从而圆心O 到

直线x ＋y －k ＝0(k >0)的距离为1，此时k ＝2；当k >2时，|OA →＋OB →|>33|AB →|，又直线与圆x 2＋y 2

＝4存在两交点，

故k <22，综上，k 的取值范围是[2，22)． 【总结提高】 (1)主要类型：

①圆外一点与圆上任一点间距离的最值． ②直线与圆相离，圆上的点到直线的距离的最值． ③过圆内一定点的直线被圆截得的弦长的最值．

④直线与圆相离，过直线上一点作圆的切线，切线段长的最小值问题． ⑤两圆相离，两圆上点的距离的最值．

⑥已知圆上的动点Q (x ，y )，求与点Q 的坐标有关的式子的最值，如求ax ＋by ，ax ＋by

cx ＋dy

等的最值，转化为直线与圆的位置关系． (2)解题思路：

①数形结合法：一般结合待求距离或式子的几何意义，数形结合转化为直线与直线或直线与圆的位置关系求解． ②函数法：引入变量构建函数，转化为函数的最值求解． (3)注意事项：

①准确理解待求量的几何意义，准确转化为直线与直线或直线与圆的相应的位置关系；

②涉及切线段长的最值时，要注意切线，圆心与切点的连线及圆心与切线段另一端点的连线组成一个直角三角形．

1．若动点A ，B 分别在直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0上移动，则AB 的中点M 到原点的距离的最小值为________． 解析 依题意知，AB 的中点M 的集合是与直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0距离都相等的直线，则M 到原点的距

离的最小值为原点到该直线的距离．设点M 所在直线的方程为l ：x ＋y ＋m ＝0，根据平行线间的距离公式得|m ＋7|

2

＝

|m ＋5|

2

?|m ＋7|＝|m ＋5|?m ＝－6，即l ：x ＋y －6＝0，根据点到直线的距离公式， 得M 到原点的距离的最小值为|－6|

2＝3 2.

2．已知点M 是直线3x ＋4y －2＝0上的动点，点N 为圆(x ＋1)2

＋(y ＋1)2

＝1上的动点，则MN 的最小值是________．

解析 圆心(－1，－1)到点M 的距离的最小值为点(－1，－1)到直线的距离d ＝|－3－4－2|5＝9

5

，故点N 到点M 的距离

的最小值为d －1＝4

5

.

3．已知P 是直线l ：3x －4y ＋11＝0上的动点，PA ，PB 是圆x 2

＋y 2

－2x －2y ＋1＝0的两条切线，C 是圆心，那么四边形PACB 面积的最小值是________．答案

3

解析 如图所示，圆的标准方程为(x －1)2

＋(y －1)2

＝1，圆心为C (1,1)，半径为r ＝1.

根据对称性可知四边形PACB 面积等于2S △APC ＝2×1

2PA ·r ＝PA ，

故PA 最小时，四边形PACB 的面积最小，由于PA ＝PC 2

－1，

故PC 最小时，PA 最小，此时，直线CP 垂直于直线l ：3x －4y ＋11＝0，

故PC 的最小值为圆心C 到直线l ：3x －4y ＋11＝0

的距离d ＝|3－4＋11|32＋4

2

＝105＝2，所以PA ＝PC 2－1＝22

－1＝ 3.故四边形PACB 面积的最小值为 3. 4．(2013·江西改编)过点(2，0)引直线l 与曲线y ＝1－x 2

相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最

大值时，直线l 的斜率为________．答案 －3

3

解析 ∵S △AOB ＝12OA ·OB ·sin∠AOB ＝12sin∠AOB ≤1

2.

当∠AOB ＝π2时，S △AOB 面积最大．此时O 到AB 的距离d ＝2

2.

设AB 方程为y ＝k (x －2)(k <0)，即kx －y －2k ＝0.由d ＝

|2k |

k 2＋1＝22

，得k ＝－3

3.

5．过点P (1,1)的直线，将圆形区域{(x ，y )|x 2

＋y 2

≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为________．答案 x ＋y －2＝0

解析 由题意知，当圆心与P 的连线和过点P 的直线垂直时，符合条件．圆心O 与P 点连线的斜率k ＝1， 所以直线OP 垂直于x ＋y －2＝0.

6．已知Ω＝?

???

??

???

?(x ，y )???

??? y ≥0，y ≤4－x 2

，直线y ＝mx ＋2m 和曲线y ＝4－x 2有两个不同的交点，它们围成的平面区域为M ，向区域Ω上随机投一点A ，点A 落在区域M 内的概率为P (M )，若P (M )∈????

?

?π－22π，1，则实数m 的取值范围是

________．答案 [0,1]

解析 画出图形，不难发现直线恒过定点(－2,0)，圆是上半圆， 直线过(－2,0)，(0,2)时，向区域Ω上随机投一点A ， 点A 落在区域M 内的概率为P (M )，

此时P (M )＝π－2

2π，

当直线与x 轴重合时，P (M )＝1， 故直线的斜率范围是[0,1]．

7．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2

＋y 2

－8x ＋15＝0，若直线y

＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是________．

答案 43

解析 可转化为圆C 的圆心到直线y ＝kx －2的距离不大于2. 圆C 的标准方程为(x －4)2

＋y 2

＝1，圆心为(4,0)． 由题意知(4,0)到kx －y －2＝0的距离应不大于2， 即|4k －2|k 2＋1

≤2.

整理，得3k 2

－4k ≤0，解得0≤k ≤43

.

故k 的最大值是4

3

.

8．直线l 过点(0，－4)，从直线l 上的一点P 作圆C ：x 2

＋y 2

－2y ＝0的切线PA ，PB (A ，B 为切点)，若四边形PACB 面积的最小值为2，则直线l 的斜率k 为________． 答案 ±2

解析 易知圆的半径为1，因为四边形PACB 的最小面积是2，此时切线段长为2，圆心(0,1)到直线y ＝kx －4的距离为

5，即5

1＋k 2

＝5，解得k ＝±2. 9．若直线ax ＋by ＝1过点A (b ，a )，则以坐标原点O 为圆心，OA 长为半径的圆的面积的最小值是________． 答案 π

解析 ∵直线ax ＋by ＝1过点A (b ，a )，

∴ab ＋ab ＝1.∴ab ＝1

2.

又OA ＝a 2

＋b 2

，

∴以O 为圆心，OA 为半径的圆的面积为

S ＝π·OA 2＝(a 2＋b 2)π≥2ab ·π＝π，

∴面积的最小值为π.

10．与直线x －y －4＝0和圆A ：x 2

＋y 2

＋2x －2y ＝0都相切的半径最小的圆C 的方程是________________________________________________________________________． 答案 (x －1)2

＋(y ＋1)2

＝2

解析 易知所求圆C 的圆心在直线y ＝－x 上，故设其坐标为C (c ，－c )，又其直径为圆A 的圆心A (－1,1)到直线x －y －4＝0的距离减去圆A 的半径，即

2r ＝6

2

－2＝22?r ＝2，

即圆心C 到直线x －y －4＝0的距离等于2，

故有|2c －4|2

＝2?c ＝3或c ＝1，

结合图形当c ＝3时圆C 在直线x －y －4＝0下方，不符合题意，故所求圆的方程为(x －1)2

＋(y ＋1)2

＝2. 11．已知点P (x ，y )是圆(x ＋2)2

＋y 2

＝1上任意一点．

(1)求点P 到直线3x ＋4y ＋12＝0的距离的最大值和最小值；

(2)求y －2x －1

的最大值和最小值．

解 (1)圆心C (－2,0)到直线3x ＋4y ＋12＝0的距离为d ＝|3×(－2)＋4×0＋12|32＋4

2

＝6

5. 所以点P 到直线3x ＋4y ＋12＝0的距离的最大值为d ＋r ＝65＋1＝11

5

，

最小值为d －r ＝65－1＝1

5.

(2)设k ＝y －2

x －1，

则直线kx －y －k ＋2＝0与圆(x ＋2)2

＋y 2

＝1有公共点， ∴|－3k ＋2|k 2

＋1≤1，∴3－34≤k ≤3＋34， ∴k max ＝3＋34，k min ＝3－3

4.

即

y －2x －1的最大值为3＋34，最小值为3－34

. 12．(2014·苏州模拟)已知圆M 的方程为x 2

＋y 2

－2x －2y －6＝0，以坐标原点O 为圆心的圆O 与圆M 相切． (1)求圆O 的方程；

(2)圆O 与x 轴交于E ，F 两点，圆O 内的动点D 使得DE ，DO ，DF 成等比数列，求DE →·DF →

的取值范围． 解 (1)圆M 的方程可整理为(x －1)2

＋(y －1)2

＝8，

故圆心M (1,1)，半径R ＝2 2.圆O 的圆心为O (0,0)，因为MO ＝2<22，

所以点O 在圆M 内，故圆O 只能内切于圆M .设圆O 的半径为r ，因为圆O 内切于圆M ， 所以MO ＝R －r ，即2＝22－r ，解得r ＝ 2. 所以圆O 的方程为x 2

＋y 2

＝2. (2)不妨设E (m,0)，F (n,0)，且m

设D (x ，y )，由DE ，DO ，DF 成等比数列， 得DE ×DF ＝DO 2

，

即(x ＋2)2

＋y 2

×(x －2)2

＋y 2

＝x 2

＋y 2

， 整理得x 2

－y 2＝1.

而DE →＝(－2－x ，－y )，DF →

＝(2－x ，－y )， 所以DE →·DF →

＝(－2－x )(2－x )＋(－y )(－y ) ＝x 2

＋y 2

－2＝2y 2

－1.

由于点D 在圆O 内，故有?

????

x 2

＋y 2

<2，

x 2－y 2

＝1，得y 2<1

2

，

所以－1≤2y 2

－1<0，即DE →·DF →∈[－1,0)．